初中数学浙教版八下精彩练习4.2平行四边形及其性质（3）
一、A练就好基础
1．如图，O为 ABCD的两条对角线的交点，图中全等的三角形有 （ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
2．平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对边平行 D．对边相等
3．如图所示， ABCD的对角线AC，BD交于点O，若BC=5cm，AC=8cm，BD=4cm，则△AOD的周长是（ ）
A．17cm B．13cm C．11cm D．9cm
4．如图所示，平行四边形ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长是（ ）
A．14cm B．12cm C．10cm D．8cm
5．有长度分别为6cm，8cm，10cm的铁丝三根，取其中一根作为边，另外两根作为对角线。下列取法中，能搭成一个平行四边形的是（ ）
A．取10cm长的铁丝为边 B．取8cm长的铁丝为边
C．取6cm长的铁丝为边 D．任意取一根铁丝为边均可
6．周长为48cm的 □ ABCD的对角线AC，BD交于点O，△ABO和△ADO的周长相差4cm，那么这个平行四边形较短的边长为 cm。
7．在 □ ABCD中，两条对角线交于点O，若 □ ABCD的面积为12，则△AOB的面积为 。
8．（2018·临沂）如图，在 ABCD中，AB=10，AD=6，AC⊥BC．则BD= ．
9．（2018·衡阳）如图， ABCD的对角线相交于点O，且AD CD，过点O作OM AC，交AD于点M．如果 CDM的周长为8，那么 ABCD的周长是 ．
10．（2018·大连）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF=CE．
求证：BE=DF．
二、B更上一层楼
11．如图1，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB上，且四边形AEBF是平行四边形，请用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线，小明的作法如图2，判断小明的作法是否正确，并说明理由。
12．如图所示， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为点E，AB=，AC=2，BD=4.
（1）求证：AB⊥AC；
（2）求AE的长.
13．如图所示，在 □ ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作一条直线分别交AB，CD于点E，F.
（1）求证：OE=OF；
（2）若四边形BCFE的周长为15，AB=6，BC=5，求OE的长.
三、C开拓新思路
14．
（1）如图，四边形ABCD是李爷爷家的一块平行四边形田地，P为水井，现要把这块田地平均分给他的两个儿子，为了方便用水，要求两个儿子分到的地都与水井相邻，请你来设计一下，并说明你的理由。
（2）规律总结：回顾第13题和第14题第（1）问发现：能够平分平行四边形面积与周长的直线有 条，它们的共同特点是经过 的交点。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，OB=OD，
在△ADC和△ABC中，
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），同理△ABD≌△CBD，
在△AOD和△BOC中，
∴△AOD≌△BOC（SAS），同理△AOB≌△COD，
综上，共有4对全等三角形.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，OA=OC，OB=OD，然后利用SSS证明△ADC≌△ABC，同理得出△ABD≌△CBD，再利用SAS证明△AOD≌△BOC，同理△AOB≌△COD，即可作答.
2．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：AB、平行四边形对角线互相平分，但不一定相等，故A错，符合题意，B正确，不符合题意；
CD、平行四边形对边平行且相等，正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质，即对边平行且相等，对角线互相平分，分别判断，即可作答.
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AD=BC=5cm，
∴OA+OD=（AC+BD）=6，
∴△AOD的周长=OA+OD+AD=6+5=11cm.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，AD=BC，则可求出OA和OD的长度之和，最后求△AOD的周长即可.
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长=28cm，
∴AB+BC=14cm，
∴AC=22-14=8cm.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质，结合平行四边形ABCD的周长求出AB和BC的长度之和，再结合△ABC的周长，即可求出AC的长.
5．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：A、取10cm长的铁丝为边，∵×6=3，× 8=4， 3+4<10，不能构成三角形，则不能构成平行四边形，错误；
B、 取8cm长的铁丝为边，∵×6=3，× 10=5， 3+5<10，不能构成三角形，则不能构成平行四边形，错误；
C、 取6cm长的铁丝为边 ， ∵×8=4，× 10=5， 4+5>6，能构成三角形，则能构成平行四边形，正确；
D、 任意取一根铁丝为边，不一定能构成三角形，则不一定能构成平行四边形，错误；
故答案为：C.
【分析】先根据平行四边形的性质求出两个对角线长的一半，再根据三角形三边之间的关系判断两条对角线长的一半和一边能否组成三角形，从而判断能否构成平行四边形.
6．【答案】10
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设较长的边为AB，较短的边为AD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵△ABO和△ADO周长相差4cm，
∴C△ABO=AB+BO+AO，C△ADO=AD+DO+AO，
∴AB-AD=4cm，
又2（AB+AD）=48，即AB+AD=24cm，
解得：AB=14cm，AD=10cm，
故答案为：10.
【分析】设较长的边为AB，较短的边为AD，根据平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，结合两个三角形的周长之差，求出AB-AD=4cm，再由平行四边形的周长求出AB+AD=24cm，两式联立即可解答.
7．【答案】3
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图，
∵OA=OC，OB=OD，
∴S△AOD=S△COD（等底同高），同理S△AOB=S△COB，
∵S△ACD=S△ABC（等底等高），
∴S△AOD=S△COD=S△AOB=S△COB=S ABCD=3.
故答案为：3.
【分析】根据平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，然后根据等底同高得出△AOD和△COD面积相等，△AOB和△COB面积相等，则可推出 △AOB的面积为ABCD的面积的，即可解答.
8．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，OB=OD，OA=OC，
∵AC⊥BC，
∴AC= =8，
∴OC=4，
∴OB= =2 ，
∴BD=2OB=4
故答案为：4 ．
【分析】利用平行四边形的性质，可得出BC=AD=6，OB=OD，OA=OC，再利用勾股定理求出AC的长，就可得出OC的长，然后利用勾股定理求出OB，就可得出BD的长。
9．【答案】16
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵OM⊥AC，
∴AM=CM，
∵△CDM的周长为8，
∴CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=8，
∴平行四边形ABCD的周长是：2×8=16.
故答案为:16.
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分得出OA=OC，根据过线段的中点且垂直于线段的直线就是线段的中垂线，得出OM是AC的中垂线，再根据中垂线上的点到线段两个端点的距离相等得出AM=CM，从而根据三角形的周长计算方法及线段的和差，等量代换得出CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=8，最后根据平行四边形的周长等于两邻边和的2倍即可算出答案。
10．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OD=OB．
∵AE=CF，∴OE=OF．在△BEO和△DFO中， ，∴△BEO≌△DFO，∴BE=DF．
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的对角线互相平分得出OA=OC，OD=OB，又AF=CE，根据等量减去等量差相等得出OE=OF，然后利用SAS判断出△BEO≌△DFO，根据全等三角形的对应边相等得出结论，BE=DF．
11．【答案】解：小明的作法正确.
理由：设AB，EF的交点为C.
∵四边形AEBF是平行四边形，
∴CA=CB
又∵OA=OB，
OC是∠AOB的平分线。
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的对角线互相平分得出CA=CB，结合OA=OB，则由等腰三角形三线合一的性质得出OC是∠AOB的平分线.
12．【答案】（1）证明：∵AC=2，BD=4，四边形ABCD是平行四边形，
AO=AC=1，BO=BD=2.
∵AB=，
∴AB2+AO2=BO2，
∠BAC=90°，
∴AB⊥AC
（2）解：在Rt△BAC中，
BC===
S△BAC=AB·AC=BC·AE，
×2=AE，AE=
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质求出OA和OB的长，然后利用勾股定理的逆定理求出△BAO为直角三角形，即可得证；
(2)先根据勾股定理求出BC长，然后在Rt△BAC中，根据等积法求出AE长即可.
13．【答案】（1）证明：在 □ ABCD中，
∵AC与BD相交于点O，
∴OA=OC，AB∥CD.
∠OAE=∠OCF
在△OAE和△OCF中，
∵
∴△OAE≌△OCF（ASA），∴OE=OF.
（2）解：∵△OAE≌△OCF，
CF=AE，∴BE+CF=AB=6
又∵四边形BCFE的周长=BE+CF+EF+BC=15，
EF=2OE=4，
∴OE=2.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质求出OA=OC，∠OAE=∠OCF，然后利用ASA证明△OAE≌△OCF，即可得出OE=OF；
(2)先根据全等三角形的性质求出CF=AE， 然后根据线段的和差关系求出BE+CF的长，结合四边形BCFE的周长求出EF长，即可求出OE长.
14．【答案】（1）解：如图，连结AC，BD，AC与BD交于点O，过点O，P作直线分别交BC，AD于点E，F，则线段EF分割的这两块田地符合要求。
（2）无数；对角线
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】(1)连结AC，BD，AC与BD交于点O，过点O，P作直线分别交BC，AD于点E，F，利用平行四边形是中心对称图形， 得出分割出的六个三角形面积有三对分别相等，则线段EF分割的这两块田地符合要求；
(2)由于平行四边形是中心对称图形，对称中心是平行四边形的对角线的交点，根据中心对称图形的性质或全等三角形的性质，即可说明.
1 / 1初中数学浙教版八下精彩练习4.2平行四边形及其性质（3）
一、A练就好基础
1．如图，O为 ABCD的两条对角线的交点，图中全等的三角形有 （ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，OB=OD，
在△ADC和△ABC中，
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），同理△ABD≌△CBD，
在△AOD和△BOC中，
∴△AOD≌△BOC（SAS），同理△AOB≌△COD，
综上，共有4对全等三角形.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，OA=OC，OB=OD，然后利用SSS证明△ADC≌△ABC，同理得出△ABD≌△CBD，再利用SAS证明△AOD≌△BOC，同理△AOB≌△COD，即可作答.
2．平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对边平行 D．对边相等
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：AB、平行四边形对角线互相平分，但不一定相等，故A错，符合题意，B正确，不符合题意；
CD、平行四边形对边平行且相等，正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质，即对边平行且相等，对角线互相平分，分别判断，即可作答.
3．如图所示， ABCD的对角线AC，BD交于点O，若BC=5cm，AC=8cm，BD=4cm，则△AOD的周长是（ ）
A．17cm B．13cm C．11cm D．9cm
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AD=BC=5cm，
∴OA+OD=（AC+BD）=6，
∴△AOD的周长=OA+OD+AD=6+5=11cm.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，AD=BC，则可求出OA和OD的长度之和，最后求△AOD的周长即可.
4．如图所示，平行四边形ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长是（ ）
A．14cm B．12cm C．10cm D．8cm
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长=28cm，
∴AB+BC=14cm，
∴AC=22-14=8cm.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质，结合平行四边形ABCD的周长求出AB和BC的长度之和，再结合△ABC的周长，即可求出AC的长.
5．有长度分别为6cm，8cm，10cm的铁丝三根，取其中一根作为边，另外两根作为对角线。下列取法中，能搭成一个平行四边形的是（ ）
A．取10cm长的铁丝为边 B．取8cm长的铁丝为边
C．取6cm长的铁丝为边 D．任意取一根铁丝为边均可
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：A、取10cm长的铁丝为边，∵×6=3，× 8=4， 3+4<10，不能构成三角形，则不能构成平行四边形，错误；
B、 取8cm长的铁丝为边，∵×6=3，× 10=5， 3+5<10，不能构成三角形，则不能构成平行四边形，错误；
C、 取6cm长的铁丝为边 ， ∵×8=4，× 10=5， 4+5>6，能构成三角形，则能构成平行四边形，正确；
D、 任意取一根铁丝为边，不一定能构成三角形，则不一定能构成平行四边形，错误；
故答案为：C.
【分析】先根据平行四边形的性质求出两个对角线长的一半，再根据三角形三边之间的关系判断两条对角线长的一半和一边能否组成三角形，从而判断能否构成平行四边形.
6．周长为48cm的 □ ABCD的对角线AC，BD交于点O，△ABO和△ADO的周长相差4cm，那么这个平行四边形较短的边长为 cm。
【答案】10
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设较长的边为AB，较短的边为AD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵△ABO和△ADO周长相差4cm，
∴C△ABO=AB+BO+AO，C△ADO=AD+DO+AO，
∴AB-AD=4cm，
又2（AB+AD）=48，即AB+AD=24cm，
解得：AB=14cm，AD=10cm，
故答案为：10.
【分析】设较长的边为AB，较短的边为AD，根据平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，结合两个三角形的周长之差，求出AB-AD=4cm，再由平行四边形的周长求出AB+AD=24cm，两式联立即可解答.
7．在 □ ABCD中，两条对角线交于点O，若 □ ABCD的面积为12，则△AOB的面积为 。
【答案】3
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图，
∵OA=OC，OB=OD，
∴S△AOD=S△COD（等底同高），同理S△AOB=S△COB，
∵S△ACD=S△ABC（等底等高），
∴S△AOD=S△COD=S△AOB=S△COB=S ABCD=3.
故答案为：3.
【分析】根据平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，然后根据等底同高得出△AOD和△COD面积相等，△AOB和△COB面积相等，则可推出 △AOB的面积为ABCD的面积的，即可解答.
8．（2018·临沂）如图，在 ABCD中，AB=10，AD=6，AC⊥BC．则BD= ．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，OB=OD，OA=OC，
∵AC⊥BC，
∴AC= =8，
∴OC=4，
∴OB= =2 ，
∴BD=2OB=4
故答案为：4 ．
【分析】利用平行四边形的性质，可得出BC=AD=6，OB=OD，OA=OC，再利用勾股定理求出AC的长，就可得出OC的长，然后利用勾股定理求出OB，就可得出BD的长。
9．（2018·衡阳）如图， ABCD的对角线相交于点O，且AD CD，过点O作OM AC，交AD于点M．如果 CDM的周长为8，那么 ABCD的周长是 ．
【答案】16
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵OM⊥AC，
∴AM=CM，
∵△CDM的周长为8，
∴CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=8，
∴平行四边形ABCD的周长是：2×8=16.
故答案为:16.
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分得出OA=OC，根据过线段的中点且垂直于线段的直线就是线段的中垂线，得出OM是AC的中垂线，再根据中垂线上的点到线段两个端点的距离相等得出AM=CM，从而根据三角形的周长计算方法及线段的和差，等量代换得出CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=8，最后根据平行四边形的周长等于两邻边和的2倍即可算出答案。
10．（2018·大连）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF=CE．
求证：BE=DF．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OD=OB．
∵AE=CF，∴OE=OF．在△BEO和△DFO中， ，∴△BEO≌△DFO，∴BE=DF．
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的对角线互相平分得出OA=OC，OD=OB，又AF=CE，根据等量减去等量差相等得出OE=OF，然后利用SAS判断出△BEO≌△DFO，根据全等三角形的对应边相等得出结论，BE=DF．
二、B更上一层楼
11．如图1，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB上，且四边形AEBF是平行四边形，请用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线，小明的作法如图2，判断小明的作法是否正确，并说明理由。
【答案】解：小明的作法正确.
理由：设AB，EF的交点为C.
∵四边形AEBF是平行四边形，
∴CA=CB
又∵OA=OB，
OC是∠AOB的平分线。
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的对角线互相平分得出CA=CB，结合OA=OB，则由等腰三角形三线合一的性质得出OC是∠AOB的平分线.
12．如图所示， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为点E，AB=，AC=2，BD=4.
（1）求证：AB⊥AC；
（2）求AE的长.
【答案】（1）证明：∵AC=2，BD=4，四边形ABCD是平行四边形，
AO=AC=1，BO=BD=2.
∵AB=，
∴AB2+AO2=BO2，
∠BAC=90°，
∴AB⊥AC
（2）解：在Rt△BAC中，
BC===
S△BAC=AB·AC=BC·AE，
×2=AE，AE=
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质求出OA和OB的长，然后利用勾股定理的逆定理求出△BAO为直角三角形，即可得证；
(2)先根据勾股定理求出BC长，然后在Rt△BAC中，根据等积法求出AE长即可.
13．如图所示，在 □ ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作一条直线分别交AB，CD于点E，F.
（1）求证：OE=OF；
（2）若四边形BCFE的周长为15，AB=6，BC=5，求OE的长.
【答案】（1）证明：在 □ ABCD中，
∵AC与BD相交于点O，
∴OA=OC，AB∥CD.
∠OAE=∠OCF
在△OAE和△OCF中，
∵
∴△OAE≌△OCF（ASA），∴OE=OF.
（2）解：∵△OAE≌△OCF，
CF=AE，∴BE+CF=AB=6
又∵四边形BCFE的周长=BE+CF+EF+BC=15，
EF=2OE=4，
∴OE=2.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质求出OA=OC，∠OAE=∠OCF，然后利用ASA证明△OAE≌△OCF，即可得出OE=OF；
(2)先根据全等三角形的性质求出CF=AE， 然后根据线段的和差关系求出BE+CF的长，结合四边形BCFE的周长求出EF长，即可求出OE长.
三、C开拓新思路
14．
（1）如图，四边形ABCD是李爷爷家的一块平行四边形田地，P为水井，现要把这块田地平均分给他的两个儿子，为了方便用水，要求两个儿子分到的地都与水井相邻，请你来设计一下，并说明你的理由。
（2）规律总结：回顾第13题和第14题第（1）问发现：能够平分平行四边形面积与周长的直线有 条，它们的共同特点是经过 的交点。
【答案】（1）解：如图，连结AC，BD，AC与BD交于点O，过点O，P作直线分别交BC，AD于点E，F，则线段EF分割的这两块田地符合要求。
（2）无数；对角线
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】(1)连结AC，BD，AC与BD交于点O，过点O，P作直线分别交BC，AD于点E，F，利用平行四边形是中心对称图形， 得出分割出的六个三角形面积有三对分别相等，则线段EF分割的这两块田地符合要求；
(2)由于平行四边形是中心对称图形，对称中心是平行四边形的对角线的交点，根据中心对称图形的性质或全等三角形的性质，即可说明.
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