【同步分层作业】3.4圆心角（含解析）

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3.4圆心角 同步分层作业
基础过关
1．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，若∠COD＝35°，则∠AOE的度数是（　　）
A．35° B．55° C．75° D．95°
2．如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，且AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，则下列结论错误的是（　　）
A． B．OE＝OF C．∠AOB＝∠COD D．
3．在⊙O中，弦AB等于圆的半径，则它所对应的圆心角的度数为（　　）
A．120° B．75° C．60° D．30°
4．已知弦AB把圆周分成1：3的两部分，则弦AB所对的圆心角的度数为（　　）
A．45° B．90° C．90° 或270° D．45°或135°
5．如图，AB，CD是⊙O的直径，，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是 　　．
6．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD＝CO．若的度数为35°，则的度数是　　．
7．如图，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，AB交半圆于点D，OB交半圆于点C，若点C、D、A在量角器上对应读数分别为45°，70°，150°，则∠AOB的度数为　　；∠A的度数为　　．
8．如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且AD＝CB，求证：AB＝CD．
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E．求、的度数．
10.如图，AB为⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F．且＝．
（1）求证：AE＝BF；
（2）作半径ON⊥AB于点M，若AB＝12，MN＝3，求OM的长．
题组B 能力提升练
11．如图，在⊙O中，＝2，则下列结论正确的是（　　）
A．AB＞2CD B．AB＝2CD C．AB＜2CD D．以上都不正确
12．如图，AB为⊙O的直径，点D是的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F．若，AE＝2，则⊙O的直径长为（　　）
A． B．8 C．10 D．
13．如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG＝MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（　　）
A．100° B．110° C．115° D．120°
14．如图，在半径为10的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（　　）
A．6 B． C．8 D．
15．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝18°，AE交⊙O于点B，且AB＝OD．则∠EOD＝　 　．
16．在半径为1的圆中，长度等于的弦所对的弧的度数为　 　．
17．如图，MN是⊙O的直径，MN＝8，∠AMN＝20°，点B为弧的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为　　．
18．如图，半径为5的⊙A中，弦BC、ED所对的圆心角分别是∠BAC、∠EAD，已知DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则圆心A到弦BC的距离等于　　．
19．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，M，N分别为AB，CD的中点，且∠AMN＝∠CNM，AB＝6，则CD＝　　．
20.如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．
（1）若∠A＝25°，求的度数；
（2）若BC＝9，AC＝12，求BD的长．
21.如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．
（1）求证：AB＝CD；
（2）如果⊙O的半径为5，DE＝1，求AE的长．
22.如图，已知圆O的弦AB与直径CD交于点E，且CD平分AB．
（1）已知AB＝6，EC＝2，求圆O的半径；
（2）如果DE＝3EC，求弦AB所对的圆心角的度数．
题组C 培优拔尖练
23．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，＝，CE＝1，AB＝6，则弦AF的长度为 　　．
24．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且＝．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若AB＝4，BC＝8，求半径OA的长．
答案与解析
基础过关
1．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，若∠COD＝35°，则∠AOE的度数是（　　）
A．35° B．55° C．75° D．95°
【点拨】由，可求得∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝35°，继而可求得∠AOE的度数．
【解析】解：∵，
∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝35°，
∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝75°．
故选：C．
【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
2．如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，且AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，则下列结论错误的是（　　）
A． B．OE＝OF C．∠AOB＝∠COD D．
【点拨】根据圆心角、弧、弦的关系即可判断出答案．
【解析】解：A、∵AB＝CD，∴＝，故不符合题意；
B、∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE＝AB，DF＝CD，
∵AB＝CD，
∴AE＝DF，
∵OA＝OD，
∴Rt△AOE≌Rt△DOF，
∴OE＝OF，故不符合题意；
C、∵AB＝CD，∴∠AOB＝∠COD，故不符合题意；
D、根据已知条件得不到＝，故符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系和垂径定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
3．在⊙O中，弦AB等于圆的半径，则它所对应的圆心角的度数为（　　）
A．120° B．75° C．60° D．30°
【点拨】连接OA、OB，如图，通过证明△OAB为等边三角形得到∠AOB＝60°．
【解析】解：连接OA、OB，如图，
∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
即弦AB所对应的圆心角的度数为60°．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，利用半径相等构建等腰三角形是解决问题的关键．
4．已知弦AB把圆周分成1：3的两部分，则弦AB所对的圆心角的度数为（　　）
A．45° B．90° C．90° 或270° D．45°或135°
【点拨】根据弦AB把圆周分成1：3的两部分求出的度数，再根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求出答案即可．
【解析】解：∵弦AB把圆周分成1：3的两部分，
∴的度数是×360°＝90°，
∴圆心角∠AOB的度数是90°或360°﹣90°＝270°，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能求出的度数是解此题的关键．
5．如图，AB，CD是⊙O的直径，，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是 　64°　．
【点拨】根据在同圆中，等弧所对的圆心角相等，可推出∠BOD＝∠AOE＝32°，再根据对顶角相等，可推出∠AOC＝∠BOD＝32°，最后用∠COE＝∠COA+∠AOE即可求解．
【解析】解：∵，∠AOE＝32°，
∴∠BOD＝∠AOE＝32°，
∵∠AOC＝∠BOD＝32°，
∴∠COE＝∠COA+∠AOE＝32°+32°＝64°．
故答案为：64°．
【点睛】本题主要考查等弧和圆心角的关系，熟知在同圆中，等弧所对的圆心角相等，和对顶角相等是解题的关键．
6．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD＝CO．若的度数为35°，则的度数是　105°　．
【点拨】连接OD，OE，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠AOD＝35°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可．
【解析】解：如图，连接OD，OE，
∵的度数为35°，
∴∠AOD＝35°，
∵CD＝CO，
∴∠ODC＝∠AOD＝35°，
∵OD＝OE，
∴∠ODC＝∠E＝35°，
∴∠DOE＝110°，
∴∠AOE＝75°，
∴∠BOE＝105°，
∴的度数是105°．
故答案为105°．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
7．如图，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，AB交半圆于点D，OB交半圆于点C，若点C、D、A在量角器上对应读数分别为45°，70°，150°，则∠AOB的度数为　105°　；∠A的度数为　50°　．
【点拨】根据量角器的知识，可直接求出∠AOB，连接OD，求出∠AOD，利用等腰三角形的性质可得∠A的度数．
【解析】解：
∵点C、D、A在量角器上对应读数分别为45°，70°，150°，
∴∠AOB＝∠MOA﹣∠MOC＝150°﹣45°＝105°，
连接OD，则OA＝OD，
∵∠AOD＝150°﹣70°＝80°，
∴∠A＝（180°﹣80°）＝50°．
故答案为：105°，50°．
【点睛】本题考查了圆周角定理的知识，解答本题的关键是掌握量角器的应用．
8．如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且AD＝CB，求证：AB＝CD．
【点拨】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可．
【解析】证明：∵AD＝CB，
∴＝，
∴+＝+，
即＝，
∴AB＝CD．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能根据定理求出＝是解此题的关键．
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E．求、的度数．
【点拨】连接CD，如图，利用互余计算出∠A＝62°，则∠A＝∠ADC＝62°，再根据三角形内角和定理计算出∠ACD＝56°，接着利用互余计算出∠DCE＝34°，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．
【解析】解：连接CD，如图，
∵∠C＝90°，∠B＝28°，
∴∠A＝90°﹣28°＝62°，
∵CA＝CD，
∴∠A＝∠ADC＝62°，
∴∠ACD＝180°﹣2×62°＝56°
∴的度数为56°；
∵∠DCE＝90°﹣∠ACD＝34°，
∴的度数为34°．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、等腰三角形的性质，掌握圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键．
10.如图，AB为⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F．且＝．
（1）求证：AE＝BF；
（2）作半径ON⊥AB于点M，若AB＝12，MN＝3，求OM的长．
【点拨】（1）连接OA、OB，证明△AOE≌△BOF（ASA），即可得出结论；
（2）连接OA，由垂径定理得出AM＝AB＝6，设OM＝x，则OA＝ON＝x+3，在Rt△AOM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解析】（1）证明：连接OA、OB，如图1所示：
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
∵＝，
∴∠AOE＝∠BOF，
在△AOE和△OBF中，
，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴AE＝BF．
（2）解：连接OA，如图2所示：
∵OM⊥AB，
∴AM＝AB＝6，
设OM＝x，则OA＝ON＝x+3，
在Rt△AOM中，由勾股定理得：62+x2＝（x+3）2，
解得：x＝4.5，
∴OM＝4.5．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
题组B 能力提升练
11．如图，在⊙O中，＝2，则下列结论正确的是（　　）
A．AB＞2CD B．AB＝2CD C．AB＜2CD D．以上都不正确
【点拨】首先取的中点E，连接AE，BE，由在⊙O中，＝2，可证得＝＝，即可得AE＝BE＝CD，然后由三角形的三边关系，求得答案．
【解析】解：取的中点E，连接AE，BE，
∵在⊙O中，＝2，
∴＝＝，
∴AE＝BE＝CD，
∵AE+BE＞AB，
∴2CD＞AB．
故选：C．
【点睛】此题考查了弧与弦的关系以及三角形的三边关系．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧，所对的弦相等．
12．如图，AB为⊙O的直径，点D是的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F．若，AE＝2，则⊙O的直径长为（　　）
A． B．8 C．10 D．
【点拨】连接OF，首先证明，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解析】解：如图，连接OF．
∵DE⊥AB，
∴DE＝EF，，
∵点D是弧AC的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
设OA＝OF＝x，
在Rt△OEF中，则有，
解得x＝4，
∴AB＝2x＝8．
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
13．如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG＝MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（　　）
A．100° B．110° C．115° D．120°
【点拨】过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K，由于DE＝FG＝MN，所以弦的弦心距也相等，所以OB、OC是角平分线，可求出∠POQ，进而可求出∠BOC．
【解析】解：如图，过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K，
∴∠APO＝∠AQO＝90°，
∵∠A＝50°，
∴∠POQ＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∵DE＝FG＝MN，
∴OP＝OK＝OQ，
∴OB、OC平分∠ABC和∠ACB，
∴∠BOC＝＝115°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查垂径定理，解题关键是构造出辅助线——弦心距．
14．如图，在半径为10的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（　　）
A．6 B． C．8 D．
【点拨】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OM的长．
【解析】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，
由垂径定理、勾股定理得：OM＝ON＝＝6，
∵弦AB、CD互相垂直，
∴∠DPB＝90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°
∴四边形MONP是矩形，
∵OM＝ON，
∴四边形MONP是正方形，
∴OP＝6．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确地作出辅助线．
15．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝18°，AE交⊙O于点B，且AB＝OD．则∠EOD＝　54°　．
【点拨】连接OB，根据等腰三角形的性质求出∠A＝∠BOA＝18°，根据三角形外角性质求出∠EBO，根据等腰三角形的性质求出∠E，再根据三角形的外角性质求出答案即可．
【解析】解：连接OB，
∵AB＝OD，OD＝OB，
∴AB＝OB，
∴∠BOA＝∠A，
∵∠A＝18°，
∴∠BOA＝18°，
∴∠EBO＝∠A+∠BOA＝36°，
∵OE＝OB，
∴∠E＝∠EBO＝36°，
∵∠A＝18°，
∴∠EOD＝∠A+∠E＝18°+36°＝54°，
故答案为：54°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的外角性质，能熟记等腰三角形的性质和三角形的外角性质是解此题的关键，注意：等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
16．在半径为1的圆中，长度等于的弦所对的弧的度数为　90°或270°　．
【点拨】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝，连接OA、OB，利用勾股定理的逆定理可判断△OAB为等腰直角三角形，则∠AOB＝90°，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解．
【解析】解：如图，⊙O的半径为1，弦AB＝，
连接OA、OB，
∵OA＝OB＝1，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB＝90°，
∴AB所所的弧的度数为90°或270°．
故答案为90°或270°．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
17．如图，MN是⊙O的直径，MN＝8，∠AMN＝20°，点B为弧的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为　4　．
【点拨】过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，由对称的性质可知＝，再由圆周角定理可求出∠A′ON的度数，再由勾股定理即可求解．
【解析】解：过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，
连接OB，OA′，AA′，
∵AA′关于直线MN对称，
∴＝，
∵∠AMN＝20°，
∴∠A′ON＝40°，∠BON＝20°，
∴∠A′OB＝60°，
∴△A′OB是等边三角形，
∴A′B＝MN＝4，即PA+PB的最小值4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及轴对称﹣最短路线问题，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．
18．如图，半径为5的⊙A中，弦BC、ED所对的圆心角分别是∠BAC、∠EAD，已知DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则圆心A到弦BC的距离等于　3　．
【点拨】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE＝∠BAF，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到DE＝BF＝6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH＝BH，易得AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH＝BF＝3．
【解析】解：作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，如图，
∵∠BAC+∠EAD＝180°，
而∠BAC+∠BAF＝180°，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴＝，
∴DE＝BF＝6，
∵AH⊥BC，
∴CH＝BH，
∵CA＝AF，
∴AH为△CBF的中位线，
∴AH＝BF＝3．
∴点A到弦BC的距离为：3．
解法二：如图，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥DE于N．
∵AM⊥BC，AN⊥DE，
∴CM＝MB，DN＝NE＝3，
∵AC＝AB＝AD＝AE，
∴∠BAC＝2∠MAC，∠EAD＝2∠DAN，
∵∠BAC+∠EAD＝180°，
∴2∠CAM+2∠DAN＝180°，
∴∠CAM+∠DAN＝90°，
∵∠ACM+∠CAM＝90°，
∴∠ACM＝∠DAN，
∵∠AMC＝∠AND＝90°，
∴△AMC≌△DNA（AAS），
∴AM＝DN＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质．
19．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，M，N分别为AB，CD的中点，且∠AMN＝∠CNM，AB＝6，则CD＝　6　．
【点拨】连接OM，ON，OA，OC，先根据垂径定理得出AM＝AB，CN＝CD，再由∠AMN＝∠CNM得出∠NMO＝∠MNO，即OM＝ON，再由OA＝OC可知Rt△AOM≌Rt△CON，故AM＝CN，由此即可得出结论．
【解析】解：连接OM，ON，OA，OC，
∵M、N分别为AB、CD的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM＝AB，CN＝CD，
∵∠AMN＝∠CNM，
∴∠NMO＝∠MNO，即OM＝ON，
在Rt△AOM与Rt△CON中，
，
∴Rt△AOM≌Rt△CON（HL），
∴AM＝CN，
∴AB＝CD＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
20.如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．
（1）若∠A＝25°，求的度数；
（2）若BC＝9，AC＝12，求BD的长．
【点拨】（1）求出∠B的度数，求出∠B所对的弧的度数，即可得出答案；
（2）根据勾股定理求出AB，根据割线定理得出比例式，即可得出答案．
【解析】解：（1）连接CD，
∵∠A＝25°，
∴∠B＝65°，
∵CB＝CD，
∴∠B＝∠CDB＝65°，
∴∠BCD＝50°，
∴∠DCE＝40°，
∴的度数为40°；
（2）延长AC交⊙C与点F，
∵∠BCA＝90°，CF＝BC＝9，AC＝12，
∴AB＝，AE＝12﹣9＝3．AF＝AC+CF＝12+9＝21，
∵AB与AF均是⊙C的割线，
∴AD AB＝AE AF，即15AD＝3×21，解得AD＝，
∴BD＝AB﹣AD＝15﹣＝．
【点睛】本题考查了勾股定理，割线定理圆心角、弧、弦之间的关系，切割线定理的应用，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键．
21.如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．
（1）求证：AB＝CD；
（2）如果⊙O的半径为5，DE＝1，求AE的长．
【点拨】（1）欲证明AB＝CD，只需证得＝；
（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．构建正方形EFOG，利用正方形的性质，垂径定理和勾股定理来求AF的长度，则易求AE的长度．
【解析】（1）证明：如图，∵AD＝BC，
∴＝，
∴﹣＝﹣，即＝
∴AB＝CD；
（2）解：如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．
则AF＝FD，BG＝CG．
∵AD＝BC，
∴AF＝CG．
在Rt△AOF与Rt△COG中，
，
∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），
∴OF＝OG，
∴四边形OFEG是正方形，
∴OF＝EF．
设OF＝EF＝x，则AF＝FD＝x+1，
在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2＝52，
解得 x＝3．
则AF＝3+1＝4，即AE＝AF+3＝7．
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，垂径定理以及圆周角、弧、弦间的关系．注意（2）中辅助线的作法．
22.如图，已知圆O的弦AB与直径CD交于点E，且CD平分AB．
（1）已知AB＝6，EC＝2，求圆O的半径；
（2）如果DE＝3EC，求弦AB所对的圆心角的度数．
【点拨】（1）连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OE＝r﹣2，先根据垂径定理得到AE＝BE＝3，CD⊥AB，在Rt△OAE中利用勾股定理得到32+（r﹣2）2＝r2，然后解方程即可；
（2）连接OB，如图，先利用DE＝3EC得到OE＝CE，即OE＝OA，再利用正弦的定义得到∠A＝30°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠AOB即可．
【解析】解：（1）连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OE＝r﹣2，
∵CD平分AB，
∴AE＝BE＝3，CD⊥AB，
在Rt△OAE中，32+（r﹣2）2＝r2，
解得r＝，
即⊙O的半径为；
（2）连接OB，如图，
∵DE＝3EC，
∴OC+OE＝3EC，
即OE+CE+OE＝3CE，
∴OE＝CE，
∴OE＝OC＝OA，
在Rt△OAE中，∵sinA＝＝，
∴∠A＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠A＝30°，
∴∠AOB＝180°﹣∠A﹣∠B＝120°，
即弦AB所对的圆心角的度数为120°．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和勾股定理．
题组C 培优拔尖练
23．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，＝，CE＝1，AB＝6，则弦AF的长度为 　　．
【点拨】连接OA、OB，OB交AF于G，如图，利用垂径定理得到AE＝BE＝3，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣1，OA＝r，根据勾股定理得到32+（r﹣1）2＝r2，解得r＝5，然后利用面积法出AG，从而得到AF的长．
【解析】解：连接OA、OB，OB交AF于G，如图，
∵AB⊥CD，
∴AE＝BE＝AB＝3，
设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣1，OA＝r，
在Rt△OAE中，32+（r﹣1）2＝r2，解得r＝5，
∴OE＝5﹣1＝4，
∵＝，
∴OB⊥AF，AG＝FG，
∵AG OB＝OE AB，
∴AG＝＝，
∴AF＝2AG＝．
故答案为．
【点睛】本题考查了圆周角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．
24．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且＝．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若AB＝4，BC＝8，求半径OA的长．
【点拨】（1）已知＝得到AB＝AC，又OC＝OB，OA＝OA，则△AOB≌△AOC，根据全等三角形的性质知，∠1＝∠2，进而解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【解析】证明：（1）连接OB、OC，
∵＝．
∴AB＝AC，
∵OC＝OB，OA＝OA，
在△AOB与△AOC中，
．
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠1＝∠2，
∴AO平分∠BAC；
（2）连接AO并延长交BC于E，连接OB，
∵AB＝AC，AO平分∠BAC，
∴AE⊥BC，
设OA＝x，可得：AB2﹣BE2＝AE2，OB2＝OE2+BE2，
可得：，x2＝OE2+42，OE+x＝8，
解得：x＝5，OE＝3，
∴半径OA的长＝5．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用圆中半径相等的隐含条件，获得全等的条件，从而利用全等的性质解决问题．
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