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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 上册第三章
课标要求 1.通过日常生活中的实例，让学生感受圆是生活中大量存在的图形. 2.理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆的位置关系，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念. 3.探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆. 4.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等。了解并证明圆周角定理及其推论。 5.通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转，进一步理解了旋转的性质，认识圆的轴对称性和中心对称性. 6.探索并证明垂径定理和垂径定理的逆定理，会运用垂径定理及其逆定理解决问题. 7.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。 8.探索弧长计算公式及扇形的面积计算公式，并能利用公式解决问题。
内容分析 本章的主要内容有:圆的定义、弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角、扇形和三角形的外接圆等有关概念.圆属于空间与图形这部分内容，在前面学生已经学习了直线形图形的有关的性质，会借助于变换、坐标、证明等手段去认识图形的性质，并在小学的基础上，学生已经积累了大量有关圆的经验，本章是在此基础上，对圆的概念及其有关的性质进行系统的梳理，从圆的概念形成，圆本身的性质，圆中的量之间的关系以及圆中有关量的计算等方面，加强对圆的认识.
学情分析 九年级学生已经具有一定的活动经验和体验，具备一定的主动参与合作意识和初步的分析、抽象、归纳概括能力。同时具有自主学习意识，教师能创设便于观察和思考的学习环境引导学生观察和自觉分析生活现实和数学现实中的圆的现象，自觉总结圆的有关性质并自觉地应用到现实之中，逐步形成正确的数学观，并通过圆进一步丰富学生的数学活动经验和体验，在学习中有意识地培养学生积极的情感、态度，认识数学丰富的人文价值，促进观察、分析、归纳、概括等一般能力和审美意识的发展，从而进一步培养学生探究习惯、把握和研究“空间与图形”的水平.
单元目标 （一）教学目标 1.知道圆的有关定义及表示方法；掌握点和圆的位置关系；会根据要求画出图形. 2.了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法；了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念. 3.了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质以及简单平面图形旋转后的图形的作法. 4.掌握垂径定理和垂径定理逆定理，理解其探索和证明过程； 5.理解圆、弧、弦、弦心距、圆周角、圆心角、扇形、圆内接四边形、弧长、正多边形等有关概念，学会圆、弧、弦、弦心距、圆周角、圆心角、扇形、圆内接四边形、弧长、正多边形等的表示方法. 6.掌握扇形面积计算公式，会用公式解决问题． （二）教学重点、难点 重点：1.理解圆的相关概念。 2.掌握圆的基本性质和弧长扇形面积的计算方法。 难点：1.综合运用圆的基本性质解决相关的几何问题和相关的实际问题。 2.运用弧长的计算公式计算，能熟练运用面积的转化求不规则图形的面积。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数3.1圆23.2图形的旋转13.3垂径定理23.4圆心角23.5圆周角23.6圆内接四边形13.7正多边形13.8弧长及扇形的面积2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务 圆21.知道圆的有关定义及表示方法； 2.掌握点和圆的位置关系； 3.会根据要求画出图形. 从运动和集合的观点理解圆的定义. 理解点与圆的位置关系. 理解记忆圆的相关概念，完成课本练习题。1．了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法； 2．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.1．确定圆的条件：不在同一直线上的三点；圆心、半径 2．外心的位置： （1）锐角三角形外心在三角形的内部 （2）直角三角形的外心在斜边上 （3）钝角三角形的外心在三角形的.了解不在同一直线上的三点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三点作圆的方法，了解并辨认三角形的外接圆、三角形的外心等概念 图形的旋转1 了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质以及简单平面图形旋转后的图形的作法. 通过作平面图形旋转后的图形，进一步理解了旋转的性质，并且还知道要确定一个三角形旋转后的位置。通过具体事例认识旋转，理解旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等的性质. 垂径定理21.通过实验观察，让学生理解圆的轴对称性； 2.掌握垂径定理，理解其探索和证明过程； 3.能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题.1.了解圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴. 2.通过猜想，证明，形成垂径定理.使学生掌握垂径定理、记住垂径定理的题设和结论. 对垂径定理的探索和证明，在解决问题时想到用垂径定理.1.利用圆的轴对称性研究垂径定理的逆定理． 2．运用垂径定理的逆定理解决问题.1.利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理． 2.解决有关弦的问题，1.探索并证明垂径定理，会运用垂径定理及其逆定理解决问题. 2.垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线. 圆心角2 1.理解圆心角的概念,并掌握圆心角定理． 2.理解“弧的度数等于它所对的圆心角的度数”这一性质． 掌握圆心角定理，会运用圆心角定理解决实际问题。1.探究圆心角定理，猜想结论，并证明。 2.运用圆心角定理解决简单的几何问题. 掌握”在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦，两个圆心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等”这个圆的性质 会运用关于弧,弦,弦心距之间相互关系的定理解决简单的几何问题.定理的探究：让学生观察，猜想，证明，最后教师给出证明过程.圆周角21.理解圆周角的概念． 2.掌握圆周角与圆心角的关系． 3.掌握同弧或等弧所对的圆周角相等．掌握圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半. 学习圆周角的定义，并探索其定理。1.圆周角概念和圆周角定理. 2.圆周角定理的三种情况证明，圆周角定理的应用.1.利用同弧所对的圆周角相等，进行角与角之间的转化 2.将圆周角相等的问题转化为弦相等或弧相等的问题. 探索圆周角定理，会用圆周角定理及推论解决问题. 圆内接四边形1.使学生掌握圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形的性质定理； 2.使学生初步会运用圆的内接四边形的性质定理证明和计算一些问题．掌握圆内接四边形的性质定理． 理解“内对角”这一重点词语的意思．1.通过观察、探索得到圆内接四边形的性质。 2.能准确地辨认图形，较熟练地运用性质．正多边形1.了解正多边形和圆的有关概念； 2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系3.会应用多边形和圆的有关知识画多边形．了解正多边形可以通过切割圆得到；理解正多边形的外接圆与内切圆的关系.学会判定一个多边形是正多边形，并了解正多边形有哪些性质？弧长及扇形的面积1.经历探索弧长计算公式的过程； 2.了解弧长计算公式，并会应用公式解决问题1.经历探索弧长计算公式的过程，培养学生的探索能力； 2.了解弧长后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力.探索弧长计算公式；用公式解决实际问题.1.经历探索扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力． 2.了解扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力．1.扇形的概念和扇形面积的计算公式． 2.弧长与扇形面积的关系． 推导扇形面积计算公式的过程.掌握扇形面积计算公式，会用公式解决问题．
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3.1.2 确定圆的条件
浙教版九年级上册
教学目标
1.了解不在同一直线上的三点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三点作圆的方法；
2.了解并辨认三角形的外接圆、三角形的外心等概念；
3.会画过不在同一条直线上的三点作圆.
教学重难点
重点：
1.了解不在同一直线上的三点确定一个圆；
2.了解并辨认三角形的外接圆、三角形的外心等概念.
难点：
掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法.
新知导入
指出下图中的半径、直径、弦、优弧、劣弧.
新知导入
怎样判断点和圆的位置关系？
若⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d，
(1)点在圆内 d(2)点在圆上 d＝r；
(3)点在圆外 d>r.
新知讲解
如果确定了圆心和圆的半径，那么这个圆的位置和大小就被唯一确定了.
【画一画】
在练习本上画一个以点O为圆心，半径为3cm的圆.
有没有其他条件，也能唯一地确定一个圆呢？
新知讲解
（1）经过一个已知点能作多少个圆？
A
经过一个已知点能作无数个圆.
新知讲解
（2）经过两个已知点 A，B能作多少个圆？
你认为圆心应该在怎样的一条直线上？
A
B
过两点可以画无数个圆
这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
新知讲解
（3）议一议：经过不在同一条直线上的三个点一定能作出一个圆吗？
如果能，怎样找出这个圆的圆心？
如图，点A，B，C不在同一条直线上，则经过点A，B的圆的圆心一定在线段AB的垂直平分线上；经过点B，C的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上，并且这两条垂直平分线一定相交.
新知讲解
（3）议一议：经过不在同一条直线上的三个点一定能作出一个圆吗？
如果能，怎样找出这个圆的圆心？
设交点为O，则OA=OB=OC.
所以，以点O为圆心，线段OA为半径作圆，便可得到一个经过A，B，C三点的圆，并且只能作一个圆.
即不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
新知讲解
想一想：经过在同一条直线上的三个点，能作出一个圆吗？
A
B
C
因为两个点的垂直平分线没有交点，所以当三个点在同一条直线上，不能确定一个圆.
新知讲解
【例2】已知△ABC，用直尺和圆规作出过点A，B，C的圆.
作法 ：
1.如图，分别作线段AB，BC的垂直平分线，相交于点O.
2.以点O为圆心，OA为半径作⊙O.
⊙O就是所求作的圆.
新知讲解
三角形的外接圆
经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，
这个外接圆的圆心叫做三角形的外心，
三角形叫做圆的内接三角形.
新知讲解
三角形的外接圆
图中，⊙O是△ABC的外接圆，
△ABC是⊙O的内接三角形，
点O是△ABC的外心.
三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点.
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.经过不在同一条直线上的三个点可以作出的圆的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．无数
A
课堂练习
2.下列说法错误的是( )
A．已知圆心和半径可以作一个圆
B．经过一个已知点A的圆有无数个
C．经过两个已知点A，B的圆有两个
D．经过不在同一条直线上的三个点A，B，C只能作一个圆
C
3.小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示．为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店的一块碎片是( )
A．①
B．②
C．③
D．都可以
课堂练习
A
课堂练习
4.Rt△ABC的外接圆⊙O的半径r＝5 cm，则斜边AB的长是( )
A．10 cm
B．8 cm
C．6 cm
D．5 cm
A
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
5.三角形的外心具有的性质是( )
A．外心到三角形三边的距离相等
B．外心到三角形三个顶点的距离相等
C．外心在三角形外
D．外心在三角形内
B
课堂练习
6.如图，在平面直角坐标系中，过点A(1，2)，B(3，2)，C(4，1)作一圆弧，则该弧所在圆的圆心坐标为________．
(2，0)
课堂练习
【综合实践类作业】
7.如图所示，小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想在这块空地上建一个圆形花坛，使这三棵树都在花坛的边上
(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
课堂练习
【综合实践类作业】
(2)若在△ABC中，已知AB＝8 m，AC＝6 m，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．
解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8 m，AC＝6 m，
∴BC＝10 m.
易知BC为Rt△ABC外接圆的直径，
∴Rt△ABC外接圆的半径为5 m.
∴小明家圆形花坛的面积为25π m2.
课堂总结
本节课你学到了哪些知识？
1.如果确定圆心和圆的半径，那么这个圆的位置和大小就被唯一确定了.
2.经过一个已知点能作无数个圆.
3.经过两个已知点A、B能作无数个圆.这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
4.不在同一直线上的三个点确定一个圆.
5.经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆.
板书设计
课题：3.1.1 确定圆的条件
教师板演区
学生展示区
一、不共线的三个点确定一个圆
二、三角形的外接圆
三、例题讲解
作业布置
【知识技能类作业】必做题
1.如图，点A、B、C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这4个点中的任意3个，能画的圆有( )
A．1 个
B．2个
C．3个
D．4 个
C
作业布置
2.如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是( )
A．△ABE
B．△ACF
C．△ABD
D．△ADE
B
作业布置
选做题：
3.如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )
A．点P
B．点Q
C．点R
D．点M
B
作业布置
4.下列说法中，真命题的个数是( ).
①任何三角形有且只有一个外接圆；
②任何圆有且只有一个内接三角形；
③三角形的外心不一定在三角形内；
④三角形的外心到三角形三边的距离相等；
⑤经过三点确定一个圆;
A.1 B.2 C.3 D.4
B
作业布置
【综合实践类作业】
5.工人师傅后在一个上表面是直角三角形的器具上面安装一块圆板，要求这个圆板刚好覆盖住三角形，该直角三角形的形状如图所示.
(1)请用尺规作图在图上作出该图；
A
B
C
作业布置
【综合实践类作业】
(2)测量直角三角形的两直角边AC=1.2m，BC=1.6m，如果这个圆是一个正方形板所截，请你帮助师傅计算出所需要正方形板的最小面积是多少
解：AC=1.2m，BC=1.6m，∠ACB=90°
∴所需要正方形板的最小面积是2×2=4(m2).
谢谢
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3.1.2 确定圆的条件 教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课内容是浙教版数学九年级上册第3章第1节第2课时的内容，本课主要研究内容是“过不在同一直线上三个点作圆”，其广泛用于数学作图，图案设计，建筑造型，工艺品制作等众多领域，对于培养学生作图技能和探索问题能力也具有不可替代的作用.
学习者分析 学生前面已经学习了圆的相关概念，知道确定圆的两个要素是圆心和半径.另外学生还学习了线段的垂直平分线的性质、判定及画法，这些知识储备都为本课的顺利学习奠定了良好的基础。
教学目标 1.了解不在同一直线上的三点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三点作圆的方法；2.了解并辨认三角形的外接圆、三角形的外心等概念；3.会画过不在同一条直线上的三点作圆.
教学重点 1.了解不在同一直线上的三点确定一个圆；2.了解并辨认三角形的外接圆、三角形的外心等概念.
教学难点 掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1：教师出示问题：指出下图中的半径、直径、弦、优弧、劣弧.怎样判断点和圆的位置关系？若⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d，(1)点在圆内 dr.学生活动1：学生根据上节课所学知识，指出下图中的半径、直径、弦、优弧、劣弧，教师订正答案。学生思考老师提出的问题。活动意图说明：通过做练习，学生复习上节课知识，为本节课所学内容做铺垫。环节二：探究确定圆的条件教师活动2：教师出示课本问题：【画一画】在练习本上画一个以点O为圆心，半径为3cm的圆.如果确定了圆心和圆的半径，那么这个圆的位置和大小就被唯一确定了. 有没有其他条件，也能唯一地确定一个圆呢？（1）经过一个已知点能作多少个圆？经过一个已知点能作无数个圆.（2）经过两个已知点 A，B能作多少个圆？过两点可以画无数个圆你认为圆心应该在怎样的一条直线上？这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.（3）议一议：经过不在同一条直线上的三个点一定能作出一个圆吗？如果能，怎样找出这个圆的圆心？如图，点A，B，C不在同一条直线上，则经过点A，B的圆的圆心一定在线段AB的垂直平分线上；经过点B，C的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上，并且这两条垂直平分线一定相交.设交点为O，则OA=OB=OC.所以，以点O为圆心，线段OA为半径作圆，便可得到一个经过A，B，C三点的圆，并且只能作一个圆.即不在同一条直线上的三个点确定一个圆.想一想：经过在同一条直线上的三个点，能作出一个圆吗？因为两个点的垂直平分线没有交点，所以当三个点在同一条直线上，不能确定一个圆.学生活动2：学生思考，回答课本中的问题。学生在教师的引导下完成画图。学生思考经过不在同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？并根据教师引导画图。教师引导学生总结归纳画图过程。活动意图说明：课堂上以由教师引导，学生回顾的方式进行总结，目的是充分发挥学生的主体作用，有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化，条理化。环节三：例题讲解教师活动3：【例2】已知△ABC，用直尺和圆规作出过点A，B，C的圆.作法 ：1.如图，分别作线段AB，BC的垂直平分线，相交于点O.2.以点O为圆心，OA为半径作⊙O.⊙O就是所求作的圆.学生活动3：学生在教师的指导下完成课本例题。师生共同完成画图过程。活动意图说明：学生能够运用已学知识解决问题，这样既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析、归纳问题、逻辑理解的能力。环节四：探究三角形的外接圆教师活动3：教师出示课本定义：经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形.图中，⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点。学生活动3：学生在教师的指导下总结三角形的外接圆的相关概念。活动意图说明：对概念的分析和归纳,培养学生的口头表达能力和语言组织能力,同时渗透类比思想.
板书设计 课题：3.1.1 确定圆的条件一、不共线的三个点确定一个圆二、三角形的外接圆三、例题讲解
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题：1.经过不在同一条直线上的三个点可以作出的圆的个数是( A ) A．1 B．2 C．3 D．无数2.下列说法错误的是( C ) A．已知圆心和半径可以作一个圆B．经过一个已知点A的圆有无数个C．经过两个已知点A，B的圆有两个 D．经过不在同一条直线上的三个点A，B，C只能作一个圆3.小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示．为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店的一块碎片是( A ) A．① B．② C．③ D．都可以4.Rt△ABC的外接圆⊙O的半径r＝5 cm，则斜边AB的长是( A ) A．10 cm B．8 cm C．6 cm D．5 cm选做题：5.三角形的外心具有的性质是( B ) A．外心到三角形三边的距离相等B．外心到三角形三个顶点的距离相等C．外心在三角形外D．外心在三角形内6.如图，在平面直角坐标系中，过点A(1，2)，B(3，2)，C(4，1)作一圆弧，则该弧所在圆的圆心坐标为(2，0)．【综合实践类作业】7.如图所示，小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想在这块空地上建一个圆形花坛，使这三棵树都在花坛的边上(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)若在△ABC中，已知AB＝8 m，AC＝6 m，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8 m，AC＝6 m，∴BC＝10 m.易知BC为Rt△ABC外接圆的直径，∴Rt△ABC外接圆的半径为5 m.∴小明家圆形花坛的面积为25π m2.
作业布置 【知识技能类作业】必做题1.如图，点A、B、C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这4个点中的任意3个，能画的圆有( C ).A．1 个 B．2个 C．3个 D．4 个2.如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是( B )A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE选做题3.如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( B )A．点P B．点Q C．点R D．点M4.下列说法中，真命题的个数是( B ).①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆;A.1 B.2 C.3 D.4【综合实践类作业】5.工人师傅后在一个上表面是直角三角形的器具上面安装一块圆板，要求这个圆板刚好覆盖住三角形，该直角三角形的形状如图所示.(1)请用尺规作图在图上作出该图；(2)测量直角三角形的两直角边AC=1.2m，BC=1.6m，如果这个圆是一个正方形板所截，请你帮助师傅计算出所需要正方形板的最小面积是多少 解：AC=1.2m，BC=1.6m，ㄥACB=90°∴所需要正方形板的最小面积是4m2
课堂总结 本节课你学到了哪些知识？1.如果确定圆心和圆的半径，那么这个圆的位置和大小就被唯一确定了.2.经过一个已知点能作无数个圆.3.经过两个已知点A、B能作无数个圆.这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.4.不在同一直线上的三个点确定一个圆.5.经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆.
教学反思 在学生熟悉的实际背景中创设情境，激发学生的求知欲，让学生在积极的思维状态下进入探究活动，以“作出符合条件的圆”为主线，设置三个探究活动，让学生经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，三个问题由易到难、层层递进，引导学生积极参与探索从而让其发现结论，并过渡到三角形外接圆、外心等概念的学习.学了新知识马上解决开始提出的“破镜重圆”问题，然后进一步应用新知解决其他相关问题，让学生在做中学，进而学以致用，体会到应用数学知识解决问题的成就感，提高学好数学的信心和积极性.
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