【同步分层作业】3.8弧长及扇形的面积（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
3.8弧长及扇形的面积 同步分层作业
基础过关
1．一个扇形的半径是4cm，圆心角是45°，则此扇形的弧长是（　　）
A．πcm B．2πcm C．4πcm D．8πcm
2．一个扇形的半径是3，面积为6π，那么这个扇形的圆心角是（　　）
A．260° B．240° C．140° D．120°
3．已知一个扇形的面积是24π，弧长是2π，则这个扇形的半径为（　　）
A．24 B．22 C．12 D．6
4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若⊙O的半径为5，则的长为（　　）
A． B． C．π D．
5.如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝30°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．﹣ B．﹣ C．﹣2 D．﹣2
6．已知扇形面积为12π，半径为6，则扇形的弧长为 　　．
7．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上两点，且满足∠ADC＝120°，BC＝2，则的长为 　　．
8．如图，用一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了72°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 　　cm．
9．如图，已知⊙O的半径为，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC、BD，DB＝DC，∠BDC＝45°．
（1）求的长；
（2）求证：AD平分△ABC的外角∠EAC．
10．如图，直角坐标系中，有一条圆心角为90°的圆弧，且该圆弧经过网格点A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2）．
（1）该圆弧所在圆的圆心M坐标为 　 　．
（2）求扇形AMC的面积．
11．如图：AB是⊙O直径，弦CD垂直于AB，交AB于点E，连接AC，∠CDB＝30°，CD＝4．
（1）∠CAB＝　　；
（2）求半径OC．
（3）的弧长．
（4）求阴影面积．
题组B 能力提升练
12．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴，y轴分别交于A，B两点，点B坐标为 （0，2），OC与⊙D交于点C，∠OCA＝30°，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
13．如图是一块四边形绿化园地，四角都做有直径为1m的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地（阴影部分）的面积为 （　　）
A．πm2 B．0.5πm2 C．0.25πm2 D．不能确定
14．扇子最早称“翣”，在我国已有两千多年历史．“打开半个月亮，收起兜里可装，来时荷花初放，去时菊花正黄．”这则谜语说的就是扇子．如图，一竹扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为135°，AB的长为30cm，扇面BD的长为20cm，则扇面面积为（　　）cm2．
A．π B．600π C．300π D．30π
15．如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（　　）
A．π m2 B．π m2 C．π m2 D．π m2
15．如图，半圆O的直径为AB，点 C、D为半圆O的三等分点，点P为直径AB上任意一点，若阴影部分的面积为π，则半圆O的半径为 　　．
16.如图，以AB为直径的半圆O，绕点A顺时针旋转45°，点B的对应点为点C，AC交半圆O于点D，若，则图中阴影部分的面积为 　　．
17.如图，已知AB是⊙O的直径，C点是AB弧上的一点，CE⊥AB于E，点D是BC弧的中点，AD交CE于点F，交BC于点G．
（1）判断△FGC的形状，并证明；
（2）若∠CAD＝30°，AB＝12．
①求CF的长；
②求阴影部分的面积．
18.如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过点O作OE⊥AC交⊙O于点F，垂足为E．
（1）∠CAB的度数为 　　；
（2）求OE的长；
（3）求阴影部分的面积．
19.如图，AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB 于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）根据条件，写出一对相等的线段或相等的角；
（2）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的半径；
（3）若⊙O的半径是（2）中求得的半径，且，求的长．
20.如图，AB，CD是⊙O的两条弦，∠AOB+∠COD＝180°．
（1）在图（1）中，∠AOB＝120°，CD＝6，直接写出图中阴影部分的面积；
（2）在图（2）中，E是AB的中点，判断OE与CD的数量关系，并证明你的结论．
21.已知在圆O中，弦AB垂直弦CD于点E
（1）如图1：若CE＝BE，求证：AB＝CD；
（2）如图2：若AB＝8，CD＝6，OE＝；
①求圆的半径；
②求弓形CBD的面积．
题组C 培优拔尖练
22．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，半径OA＝3，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，使点O恰好落在AB上的点D处，折痕为BC，则阴影部分的面积为（　　）
A． B．﹣3 C． D．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．π
24．如图，以AC为直径的半圆O交CD于点B，以点B为圆心，BD长为半径的半圆B过点A与点O，若BD＝，则阴影部分的面积是 　 　．

25．如图，在正方形ABCD中有一点P，连接AP、BP，旋转△APB到△CEB的位置．
（1）若正方形的边长是8，PB＝4．求阴影部分面积；
（2）若PB＝4，PA＝7，∠APB＝135°，求PC的长．
26.如图，正方形OA1B1C1的边长为1，以O为圆心、OA1为半径作扇形OA1C1，与OB1相交于点B2，设正方形OA1B1C1与扇形OA1C1之间的阴影部分的面积为S1；然后以OB2为对角线作正方形OA2B2C2，又以O为圆心，OA2为半径作扇形OA2C2，与OB1相交于点B3，设正方形OA2B2C2与扇形OA2C2之间的阴影部分面积为S2；按此规律继续作下去，设正方形OAnBn n与扇形OAn n之间的阴影部分面积为Sn．
（1）求S1，S2，S3；
（2）写出S2008；
（3）试猜想Sn（用含n的代数式表示，n为正整数）．
答案与解析
基础过关
1．一个扇形的半径是4cm，圆心角是45°，则此扇形的弧长是（　　）
A．πcm B．2πcm C．4πcm D．8πcm
【点拨】根据弧长公式进行计算即可．
【解析】解：由题意得，扇形的半径为4cm，圆心角为45°，
故此扇形的弧长为＝π（cm），
故选：A．
【点睛】此题考查了扇形弧长的计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握弧长计算公式，难度一般．
2．一个扇形的半径是3，面积为6π，那么这个扇形的圆心角是（　　）
A．260° B．240° C．140° D．120°
【点拨】设这个扇形的圆心角是n°，根据，求出这个扇形的圆心角为多少即可．
【解析】解：设这个扇形的圆心角是n°，
由题意得，
∴n＝240，
∴这个扇形的圆心角为240度．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了扇形的面积的计算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：设圆心角是n°，圆的半径为r的扇形面积为S，则．
3．已知一个扇形的面积是24π，弧长是2π，则这个扇形的半径为（　　）
A．24 B．22 C．12 D．6
【点拨】扇形面积公式为，直接代值计算即可．
【解析】解：，即，解得r＝24．
故选：A．
【点睛】此题考查扇形的面积公式，＝，解题关键是在不同已知条件下挑选合适的公式进行求解．
4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若⊙O的半径为5，则的长为（　　）
A． B． C．π D．
【点拨】根据圆周角的性质，计算出弧DC所对的圆心角度数，按照公式求出弧长即可．
【解析】解：连接OA、OD、OC，
∵∠B＝58°，∠ACD＝40°．
∴∠AOC＝2∠B＝116°，∠AOD＝2∠ACD＝80°，
∴∠DOC＝36°，
∴＝＝π．
故选：C．
【点睛】本题考查了弧长的计算和圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
5.如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝30°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．﹣ B．﹣ C．﹣2 D．﹣2
【点拨】根据S阴＝S扇形OBC﹣S△OBC，计算即可．
【解析】解：∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴S阴＝S扇形OBC﹣S△OBC＝﹣×2×＝π﹣，
故选：B．
【点睛】本题考查扇形的面积，圆周角定理，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．已知扇形面积为12π，半径为6，则扇形的弧长为 　4π　．
【点拨】根据扇形面积的计算公式即可求出答案．
【解析】解：设扇形的弧长为l，由扇形面积公式可得，
l×6＝12π，
解得l＝4π，
故答案为：4π．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算公式是正确解答的关键．
7．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上两点，且满足∠ADC＝120°，BC＝2，则的长为 　　．
【点拨】连接OC，先由圆内接四边形的性质，求得∠B＝60°，从而得知△BOC是等边三角形，可得∠BOC＝60°，OB＝BC＝2，再利用弧长公式即可求解．
【解析】解：连接OC，
∵∠ADC＝120°，
∴∠B＝60°，
∵OC＝OB，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，OB＝BC＝2，
则的长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，弧长公式，求得△BOC是等边三角形是解题的关键．
8．如图，用一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了72°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 　4π　cm．
【点拨】利用弧长公式计算即可．
【解析】解：重物上升的高度为：（cm），
故答案为：4π．
【点睛】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．
9．如图，已知⊙O的半径为，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC、BD，DB＝DC，∠BDC＝45°．
（1）求的长；
（2）求证：AD平分△ABC的外角∠EAC．
【点拨】（1）连接OB，OC，根据圆周角定理得∠BOC＝2∠BDC＝90°，再根据弧长公式计算即可；
（2）根据圆内接四边形的性质得到∠DCB＝∠EAD，根据等腰三角形的性质得到∠DCB＝∠DBC，根据圆周角定理得到∠DBC＝∠DAC，等量代换得到答案．
【解析】（1）解：如图，连接OB，OC，
∵∠BDC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝90°，
∴的长为＝π；
（2）证明：∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB，
∵∠CAD＝∠DBC，
∴∠CAD＝∠DCB，
∵∠DCB+∠DAB＝180°，∠EAD+∠DAB＝180°，
∴∠EAD＝∠DCB，
∴∠EAD＝∠CAD，
∴AD平分△ABC的外角∠EAC．
【点睛】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的外角等于它的内对角是解题的关键．
10．如图，直角坐标系中，有一条圆心角为90°的圆弧，且该圆弧经过网格点A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2）．
（1）该圆弧所在圆的圆心M坐标为 　（﹣2，0）　．
（2）求扇形AMC的面积．
【点拨】（1）根据垂径定理结合网格的性质可得答案；
（2）借助网格求出半径，再利用弧长公式进行计算即可．
【解析】解：（1）由垂径定理可知，圆心是AB、BC中垂线的交点，
由网格可得该点M（﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0）；
（2）∵扇形的半径r＝，
∵∠AMC＝90°，
∴S扇形AMC＝
＝
＝5π．
【点睛】本题考查弧长的计算、垂径定理，掌握垂径定理以及网格特征是确定圆心坐标的关键，求出弧所在圆的半径和相应圆心角度数是求弧长的前提．
11．如图：AB是⊙O直径，弦CD垂直于AB，交AB于点E，连接AC，∠CDB＝30°，CD＝4．
（1）∠CAB＝　30°　；
（2）求半径OC．
（3）的弧长．
（4）求阴影面积．
【点拨】（1）根据圆周角定理得∠CAB＝∠CDB＝30°即可；
（2）根据垂径定理得CE＝DE＝2，∠COE＝2∠CAB＝60°，即可求出求半径OC；
（3）根据弧长公式求的长度即可；
（4）阴影面积为扇形BOC的面积．
【解析】解：（1）∵∠CDB＝30°，
∴∠CAB＝∠CDB＝30°；
故答案为：30°；
（2）∵AB是⊙O直径，弦CD垂直于AB，CD＝4，
∴CE＝DE＝2，
∵∠COE＝2∠CAB＝60°，
∴sin∠COE＝sin60°＝＝＝，
∴OC＝4，
∴半径OC为4；
（3）∵＝π，
∴的长度为π；
（4）扇形BOC的面积为＝π，
根据题意可知，阴影部分的面积等于扇形BOC的面积，
∴阴影面积为π．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、弧长公式以及扇形面积求法等知识，熟练应用垂径定理是解题关键．
题组B 能力提升练
12．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴，y轴分别交于A，B两点，点B坐标为 （0，2），OC与⊙D交于点C，∠OCA＝30°，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】连接AB，根据∠AOB＝90°可知AB是直径，再由圆周角定理求出∠OBA＝∠C＝30°，由锐角三角函数的定义得出OA及AB的长，根据S阴影＝S半圆﹣S△ABO即可得出结论．
【解析】解：如图，连接AB，
∵∠AOB＝90°，
∴AB是直径
根据同弧对的圆周角相等得∠OBA＝∠C＝30°，
∵OB＝2，
∴OA＝OBtan∠ABO＝OBtan30°＝2×＝2，AB＝2AO＝4，即圆的半径为2，
∴S阴影＝S半圆﹣S△ABO＝﹣×2×2＝2π﹣2．
故选：C．
【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
13．如图是一块四边形绿化园地，四角都做有直径为1m的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地（阴影部分）的面积为 （　　）
A．πm2 B．0.5πm2 C．0.25πm2 D．不能确定
【点拨】根据四边形的内角和是360°将阴影部分4个扇形拼成一个直径为1m的圆，由圆面积的计算方法进行计算即可．
【解析】解：由于四边形的内角和是360°，
所以阴影部分4个扇形可以拼成直径为1m的圆，
因此面积为：π×（）2＝π＝0.25π（m2），
故选：C．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，掌握四边形内角和是360°以及圆面积的计算方法是正确解答的前提．
14．扇子最早称“翣”，在我国已有两千多年历史．“打开半个月亮，收起兜里可装，来时荷花初放，去时菊花正黄．”这则谜语说的就是扇子．如图，一竹扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为135°，AB的长为30cm，扇面BD的长为20cm，则扇面面积为（　　）cm2．
A．π B．600π C．300π D．30π
【点拨】根据扇形的面积公式，利用扇面的面积＝S扇形BAC﹣S扇形DAE进行计算．
【解析】解：∵AB＝30cm，BD＝20cm，
∴AD＝10cm，
∵∠BAC＝135°，
∴扇面的面积＝S扇形BAC﹣S扇形DAE
＝﹣
＝300π（cm2）．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了扇环的面积求法．一般情况下是让大扇形的面积减去小扇形的面积求阴影部分，即扇环面积．
15．如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（　　）
A．π m2 B．π m2 C．π m2 D．π m2
【点拨】小羊的最大活动区域是一个半径为5、圆心角为90°和一个半径为1、圆心角为60°的小扇形的面积和．所以根据扇形的面积公式即可求得小羊的最大活动范围．
【解析】解：大扇形的圆心角是90度，半径是5，
所以面积＝＝πm2；
小扇形的圆心角是180°﹣120°＝60°，半径是1m，
则面积＝＝（m2），
则小羊A在草地上的最大活动区域面积＝π+＝π（m2）．
故选：D．
【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，本题的关键是从图中找到小羊的活动区域是由哪几个图形组成的，然后分别计算即可．
15．如图，半圆O的直径为AB，点 C、D为半圆O的三等分点，点P为直径AB上任意一点，若阴影部分的面积为π，则半圆O的半径为 　5　．
【点拨】连接OC、OD，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，然后计算半径即可．
【解析】解：连接OC、OD、CD，
∵△COD和△CPD同底等高，
∴S△COD＝S△PCD，
∵点C，D为半圆的三等分点，
∴∠COD＝180°÷3＝60°，
∴阴影部分的面积＝S扇形COD＝πcm2，
∴＝π，
解得：R＝5．
故答案为：5．
【点睛】此题主要考查了扇形面积求法，利用已知得出理解阴影部分的面积等于扇形OCD的面积是解题关键．
16.如图，以AB为直径的半圆O，绕点A顺时针旋转45°，点B的对应点为点C，AC交半圆O于点D，若，则图中阴影部分的面积为 　π﹣2　．
【点拨】先根据S扇形ABC＝＝π，S半圆AB＝π×（）2＝π，得出S扇形ABC＝S半圆AB，即可得出S阴影＝2S弓形AD＝2×（S扇形OAD﹣S△AOD），然后根据扇形的面积公式以及三角形的面积公式计算即可．
【解析】解：连接OD，
∵半圆AB绕绕点A顺时针旋转45°，点B的对应点为点C，
∴∠ABC＝45°，
∴∠BOD＝90°，
∵S扇形ABC＝＝π，S半圆AB＝π×（）2＝π，
∴S扇形ABC＝S半圆AB，
∴S阴影＝2S弓形AD＝2×（S扇形OAD﹣S△AOD）＝2（﹣）＝π﹣2，
故答案为：π﹣2．
【点睛】本题考查圆周角定理、扇形面积的计算、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17.如图，已知AB是⊙O的直径，C点是AB弧上的一点，CE⊥AB于E，点D是BC弧的中点，AD交CE于点F，交BC于点G．
（1）判断△FGC的形状，并证明；
（2）若∠CAD＝30°，AB＝12．
①求CF的长；
②求阴影部分的面积．
【点拨】（1）结合已知条件，利用圆周角定理及等角的余角相等易证得∠AGC＝∠AFE，再利用对顶角相等及等角对等边即可证得结论；
（2）①结合（1）中所求及已知条件，利用直角三角形性质易得AC＝6，然后利用三角函数求得CG的长度，从而得出CF的长度；
②连接OC，利用等边三角形的判定及性质求得∠AOC的度数及OE的长度，然后利用勾股定理求得CE的长度，最后利用扇形AOC的面积减去△AOC的面积进行计算即可．
【解析】（1）△CFG是等腰三角形，证明过程如下：
证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠AGC＝90°，
∵CE⊥AB，
∵∠AFE+∠BAD＝90°，
∵D为的中点，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠AGC＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠CFG，
∴∠CGF＝∠CFG，
∴CF＝CG，
∴△CFG是等腰三角形；
（2）解：①∵∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠BAC＝30°+30°＝60°，
∴∠ABC＝90°﹣60°＝30°，
∴AC＝AB＝×12＝6，
∵∠ACG＝90°，
∴tan∠CAD＝tan30°＝，
∴CF＝CG＝AC tan30°＝6×＝2；
②如图，连接OC，
∵∠OAC＝60°，OA＝OC，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，OA＝OC＝6，
∵CE⊥AB，
∴OE＝AE＝OA＝3，
∴CE＝＝3，
∴S阴影＝S扇形AOC﹣S△AOC
＝﹣×6×3
＝6π﹣9．
【点睛】本题考查圆与三角形性质的综合应用，圆的相关性质，三角函数，等边三角形的判定及性质，三角函数都是重要知识点，必须熟练掌握并应用．
18.如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过点O作OE⊥AC交⊙O于点F，垂足为E．
（1）∠CAB的度数为 　30°　；
（2）求OE的长；
（3）求阴影部分的面积．
【点拨】（1）由圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠B＝∠D＝60°，由直角三角形的性质得到∠CAB＝90°﹣∠B＝30°；
（2）由AB＝6，得到OA＝3，由直角三角形的性质得到OE＝OA＝；
（3）由△OEC≌△FEA（SAS），得到阴影的面积＝扇形OCF的面积，求出扇形OCF的面积即可．
【解析】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠D＝60°
∴∠CAB＝90°﹣∠B＝30°．
故答案为：30°．
（2）∵AB＝6，
∴OA＝OC＝AB＝3，
∵OF⊥AC，
∴∠AEO＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴OE＝OA＝1.5；
（3）∵∠AEO＝90°，∠CAB＝30°，
∴∠AOE＝60°，
∵OF＝OA，
∴△OAF是等边三角形，
∴OE＝EF，∠AOF＝60°，
∵∠CEO＝∠AEF＝90°，
∴△OEC≌△FEA（SAS），
∴阴影的面积＝扇形OCF的面积，
∵∠B＝60°，OC＝OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠COF＝180°﹣∠AOF﹣∠BOC＝60°，
∴扇形OCF的面积＝＝．
∴阴影的面积＝．
【点睛】本题考查圆周角定理，扇形面积的计算，关键是证明阴影的面积＝扇形OCF的面积．
19.如图，AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB 于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）根据条件，写出一对相等的线段或相等的角；
（2）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的半径；
（3）若⊙O的半径是（2）中求得的半径，且，求的长．
【点拨】（1）根据垂径定理可得相等的线段；
（2）设⊙O的半径为r，根据垂径定理，由AB⊥CD得到DE＝CD＝8，在Rt△ODE中，利用勾股定理得（r﹣4）2+82＝r2，解得r＝10，所以⊙O的半径为10；
（3）由OM＝OB得到∠B＝∠M，根据三角形外角性质得∠DOB＝∠B+∠M＝2∠B，则2∠B+∠D＝90°，加上∠B＝∠D，所以2∠D+∠D＝90°，然后解方程即可得∠D的度数，即可得出∠COD的度数，根据弧长的计算公式即可得到结论．
【解析】解：（1）∵AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB 于点E，
∴CE＝DE；
（2）设⊙O的半径为r，
∵AB⊥CD，
∴CE＝DE＝CD＝×16＝8，
在Rt△ODE中，OE＝OB﹣BE＝r﹣4，OD＝r，
∵OE2+DE2＝OD2，
∴（r﹣4）2+82＝r2，
解得r＝10，
∴⊙O的半径为10；
（3）如图，连接OC，
∵OM＝OB，
∴∠B＝∠M，
∴∠DOB＝∠B+∠M＝2∠B，
∵∠DOE+∠D＝90°，
∴2∠B+∠D＝90°，
∵弧CM＝弧BD，
∴∠M＝∠D，
∴∠B＝∠D，
∴2∠D+∠D＝90°，
∴∠D＝30°，
∴∠DOE＝60°，
∴∠COD＝120°，
∴弧CAD的长为＝．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧长的计算等，运用方程思想是解题的关键．
20.如图，AB，CD是⊙O的两条弦，∠AOB+∠COD＝180°．
（1）在图（1）中，∠AOB＝120°，CD＝6，直接写出图中阴影部分的面积；
（2）在图（2）中，E是AB的中点，判断OE与CD的数量关系，并证明你的结论．
【点拨】（1）作OM⊥AB于M，利用垂径定理得到AM＝BM，在Rt△OAC中计算出OM＝OA＝3，AM＝OM＝3，则AB＝2AM＝6，然后根据扇形面积公式，利用S弓形AB＝S扇形AOB﹣S△AOB进行计算即可；
（2）作直径AF，连接BF，进而得出BF＝DC，再利用三角形中位线的性质得出答案．
【解析】解：（1）∵∠AOB+∠COD＝180°，∠AOB＝120°，
∴∠COD＝60°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∵CD＝6，
∴OA＝OC＝CD＝6，
作OM⊥AB于M，如图（1），则AM＝BM，
在Rt△OAM中，∠A＝30°，
∴OM＝OA＝3，AM＝OM＝3，
∴AB＝2AM＝6，
∴S弓形AB＝S扇形AOB﹣S△AOB
＝﹣ 6×3
＝12π﹣9；
（2）OE＝CD，
证明：作直径AF，连接BF，如图（2），
∵∠AOB+∠COD＝180°，
而∠AOB+∠BOF＝180°，
∴∠BOF＝∠COD，
∴BF＝CD，
∵E是AB的中点，O是AF的中点，
∴OE为△ABF的中位线，
∴OE＝BF，
∴OE＝CD．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质．
21.已知在圆O中，弦AB垂直弦CD于点E
（1）如图1：若CE＝BE，求证：AB＝CD；
（2）如图2：若AB＝8，CD＝6，OE＝；
①求圆的半径；
②求弓形CBD的面积．
【点拨】（1）连接AD、BC，如图，根据等腰三角形的性质由CE＝BE得∠B＝∠C，再根据圆周角定理得∠A＝∠C，∠B＝∠D，则∠A＝∠D，然后根据等腰三角形的判定即可得到结论；
（2）①根据垂径定理得AM＝AB＝4，DN＝CD＝3，再根据勾股定理得OM2＝OA2﹣AM2，ME2＝ON2＝OD2﹣DN2，OM2+ME2＝OE2，r2﹣42+r2﹣32＝（）2，即可求出圆的半径；
②根据勾股定理求出ON＝3，得∠COD＝90°，所以弓形CBD的面积为扇形的面积减去三角形的面积即可．
【解析】解：（1）证明：连接AD、BC，如图1，
∵CE＝BE，
∴∠B＝∠C，
∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴∠A＝∠D，
∴AE＝DE，
∴AB＝CD；
（2）解：①连接OA，OC，OD，OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N，设圆的半径为r，
则AM＝AB＝4，DN＝CD＝3，ME＝ON，
∵OM2＝OA2﹣AM2，ME2＝ON2＝OD2﹣DN2，OM2+ME2＝OE2，
∴r2﹣42+r2﹣32＝（）2，
解得r＝3，
∴圆的半径为3；
②∵DN＝3，
∴ON＝＝3，
∴∠D＝∠C＝45°，
∴∠COD＝90°，
∴弓形CBD的面积为﹣×3×＝﹣9．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，扇形的面积公式等，解答本题需要我们熟练各部分的内容，一定要注意将所学知识贯穿起来，正确作出辅助线．
题组C 培优拔尖练
22．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，半径OA＝3，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，使点O恰好落在AB上的点D处，折痕为BC，则阴影部分的面积为（　　）
A． B．﹣3 C． D．
【点拨】连接OD，可得△OBD为等边三角形，再求出∠COD以及OC，得到三角形BOC的面积，又因为△BOC与△BDC面积相等，最后利用S阴影＝S扇形AOB﹣S△BOC﹣S△BDC求解即可．
【解析】解：如图，连接OD，
根据折叠的性质，CD＝CO，BD＝BO，∠DBC＝∠OBC，
∴OB＝BD＝OD，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠DBO＝60°．
∵∠CBO＝∠DBO＝30°，
∵∠AOB＝90°，
∴OC＝OB tan∠CBO＝3×＝，
∴S△BOC＝OB OC＝，
∵△BOC与△BDC面积相等，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△BOC﹣S△BDC
＝π×32﹣﹣＝﹣3．
故选：B．
【点睛】本题考查与扇形有关的不规则图形的面积求法，掌握割补法求面积是解题的关键．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．π
【点拨】根据直径所对的圆周角是直角得到∠AEC＝90°，再根据等腰三角形三线合一得出点E是BC的中点，从而得出OE是△ABC的中位线，于是OE∥AB，根据同底等高得到△AOD和△AED的面积相等，从而阴影部分的面积转化为扇形AOD的面积，根据扇形面积公式计算出扇形AOD的面积即可得出阴影部分的面积．
【解析】解：连接OE，OD，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC＝90°，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
即点E是BC的中点，
∵点O是AC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AB，
∴S△AOD＝S△AED，
∴S阴影＝S扇形OAD，
∵∠AEC＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∵∠BED＝45°，
∴∠AED＝45°，
∴∠AOD＝90°，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了扇形的面积，圆周角定理，中位线定理，平行线间的距离相等，等腰三角形的三线合一，不规则图形的面积求法，把不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键．
24．如图，以AC为直径的半圆O交CD于点B，以点B为圆心，BD长为半径的半圆B过点A与点O，若BD＝，则阴影部分的面积是 　π﹣　．

【点拨】连接AB，OB，易得BD＝BA＝BO＝OA＝OC＝，△AOB为等边三角形，再利用直径所对的圆周角为直角及勾股定理可求得∠ABD＝∠ABC＝90°，BC＝3，则S△AOB＝S△BOC＝S△ABC＝，然后结合图形，利用扇形面积公式及面积的和差运算进行计算即可．
【解析】
如图，连接AB，OB，
由题意可得，BD＝BA＝BO＝OA＝OC＝，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB＝∠ABO＝60°，∠BOC＝120°，
∵AC为半圆O的直径，
∴∠ABD＝∠ABC＝90°，
∵AC＝2OA＝2，
∴BC＝＝＝3，
∵OA＝OC，
∴S△AOB＝S△BOC＝S△ABC＝×AB BC＝×××3＝，
∴S阴影＝S扇形ABD﹣（S扇形AOB﹣S△AOB）+（S扇形ABO﹣S△AOB）+（S扇形BOC﹣S△BOC）
＝S扇形ABD﹣S扇形AOB+S△AOB+S扇形ABO﹣S△AOB+S扇形BOC﹣S△BOC
＝S扇形ABD+S扇形BOC﹣S△BOC
＝+﹣
＝π﹣，
故答案为：π﹣．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，结合图形，将阴影部分面积表示为S扇形ABD+S扇形BOC﹣S△BOC是解题的关键．．
25．如图，在正方形ABCD中有一点P，连接AP、BP，旋转△APB到△CEB的位置．
（1）若正方形的边长是8，PB＝4．求阴影部分面积；
（2）若PB＝4，PA＝7，∠APB＝135°，求PC的长．
【点拨】（1）根据旋转的性质得到△APB≌△CEB，则BP＝BE，∠ABP＝∠EBC；以B为圆心，BP画弧交AB于F点，如图，易得扇形BFP的面积＝扇形BEQ，则图形ECQ的面积＝图形AFP的面积，于是S阴影部分＝S扇形BAC﹣S扇形PBE，然后根据扇形的面积公式计算即可；
（2）连PE，利用△APB≌△CEB得到BP＝BE＝4，∠ABP＝∠EBC，PA＝EC＝7，∠BEC＝∠APB＝135°，易得△PBE为等腰直角三角形，则∠BEP＝45°，PE＝4，则∠PEC＝135°﹣45°＝90°，然后在Rt△PEC中根据勾股定理计算即可得到PC的长．
【解析】解：（1）∵把△APB旋转到△CEB的位置，
∴△APB≌△CEB，
∴BP＝BE，∠ABP＝∠EBC，
以B为圆心，BP画弧交AB于F点，如图，
∴扇形BFP的面积＝扇形BEQ，
∴图形ECQ的面积＝图形AFP的面积，
∴S阴影部分＝S扇形BAC﹣S扇形PBE＝﹣
＝12π；
（2）连PE，
∴△APB≌△CEB，
∴BP＝BE＝4，∠ABP＝∠EBC，PA＝EC＝7，∠BEC＝∠APB＝135°，
∴△PBE为等腰直角三角形，
∴∠BEP＝45°，PE＝4，
∴∠PEC＝135°﹣45°＝90°，
∴PC＝＝＝9．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式：S＝（其中n为扇形的圆心角的度数，R为半径）．也考查了正方形和旋转的性质．
26.如图，正方形OA1B1C1的边长为1，以O为圆心、OA1为半径作扇形OA1C1，与OB1相交于点B2，设正方形OA1B1C1与扇形OA1C1之间的阴影部分的面积为S1；然后以OB2为对角线作正方形OA2B2C2，又以O为圆心，OA2为半径作扇形OA2C2，与OB1相交于点B3，设正方形OA2B2C2与扇形OA2C2之间的阴影部分面积为S2；按此规律继续作下去，设正方形OAnBn n与扇形OAn n之间的阴影部分面积为Sn．
（1）求S1，S2，S3；
（2）写出S2008；
（3）试猜想Sn（用含n的代数式表示，n为正整数）．
【点拨】根据阴影部分的面积是正方形的面积减去所对应的扇形的面积可求解，所以可分别计算出S1＝1﹣π，S2＝﹣，S3＝﹣；那么Sn＝﹣（n为正整数）．可据此求出当n＝2008时，S的值．
【解析】解：
（1）；
由勾股定理得：OA22+A2B22＝OB22＝12，
∴OA2＝，
；
；
（2）S2008＝﹣；
（3）Sn＝﹣（n为正整数）．
【点睛】主要考查了正方形的性质和扇形的面积公式．本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)