【同步分层作业】3.6圆内接四边形（含解析）

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3.6圆内接四边形 同步分层作业
基础过关
1. 已知在圆的内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝2：3：7，则∠D等于（　　）
A．40° B．60° C．100° D．120°
2. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则∠BOD的度数是（　　）
A．65° B．115° C．130° D．140°
3. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，则⊙O的半径为（　　）
A．4 B．2 C． D．4
4. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连结CE，DE．若∠BAD＝105°，则∠DCE为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
5. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的度数为 　 　．
6. 在圆内接四边形ABCD中，∠D﹣∠B＝40°，则∠B＝　　度．
7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，连接AC，若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是 　　．
8. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠A＝55°，∠F＝30°，则∠E＝　　°．
9. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，∠DAE＝∠DAC．DB与DC相等吗？为什么？
10.如图，⊙O的半径为2，四边形ABCD内接于⊙O，圆心O到AC的距离等于．
（1）求AC的长；
（2）求∠ADC的度数．
题组B 能力提升练
11. 如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，所对的圆心角为50°，则∠C+∠E等于（　　）
A．155° B．150° C．160° D．162°
12. 如图，点A、B、C在⊙O上，P为上任意一点，∠A＝m，则∠D+∠E等于（　　）
A．2m B． C．180°﹣2m D．
13. 如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，AC＝AE，∠D＝128°，则∠B＝　 　°．
14. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，点O在∠D的内部，∠OAD+∠OCD＝50°，则∠B＝　130　°．
15. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC过圆心O，且AC⊥BD，P为BC延长线上一点，PD⊥BD，若AC＝10，AD＝8，则BP的长为　　．
16. 如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝AD，点E在CD的延长线上，且DE＝BC，连接AE，若AE＝4，则四边形ABCD的面积为　　．
17.如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．其中正确的结论是　 　（填序号）．
①∠MAC＝∠PBC，
②△ABC是等边三角形，
③PC＝PA+PB，
④若PA＝1，PB＝2，则△PCM的面积＝．
18. 如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．
（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长．
19. 如图1，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共点的三条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中“爪形A”，如图2，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC，
（1）证明：圆中存在“爪形D”；
（2）若∠ADC＝120°，求证：AD+CD＝BD．
20.如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC．
（1）若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；
（2）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β，请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
21.如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）请判断△ABC的形状？说明理由；
（2）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
（3） 证明：PA+PB＝PC．
22.如图，⊙O为四边形ABCD外接圆，其中＝，其中CE⊥AB于E．
（1）求证：AB＝AD+2BE；
（2）若∠B＝60°，AD＝6，△ADC的面积为，求AB的长．
题组C 培优拔尖练
23. 如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，，∠BCD＝120°，连接AC，DE⊥AC于点E，连接BE，若∠BED＝150°，AC＝，则DE的长为　　．
24．面积为18的圆内接四边形ABCD的对角线AC是直径，AD＝DC，DE⊥AB于E，则DE＝　　．
25. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，BC＝CD＝5，AD＝5，E为对角线AC上一动点，连结BE并延长交⊙O于点F．
（1）若BF⊥AD，求证：∠ABF＝∠ACB；
（2）求四边形ABCD的面积；
（3）若△BCE为等腰三角形，求BF的长．
26.研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC＝BD，且AC⊥BD
（1）求证：AB＝CD；
（2）若⊙O的半径为8，弧BD的度数为120°，求四边形ABCD的面积；
（3）如图2，作OM⊥BC于M，请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．
答案与解析
基础过关
1. 已知在圆的内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝2：3：7，则∠D等于（　　）
A．40° B．60° C．100° D．120°
【点拨】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C＝180°，∠B+∠D＝180°，根据∠A：∠B：∠C＝2：3：7求出∠A：∠B：∠C：∠D＝2：3：7：6，再求出∠D即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，∠B+∠D＝180°，
∵∠A：∠B：∠C＝2：3：7，
∴∠A：∠B：∠C：∠D＝2：3：7：6，
∴∠D＝180°×＝120°，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．
2. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则∠BOD的度数是（　　）
A．65° B．115° C．130° D．140°
【点拨】根据邻补角互补求出∠DCB的度数，再根据圆内接四边形对角互补求出∠BAD的度数，最后根据圆周角定理即可求出∠BOD的度数．
【解析】解：∵∠DCE＝65°，
∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣65°＝115°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠DCB＝180°，
∴∠BAD＝65°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝2×65°＝130°，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握这些定理和性质是解题的关键．
3. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，则⊙O的半径为（　　）
A．4 B．2 C． D．4
【点拨】先根据圆内接四边形对角互补得出∠ADC＝45°，由圆周角定理得出∠AOC＝90°，根据OA＝OC可得出答案．
【解析】解：连接OA，OC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，
∴∠ADC＝45°，
∴∠AOC＝90°，
由勾股定理得：OA2+OC2＝AC2，
∵OA＝OC，AC＝4，
∴，
∴⊙O的半径为：．
故选：B．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角与圆心角的关系，解题的关键是熟练运用相关定理．
4. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连结CE，DE．若∠BAD＝105°，则∠DCE为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【点拨】根据圆内接四边形的性质得出∠BAD+∠BCD＝180°，求出∠BCD＝75°，根据圆周角定理得出∠BCE＝90°，再求出∠DCE即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BAD＝105°，
∴∠BCD＝75°，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BCE＝90°，
∴∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝90°﹣75°＝15°，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．
5. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的度数为 　72°　．
【点拨】根据圆内接四边形的性质计算即可．
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D＝180°，
∵∠B＝108°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝72°，
故答案为：72°．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
6. 在圆内接四边形ABCD中，∠D﹣∠B＝40°，则∠B＝　70　度．
【点拨】根据圆内接四边形对角互补，直接求出即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠B+∠D＝180°，
又∠D﹣∠B＝40°，
∴∠B＝70°；
故答案为：70．
【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，灵活应用圆内接四边形的性质是解决问题的关键．
7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，连接AC，若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是 　130°　．
【点拨】利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余计算∠B＝50°，利用圆内接四边形的性质求得∠ADC的度数．
【解析】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°，
故答案为：130°．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补．
8. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠A＝55°，∠F＝30°，则∠E＝　40　°．
【点拨】利用圆内接四边形的外角等于内对角，得到∠BCF＝∠A，根据对顶角相等，得到∠DCE＝∠BCF，利用三角形内角和定理，求出∠ADC的度数，再利用外角的性质，即可得到∠E的度数．
【解析】解：∵∠A＝55°，∠F＝30°，
∴∠BCF＝∠A＝55°，∠ADC＝180°﹣∠F﹣∠A＝180°﹣55°﹣30°＝95°，
∵∠ECD＝∠BCF＝55°，
∵∠ADC＝∠E+∠DCE，即：95°＝∠E+55°，
∴∠E＝40°．
故答案为：40．
【点睛】本题考查圆内接四边形，三角形内角和以及外角的性质．熟练掌握圆内接四边形的外角等于内对角，是解题的关键．
9. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，∠DAE＝∠DAC．DB与DC相等吗？为什么？
【点拨】首先利用等腰三角形的性质得出∠DBC＝∠DCB，进而利用圆内接四边形的性质得出∠EAD＝∠DCB，再利用圆周角定理求出∠DBC＝∠DCB即可．
【解析】解：DB＝DC；
理由：∵∠DAE是四边形ABCD的一个外角，
∴∠EAD＝∠DCB，
∵∠DAE＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠DCB，
又∵∠DAC＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴DB＝DC．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质、圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识，得出∠DBC＝∠EAD是解题关键．
10.如图，⊙O的半径为2，四边形ABCD内接于⊙O，圆心O到AC的距离等于．
（1）求AC的长；
（2）求∠ADC的度数．
【点拨】（1）过O作OE⊥AC于E，连接OA、OC，根据勾股定理求出AE，根据垂径定理求出AE＝CE，再求出AC即可；
（2）根据直角三角形的性质求出∠AOE＝30°，求出∠AOC＝60°，根据圆周角定理求出∠ABC，根据圆内接四边形的性质求出∠ADC+∠ABC＝180°，再求出答案即可．
【解析】解：（1）过O作OE⊥AC于E，连接OA、OC，则∠AEO＝90°，
∵圆心O到AC的距离等于，
∴OE＝，
由勾股定理得：AE＝＝＝1，
∵OE⊥AC，OE过圆心O，
∴AE＝CE＝1，
∴AC＝AE+CE＝1+1＝2；
（2）∵OA＝2，AE＝1，∠AEO＝90°，
∴AE＝OA，
∵∠AEO＝90°，
∴∠AOE＝30°，
同理∠COE＝30°，
∴∠AOC＝30°+30°＝60°，
∴∠ABC＝AOC＝30°，
∵四边形ADCB是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣30°＝150°．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，圆周角定理等知识点，能求出AE的长是解此题的关键．
题组B 能力提升练
11. 如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，所对的圆心角为50°，则∠C+∠E等于（　　）
A．155° B．150° C．160° D．162°
【点拨】连接AE，利用圆内接四边形对角互补求解即可．
【解析】解：连接AE，
∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，
∴∠C+∠AED＝180°，
∵所对的圆心角为50°，
∴∠AEB＝×50°＝25°，
∴∠C+∠BED＝180°﹣∠AEB＝155°，
故选：A．
【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质，熟记“圆内接四边形对角互补”是解题的关键．
12. 如图，点A、B、C在⊙O上，P为上任意一点，∠A＝m，则∠D+∠E等于（　　）
A．2m B． C．180°﹣2m D．
【点拨】根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠APC＝180°，∠ABP+∠ACP＝180°，从而可得∠EBP+∠PCD＝180°，再利用平角定义可得∠APC+∠BPE＝180°，从而可得∠A＝∠BPE＝m，进而可得∠BPE＝∠CPD＝m，然后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．
【解析】解：∵四边形ABPC是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠APC＝180°，∠ABP+∠ACP＝180°，
∴∠EBP+∠PCD＝360°﹣（∠ABP+∠ACP）＝180°，
∵∠APC+∠BPE＝180°，
∴∠A＝∠BPE＝m，
∴∠BPE＝∠CPD＝m，
∴∠E+∠D＝360°﹣（∠BPE+∠CPD+∠EBP+∠PCD）＝360°﹣（2m+180°）＝180°﹣2m，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
13. 如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，AC＝AE，∠D＝128°，则∠B＝　116　°．
【点拨】连接AC、CE，根据圆内接四边形的性质求出∠CAE，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理求出∠ACE，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
【解析】解：连接AC、CE，
∵点A、C、D、E都是⊙O上的点，
∴∠CAE+∠D＝180°，
∴∠CAE＝180°﹣128°＝52°，
∵AC＝AE，
∴，
∴，
∵点A、B、C、E都是⊙O上的点，
∴∠AEC+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣64°＝116°，
故答案为：116．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
14. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，点O在∠D的内部，∠OAD+∠OCD＝50°，则∠B＝　130　°．
【点拨】由圆的内接四边形的性质以及圆周角定理，可得∠BAD+∠BCD＝180°，∠B+∠D＝180°，∠AOC＝2∠D，由∠OAD+∠OCD＝50°，得出∠OAB+∠OCB＝130°．设∠D＝x，则∠B＝180°﹣x，∠AOC＝2x．根据四边形OABC的内角和为360°，列出关于x的方程，解方程求出x，继而求得答案．
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∵∠BAD+∠BCD＝180°，∠B+∠D＝180°，∠AOC＝2∠D，
∵∠OAD+∠OCD＝50°，
∴∠OAB+∠OCB＝130°．
设∠D＝x，则∠B＝180°﹣x，∠AOC＝2x．
在四边形OABC中，∵∠OAB+∠OCB+∠B+∠AOC＝360°，
∴130°+180°﹣x+2x＝360°，
∴x＝50°，
∴∠B＝180°﹣x＝130°．
故答案为130．
【点睛】此题考查了圆内接四边形对角互补的性质，圆周角定理，四边形内角和定理．此题难度适中，设∠D＝x，列出关于x的方程是解题的关键．
15. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC过圆心O，且AC⊥BD，P为BC延长线上一点，PD⊥BD，若AC＝10，AD＝8，则BP的长为　12　．
【点拨】根据圆周角定理得到∠ADC＝90°，根据勾股定理得到CD＝＝6，推出点C是PB的中点，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解析】解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵AC＝10，AD＝8，
∴CD＝＝6，
∵AC⊥BD，
∴AC平分BD，
∵PD⊥BD，
∴AC∥PD，
∴点C是PB的中点，
∴PB＝2CD＝12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
16. 如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝AD，点E在CD的延长线上，且DE＝BC，连接AE，若AE＝4，则四边形ABCD的面积为　8　．
【点拨】如图，连接AC，BD．由△ABC≌△ADE（SAS），推出∠BAC＝∠DAE，AC＝AE＝4，S△ABC＝S△ADE，推出S四边形ABCD＝S△ACE，由此即可解决问题；
【解析】解：如图，连接AC，BD．
∵∠BCD＝90°，
∴BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵∠ADE+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADE，
∵AB＝AD，BC＝DE，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠BAC＝∠DAE，AC＝AE＝4，S△ABC＝S△ADE，
∴∠CAE＝∠BAD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ACE＝×4×4＝8．
故答案为8．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
17.如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．其中正确的结论是　①②③④　（填序号）．
①∠MAC＝∠PBC，
②△ABC是等边三角形，
③PC＝PA+PB，
④若PA＝1，PB＝2，则△PCM的面积＝．
【点拨】根据圆内接四边形的性质和平角的定义即可得到∠MAC＝∠PBC；故①正确；根据圆周角定理得到∠ABC＝∠BAC＝60°，推出△ABC是等边三角形，故②正确；根据圆内接四边形的性质得到∠MAC＝∠PBC，∠ACB+∠APB＝180°；根据平行线的性质得到∠M+∠APB＝180°，求得∠M＝∠ACB；根据等边三角形的性质得到∠ACB＝∠BAC＝60°，AC＝BC；而∠BPC＝∠BAC＝60°，求得∠M＝∠BPC；根据全等三角形的性质得到PB＝AM，PA+PB＝PA+AM＝PM；根据等边三角形的性质得到PC＝PA+PB，故③正确；根据全等三角形的性质得到AM＝PB＝2，求得PM＝PA+AM＝1+2＝3，由三角形的面积公式得到△PCM的面积＝CM2＝，故④正确．
【解析】解：∵A、P、B、C是⊙O上的四点，
∴∠PBC+∠PAC＝180°，
∵∠PAC+∠MAC＝180°，
∴∠MAC＝∠PBC；故①正确；
∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，故②正确；
∵四边形APBC是⊙O的内接四边形，
∴∠MAC＝∠PBC，∠ACB+∠APB＝180°；
∵CM∥BP，
∴∠M+∠APB＝180°，
∴∠M＝∠ACB；
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠BAC＝60°，AC＝BC；而∠BPC＝∠BAC＝60°，
∴∠M＝∠BPC；
在△ACM与△BCP中，
，
∴△ACM≌△BCP（AAS）．
∴PB＝AM，PA+PB＝PA+AM＝PM；
∵∠M＝∠BPC＝60°，∠APC＝∠ABC＝60°，
∴△MPC为等边三角形，
∴PC＝PM，
∴PC＝PA+PB，故③正确；
∵△ACM≌△BCP，
∴AM＝PB＝2，
∴PM＝PA+AM＝1+2＝3，
∵△PCM是等边三角形，
∴△PCM的面积＝CM2＝，故④正确，
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
18. 如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．
（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长．
【点拨】（1）由圆周角定理得到∠BAC＝∠CDB，而∠BAC＝∠ADB，因此∠ADB＝∠CDB，得到BD平分∠ADC，由圆内接四边形的性质得到∠ABD+∠ADB＝90°，即可求出∠BAD＝90°；
（2）由垂径定理推出△ACD是等边三角形，得到∠ADC＝60°由BD⊥AC，得到∠BDC＝∠ADC＝30°，由平行线的性质求出∠F＝90°，由圆内接四边形的性质求出∠FBC＝∠ADC＝60°，得到BC＝2BF＝4，由直角三角形的性质得到BC＝BD，因为BD是圆的直径，即可得到圆半径的长是4．
【解析】（1）证明：∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴BD平分∠ADC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB＝180°，
∴2（∠ABD+∠ADB）＝180°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝180°﹣90°＝90°；
（2）解：∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠BAE＝∠ADE，
∴∠ADE+∠DAE＝90°，
∴∠AED＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴BD是圆的直径，
∴BD垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∵AC＝AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC＝60°
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝∠ADC＝30°，
∵CF∥AD，
∴∠F+∠BAD＝180°，
∴∠F＝90°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠FBC+∠ABC＝180°，
∴∠FBC＝∠ADC＝60°，
∴BC＝2BF＝4，
∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，
∴BC＝BD，
∵BD是圆的直径，
∴圆的半径长是4．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由圆内接四边形的性质得到∠ABD+∠ADB＝90°，由垂径定理推出△ACD是等边三角形．
19. 如图1，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共点的三条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中“爪形A”，如图2，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC，
（1）证明：圆中存在“爪形D”；
（2）若∠ADC＝120°，求证：AD+CD＝BD．
【点拨】（1）由圆周角的性质直接证明即可；
（2）延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE，证明△BAD≌△BCE（SAS），再证明△BDE是等边三角形，即可求解．
【解析】（1）证明：∵AB＝BC，
∴
∴∠ADB＝∠CDB，
∴DB平分圆周角∠ADC，
∴圆中存在“爪形D”；
（2）证明：延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE，
∵∠A+∠DCB＝180°，∠ECB+∠DCB＝180°，
∴∠A＝∠ECB，
∵CE＝AD，AB＝BC，
∴△BAD≌△BCE（SAS），
∴∠E＝∠ADB，
∵∠ADC＝120°，
∴∠E＝∠ADB＝∠ADB＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE＝BD，即AD+CD＝BD．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，全等三角形的判定及性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
20.如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC．
（1）若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；
（2）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β，请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
【点拨】由∠E＝∠F，易得∠ADC＝∠ABC，又由圆的内接四边形的性质，即可求得答案；
（1）根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果；
（2）连接EF，根据圆内接四边形的性质得∠ECD＝∠A，再根据三角形外角性质得∠ECD＝∠1+∠2，则∠A＝∠1+∠2，然后根据三角形内角和定理有∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD＝180°，即2∠A+∠AEB+∠AFD＝180°，再解方程即可．
【解析】证明：∵∠E＝∠F，∠DCE＝∠BCF，∠ADC＝∠E+∠DCE，∠ABC＝∠BCF+∠F，
∴∠ADC＝∠ABC，
（1）解：∵∠ADC＝∠ABC，
∵∠EDC＝∠ABC，
∴∠EDC＝∠ADC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A＝90°﹣42°＝48°；
（2）解：连接EF，如图，
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠ECD＝∠A，
∵∠ECD＝∠1+∠2，
∴∠A＝∠1+∠2，
∵∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD＝180°，
∴2∠A+∠AEB+∠AFD＝180°，
即∠A＝90°﹣（α+β）．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
21.如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）请判断△ABC的形状？说明理由；
（2）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
（3） 证明：PA+PB＝PC．
【点拨】（1）利用圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，从而可判断△ABC的形状；
（2）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为的中点时，PE+CF＝PC从而得出最大面积．
（3）在PC上截取PH＝PA，得到△APH为等边三角形，证明△APB≌△AHC，根据全等三角形的性质，结合图形证明即可．
【解析】解：（1）△ABC是等边三角形．理由如下：
在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下：
如图，过点P作PE⊥AB，垂足为E．过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵S△APB＝AB PE，S△ABC＝AB CF，
∴S四边形APBC＝AB （PE+CF），
当点P为的中点时，PE+CF＝PC，PC为⊙O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB＝，
∴S四边形APBC＝×2×＝．
(3)证明：在PC上截取PH＝PA，
∵∠APC＝60°，
∴△APH为等边三角形，
∴AP＝AH，∠AHP＝60°，
在△APB和△AHC中，
，
∴△APB≌△AHC（AAS）
∴PB＝HC，
∴PC＝PH+HC＝PA+PB．
【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式，正确作出辅助线是解题的关键．
22.如图，⊙O为四边形ABCD外接圆，其中＝，其中CE⊥AB于E．
（1）求证：AB＝AD+2BE；
（2）若∠B＝60°，AD＝6，△ADC的面积为，求AB的长．
【点拨】（1）过C点作CF⊥AD交AD的延长线于F点．根据全等三角形的判定和性质即可证明；
（2）首先根据三角形的面积公式求得CF的长，根据全等三角形的性质求得∠B＝∠CDF＝60°，从而求得DF的长，结合（1）的结论即可求解．
【解析】（1）证明：过C点作CF⊥AD交AD的延长线于F点．
∵＝，
∴CD＝CB，∠1＝∠2．
又∵CF⊥AD，CE⊥AB，
∴CF＝CE．
∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），
∴AF＝AE，DF＝BE，
∴AD+DF＝AB﹣BE，
∴AB＝AD+DF+BE＝AD+2BE，
∴AB＝AD+2BE．
（2）解：∵S△ADC＝AD×CF＝，
∴CF＝，
由（1），得Rt△CDF≌Rt△CBE，
∴∠B＝∠CDF＝60°，
在△CDF中，求得DF＝．
∴AB＝AD+2BE＝6+×2＝11．
【点睛】解决此题的关键是巧妙构造全等三角形，综合运用圆周角定理的推论和全等三角形的判定及性质．
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23. 如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，，∠BCD＝120°，连接AC，DE⊥AC于点E，连接BE，若∠BED＝150°，AC＝，则DE的长为　　．
【点拨】连接BD，由，得到AB＝AD，求得△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质得到AB＝BD，∠ABD＝∠ADB＝60°，求得∠ACD＝∠ABD＝60°，推出CD＝2CE，根据全等三角形的性质得到AE＝CD，求得AE＝2CE，得到CD＝AE＝2，根据勾股定理即可得到结论．
【解析】解：连接BD，
∵，
∴AB＝AD，
∵∠BCD＝120°，
∴∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD，∠ABD＝∠ADB＝60°，
∴∠ACD＝∠ABD＝60°，
∴∠CDE＝30°，
∴CD＝2CE，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝∠CED＝90°，
∵∠BED＝150°，
∴∠AEB＝120°，
在△ABE与△DBC中，，
∴△ABE≌△DBC（AAS），
∴AE＝CD，
∴AE＝2CE，
∵AC＝，
∴AE＝2，CE＝，
∴CD＝AE＝2，
∴DE＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
24．面积为18的圆内接四边形ABCD的对角线AC是直径，AD＝DC，DE⊥AB于E，则DE＝　3　．
【点拨】连接BD，发现等腰直角三角形ACD和BDE．设⊙O的半径为R，DE＝x，首先根据AC把四边形ABCD分割成的两个三角形的面积进行计算，求得AB+BC＝6，再根据DE把四边形ABCD分割成的两部分的面积进行计算，即可求解．
【解析】解：如图，连接BD，
因为AC是直径，
所以∠ADC＝90°．
因为AD＝DC，
所以∠ACD＝45°，
所以∠ABD＝45°，又∠DEB＝90°，
所以△DEB为等腰直角三角形，
所以DE＝BE．
设⊙O的半径为R，DE＝x，则
，
∵AB2+BC2＝4R2，
∴（AB+BC）2＝4R2+2 AB BC＝4R2+2（36﹣2R2）＝72，
AB+BC＝6，
又，
∴（AB+BC）x＝18，
则x＝3．
故答案为：3．
【点睛】此题的难度较大，综合运用了圆周角定理的推论、勾股定理和图形的面积计算方法．
25. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，BC＝CD＝5，AD＝5，E为对角线AC上一动点，连结BE并延长交⊙O于点F．
（1）若BF⊥AD，求证：∠ABF＝∠ACB；
（2）求四边形ABCD的面积；
（3）若△BCE为等腰三角形，求BF的长．
【点拨】（1）先根据垂径定理可得：＝，再由圆周角定理可得结论；
（2）如图1，过点C分别作AD和AB的垂线，垂足分别为G，H，证明Rt△CGD≌Rt△CHB（HL），则四边形ABCD的面积＝四边形CGAH的面积，从而可以解答；
（3）当△BCE为等腰三角形时，可分三种情况：BC＝CE，BC＝BE，CE＝BE，根据勾股定理，三角函数，圆周角定理和相似三角形的性质可以解答．
【解析】（1）证明：∵AD为直径，BF⊥AD，
∴＝，
∴∠ABF＝∠ACB；
（2）解：如图1，过点C分别作AD和AB的垂线，垂足分别为G，H，
∵CD＝BC，
∴＝，
∴∠CAD＝∠BAC，
∴CG＝CH，
∴Rt△CGD≌Rt△CHB（HL），
∴四边形ABCD的面积＝四边形CGAH的面积，
∵CG＝CH，AC＝AC，
∴Rt△ACG≌Rt△ACH（HL），
∴S△ACG＝S△ACH，
∵AD是直径，
∴∠ACD＝90°，
∵AD＝5，CD＝5，
∴AC＝＝＝10，
∵S△ACD＝ AC CD＝ AD CG，
∴×5×10＝××CG，
∴CG＝2，
由勾股定理得：AG＝＝＝4，
∴四边形ABCD的面积＝四边形CGAH的面积＝2S△ACG＝2×××＝40；
（3）解：分三种情况：
①当BC＝CE时，如图2，过点E作EM⊥AB于M，过点C作CG⊥AD于G，连接AF，DF，
∵CD＝BC＝CE＝5，AC＝10，
∴AE＝10﹣5＝5，
∵∠CAG+∠ACG＝90°，∠ACG+∠DCG＝90°，
∴∠DCG＝∠CAG＝∠EAM，
∵∠CGD＝∠AME＝90°，
∴△AME≌△CGD（AAS），
∴AM＝CG＝2，EM＝DG＝，
∴BM＝AB﹣AM＝3﹣2＝，
∴EM＝BM，
∵∠BME＝90°，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴∠ABE＝45°，BE＝BM＝，
∴∠ADF＝∠ABE＝45°，
∵AD是直径，
∴∠AFD＝90°，
∴△AFD是等腰直角三角形，
∵AD＝5，
∴AF＝＝，
∵BC＝CE，
∴∠CBE＝∠CEB，
∵∠CEB＝∠AEF，∠CAF＝∠CBE，
∴∠CAF＝∠AEF，
∴EF＝AF＝，
∴BF＝BE+EF＝+＝；
②当CB＝BE时，如图3，过点B作BN⊥AC于N，连接AF，
∵∠BAC＝∠CAD，
∴sin∠BAC＝sin∠CAD，
∴＝，即＝，
∴BN＝3，
∴AN＝＝＝6，
∵AC＝10，
∴CN＝AC﹣AN＝10﹣6＝4，
∵BC＝BE＝5，BN⊥AC，
∴CN＝EN＝4，AE＝10﹣8＝2，
∵∠BEC＝∠AEF，∠BCE＝∠AFE，
∴△CBE∽△FAE，
∴＝，即＝，
∴EF＝，
∴BF＝BE+EF＝5+＝；
③当CE＝BE时，如图4，连接AF，
∴∠BCE＝∠CBE，
∵∠BCE＝∠AFE，∠CBE＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠AFE，
∴EF＝AE，
∴CE+AE＝BE+EF，
即BF＝AC＝10；
综上，BF的长为或或10．
【点睛】本题主要考查了圆的基本知识，三角形相似和全等，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，综合性强，难度较大，注意第（3）问运用分类讨论的思想解决问题．
26.研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC＝BD，且AC⊥BD
（1）求证：AB＝CD；
（2）若⊙O的半径为8，弧BD的度数为120°，求四边形ABCD的面积；
（3）如图2，作OM⊥BC于M，请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．
【点拨】（1）根据弦、弧、圆心角的关系证明；
（2）根据弧BD的度数为120°，得到∠BOD＝120°，利用解直角三角形的知识求出BD，根据题意计算即可；
（3）连接OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图3，根据垂径定理得到AE＝DE，再利用圆周角定理得到∠BOM＝∠BAC，∠AOE＝∠ABD，再利用等角的余角相等得到∠OBM＝∠AOE，则可证明△BOM≌△OAE得到OM＝AE，证明结论．
【解析】（1）证明：∵AC＝BD，
∴＝，
则＝，
∴AB＝CD；
（2）解：连接OB、OD，作OH⊥BD于H，
∵弧BD的度数为120°，
∴∠BOD＝120°，
∴∠BOH＝60°，
则BH＝OB＝4，
∴BD＝8，
则四边形ABCD的面积＝×AC×BD＝96；
（3）AD＝2OM，
连接OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图2，
∵OE⊥AD，
∴AE＝DE，
∵∠BOC＝2∠BAC，
而∠BOC＝2∠BOM，
∴∠BOM＝∠BAC，
同理可得∠AOE＝∠ABD，
∵BD⊥AC，
∴∠BAC+∠ABD＝90°，
∴∠BOM+∠AOE＝90°，
∵∠BOM+∠OBM＝90°，
∴∠OBM＝∠AOE，
在△BOM和△OAE中，
，
∴△BOM≌△OAE，
∴OM＝AE，
∴AD＝2OM．
【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质和矩形的性质、会利用三角形全等解决线段相等的问题是解题的关键．
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