【同步分层作业】3.2图形的旋转（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
3.2图形的旋转 同步分层作业
基础过关
1．下列现象：
①传送带上物品位置的移动；②一物体从高空落下；③摩天轮的转动；④拧瓶盖；⑤用扳手拧螺母．
其中属于旋转的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．②③④⑤
2．将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（　　）
A．B． C． D．
3.如图，图形绕点O旋转后可得到下列哪个图形（　　）
A． B． C． D．
4．如图，该图形围绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（　　）
A．72° B．108° C．144° D．216°
5．如图，在△ABC中，∠CAB＝76°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使CC'∥AB，则∠BAB'等于（　　）
A．28° B．30° C．36° D．38°
6．如图，在正方形网格中，△EFG绕某一点旋转某一角度得到△RPQ．则旋转中心可能是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
7．如图，△ABC绕A顺时针旋转使得C点落在BC边上的F处，则对于结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原来的图案重合，那么n的最小值是 　　．
9．已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）．
（1）作出△ABC绕点O顺时针方向旋转90°后得到的△A1B1C1；
（2）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转30°得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E．
（1）求∠E的度数；
（2）求DE的长．
能力提升
11．图形绕O点 　 　方向旋转 　 　度可以得到图形．
12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段AB上，连接BE．下列结论：①DC平分∠ADE；②∠BDE＝∠BCE；③BD⊥BE；④BC＝DE．其中所有正确结论的序号是 　 　．
13．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转一定的角度α，若0°＜α＜90°，直线A1C1分别交AB，AC于点G，H，当△AGH为等腰三角形时，则CH的长为　　．
14.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；
（3）求△ABC的面积，直接写出结果．
（4）在x轴上有一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
15.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α，得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．且点A、B、E在同一条直线上．
（1）求证：DA平分∠BDE；
（2）若AC⊥DE，求旋转角α的度数．
16.如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）填空：△ABF可看作是由△ADE绕点A顺时针旋转 　 　度得到的；
（3）①若∠DAE＝20°，则∠EFC的度数为 　　；
②若BC＝4，DE＝3，求△AEF的面积．
培优拔尖
17．一副三角板按图1的形式摆放，把含45°角的三角板固定，含30°角的三角板绕直角顶点逆时针旋转，设旋转的角度为α（0°＜α＜130°）．在旋转过程中，当两块三角板有两边平行时，α的度数为 　　．

18．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，若AE＝6，连接CF，则CF的长为 　 　．

19．如图，已知正方形ABCD的边长为3，动点P满足CP＝2，将点P绕点D按逆时针方向旋转90°，得到点Q，连接BQ，则BQ的最大值是 　　．
20．已知A、B是线段MN上的两点，MN＝4，MA＝1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC．设AB＝x，请解答：
（1）x的取值范围　 ；
（2）若△ABC是直角三角形，则x的值是　 ．
21.如图（1），在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．
（1）求证：AE＝BC；
（2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE'F′，连接CE′，BF′，求证：CE′＝BF′；
（3）在图（2）的旋转过程中当旋转角α＝　 　时，CE′∥AB．
22．在正方形ABCD中，点E在射线BC上（不与点B、C重合），连接DB，DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF．
（1）如图1，点E在BC边上．
①依题意补全图1；
②若AB＝6，EC＝2，求BF的长；
（2）如图2，点E在BC边的延长线上，用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系．
答案与解析
基础过关
1．下列现象：
①传送带上物品位置的移动；②一物体从高空落下；③摩天轮的转动；④拧瓶盖；⑤用扳手拧螺母．
其中属于旋转的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．②③④⑤
【点拨】根据旋转是在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，可得答案．
【解析】解：③摩天轮的转动；④拧瓶盖；⑤用扳手拧螺母是旋转，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了生活中的旋转现象，旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．
2．将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（　　）
A．B． C． D．
【点拨】根据旋转的性质，△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，点A与点D、B与E关于点O成中心对称解答．
【解析】解：∵△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，
∴作图正确的是C选项图形．
故选：C．
【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，熟记旋转的性质，判断出对应点关于点O对称是解题的关键．
3.如图，图形绕点O旋转后可得到下列哪个图形（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据旋转的性质即可求解．
【解析】解：将图形绕点O顺时针旋转90°得到
而其他选项的图形不能由原图形旋转得出，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
4．如图，该图形围绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（　　）
A．72° B．108° C．144° D．216°
【点拨】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72°的整数倍，就可以与自身重合；不是旋转72°的整数倍，就不能与其自身重合，即可得出结果．
【解析】解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合，
因而A、C、D选项都符合题意，
旋转角为108°时，旋转后不能与自身重合，
不符合题意的是B选项．
故选：B．
【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
5．如图，在△ABC中，∠CAB＝76°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使CC'∥AB，则∠BAB'等于（　　）
A．28° B．30° C．36° D．38°
【点拨】旋转中心为点A，B与B′，C与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角∠BAB′＝∠CAC′，AC＝AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA＝∠CAB，把问题转化到等腰△ACC′中，根据内角和定理求∠CAC′．
【解析】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝76°，
∴∠C′CA＝∠CAB＝76°，
又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，
∴AC＝AC′，即△ACC′为等腰三角形，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝28°．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．
6．如图，在正方形网格中，△EFG绕某一点旋转某一角度得到△RPQ．则旋转中心可能是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【点拨】连接ER、FP、GQ，作FP的垂直平分线，作ER的垂直平分线，作GQ的垂直平分线，交点为旋转中心．
【解析】解：如图，
∵△EFG绕某一点旋转某一角度得到△RPQ，
∴连接ER、FP、GQ，
作FP的垂直平分线，作ER的垂直平分线，作GQ的垂直平分线，
∴三条线段的垂直平分线正好都过C，
即旋转中心是C．
故选：C．
【点睛】本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．
7．如图，△ABC绕A顺时针旋转使得C点落在BC边上的F处，则对于结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【点拨】根据旋转的性质：旋转前后的两个三角形全等以及旋转角的定义即可判断．
【解析】解：根据旋转的性质：旋转前后的两个三角形全等，可以得到：△ABC≌△AEF，
则：∠BAC＝∠EAF，AC＝AF，EF＝BC，故①③是正确的；
∠EAB＝∠EAF﹣∠BAF＝∠BAC﹣∠BAF＝∠FAC，故④正确；
∠FAB与∠EAB不一定相等，故②错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．熟记性质并准确识图，理清角度之间的关系是解题的关键．
8．风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原来的图案重合，那么n的最小值是 　120　．
【点拨】由于该图形被平均分成三部分，因而旋转120°的整数倍，就可以与自身重合．
【解析】解：∵该图形被平均分成三部分，旋转120°的整数倍，就可以与自身重合，
故n的最小值为120，
故答案为：120．
【点睛】本题考查了旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，旋转的角度叫做旋转角．
9．已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）．
（1）作出△ABC绕点O顺时针方向旋转90°后得到的△A1B1C1；
（2）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2．
【点拨】（1）利用网格的特点和旋转的性质进行作图即可得；
（2）利用网格的特点和中心对称的性质进行作图即可得．
【解析】解：（1）如图所示，三角形A1B1C1即为所求作；
（2）如图所示，三角形A2B2C2即为所求作．
【点睛】本题考查了作图——旋转变换、中心对称，解题的关键是掌握旋转和中心对称的性质．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转30°得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E．
（1）求∠E的度数；
（2）求DE的长．
【点拨】（1）根据旋转的性质得∠BAC＝∠CAD＝30°，再利用三角形内角和定理求出∠B的度数，进而得出∠E的度数；
（2）作CH⊥AE于H，由含30°角的直角三角形的性质得CH＝2，在Rt△ACH中，由勾股定理得，AH＝2，再利用等腰直角三角形的性质得CH＝EH＝2，进而得出答案．
【解析】解：（1）∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转30°得到△ACD，
∴∠BAC＝∠CAD＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝75°，
∴∠E＝180°﹣75°﹣60°＝45°；
（2）作CH⊥AE于H，
∵∠CAD＝30°，AC＝4，
∴CH＝2，
在Rt△ACH中，由勾股定理得，AH＝2，
∴DH＝4﹣2，
∵∠E＝45°，
∴EH＝CH＝2，
∴DE＝EH﹣DH＝2﹣（4﹣2）＝2﹣2．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形内角和定理，含特殊角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
能力提升
11．图形绕O点 　逆时针　方向旋转 　90　度可以得到图形．
【点拨】根据旋转的性质即可得到结论．
【解析】解：图形绕O点逆时针方向旋转90度可以得到图形．
故答案为：逆时针，90．
【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握性质的性质是解题的关键．
12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段AB上，连接BE．下列结论：①DC平分∠ADE；②∠BDE＝∠BCE；③BD⊥BE；④BC＝DE．其中所有正确结论的序号是 　①②③　．
【点拨】利用等腰三角形的性质以及旋转不变性得出∠A＝∠CDA，∠A＝∠CDE，得出∠CDA＝∠CDE，即可判断①，设BC，DE交于点F，根据外角的性质得出∠BFE＝∠FCE+∠FEC＝∠FDB+∠FBD，根据旋转的性质得出∠ABC＝∠DEC，进而即可判断②，根据旋转的性质以及三角形内角和定理，证明∠DBE+∠DCE＝180°，即可判断③，根据旋转的性质，DE＝AB，而AB≠BC，即可判断④，即可求解．
【解析】解：∵△DCE是由△ACB旋转得到，
∴CA＝CD，∠A＝∠CDE，
∴∠A＝∠CDA，
∴∠CDA＝∠CDE，
∴CD平分∠ADE；
故①正确，
如图，设BC，DE交于点F，
∴∠BFE＝∠FCE+∠FEC＝∠FDB+∠FBD，
∵旋转，
∴∠ABC＝∠DEC，
∴∠BDE＝∠BCE，故②正确；
由旋转的性质可知，∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CD，CB＝CE，
∴∠CAD＝∠CDA＝∠CBE＝∠CEB，
∵∠ABC+∠CAB+∠ACD+∠DCB＝180°，
∴∠ABC+∠CBE+∠DCB+∠BCE＝180°，
∴∠DCE+∠DBE＝180°，
∵∠DCE＝90°，
∴∠DBE＝90°，
∴BE⊥AB；
由旋转的性质，DE＝AB，而AB≠BC，
∴BC≠DE，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，综合运用以上知识是解题的关键．
13．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转一定的角度α，若0°＜α＜90°，直线A1C1分别交AB，AC于点G，H，当△AGH为等腰三角形时，则CH的长为　﹣1或1　．
【点拨】分两种情形：如图1中，当AG＝AH时，如图2中，当GA＝GH时，过点G作GM⊥AH于M．分别求解即可．
【解析】解：如图1中，当AG＝AH时，
∵AG＝AH，
∴∠AHG＝∠AGH，
∵∠A＝∠A1，∠AGH＝∠A1GB，
∴∠AHG＝∠A1BG，
∴∠A1GB＝∠A1BG，
∴AB＝AG＝5，
∴GC1＝A1G﹣A1C1＝1，
∵∠BC1G＝90°，
∴BG＝＝＝，
∴AH＝AG＝AB﹣BG＝5﹣，
∴CH＝AC﹣AH＝4﹣（5﹣）＝﹣1．
如图2中，当GA＝GH时，过点G作GM⊥AH于M．
同法可证，GB＝GA1，设GB＝GA1＝x，则有x2＝32+（4﹣x）2，
解得x＝，
∴BG＝，AG＝5﹣＝，
∵GM∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴AM＝，
∵GA＝GH，GM⊥AH，
∴AM＝HM，
∴AH＝3，
∴CH＝AC﹣AH＝1．
综上所述，满足条件的CH的值为﹣1或1．
【点睛】考查了旋转变换，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论使得思想思考问题，属于中考常考题型．
14.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；
（3）求△ABC的面积，直接写出结果．
（4）在x轴上有一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
【点拨】（1）分别作出点A、B、C关于x轴的对称点，再顺次连接即可得；
（2）分别作出点A、C绕点B逆时针旋转90°后所得对应点，再顺次连接可得；
（3）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（4）点B关于x轴的对称点B1的坐标为（1，﹣1），利用待定系数法求出直线AB1解析式，求出y＝0时x的值，据此可得．
【解析】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图：△A2BC2即为所求；
（3）△ABC的面积＝3×3﹣×1×3﹣×1×2﹣×2×3＝3.5；
（4）点B关于x轴的对称点B1的坐标为（1，﹣1），
设直线AB1解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
则直线AB1解析式为y＝5x﹣6，
当y＝0时，5x﹣6＝0，
解得：x＝1.2，
则点P坐标为（1.2，0），
故答案为：（1.2，0 ）．
【点睛】本题主要考查作图﹣轴对称变换、旋转变换，解题的关键是根据轴对称变换和旋转变换得到变换后的对应点．
15.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α，得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．且点A、B、E在同一条直线上．
（1）求证：DA平分∠BDE；
（2）若AC⊥DE，求旋转角α的度数．
【点拨】（1）根据旋转的性质可得：∠1＝∠B，AD＝AB，然后利用等边对等角可得∠2＝∠B，从而可得∠1＝∠2，即可解答；
（2）设AC与DE交于点O，根据旋转的性质可得：AB＝AD，∠3＝∠4＝α，∠C＝∠E，再根据垂直定义可得∠AOE＝90°，从而可得∠C＝∠E＝90°﹣α，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠2＝∠B＝90°﹣α，再根据三角形的外角性质可得∠4＝∠B+∠C，从而可得α＝90°﹣α+90°﹣α，最后进行计算即可解答．
【解析】（1）证明：如图：
由旋转得：∠1＝∠B，AD＝AB，
∴∠2＝∠B，
∴∠1＝∠2，
∴DA平分∠EDB；
（2）解：如图，设AC与DE交于点O，
由旋转得：AB＝AD，∠3＝∠4＝α，∠C＝∠E，
∵AC⊥DE，
∴∠AOE＝90°，
∴∠C＝∠E＝90°﹣∠4＝90°﹣α，
∵AB＝AD，
∴∠2＝∠B＝＝＝90°﹣α，
∵∠4是△ABC的一个外角，
∴∠4＝∠B+∠C，
∴α＝90°﹣α+90°﹣α，
解得：α＝72°，
∴旋转角α的度数为72°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
16.如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）填空：△ABF可看作是由△ADE绕点A顺时针旋转 　90　度得到的；
（3）①若∠DAE＝20°，则∠EFC的度数为 　25°　；
②若BC＝4，DE＝3，求△AEF的面积．
【点拨】（1）根据正方形的性质得AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°，然后利用“SAS”易证得△ADE≌△ABF；
（2）由于△ADE≌△ABF得∠BAF＝∠DAE，则∠BAF+∠BAE＝90°，即∠FAE＝90°，根据旋转的定义可得到△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到；
（3）①先利用勾股定理可计算出AE＝10，再根据△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到AE＝AF，∠EAF＝90°，得出∠AFE＝45°，即可得出∠EFC，
②然后根据直角三角形的面积公式计算即可．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°，
而F是CB的延长线上的点，
∴∠ABF＝90°，
在△ADE和△ABF中，
，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；
（2）解：∵△ADE≌△ABF，
∴∠BAF＝∠DAE，
而∠DAE+∠EAB＝90°，
∴∠BAF+∠EAB＝90°，即∠FAE＝90°，
∴△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到；
故答案为：90；
（3）解：①∵BC＝8，
∴AD＝8，
在Rt△ADE中，DE＝3，AD＝4，
∴AE＝＝5，
∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到，
∴AE＝AF，∠EAF＝90°，
∴∠AFE＝45°，
∵∠BAF＝∠DAE＝20°，
∴∠AFB＝70°，
∴∠EFC＝70°﹣45°＝25°，
故答案为：25°；
②△AEF的面积＝AE2＝×25＝12.5．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理．
培优拔尖练
17．一副三角板按图1的形式摆放，把含45°角的三角板固定，含30°角的三角板绕直角顶点逆时针旋转，设旋转的角度为α（0°＜α＜130°）．在旋转过程中，当两块三角板有两边平行时，α的度数为 　30°或45°或120°　．

【点拨】旋转过程中会出现多种平行①CD∥OB，②OC∥AB，③DC∥OA，④OD∥AB，分别运算即可．
【解析】解：①如图1，当CD∥OB时，∠α＝∠D＝30°；
②如图2，当OC∥AB时，∠OEB＝∠COD＝90°，
∴∠α＝90°﹣∠B＝90°﹣45°＝45°；
③如图3．当DC∥OA时，∠DOA＝∠D＝30°，
∴∠α＝∠AOB+∠AOD＝90°+30°＝120°．
④当OD∥AB时，旋转角大于130°，不符合题意．
故答案为：30°或45°或120°．
【点睛】本题考查了旋转和平行线的性质，在旋转过程中出现多种平行要逐个分析判定是本题的关键．
18．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，若AE＝6，连接CF，则CF的长为 　或2　．
【点拨】分点E在BC上或在CD上，如图，作FM⊥AC于M，利用AAS证明△ABE≌△AMF，得AB＝AM＝8，FM＝BE，再利用勾股定理解决问题．
【解析】解：当点E在BC上时，如图，作FM⊥AC于M，
∵∠EAF＝∠BAC，
∴∠BAE＝∠FAM，
∵∠ABE＝∠AMF，AE＝AF，
∴△ABE≌△AMF（AAS），
∴AB＝AM＝8，FM＝BE，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝10，
在Rt△ABE中，由勾股定理得，BE＝2，
∴CM＝AC﹣AM＝10﹣8＝2，FM＝BE＝2，
在Rt△CFM中，CF＝＝，
当点E在CD上时，作EH⊥AB于H，FM⊥AC于M，
同理可得，△ABE≌△AMF（AAS），
∴AB＝AM，FM＝BE，
∵AE＝6，EH＝6，
∴AH＝6，
∴AM＝FM＝6，
∴CM＝4，
在Rt△CFM中，CF＝＝2，
故答案为：或2．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，构造全等三角形是解题的关键．
19．如图，已知正方形ABCD的边长为3，动点P满足CP＝2，将点P绕点D按逆时针方向旋转90°，得到点Q，连接BQ，则BQ的最大值是 　5　．

【点拨】连接AQ，由旋转可得DP＝DQ，再结合正方形的性质，利用SAS可证明△ADQ≌△CDP得出AQ＝CP＝2，进而可知点Q的运动轨迹是以点A为圆心，半径为2的圆，当点Q在BA的延长线上时，BQ的值最大，从而得出结果．
【解析】解：如图，连接AQ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°，
由旋转得，DP＝DQ，∠QDP＝90°，
∴∠ADC﹣∠QDC＝∠QDP﹣∠QDC，
∴∠ADQ＝∠CDP，
∴△ADQ≌△CDP（SAS），
∴AQ＝CP＝2，
∴点Q的运动轨迹是以点A为圆心，半径为2的圆，
∴当点Q在BA的延长线上时，BQ的值最大，如图所示，
∴BQ的最大值＝AB+AQ＝3+2＝5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正确得出点Q的运动轨迹是解题的关键．
20．已知A、B是线段MN上的两点，MN＝4，MA＝1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC．设AB＝x，请解答：
（1）x的取值范围　1＜x＜2　；
（2）若△ABC是直角三角形，则x的值是　x＝或x＝　．
【点拨】（1）表示出BN，再根据旋转的性质可得MA＝AC，BN＝BC，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边和三角形的任意两边之差小于第三边列出不等式组求解即可；
（2）分三种情况讨论，由勾股定理可求解．
【解析】解：（1）∵MN＝4，MA＝1，AB＝x，
∴BN＝4﹣1﹣x＝3﹣x，
由旋转的性质得，MA＝AC＝1，BN＝BC＝3﹣x，
由三角形的三边关系得
，
∴x的取值范围是1＜x＜2；
故答案为：1＜x＜2；
（2）∵△ABC是直角三角形，
∴若AC为斜边，则1＝x2+（3﹣x）2，即x2﹣3x+4＝0，无解，
若AB为斜边，则x2＝（3﹣x）2+1，解得x＝，满足1＜x＜2，
若BC为斜边，则（3﹣x）2＝1+x2，解得x＝，满足1＜x＜2，
故x的值为：x＝或x＝，
故答案为：x＝或x＝．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的三边关系，勾股定理，二次函数的最值问题，（1）难点在于考虑利用三角形的三边关系列出不等式组，（2）难点在于求解利用勾股定理列出的无理方程．
21.如图（1），在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．
（1）求证：AE＝BC；
（2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE'F′，连接CE′，BF′，求证：CE′＝BF′；
（3）在图（2）的旋转过程中当旋转角α＝　36°或72°　时，CE′∥AB．
【点拨】（1）根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC＝∠C＝72°，再根据角平分线的定义求出∠ABE＝∠CBE＝36°，然后求出∠BEC＝72°，从而得到∠ABE＝∠A，∠BEC＝∠C，再根据等角对等边证明即可；
（2）求出AE＝AF，再根据旋转的性质可得∠E′AC＝∠F′AB，AE′＝AF′，然后利用“边角边”证明△CAE′和△BAF′全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（3）把△AEF绕点A逆时针旋转AE′与过点C与AB平行的直线相交于M、N，然后分两种情况，根据等腰梯形的性质和等腰三角形的性质分别求解即可．
【解析】（1）证明：∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝×72°＝36°，
∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝36°+36°＝72°，
∴∠ABE＝∠A，∠BEC＝∠C，
∴AE＝BE，BE＝BC，
∴AE＝BC；
（2）证明：∵AB＝AC，EF∥BC，
∴AE＝AF，
由旋转的性质得，∠E′AC＝∠F′AB，AE′＝AF′，
在△CAE′和△BAF′中，
，
∴△CAE′≌△BAF′（SAS），
∴CE′＝BF′；
（3）解：存在CE′∥AB．
由（1）可知AE＝BC，
所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l相交于点M、N，如图，
①当点E的像E′与点M重合时，四边形ABCM是等腰梯形，
所以，∠BAM＝∠ABC＝72°，
又∵∠BAC＝36°，
∴α＝∠CAM＝36°；
②当点E的像E′与点N重合时，
∵CE′∥AB，
∴∠AMN＝∠BAM＝72°，
∵AM＝AN，
∴∠ANM＝∠AMN＝72°，
∴∠MAN＝180°﹣72°×2＝36°，
∴α＝∠CAN＝∠CAM+∠MAN＝36°+36°＝72°，
综上所述，当旋转角为36°或72°时，CE′∥AB．
故答案为：36°或72°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，（1）利用角的度数相等得到相等的角是解题的关键，（3）从圆弧的角度考虑求解是解题的关键，难点在于分情况讨论．
22．在正方形ABCD中，点E在射线BC上（不与点B、C重合），连接DB，DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF．
（1）如图1，点E在BC边上．
①依题意补全图1；
②若AB＝6，EC＝2，求BF的长；
（2）如图2，点E在BC边的延长线上，用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系．
【点拨】（1）①根据要求画出图形即可；
②过点F作FH⊥CB，交CB的延长线于H．证明△DCE≌△EHF（AAS），推出EC＝FH，DC＝EH，推出CE＝BH＝FH，再利用勾股定理解决问题即可；
（2）由②可得△DCE≌△EHF，推出EC＝FH，DC＝EH，推出CE＝BH＝FH，再利用等腰直角三角形的性质解决问题即可
【解析】解（1）图形如图所示．
过点F作FH⊥CB，交CB的延长线于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AB＝6，∠C＝90°，
∵∠DEF＝∠C＝90°，
∴∠DEC+∠FEH＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，
∴∠FEH＝∠EDC，
在△DEC和△EFH中，
，
∴△DEC≌△EFH（AAS），
∴EC＝FH＝2，CD＝BC＝EH＝6，
∴HB＝EC＝2，
∴Rt△FHB中，BF＝＝＝2．
（2）结论：BF+BD＝BE．
理由：过点F作FH⊥CB，交CB于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AB＝6，∠DCE＝90°，
∵∠DEF＝∠DCE＝90°，
∴∠DEC+∠FEH＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，
∴∠FEH＝∠EDC，
在△DEC和△EFH中，
，
∴△DEC≌△EFH（AAS），
∴EC＝FH，CD＝BC＝EH，
∴HB＝EC＝HF，
∴△DCB和△BHF都是等腰直角三角形，
∴BD＝BC＝HE，BF＝BH，
∵HE+BH＝BE，
∴BF+BD＝BE．
【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
所以影响时间应是：90÷5＝18秒．
答：这两台拖拉机沿ON方向行驶给小学带来噪音影响的时间是18秒．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，根据拖拉机行驶的方向，速度，以及它在以A为圆心，50米为半径的圆内行驶的BD的弦长，求出对小学产生噪音的时间．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)