【同步分层作业】3.5圆周角（含解析）
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3.5圆周角 同步分层作业
基础过关
1. 如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若∠C＝38°，则∠AOB的度数为（ ）
A．38° B．60° C．76° D．80°
2. 如图，AB是⊙O的直径，若AC＝4，∠D＝60°，则BC的长等于（ ）
A．8 B．10 C．2 D．4
3. 如图，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，BC＝3，则AC的长为（ ）
A． B． C．1 D．
4. 如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，连接AC、BC、CD、BD．若∠A+∠D＝62° 则∠ABC的度数为（ ）
A．39° B．49° C．59° D．62°
5. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（ ）
A．56° B．34° C．29° D．28°
6. 如图，A、B、C为⊙O上三点，若∠AOB＝140°，则∠ACB度数为 °．
7. 如图，点A、B、C都在⊙O上，如果∠AOC＝∠ABC，那么∠ABC的度数为 °．
8. 如图是小华应用直角曲尺来检验半圆形工件是否合格，其中所应用的数学知识是 ．
9. 已知：如图，在⊙O中，∠ABD＝∠CDB．
求证：AB＝CD．
10.如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，D为的中点，OD与AC交于点E．
（1）证明：OD∥BC；
（2）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
（3）若AB＝4，AC＝3，求DE的长．
11.△ABC内接于⊙O，AH⊥BC，垂足为H，AD平分∠BAC，交⊙O于点D．求证：AD平分∠HAO．
题组B 能力提升练
12. 如图，⊙O的弦AB，CD相交于点E，且＝60°，＝100°，则∠AEC的度数是（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
13. 在⊙O中，弦AB垂直平分半径OM，点C在⊙O上（不与点A，B重合），则∠ACB的度数为（ ）
A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150°
14. 船在航行过程中，船长常常通过测量角度来判断是否有触礁危险．如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧ACB是有触礁危险的临界线，∠ACB是“危险角”．当船分别位于D、E、F、G四个位置时，则船与两个灯塔的夹角小于“危险角”∠ACB的是（ ）
A．∠ADB B．∠AEB C．∠AFB D．∠AGB
15. 如图，AC，BC为⊙O的两条弦，D、G分别为AC，BC的中点，⊙O的半径为2．若∠C＝45°，则DG的长为（ ）
A．2 B． C． D．
16. 如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，D是弧AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，⊙O半径为3，则AC的长为（ ）
A．4 B． C． D．8
17. 下列命题中，正确的是（ ）
①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等．
A．①②③ B．③④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤
18. 半径为3cm的⊙O中有长为的弦AB，则弦AB所对的圆周角为 ．
19. 已知⊙O的半径OA＝2，弦AB，AC的长分别是2，则∠BAC＝ ．
20. 如图，AB是半圆O的直径，AB＝4，点C，D在半圆上，OC⊥AB，＝2，点P是OC上的一个动点，则BP+DP的最小值为 ．
21.如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D，连接BD．
（1）求证：∠CBD＝∠BAD；
（2）求证：BD＝DE；
（3）若，，求BC的长．
22.如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC，BC分别于点E，D两
点，连接ED，BE．
（1）求证：DE＝BD．
（2）若BC＝12，AB＝10，求BE的长．
题组C 培优拔尖练
23. 如图是以O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上．将该纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E，若AD＝ED，则∠B的度数为（ ）
A．24° B．30° C．36° D．44°
24. 如图，AB是⊙O的弦，以AB为边作等腰三角形ABC，∠C＝100°，若⊙O的半径为2cm，弦AB的长为2cm，点D在⊙O上，若，则∠DBA＝ °．
25. 如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OC．已知OC⊥BD于点E，AB＝2；下列结论：①∠CAD+∠OBC＝90°；②若点P为AC的中点，则CE＝2OE；③若AC＝BD，则CE＝OE；④BC2+BD2＝4；其中正确的是 ．
26. 如图，AB是⊙O的直径，半径OD⊥AB，点E在OB上，连接DE并延长交⊙O于点C，连接BC．
（1）求∠B﹣∠D的值．
（2）当∠B＝75°时，求的值．
（3）若BC＝CE，△DOE与△CBE的面积分别记为S1，S2，求的值．
27 如图1，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，，BF与CD交于点G．
（1）求证：CD＝BF．
（2）若BE＝1，BF＝4，求GE的长．
（3）连结GO，OF，如图2，求证：．
答案与解析
基础过关
1. 如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若∠C＝38°，则∠AOB的度数为（ ）
A．38° B．60° C．76° D．80°
【点拨】根据圆周角定理，进行计算即可解答．
【解析】解：∵∠C＝38°，
∴∠AOB＝2∠C＝76°，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
2. 如图，AB是⊙O的直径，若AC＝4，∠D＝60°，则BC的长等于（ ）
A．8 B．10 C．2 D．4
【点拨】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB＝90°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得∠A的度数，继而求得∠ABC＝30°，则可求得AB的长，再根据勾股定理即可求解．
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠D＝60°，∠A＝∠D，
∴∠A＝60°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°，
∵AC＝4，
∴AB＝2AC＝8，
∴BC2＝＝＝4，
故选：D．
【点睛】此题考查了圆周角定理与含30°角的直角三角形的性质，熟记圆周角定理是解题的关键，此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
3. 如图，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，BC＝3，则AC的长为（ ）
A． B． C．1 D．
【点拨】先根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，解直角三角形求解即可．
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝30°，
∵tanB＝＝tan30°＝，BC＝3，
∴AC＝．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
4. 如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，连接AC、BC、CD、BD．若∠A+∠D＝62° 则∠ABC的度数为（ ）
A．39° B．49° C．59° D．62°
【点拨】由圆周角定理得到∠A＝31°，∠ACB＝90°，由直角三角形的性质得到∠ABC＝90°﹣∠A＝59°．
【解析】解：∵∠A+∠D＝62°，∠A＝∠D，
∴∠A＝31°，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝59°．
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理求出∠A＝31°．
5. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（ ）
A．56° B．34° C．29° D．28°
【点拨】连接OA，OB，利用圆周角定理求解即可．
【解析】解：连接OA，OB．
由题意，∠AOB＝86°﹣30°＝56°，
∴∠ACB＝∠AOB＝28°，
故选：D．
【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是理解题意，掌握圆周角定理解决问题．
6. 如图，A、B、C为⊙O上三点，若∠AOB＝140°，则∠ACB度数为 70 °．
【点拨】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求得∠ACB的度数．
【解析】解：∵∠AOB＝140°，
∴∠ACB＝∠AOB＝70°．
故答案为：70．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
7. 如图，点A、B、C都在⊙O上，如果∠AOC＝∠ABC，那么∠ABC的度数为 120 °．
【点拨】在优弧AC上找一点D，连接AD，CD，则四边形ADCB是⊙O的内接四边形，∠ADC+∠ABC＝180°，∠ADC＝∠AOC，根据∠AOC＝∠ABC即可得出结论．
【解析】解：如图，在优弧AC上找一点D，连接AD，CD，
∵四边形ADCB是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，∠ADC＝∠AOC，
∵∠AOC＝∠ABC，
∴∠ADC＝∠ABC，
∴∠ABC+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝120°．
答案为：120．
【点睛】本题考查了圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解题的关键．
8. 如图是小华应用直角曲尺来检验半圆形工件是否合格，其中所应用的数学知识是 直径所对的圆周角为直角 ．
【点拨】直角曲尺放入半圆形工件的部分是直角，若直角能碰到半圆，则说明直角三角形与半圆的两个交点连线为直径，即此工件是半圆．
【解析】解：其中所应用的数学知识是直径所对的圆周角为直角
故答案为：直径所对的圆周角为直角．
【点睛】此题考查圆周角的性质，解题关键是直径所对的圆周角为直角．
9. 已知：如图，在⊙O中，∠ABD＝∠CDB．
求证：AB＝CD．
【点拨】由∠ABD＝∠CDB，根据圆周角定理得到＝，则＝，由此得到AB＝CD．
【解析】证明：∵∠ABD＝∠CDB，
∴＝，
∴+＝+，
∴＝，
∴AB＝CD．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
10.如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，D为的中点，OD与AC交于点E．
（1）证明：OD∥BC；
（2）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
（3）若AB＝4，AC＝3，求DE的长．
【点拨】（1）根据D为的中点，可得OD⊥AC，再由直径随对的圆周角是直角得到BC⊥AC，即可求证；
（2）根据D为的中点，可得OD⊥AC，，则∠AOD＝∠COD，再由平行线的性质求出∠AOD＝∠B＝70°，即可利用圆周角定理求解；
（3）根据勾股定理可得，再根据垂径定理可得AE＝CE，然后根据三角形中位线定理可得OE的长，即可求解．
【解析】（1）证明：∵D为的中点，
∴，
∴OD⊥AC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
∴OD∥BC；
（2）解：如图所示，连接OC，
∵D为的中点，
∴OD⊥AC，，
∴∠AOD＝∠COD
∵OD∥BC
∵∠AOD＝∠B＝70°，
∴；
（3）解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝4，AC＝3，
∴，OA＝OD＝2，
∵D为的中点，
∴AE＝CE，
∵OA＝OB，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，平行线的性质与判定等知识，熟练掌握圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理是解题的关键．
11.△ABC内接于⊙O，AH⊥BC，垂足为H，AD平分∠BAC，交⊙O于点D．求证：AD平分∠HAO．
【点拨】连接OD，如图，利用角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，则根据圆周角定理得弧BD＝弧CD，于是可根据垂径定理得到OD⊥BC，易得OD∥AH，根据平行线的性质得∠D＝∠2，加上∠1＝∠D，所以∠1＝∠2．
【解析】证明：连接OD，如图，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴弧BD＝弧CD，
∴OD⊥BC，
又∵AH⊥BC，
∴OD∥AH，
∴∠D＝∠2，
∵OA＝OD，
∴∠1＝∠D，
∴∠1＝∠2，
即AD平分∠HAO．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
题组B 能力提升练
12. 如图，⊙O的弦AB，CD相交于点E，且＝60°，＝100°，则∠AEC的度数是（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
【点拨】根据已知可求得∠ECB与EBC的度数，从而可得到∠AEC的度数．
【解析】解：如图，连BC，
∵＝60°，＝100°
∴∠ECB＝50°，∠EBC＝30°
∴∠AEC＝30°+50°＝80°
故选：C．
【点睛】主要考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理以及圆周角定理的综合运用．
13. 在⊙O中，弦AB垂直平分半径OM，点C在⊙O上（不与点A，B重合），则∠ACB的度数为（ ）
A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150°
【点拨】分两种情况，由弦AB垂直平分半径OM，求出∠AOB的度数，由圆周角定理即可求解．
【解析】解：连接OA，OB，AM，
当C在AB所对的优弧上时，
∵AB垂直平分OM，
∴OA＝MA，
∵OA＝OM，
∴△OAM是等边三角形，
∴∠AOM＝60°，
同理：∠BOM＝60°，
∴∠AOB＝∠AOM+∠BOM＝120°，
∴∠ACB＝∠AOB＝60°，
当C在AB所对的劣弧上时，
由圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，此时∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ACB的度数是60°或120°，
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理，关键是要分两种情况讨论．
14. 船在航行过程中，船长常常通过测量角度来判断是否有触礁危险．如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧ACB是有触礁危险的临界线，∠ACB是“危险角”．当船分别位于D、E、F、G四个位置时，则船与两个灯塔的夹角小于“危险角”∠ACB的是（ ）
A．∠ADB B．∠AEB C．∠AFB D．∠AGB
【点拨】延长AF交⊙O于点M，连接BM，延长AG交⊙O于点N，连接BN，根据圆周角定理及三角形外角性质求解即可．
【解析】解：如图，延长AF交⊙O于点M，连接BM，延长AG交⊙O于点N，连接BN，
根据圆周角定理得，∠ANB＝∠AMB＝∠ACB＝∠AEB，
∵∠AGB＝∠ANB+∠GBN，∠AFB＝∠AMB+∠FBN，∠AEB＝∠ADB+∠DBE，
∴∠AGB＞∠ANB，∠AFB＞∠AMB，∠AEB＞∠ADB，
∴∠AGB＞∠ACB，∠AFB＞∠ACB，∠ACB＞∠ADB，
故选：A．
【点睛】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
15. 如图，AC，BC为⊙O的两条弦，D、G分别为AC，BC的中点，⊙O的半径为2．若∠C＝45°，则DG的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【点拨】先根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ACB＝90°，则可判断△OAB为等腰直角三角形，然后根据勾股定理可得AB＝2，再根据三角形的中位线定理可得DG＝．
【解析】解：如图，连接AO、BO、AB，
∵∠C＝45°，
∴∠AOB＝2∠C＝90°，
∵⊙O的半径为2，
∴AO＝BO＝2，
∴AB＝2，
∵点D、G分别是AC、BC的中点，
∴DG＝AB＝．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理，以及勾股定理，圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
16. 如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，D是弧AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，⊙O半径为3，则AC的长为（ ）
A．4 B． C． D．8
【点拨】连接OD交AC于F，如图，根据垂径定理得到OD⊥AC，则AF＝CF，根据圆周角定理得到∠C＝90°，所以OD∥BC，接着证明△BCE≌△DFE得到BC＝DF，则OF＝BC，所以OF＝OD＝1，然后利用勾股定理计算出AF，从而得到AC的长．
【解析】解：连接OD交AC于F，如图，
∵D是弧AC的中点，
∴OD⊥AC，
∴AF＝CF，
∵AB是直径，
∴∠C＝90°，
∴OD∥BC，
∴∠D＝∠CBE，
在△BCE和△DFE中，
，
∴△BCE≌△DFE（ASA），
∴BC＝DF，
∵OF＝BC，
∴OF＝DF，
∴OF＝OD＝1，
在Rt△OAF中，AF＝＝2，
∴AC＝2AF＝4．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．
17. 下列命题中，正确的是（ ）
①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等．
A．①②③ B．③④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤
【点拨】根据圆周角定理及确定圆的条件对各个命题进行分析，从而得到答案．
【解析】解：①、圆周角的特征：一是顶点在圆上，二是两边都和圆相交，故错误；
②、必须是同弧或等弧所对的圆周角和圆心角，故错误；
③、圆周角定理，故正确；
④、符合确定圆的条件，故正确；
⑤、符合圆周角定理，故正确；
所以正确的是③④⑤．
故选：B．
【点睛】理解圆周角的概念，熟练掌握所学过的定理，特别注意定理中的题设应满足的条件．
18. 半径为3cm的⊙O中有长为的弦AB，则弦AB所对的圆周角为 60°或120° ．
【点拨】首先根据题意画出图形，作OD⊥AB，通过垂径定理，即可推出∠AOD的度数，求得∠AOB的度数，然后根据圆周角定理，即可推出∠AMB和∠ANB的度数．
【解析】解：连接OA，OB，作OD⊥AB，
∵OA＝3cm，AB＝3cm，
∴AD＝BD＝，
∴AD：OA＝：2，
在Rt△AOD中，sin∠AOD＝＝，
∴∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AMB＝60°，
∴∠ANB＝120°．
∴弦AB所对的圆周角度数为60°或120°．
故答案为：60°或120°．
【点睛】本题主要考查圆周角定理、垂径定理，关键在于根据题意正确的画出图形，运用圆周角定理和垂径定理认真的进行分析．
19. 已知⊙O的半径OA＝2，弦AB，AC的长分别是2，则∠BAC＝ 15°或75° ．
【点拨】根据圆的轴对称性知有两种情况：两弦在圆心的同旁；两弦在圆心的两旁．然后画出图形，再根据垂径定理和三角函数求解．
【解析】解：过点O作OM⊥AB于M，
在直角△AOM中，OA＝2．
∵OM⊥AB，
∴AM＝AB＝，
∴cos∠OAM＝，
则∠OAM＝30°，
同理可以求出∠OAC＝45°，
当AB，AC位于圆心的同侧时，∠BAC的度数为45﹣30＝15°；
当AB，AC位于圆心的异侧时，∠BAC的度数为45+30＝75°．
故答案为：15°或75°．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理和垂径定理，关键是分类讨论，正确画出图形．
20. 如图，AB是半圆O的直径，AB＝4，点C，D在半圆上，OC⊥AB，＝2，点P是OC上的一个动点，则BP+DP的最小值为 2 ．
【点拨】如图，连接AD，PA，PD，OD．首先证明PA＝PB，再根据PD+PB＝PD+PA≥AD，求出AD即可解决问题．
【解析】解：如图，连接AD，PA，PD，OD．
∵OC⊥AB，OA＝OB，
∴PA＝PB，∠COB＝90°，
∵＝2，
∴∠DOB＝×90°＝60°，
∵OD＝OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠ABD＝60°
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝AB sin∠ABD＝2，
∵PB+PD＝PA+PD≥AD，
∴PD+PB≥2，
∴PD+PB的最小值为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
21.如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D，连接BD．
（1）求证：∠CBD＝∠BAD；
（2）求证：BD＝DE；
（3）若，，求BC的长．
【点拨】（1）根据AE平分∠BAC，可得∠BAD＝∠CAD，再由圆周角定理可得∠CBD＝∠CAD，即可；
（2）由直径所对圆周角为直角可知∠ADB＝90°．根据角平分线的性质可知∠BAE＝∠CAE，∠ABE＝∠CBE．根据同弧所对圆周角相等得出∠CAE＝∠CBD，最后由三角形外角性质结合题意即可证明∠BED＝∠EBD，得出BD＝ED，即说明△BDE为等腰直角三角形；
（3）连接OD，交BC于点F．由∠BAD＝∠CAD，说明，即可由垂径定理得出OD⊥BC．由（2）得△BDE为等腰直角三角形，，得出BD＝DE＝2，再由两次勾股定理建立方程得出，继续利用勾股定理即可求解．
【解析】（1）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠CBD＝∠BAD；
（2）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAE，∠ABE＝∠CBE．
∵，
∴∠CAE＝∠CBD．
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠EBD＝∠CBD+∠CBE，
∴∠BED＝∠EBD，
∴BD＝ED；
（3）解：如图，连接OD，交BC于点F．
∵∠BAD＝∠CAD，
∴，
∴OD⊥BC，BF＝CF．
∵，
∴，
由（2）得△BDE为等腰直角三角形，，
∴BD2+DE2＝BE2，
解得：BD＝DE＝2，
在Rt△OBF中，BF2＝OB2﹣OF2，
在Rt△BDF中，，
∴
解得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定，勾股定理，垂径定理等知识．熟练掌握圆的相关知识，并会连接常用的辅助线是解题关键．
22.如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC，BC分别于点E，D两
点，连接ED，BE．
（1）求证：DE＝BD．
（2）若BC＝12，AB＝10，求BE的长．
【点拨】（1）连接AD，根据圆周角定理得到AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到CD＝BD，根据圆内接四边形的性质推出∠CED＝∠ABC，则∠ACB＝∠CED，根据等腰三角形的判定得到DE＝CD，等量代换即可得解；
（2）连接OD交BE于H，作OF⊥BD于F，根据勾股定理求出AD，根据三角形中位线定理求出OF，根据三角形的面积公式求出BH，根据垂径定理解答．
【解析】（1）证明：解法一：连接AD，
∵AB为⊙O的直径
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴CD＝BD，
∵A、E、D、B四点共圆，
∴∠CED＝∠ABC，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠ACB＝∠CED，
∴DE＝CD，
∴DE＝BD；
解法二：
连接AD，
∵AB为⊙O的直径
∴AD⊥BC，BE⊥AC，
∵AB＝AC，
∴CD＝BD，
∵∠AEB＝90°，
∴∠CEB＝180°﹣90°＝90°，
∴DE＝BC＝BD；
（2）解：解法一：连接OD交BE于H，作OF⊥BD于F，
∵BC＝12，
∴BD＝BC＝6，
∵AB＝10，
∴AD＝＝＝8，
∵AD⊥BC，OF⊥BD，
∴OF∥AD，
∵OA＝OB，
∴OF＝AD＝4，
∵S△OBD＝BD OF＝OD BH，
即×6×4＝×5×BH，
解得，BH＝，
∵DE＝BD，
∴BE＝2BH＝．
解法二：连接AD，
∵BC＝12，
∴BD＝BC＝6，
∵AB＝10，
∴AD＝＝＝8，
∵S△ABC＝BC AD＝AC BE，
∴BE＝＝＝．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，弦、弧、圆心角的关系、垂径定理的应用，掌握相关定理、并灵活运用是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
23. 如图是以O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上．将该纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E，若AD＝ED，则∠B的度数为（ ）
A．24° B．30° C．36° D．44°
【点拨】先根据等边对等角和圆周角定理证明∠BEC＝∠BCE，再由折叠的性质得到∠ECO＝∠BCO，进一步由等边对等角得到∠OCB＝∠B，设∠ECO＝∠OCB＝∠B＝x，则∠BCE＝2x，∠CEB＝2x，再根据三角形内角和定理得到x+2x+2x＝180°，解方程即可得到答案．
【解析】解：∵AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∵∠DEA＝∠BEC，∠DAE＝∠BCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∵将该圆形纸片沿直线CO对折，
∴∠ECO＝∠BCO，
又∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠B，
设∠ECO＝∠OCB＝∠B＝x，
∴∠BCE＝∠ECO+∠BCO＝2x，
∴∠CEB＝2x，
∵∠BEC+∠BCE+∠B＝180°，
∴x+2x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠B＝36°；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，证明∠BEC＝∠BCE是解题的关键．
24. 如图，AB是⊙O的弦，以AB为边作等腰三角形ABC，∠C＝100°，若⊙O的半径为2cm，弦AB的长为2cm，点D在⊙O上，若，则∠DBA＝ 100或60或40 °．
【点拨】过点O作OE⊥AB于E，连接OA，OB，解直角三角形可得∠AOE＝60°，则∠AOB＝120°，求出∠BAC＝40°，则∠DAC＝20°，再进行分类讨论，结合三角形的内角和定理即可求解．
【解析】解：如图1，过点O作OE⊥AB于E，连接OA，OB，
则AE＝BE＝AB＝，
∵OA＝OB＝2，
∴sin∠AOE＝＝，
∴∠AOE＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOE＝120°，
∵△ABC是等腰三角形，∠C＝100°，
∴∠BAC＝∠ABC＝（180°﹣100°）＝40°，
∴∠DAC＝∠BAC＝20°，
①如图1，当点C在圆内，AD在AC下方时，
∵∠AOB＝120°，
∴∠D＝60°，
∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝40°+20°＝60°，
∴∠DBA＝180°﹣∠D﹣∠BAD＝180°﹣60°﹣60°＝60°．
②如图2，当点C在圆内，AD在∠BAD内部时，
∵∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝20°，
∴∠DBA＝180°﹣∠D﹣∠BAD＝180°﹣60°﹣20°＝100°．
③如图3，当点在圆的外部，AD在∠BAC内部时，
∵的度数＝120°，
∴的度数＝240°，
∴∠D＝120°，
∴∠DBA＝180°﹣∠D﹣∠BAD＝180°﹣120°﹣20°＝40°，
综上得，∠DBA＝60°或100°或40°，
故答案为：60°或100°或40°．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，正确画出图形，合理进行分类讨论是解题关键．
25. 如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OC．已知OC⊥BD于点E，AB＝2；下列结论：①∠CAD+∠OBC＝90°；②若点P为AC的中点，则CE＝2OE；③若AC＝BD，则CE＝OE；④BC2+BD2＝4；其中正确的是 ①②③ ．
【点拨】由垂径定理，圆周角定理的推论得出∠CAD＝∠CAB，由AB是⊙O的直径，进而根据等角的余角相等进而判断①；点P为AC的中点，得出AP＝CP，进而证明△APD≌△CPE（AAS）全等三角形的判定和性质，得出AD＝CE，进而根据三角形中位线定理得出AD＝2OE，等量代换得出CE＝2OE即可判断②，连接OD，根据垂径定理得出，根据AC＝BD得出，则，得出△OBC为等边三角形，由BD⊥OC，即可得出CE＝OE继而判断③；勾股定理得出AD2+BD2＝AB2＝4，当BC≠AD时，BC2+BD2≠4，即可判断④．
【解析】解：①∵OC⊥BD，
∴，
∴∠CAD＝∠CAB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，
∴∠CAD+∠ABC＝90°
故①正确，符合题意；
②∵点P为AC的中点，
∴AP＝CP，
∵AB为直径，
∴∠ADP＝90°＝∠CEP，
∵∠APD＝∠CPE，
∴△APD≌△CPE（AAS），
∴AD＝CE，
∵OA＝OB，ED＝EB，
∴AD＝2OE，
∴CE＝2OE，
故②正确，符合题意；
③连接OD，
∵OC⊥BD
∴
∵AC＝BD，
∴
∴，
∴∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∵BD⊥OC，
∴CE＝OE，
故③正确，符合题意；
④∵∠ADB＝90°，
∴AD2+BD2＝AB2＝4，
当BC≠AD时，BC2+BD2≠4，
故④错误，不符合题意；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理的推论，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，关键是掌握并熟练应用以上知识点．
26. 如图，AB是⊙O的直径，半径OD⊥AB，点E在OB上，连接DE并延长交⊙O于点C，连接BC．
（1）求∠B﹣∠D的值．
（2）当∠B＝75°时，求的值．
（3）若BC＝CE，△DOE与△CBE的面积分别记为S1，S2，求的值．
【点拨】（1）由圆周角定理求出∠BCD＝∠BOD＝45°，由等腰三角形的性质推出∠OBC﹣∠ODC＝∠OCB﹣∠OCD＝∠DCB＝45°；
（2）由直角三角形的性质得到＝，由等腰三角形的性质得到CD＝OD，即可求出的值；
（3）由OC∥BD，得到△CBD的面积＝△ODB的面积，因此△CBE的面积＝△OED的面积，即可解决问题．
【解析】解：（1）连接OC，
∵半径OD⊥AB，
∴∠BOD＝90°，
∴∠BCD＝∠BOD＝45°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OBC﹣∠ODC＝∠OCB﹣∠OCD＝∠DCB＝45°；
（2）∵∠B＝75°，∠DCB＝45°，
∴∠CEB＝60°，
∴∠OED＝60°，
∴＝，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝75°，
∴∠BOC＝30°，
∴∠COD＝∠BOD+∠BOC＝120°，
∴CD＝OD，
∴＝＝．
（3）连接BD，
∵BC＝CE，
∴∠CBE＝∠CEB，
∵∠BCE＝45°，
∴∠CBE＝67.5°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠CBE＝67.5°，
∴∠OCE＝∠OCB﹣∠BCD＝22.5°，
∵∠BOC＝180°﹣∠OCB﹣∠OBC＝45°，
∴∠BDC＝∠BOC＝22.5°，
∴∠OCE＝∠BDC，
∴OC∥BD，
∴△CBD的面积＝△ODB的面积，
∴△CBE的面积＝△OED的面积，
∴＝1．
【点睛】本题考查圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的面积，关键是由圆周角定理∠BCD＝45°，由等腰三角形的性质即可求出∠OBC﹣∠ODC＝45°；由直角三角形的性质，等腰三角形的性质求出OE、CD与OD的数量关系，即可求出的值；由OC∥BD，即可得到△CBE的面积＝△OED的面积．
27 如图1，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，，BF与CD交于点G．
（1）求证：CD＝BF．
（2）若BE＝1，BF＝4，求GE的长．
（3）连结GO，OF，如图2，求证：．
【点拨】（1）由AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E得，又由，得到，从而得到，即，即可得证；
（2）连接BC，由（1）得：，CD＝BF＝4，从而得到∠FBC＝∠BCD，则BG＝CG，设EG＝x，则BG＝CG＝2﹣x，在△BEG中，EG2+BE2＝BG2，即x2+12＝（2﹣x）2，即可得到答案；
（3）连接OC交BF于I，则OC⊥BF，通过证明△OCG≌△OBG（SSS），得到∠IOB＝2∠EOG，再由等腰三角形的性质和三角形外角的性质，可得到，最后由∠IOB+∠IBO＝90°，即可得到答案．
【解析】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴BF＝CD；
（2）解：如图所示：连接BC，
由（1）得：，CD＝BF＝4，
∴∠FBC＝∠BCD，
∴BG＝CG，
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴，
设EG＝x，则BG＝CG＝2﹣x，
在△BEG中，EG2+BE2＝BG2，即x2+12＝（2﹣x）2，
解得：，
∴GE的长为；
（3）解：如图所示：连接OC交BF于I，
∵，
∴，
在△OCG和△OBG中，
，
∴△OCG≌△OBG（SSS），
∴∠COG＝∠BOG，
∴∠IOB＝2∠EOG，
∵OF＝OB，OC为半径，
∴OC⊥BF，
∴∠OIB＝90°，
∵∠IOB+∠IBO＝90°，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，添加恰当的辅助线是解题的关键．
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3.5圆周角 同步分层作业
基础过关
1. 如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若∠C＝38°，则∠AOB的度数为（ ）
A．38° B．60° C．76° D．80°
2. 如图，AB是⊙O的直径，若AC＝4，∠D＝60°，则BC的长等于（ ）
A．8 B．10 C．2 D．4
3. 如图，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，BC＝3，则AC的长为（ ）
A． B． C．1 D．
4. 如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，连接AC、BC、CD、BD．若∠A+∠D＝62° 则∠ABC的度数为（ ）
A．39° B．49° C．59° D．62°
5. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（ ）
A．56° B．34° C．29° D．28°
6. 如图，A、B、C为⊙O上三点，若∠AOB＝140°，则∠ACB度数为 °．
7. 如图，点A、B、C都在⊙O上，如果∠AOC＝∠ABC，那么∠ABC的度数为 °．
8. 如图是小华应用直角曲尺来检验半圆形工件是否合格，其中所应用的数学知识是 ．
9. 已知：如图，在⊙O中，∠ABD＝∠CDB．
求证：AB＝CD．
10.如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，D为的中点，OD与AC交于点E．
（1）证明：OD∥BC；
（2）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
（3）若AB＝4，AC＝3，求DE的长．
11.△ABC内接于⊙O，AH⊥BC，垂足为H，AD平分∠BAC，交⊙O于点D．求证：AD平分∠HAO．
题组B 能力提升练
12. 如图，⊙O的弦AB，CD相交于点E，且＝60°，＝100°，则∠AEC的度数是（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
13. 在⊙O中，弦AB垂直平分半径OM，点C在⊙O上（不与点A，B重合），则∠ACB的度数为（ ）
A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150°
14. 船在航行过程中，船长常常通过测量角度来判断是否有触礁危险．如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧ACB是有触礁危险的临界线，∠ACB是“危险角”．当船分别位于D、E、F、G四个位置时，则船与两个灯塔的夹角小于“危险角”∠ACB的是（ ）
A．∠ADB B．∠AEB C．∠AFB D．∠AGB
15. 如图，AC，BC为⊙O的两条弦，D、G分别为AC，BC的中点，⊙O的半径为2．若∠C＝45°，则DG的长为（ ）
A．2 B． C． D．
16. 如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，D是弧AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，⊙O半径为3，则AC的长为（ ）
A．4 B． C． D．8
17. 下列命题中，正确的是（ ）
①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等．
A．①②③ B．③④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤
18. 半径为3cm的⊙O中有长为的弦AB，则弦AB所对的圆周角为 ．
19. 已知⊙O的半径OA＝2，弦AB，AC的长分别是2，则∠BAC＝ ．
20. 如图，AB是半圆O的直径，AB＝4，点C，D在半圆上，OC⊥AB，＝2，点P是OC上的一个动点，则BP+DP的最小值为 ．
21.如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D，连接BD．
（1）求证：∠CBD＝∠BAD；
（2）求证：BD＝DE；
（3）若，，求BC的长．
22.如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC，BC分别于点E，D两
点，连接ED，BE．
（1）求证：DE＝BD．
（2）若BC＝12，AB＝10，求BE的长．
题组C 培优拔尖练
23. 如图是以O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上．将该纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E，若AD＝ED，则∠B的度数为（ ）
A．24° B．30° C．36° D．44°
24. 如图，AB是⊙O的弦，以AB为边作等腰三角形ABC，∠C＝100°，若⊙O的半径为2cm，弦AB的长为2cm，点D在⊙O上，若，则∠DBA＝ °．
25. 如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OC．已知OC⊥BD于点E，AB＝2；下列结论：①∠CAD+∠OBC＝90°；②若点P为AC的中点，则CE＝2OE；③若AC＝BD，则CE＝OE；④BC2+BD2＝4；其中正确的是 ．
26. 如图，AB是⊙O的直径，半径OD⊥AB，点E在OB上，连接DE并延长交⊙O于点C，连接BC．
（1）求∠B﹣∠D的值．
（2）当∠B＝75°时，求的值．
（3）若BC＝CE，△DOE与△CBE的面积分别记为S1，S2，求的值．
27 如图1，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，，BF与CD交于点G．
（1）求证：CD＝BF．
（2）若BE＝1，BF＝4，求GE的长．
（3）连结GO，OF，如图2，求证：．
答案与解析
基础过关
1. 如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若∠C＝38°，则∠AOB的度数为（ ）
A．38° B．60° C．76° D．80°
【点拨】根据圆周角定理，进行计算即可解答．
【解析】解：∵∠C＝38°，
∴∠AOB＝2∠C＝76°，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
2. 如图，AB是⊙O的直径，若AC＝4，∠D＝60°，则BC的长等于（ ）
A．8 B．10 C．2 D．4
【点拨】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB＝90°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得∠A的度数，继而求得∠ABC＝30°，则可求得AB的长，再根据勾股定理即可求解．
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠D＝60°，∠A＝∠D，
∴∠A＝60°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°，
∵AC＝4，
∴AB＝2AC＝8，
∴BC2＝＝＝4，
故选：D．
【点睛】此题考查了圆周角定理与含30°角的直角三角形的性质，熟记圆周角定理是解题的关键，此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
3. 如图，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，BC＝3，则AC的长为（ ）
A． B． C．1 D．
【点拨】先根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，解直角三角形求解即可．
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝30°，
∵tanB＝＝tan30°＝，BC＝3，
∴AC＝．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
4. 如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，连接AC、BC、CD、BD．若∠A+∠D＝62° 则∠ABC的度数为（ ）
A．39° B．49° C．59° D．62°
【点拨】由圆周角定理得到∠A＝31°，∠ACB＝90°，由直角三角形的性质得到∠ABC＝90°﹣∠A＝59°．
【解析】解：∵∠A+∠D＝62°，∠A＝∠D，
∴∠A＝31°，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝59°．
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理求出∠A＝31°．
5. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（ ）
A．56° B．34° C．29° D．28°
【点拨】连接OA，OB，利用圆周角定理求解即可．
【解析】解：连接OA，OB．
由题意，∠AOB＝86°﹣30°＝56°，
∴∠ACB＝∠AOB＝28°，
故选：D．
【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是理解题意，掌握圆周角定理解决问题．
6. 如图，A、B、C为⊙O上三点，若∠AOB＝140°，则∠ACB度数为 70 °．
【点拨】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求得∠ACB的度数．
【解析】解：∵∠AOB＝140°，
∴∠ACB＝∠AOB＝70°．
故答案为：70．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
7. 如图，点A、B、C都在⊙O上，如果∠AOC＝∠ABC，那么∠ABC的度数为 120 °．
【点拨】在优弧AC上找一点D，连接AD，CD，则四边形ADCB是⊙O的内接四边形，∠ADC+∠ABC＝180°，∠ADC＝∠AOC，根据∠AOC＝∠ABC即可得出结论．
【解析】解：如图，在优弧AC上找一点D，连接AD，CD，
∵四边形ADCB是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，∠ADC＝∠AOC，
∵∠AOC＝∠ABC，
∴∠ADC＝∠ABC，
∴∠ABC+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝120°．
答案为：120．
【点睛】本题考查了圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解题的关键．
8. 如图是小华应用直角曲尺来检验半圆形工件是否合格，其中所应用的数学知识是 直径所对的圆周角为直角 ．
【点拨】直角曲尺放入半圆形工件的部分是直角，若直角能碰到半圆，则说明直角三角形与半圆的两个交点连线为直径，即此工件是半圆．
【解析】解：其中所应用的数学知识是直径所对的圆周角为直角
故答案为：直径所对的圆周角为直角．
【点睛】此题考查圆周角的性质，解题关键是直径所对的圆周角为直角．
9. 已知：如图，在⊙O中，∠ABD＝∠CDB．
求证：AB＝CD．
【点拨】由∠ABD＝∠CDB，根据圆周角定理得到＝，则＝，由此得到AB＝CD．
【解析】证明：∵∠ABD＝∠CDB，
∴＝，
∴+＝+，
∴＝，
∴AB＝CD．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
10.如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，D为的中点，OD与AC交于点E．
（1）证明：OD∥BC；
（2）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
（3）若AB＝4，AC＝3，求DE的长．
【点拨】（1）根据D为的中点，可得OD⊥AC，再由直径随对的圆周角是直角得到BC⊥AC，即可求证；
（2）根据D为的中点，可得OD⊥AC，，则∠AOD＝∠COD，再由平行线的性质求出∠AOD＝∠B＝70°，即可利用圆周角定理求解；
（3）根据勾股定理可得，再根据垂径定理可得AE＝CE，然后根据三角形中位线定理可得OE的长，即可求解．
【解析】（1）证明：∵D为的中点，
∴，
∴OD⊥AC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
∴OD∥BC；
（2）解：如图所示，连接OC，
∵D为的中点，
∴OD⊥AC，，
∴∠AOD＝∠COD
∵OD∥BC
∵∠AOD＝∠B＝70°，
∴；
（3）解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝4，AC＝3，
∴，OA＝OD＝2，
∵D为的中点，
∴AE＝CE，
∵OA＝OB，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，平行线的性质与判定等知识，熟练掌握圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理是解题的关键．
11.△ABC内接于⊙O，AH⊥BC，垂足为H，AD平分∠BAC，交⊙O于点D．求证：AD平分∠HAO．
【点拨】连接OD，如图，利用角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，则根据圆周角定理得弧BD＝弧CD，于是可根据垂径定理得到OD⊥BC，易得OD∥AH，根据平行线的性质得∠D＝∠2，加上∠1＝∠D，所以∠1＝∠2．
【解析】证明：连接OD，如图，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴弧BD＝弧CD，
∴OD⊥BC，
又∵AH⊥BC，
∴OD∥AH，
∴∠D＝∠2，
∵OA＝OD，
∴∠1＝∠D，
∴∠1＝∠2，
即AD平分∠HAO．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
题组B 能力提升练
12. 如图，⊙O的弦AB，CD相交于点E，且＝60°，＝100°，则∠AEC的度数是（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
【点拨】根据已知可求得∠ECB与EBC的度数，从而可得到∠AEC的度数．
【解析】解：如图，连BC，
∵＝60°，＝100°
∴∠ECB＝50°，∠EBC＝30°
∴∠AEC＝30°+50°＝80°
故选：C．
【点睛】主要考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理以及圆周角定理的综合运用．
13. 在⊙O中，弦AB垂直平分半径OM，点C在⊙O上（不与点A，B重合），则∠ACB的度数为（ ）
A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150°
【点拨】分两种情况，由弦AB垂直平分半径OM，求出∠AOB的度数，由圆周角定理即可求解．
【解析】解：连接OA，OB，AM，
当C在AB所对的优弧上时，
∵AB垂直平分OM，
∴OA＝MA，
∵OA＝OM，
∴△OAM是等边三角形，
∴∠AOM＝60°，
同理：∠BOM＝60°，
∴∠AOB＝∠AOM+∠BOM＝120°，
∴∠ACB＝∠AOB＝60°，
当C在AB所对的劣弧上时，
由圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，此时∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ACB的度数是60°或120°，
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理，关键是要分两种情况讨论．
14. 船在航行过程中，船长常常通过测量角度来判断是否有触礁危险．如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧ACB是有触礁危险的临界线，∠ACB是“危险角”．当船分别位于D、E、F、G四个位置时，则船与两个灯塔的夹角小于“危险角”∠ACB的是（ ）
A．∠ADB B．∠AEB C．∠AFB D．∠AGB
【点拨】延长AF交⊙O于点M，连接BM，延长AG交⊙O于点N，连接BN，根据圆周角定理及三角形外角性质求解即可．
【解析】解：如图，延长AF交⊙O于点M，连接BM，延长AG交⊙O于点N，连接BN，
根据圆周角定理得，∠ANB＝∠AMB＝∠ACB＝∠AEB，
∵∠AGB＝∠ANB+∠GBN，∠AFB＝∠AMB+∠FBN，∠AEB＝∠ADB+∠DBE，
∴∠AGB＞∠ANB，∠AFB＞∠AMB，∠AEB＞∠ADB，
∴∠AGB＞∠ACB，∠AFB＞∠ACB，∠ACB＞∠ADB，
故选：A．
【点睛】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
15. 如图，AC，BC为⊙O的两条弦，D、G分别为AC，BC的中点，⊙O的半径为2．若∠C＝45°，则DG的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【点拨】先根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ACB＝90°，则可判断△OAB为等腰直角三角形，然后根据勾股定理可得AB＝2，再根据三角形的中位线定理可得DG＝．
【解析】解：如图，连接AO、BO、AB，
∵∠C＝45°，
∴∠AOB＝2∠C＝90°，
∵⊙O的半径为2，
∴AO＝BO＝2，
∴AB＝2，
∵点D、G分别是AC、BC的中点，
∴DG＝AB＝．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理，以及勾股定理，圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
16. 如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，D是弧AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，⊙O半径为3，则AC的长为（ ）
A．4 B． C． D．8
【点拨】连接OD交AC于F，如图，根据垂径定理得到OD⊥AC，则AF＝CF，根据圆周角定理得到∠C＝90°，所以OD∥BC，接着证明△BCE≌△DFE得到BC＝DF，则OF＝BC，所以OF＝OD＝1，然后利用勾股定理计算出AF，从而得到AC的长．
【解析】解：连接OD交AC于F，如图，
∵D是弧AC的中点，
∴OD⊥AC，
∴AF＝CF，
∵AB是直径，
∴∠C＝90°，
∴OD∥BC，
∴∠D＝∠CBE，
在△BCE和△DFE中，
，
∴△BCE≌△DFE（ASA），
∴BC＝DF，
∵OF＝BC，
∴OF＝DF，
∴OF＝OD＝1，
在Rt△OAF中，AF＝＝2，
∴AC＝2AF＝4．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．
17. 下列命题中，正确的是（ ）
①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等．
A．①②③ B．③④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤
【点拨】根据圆周角定理及确定圆的条件对各个命题进行分析，从而得到答案．
【解析】解：①、圆周角的特征：一是顶点在圆上，二是两边都和圆相交，故错误；
②、必须是同弧或等弧所对的圆周角和圆心角，故错误；
③、圆周角定理，故正确；
④、符合确定圆的条件，故正确；
⑤、符合圆周角定理，故正确；
所以正确的是③④⑤．
故选：B．
【点睛】理解圆周角的概念，熟练掌握所学过的定理，特别注意定理中的题设应满足的条件．
18. 半径为3cm的⊙O中有长为的弦AB，则弦AB所对的圆周角为 60°或120° ．
【点拨】首先根据题意画出图形，作OD⊥AB，通过垂径定理，即可推出∠AOD的度数，求得∠AOB的度数，然后根据圆周角定理，即可推出∠AMB和∠ANB的度数．
【解析】解：连接OA，OB，作OD⊥AB，
∵OA＝3cm，AB＝3cm，
∴AD＝BD＝，
∴AD：OA＝：2，
在Rt△AOD中，sin∠AOD＝＝，
∴∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AMB＝60°，
∴∠ANB＝120°．
∴弦AB所对的圆周角度数为60°或120°．
故答案为：60°或120°．
【点睛】本题主要考查圆周角定理、垂径定理，关键在于根据题意正确的画出图形，运用圆周角定理和垂径定理认真的进行分析．
19. 已知⊙O的半径OA＝2，弦AB，AC的长分别是2，则∠BAC＝ 15°或75° ．
【点拨】根据圆的轴对称性知有两种情况：两弦在圆心的同旁；两弦在圆心的两旁．然后画出图形，再根据垂径定理和三角函数求解．
【解析】解：过点O作OM⊥AB于M，
在直角△AOM中，OA＝2．
∵OM⊥AB，
∴AM＝AB＝，
∴cos∠OAM＝，
则∠OAM＝30°，
同理可以求出∠OAC＝45°，
当AB，AC位于圆心的同侧时，∠BAC的度数为45﹣30＝15°；
当AB，AC位于圆心的异侧时，∠BAC的度数为45+30＝75°．
故答案为：15°或75°．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理和垂径定理，关键是分类讨论，正确画出图形．
20. 如图，AB是半圆O的直径，AB＝4，点C，D在半圆上，OC⊥AB，＝2，点P是OC上的一个动点，则BP+DP的最小值为 2 ．
【点拨】如图，连接AD，PA，PD，OD．首先证明PA＝PB，再根据PD+PB＝PD+PA≥AD，求出AD即可解决问题．
【解析】解：如图，连接AD，PA，PD，OD．
∵OC⊥AB，OA＝OB，
∴PA＝PB，∠COB＝90°，
∵＝2，
∴∠DOB＝×90°＝60°，
∵OD＝OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠ABD＝60°
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝AB sin∠ABD＝2，
∵PB+PD＝PA+PD≥AD，
∴PD+PB≥2，
∴PD+PB的最小值为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
21.如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D，连接BD．
（1）求证：∠CBD＝∠BAD；
（2）求证：BD＝DE；
（3）若，，求BC的长．
【点拨】（1）根据AE平分∠BAC，可得∠BAD＝∠CAD，再由圆周角定理可得∠CBD＝∠CAD，即可；
（2）由直径所对圆周角为直角可知∠ADB＝90°．根据角平分线的性质可知∠BAE＝∠CAE，∠ABE＝∠CBE．根据同弧所对圆周角相等得出∠CAE＝∠CBD，最后由三角形外角性质结合题意即可证明∠BED＝∠EBD，得出BD＝ED，即说明△BDE为等腰直角三角形；
（3）连接OD，交BC于点F．由∠BAD＝∠CAD，说明，即可由垂径定理得出OD⊥BC．由（2）得△BDE为等腰直角三角形，，得出BD＝DE＝2，再由两次勾股定理建立方程得出，继续利用勾股定理即可求解．
【解析】（1）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠CBD＝∠BAD；
（2）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAE，∠ABE＝∠CBE．
∵，
∴∠CAE＝∠CBD．
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠EBD＝∠CBD+∠CBE，
∴∠BED＝∠EBD，
∴BD＝ED；
（3）解：如图，连接OD，交BC于点F．
∵∠BAD＝∠CAD，
∴，
∴OD⊥BC，BF＝CF．
∵，
∴，
由（2）得△BDE为等腰直角三角形，，
∴BD2+DE2＝BE2，
解得：BD＝DE＝2，
在Rt△OBF中，BF2＝OB2﹣OF2，
在Rt△BDF中，，
∴
解得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定，勾股定理，垂径定理等知识．熟练掌握圆的相关知识，并会连接常用的辅助线是解题关键．
22.如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC，BC分别于点E，D两
点，连接ED，BE．
（1）求证：DE＝BD．
（2）若BC＝12，AB＝10，求BE的长．
【点拨】（1）连接AD，根据圆周角定理得到AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到CD＝BD，根据圆内接四边形的性质推出∠CED＝∠ABC，则∠ACB＝∠CED，根据等腰三角形的判定得到DE＝CD，等量代换即可得解；
（2）连接OD交BE于H，作OF⊥BD于F，根据勾股定理求出AD，根据三角形中位线定理求出OF，根据三角形的面积公式求出BH，根据垂径定理解答．
【解析】（1）证明：解法一：连接AD，
∵AB为⊙O的直径
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴CD＝BD，
∵A、E、D、B四点共圆，
∴∠CED＝∠ABC，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠ACB＝∠CED，
∴DE＝CD，
∴DE＝BD；
解法二：
连接AD，
∵AB为⊙O的直径
∴AD⊥BC，BE⊥AC，
∵AB＝AC，
∴CD＝BD，
∵∠AEB＝90°，
∴∠CEB＝180°﹣90°＝90°，
∴DE＝BC＝BD；
（2）解：解法一：连接OD交BE于H，作OF⊥BD于F，
∵BC＝12，
∴BD＝BC＝6，
∵AB＝10，
∴AD＝＝＝8，
∵AD⊥BC，OF⊥BD，
∴OF∥AD，
∵OA＝OB，
∴OF＝AD＝4，
∵S△OBD＝BD OF＝OD BH，
即×6×4＝×5×BH，
解得，BH＝，
∵DE＝BD，
∴BE＝2BH＝．
解法二：连接AD，
∵BC＝12，
∴BD＝BC＝6，
∵AB＝10，
∴AD＝＝＝8，
∵S△ABC＝BC AD＝AC BE，
∴BE＝＝＝．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，弦、弧、圆心角的关系、垂径定理的应用，掌握相关定理、并灵活运用是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
23. 如图是以O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上．将该纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E，若AD＝ED，则∠B的度数为（ ）
A．24° B．30° C．36° D．44°
【点拨】先根据等边对等角和圆周角定理证明∠BEC＝∠BCE，再由折叠的性质得到∠ECO＝∠BCO，进一步由等边对等角得到∠OCB＝∠B，设∠ECO＝∠OCB＝∠B＝x，则∠BCE＝2x，∠CEB＝2x，再根据三角形内角和定理得到x+2x+2x＝180°，解方程即可得到答案．
【解析】解：∵AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∵∠DEA＝∠BEC，∠DAE＝∠BCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∵将该圆形纸片沿直线CO对折，
∴∠ECO＝∠BCO，
又∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠B，
设∠ECO＝∠OCB＝∠B＝x，
∴∠BCE＝∠ECO+∠BCO＝2x，
∴∠CEB＝2x，
∵∠BEC+∠BCE+∠B＝180°，
∴x+2x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠B＝36°；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，证明∠BEC＝∠BCE是解题的关键．
24. 如图，AB是⊙O的弦，以AB为边作等腰三角形ABC，∠C＝100°，若⊙O的半径为2cm，弦AB的长为2cm，点D在⊙O上，若，则∠DBA＝ 100或60或40 °．
【点拨】过点O作OE⊥AB于E，连接OA，OB，解直角三角形可得∠AOE＝60°，则∠AOB＝120°，求出∠BAC＝40°，则∠DAC＝20°，再进行分类讨论，结合三角形的内角和定理即可求解．
【解析】解：如图1，过点O作OE⊥AB于E，连接OA，OB，
则AE＝BE＝AB＝，
∵OA＝OB＝2，
∴sin∠AOE＝＝，
∴∠AOE＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOE＝120°，
∵△ABC是等腰三角形，∠C＝100°，
∴∠BAC＝∠ABC＝（180°﹣100°）＝40°，
∴∠DAC＝∠BAC＝20°，
①如图1，当点C在圆内，AD在AC下方时，
∵∠AOB＝120°，
∴∠D＝60°，
∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝40°+20°＝60°，
∴∠DBA＝180°﹣∠D﹣∠BAD＝180°﹣60°﹣60°＝60°．
②如图2，当点C在圆内，AD在∠BAD内部时，
∵∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝20°，
∴∠DBA＝180°﹣∠D﹣∠BAD＝180°﹣60°﹣20°＝100°．
③如图3，当点在圆的外部，AD在∠BAC内部时，
∵的度数＝120°，
∴的度数＝240°，
∴∠D＝120°，
∴∠DBA＝180°﹣∠D﹣∠BAD＝180°﹣120°﹣20°＝40°，
综上得，∠DBA＝60°或100°或40°，
故答案为：60°或100°或40°．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，正确画出图形，合理进行分类讨论是解题关键．
25. 如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OC．已知OC⊥BD于点E，AB＝2；下列结论：①∠CAD+∠OBC＝90°；②若点P为AC的中点，则CE＝2OE；③若AC＝BD，则CE＝OE；④BC2+BD2＝4；其中正确的是 ①②③ ．
【点拨】由垂径定理，圆周角定理的推论得出∠CAD＝∠CAB，由AB是⊙O的直径，进而根据等角的余角相等进而判断①；点P为AC的中点，得出AP＝CP，进而证明△APD≌△CPE（AAS）全等三角形的判定和性质，得出AD＝CE，进而根据三角形中位线定理得出AD＝2OE，等量代换得出CE＝2OE即可判断②，连接OD，根据垂径定理得出，根据AC＝BD得出，则，得出△OBC为等边三角形，由BD⊥OC，即可得出CE＝OE继而判断③；勾股定理得出AD2+BD2＝AB2＝4，当BC≠AD时，BC2+BD2≠4，即可判断④．
【解析】解：①∵OC⊥BD，
∴，
∴∠CAD＝∠CAB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，
∴∠CAD+∠ABC＝90°
故①正确，符合题意；
②∵点P为AC的中点，
∴AP＝CP，
∵AB为直径，
∴∠ADP＝90°＝∠CEP，
∵∠APD＝∠CPE，
∴△APD≌△CPE（AAS），
∴AD＝CE，
∵OA＝OB，ED＝EB，
∴AD＝2OE，
∴CE＝2OE，
故②正确，符合题意；
③连接OD，
∵OC⊥BD
∴
∵AC＝BD，
∴
∴，
∴∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∵BD⊥OC，
∴CE＝OE，
故③正确，符合题意；
④∵∠ADB＝90°，
∴AD2+BD2＝AB2＝4，
当BC≠AD时，BC2+BD2≠4，
故④错误，不符合题意；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理的推论，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，关键是掌握并熟练应用以上知识点．
26. 如图，AB是⊙O的直径，半径OD⊥AB，点E在OB上，连接DE并延长交⊙O于点C，连接BC．
（1）求∠B﹣∠D的值．
（2）当∠B＝75°时，求的值．
（3）若BC＝CE，△DOE与△CBE的面积分别记为S1，S2，求的值．
【点拨】（1）由圆周角定理求出∠BCD＝∠BOD＝45°，由等腰三角形的性质推出∠OBC﹣∠ODC＝∠OCB﹣∠OCD＝∠DCB＝45°；
（2）由直角三角形的性质得到＝，由等腰三角形的性质得到CD＝OD，即可求出的值；
（3）由OC∥BD，得到△CBD的面积＝△ODB的面积，因此△CBE的面积＝△OED的面积，即可解决问题．
【解析】解：（1）连接OC，
∵半径OD⊥AB，
∴∠BOD＝90°，
∴∠BCD＝∠BOD＝45°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OBC﹣∠ODC＝∠OCB﹣∠OCD＝∠DCB＝45°；
（2）∵∠B＝75°，∠DCB＝45°，
∴∠CEB＝60°，
∴∠OED＝60°，
∴＝，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝75°，
∴∠BOC＝30°，
∴∠COD＝∠BOD+∠BOC＝120°，
∴CD＝OD，
∴＝＝．
（3）连接BD，
∵BC＝CE，
∴∠CBE＝∠CEB，
∵∠BCE＝45°，
∴∠CBE＝67.5°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠CBE＝67.5°，
∴∠OCE＝∠OCB﹣∠BCD＝22.5°，
∵∠BOC＝180°﹣∠OCB﹣∠OBC＝45°，
∴∠BDC＝∠BOC＝22.5°，
∴∠OCE＝∠BDC，
∴OC∥BD，
∴△CBD的面积＝△ODB的面积，
∴△CBE的面积＝△OED的面积，
∴＝1．
【点睛】本题考查圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的面积，关键是由圆周角定理∠BCD＝45°，由等腰三角形的性质即可求出∠OBC﹣∠ODC＝45°；由直角三角形的性质，等腰三角形的性质求出OE、CD与OD的数量关系，即可求出的值；由OC∥BD，即可得到△CBE的面积＝△OED的面积．
27 如图1，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，，BF与CD交于点G．
（1）求证：CD＝BF．
（2）若BE＝1，BF＝4，求GE的长．
（3）连结GO，OF，如图2，求证：．
【点拨】（1）由AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E得，又由，得到，从而得到，即，即可得证；
（2）连接BC，由（1）得：，CD＝BF＝4，从而得到∠FBC＝∠BCD，则BG＝CG，设EG＝x，则BG＝CG＝2﹣x，在△BEG中，EG2+BE2＝BG2，即x2+12＝（2﹣x）2，即可得到答案；
（3）连接OC交BF于I，则OC⊥BF，通过证明△OCG≌△OBG（SSS），得到∠IOB＝2∠EOG，再由等腰三角形的性质和三角形外角的性质，可得到，最后由∠IOB+∠IBO＝90°，即可得到答案．
【解析】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴BF＝CD；
（2）解：如图所示：连接BC，
由（1）得：，CD＝BF＝4，
∴∠FBC＝∠BCD，
∴BG＝CG，
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴，
设EG＝x，则BG＝CG＝2﹣x，
在△BEG中，EG2+BE2＝BG2，即x2+12＝（2﹣x）2，
解得：，
∴GE的长为；
（3）解：如图所示：连接OC交BF于I，
∵，
∴，
在△OCG和△OBG中，
，
∴△OCG≌△OBG（SSS），
∴∠COG＝∠BOG，
∴∠IOB＝2∠EOG，
∵OF＝OB，OC为半径，
∴OC⊥BF，
∴∠OIB＝90°，
∵∠IOB+∠IBO＝90°，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，添加恰当的辅助线是解题的关键．
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