浙教版数学2014-2015学年九下单元精品卷 第二章 直线与圆的位置关系（培优提高）含精析
文档属性
| 名称 | 浙教版数学2014-2015学年九下单元精品卷 第二章 直线与圆的位置关系（培优提高）含精析 |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 540.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-01-25 00:00:00 | ||
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文档简介
【浙教版】数学2014-2015学年九下“单元精品卷”（培优提高卷）
第二章 直线与圆的位置关系
题 号
仔细选一选
认真填一填
全面答一答
总 分
得 分
一、仔细选一选。（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内．注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．
1．如图，两个半圆，大半圆中长为16cm的弦AB平行于直径CD，且与小半圆相切，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．64π B．32π C．16π D．128π
2．如图，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为弧BC的中点，DE垂直于AC，交AC的延长线于E，连接BC，若DE=6cm，CE=2cm，下列结论正确的是 （ ）
①DE是⊙O的切线；②直径AB长为20cm；③弦AC长为15cm；④C为弧AD的中点.
A. ①②④ B.①③④ C. ①② D.②③
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（－4，0）、B（0，4），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB 上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．3
4．如图，在Rt△AOB中，OA=OB=，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
5．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，圆周角AMB=，EF切⊙O于C，交PA、PB于E、F，PEF的外心在PE上，PA=3.则AE的长为（ ）
A. B. C. 1 D.
6．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（ ）
A．20cm B．15cm C．10cm D．随直线MN的变化而变化
7．已知如图，直角三角形纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，若要在纸片中剪出两个相外切的等圆，则圆的半径最大为（ ）
A． B． C．1 D．
8．如果A、B分别是圆O1、圆O2上两个动点，当A、B两点之间距离最大时，那么这个最大距离被称为圆O1、圆O2的“远距”．已知，圆O1的半径为1，圆O2的半径为2，当两圆相交时，圆O1、圆O2的“远距”可能是（ ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6．
9．己知⊙O1和⊙O2的半径分别为1和3，从如图所示位置（⊙O1与⊙O2内切）开始，将⊙O1向右平移到与⊙O2外切止，那么在这个运动过程中（包括起始位置与终止位置），圆心距O1O2的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
10．如图，⊙O1，⊙O2的圆心在直线l上，⊙O1的半径为2cm，⊙O2的半径为3cm．O1O2=8cm，⊙O1以1m/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动．在此过程中，⊙O1和⊙O2没有出现的位置关系是（ ）
A．外切 B．相交 C．内切 D．内含
二、认真填一填。（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案．
11．如图，在平面直角坐标系中，已知点E和F的坐标分别为E（0，-2）、F（，0），P在直线EF上，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B，使得∠APB=60°，若符合条件的点P有且只有一个，则⊙O的半径为 ．
12．如图，以正方形ABCD边BC为直径作半圆O，过点D作直线切半圆于点F，交AB于点E，则△ADE和直角梯形EBCD的周长之比为 ．
13．如图，已知⊙的半径为，圆心在抛物线上运动，当⊙与轴相切时，圆心的坐标为 ．
14．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是 ．
15．射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值 ．（单位：秒）
16．通过对课本中《硬币滚动中的数学》的学习，我们知道滚动圆滚动的周数取决于滚动圆的圆心运动的路程（如图①）．在图②中，有2014个半径为r的圆紧密排列成一条直线，半径为r的动圆C从图示位置绕这2014个圆排成的图形无滑动地滚动一圈回到原位，则动圆C自身转动的周数为 ．
三、全面答一答。（本题有7个小题，共66分）
解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．
17．在△ABC中，∠BAC=90°，，AB=AC=，圆的半径为1，如图所示，若点O在BC边上运动（与点B、C不重合），设OB=x，△AOC的面积为y.
（1）求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）以点O为圆心，BO长为半径作圆，求当圆O与圆A相切时，△AOC的面积.
18．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2．E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F
（1）求OA、OC的长；
（2）求证：DF为⊙O′的切线；
（3）直线BC上存不存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形，如果不存在，说明理由；如果存在，直接写出P点的坐标．
19．以原点为圆心,为半径的圆分别交、轴的正半轴于A、B两点,点P的坐标为.
（1）如图一，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动一周,设经过的时间为秒，当时，直线PQ恰好与⊙O第一次相切，连接OQ.求此时点Q的运动速度（结果保留）；
（2）若点Q按照⑴中的方向和速度继续运动，
①当为何值时，以O、P、Q为顶点的三角形是直角三角形；
②在①的条件下，如果直线PQ与⊙O相交，请求出直线PQ被⊙O所截的弦长.
20．如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为1cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=cm，AD=2cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为2cm/s，矩形ABCD的移动速度为3cm/s，设移动时间为t（s）.
（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为 °；
（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；
（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d＜1时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．
21．在平面直角坐标系中，点M（，），以点M为圆心，OM长为半径作⊙M ．使⊙M与直线OM的另一交点为点B，与轴、轴的另一交点分别为点D、A（如图），连接AM．点P是上的动点．
（1）∠AOB的度数为 ．
（2）Q是射线OP上的点，过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C，直线QC交轴于点E．
①当QE与⊙M相切时，求点E的坐标；
②在①的条件下，在点P运动的整个过程中，求△ODQ面积的最大值及点Q经过的路径长．
22．如图，⊙O的半径r=25，四边形ABCD内接圆⊙O，AC⊥BD于点H，P为CA延长线上的一点，且∠PDA=∠ABD．
（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠ADB=，PA=AH，求BD的长；
（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD的面积．
23．如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O的上半圆运动（含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形ABC．
（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求△ABC的面积（图1）；
（2）设∠AOB=α，当线段AB、与圆O只有一个公共点（即A点）时，求α的范围（图2，直接写出答案）；
（3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AO⊥PM于点N，求CM的长度（图3）．
参考答案与详解
1．B
【解析】设两个半圆的半径分别是R，r，因为大半圆中长为16cm的弦AB平行于直径CD，且与小半圆相切，所以大圆圆心到弦AB的距离是r，由垂径定理和勾股定理得：,图中阴影部分的面积=大半圆的面积-小半圆的面积= ，故选：B.
2．C
3．B
【解析】如图，过点O作OP1⊥AB，过点P1作⊙O的切线交⊙O于点Q1，连接OQ，OQ1．
当PQ⊥AB时，易得四边形P1PQO是矩形，即PQ=P1O．
∵P1Q1是⊙O的切线， ∴∠OQ1P1=900．∴在Rt△OP1Q1中，P1Q1＜P1O，
∴P1Q1即是切线长PQ的最小值．
∵A（－4，0），B（0，4），∴OA=OB=4．∴△OAB是等腰直角三角形．
∴△AOP1是等腰直角三角形．根据勾股定理，得OP1=．
∵⊙O的半径为1，∴OQ1=1．
根据勾股定理，得P1Q1==．故选B．
4．C．
【解析】连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA=OB=，∴AB=OA=6，∴OP==3，
∴PQ=．故选C．
5．B
【解析】连接OA，OB，
∵PA，PB分别切⊙O于A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，PA=PB=3，
∵∠AMB=60°，∴∠AOB=2∠AMB=120°，∴∠P=180°﹣∠AOB=60°，
∵EF切⊙O于C，∴EA=EC，FC=FB，
∴△PEF的周长=PE+EF+PF=PE+EC+FC+PF=PE+AE+BF+PF=PA+PB=6，
∵△PEF的外心在PE上，∴PE是△PEF的外接圆的直径，∴∠PFE=90°，
设PF=x，则PE=2x，EF=x，∴x+2x+x=6，解得：x=3﹣，∴PE=6﹣2，
∴AE=PA﹣PE=3﹣（6﹣2）=2﹣3．故选D．
6．A
【解析】由题意可知，MD=ME,NF=NE,所以△AMN的周长为AM+ME+NE+AN=2AD=20㎝．
7．B.
【解析】设圆的半径是r，将两圆圆心与已知的点连接．
∴根据勾股定理求得AB=10，∴斜边上的高是：6×8÷10=4.8，
∴S△AMC+S△CNB+S△CMN+S梯形MABN
∴3r+4r+×2r+=×6×8，解得：r=．故选：B．
8．C.
【解析】
∵⊙O1的半径为1，⊙O2的半径为2，∴圆心距d的取值范围为：1＜d＜3，
∴⊙O1、⊙O2的“远距”的取值范围为：4＜远距＜6，故选C．
9．A
【解析】当两圆外切时，圆心距d=3+1=4，两圆外切时，圆心距d=3-1=2，∴在这个运动过程中（包括起始位置与终止位置），圆心距O1O2的取值范围是2≤d≤4，故选A．
考点：圆与圆的位置关系；在数轴上表示不等式的解集．
10．D
【解析】∵O1O2=8cm，⊙O1以1m/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动，
∴7s后两圆的圆心距为：1cm，
此时两圆的半径的差为：3﹣2=1cm，∴此时内切，∴移动过程中没有内含这种位置关系，
故选D．
11．
【解析】由题意可知∠APB=60°，∠OBP=90°，所以∠BP0=30°，因此PO=2OB；又因符合条件的点P有且只有一个，所以OP⊥EF；再由E、F的坐标可求得EF=,再根据三角形的面积可知,即可求得OB=.
12．6∶7．
【解析】根据切线长定理得，BE=EF，DF=DC=AD=AB=BC．设EF=x，DF=y，
则在直角△AED中，AE=y﹣x，AD=CD=y，DE=x+y．
根据勾股定理可得：，∴，∴三角形ADE的周长为12x，直角梯形EBCD周长为14x，∴两者周长之比为12x：14x=6：7，故△ADE和直角梯形EBCD周长之比为6：7．
13．（，2）或（-，2）．
【解析】当⊙P与x轴相切时，P点的纵坐标为2，可将其代入抛物线的解析式中，即可求得P点坐标．
解：当⊙P与x轴相切时，P点纵坐标为±2；
当y=2时，x2-1=2，解得x=±；
当y=-2时，x2-1=-2，x无解；故P点坐标为（，2）或（-，2）．
14．3．
【解析】由题意可得出：当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小，
如答图，连接BD，
∵菱形ABCD中，∠A=60°，∴AB=AD.∴△ABD是等边三角形.∴BD=AB=AD=3.
∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1，∴PE=1，DF=2.∴PE+PF的最小值是3．
15．t=2或3≤t≤7或t=8．
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°，
∵QN∥AC，AM=BM．∴N为BC中点，∴MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，
分为三种情况：①如图1，
当⊙P切AB于M′时，连接PM′，则PM′=cm，∠PM′M=90°，
∵∠PMM′=∠BMN=60°，∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，∴QP=4cm﹣2cm=2cm，即t=2；
②如图2，
当⊙P于AC切于A点时，连接PA，则∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP=cm，
∴PM=1cm，∴QP=4cm﹣1cm=3cm，
即t=3，
当⊙P于AC切于C点时，连接P′C，
则∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′=cm，∴P′N=1cm，
∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm，
即当3≤t≤7时，⊙P和AC边相切；
③如图3，
当⊙P切BC于N′时，连接PN′，则PN′=cm，∠PN′N=90°，
∵∠PNN′=∠BNM=60°，∴N′N=1cm，PN=2NN′=2cm，∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm，即t=8；
故答案为：t=2或3≤t≤7或t=8．
16．1314．
【解析】它从A位置开始，滚过与它相同的其他2014个圆的上部，到达最后位置．则该圆共滚过了2014段弧长，其中有2段是半径为2r，圆心角为120度，2012段是半径为2r，圆心角为60度的弧长，所以可求得动圆C自身转动的周数为： 1314．故答案是1314．
17．（1）y= -x+4（0【解析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，S△AOC=OC×AD=×2×（4-x）= 4-x ；
（2）圆O与圆A相切，分外切和内切两种情况讨论：，在Rt△AOD中，根据AO2=AD2+OD2= 4+（2-x）2=x2-4x+8，求出x的值，可求.
解：（1）过点A作AD⊥BC于点D
∵∠BAC=90° AB=AB=2 ∴BC= 4 AD=BC=2∴S△AOC=OC×AD=×2×（4-x）= 4-x
即y= -x+4（0（2）当点O与点D重合时，圆O与圆A相交，不合题意
当点O与点D不重合时，在Rt△AOD中，
AO2=AD2+OD2= 4+（2-x）2=x2-4x+8
∵⊙O1的半径是1，⊙O2的半径是x∴①当⊙A与⊙O外切时
（x+1）2=x2-4x+8 解得x= 此时，△AOC的面积是y= 4-=
②当⊙A与⊙O内切时（x+1）2=x2-4x+8 解得x=此时，△AOC的面积是y= 4-=
∴当⊙A与⊙O相切时，△AOC的面积为或。
18．（1）OC=3， OA=5；（2）证明见试题解析；（3）存在， P1（1，3） P4（9，3） P2（4，3），P3（4，3）．
【解析】（1）根据矩形面积公式得方程求解；
（2）由E是BC中点，OC=AB，∠C=∠B可证△ABE≌△OCE，则OE=AE得证；
（3）连接O′D，证∠O′DF=90°．
（4）分别以∠AOP、∠OAP为顶角讨论P点位置求解．
解：（1）设OC=x，则OA=x+2，根据题意得：x（x+2）=15．解得x=3，即OC=3．则OA=5．
（2）∵E为BC的中点，∴CE=BE．又OC=AB，∠OCE=∠B=90°，∴△ABE≌△OCE，∴OE=AE．
（3）连接O′D．
∵OE=AE，O′O=O′D，∴∠EOD=∠EAO=∠O′DO．
∵DF⊥AE，∴∠EAO+∠ADF=90°．∴∠O′DO+∠ADF=90°．∴∠O′DF=90°，DF是⊙O′的切线；
（4）存在．如图所示．
①当AP=AO时，BP=4，则CP=1或9，所以P（1，3）或（9，3）；
②当OP=OA时，CP=4，所以P（4，3）或（－4，3）．
19．（1）点Q的运动速度为；（2）1;（3） cm．
【解析】（1）连接OQ，求出∠QPO，求出∠BOQ，根据弧长公式求出即可；
（2）分为四种情况，画出图形，求出弧长，即可求出答案；
解：（1）如图1，连接OQ，则OQ⊥PQ．
∵OQ=OA=1，OP=2，∴∠QPO=30°，
∵∠PQO=90°，∴∠QOP=60°，∴∠BOQ=30°，∴弧BQ的长是，
∵运动时间t=1，∴点Q的运动速度为；
（2）分为四种情况：①由（1）可知，当t=1时，△OPQ为直角三角形；
②如图3，当t=6或t=12时，直线PQ与⊙O相交，设交点为N，
作OM⊥PQ，根据等面积法可知：PQ?OM=OQ?OP，
PQ=，OM=，QM=，弦长QN=2QM=cm．
20．（1）105°；（2）；（3）．
【解析】（1）利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出∠OAD=45°，∠DAC=60°，进而得出答案；
（2）首先得出，∠C1A1D1=60°，再利用A1E=AA1﹣OO1﹣1=t﹣1，求出t的值，进而得出OO1=2t得出答案即可；
（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，分别求出即可．
解：（1）∵l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，∴∠OAD=45°，
∵AB=cm，AD=4cm，∴CD=cm，AD=4cm，∴tan∠DAC=，∴∠DAC=60°，∴∠OAC的度数为：∠OAD+∠DAC=105°，
故答案为：105；
②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，，解得：，
∵d＜1时，对角线AC所在直线与⊙O相交，∴t的取值范围是：．
21．（1）45°；（2）①E点坐标为（，0）；②△ODQ面积的最大值为8，Q经过的路径长为4．
【解析】（1）首先过点M作MH⊥OD于点H，由点M（，），可得∠MOH=45°，OH=MH=，继而求得∠AOM=45°；
（2）①由OH=MH=，MH⊥OD，即可求得OD与OM的值，继而可得OB的长，由于QE与⊙M相切，所以B与C重合，故△OBE为等腰直角三角形，从而得到OE=OB=，得到点E的坐标；
②由OD=，Q的纵坐标为t，即可得S=，当动点P与A点重合时，Q点与y轴上R点重合，此时Q点的纵坐标最大，可求得OQ的长，继而求得△ODQ的最大面积；由已知可得：Q在线段BR上运动，显然BR=OB=4．
解：（1）过点M作MH⊥OD于点H，
∵点M（，），∴OH=MH=，∴∠MOD=45°，∵∠AOD=90°，∴∠AOM=45°；
（2）①∵OH=MH=，MH⊥OD，
∴OM==2，OD=2OH=，∴OB=4，
∵QE与⊙M相切，∴B与C重合，∴△OBE为等腰直角三角形，∴OE=OB=，
∴E点坐标为（，0）
②∵OD=，Q的纵坐标为t，∴S=．
如图2，当动点P与A点重合时，Q点与y轴上R点重合，此时Q点的纵坐标最大，
∵∠AOM=45°，OB=4，∠OBR=90°，∴BR=OB=4，∴OR=，∴，
∴．
∵Q只能在线段BR上运动．∴Q经过的路径长为BR=4．
22．（1）PD与圆O相切；理由见解析；（2）25；（3）900+．
【解析】（1）首先连接DO并延长交圆于点E，连接AE，由DE是直径，可得∠DAE的度数，又由∠PDA=∠ABD=∠E，可证得PD⊥DO，即可得PD与圆O相切于点D；
（2）首先由tan∠ADB=，可设AH=3k，则DH=4k，又由PA=AH，易求得∠P=30°，∠PDH=60°，连接BE，则∠DBE=90°，DE=2r=50，可得BD=DE?cos30°=25；
（3）由（2）易得HC=（25-4k），又由PD2=PA×PC，可得方程：（8k）2=（4-3）k×[4k+（25-4k）]，解此方程即可求得AC的长，继而求得四边形ABCD的面积．
解：（1）PD与圆O相切．
理由：如图，连接DO并延长交圆于点E，连接AE，
∵DE是直径，∴∠DAE=90°，∴∠AED+∠ADE=90°，
∵∠PDA=∠ABD=∠AED，∴∠PDA+∠ADE=90°，即PD⊥DO，∴PD与圆O相切于点D；
（2）∵tan∠ADB=∴可设AH=3k，则DH=4k，
∵PA=AH，∴PA=（）k，∴PH=4k，
∴在Rt△PDH中，tan∠P=，∴∠P=30°，∠PDH=60°，
∵PD⊥DO，∴∠BDE=90°-∠PDH=30°，连接BE，则∠DBE=90°，DE=2r=50，
∴BD=DE?cos30°=25；
（3）由（2）知，BH=25-4k，∴HC=，
又∵PD2=PA×PC，∴（8k）2=（4-3）k×[4k+]，
解得：k=4-3，∴AC=3k+=24+7，
∴S四边形ABCD=BD?AC=×25×（24+7）=900+．
23．（1）．（2）0°≤α≤60°．（3）
【解析】（1）连接OA，如下图1，根据条件可求出AB，然后AC的高BH，求出BH就可以求出△ABC的面积．
（2）如下图2，首先考虑临界位置：当点A与点Q重合时，线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=0°；当线段AB所在的直线与圆O相切时，线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=60°．从而定出α的范围．
（3）设AO与PM的交点为D，连接MQ，如下图3，易证AO∥MQ，从而得到△PDO∽△PMQ，△BMQ∽△BAO，又PO=OQ=BQ，从而可以求出MQ、OD，进而求出PD、DM、AM、CM的值．
解：（1）连接OA，过点B作BH⊥AC，垂足为H，如图1所示．
∵AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB．∴∠OAB=90°．
∵OQ=QB=1，∴OA=1．∴AB=．
∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=，∠CAB=60°．
∵sin∠HAB=，∴HB=AB?sin∠HAB=．∴S△ABC=AC?BH=．
∴△ABC的面积为．
（2）①当点A与点Q重合时，
线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=0°；
②当线段A1B所在的直线与圆O相切时，如图2所示，
线段A1B与圆O只有一个公共点，此时OA1⊥BA1，OA1=1，OB=2，∴cos∠A1OB=．
∴∠A1OB=60°．∴当线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时，α的范围为：0°≤α≤60°．
（3）连接MQ，如图3所示．
∵PQ是⊙O的直径，∴∠PMQ=90°．
∵OA⊥PM，∴∠PDO=90°．∴∠PDO=∠PMQ．∴△PDO∽△PMQ．∴
第二章 直线与圆的位置关系
题 号
仔细选一选
认真填一填
全面答一答
总 分
得 分
一、仔细选一选。（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内．注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．
1．如图，两个半圆，大半圆中长为16cm的弦AB平行于直径CD，且与小半圆相切，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．64π B．32π C．16π D．128π
2．如图，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为弧BC的中点，DE垂直于AC，交AC的延长线于E，连接BC，若DE=6cm，CE=2cm，下列结论正确的是 （ ）
①DE是⊙O的切线；②直径AB长为20cm；③弦AC长为15cm；④C为弧AD的中点.
A. ①②④ B.①③④ C. ①② D.②③
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（－4，0）、B（0，4），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB 上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．3
4．如图，在Rt△AOB中，OA=OB=，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
5．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，圆周角AMB=，EF切⊙O于C，交PA、PB于E、F，PEF的外心在PE上，PA=3.则AE的长为（ ）
A. B. C. 1 D.
6．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（ ）
A．20cm B．15cm C．10cm D．随直线MN的变化而变化
7．已知如图，直角三角形纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，若要在纸片中剪出两个相外切的等圆，则圆的半径最大为（ ）
A． B． C．1 D．
8．如果A、B分别是圆O1、圆O2上两个动点，当A、B两点之间距离最大时，那么这个最大距离被称为圆O1、圆O2的“远距”．已知，圆O1的半径为1，圆O2的半径为2，当两圆相交时，圆O1、圆O2的“远距”可能是（ ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6．
9．己知⊙O1和⊙O2的半径分别为1和3，从如图所示位置（⊙O1与⊙O2内切）开始，将⊙O1向右平移到与⊙O2外切止，那么在这个运动过程中（包括起始位置与终止位置），圆心距O1O2的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
10．如图，⊙O1，⊙O2的圆心在直线l上，⊙O1的半径为2cm，⊙O2的半径为3cm．O1O2=8cm，⊙O1以1m/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动．在此过程中，⊙O1和⊙O2没有出现的位置关系是（ ）
A．外切 B．相交 C．内切 D．内含
二、认真填一填。（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案．
11．如图，在平面直角坐标系中，已知点E和F的坐标分别为E（0，-2）、F（，0），P在直线EF上，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B，使得∠APB=60°，若符合条件的点P有且只有一个，则⊙O的半径为 ．
12．如图，以正方形ABCD边BC为直径作半圆O，过点D作直线切半圆于点F，交AB于点E，则△ADE和直角梯形EBCD的周长之比为 ．
13．如图，已知⊙的半径为，圆心在抛物线上运动，当⊙与轴相切时，圆心的坐标为 ．
14．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是 ．
15．射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值 ．（单位：秒）
16．通过对课本中《硬币滚动中的数学》的学习，我们知道滚动圆滚动的周数取决于滚动圆的圆心运动的路程（如图①）．在图②中，有2014个半径为r的圆紧密排列成一条直线，半径为r的动圆C从图示位置绕这2014个圆排成的图形无滑动地滚动一圈回到原位，则动圆C自身转动的周数为 ．
三、全面答一答。（本题有7个小题，共66分）
解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．
17．在△ABC中，∠BAC=90°，，AB=AC=，圆的半径为1，如图所示，若点O在BC边上运动（与点B、C不重合），设OB=x，△AOC的面积为y.
（1）求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）以点O为圆心，BO长为半径作圆，求当圆O与圆A相切时，△AOC的面积.
18．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2．E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F
（1）求OA、OC的长；
（2）求证：DF为⊙O′的切线；
（3）直线BC上存不存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形，如果不存在，说明理由；如果存在，直接写出P点的坐标．
19．以原点为圆心,为半径的圆分别交、轴的正半轴于A、B两点,点P的坐标为.
（1）如图一，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动一周,设经过的时间为秒，当时，直线PQ恰好与⊙O第一次相切，连接OQ.求此时点Q的运动速度（结果保留）；
（2）若点Q按照⑴中的方向和速度继续运动，
①当为何值时，以O、P、Q为顶点的三角形是直角三角形；
②在①的条件下，如果直线PQ与⊙O相交，请求出直线PQ被⊙O所截的弦长.
20．如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为1cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=cm，AD=2cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为2cm/s，矩形ABCD的移动速度为3cm/s，设移动时间为t（s）.
（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为 °；
（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；
（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d＜1时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．
21．在平面直角坐标系中，点M（，），以点M为圆心，OM长为半径作⊙M ．使⊙M与直线OM的另一交点为点B，与轴、轴的另一交点分别为点D、A（如图），连接AM．点P是上的动点．
（1）∠AOB的度数为 ．
（2）Q是射线OP上的点，过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C，直线QC交轴于点E．
①当QE与⊙M相切时，求点E的坐标；
②在①的条件下，在点P运动的整个过程中，求△ODQ面积的最大值及点Q经过的路径长．
22．如图，⊙O的半径r=25，四边形ABCD内接圆⊙O，AC⊥BD于点H，P为CA延长线上的一点，且∠PDA=∠ABD．
（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠ADB=，PA=AH，求BD的长；
（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD的面积．
23．如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O的上半圆运动（含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形ABC．
（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求△ABC的面积（图1）；
（2）设∠AOB=α，当线段AB、与圆O只有一个公共点（即A点）时，求α的范围（图2，直接写出答案）；
（3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AO⊥PM于点N，求CM的长度（图3）．
参考答案与详解
1．B
【解析】设两个半圆的半径分别是R，r，因为大半圆中长为16cm的弦AB平行于直径CD，且与小半圆相切，所以大圆圆心到弦AB的距离是r，由垂径定理和勾股定理得：,图中阴影部分的面积=大半圆的面积-小半圆的面积= ，故选：B.
2．C
3．B
【解析】如图，过点O作OP1⊥AB，过点P1作⊙O的切线交⊙O于点Q1，连接OQ，OQ1．
当PQ⊥AB时，易得四边形P1PQO是矩形，即PQ=P1O．
∵P1Q1是⊙O的切线， ∴∠OQ1P1=900．∴在Rt△OP1Q1中，P1Q1＜P1O，
∴P1Q1即是切线长PQ的最小值．
∵A（－4，0），B（0，4），∴OA=OB=4．∴△OAB是等腰直角三角形．
∴△AOP1是等腰直角三角形．根据勾股定理，得OP1=．
∵⊙O的半径为1，∴OQ1=1．
根据勾股定理，得P1Q1==．故选B．
4．C．
【解析】连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA=OB=，∴AB=OA=6，∴OP==3，
∴PQ=．故选C．
5．B
【解析】连接OA，OB，
∵PA，PB分别切⊙O于A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，PA=PB=3，
∵∠AMB=60°，∴∠AOB=2∠AMB=120°，∴∠P=180°﹣∠AOB=60°，
∵EF切⊙O于C，∴EA=EC，FC=FB，
∴△PEF的周长=PE+EF+PF=PE+EC+FC+PF=PE+AE+BF+PF=PA+PB=6，
∵△PEF的外心在PE上，∴PE是△PEF的外接圆的直径，∴∠PFE=90°，
设PF=x，则PE=2x，EF=x，∴x+2x+x=6，解得：x=3﹣，∴PE=6﹣2，
∴AE=PA﹣PE=3﹣（6﹣2）=2﹣3．故选D．
6．A
【解析】由题意可知，MD=ME,NF=NE,所以△AMN的周长为AM+ME+NE+AN=2AD=20㎝．
7．B.
【解析】设圆的半径是r，将两圆圆心与已知的点连接．
∴根据勾股定理求得AB=10，∴斜边上的高是：6×8÷10=4.8，
∴S△AMC+S△CNB+S△CMN+S梯形MABN
∴3r+4r+×2r+=×6×8，解得：r=．故选：B．
8．C.
【解析】
∵⊙O1的半径为1，⊙O2的半径为2，∴圆心距d的取值范围为：1＜d＜3，
∴⊙O1、⊙O2的“远距”的取值范围为：4＜远距＜6，故选C．
9．A
【解析】当两圆外切时，圆心距d=3+1=4，两圆外切时，圆心距d=3-1=2，∴在这个运动过程中（包括起始位置与终止位置），圆心距O1O2的取值范围是2≤d≤4，故选A．
考点：圆与圆的位置关系；在数轴上表示不等式的解集．
10．D
【解析】∵O1O2=8cm，⊙O1以1m/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动，
∴7s后两圆的圆心距为：1cm，
此时两圆的半径的差为：3﹣2=1cm，∴此时内切，∴移动过程中没有内含这种位置关系，
故选D．
11．
【解析】由题意可知∠APB=60°，∠OBP=90°，所以∠BP0=30°，因此PO=2OB；又因符合条件的点P有且只有一个，所以OP⊥EF；再由E、F的坐标可求得EF=,再根据三角形的面积可知,即可求得OB=.
12．6∶7．
【解析】根据切线长定理得，BE=EF，DF=DC=AD=AB=BC．设EF=x，DF=y，
则在直角△AED中，AE=y﹣x，AD=CD=y，DE=x+y．
根据勾股定理可得：，∴，∴三角形ADE的周长为12x，直角梯形EBCD周长为14x，∴两者周长之比为12x：14x=6：7，故△ADE和直角梯形EBCD周长之比为6：7．
13．（，2）或（-，2）．
【解析】当⊙P与x轴相切时，P点的纵坐标为2，可将其代入抛物线的解析式中，即可求得P点坐标．
解：当⊙P与x轴相切时，P点纵坐标为±2；
当y=2时，x2-1=2，解得x=±；
当y=-2时，x2-1=-2，x无解；故P点坐标为（，2）或（-，2）．
14．3．
【解析】由题意可得出：当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小，
如答图，连接BD，
∵菱形ABCD中，∠A=60°，∴AB=AD.∴△ABD是等边三角形.∴BD=AB=AD=3.
∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1，∴PE=1，DF=2.∴PE+PF的最小值是3．
15．t=2或3≤t≤7或t=8．
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°，
∵QN∥AC，AM=BM．∴N为BC中点，∴MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，
分为三种情况：①如图1，
当⊙P切AB于M′时，连接PM′，则PM′=cm，∠PM′M=90°，
∵∠PMM′=∠BMN=60°，∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，∴QP=4cm﹣2cm=2cm，即t=2；
②如图2，
当⊙P于AC切于A点时，连接PA，则∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP=cm，
∴PM=1cm，∴QP=4cm﹣1cm=3cm，
即t=3，
当⊙P于AC切于C点时，连接P′C，
则∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′=cm，∴P′N=1cm，
∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm，
即当3≤t≤7时，⊙P和AC边相切；
③如图3，
当⊙P切BC于N′时，连接PN′，则PN′=cm，∠PN′N=90°，
∵∠PNN′=∠BNM=60°，∴N′N=1cm，PN=2NN′=2cm，∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm，即t=8；
故答案为：t=2或3≤t≤7或t=8．
16．1314．
【解析】它从A位置开始，滚过与它相同的其他2014个圆的上部，到达最后位置．则该圆共滚过了2014段弧长，其中有2段是半径为2r，圆心角为120度，2012段是半径为2r，圆心角为60度的弧长，所以可求得动圆C自身转动的周数为： 1314．故答案是1314．
17．（1）y= -x+4（0
（2）圆O与圆A相切，分外切和内切两种情况讨论：，在Rt△AOD中，根据AO2=AD2+OD2= 4+（2-x）2=x2-4x+8，求出x的值，可求.
解：（1）过点A作AD⊥BC于点D
∵∠BAC=90° AB=AB=2 ∴BC= 4 AD=BC=2∴S△AOC=OC×AD=×2×（4-x）= 4-x
即y= -x+4（0
当点O与点D不重合时，在Rt△AOD中，
AO2=AD2+OD2= 4+（2-x）2=x2-4x+8
∵⊙O1的半径是1，⊙O2的半径是x∴①当⊙A与⊙O外切时
（x+1）2=x2-4x+8 解得x= 此时，△AOC的面积是y= 4-=
②当⊙A与⊙O内切时（x+1）2=x2-4x+8 解得x=此时，△AOC的面积是y= 4-=
∴当⊙A与⊙O相切时，△AOC的面积为或。
18．（1）OC=3， OA=5；（2）证明见试题解析；（3）存在， P1（1，3） P4（9，3） P2（4，3），P3（4，3）．
【解析】（1）根据矩形面积公式得方程求解；
（2）由E是BC中点，OC=AB，∠C=∠B可证△ABE≌△OCE，则OE=AE得证；
（3）连接O′D，证∠O′DF=90°．
（4）分别以∠AOP、∠OAP为顶角讨论P点位置求解．
解：（1）设OC=x，则OA=x+2，根据题意得：x（x+2）=15．解得x=3，即OC=3．则OA=5．
（2）∵E为BC的中点，∴CE=BE．又OC=AB，∠OCE=∠B=90°，∴△ABE≌△OCE，∴OE=AE．
（3）连接O′D．
∵OE=AE，O′O=O′D，∴∠EOD=∠EAO=∠O′DO．
∵DF⊥AE，∴∠EAO+∠ADF=90°．∴∠O′DO+∠ADF=90°．∴∠O′DF=90°，DF是⊙O′的切线；
（4）存在．如图所示．
①当AP=AO时，BP=4，则CP=1或9，所以P（1，3）或（9，3）；
②当OP=OA时，CP=4，所以P（4，3）或（－4，3）．
19．（1）点Q的运动速度为；（2）1;（3） cm．
【解析】（1）连接OQ，求出∠QPO，求出∠BOQ，根据弧长公式求出即可；
（2）分为四种情况，画出图形，求出弧长，即可求出答案；
解：（1）如图1，连接OQ，则OQ⊥PQ．
∵OQ=OA=1，OP=2，∴∠QPO=30°，
∵∠PQO=90°，∴∠QOP=60°，∴∠BOQ=30°，∴弧BQ的长是，
∵运动时间t=1，∴点Q的运动速度为；
（2）分为四种情况：①由（1）可知，当t=1时，△OPQ为直角三角形；
②如图3，当t=6或t=12时，直线PQ与⊙O相交，设交点为N，
作OM⊥PQ，根据等面积法可知：PQ?OM=OQ?OP，
PQ=，OM=，QM=，弦长QN=2QM=cm．
20．（1）105°；（2）；（3）．
【解析】（1）利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出∠OAD=45°，∠DAC=60°，进而得出答案；
（2）首先得出，∠C1A1D1=60°，再利用A1E=AA1﹣OO1﹣1=t﹣1，求出t的值，进而得出OO1=2t得出答案即可；
（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，分别求出即可．
解：（1）∵l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，∴∠OAD=45°，
∵AB=cm，AD=4cm，∴CD=cm，AD=4cm，∴tan∠DAC=，∴∠DAC=60°，∴∠OAC的度数为：∠OAD+∠DAC=105°，
故答案为：105；
②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，，解得：，
∵d＜1时，对角线AC所在直线与⊙O相交，∴t的取值范围是：．
21．（1）45°；（2）①E点坐标为（，0）；②△ODQ面积的最大值为8，Q经过的路径长为4．
【解析】（1）首先过点M作MH⊥OD于点H，由点M（，），可得∠MOH=45°，OH=MH=，继而求得∠AOM=45°；
（2）①由OH=MH=，MH⊥OD，即可求得OD与OM的值，继而可得OB的长，由于QE与⊙M相切，所以B与C重合，故△OBE为等腰直角三角形，从而得到OE=OB=，得到点E的坐标；
②由OD=，Q的纵坐标为t，即可得S=，当动点P与A点重合时，Q点与y轴上R点重合，此时Q点的纵坐标最大，可求得OQ的长，继而求得△ODQ的最大面积；由已知可得：Q在线段BR上运动，显然BR=OB=4．
解：（1）过点M作MH⊥OD于点H，
∵点M（，），∴OH=MH=，∴∠MOD=45°，∵∠AOD=90°，∴∠AOM=45°；
（2）①∵OH=MH=，MH⊥OD，
∴OM==2，OD=2OH=，∴OB=4，
∵QE与⊙M相切，∴B与C重合，∴△OBE为等腰直角三角形，∴OE=OB=，
∴E点坐标为（，0）
②∵OD=，Q的纵坐标为t，∴S=．
如图2，当动点P与A点重合时，Q点与y轴上R点重合，此时Q点的纵坐标最大，
∵∠AOM=45°，OB=4，∠OBR=90°，∴BR=OB=4，∴OR=，∴，
∴．
∵Q只能在线段BR上运动．∴Q经过的路径长为BR=4．
22．（1）PD与圆O相切；理由见解析；（2）25；（3）900+．
【解析】（1）首先连接DO并延长交圆于点E，连接AE，由DE是直径，可得∠DAE的度数，又由∠PDA=∠ABD=∠E，可证得PD⊥DO，即可得PD与圆O相切于点D；
（2）首先由tan∠ADB=，可设AH=3k，则DH=4k，又由PA=AH，易求得∠P=30°，∠PDH=60°，连接BE，则∠DBE=90°，DE=2r=50，可得BD=DE?cos30°=25；
（3）由（2）易得HC=（25-4k），又由PD2=PA×PC，可得方程：（8k）2=（4-3）k×[4k+（25-4k）]，解此方程即可求得AC的长，继而求得四边形ABCD的面积．
解：（1）PD与圆O相切．
理由：如图，连接DO并延长交圆于点E，连接AE，
∵DE是直径，∴∠DAE=90°，∴∠AED+∠ADE=90°，
∵∠PDA=∠ABD=∠AED，∴∠PDA+∠ADE=90°，即PD⊥DO，∴PD与圆O相切于点D；
（2）∵tan∠ADB=∴可设AH=3k，则DH=4k，
∵PA=AH，∴PA=（）k，∴PH=4k，
∴在Rt△PDH中，tan∠P=，∴∠P=30°，∠PDH=60°，
∵PD⊥DO，∴∠BDE=90°-∠PDH=30°，连接BE，则∠DBE=90°，DE=2r=50，
∴BD=DE?cos30°=25；
（3）由（2）知，BH=25-4k，∴HC=，
又∵PD2=PA×PC，∴（8k）2=（4-3）k×[4k+]，
解得：k=4-3，∴AC=3k+=24+7，
∴S四边形ABCD=BD?AC=×25×（24+7）=900+．
23．（1）．（2）0°≤α≤60°．（3）
【解析】（1）连接OA，如下图1，根据条件可求出AB，然后AC的高BH，求出BH就可以求出△ABC的面积．
（2）如下图2，首先考虑临界位置：当点A与点Q重合时，线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=0°；当线段AB所在的直线与圆O相切时，线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=60°．从而定出α的范围．
（3）设AO与PM的交点为D，连接MQ，如下图3，易证AO∥MQ，从而得到△PDO∽△PMQ，△BMQ∽△BAO，又PO=OQ=BQ，从而可以求出MQ、OD，进而求出PD、DM、AM、CM的值．
解：（1）连接OA，过点B作BH⊥AC，垂足为H，如图1所示．
∵AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB．∴∠OAB=90°．
∵OQ=QB=1，∴OA=1．∴AB=．
∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=，∠CAB=60°．
∵sin∠HAB=，∴HB=AB?sin∠HAB=．∴S△ABC=AC?BH=．
∴△ABC的面积为．
（2）①当点A与点Q重合时，
线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=0°；
②当线段A1B所在的直线与圆O相切时，如图2所示，
线段A1B与圆O只有一个公共点，此时OA1⊥BA1，OA1=1，OB=2，∴cos∠A1OB=．
∴∠A1OB=60°．∴当线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时，α的范围为：0°≤α≤60°．
（3）连接MQ，如图3所示．
∵PQ是⊙O的直径，∴∠PMQ=90°．
∵OA⊥PM，∴∠PDO=90°．∴∠PDO=∠PMQ．∴△PDO∽△PMQ．∴