(共37张PPT)
3.1.1 点与圆的位置关系
浙教版九年级上册
教学目标
1.理解圆的相关概念，知道圆的有关定义及表示方法.
2.探索并掌握点与圆的三种位置关系，知道这三种位置关系中点与圆心的距离与半径的大小关系.
3.初步渗透数形结合和转化的数学思想，并逐步学会用数学的眼光和运动集合的观点去认识世界、解决问题.
重点：
1.认识圆中的基本概念；
2.对等弧概念的理解.
难点：
用数量关系判断点和圆的位置关系
教学重难点
新知导入
观察下面图片，你发现了什么？
新知导入
许多生活用品都采用了圆的形状.
你知道圆是怎样定义的吗？
需要哪些条件才能确定一个圆？
新知讲解
小学里我们已经认识了圆，会用圆规画圆. 你知道圆上的点有什么特性吗？
新知讲解
取一根绳子，把它的一端用图钉固定在画板上，另一端系一支铅笔，然后拉紧绳子，并使它绕固定的一端旋转一周，这样就画出了一个圆.显然，圆上的任意一点 P（铅笔尖）到定点 O（图钉）的距离都相等.
新知讲解
圆中的基本概念
在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点P所经过的封闭曲线叫做圆，定点O叫做圆心，
线段OP(不论转到什么位置)叫做圆的半径.
以点O为圆心的圆，记做“⊙O”,读做“圆 O”.
新知讲解
圆中的基本概念
连结圆上任意两点的线段BC叫做弦.
经过圆心的弦AB 叫做直径.
直径等于半径的2倍.
新知讲解
做一做
已知点O 和线段 a（如图）. 以 O 为圆心，线段 a 为半径作一个圆，
并在圆上画出一条半径、一条直径和一条不是直径的弦.
新知讲解
圆中的基本概念
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆.
小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.
新知讲解
劣弧用符号“⌒”和弧两端的字母表示，半圆和优弧用符号“⌒”和三个字母表示（弧两端的字母和弧中间的字母）.
例：劣弧BC记做 ，读作“弧BC”；
以B，C为端点的优弧记作 ，读作“弧BAC”.
新知讲解
等圆的概念
半径相等的两个圆能够完全重合. 我们把半径相等的两个圆叫做等圆.
类似地，我们把能够重合的圆弧称为相等的弧.
新知讲解
【做一做】下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？请说明理由.
（1）直径相等的两个圆是等圆.
（2）弦是直径.
（3）圆上任意两点都能将圆分成一条劣弧和一条优弧.
（4）一个圆有且只有一条直径.
新知讲解
解：(1)真命题。理由:因为直径相等，则半径相等，而半径相等的两个圆称为等圆，所以直径相等的两个圆是等圆。
(2)假命题。理由:因为连结圆上任意两点的线段称为弦，它不一定经过圆心。
(3)假命题。理由:直径的两个端点将圆分成两个半圆。
(4)假命题。理由:经过圆心有无数条直径。
新知讲解
你能说出同一平面内点与圆有几种位置关系吗？怎样确定点与圆的位
置关系？请与你的同伴议一议.
OC>r，点C在圆外；
OB=r，点B在圆上；
OA新知讲解
一般地，如果用 r 表示圆的半径，d 表示同一平面内点到圆心的距离，则有：
d>r 点在圆外;
d=r 点在圆上;
d【总结归纳】
新知讲解
【例1】如图，在A地正北80m的B处有一幢民房，正西100m的C处有一变电设施，在BC的中点D处是一古建筑.因施工需要，必须在A处进行一次爆破.为使民房、变电设施、古建筑都不遭到破坏，问爆破影响面的半径应控制在什么范围内
新知讲解
解：如图，连结AD.
∵∠BAC=Rt∠，
∴ BC2=AC2+AB2=1002+802=16 400,
∵D是斜边BC的中点，
新知讲解
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.下列条件中，能确定一个圆的是( )
A．以点O为圆心
B．以3 cm为半径
C．以点O为圆心，3 cm为半径
D．经过已知点A
C
课堂练习
2.已知AB是半径为6的圆的一条弦，则AB的长不可能是( ).
A．8
B．10
C．12
D．14
D
3.用圆规画圆的过程中，把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离是3 cm，则该圆的直径是( ).
A．1.5 cm
B．3 cm
C．4.5 cm
D．6 cm
课堂练习
D
4.已知⊙O的半径为5 cm, P是⊙O外一点，则OP的长可能是( ).
A．3 cm
B．4 cm
C．5 cm
D．6 cm
课堂练习
D
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
5.以下说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧；④弧是半圆．其中正确的是( ).
A．①② B．②③
C．③④ D．①③
D
课堂练习
6.如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D是BC的中点．若AC＝8 cm，则OD＝________cm.
4
课堂练习
【综合实践类作业】
7.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，r为半径作⊙C.
(1)当r取什么值时，点A，B在⊙C外？
解：若点A，B在⊙C外，则AC>r.
∵AC＝3，
∴当0课堂练习
【综合实践类作业】
(2)当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外？
解：若点A在⊙C内，点B在⊙C外，则AC∵AC＝3，BC＝4，
∴当3课堂总结
本节课你学到了哪些知识？
1.与圆有关的概念
弦与直径，弧、半圆、优弧、劣弧，等圆与等弧.
2.点和圆的位置关系：
点在圆外、点在圆上、点在圆内.
板书设计
课题：3.1.1 点与圆的位置关系
教师板演区
学生展示区
一、圆的相关概念
二、点与圆的位置关系
三、例题讲解
作业布置
【知识技能类作业】必做题
1.平面内已知点P，以点P为圆心，作半径为3 cm的圆，这样的圆可以作( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
A
作业布置
2.已知⊙O的周长为20π cm，点P到圆心的距离为d cm.
(1)当d＝8 cm时，点P在⊙O________；
(2)当d＝10 cm时，点P在⊙O________；
(3)当d＝12 cm时，点P在⊙O________．
内
上
外
作业布置
选做题：
3.(1)已知⊙O外有一定点P，⊙O上有一动点Q，线段PQ长的最小值为4 cm，最大值为9 cm，则⊙O的半径为________．
(2)点P到圆的最大距离为13 cm，最小距离为5 cm，则圆的半径为_____________．
2.5 cm
4 cm或9 cm
作业布置
【综合实践类作业】
4.如图，在A市正北方向50 km的B市，有一无线电信号发射塔．已知该发射塔发射的无线电信号的有效半径为100 km，AC是一条从A市直达C市的公路，假设从A市开往C市的班车速度为60 km/h.当班车从A市出发开往C市时，车上一乘客立即打开无线电收音机，班车行驶了0.5 h的时候接收到的信号最强．此时，班车到发射塔的距离是多少千米？(离发射塔越近，信号越强)
作业布置
解：如图，过点B作BM⊥AC于点M.由题意可知，班车行驶了0.5 h的时候到达点M，则AM＝60×0.5＝30(km)．
又∵AB＝50 km，∴在Rt△ABM中，由勾股定理，得BM＝40 km.∴此时，班车到发射塔的距离是40 km .
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分课时教学设计
3.1.1 点与圆的位置关系教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课主要学习圆的相关概念和点与圆的三种位置关系。点与圆的位置关系是在理解圆的定义的基础上展开的，通过圆的定义，我们知道:圆内点到圆心的距离都小于 半径，圆上点到圆心的距离都等于半径，圆外点到圆心的距离都大于半径。由此可知，每一个圆都把平面上的点分成三部分:圆内的点、圆上的点和圆外的点。对于学生来讲，这样比较容易理解，并通过代数关系表述几何问题，使学生深化理解代数与几何之间的关系，为后面的学习(直线与圆、圆与圆的位置关系)有个很好的开端。
学习者分析 九年级的学生已经具备了独立探索新知识的能力，并且对新知识有着强烈的求知欲，因此在学习过程中，要注意调动同学们的积极性和创造性。在本节课的学习中，让学生根据老师提供的目标和途径，自己归纳，总结，并且主动的研究，从而学会知识。
教学目标 1.理解圆的相关概念，知道圆的有关定义及表示方法. 2.探索并掌握点与圆的三种位置关系，知道这三种位置关系中点与圆心的距离与半径的大小关系. 3.初步渗透数形结合和转化的数学思想，并逐步学会用数学的眼光和运动集合的观点去认识世界、解决问题.
教学重点 1.认识圆中的基本概念； 2.对等弧概念的理解.
教学难点 用数量关系判断点和圆的位置关系
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 教师出示图片 许多生活用品都采用了圆的形状. 你知道圆是怎样定义的吗？ 需要哪些条件才能确定一个圆？学生活动1： 学生观察图片思考回答问题。活动意图说明： 从实际生活入手，激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。 环节二：探究圆的相关概念教师活动2： 教师出示问题： 小学里我们已经认识了圆，会用圆规画圆. 你知道圆上的点有什么特性吗？ 取一根绳子，把它的一端用图钉固定在画板上，另一端系一支铅笔，然后拉紧绳子，并使它绕固定的一端旋转一周，这样就画出了一个圆.显然，圆上的任意一点 P（铅笔尖）到定点 O（图钉）的距离都相等. 圆中的基本概念 在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点P所经过的封闭曲线叫做圆，定点O叫做圆心， 线段OP(不论转到什么位置)叫做圆的半径. 以点O为圆心的圆，记做“⊙O”,读做“圆 O”. 连结圆上任意两点的线段BC叫做弦. 经过圆心的弦AB 叫做直径. 直径等于半径的2倍. 做一做 已知点O 和线段 a（如图）. 以 O 为圆心，线段 a 为半径作一个圆， 并在圆上画出一条半径、一条直径和一条不是直径的弦. 学生活动2： 学生思考回答圆的定义。 学生在教师的引导下探究圆的基本概念。 学生根据所学知识小组讨论，完成练习题。活动意图说明： 通过学生的动手操作,合作交流探讨,得到圆的定义,而不是教师直接给出,体现了以学生为主体,自主获取知识的理念。环节三：探究弧和等圆的概念教师活动3： 教师出示问题。 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧. 劣弧用符号“⌒”和弧两端的字母表示，半圆和优弧用符号“⌒”和三个字母表示（弧两端的字母和弧中间的字母）. 等圆的概念 半径相等的两个圆能够完全重合. 我们把半径相等的两个圆叫做等圆. 类似地，我们把能够重合的圆弧称为相等的弧. 【做一做】下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？请说明理由. （1）直径相等的两个圆是等圆. （2）弦是直径. （3）圆上任意两点都能将圆分成一条劣弧和一条优弧. （4）一个圆有且只有一条直径. 解：(1)真命题。理由:因为直径相等，则半径相等，而半径相等的两个圆称为等圆，所以直径相等的两个圆是等圆。 (2)假命题。理由:因为连结圆上任意两点的线段称为弦，它不一定经过圆心。 (3)假命题。理由:直径的两个端点将圆分成两个半圆。 (4)假命题。理由:经过圆心有无数条直径。学生活动3： 学生在教师的引导下总结圆弧、等圆的概念。 学生知道判断等圆的方法。 学生根据所学知识完成课本练习题。活动意图说明： 在教学中运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神。环节四：探究点与圆的位置关系教师活动4： 教师出示问题： 你能说出同一平面内点与圆有几种位置关系吗？怎样确定点与圆的位 置关系？请与你的同伴议一议. OC>r，点C在圆外； OB=r，点B在圆上； OAr 点在圆外; d=r 点在圆上; d板书设计 课题：3.1.1 点与圆的位置关系 一、圆的相关概念 二、点与圆的位置关系 三、例题讲解
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列条件中，能确定一个圆的是( C ) A．以点O为圆心 B．以3 cm为半径 C．以点O为圆心，3 cm为半径 D．经过已知点A 2.已知AB是半径为6的圆的一条弦，则AB的长不可能是( D ). A．8 B．10 C．12 D．14 3.用圆规画圆的过程中，把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离是3 cm，则该圆的直径是( D ). A．1.5 cm B．3 cm C．4.5 cm D．6 cm 4.已知⊙O的半径为5 cm, P是⊙O外一点，则OP的长可能是( D ). A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm 选做题： 5.以下说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧；④弧是半圆．其中正确的是( D ). A．①② B．②③ C．③④ D．①③ 6.如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D是BC的中点．若AC＝8 cm，则OD＝____4____cm. 【综合拓展类作业】 7.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，r为半径作⊙C. (1)当r取什么值时，点A，B在⊙C外？ 解：若点A，B在⊙C外，则AC>r.∵AC＝3，∴当0作业布置 【知识技能类作业】 必做题 1.平面内已知点P，以点P为圆心，作半径为3 cm的圆，这样的圆可以作( A ) A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 2.已知⊙O的周长为20π cm，点P到圆心的距离为d cm. (1)当d＝8 cm时，点P在⊙O___内_____； (2)当d＝10 cm时，点P在⊙O____上____； (3)当d＝12 cm时，点P在⊙O______外__． 选做题： 3.(1)已知⊙O外有一定点P，⊙O上有一动点Q，线段PQ长的最小值为4 cm，最大值为9 cm，则⊙O的半径为_2.5 cm_． (2)点P到圆的最大距离为13 cm，最小距离为5 cm，则圆的半径为_4 cm或9 cm__． 【综合实践类作业】 4.如图，在A市正北方向50 km的B市，有一无线电信号发射塔．已知该发射塔发射的无线电信号的有效半径为100 km，AC是一条从A市直达C市的公路，假设从A市开往C市的班车速度为60 km/h.当班车从A市出发开往C市时，车上一乘客立即打开无线电收音机，班车行驶了0.5 h的时候接收到的信号最强．此时，班车到发射塔的距离是多少千米？(离发射塔越近，信号越强) 解：如图，过点B作BM⊥AC于点M.由题意可知，班车行驶了0.5 h的时候到达点M，则AM＝60×0.5＝30(km)． 又∵AB＝50 km，∴在Rt△ABM中，由勾股定理，得BM＝40 km.∴此时，班车到发射塔的距离是40 km .
课堂总结 本节课你学到了哪些知识？ 1.与圆有关的概念 弦与直径，弧、半圆、优弧、劣弧，等圆与等弧. 2.点和圆的位置关系： 点在圆外、点在圆上、点在圆内.
教学反思 在教学设计上，我教学结合的形式探究上述内容。学生能很好地判断点与圆的位置关系，由类比的数学思想得到探究经过平面上一点、两个点及不在同一直线上三点确定一个圆的方法，整个探究过程我坚持老师引导，学生动手操作，自主探究。在得到“不在同一直线的三点确定一个圆”定理后，概括得到三角形的外接圆、外心等概念和外心的性质。最后利用反证思想补充“在同一直线的三点不能确定一个圆”的知识。
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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 上册第三章
课标要求 1.通过日常生活中的实例，让学生感受圆是生活中大量存在的图形. 2.理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆的位置关系，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念. 3.探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆. 4.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等。了解并证明圆周角定理及其推论。 5.通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转，进一步理解了旋转的性质，认识圆的轴对称性和中心对称性. 6.探索并证明垂径定理和垂径定理的逆定理，会运用垂径定理及其逆定理解决问题. 7.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。 8.探索弧长计算公式及扇形的面积计算公式，并能利用公式解决问题。
内容分析 本章的主要内容有:圆的定义、弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角、扇形和三角形的外接圆等有关概念.圆属于空间与图形这部分内容，在前面学生已经学习了直线形图形的有关的性质，会借助于变换、坐标、证明等手段去认识图形的性质，并在小学的基础上，学生已经积累了大量有关圆的经验，本章是在此基础上，对圆的概念及其有关的性质进行系统的梳理，从圆的概念形成，圆本身的性质，圆中的量之间的关系以及圆中有关量的计算等方面，加强对圆的认识.
学情分析 九年级学生已经具有一定的活动经验和体验，具备一定的主动参与合作意识和初步的分析、抽象、归纳概括能力。同时具有自主学习意识，教师能创设便于观察和思考的学习环境引导学生观察和自觉分析生活现实和数学现实中的圆的现象，自觉总结圆的有关性质并自觉地应用到现实之中，逐步形成正确的数学观，并通过圆进一步丰富学生的数学活动经验和体验，在学习中有意识地培养学生积极的情感、态度，认识数学丰富的人文价值，促进观察、分析、归纳、概括等一般能力和审美意识的发展，从而进一步培养学生探究习惯、把握和研究“空间与图形”的水平.
单元目标 （一）教学目标 1.知道圆的有关定义及表示方法；掌握点和圆的位置关系；会根据要求画出图形. 2.了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法；了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念. 3.了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质以及简单平面图形旋转后的图形的作法. 4.掌握垂径定理和垂径定理逆定理，理解其探索和证明过程； 5.理解圆、弧、弦、弦心距、圆周角、圆心角、扇形、圆内接四边形、弧长、正多边形等有关概念，学会圆、弧、弦、弦心距、圆周角、圆心角、扇形、圆内接四边形、弧长、正多边形等的表示方法. 6.掌握扇形面积计算公式，会用公式解决问题． （二）教学重点、难点 重点：1.理解圆的相关概念。 2.掌握圆的基本性质和弧长扇形面积的计算方法。 难点：1.综合运用圆的基本性质解决相关的几何问题和相关的实际问题。 2.运用弧长的计算公式计算，能熟练运用面积的转化求不规则图形的面积。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数3.1圆23.2图形的旋转13.3垂径定理23.4圆心角23.5圆周角23.6圆内接四边形13.7正多边形13.8弧长及扇形的面积2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务 圆21.知道圆的有关定义及表示方法； 2.掌握点和圆的位置关系； 3.会根据要求画出图形. 从运动和集合的观点理解圆的定义. 理解点与圆的位置关系. 理解记忆圆的相关概念，完成课本练习题。1．了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法； 2．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.1．确定圆的条件：不在同一直线上的三点；圆心、半径 2．外心的位置： （1）锐角三角形外心在三角形的内部 （2）直角三角形的外心在斜边上 （3）钝角三角形的外心在三角形的.了解不在同一直线上的三点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三点作圆的方法，了解并辨认三角形的外接圆、三角形的外心等概念 图形的旋转1 了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质以及简单平面图形旋转后的图形的作法. 通过作平面图形旋转后的图形，进一步理解了旋转的性质，并且还知道要确定一个三角形旋转后的位置。通过具体事例认识旋转，理解旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等的性质. 垂径定理21.通过实验观察，让学生理解圆的轴对称性； 2.掌握垂径定理，理解其探索和证明过程； 3.能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题.1.了解圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴. 2.通过猜想，证明，形成垂径定理.使学生掌握垂径定理、记住垂径定理的题设和结论. 对垂径定理的探索和证明，在解决问题时想到用垂径定理.1.利用圆的轴对称性研究垂径定理的逆定理． 2．运用垂径定理的逆定理解决问题.1.利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理． 2.解决有关弦的问题，1.探索并证明垂径定理，会运用垂径定理及其逆定理解决问题. 2.垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线. 圆心角2 1.理解圆心角的概念,并掌握圆心角定理． 2.理解“弧的度数等于它所对的圆心角的度数”这一性质． 掌握圆心角定理，会运用圆心角定理解决实际问题。1.探究圆心角定理，猜想结论，并证明。 2.运用圆心角定理解决简单的几何问题. 掌握”在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦，两个圆心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等”这个圆的性质 会运用关于弧,弦,弦心距之间相互关系的定理解决简单的几何问题.定理的探究：让学生观察，猜想，证明，最后教师给出证明过程.圆周角21.理解圆周角的概念． 2.掌握圆周角与圆心角的关系． 3.掌握同弧或等弧所对的圆周角相等．掌握圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半. 学习圆周角的定义，并探索其定理。1.圆周角概念和圆周角定理. 2.圆周角定理的三种情况证明，圆周角定理的应用.1.利用同弧所对的圆周角相等，进行角与角之间的转化 2.将圆周角相等的问题转化为弦相等或弧相等的问题. 探索圆周角定理，会用圆周角定理及推论解决问题. 圆内接四边形1.使学生掌握圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形的性质定理； 2.使学生初步会运用圆的内接四边形的性质定理证明和计算一些问题．掌握圆内接四边形的性质定理． 理解“内对角”这一重点词语的意思．1.通过观察、探索得到圆内接四边形的性质。 2.能准确地辨认图形，较熟练地运用性质．正多边形1.了解正多边形和圆的有关概念； 2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系3.会应用多边形和圆的有关知识画多边形．了解正多边形可以通过切割圆得到；理解正多边形的外接圆与内切圆的关系.学会判定一个多边形是正多边形，并了解正多边形有哪些性质？弧长及扇形的面积1.经历探索弧长计算公式的过程； 2.了解弧长计算公式，并会应用公式解决问题1.经历探索弧长计算公式的过程，培养学生的探索能力； 2.了解弧长后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力.探索弧长计算公式；用公式解决实际问题.1.经历探索扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力． 2.了解扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力．1.扇形的概念和扇形面积的计算公式． 2.弧长与扇形面积的关系． 推导扇形面积计算公式的过程.掌握扇形面积计算公式，会用公式解决问题．
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