【同步分层作业】2.8直角三角形全等的判定（含解析）

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2.8直角三角形全等的判定 同步分层作业
基础过关
1．如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若BE＝CF，则Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是（　　）
A．AAS B．HL C．SAS D．ASA
2．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（　　）
A．AC＝AD B．AC＝BC C．∠ABC＝∠ABD D．AD＝BD
3．如图，已知AB＝DC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，有下列条件，其中，选择一个就可以判断Rt△ABE≌Rt△DCF的是（　　）
①∠B＝∠C ②AB∥CD ③BE＝CF ④AF＝DE
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
4．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．DE＝6cm，AD＝9cm，则BE的长是（　　）
A．6cm B．1.5cm C．3cm D．4.5cm
5．在Rt△ABC和 Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，有如下几个条件：①AC＝A'C'，∠A＝∠A'；②AC＝A'C'，AB＝A'B'；③AC＝A'C'，BC＝B'C'；④AB＝A'B'，∠A＝∠A'．其中，能判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C'“的条件的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，为了使Rt△ABC≌Rt△DCB，需添加的条件是 　 　（不添加字母和辅助线）．
7．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分△BAC交BC于点D，BE⊥AD交AD的延长线于点E，DF⊥AB交AB于点F．若BF＝BE，AC＝4，DF＝3．则AE的长为 　　．
8．如图，在△ABC中，D是BC上一点，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，且DE＝DF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若AB+AC＝10，S△ABC＝15，求DE长．
9．已知：如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，点D、F分别在边CB和AC上，DE⊥AB，垂足为E，且BD＝DF，BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）当∠CAB＝40°时，求∠FDC的度数．
能力提升
10．下列说法正确的有（　　）
①两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；
②一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等；
③两边分别相等的两个直角三角形全等；
④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等．
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图所示，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH＝DC，则下列结论：①BD＝AD；②BC＝AC；③BH＝AC；④CE＝CD中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．如图，P是∠AOB的平分线OC上一点（不与O重合），过P分别向角的两边作垂线PD、PE，垂足是D、E，连接DE，那么图中全等的直角三角形共有（　　）
A．3对 B．2对 C．1对 D．没有
14．如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝6，AC＝4，则BE＝　　．
15．如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，EF＝8，BG＝4，DH＝6，计算图中阴影部分的面积S＝　 　．
16.如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；
（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD＝CE．求证：AB⊥AC；
（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
17.如图所示，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．
（1）求证：AM平分∠BAD．
（2）写出DM与AM的位置关系，并说明理由．
（3）线段CD，AB，AD间有怎样的数量关系？
18.如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠B＝∠D＝90°，AC＝AE，BC＝DE，延长BC，DE交于点M．
（1）求证：点A在∠M的平分线上；
（2）若AC∥DM，AB＝12，BM＝18，求BC的长．
培优拔尖
19.两个直角三角形中，如果有一条直角边对应相等．则：
①若斜边上的高对应相等．那么这两个直角三角形全等；
②若直角的平分线相等，那么这两个直角三角形全等；
③若斜边上的中线对应相等，那么这两个直角三角形全等；
④两个直角三角形都有一个锐角是30°，那么这两个直角三角形全等．
其中正确命题的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．如图，△BDC为等腰直角三角形，延长BD至A，连接AC，作∠ABC的角平分线BE交DC于F，且BE⊥AC于E．若AE＝12，△ABC的面积为360，则EF的长度为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
21．如图，已知点C是∠FAE的平分线AC上一点，CE⊥AE，CF⊥AF，点E，F为垂足，点B在AE的延长线上，点D在AF上，若AB＝20，AD＝8，BC＝DC，则AE的长为（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
22．已知∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥NM，BE⊥NM，垂足分别为点D，E．
（1）如图①，求证：AD＝BE+DE；
（2）如图②，（1）中的结论还成立吗？如果不成立，请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系，并说明理由．
23.如图，在△ABC中，过点B作BD⊥CA交CA的延长线于点D，过点C作CE⊥BA交BA的延长线于点E，延长BD，CE相交于点F，BF＝AC＝．
（1）求证：△BEF≌△CEA；
（2）若CE＝2，求BD的长．
24.如图，在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．
（1）求证：BM＝CN；
（2）若AB＝8，AC＝4，求BM的长．
25.（1）感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB，DC数量关系为：　 　．
（2）探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明．
（3）应用：如图3，在四边形ABDC中，DB＝DC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DE⊥AB于点E，试判断AB，AC，BE的数量关系，并说明理由．
答案与解析
基础过关
1．如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若BE＝CF，则Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是（　　）
A．AAS B．HL C．SAS D．ASA
【点拨】由直角三角形全等的判定方法“HL”，即可判断．
【解析】证明：∵BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，
∴∠BEC＝∠BFC＝90°，
在Rt△BCF和Rt△CBE中，
，
∴Rt△BCF≌Rt△CBE（HL），
∴Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是HL．
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法：HL．
2．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（　　）
A．AC＝AD B．AC＝BC C．∠ABC＝∠ABD D．AD＝BD
【点拨】根据直角三角形全等的判定方法HL即可确定答案．
【解析】解：添加AC＝AD，理由如下：
∵∠C＝∠D＝90°，
在Rt△ADB和Rt△ACB中，
，
∴Rt△ADB≌Rt△ACB（HL），
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形的全等的判定，熟练掌握HL是解题的关键．
3．如图，已知AB＝DC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，有下列条件，其中，选择一个就可以判断Rt△ABE≌Rt△DCF的是（　　）
①∠B＝∠C ②AB∥CD ③BE＝CF ④AF＝DE
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【点拨】根据BE⊥AD，CF⊥AD，可得∠AEB＝∠CFD，然后再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可．
【解析】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，AB＝DC，
∴∠AEB＝∠CFD，
选择①可利用AAS定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；
选择②可得∠A＝∠D，可利用AAS定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；
选择③可利用HL定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；
选择④可得AE＝DF，可利用HL定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
4．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．DE＝6cm，AD＝9cm，则BE的长是（　　）
A．6cm B．1.5cm C．3cm D．4.5cm
【点拨】本题可通过全等三角形来求BE的长．△BEC和△CDA中，已知了一组直角，∠CBE和∠ACD同为∠BCE的余角，AC＝BC，可据此判定两三角形全等；那么可得出的条件为CE＝AD，BE＝CD，因此只需求出CD的长即可．而CD的长可根据CE即AD的长和DE的长得出，由此可得解．
【解析】解：∵∠ACB＝90°，BE⊥CE，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，又AC＝BC，
∴△ACD≌△CBE，
∴EC＝AD，BE＝DC，
∵DE＝6cm，AD＝9cm，则BE的长是3cm，
故选：C．
【点睛】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
5．在Rt△ABC和 Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，有如下几个条件：①AC＝A'C'，∠A＝∠A'；②AC＝A'C'，AB＝A'B'；③AC＝A'C'，BC＝B'C'；④AB＝A'B'，∠A＝∠A'．其中，能判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C'“的条件的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【点拨】根据三角形全等的判定方法，SSS、SAS、ASA、AAS，HL等逐一检验．
【解析】解：①在Rt△ABC和Rt△A′B′C中，
，
∴△ABC≌△A′B′C（ASA）
故本选项正确；
②在Rt△ABC和Rt△A′B′C中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C（HL）
故本选项正确；
③在Rt△ABC和Rt△A′B′C中，
∴△ABC≌△A′B′C（SAS），
故本选项正确；
④∵∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'，
∴∠B＝∠B′，
在Rt△ABC和Rt△A′B′C中，
，
∴△ABC≌△A′B′C（ASA）
故本选项正确；
∴能判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C'“的条件为：①②③④，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，为了使Rt△ABC≌Rt△DCB，需添加的条件是 　AB＝DC（答案不唯一）　（不添加字母和辅助线）．
【点拨】根据直角三角形全等的判定方法，即可解答．
【解析】解：∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，
∴再添加：AB＝DC，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，
∴再添加：AC＝BD，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，
∴再添加：∠ABC＝∠DCB，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（AAS），
∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC，
∴再添加：∠ACB＝∠DBC，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（AAS），
故答案为：AB＝DC（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．
7．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分△BAC交BC于点D，BE⊥AD交AD的延长线于点E，DF⊥AB交AB于点F．若BF＝BE，AC＝4，DF＝3．则AE的长为 　8　．
【点拨】根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得：CD＝DF；利用勾股定理，即可求出AD；再证明Rt△BFD≌Rt△BED，可得DE＝DF，即可求出AE的长．
【解析】解：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB，
∴CD＝DF＝3；
∴；
∵BE⊥AD，
∴∠E＝∠BFD＝90°；
在Rt△BFD和Rt△BED中，
，
∴Rt△BFD≌Rt△BED（HL），
∴DE＝DF＝3，
∴AE＝AD+DE＝5+3＝8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定（HL），熟练掌握相关性质是解题的关键．
8．如图，在△ABC中，D是BC上一点，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，且DE＝DF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若AB+AC＝10，S△ABC＝15，求DE长．
【点拨】（1）证Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），得∠DAE＝∠DAF，即可得出结论；
（2）由三角形面积公式得AB DE+AC DF＝（AB+AC） DE＝15，即可得出结论．
【解析】（1）证明：∵DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAE＝∠DAF，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝15，
即AB DE+AC DF＝（AB+AC） DE＝15，
∵AB+AC＝10，
∴×10 DE＝15，
∴DE＝3，
即DE的长为3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，证明三角形全等是解题的关键．
9．已知：如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，点D、F分别在边CB和AC上，DE⊥AB，垂足为E，且BD＝DF，BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）当∠CAB＝40°时，求∠FDC的度数．
【点拨】（1）利用“HL”证明Rt△CDF和Rt△EBD全等，根据全等三角形对应边相等可得CD＝DE，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可；
（2）根据直角三角形两锐角互余求出∠ADC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠B，再利用直角三角形两锐角互余求出∠BDE，最后根据全等三角形对应角相等可得∠FDC＝∠BDE．
【解析】（1）证明：∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠C＝∠DEB＝90°，
在Rt△CDF和Rt△EBD中，，
∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL），
∴CD＝DE，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵AD平分∠BAC，∠CAB＝40°，
∴∠CAD＝∠BAD＝20°，
∴∠ADC＝90°﹣20°＝70°，
在△ABD中，由三角形的外角性质得∠B＝∠ADC﹣∠BAD＝70°﹣20°＝50°，
∴∠BDE＝90°﹣50°＝40°，
∵Rt△CDF≌Rt△EBD，
∴∠FDC＝∠BDE＝40°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记各性质以及三角形全等的判定方法是解题的关键．
能力提升
10．下列说法正确的有（　　）
①两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；
②一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等；
③两边分别相等的两个直角三角形全等；
④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等．
A．1 B．2 C．3 D．4
【点拨】根据直角三角形全等的判定方法逐条判定即可得到结论，
【解析】解：①两个锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，故该说法错误；
②如图，已知：∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，AM＝BM，DN＝EN，CM＝FN，
求证：△ABC≌△DEF，
证明：∵∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，CM＝FN，
∴Rt△BCM≌Rt△EFN（HL），
∴BM＝EN
∵AM＝BM，DN＝EN，
∴AB＝DE，
∴Rt△ABC≌Rt△EFN（SAS），
故一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等的说法正确；
③两对应边分别相等的两个直角三角形全等，如果是一个直角三角形的两条直角边和另一个直角三角形的一条直角边和一条斜边分别相等，这两个直角三角形不全等，故该说法错误；
④一个锐角和一条边分别对应相等的两个直角三角形不一定全等，如果一个直角三角形的一条直角边和另一个直角三角形的一条斜边相等，这两个直角三角形不全等，故该说法错误；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握全等三角形判定方法是解决问题的关键．
11．如图所示，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH＝DC，则下列结论：①BD＝AD；②BC＝AC；③BH＝AC；④CE＝CD中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】可以采用排除法对各个选项进行验证，从而得出最后的答案．
【解析】解：①∵BE⊥AC，AD⊥BC
∴∠AEH＝∠ADB＝90°
∵∠HBD+∠BHD＝90°，∠EAH+∠AHE＝90°，∠BHD＝∠AHE
∴∠HBD＝∠EAH
∵DH＝DC
∴△BDH≌△ADC（AAS）
∴BD＝AD，BH＝AC
②：∵BC＝AC
∴∠BAC＝∠ABC
∵由①知，在Rt△ABD中，BD＝AD
∴∠ABC＝45°
∴∠BAC＝45°
∴∠ACB＝90°
∵∠ACB+∠DAC＝90°，∠ACB＜90°
∴结论②为错误结论．
③：由①证明知，△BDH≌△ADC
∴BH＝AC
④：∵CE＝CD
∵∠ACB＝∠ACB；∠ADC＝∠BEC＝90°
∴△BEC≌△ADC
由于缺乏条件，无法证得△BEC≌△ADC
∴结论④为错误结论
综上所述，结论①，③为正确结论，结论②，④为错误结论，根据题意故选B．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
12．如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【点拨】本题可先根据AAS判定△AEH≌△CEB，可得出AE＝CE，从而得出CH＝CE﹣EH＝4﹣3＝1．
【解析】解：在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AEH＝∠ADB＝90°；
∵∠EAH+∠AHE＝90°，∠DHC+∠BCH＝90°，∠EHA＝∠DHC（对顶角相等），
∴∠EAH＝∠DCH（等量代换）；
∵在△BCE和△HAE中
，
∴△AEH≌△CEB（AAS）；
∴AE＝CE；
∵EH＝EB＝3，AE＝4，
∴CH＝CE﹣EH＝AE﹣EH＝4﹣3＝1．
故选：A．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA，AAS、HL，要熟练掌握并灵活应用这些方法．
13．如图，P是∠AOB的平分线OC上一点（不与O重合），过P分别向角的两边作垂线PD、PE，垂足是D、E，连接DE，那么图中全等的直角三角形共有（　　）
A．3对 B．2对 C．1对 D．没有
【点拨】根据全等三角形的判定定理HL进行判定．
【解析】解：图中全等直角三角形有：Rt△ODP≌Rt△OEP、Rt△ODF≌Rt△OEF、Rt△FDP≌Rt△FEP．共3对．
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定、角平分线的性质．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
14．如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝6，AC＝4，则BE＝　1　．
【点拨】首先连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD＝BD，DF＝DE，继而可得AF＝AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE＝CF，继而求得答案．
【解析】解：连接CD，BD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝90°，∠ADF＝∠ADE，
∴AE＝AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE＝CF，
∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，
∵AB＝6，AC＝4，
∴BE＝1．
故答案为：1
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
15．如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，EF＝8，BG＝4，DH＝6，计算图中阴影部分的面积S＝　98　．
【点拨】由AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥AG，可以得到∠EAF＝∠ABG，而AE＝AB，∠EFA＝∠AGB，由此可以证明△EFA≌△ABG，所以AF＝BG，AG＝EF；同理证得△BGC≌△DHC，GC＝DH，CH＝BG．故FH＝FA+AG+GC+CH＝22，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积．
【解析】解：∵EF⊥FH，BG⊥FH，AE⊥AB且AE＝AB，
∴∠EAB＝∠EFA＝∠AGB＝90°，
∴∠EAF+∠BAG＝90°，∠ABG+∠BAG＝90°，
∴∠ABG＝∠EAF，
在△EFA和△ABG中，
，
∴△EFA≌△AGB（AAS），
∴AF＝BG＝4，AG＝EF＝8，
同理，可得△BGC≌△CHD，
∴GC＝HD＝6，BG＝CH＝4，
∴FH＝AF+AG+GC+CH＝BG+EF+HD+BG＝4+8+6+4＝22，
∴阴影部分的面积为（6+8）×22﹣2××8×4﹣2××6×4＝98．
故答案为：98．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是把不规则图形的面积转化成规则图形的面积．
16.如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；
（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD＝CE．求证：AB⊥AC；
（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
【点拨】（1）由已知条件，证明Rt△ABD≌Rt△CAE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE＝90°，即可证明AB⊥AC；
（2）同（1），先证Rt△ABD≌Rt△CAE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE＝90°，即可证明AB⊥AC．
【解析】（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中，
∵，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE．
∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC．
∵∠DAB+∠DBA＝90°，∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°．
∠BAC＝180°﹣（∠BAD+∠CAE）＝90°．
∴AB⊥AC．
（2）AB⊥AC．理由如下：
同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△CAE．
∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC，
∵∠CAE+∠ECA＝90°，
∴∠CAE+∠BAD＝90°，即∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC．
【点睛】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，借助全等三角形的性质得到相等的角，然后证明垂直是经常使用的方法，注意掌握、应用．
17.如图所示，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．
（1）求证：AM平分∠BAD．
（2）写出DM与AM的位置关系，并说明理由．
（3）线段CD，AB，AD间有怎样的数量关系？
【点拨】（1）首先要作辅助线，ME⊥AD则利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知ME＝MC，再利用中点的条件可知ME＝MB，再利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理证明AM平分∠DAB．
（2）根据平行线性质得出∠CDA+∠BAD＝180°，求出∠1+∠3＝90°，根据三角形内角和定理求出即可．
（3）证Rt△DCM≌Rt△DEM，推出CD＝DE，同理得出AE＝AB，即可得出答案．
【解析】（1）证明：作ME⊥AD于E，
∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，
∴ME＝MC，
∵M为BC中点，
∴MB＝MC，
又∵ME＝MC，
∴ME＝MB，
又∵ME⊥AD，MB⊥AB，
∴AM平分∠DAB；
（2）解：DM⊥AM，
理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵DC∥AB，
∴∠CDA+∠BAD＝180°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠DMA＝180°﹣（∠1+∠3）＝90°，
∴DM⊥AM；
（3）解：CD+AB＝AD，
理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，
∴∠C＝∠DEM＝90°，
在Rt△DCM和Rt△DEM中，
，
∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），
∴CD＝DE，
同理AE＝AB，
∵AE+DE＝AD，
∴CD+AB＝AD．
【点睛】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理的应用，解决本题的关键是掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等．
18.如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠B＝∠D＝90°，AC＝AE，BC＝DE，延长BC，DE交于点M．
（1）求证：点A在∠M的平分线上；
（2）若AC∥DM，AB＝12，BM＝18，求BC的长．
【点拨】（1）连接AM，证明Rt△ABC≌Rt△ADE（HL），可得AB＝AD，根据角平分线的性质即可解决问题；
（2）证明CM＝AC，设BC＝x，所以CM＝AC＝18﹣x，根据勾股定理即可解决问题．
【解析】（1）证明：如图，连接AM，
在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠B＝∠D＝90°，AC＝AE，BC＝DE，
∴Rt△ABC≌Rt△ADE（HL），
∴AB＝AD，
∵AB⊥BM，AD⊥DM，
∴MA平分∠BMD，
∴点A在∠BMD的平分线上；
（2）解：∵AC∥DM，
∴∠CAM＝∠AMD，
∴∠AMB＝∠CAM，
∴CM＝AC，
设BC＝x，
∴CM＝AC＝18﹣x，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
∴122+x2＝（18﹣x）2，
∴x＝5．
∴BC＝5．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，解决本题的关键是得到Rt△ABC≌Rt△ADE．
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19.两个直角三角形中，如果有一条直角边对应相等．则：
①若斜边上的高对应相等．那么这两个直角三角形全等；
②若直角的平分线相等，那么这两个直角三角形全等；
③若斜边上的中线对应相等，那么这两个直角三角形全等；
④两个直角三角形都有一个锐角是30°，那么这两个直角三角形全等．
其中正确命题的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】首先画出图形，然后根据判定定理利用AAS、HL、ASA、SAS进行证明即可．
【解析】解：如图所示：△ABC和△A′B′C′中，∠ABC＝∠A′B′C′＝90°，BC＝B′C′，
①∵BD、B′D′为高，
∴∠BDC＝∠B′D′C′＝90°，
在Rt△BDC和Rt△B′D′C′中，
∴Rt△BDC≌Rt△B′D′C′（HL），
∴∠C＝∠C′，
在Rt△BAC和Rt△B′A′C′中，
∴Rt△BAC≌Rt△B′A′C′（ASA），故①正确；
②∵BE平分∠ABC，B′E′平分∠A′B′C′，
∴∠EBC＝∠E′B′C′，
在Rt△BEC和Rt△B′E′C′中，
∴△BDC≌△B′D′C′（ASA），
∴∠C＝∠C′，
在Rt△BAC和Rt△B′A′C′中，
∴Rt△BAC≌Rt△B′A′C′（ASA），故②正确；
③∵BF、B′F′为中线，
∴BF＝AC，B′F′＝A′C′，
∵BF＝B′F′，
∴AC＝A′C′，
在Rt△BAC和Rt△B′A′C′中，
∴Rt△BAC≌Rt△B′A′C′（HL），故③正确；
④在△BAC和△B′A′C′中，
∴△BAC≌△B′A′C′（AAS），故④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法，关键是掌握直角三角形的判定方法．
20．如图，△BDC为等腰直角三角形，延长BD至A，连接AC，作∠ABC的角平分线BE交DC于F，且BE⊥AC于E．若AE＝12，△ABC的面积为360，则EF的长度为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【点拨】根据角平分线的定义可得∠ABE＝∠CBE，再根据垂直定义可得∠BEA＝∠BEC＝90°，从而利用ASA可证△AEB≌△CEB，再利用全等三角形的性质可得AE＝CE＝12，从而可得AC＝24，进而利用三角形的面积公式可求出BE＝30，然后利用等腰直角三角形的性质可得BD＝DC，∠ABE+∠BFD＝90°，再根据直角三角形的两个锐角互余可得∠A+∠ABE＝90°，从而可得∠A＝∠BFD，最后利用AAS证明△BDF≌△CDA，从而利用全等三角形的性质可得BF＝AC＝24，进行计算即可解答．
【解析】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵BE⊥AC，
∴∠BEA＝∠BEC＝90°，
∵BE＝BE，
∴△AEB≌△CEB（ASA），
∴AE＝CE＝12，
∴AC＝2AE＝24，
∵△ABC的面积为360，
∴AC BE＝360，
∴×24 BE＝360，
解得：BE＝30，
∵△BDC为等腰直角三角形，∠BDC＝90°，
∴BD＝DC，∠ABE+∠BFD＝90°，
∵∠AEB＝90°，
∴∠A+∠ABE＝90°，
∴∠A＝∠BFD，
∵∠BDF＝∠AEB＝90°，
∴△BDF≌△CDA（AAS），
∴BF＝AC＝24，
∴EF＝BE﹣BF＝6，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21．如图，已知点C是∠FAE的平分线AC上一点，CE⊥AE，CF⊥AF，点E，F为垂足，点B在AE的延长线上，点D在AF上，若AB＝20，AD＝8，BC＝DC，则AE的长为（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
【点拨】欲求AE的长度，需要通过证全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，创设条件证出线段相等，进而求得AE的长，使问题得以解决．
【解析】解：∵点C是∠FAE的平分线AC上一点，CE⊥AE，CF⊥AF，
∴CF＝CE，∠AFC＝∠AEC，
在△ACF与△ACE中，
，
∴△ACF≌△ACE（SAS），
∴AF＝AE．
在Rt△CDF与Rt△CBE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），
∴DF＝BE．
设DF＝BE＝a，则AE＝20﹣a，AF＝8+a，
∴20﹣a＝8+a，
解得：a＝6．
∴AE＝20﹣6＝14．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和全等三角形的判定与性质．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
22．已知∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥NM，BE⊥NM，垂足分别为点D，E．
（1）如图①，求证：AD＝BE+DE；
（2）如图②，（1）中的结论还成立吗？如果不成立，请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系，并说明理由．
【点拨】（1）证明△ADC≌△CEB（AAS），推出CD＝BE，AD＝CE，再利用线段间的代换即得结论；
（2）证明△ADC≌△CEB（AAS），推出CD＝BE，AD＝CE，利用线段间的代换即可得到结论，进而作出判断．
【解析】（1）证明：∵AD⊥NM，BE⊥NM，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠CAD+∠ACD＝90°
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD＝BE，AD＝CE，
∴CE＝CD+DE＝BE+DE，
∴AD＝BE+DE；
（2）解：（1）中的结论不成立．结论：DE＝AD+BE；
理由如下：∵AD⊥NM，BE⊥NM，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD＝BE，AD＝CE，
∵DE＝CD+CE，
∴DE＝AD+BE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于常考题型，证明三角形全等是解题的关键．
23.如图，在△ABC中，过点B作BD⊥CA交CA的延长线于点D，过点C作CE⊥BA交BA的延长线于点E，延长BD，CE相交于点F，BF＝AC＝．
（1）求证：△BEF≌△CEA；
（2）若CE＝2，求BD的长．
【点拨】（1）由CE⊥BA，得∠BEF＝90°＝∠AEC，又BD⊥CA，∠DAB＝∠EAC，可得∠ABD＝∠ACE，即∠EBF＝∠ACE，根据AAS即可证明△BEF≌△CEA；
（2）由△BEF≌△CEA，得BE＝CE＝2，利用勾股定理得BC＝＝2，EF＝＝1，利用BC2﹣BD2＝CD2＝CF2﹣DF2，可得（2）2﹣BD2＝32﹣（﹣BD）2，即可解得答案．
【解析】（1）证明：∵CE⊥BA，
∴∠BEF＝90°＝∠AEC，
∵BD⊥CA，
∴∠ADB＝90°＝∠AEC，
∵∠DAB＝∠EAC，
∴∠ABD＝∠ACE，即∠EBF＝∠ACE，
在△BEF和△CEA中，
，
∴△BEF≌△CEA（AAS）；
（2）解：由（1）知△BEF≌△CEA，
∴BE＝CE＝2，
∴BC＝＝＝2，EF＝＝＝1，
∴CF＝CE+EF＝2+1＝3；
∵BC2﹣BD2＝CD2＝CF2﹣DF2，
∴BC2﹣BD2＝CF2﹣（BF﹣BD）2，
∴（2）2﹣BD2＝32﹣（﹣BD）2，
解得BD＝；
∴BD的长为．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及等腰直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是利用勾股定理列方程解决问题．
24.如图，在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．
（1）求证：BM＝CN；
（2）若AB＝8，AC＝4，求BM的长．
【点拨】（1）根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得到DM＝DN，DB＝DC，根据HL证明Rt△DMB≌Rt△DNC，即可得出BM＝CN；
（2）由HL证明Rt△DMA≌Rt△DNA，得出AM＝AN，证出2BM＝AB﹣AC＝4，即可得出BM＝2．
【解析】（1）证明：连接BD、CD，如图所示：
∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM＝DN，
∵DE垂直平分线BC，
∴DB＝DC，
在Rt△DMB和Rt△DNC中，，
∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），
∴BM＝CN；
（2）解：由（1）得：BM＝CN，
∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM＝DN，
在Rt△DMA和Rt△DNA中，，
∴Rt△DMA≌Rt△DNA（HL），
∴AM＝AN，
∵AM＝AB﹣BM，AN＝AC+CN，
∴AB﹣BM＝AC+CN，
∴2BM＝AB﹣AC＝8﹣4＝4，
∴BM＝2．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟悉角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
25.（1）感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB，DC数量关系为：　BD＝CD　．
（2）探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明．
（3）应用：如图3，在四边形ABDC中，DB＝DC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DE⊥AB于点E，试判断AB，AC，BE的数量关系，并说明理由．
【点拨】（1）结论：BD＝CD．只要证明△ADC≌△ADB即可；
（2）结论成立．如图②中，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，只要证明△ADC≌△ADB即可；
（3）如图③中，连接AD．作DF⊥AC于F．首先证明△DFC≌△DEB（AAS），再证明Rt△ADF≌Rt△ADE（HL）即可解决问题；
【解析】解：（1）结论：DB＝DC．
理由：∵∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠DAC＝∠DAB，AD＝AD，
∴△ADC≌△ADB．
∴BD＝CD．
故答案为BD＝CD．
（2）结论成立．
理由：如图②中，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠FCD＝180°，
∴∠B＝∠FCD，
在△DFC和△EDB中，
，
∴△DFC≌△DEB，
∴DC＝DB．
（3）结论：AB＝AC+2BE．
理由：如图③中，连接AD．作DF⊥AC于F．
∵∠B+∠ACD＝180°，∠ACD+∠FCD＝180°，
∴∠B＝∠FCD，
在△DFC和△DEB中，
，
∴△DFC≌△DEB（AAS），
∴DF＝DE，CF＝BE，
在Rt△ADF和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），
∴AF＝AE，
∴AB＝AE+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型
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