初中数学浙教版八下精彩练习3.3方差和标准差
一、A练就好基础
1.体育课上,某班两名同学分别进行了5次短跑训练,要判断哪一名同学的成绩比较稳定,通常需要比较两名同学成绩的( )
A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差
2.已知一组数据的方差是3,则这组数据的标准差是( )
A.9 B.3 C. D.
3.设x1,x2,…,xn的平均数为,方差为S2,若S2=0,那么( )
A.x1=x2=…=xn,=0 B.=0
C.x1=x2=x3=…=xn D.中位数为0
4.(2017·六盘水模拟)甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表:
选手 甲 乙 丙 丁
平均数(环) 9.2 9.2 9.2 9.2
方差(环2) 0.035 0.015 0.025 0.027
则这四人中成绩发挥最稳定的是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
5.数据-2,3,0,1,3的方差是 。
6.如果样本方差S2=[x1-2)2+(x2-2)2+(x3-2)2+(x4-2)2]那么这个样本的平均数为 ,样本容量为 。
7.甲、乙两位同学在10次定点投篮训练中(每次训练投8个),各次训练成绩(投中个数)的折线统计图如图所示,他们成绩的方差分别为S甲2与S乙2,则S甲2 S乙2。(填“>”“=”或“<”)
8.为迎接体育测试,小强每天坚持引体向上锻炼,他记录了某一周每天做引体向上的个数,如下表:
其中有三天的个数被墨汁覆盖了,但小强已经计算出这组数据唯一的众数是13,平均数是12,那么这组数据的方差是 。
9.甲、乙两名同学5次数学成绩的统计如表所示,他们的5次总成绩相同,现要从甲、乙两名同学中选择一名同学去参加比赛,小明根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图。
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲成绩 90 40 70 40 60
乙成绩 70 50 70 a 70
请完成下列问题:
(1)a= ,乙= 。
(2)请完成下图中表示乙成绩变化情况的折线图。
(3)S甲2=360,则乙成绩的方差是 ,可看出 同学的成绩比较稳定(填“甲”或“乙”)。从平均数和方差的角度分析, 同学将被选中。
二、B更上一层楼
10.为挑选一名参加区运会跳远比赛的运动员,教练对甲、乙两名选手一段时间内的测试成绩进行了跟踪分析。下列情况中,能说明甲被选中的原因是( )
A.,S甲2>S乙2 B.,S甲2<乙2
C.,S甲2>S乙2 D.,S甲2>乙2
11. 超市货架上有一批大小不一的鸡蛋,某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋,设货架上原有鸡蛋的质量(单位:g)平均数和方差分别为,S2,该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差分别为,S12,则下列结论一定成立的是 ( )
A. B. C.S2>S12 D.S2<S12
12.小明利用公式S2=[(5-)2+(8-)2+(4-)2+(7-)2+(6-)2]计算5个数据的方差,则这5个数据的标准差S的值是 。
13.某排球队6名场上队员的身高(单位:cm)是180,184,188,190,192,194.现用一名身高为186cm的队员换下场上身高为192cm的队员,与换人前相比,场上队员身高的方差会变化吗?通过计算说明你的理由。
14.一次期中考试中,A,B,C,D,E五位同学的数学、英语成绩有如下信息:
A B C D E 平均分 方差
数学 71 72 69 68 70 ____ 2
英语 88 82 94 85 76 85 ____
(1)求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的方差;
(2)为了比较不同学科考试成绩的好与差,采用标准分是一个合理的选择,标准分的计算公式是:
标准分=从标准分看,标准分大的考试成绩更好,请问A同学在本次考试中,数学与英语哪个学科考得更好?
三、开拓新思路
15.
(1)已知三组数据,通过计算完成填表:
数据 平均数 方差
1,2,3,4,5
11,12,13,14,15
3,6,9,12,15
(2)【分析数据】请你比较三组数据的大小及统计量的结果,写出其中一些规律性的结论。
(3)【解决问题】请你用发现的结论来解决以下的问题。
已知数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为a,方差为b,则
(1)数据x1+3,x2+3,x3+3,…,xn+3的平均数为 ,方差为 。
(2)数据x1-3,x2-3,x3-3,…,xn-3的平均数为 ,方差为 。
(3)数据3x1,3x2,3x3,…,3xn的平均数为 方差为 。
(4)数据2x1-3,2x2-3,2x3-3,…,2xn-3的平均数为 ,方差为 。
答案解析部分
1.【答案】D
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解:∵一组数据的方差反应的是数据的稳定性,
∴通过比较他们5次短跑训练成绩的方差,
故答案为:D.
【分析】根据方差的意义:是反应一组数据波动(稳定)的量,方差越大表面这组数据波动越大,即越不稳定,反之也成立.所以要判断这两位同学5次的成绩比较稳定,只需要比较5次短跑训练成绩的方差即可.
2.【答案】D
【知识点】方差
【解析】解答:∵数据的方差是S2=3,
∴这组数据的标准差是
选D.
分析:根据标准差是方差的算术平方根,即可得出答案
3.【答案】C
【知识点】平均数及其计算;中位数;方差
【解析】【解答】解:∵x1,x2,…xn的平均数为x,方差为s2,s2=0,
∴每个数与平均数的差都为0,
∴x1=x2=x3=…=xn,
故答案为:C.
【分析】根据x1,x2,…xn的平均数为x,方差为s2,s2=0,得出每个数与平均数的差都为0,即可得出答案.
4.【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解:因为S甲2>S丁2>S丙2>S乙2,方差最小的为乙,所以本题中成绩比较稳定的是乙.
故选B.
【分析】根据方差的定义,方差越小数据越稳定.
5.【答案】3.6
【知识点】方差
【解析】【解答】解:∵这组数据的平均数=(-2+3+0+1+3)÷5=1,
∴方差s2=
=3.6,
故答案为:3.6
【分析】先根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数,再利用方差的计算公式求出方差即可.
6.【答案】2;4
【知识点】总体、个体、样本、样本容量;平均数及其计算;方差
【解析】【解答】解:∵S2=[x1-2)2+(x2-2)2+(x3-2)2+(x4-2)2],
∴这个个样本的平均数为2,样本容量为4,
故答案为2;4.
【分析】先根据方差公式 S2=[x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]中所有字母所代表的意义以及方差的意义进行解答即可.
7.【答案】<
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解:∵从折线统计图中可以知乙同学的成绩波动比甲同学的成绩波动性大,
∴S甲2 < S乙2 .
故答案为:<.
【分析】利用折线统计图可判断乙同学的成绩波动性比较大,然后根据方差的意义可推断出甲乙同学成绩方差的大小关系.
8.【答案】
【知识点】平均数及其计算;方差;众数
【解析】【解答】解:∵平均数为12,
∴这组数据的和=12×7=84,
所以被墨汁覆盖的数的和=84-11-12-13-12=36,
又∵这组数据的众数为13,
∴被覆盖的三个数为:10,13,13,
所以这组数据的方差s2=
=.
故答案为:.
【分析】根据已知条件可推出被墨汁覆盖的三个数是10,13,13,再根据方差公式进行计算即可.
9.【答案】(1)40;60
(2)解:如图所示。
(3)160;乙;乙
【知识点】平均数及其计算;方差;分析数据的波动程度
【解析】【解答】解:(1)∵他们的5次总成绩相同,
∴90+40+70+40+60=70+50+70+a+70,解得a=40,
乙=(70+50+70+40+70)=60,
故答案为:40,60
(3)S乙2=[(70-60)2+(50-60)2+(70-60)2+(40-60)2+(70-60)2]=160。
∵S乙2甲2,∴乙的成绩比较稳定;从平均数和方差的角度分析,乙将被选中;
故答案为:160,乙,乙
【分析】(1)根据题意和平均数的计算公式进行计算即可;
(2)根据(1)中求出的a值,完成图中表示乙成绩的变化情况的折线;
(3)根据方差的计算公式进行计算,并根据平均数和方差的意义进行判断即可.
10.【答案】B
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解:由题意“甲被选中”可知,甲的平均成绩应该大于乙平均成绩,且甲的成绩的波动性小于乙的成绩波动性小
即,S甲2<乙2
故答案为:B.
【分析】根据平均数和方差的意义进行分析判断即可.
11.【答案】C
【知识点】方差;分析数据的波动程度
【解析】【解答】解:∵顾客从超市的货架的一批鸡蛋中选购了部分大小均匀的鸡蛋,
∴货架上原有的鸡蛋质量的方差大于顾客选购的鸡蛋质量的方差,即 S2 > S12,
故答案为:C.
【分析】根据方差的意义可知,方差越大,则平均值的离散程度越大,即稳定性小;方差越小,则它与平均值的离散程度越小,即稳定性越好.
12.【答案】
【知识点】方差;标准差
【解析】【解答】解:∵这5个数据的平均数=(5+8+4+7+6)÷5=6,
∴方差s2==2,
∴s==,
故答案为:.
【分析】先根据平均数的定义求出平均数,再代入方差公式求出方差,最后求出方差的算数平方根即为标准差值.
13.【答案】.解:场上队员身高的方差会变小。
原数据的平均数为
==188(cm),
则原数据的方差为
S2=×[(180-188)2+(184-188)2+(188-188)2+(190-188)2+(192-188)2+(194-188)2]=(cm2)
新数据的平均数为
1==187(cm),
则新数据的方差为
S1=×[(180-187)2+(184-187)2+(188-187)2+(190-187)2+(186-187)2+(194-187)2]=(cm2)
所以,与换人前相比,场上队员身高的方差会变小。
【知识点】方差
【解析】【分析】根据平均数公式先分别求出原数据和替换身高后新数据的平均身高,再利用方差计算公式分别求出原身高数据和新身高数据的方差,比较方差大小即可.
14.【答案】(1)解:数学平均分=(71+72+69+68+70)÷5=70;
英语成绩的方差为:=36;
(2)解:A同学数学标准分为=,
A同学英语标准分为=.
>,A同学在本次考试中,数学学科考得更好。
【知识点】平均数及其计算;方差;标准差
【解析】【分析】(1)将五位同学的数学成绩加和后再除以5,即可求出五位同学数学成绩的平均数;将五位同学的英语成绩与其平均分差的平方和再除以5,即可求出五位同学英语成绩的方差;
(2)根据标准分的计算公式:标准分=(个人成绩-平均成绩)÷标准差,标准差为方差的算术平方根,结合(1)中求出的平均成绩,代入数据分别求出A同学数学和英语的标准分,再进行比较即可.
15.【答案】(1)解:1,2,3,4,5 这五个数的平均数为:(1+2+3+4+5)÷5=3,
方差为:÷5=2,
11,12,13,14,15 这五个数的平均数为:(11+12+13+14+15)÷5=13,
方差为:÷5=2,
3,6,9,12,15 这五个数的平均数为:(3+6+9+12+15)÷5=9,
方差为:÷5=18,
故补充表格如下,
数据 平均数 方差
1,2,3,4,5 3 2
11,12,13,14,15 13 2
3,6,9,12,15 9 18
(2)解:一组数据的每个数据加上或减去同一常数,则平均数也加上或减去这个常数,而方差不变;一组数据的每个数据扩大到原来的n倍或缩小为原来的,则平均数也扩大到原来的n倍或缩小为原来的,而方差扩大到原来的n2倍或缩小为原来的.
(3)a+3;b;a-3;b;3a;9b;2a-3;4b
【知识点】平均数及其计算;方差
【解析】【解答】解:(3)①利用(2)规律:
一组数据的每个数据加上同一常数,则平均数也加上这个常数,而方差不变,
∵数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为a,方差为b ,
∴x1+3,x2+3,x3+3,…,xn+3的平均数为a+3,方差为b;
②利用(2)中规律:
一组数据的每个数据减去同一常数,则平均数也减去这个常数,而方差不变,
∵数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为a,方差为b ,
∴x1-3,x2-3,x3-3,…,xn-3的平均数为a-3,方差为b;
③利用(2)中规律:
一组数据的每个数据扩大到原来的n倍,则平均数也扩大到原来的n倍,而方差扩大到原来的n2倍,
∵数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为a,方差为b ,
∴数据3x1,3x2,3x3,…,3xn的平均数为3a,方差为9b;
④∵数据2x1-3,2x2-3,2x3-3,…,2xn-3为原数据先扩大2倍后,再每个数据减3,
∴利用(2)中规律,可得:
平均数为2a-3,方差为4b.
故答案为: a+3 , b ; a-3 , b ; 3a , 9b ; 2a-3 , 4b .
【分析】(1)根据平均数定义:一组数据中所有数据的和再除以数据个数,即可求出三组数据的平均数;根据方差的定义:各个数据同平均数差的平方之和,再除以个数,即可求出三组数据的方差;
(2)分析数据:观察(1)中三组数据的的变化特征,结合已求出的平均数和方差值,分析所得平均数和方差可得:一组数据的每个数据加上或减去同一常数,则平均数也加上或减去这个常数,而方差不变;一组数据的每个数据扩大到原来的n倍或缩小为原来的,则平均数也扩大到原来的n倍或缩小为原来的,而方差扩大到原来的n2倍或缩小为原来的;
(3)解决问题:
①和②直接利用(2)中分析数据中得出的规律性结论:一组数据的每个数据加上或减去同一常数,则平均数也加上或减去这个常数,而方差不变,即可求出平均数和方差的值;
③直接利用(2)中分析数据中得出的规律性结论:一组数据的每个数据扩大到原来的n倍,则平均数也扩大到原来的n倍,而方差扩大到原来的n2倍,即可求出出平均数和方差的值;
④将(2)中分析数据中得出的规律性结论: 一组数据的每个数据扩大到原来的n倍和一组数据的每个数据减去同一常数,结合判断,即可求出这组数据的平均数和方差的值.
1 / 1初中数学浙教版八下精彩练习3.3方差和标准差
一、A练就好基础
1.体育课上,某班两名同学分别进行了5次短跑训练,要判断哪一名同学的成绩比较稳定,通常需要比较两名同学成绩的( )
A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差
【答案】D
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解:∵一组数据的方差反应的是数据的稳定性,
∴通过比较他们5次短跑训练成绩的方差,
故答案为:D.
【分析】根据方差的意义:是反应一组数据波动(稳定)的量,方差越大表面这组数据波动越大,即越不稳定,反之也成立.所以要判断这两位同学5次的成绩比较稳定,只需要比较5次短跑训练成绩的方差即可.
2.已知一组数据的方差是3,则这组数据的标准差是( )
A.9 B.3 C. D.
【答案】D
【知识点】方差
【解析】解答:∵数据的方差是S2=3,
∴这组数据的标准差是
选D.
分析:根据标准差是方差的算术平方根,即可得出答案
3.设x1,x2,…,xn的平均数为,方差为S2,若S2=0,那么( )
A.x1=x2=…=xn,=0 B.=0
C.x1=x2=x3=…=xn D.中位数为0
【答案】C
【知识点】平均数及其计算;中位数;方差
【解析】【解答】解:∵x1,x2,…xn的平均数为x,方差为s2,s2=0,
∴每个数与平均数的差都为0,
∴x1=x2=x3=…=xn,
故答案为:C.
【分析】根据x1,x2,…xn的平均数为x,方差为s2,s2=0,得出每个数与平均数的差都为0,即可得出答案.
4.(2017·六盘水模拟)甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表:
选手 甲 乙 丙 丁
平均数(环) 9.2 9.2 9.2 9.2
方差(环2) 0.035 0.015 0.025 0.027
则这四人中成绩发挥最稳定的是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解:因为S甲2>S丁2>S丙2>S乙2,方差最小的为乙,所以本题中成绩比较稳定的是乙.
故选B.
【分析】根据方差的定义,方差越小数据越稳定.
5.数据-2,3,0,1,3的方差是 。
【答案】3.6
【知识点】方差
【解析】【解答】解:∵这组数据的平均数=(-2+3+0+1+3)÷5=1,
∴方差s2=
=3.6,
故答案为:3.6
【分析】先根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数,再利用方差的计算公式求出方差即可.
6.如果样本方差S2=[x1-2)2+(x2-2)2+(x3-2)2+(x4-2)2]那么这个样本的平均数为 ,样本容量为 。
【答案】2;4
【知识点】总体、个体、样本、样本容量;平均数及其计算;方差
【解析】【解答】解:∵S2=[x1-2)2+(x2-2)2+(x3-2)2+(x4-2)2],
∴这个个样本的平均数为2,样本容量为4,
故答案为2;4.
【分析】先根据方差公式 S2=[x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]中所有字母所代表的意义以及方差的意义进行解答即可.
7.甲、乙两位同学在10次定点投篮训练中(每次训练投8个),各次训练成绩(投中个数)的折线统计图如图所示,他们成绩的方差分别为S甲2与S乙2,则S甲2 S乙2。(填“>”“=”或“<”)
【答案】<
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解:∵从折线统计图中可以知乙同学的成绩波动比甲同学的成绩波动性大,
∴S甲2 < S乙2 .
故答案为:<.
【分析】利用折线统计图可判断乙同学的成绩波动性比较大,然后根据方差的意义可推断出甲乙同学成绩方差的大小关系.
8.为迎接体育测试,小强每天坚持引体向上锻炼,他记录了某一周每天做引体向上的个数,如下表:
其中有三天的个数被墨汁覆盖了,但小强已经计算出这组数据唯一的众数是13,平均数是12,那么这组数据的方差是 。
【答案】
【知识点】平均数及其计算;方差;众数
【解析】【解答】解:∵平均数为12,
∴这组数据的和=12×7=84,
所以被墨汁覆盖的数的和=84-11-12-13-12=36,
又∵这组数据的众数为13,
∴被覆盖的三个数为:10,13,13,
所以这组数据的方差s2=
=.
故答案为:.
【分析】根据已知条件可推出被墨汁覆盖的三个数是10,13,13,再根据方差公式进行计算即可.
9.甲、乙两名同学5次数学成绩的统计如表所示,他们的5次总成绩相同,现要从甲、乙两名同学中选择一名同学去参加比赛,小明根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图。
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲成绩 90 40 70 40 60
乙成绩 70 50 70 a 70
请完成下列问题:
(1)a= ,乙= 。
(2)请完成下图中表示乙成绩变化情况的折线图。
(3)S甲2=360,则乙成绩的方差是 ,可看出 同学的成绩比较稳定(填“甲”或“乙”)。从平均数和方差的角度分析, 同学将被选中。
【答案】(1)40;60
(2)解:如图所示。
(3)160;乙;乙
【知识点】平均数及其计算;方差;分析数据的波动程度
【解析】【解答】解:(1)∵他们的5次总成绩相同,
∴90+40+70+40+60=70+50+70+a+70,解得a=40,
乙=(70+50+70+40+70)=60,
故答案为:40,60
(3)S乙2=[(70-60)2+(50-60)2+(70-60)2+(40-60)2+(70-60)2]=160。
∵S乙2甲2,∴乙的成绩比较稳定;从平均数和方差的角度分析,乙将被选中;
故答案为:160,乙,乙
【分析】(1)根据题意和平均数的计算公式进行计算即可;
(2)根据(1)中求出的a值,完成图中表示乙成绩的变化情况的折线;
(3)根据方差的计算公式进行计算,并根据平均数和方差的意义进行判断即可.
二、B更上一层楼
10.为挑选一名参加区运会跳远比赛的运动员,教练对甲、乙两名选手一段时间内的测试成绩进行了跟踪分析。下列情况中,能说明甲被选中的原因是( )
A.,S甲2>S乙2 B.,S甲2<乙2
C.,S甲2>S乙2 D.,S甲2>乙2
【答案】B
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解:由题意“甲被选中”可知,甲的平均成绩应该大于乙平均成绩,且甲的成绩的波动性小于乙的成绩波动性小
即,S甲2<乙2
故答案为:B.
【分析】根据平均数和方差的意义进行分析判断即可.
11. 超市货架上有一批大小不一的鸡蛋,某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋,设货架上原有鸡蛋的质量(单位:g)平均数和方差分别为,S2,该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差分别为,S12,则下列结论一定成立的是 ( )
A. B. C.S2>S12 D.S2<S12
【答案】C
【知识点】方差;分析数据的波动程度
【解析】【解答】解:∵顾客从超市的货架的一批鸡蛋中选购了部分大小均匀的鸡蛋,
∴货架上原有的鸡蛋质量的方差大于顾客选购的鸡蛋质量的方差,即 S2 > S12,
故答案为:C.
【分析】根据方差的意义可知,方差越大,则平均值的离散程度越大,即稳定性小;方差越小,则它与平均值的离散程度越小,即稳定性越好.
12.小明利用公式S2=[(5-)2+(8-)2+(4-)2+(7-)2+(6-)2]计算5个数据的方差,则这5个数据的标准差S的值是 。
【答案】
【知识点】方差;标准差
【解析】【解答】解:∵这5个数据的平均数=(5+8+4+7+6)÷5=6,
∴方差s2==2,
∴s==,
故答案为:.
【分析】先根据平均数的定义求出平均数,再代入方差公式求出方差,最后求出方差的算数平方根即为标准差值.
13.某排球队6名场上队员的身高(单位:cm)是180,184,188,190,192,194.现用一名身高为186cm的队员换下场上身高为192cm的队员,与换人前相比,场上队员身高的方差会变化吗?通过计算说明你的理由。
【答案】.解:场上队员身高的方差会变小。
原数据的平均数为
==188(cm),
则原数据的方差为
S2=×[(180-188)2+(184-188)2+(188-188)2+(190-188)2+(192-188)2+(194-188)2]=(cm2)
新数据的平均数为
1==187(cm),
则新数据的方差为
S1=×[(180-187)2+(184-187)2+(188-187)2+(190-187)2+(186-187)2+(194-187)2]=(cm2)
所以,与换人前相比,场上队员身高的方差会变小。
【知识点】方差
【解析】【分析】根据平均数公式先分别求出原数据和替换身高后新数据的平均身高,再利用方差计算公式分别求出原身高数据和新身高数据的方差,比较方差大小即可.
14.一次期中考试中,A,B,C,D,E五位同学的数学、英语成绩有如下信息:
A B C D E 平均分 方差
数学 71 72 69 68 70 ____ 2
英语 88 82 94 85 76 85 ____
(1)求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的方差;
(2)为了比较不同学科考试成绩的好与差,采用标准分是一个合理的选择,标准分的计算公式是:
标准分=从标准分看,标准分大的考试成绩更好,请问A同学在本次考试中,数学与英语哪个学科考得更好?
【答案】(1)解:数学平均分=(71+72+69+68+70)÷5=70;
英语成绩的方差为:=36;
(2)解:A同学数学标准分为=,
A同学英语标准分为=.
>,A同学在本次考试中,数学学科考得更好。
【知识点】平均数及其计算;方差;标准差
【解析】【分析】(1)将五位同学的数学成绩加和后再除以5,即可求出五位同学数学成绩的平均数;将五位同学的英语成绩与其平均分差的平方和再除以5,即可求出五位同学英语成绩的方差;
(2)根据标准分的计算公式:标准分=(个人成绩-平均成绩)÷标准差,标准差为方差的算术平方根,结合(1)中求出的平均成绩,代入数据分别求出A同学数学和英语的标准分,再进行比较即可.
三、开拓新思路
15.
(1)已知三组数据,通过计算完成填表:
数据 平均数 方差
1,2,3,4,5
11,12,13,14,15
3,6,9,12,15
(2)【分析数据】请你比较三组数据的大小及统计量的结果,写出其中一些规律性的结论。
(3)【解决问题】请你用发现的结论来解决以下的问题。
已知数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为a,方差为b,则
(1)数据x1+3,x2+3,x3+3,…,xn+3的平均数为 ,方差为 。
(2)数据x1-3,x2-3,x3-3,…,xn-3的平均数为 ,方差为 。
(3)数据3x1,3x2,3x3,…,3xn的平均数为 方差为 。
(4)数据2x1-3,2x2-3,2x3-3,…,2xn-3的平均数为 ,方差为 。
【答案】(1)解:1,2,3,4,5 这五个数的平均数为:(1+2+3+4+5)÷5=3,
方差为:÷5=2,
11,12,13,14,15 这五个数的平均数为:(11+12+13+14+15)÷5=13,
方差为:÷5=2,
3,6,9,12,15 这五个数的平均数为:(3+6+9+12+15)÷5=9,
方差为:÷5=18,
故补充表格如下,
数据 平均数 方差
1,2,3,4,5 3 2
11,12,13,14,15 13 2
3,6,9,12,15 9 18
(2)解:一组数据的每个数据加上或减去同一常数,则平均数也加上或减去这个常数,而方差不变;一组数据的每个数据扩大到原来的n倍或缩小为原来的,则平均数也扩大到原来的n倍或缩小为原来的,而方差扩大到原来的n2倍或缩小为原来的.
(3)a+3;b;a-3;b;3a;9b;2a-3;4b
【知识点】平均数及其计算;方差
【解析】【解答】解:(3)①利用(2)规律:
一组数据的每个数据加上同一常数,则平均数也加上这个常数,而方差不变,
∵数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为a,方差为b ,
∴x1+3,x2+3,x3+3,…,xn+3的平均数为a+3,方差为b;
②利用(2)中规律:
一组数据的每个数据减去同一常数,则平均数也减去这个常数,而方差不变,
∵数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为a,方差为b ,
∴x1-3,x2-3,x3-3,…,xn-3的平均数为a-3,方差为b;
③利用(2)中规律:
一组数据的每个数据扩大到原来的n倍,则平均数也扩大到原来的n倍,而方差扩大到原来的n2倍,
∵数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为a,方差为b ,
∴数据3x1,3x2,3x3,…,3xn的平均数为3a,方差为9b;
④∵数据2x1-3,2x2-3,2x3-3,…,2xn-3为原数据先扩大2倍后,再每个数据减3,
∴利用(2)中规律,可得:
平均数为2a-3,方差为4b.
故答案为: a+3 , b ; a-3 , b ; 3a , 9b ; 2a-3 , 4b .
【分析】(1)根据平均数定义:一组数据中所有数据的和再除以数据个数,即可求出三组数据的平均数;根据方差的定义:各个数据同平均数差的平方之和,再除以个数,即可求出三组数据的方差;
(2)分析数据:观察(1)中三组数据的的变化特征,结合已求出的平均数和方差值,分析所得平均数和方差可得:一组数据的每个数据加上或减去同一常数,则平均数也加上或减去这个常数,而方差不变;一组数据的每个数据扩大到原来的n倍或缩小为原来的,则平均数也扩大到原来的n倍或缩小为原来的,而方差扩大到原来的n2倍或缩小为原来的;
(3)解决问题:
①和②直接利用(2)中分析数据中得出的规律性结论:一组数据的每个数据加上或减去同一常数,则平均数也加上或减去这个常数,而方差不变,即可求出平均数和方差的值;
③直接利用(2)中分析数据中得出的规律性结论:一组数据的每个数据扩大到原来的n倍,则平均数也扩大到原来的n倍,而方差扩大到原来的n2倍,即可求出出平均数和方差的值;
④将(2)中分析数据中得出的规律性结论: 一组数据的每个数据扩大到原来的n倍和一组数据的每个数据减去同一常数,结合判断,即可求出这组数据的平均数和方差的值.
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