初中数学浙教版八下精彩练习4.5三角形的中位线
一、A练就好基础
1．如图，为测量池塘岸边A，B两点之间的距离，小亮在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点D，E之间的距离是14米，则A，B两点之间的距离是（ ）
A．18米 B．24米 C．28米 D．30米
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AB，
∵点D和点E是OA，OB的中点，
∴DE是△ABO的中位线，
∴DE=AB，
∴AB=2DE=28.
故答案为：C.
【分析】连接AB，易证DE是△ABO的中位线，利用三角形的中位线等于第三边的一半，可求出AB的长.
2．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=60°，
∴∠C=180°-∠B-∠A=180°-60°-50°=70°.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件可证得DE是△ABC的中位线，由此可证得DE∥BC，利用平行线的性质可求出∠B的度数，利用三角形的内角和定理可求出∠C的度数.
3．（2021·衢州）如图，在 中， ， ， ，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连结DE，EF，则四边形ADEF的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵ ， ， ，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴AD= 2，AF= ，DE、EF为△ABC的中位线，
∴EF= 2，DE== ，
∴四边形ADEF的周长=2+2+ =9，
故答案为：B.
【分析】利用三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可求出EF，DE的长，同时可证得四边形ADEF是平行四边形，即可求出四边形ADEF的周长.
4．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC的中点。若OE=3cm，则AB的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴OA=OC，
∵点E是BC的中点，
OE是△ABC的中位线，
∴OE=AB，
∴AB=2OE=2×3=6cm.
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质可证得OA=OC，利用已知条件可证得OE是△ABC的中位线，再利用三角形的中位线等于第三边的一半，可求出AB的长.
5．（2020·宁波）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE=BC，连结DE，F为DE中点，连结BF.若AC=8，BC=6，则BF的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴AB= ，
∵CD为中线，
∴CD=AB=5，
∵BE=BC，F为DE中点，
∴BF为△CDF的中位线，
∴BF=CD=2.5，
故答案为：B.
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半求出CD的长，最后结合三角形的中位线定理即可求出BF的长.
6．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=18°，则∠PFE的度数是 。
【答案】18°
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴PF是△BDC的中位线，PE是△ABD的中位线，
∴PF=BC，PE=AD，
∵AD=BC，
∴PF=PE，
∴∠PEF=∠PFE=18°.
故答案为：18°.
【分析】利用已知条件易证明PF是△BDC的中位线，PE是△ABD的中位线，再利用三角形的中位线定理及AD=BC，可证得PF=PE，利用等边对等角可求出∠PFE的度数.
7．如图，点D，E，F分别是△ABC三边上的中点。
（1）若△ABC的周长为6cm，则△DEF的周长为 cm.
（2）若△ABC的面积为12cm2，则△DEF的面积为 cm2.
【答案】（1）3
（2）3
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）∵点D，E，F分别是△ABC三边上的中点，
∴DE，DF，EF是△ABC的中位线，
∴DE=AC，DF=BC，EF=AB，
∵△ABC的周长为6cm，
∴AB+BC+AC=6cm，
∴△DEF的周长为DE+DF+EF=（AB+BC+AC）=3cm.
故答案为：3.
（2）∵DE，DF，EF是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB，DE=AF=FC，EF=BD=AD，DF=BE=EC，
∴四边形ADEF，四边形DBEF，四边形DECF是平行四边形，
∴△DEF的面积 =S△ABC=×12=3cm2.
故答案为：3.
【分析】（1）利用已知条件可证得DE，DF，EF是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可知DE=AC，DF=BC，EF=AB；再证明△ABC的周长的一半=△DEF的周长的周长，由此可求解.
（2）易证DE，DF，EF是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可证得DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB，DE=AF=FC，EF=BD=AD，DF=BE=EC，可推出四边形ADEF，四边形DBEF，四边形DECF是平行四边形，利用平行四边形的性质可知S△DEF =S△ABC，代入计算可求解.
8．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AD，AB，C BC，CD的中点。
（1）四边形EFGH的形状是 ；
（2）若对角线AC⊥BD，垂足为点O，AC=8，BD=6，则四边形EFGH的周长为 。
【答案】（1）平行四边形
（2）14
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）点E，F，G，H分别为边AD，AB，C BC，CD的中点，
∴HE是△ADC的中位线，GF是△ABC的中位线，
∴HE=AC，GF=AC，HE∥AC，GF∥AC，
∴HE∥GF，HE=GF，
∴四边形EFGH是平行四边形.
故答案为：平行四边形.
（2）∵HE∥GF∥AC
∵AC⊥BD，
∴BD⊥HE，
同理可证BD⊥EF，
∴HE⊥EF，
∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是矩形，
∵∴HE=AC=4，GH=BD=3，
∴四边形EFGH的周长为2（HE+GH）=2（4+3）=14.
故答案为：14.
【分析】（1）利用已知条件可证得HE是△ADC的中位线，GF是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可证得HE∥GF，HE=GF，再利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
（2）利用有一个角是直角的平行四边形是矩形，可证得四边形EFGH是矩形；再利用三角形的中位线定理可求出HE，GH的长，然后求出此矩形的周长.
9．如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，连结DE，AD，点F在BA的延长线上，且AF=AB，连结EF，判断四边形ADEF的形状，并加以证明。
【答案】解：四边形ADEF是平行四边形.
证明：∵D，E分别是边BC，AC的中点，
DE∥AB，DE=AB.
又AF=AB，∴DE=AF，
四边形ADEF是平行四边形。
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】利用已知条件可证得DE是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可证得 DE∥AB，DE=AB，由此可推出DE=AF，再来呀有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
10．如图，在△ABC中，中线BD，CE相交于点O，F，G分别是OB，OC的中点。
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）连结AO，若BC=7，AO=5，则平行四边形DEFG的周长为 。
【答案】（1）证明：∵BD，CE是△ABC的中线，
E，D分别是AB，AC的中点，
ED是△ABC的中位线，
ED∥BC，ED=BC
F、G分别是OB，OC的中点，
FG是△OBC的中位线，
FG∥BC，FG=BC，
则FG∥ED，FG=ED，
四边形DEFG是平行四边形.
（2）12
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（2）同理可证EF是△AOB的中位线，GF是△BOC的中位线，
∴EF=AO=2.5，GF=BC=3.5
∴平行四边形DEFG的周长为2（EF+GF）=2（2.5+3.5）=12.
故答案为：12.
【分析】（1）利用三角形中线的定义可证得ED是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可证得 ED∥BC，ED=BC ；同理可证FG∥BC，FG=BC，由此可推出 FG∥ED，FG=ED，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
（2）同理可证EF是△AOB的中位线，GF是△BOC的中位线，利用三角形的中位线定理可求出EF，GF的长，然后根据平行四边形DEFG的周长为2（EF+GF），代入计算可求解.
二、B更上一层楼
11．如图所示，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC=6，则DF的长是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．4
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是BC，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，DB=BC=3；
∴DE∥AB，
∴∠ABF=∠BFD，
∵ BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠DBF，
∴∠DBF=∠BFD，
∴BD=DF=3.
故答案为：B.
【分析】利用中点的定义可证得DE是△ABC的中位线，同时可求出DB的长；再利用三角形的中位线定理可证得DE∥AB，利用平行线的性质和角平分线的定义去证明∠DBF=∠BFD；然后利用等角对等边，可求出DF的长.
12．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BD，DN，
在Rt△ABD中，
；
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△MDN的中位线，
∴EF=DN，
当点N和点B重合时，DN的长最大，
此时EF的长最大，
∴EF的最大值为BD=3.
故答案为：A.
【分析】连接BD，DN，利用勾股定理求出BD的长；再证明EF是△MDN的中位线，利用三角形的中位线定理可证得EF=DN，要使EF的值最大，则当点N和点B重合时，DN的长最大，由此可求出EF的最大值.
13．如图，DE是△ABC的中位线，AF是BC边上的中线，DE，AF交于点O.现有以下结论：
①DE∥BC；②OD=BC；③AO=FO；④S△AOD=S△ABC，其中正确结论的序号为 。
【答案】①②③
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴ED∥BC，DE=BC，故①正确；
∵ED∥BC，点D是AB的中点，
∴O是AF的中点，
∴DO是△ABF的中位线，AO=FO，故③正确；
∴DO=DF=BC，故②正确；
∵AF是△ABC的中线，
∴S△ABF=S△ABC；
∵DO是△ABF的中线，
∴△ADO和△ABF的高之比为1：2，OD：BF=1：2，
∴S△ADO=S△ABF，
∴S△ADO=S△ABC=.S△ABC，故④错误.
∴正确结论的序号为①②③.
故答案为：①②③.
【分析】利用三角形的中位线定理可证得D∥BC，DE=BC，可对①作出判断；同时可证得O是AF的中点，利用线段中点的定义可证得AO=FO，可对③作出判断；再证明DO是△ABF的中位线，利用中位线定理可证得OD与BC之间的数量关系，可对②作出判断；利用三角形的中线可知S△ABF=S△ABC；再证明△ADO和△ABF的高之比为1：2，OD：BF=1：2；由此可证得S△ADO=S△ABF，由此可推出S△ADO=.S△ABC，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
14．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC=15，CD=9，EF=6，∠AFE=55°，求∠ADC的度数。
【答案】解：连结BD.
点E，F分别是边AB，AD的中点，
BD=2EF=12，EF∥BD，
∠ADB=∠AFE=55°
BD2+CD2=225，BC2=225，BD2+CD2=BC2
∠BDC=90°
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=145°。
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连接BD，利用已知可证得BD是△ABD的中位线，利用三角形的中位线定理可证得EF∥BD，同时可求出BD的长；利用平行线的性质可求出∠ADB的度数，再利用勾股定理的逆定理证明∠BDC=90°，然后根据∠ADC=∠ADB+∠BDC，代入计算可求出结果.
三、开拓新思路
15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，取BC的中点E，连结DE。
（1）求证：DE∥AC；
（2）若AB=8，AC=12，求DE的长。
【答案】（1）证明：如图，延长BD交AC于点F.
AD平分∠BAC，∠BAD=∠FAD.
AD⊥BF，∴∠BDA=∠FDA.
又∵AD=AD.
△ABD≌△AFD（ASA），∴BD=FD.
又∵E为BC的中点，DE为△BCF的中位线.
DE∥FC，∴DE∥AC
（2）解：由△ABD≌△AFD得AB=AF.
CF=AC-AF=AC-AB=12-8=4.
DE是△BCF的中位线，∴DE=FC=2。
【知识点】三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）延长BD交AC于点F，利用角平分线的定义可证得∠BAD=∠FAD，利用垂直的定义可证得∠BDA=∠FDA，再利用ASA证明△ABD≌△AFD，利用全等三角形的性质可证得BF=FD；再证明DE为△BCF的中位线，利用三角形的中位线定理可证得结论.
（2）利用全等三角形的性质可证得AB=AF，再证明CF=AC-AB，可求出CF的长；再利用三角形的中位线定理可求出DE的长.
1 / 1初中数学浙教版八下精彩练习4.5三角形的中位线
一、A练就好基础
1．如图，为测量池塘岸边A，B两点之间的距离，小亮在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点D，E之间的距离是14米，则A，B两点之间的距离是（ ）
A．18米 B．24米 C．28米 D．30米
2．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
3．（2021·衢州）如图，在 中， ， ， ，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连结DE，EF，则四边形ADEF的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
4．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC的中点。若OE=3cm，则AB的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
5．（2020·宁波）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE=BC，连结DE，F为DE中点，连结BF.若AC=8，BC=6，则BF的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
6．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=18°，则∠PFE的度数是 。
7．如图，点D，E，F分别是△ABC三边上的中点。
（1）若△ABC的周长为6cm，则△DEF的周长为 cm.
（2）若△ABC的面积为12cm2，则△DEF的面积为 cm2.
8．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AD，AB，C BC，CD的中点。
（1）四边形EFGH的形状是 ；
（2）若对角线AC⊥BD，垂足为点O，AC=8，BD=6，则四边形EFGH的周长为 。
9．如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，连结DE，AD，点F在BA的延长线上，且AF=AB，连结EF，判断四边形ADEF的形状，并加以证明。
10．如图，在△ABC中，中线BD，CE相交于点O，F，G分别是OB，OC的中点。
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）连结AO，若BC=7，AO=5，则平行四边形DEFG的周长为 。
二、B更上一层楼
11．如图所示，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC=6，则DF的长是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．4
12．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
13．如图，DE是△ABC的中位线，AF是BC边上的中线，DE，AF交于点O.现有以下结论：
①DE∥BC；②OD=BC；③AO=FO；④S△AOD=S△ABC，其中正确结论的序号为 。
14．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC=15，CD=9，EF=6，∠AFE=55°，求∠ADC的度数。
三、开拓新思路
15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，取BC的中点E，连结DE。
（1）求证：DE∥AC；
（2）若AB=8，AC=12，求DE的长。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AB，
∵点D和点E是OA，OB的中点，
∴DE是△ABO的中位线，
∴DE=AB，
∴AB=2DE=28.
故答案为：C.
【分析】连接AB，易证DE是△ABO的中位线，利用三角形的中位线等于第三边的一半，可求出AB的长.
2．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=60°，
∴∠C=180°-∠B-∠A=180°-60°-50°=70°.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件可证得DE是△ABC的中位线，由此可证得DE∥BC，利用平行线的性质可求出∠B的度数，利用三角形的内角和定理可求出∠C的度数.
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵ ， ， ，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴AD= 2，AF= ，DE、EF为△ABC的中位线，
∴EF= 2，DE== ，
∴四边形ADEF的周长=2+2+ =9，
故答案为：B.
【分析】利用三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可求出EF，DE的长，同时可证得四边形ADEF是平行四边形，即可求出四边形ADEF的周长.
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴OA=OC，
∵点E是BC的中点，
OE是△ABC的中位线，
∴OE=AB，
∴AB=2OE=2×3=6cm.
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质可证得OA=OC，利用已知条件可证得OE是△ABC的中位线，再利用三角形的中位线等于第三边的一半，可求出AB的长.
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴AB= ，
∵CD为中线，
∴CD=AB=5，
∵BE=BC，F为DE中点，
∴BF为△CDF的中位线，
∴BF=CD=2.5，
故答案为：B.
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半求出CD的长，最后结合三角形的中位线定理即可求出BF的长.
6．【答案】18°
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴PF是△BDC的中位线，PE是△ABD的中位线，
∴PF=BC，PE=AD，
∵AD=BC，
∴PF=PE，
∴∠PEF=∠PFE=18°.
故答案为：18°.
【分析】利用已知条件易证明PF是△BDC的中位线，PE是△ABD的中位线，再利用三角形的中位线定理及AD=BC，可证得PF=PE，利用等边对等角可求出∠PFE的度数.
7．【答案】（1）3
（2）3
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）∵点D，E，F分别是△ABC三边上的中点，
∴DE，DF，EF是△ABC的中位线，
∴DE=AC，DF=BC，EF=AB，
∵△ABC的周长为6cm，
∴AB+BC+AC=6cm，
∴△DEF的周长为DE+DF+EF=（AB+BC+AC）=3cm.
故答案为：3.
（2）∵DE，DF，EF是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB，DE=AF=FC，EF=BD=AD，DF=BE=EC，
∴四边形ADEF，四边形DBEF，四边形DECF是平行四边形，
∴△DEF的面积 =S△ABC=×12=3cm2.
故答案为：3.
【分析】（1）利用已知条件可证得DE，DF，EF是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可知DE=AC，DF=BC，EF=AB；再证明△ABC的周长的一半=△DEF的周长的周长，由此可求解.
（2）易证DE，DF，EF是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可证得DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB，DE=AF=FC，EF=BD=AD，DF=BE=EC，可推出四边形ADEF，四边形DBEF，四边形DECF是平行四边形，利用平行四边形的性质可知S△DEF =S△ABC，代入计算可求解.
8．【答案】（1）平行四边形
（2）14
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）点E，F，G，H分别为边AD，AB，C BC，CD的中点，
∴HE是△ADC的中位线，GF是△ABC的中位线，
∴HE=AC，GF=AC，HE∥AC，GF∥AC，
∴HE∥GF，HE=GF，
∴四边形EFGH是平行四边形.
故答案为：平行四边形.
（2）∵HE∥GF∥AC
∵AC⊥BD，
∴BD⊥HE，
同理可证BD⊥EF，
∴HE⊥EF，
∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是矩形，
∵∴HE=AC=4，GH=BD=3，
∴四边形EFGH的周长为2（HE+GH）=2（4+3）=14.
故答案为：14.
【分析】（1）利用已知条件可证得HE是△ADC的中位线，GF是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可证得HE∥GF，HE=GF，再利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
（2）利用有一个角是直角的平行四边形是矩形，可证得四边形EFGH是矩形；再利用三角形的中位线定理可求出HE，GH的长，然后求出此矩形的周长.
9．【答案】解：四边形ADEF是平行四边形.
证明：∵D，E分别是边BC，AC的中点，
DE∥AB，DE=AB.
又AF=AB，∴DE=AF，
四边形ADEF是平行四边形。
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】利用已知条件可证得DE是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可证得 DE∥AB，DE=AB，由此可推出DE=AF，再来呀有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
10．【答案】（1）证明：∵BD，CE是△ABC的中线，
E，D分别是AB，AC的中点，
ED是△ABC的中位线，
ED∥BC，ED=BC
F、G分别是OB，OC的中点，
FG是△OBC的中位线，
FG∥BC，FG=BC，
则FG∥ED，FG=ED，
四边形DEFG是平行四边形.
（2）12
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（2）同理可证EF是△AOB的中位线，GF是△BOC的中位线，
∴EF=AO=2.5，GF=BC=3.5
∴平行四边形DEFG的周长为2（EF+GF）=2（2.5+3.5）=12.
故答案为：12.
【分析】（1）利用三角形中线的定义可证得ED是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可证得 ED∥BC，ED=BC ；同理可证FG∥BC，FG=BC，由此可推出 FG∥ED，FG=ED，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
（2）同理可证EF是△AOB的中位线，GF是△BOC的中位线，利用三角形的中位线定理可求出EF，GF的长，然后根据平行四边形DEFG的周长为2（EF+GF），代入计算可求解.
11．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是BC，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，DB=BC=3；
∴DE∥AB，
∴∠ABF=∠BFD，
∵ BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠DBF，
∴∠DBF=∠BFD，
∴BD=DF=3.
故答案为：B.
【分析】利用中点的定义可证得DE是△ABC的中位线，同时可求出DB的长；再利用三角形的中位线定理可证得DE∥AB，利用平行线的性质和角平分线的定义去证明∠DBF=∠BFD；然后利用等角对等边，可求出DF的长.
12．【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BD，DN，
在Rt△ABD中，
；
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△MDN的中位线，
∴EF=DN，
当点N和点B重合时，DN的长最大，
此时EF的长最大，
∴EF的最大值为BD=3.
故答案为：A.
【分析】连接BD，DN，利用勾股定理求出BD的长；再证明EF是△MDN的中位线，利用三角形的中位线定理可证得EF=DN，要使EF的值最大，则当点N和点B重合时，DN的长最大，由此可求出EF的最大值.
13．【答案】①②③
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴ED∥BC，DE=BC，故①正确；
∵ED∥BC，点D是AB的中点，
∴O是AF的中点，
∴DO是△ABF的中位线，AO=FO，故③正确；
∴DO=DF=BC，故②正确；
∵AF是△ABC的中线，
∴S△ABF=S△ABC；
∵DO是△ABF的中线，
∴△ADO和△ABF的高之比为1：2，OD：BF=1：2，
∴S△ADO=S△ABF，
∴S△ADO=S△ABC=.S△ABC，故④错误.
∴正确结论的序号为①②③.
故答案为：①②③.
【分析】利用三角形的中位线定理可证得D∥BC，DE=BC，可对①作出判断；同时可证得O是AF的中点，利用线段中点的定义可证得AO=FO，可对③作出判断；再证明DO是△ABF的中位线，利用中位线定理可证得OD与BC之间的数量关系，可对②作出判断；利用三角形的中线可知S△ABF=S△ABC；再证明△ADO和△ABF的高之比为1：2，OD：BF=1：2；由此可证得S△ADO=S△ABF，由此可推出S△ADO=.S△ABC，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
14．【答案】解：连结BD.
点E，F分别是边AB，AD的中点，
BD=2EF=12，EF∥BD，
∠ADB=∠AFE=55°
BD2+CD2=225，BC2=225，BD2+CD2=BC2
∠BDC=90°
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=145°。
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连接BD，利用已知可证得BD是△ABD的中位线，利用三角形的中位线定理可证得EF∥BD，同时可求出BD的长；利用平行线的性质可求出∠ADB的度数，再利用勾股定理的逆定理证明∠BDC=90°，然后根据∠ADC=∠ADB+∠BDC，代入计算可求出结果.
15．【答案】（1）证明：如图，延长BD交AC于点F.
AD平分∠BAC，∠BAD=∠FAD.
AD⊥BF，∴∠BDA=∠FDA.
又∵AD=AD.
△ABD≌△AFD（ASA），∴BD=FD.
又∵E为BC的中点，DE为△BCF的中位线.
DE∥FC，∴DE∥AC
（2）解：由△ABD≌△AFD得AB=AF.
CF=AC-AF=AC-AB=12-8=4.
DE是△BCF的中位线，∴DE=FC=2。
【知识点】三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）延长BD交AC于点F，利用角平分线的定义可证得∠BAD=∠FAD，利用垂直的定义可证得∠BDA=∠FDA，再利用ASA证明△ABD≌△AFD，利用全等三角形的性质可证得BF=FD；再证明DE为△BCF的中位线，利用三角形的中位线定理可证得结论.
（2）利用全等三角形的性质可证得AB=AF，再证明CF=AC-AB，可求出CF的长；再利用三角形的中位线定理可求出DE的长.
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