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浙教版2023-2024学年七上数学第4章代数式 尖子生测试卷1
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．设某代数式为A，若存在实数x0使得代数式A的值为负数，则代数式A可以是（ ）
A．|3﹣x| B．x2+x C． D．x2﹣2x+1
【答案】B
【解析】对于任意的x，都有|3﹣x|≥0，，x2﹣2x+1=（x﹣1）2≥0，
因为x2+x=（x+0.5）2﹣0.25，
所以对于任意的x的取值，代数式A的值可以为正数、负数或0，
即存在实数x0使得代数式A的值为负数．
故选：B．
2．下列各说法中，错误的是（ ）
A．代数式x2+y2的意义是x、y的平方和
B．代数式5（x+y）的意义是5与（x+y）的积
C．x的5倍与y的和的一半，用代数式表示为5x+
D．比x的2倍多3的数，用代数式表示为2x+3
【答案】C
【解析】A、代数式x2+y2的意义是x、y的平方和正确，故本选项错误；
B、代数式5（x+y）的意义是5与（x+y）的积正确，故本选项错误；
C、x的5倍与y的和的一半，用代数式表示为（5x+y），故本选项正确；
D、比x的2倍多3的数，用代数式表示为2x+3正确，故本选项错误．
故选C．
3．如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为1，那么代数式 +x2-cd的值等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】依题意：a+b=0，cd=1，|x|=1，x2=1，
∴原式= +x2-cd=0+1-1=0．
故答案为：A
4．将1，2，3，4...，60这60个自然数，任意分成30组，每组两个数，将每组的两个数中的任意一个数记做a，另一个数记做b，代入代数式(|a-b|+a+b)中进行计算，求出结果，30组分别代入后可求出30个结果，则这30个值的和的最大值是（ ）
A．1365 B．1565 C．1735 D．1830
【答案】A
【解析】设这两个数的较大数为a，较小数为b，即a>b，
则(|a-b|+a+b)=(a-b+a+b)=a，
∴30组的和最大值等于30个较大数的和，
则这30个值的和的最大值=31+32+···+60= =1365.
故答案为：A.
5．某市举行的青年歌手大奖赛今年共有a人参加，比赛的人数比去年增加20%还多3人，设去年参赛的有x人，则x为（ ）
A． B．（1+20%）a+3 C． D．（1+20%）a﹣3
【答案】C
【解析】设去年有x人，
∵今年共有a人参加， 比赛的人数比去年增加20%还多3人，
∴今年的人数为：x（1+20%）+3=a，
∴x=，
故选C．
6．若（x﹣1）3=a3x3+a2x2+a1x+a0，那么a3+a2+a1=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】将x=1代入得：a3+a2+a1+a0=0①，
将x=0代入得：a0=﹣1②，
①﹣②得：a3+a2+a1=1．
故选：A．
7．已知代数式m2+m+1=0，那么代数式2018﹣2m2﹣2m的值是（ ）
A．2016 B．-2016 C．2020 D．-2020
【答案】C
【解析】∵m2+m+1=0，
∴m2+m=﹣1．
∴﹣2m2﹣2m=2．
∴原式=2108+2=2020．
故选：C．
8．已知x=﹣2015，计算|x2+2014x+1|+|x2+2016x﹣1|的值为（ ）
A．4030 B．4031 C．4032 D．4033
【答案】C
【解析】当x=﹣2015时，
原式=|（﹣2015）2﹣2014×2015+1|+|（﹣2015）2﹣2015×2016﹣1|
=20152﹣2014×2015+1﹣20152+2015×2016+1
=2015×（2016﹣2014）+2
=4030+2
=4032．
故选C
9．如图，用三个同图①的长方形和两个同图②的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形ABCD，两种方式未覆盖的部分(阴影部分)的周长相等，那么图①中长方形的面积S1与图②中长方形的面积S2的比是（ ）
A．2：3 B．1：2 C．3：4 D．1：1
【答案】A
【解析】设①中长方形的长为a，宽为b，②中长方形的长为y，宽为x；
则AD＝3b＋2y＝a＋x，
第一种覆盖方式中阴影部分的周长为：2（3b＋2y＋DC x）＝6b＋4y＋2DC 2x＝2a＋2DC，
第二种覆盖方式中有一部分的周长为：2（a＋x＋DC 3b）＝2a＋2x＋2DC 6b＝2a＋2x＋2DC 2（a＋x 2y）＝2DC＋4y；
∵两种方式周长相同，
∴2a＋2DC＝2DC＋4y，
∴a＝2y，
∵3b＋2y＝a＋x，
∴x＝3b，
∴S1：S2＝ab：xy＝2y×：（xy）＝．
故答案为：．
10．已知线段AB=a，C，D，E分别是AB，BC，AD的中点，分别以点C，D，E为圆心，CB，DB，EA为半径作圆得如图所示的图案，则图中三个阴影部分图形的周长之和为（ ）
A．9πa B．8πa C． πa D． πa
【答案】D
【解析】∵C是AB的中点，
∴BC=， BD=，
∴AD=AB-BD=a-=，
∵E是AD的中点，
∴AE=AD=a，
∴阴影部分的周长=π(AB+AD+BC)=π(a++)=πa.
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若 ，则 ．
【答案】24
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 .
故答案为24.
12．某同学做作业时把5（a-3）错抄成了5a-3，抄错后的答案为y，正确答案为x，则x - y的值为 ．
【答案】－12
【解析】根据题意得：5（a 3）＝5a 15＝x，5a 3＝y，
则x y＝（5a 15） （5a 3）
＝5a 15 5a＋3
＝ 12
故答案为： 12.
13．若 ，则6-20 .
【答案】10
【解析】∵ ，
∴ ，
∴6-20
=6-20×（-）
=10.
故答案为：10.
14．如图是某月的月历，用带阴影的方框恰好盖住四个数，若这样的阴影方框可以上下左右移动，选中覆盖了这张日历表中的4个数，设表示的数是，则这4个数的和为 ．（用含的代数式表示）
【答案】
【解析】设a表示的数是x，则b表示的数是x+1，c表示的数是x+6，d表示的数是x+7，
∴这4个数的和=x+x+1+x+6+x+7=4x+14，
故答案为：4x+14
15．“弟子事师，敬同于父”，尊师重教是国人传统．教师节来临之际，学生为老师送上小礼物，譬如一束鲜花、一张自制贺卡或一个电话，表达对老师的尊重与敏意，是件温馨的事，据统计，七年级一班的学生给老师准备的教师节小礼物有三种形式：一束鲜花；一束鲜花加一张自制贺卡；一束鲜花加一张自制贺卡与一个电话．若他们所准备的礼物总共为束鲜花，张自制贺卡，个电话，则他们准备A种形式的礼物 份．
【答案】或
【解析】由题意得：B+C的份数为2a，
则B+C中有2a束鲜花，
故A中鲜花的数量为：m-2a，
故答案为：．
16．如图1，把一个长为m、宽为n的长方形（m＞n）沿虚线剪开，拼接成图2，成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长（用含m，n的式子表示）为 .
【答案】
【解析】设去掉的小正方形的边长是x.
∵把一个长为m、宽为n的长方形（m＞n）沿虚线剪开，拼接成图2，成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，
∴x+n=m﹣x，
∴x= .
故答案为： .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．在求的值时，小明发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的倍，于是他设：；然后在式的两边都乘以，得：；得，即．
（1）求的值；
（2）求且的值．
【答案】（1）解：设，
，
得：，
即；
（2）解：设，
则，，
得：，
，
．
18．现有一块长方形菜地，长24米，宽20米.菜地中间欲铺设横、纵两条道路（图中空白部分），如图1所示，纵向道路的宽是横向道路的宽的2倍，设横向道路的宽是x米（x＞0）.
（1）填空：在图1中，纵向道路的宽是 米；（用含x的代数式表示）
（2）试求图1中菜地（阴影部分）的面积；
（3）若把横向道路的宽改为原来的2.2倍，纵向道路的宽改为原来的一半，如图2所示，设图1与图2中菜地的面积（阴影部分）分别为 ，试比较 的大小.
【答案】（1）2x
（2）解：由题意，图1中菜地的面积为24×20﹣(24×2x+20×x﹣x·2x)=2x2﹣68x+480(平方米)，
答：图1中菜地（阴影部分）的面积为（2x2﹣68x+480）平方米；
（3）解：由题意，图1中菜地的面积S1= 2x2﹣68x+480（平方米）
图2中横向道路的宽为2.2x米，纵向道路的宽为x米，
∴图2中菜地的面积S2=24×20﹣(24×x+20×2.2x﹣x·2.2x=2.2x2﹣68x+480(平方米)，
∵x＞0，∴x2＞0，
∴S1﹣S2=(2x2﹣68x+480)﹣（2.2x2﹣68x+480）=﹣0.2x2＜0，
∴S1＜S2.
【解析】（1）∵横向道路的宽是x米，且纵向道路的宽是横向道路的宽的2倍，
∴纵向道路的宽是2x米，
故答案为：2x；
19．已知一列多项式： ， ， ， ， ， ， ， ， .
（1）第9个多项式是 ，第10个多项式是 ；
（2）当 是奇数时，第 个多项式是 ，第 个多项式是 ；
（3）已知 ，求前100个多项式的和.
【答案】（1）；
（2）；
（3）解：通过观察，得
=
当 时，前100个多项式的和是 .
【解析】（1）第9个多项式是 ，第10个多项式是 ；
故答案为： ， ；
（2）当 是奇数时，第 个多项式是 ，
第 个多项式是 ；
故答案为： ， ；
20．定义：关于 的两个一次二项式，其中任意一个式子的一次项系数都是另一个式子的常数，则称这两个式子互为“对称二项式”．例如，式子 与 互为“对称二项式”．
（1）判断式子 与 （填“是”或“不是”）互为“对称二项式”
（2）已知式子 的“对称二项式”是 且数 在数轴上所对应的点为 ．①若数轴上有一点 到 两点的距离的和 ，则点 在数轴上的数是 ▲ ，②若 ，求 的值．
【答案】（1）不是
（2）解： 式子 的“对称二项式”是
．
①设点 在数轴上的数是
，
当 时， ，解得： ；
当 时， ，方程无解；
当 时， ，解得： ；
点 在数轴上的数是 或 ；
②∵ ，
∴
∴ ．
【解析】（1）不是，
的一次项系数是 ， 的常数是 ，
式子 与 不是互为“对称二项式”；
21．数学上，我们把 称作二阶行列式，规定它的运算法则为 ，例 ，请根据阅读理解上述材料解答下列各题：
（1） ；
（2）计算：
（3）已知实数 满足行列式 ，求代数式 的值.
【答案】（1）-15
（2）解：由
（ 为正整数）
（一共 个）
（3）解：
∴
=
=
=
=
=
【解析】（1） ，
22．阅读理解：李华是一个勤奋好学的学生，他常常通过书籍、网络等渠道主动学习各种知识.下面是他从网络搜到的两位数乘11的速算法，其口诀是：“头尼一拉，中间相加，满十进一”.例如：① .计算过程： 两数拉开，中间相加，即 ，最后结果 ；② .计算过程： 两数分开，中间相加，即 ，满十进一，最后结果 .
（1）计算：① ， ② ；
（2）若某一个两位数十位数字是a，个位数字是 ，将这个两位数乘11，得到一个三位数，则根据上述的方法可得，该三位数百位数字是 ，十位数字是 ， 个位数字是 ； ( 用含 的化数式表示)
（3）请你结合(2)利用所学的知识解释其中原理.
【答案】（1）352；858
（2）a；；b
（3）解：两位数乘以 可以看成这个两位数乘以 再加上这个两位数，若两位数的十位数为a，个位数为b，则 根据上述代数式，不难总结出规律口诀：头尾一拉，中间相加，满十进一.
【解析】(1) ，
计算过程： 两数拉开，中间相加，即 ，最后结果 ；
，计算过程： 两数拉开，中间相加，即 ，满十进一，最后结果 ； 故答案为：① ；② ；
(2) 某一个两位数十位数字是a，个位数字是 ，则根据数拉开，中间相加得到：百位数字是：a，十位数字是 ，个位数字是：b；
故答案为：a,a+b，b；
23．如图是某市民健身广场的平面示意图，它是由6个正方形拼成的长方形，已知中间最小的正方形 的边长是1米；
（1）若设图中最大正方形 的边长是 米，请用含 的代数式分别表示出正方形 的边长
（2）观察图形的特点可知，长方形相对的两边是相等的(即 ， )请根据以上结论，求出 的值
（3）现沿着长方形广场的四条边铺设下水管道，由甲、乙工程队单独铺设分别需要10天、15天完成，如果两队从同一位置开始，沿相反的方向同时施工2天后，因甲队另有任务，余下的工程由乙队单独施工，还要多少天完成
【答案】（1）解：若设图中最大正方形B的边长是x米，最小的正方形的边长是1米.
∴F的边长为：（x-1）米，
∴C的边长为： 米，
∴E的边长为：x-1-1=（x-2）米；
（2）解：∵MQ=PN，
∴x-1+x-2=x+ ，
解得：x=7，
∴x的值为7；
（3）解：设余下的工程由乙队单独施工，还要x天完成.
∴（ + ）×2+ x=1，
解得：x=10.
答：余下的工程由乙队单独施工，还要10天完成.
24．综合与探究
如图，数轴上有一点从原点开始出发，先向左移动（1个单位长度表示）到达点，再向左移动到达点，然后向右移动到达点．
（1）请在题中所给的数轴上表示出，，三点的位置．
（2）把点到点的距离记为，则 cm；若数轴上的点表示的数为，点表示的数为，则 cm．
（3）若点以每秒的速度向左移动，同时点，分别以每秒、的速度向右移动，设移动时间为秒，试探究的值是否会随着的变化而变化，请说明理由．
【答案】（1）解：如图所示
；
（2）6；y-x
（3）解：不会变，理由如下：
当移动时间为秒时，点，，分别表示的数为，，，
则，，
的值不会随着的变化而变化．
【解析】（2）解：；
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浙教版2023-2024学年七上数学第4章代数式 尖子生测试卷1
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．设某代数式为A，若存在实数x0使得代数式A的值为负数，则代数式A可以是（ ）
A．|3﹣x| B．x2+x C． D．x2﹣2x+1
2．下列各说法中，错误的是（ ）
A．代数式x2+y2的意义是x、y的平方和
B．代数式5（x+y）的意义是5与（x+y）的积
C．x的5倍与y的和的一半，用代数式表示为5x+
D．比x的2倍多3的数，用代数式表示为2x+3
3．如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为1，那么代数式 +x2-cd的值等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．将1，2，3，4...，60这60个自然数，任意分成30组，每组两个数，将每组的两个数中的任意一个数记做a，另一个数记做b，代入代数式(|a-b|+a+b)中进行计算，求出结果，30组分别代入后可求出30个结果，则这30个值的和的最大值是（ ）
A．1365 B．1565 C．1735 D．1830
5．某市举行的青年歌手大奖赛今年共有a人参加，比赛的人数比去年增加20%还多3人，设去年参赛的有x人，则x为（ ）
A． B．（1+20%）a+3 C． D．（1+20%）a﹣3
6．若（x﹣1）3=a3x3+a2x2+a1x+a0，那么a3+a2+a1=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知代数式m2+m+1=0，那么代数式2018﹣2m2﹣2m的值是（ ）
A．2016 B．-2016 C．2020 D．-2020
8．已知x=﹣2015，计算|x2+2014x+1|+|x2+2016x﹣1|的值为（ ）
A．4030 B．4031 C．4032 D．4033
9．如图，用三个同图①的长方形和两个同图②的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形ABCD，两种方式未覆盖的部分(阴影部分)的周长相等，那么图①中长方形的面积S1与图②中长方形的面积S2的比是（ ）
A．2：3 B．1：2 C．3：4 D．1：1
（第9题） （第10题）
10．已知线段AB=a，C，D，E分别是AB，BC，AD的中点，分别以点C，D，E为圆心，CB，DB，EA为半径作圆得如图所示的图案，则图中三个阴影部分图形的周长之和为（ ）
A．9πa B．8πa C． πa D． πa
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若 ，则 ．
12．某同学做作业时把5（a-3）错抄成了5a-3，抄错后的答案为y，正确答案为x，则x - y的值为 ．
13．若 ，则6-20 .
14．如图是某月的月历，用带阴影的方框恰好盖住四个数，若这样的阴影方框可以上下左右移动，选中覆盖了这张日历表中的4个数，设表示的数是，则这4个数的和为 ．（用含的代数式表示）
（第14题） （第16题）
15．“弟子事师，敬同于父”，尊师重教是国人传统．教师节来临之际，学生为老师送上小礼物，譬如一束鲜花、一张自制贺卡或一个电话，表达对老师的尊重与敏意，是件温馨的事，据统计，七年级一班的学生给老师准备的教师节小礼物有三种形式：一束鲜花；一束鲜花加一张自制贺卡；一束鲜花加一张自制贺卡与一个电话．若他们所准备的礼物总共为束鲜花，张自制贺卡，个电话，则他们准备A种形式的礼物 份．
16．如图1，把一个长为m、宽为n的长方形（m＞n）沿虚线剪开，拼接成图2，成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长（用含m，n的式子表示）为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．在求的值时，小明发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的倍，于是他设：；然后在式的两边都乘以，得：；得，即．
（1）求的值；
（2）求且的值．
18．现有一块长方形菜地，长24米，宽20米.菜地中间欲铺设横、纵两条道路（图中空白部分），如图1所示，纵向道路的宽是横向道路的宽的2倍，设横向道路的宽是x米（x＞0）.
（1）填空：在图1中，纵向道路的宽是 米；（用含x的代数式表示）
（2）试求图1中菜地（阴影部分）的面积；
（3）若把横向道路的宽改为原来的2.2倍，纵向道路的宽改为原来的一半，如图2所示，设图1与图2中菜地的面积（阴影部分）分别为 ，试比较 的大小.
19．已知一列多项式： ， ， ， ， ， ， ， ， .
（1）第9个多项式是 ，第10个多项式是 ；
（2）当 是奇数时，第 个多项式是 ，第 个多项式是 ；
（3）已知 ，求前100个多项式的和.
20．定义：关于 的两个一次二项式，其中任意一个式子的一次项系数都是另一个式子的常数，则称这两个式子互为“对称二项式”．例如，式子 与 互为“对称二项式”．
（1）判断式子 与 （填“是”或“不是”）互为“对称二项式”
（2）已知式子 的“对称二项式”是 且数 在数轴上所对应的点为 ．①若数轴上有一点 到 两点的距离的和 ，则点 在数轴上的数是 ▲ ，②若 ，求 的值．
21．数学上，我们把 称作二阶行列式，规定它的运算法则为 ，例 ，请根据阅读理解上述材料解答下列各题：
（1） ；
（2）计算：
（3）已知实数 满足行列式 ，求代数式 的值.
22．阅读理解：李华是一个勤奋好学的学生，他常常通过书籍、网络等渠道主动学习各种知识.下面是他从网络搜到的两位数乘11的速算法，其口诀是：“头尼一拉，中间相加，满十进一”.例如：① .计算过程： 两数拉开，中间相加，即 ，最后结果 ；② .计算过程： 两数分开，中间相加，即 ，满十进一，最后结果 .
（1）计算：① ， ② ；
（2）若某一个两位数十位数字是a，个位数字是 ，将这个两位数乘11，得到一个三位数，则根据上述的方法可得，该三位数百位数字是 ，十位数字是 ， 个位数字是 ； ( 用含 的化数式表示)
（3）请你结合(2)利用所学的知识解释其中原理.
23．如图是某市民健身广场的平面示意图，它是由6个正方形拼成的长方形，已知中间最小的正方形 的边长是1米；
（1）若设图中最大正方形 的边长是 米，请用含 的代数式分别表示出正方形 的边长
（2）观察图形的特点可知，长方形相对的两边是相等的(即 ， )请根据以上结论，求出 的值
（3）现沿着长方形广场的四条边铺设下水管道，由甲、乙工程队单独铺设分别需要10天、15天完成，如果两队从同一位置开始，沿相反的方向同时施工2天后，因甲队另有任务，余下的工程由乙队单独施工，还要多少天完成
24．综合与探究
如图，数轴上有一点从原点开始出发，先向左移动（1个单位长度表示）到达点，再向左移动到达点，然后向右移动到达点．
（1）请在题中所给的数轴上表示出，，三点的位置．
（2）把点到点的距离记为，则 cm；若数轴上的点表示的数为，点表示的数为，则 cm．
（3）若点以每秒的速度向左移动，同时点，分别以每秒、的速度向右移动，设移动时间为秒，试探究的值是否会随着的变化而变化，请说明理由．
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