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3.3.2 垂径定理的逆定理 教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是继学习垂径定理之后对逆定理的探索和证明，垂径定理的逆定理也是今后证明线段等、角等、弧等、垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于举足轻重的位置。另外，本节课通过“实验--观察--猜想--合作交流--证明”的途径，进一步培养学生的动手能力，观察能力，分析、联想能力、与人合作交流的能力。因此，掌握垂径定理的逆定理对学生更好地认识现实世界，建立空间观念、培养推理论证能力具有十分重要的作用。
学习者分析 学生在生活中经常遇到圆方面的图形，对本节课会比较有兴趣，并且学过轴对称图形相关知识。同时九年级的同学仍然是比较好奇、好动、好表现的。但在合作交流、探索新知等方面发展的极不均衡。在学习的主动性、积极性等方面也有较大的差异。
教学目标 1.理解和掌握垂径定理的两个逆定理．2.通过画图探索垂径定理的逆定理，培养探究能力和应用能力．3.会运用这两个逆定理解决有关弦、弧、弦心距及半径之间关系的证明和计算．
教学重点 理解和掌握垂径定理的两个逆定理．
教学难点 通过画图探索垂径定理的逆定理，能初步运用垂径定理逆定理解决有关的计算和证明问题.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1：教师提问：【想一想】垂径定理是指什么？你能用数学语言加以表达吗？垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.符号语言：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD【思考】若把上述已知条件CD⊥AB，改成CD平分AB，你能得到什么结论？平分弦的直径一定垂直于这条弦吗？若把上述已知条件CD⊥AB，改成CD平分弧AB，你又能得到什么结论？平分弧的直径一定垂直于弧所对的弦吗？学生活动1：学生复习上节课学习的垂径定理。学生思考老师提出的问题。活动意图说明：学生通过复习相关知识，激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。环节二：探究证明垂径定理的逆定理教师活动2：教师出示课本问题：已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AP=BP.求证：CD⊥AB，.证明：连结OA，OB，则AO=BO，∴△AOB是等腰三角形.∵ AP=BP，∴CD⊥AB,∴(垂直于弦的直径平分弦所对的弧).【总结归纳】定理 1平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．符号语言：∵CD是直径，AP=BP，∴CD⊥AB，.已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，.求证：CD⊥AB，AP=BP.证明：当时，将图形沿直径CD所在的直线对折，则重合.所以点A与点B重合，即A，B关于直线CD对称，所以CD垂直平分弦AB.【总结归纳】定理 2平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．符号语言：∵CD是直径，，∴CD⊥AB，AP=BP.学生活动2：学生思考，探究证明课本中的问题。学生在教师的引导下总结垂径定理的逆定理1。学生在教师的引导下证明垂径定理的逆定理2。学生在教师的引导下总结归纳。活动意图说明：首先让学生实验、观察并得出猜想，然后引导学生分析上述猜想的条件和结论，并将文字语言转化为符号语言，写出已知、求证，为分清定理的题设和结论作好铺垫。环节三：例题讲解教师活动3：【例3】已知赵州桥的跨径(桥拱圆弧所对的弦的长)为37.02m，拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)为7.23m. 求赵州桥的桥拱圆弧的半径(精确到0.01m).解：如图，用表示桥拱圆弧，设所在圆的圆心为O，半径为R(m).C为的中点，连结OC，交AB于点D，就有OC垂直平分AB. 所以CD就是拱高.由题意，得AB=37.02m，CD=7.23m，OD=OC-DC=（R-7.23）(m).在Rt△OAD 中，OA2=AD2+OD2，∴R2=18.512+(R-7.23)2，解这个方程，得R≈27.31.答:赵州桥的桥拱圆弧的半径约为27.31m.【拓展提高】涉及垂径定理时辅助线的添加方法：在圆中有关弦长a，半径r， 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.提示：弓形是圆弧和它所对的弦围成的图形，弓形的高度是指弧的中点到弦长的距离.学生活动3：学生在教师的指导下完成课本例题。师生共同总结解题过程。教师引导学生涉及垂径定理时辅助线的添加方法总结。活动意图说明：学生能够运用已学知识解决问题，这样既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析、归纳问题、逻辑理解的能力。
板书设计 课题：3.3.2 垂径定理的逆定理一、定理1二、定理2三、垂径定理的实际应用
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题：1.如图，若⊙O的直径CD过弦EF的中点G，弦EF不是直径，则有CD⊥EF，得到此结论的依据是( C ).A．垂直于弦的直径平分这条弦B．平分弦的直径垂直于这条弦C．平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦D．圆是轴对称图形2.如图，已知⊙O的半径为2 cm，弦AB长2 cm，则这条弦的中点C到弦所对劣弧的中点D的距离为( A )A．1 cm B．2 cm C. cm D. cm3.如图，AB为⊙O的直径，C、 D为⊙O上的两点，且C为的AD中点．若∠BAD＝20°，则∠ACO的度数为( C ).A．30° B．45°C．55° D．60°4.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝12 m，半径OA＝10 m，则中间柱CD的高度为____2____m.选做题：5.如图，正五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，M为BC的中点，N为DE的中点，则∠MON的度数为( B ).A．108° B．144° C．150° D．166° 6.如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面,“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB=16厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为( A ).A.1.0厘米/分 B.0.8厘米/分 C.1.2厘米/分 D.1.4厘米/分【综合实践类作业】7.如图1，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm，求该脸盆所在圆的半径. 解：如图，设脸盆所在圆的圆心为点O，连结OA，OC，OC与AB交于点D.设⊙O的半径为r cm.易知OC⊥AB，∴AD＝DB＝AB＝20 cm，∠ADO＝90°.在Rt△AOD中，∵OA2＝OD2＋AD2，∴r2＝202＋(r－10)2，解得r＝25，即该脸盆所在圆的半径为25 cm.
作业布置 【知识技能类作业】必做题1.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是( A ).A.6B.7C.8D.92.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m，半径OA=10m，高度CD为___4____m.选做题：3.如图，在△ABC中，∠ABC=24°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E，若点E在BD的垂直平分线上，则∠C的度数为___33°___.4.一辆装满货物，宽2.4m的卡车，欲通过如图所示的隧道(截面上部为半圆形，下部为长4m，宽2.5m的长方形)，则卡车装满货物后的高度必须低于( A ).A. 4.1mB. 4.0mC. 3.9mD. 3.8m【综合实践类作业】5.中国陶瓷文化源远流长，图①是一个具有地方特色的碗. 图②是从正面看到的碗(图①)的形状示意图. AB是⊙O的一部分，D是AB的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB. 已知AB=24cm，碗深CD=8cm，则⊙O的半径OA为多少？解：∵D是的中点，AB=24cm，∴OD⊥AB，AC=BC=12cm，设半径OA=x cm，则OC=(x-8)cm，在直角三角形AOC中，根据勾股定理可得：x2=122+(x-8)2,解得：x=13，即⊙O的半径为13cm；
课堂总结 本节课你学到了哪些知识？定理 1平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．定理 2平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．
教学反思 本节课的设计是以教学大纲和教材为依据，遵循因材施教的原则，坚持以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性.教学过程中，注重学生探究水平的培养.还课堂给学生，让学生去亲自体验知识的产生过程，拓展学生的创造性思维.同时，注意增强对学生的启发和引导，鼓励培养学生们大胆猜测，小心求证的科学研究的思想.
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3.3.2 垂径定理的逆定理
浙教版九年级上册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
学习目标
1.理解和掌握垂径定理的两个逆定理．
2.通过画图探索垂径定理的逆定理，培养探究能力和应用能力．
3.会运用这两个逆定理解决有关弦、弧、弦心距及半径之间关系的证明和计算．
新知导入
【想一想】垂径定理是指什么？你能用数学语言加以表达吗？
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
符号语言：
∵CD是直径，CD⊥AB，
∴AE=BE，
新知导入
【思考】若把上述已知条件CD⊥AB，改成CD平分AB，你能得到什么结论？
平分弧的直径一定垂直于弧所对的弦吗？
若把上述已知条件CD⊥AB，改成CD平分弧AB，你又能得到什么结论？
平分弦的直径一定垂直于这条弦吗？
新知讲解
已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AP=BP.
求证：CD⊥AB，AC=BC.
）
）
证明：连结OA，OB，则AO=BO，
∴△AOB是等腰三角形.
∵ AP=BP，∴CD⊥AB,
∴AC=BC(垂直于弦的直径平分弦所对的弧).
）
）
新知讲解
定理 1
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
【总结归纳】
符号语言：
∵CD是直径，AP=BP，
∴CD⊥AB，AC=BC.
）
）
新知讲解
已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AC=BC.
求证：CD⊥AB，AP=BP.
）
）
证明：当AC=BC时，将图形沿直径CD所在的直线对折，则AC与BC重合.
所以点A与点B重合，即A，B关于直线CD对称，所以CD垂直平分弦AB.
）
）
）
）
新知讲解
定理 2
平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．
【总结归纳】
符号语言：
∵CD是直径，AC=BC，
∴CD⊥AB，AP=BP.
）
）
新知讲解
【例3】
已知赵州桥的跨径(桥拱圆弧所对的弦的长)为37.02m，拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)为7.23m. 求赵州桥的桥拱圆弧的半径(精确到0.01m).
新知讲解
解：如图，用AB表示桥拱圆弧，
设AB所在圆的圆心为O，半径为R(m).
C为AB的中点，连结OC，交AB于点D，
就有OC垂直平分AB. 所以CD就是拱高.
由题意，得AB=37.02m，CD=7.23m，
）
）
）
新知讲解
OD=OC-DC=（R-7.23）(m).
在Rt△OAD 中，OA2=AD2+OD2，
∴R2=18.512+(R-7.23)2，
解这个方程，得R≈27.31.
答:赵州桥的桥拱圆弧的半径约为27.31m.
新知讲解
【拓展提高】
涉及垂径定理时辅助线的添加方法：
在圆中有关弦长a，半径r， 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
提示：弓形是圆弧和它所对的弦围成的图形，弓形的高度是指弧的中点到弦长的距离.
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.如图，若⊙O的直径CD过弦EF的中点G，弦EF不是直径，则有CD⊥EF，得到此结论的依据是( ).
A．垂直于弦的直径平分这条弦
B．平分弦的直径垂直于这条弦
C．平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦
D．圆是轴对称图形
C
课堂练习
A
3.如图，AB为⊙O的直径，C、 D为⊙O上的两点，且C为的AD中点．若∠BAD＝20°，则∠ACO的度数为( ).
A．30°
B．45°
C．55°
D．60°
课堂练习
C
）
4.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝12 m，半径OA＝10 m，则中间柱CD的高度为________m.
课堂练习
2
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
5.如图，正五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，M为BC的中点，N为DE的中点，则∠MON的度数为( ).
A．108°
B．144°
C．150°
D．166°
B
课堂练习
6.如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面,“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB=16厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为( ).
A.1.0厘米/分 B.0.8厘米/分 C.1.2厘米/分 D.1.4厘米/分
A
课堂练习
【综合实践类作业】
7.如图1，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm，求该脸盆所在圆的半径.
课堂练习
【综合实践类作业】
课堂总结
本节课你学到了哪些知识？
定理 1
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
定理 2
平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．
板书设计
课题：3.3.2 垂径定理的逆定理
教师板演区
学生展示区
一、定理1
二、定理2
三、垂径定理的实际应用
作业布置
【知识技能类作业】必做题
1.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是( ).
A.6
B.7
C.8
D.9
A
作业布置
2.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m，半径OA=10m，高度CD为_______m.
4
作业布置
选做题：
3.如图，在△ABC中，∠ABC=24°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E，若点E在BD的垂直平分线上，则∠C的度
数为______.
33°
作业布置
4.一辆装满货物，宽2.4m的卡车，欲通过如图所示的隧道(截面上部为半圆形，下部为长4m，宽2.5m的长方形)，则卡车装满货物后的高度
必须低于( ).
A. 4.1m
B. 4.0m
C. 3.9m
D. 3.8m
A
作业布置
【综合实践类作业】
5.中国陶瓷文化源远流长，图①是一个具有地方特色的碗. 图②是从正面看到的碗(图①)的形状示意图. AB是⊙O的一部分，D是AB的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB. 已知AB=24cm，碗深CD=8cm，则⊙O的半径OA为多少？
）
）
作业布置
【综合实践类作业】
解：∵D是AB的中点，AB=24cm，
∴OD⊥AB，AC=BC=12cm，
设半径OA=x cm，则OC=(x-8)cm，
在直角三角形AOC中，根据勾股定理可得：x2=122+(x-8)2,
解得：x=13，
即⊙O的半径为13cm；
）
谢谢
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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 上册第三章
课标要求 1.通过日常生活中的实例，让学生感受圆是生活中大量存在的图形. 2.理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆的位置关系，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念. 3.探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆. 4.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等。了解并证明圆周角定理及其推论。 5.通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转，进一步理解了旋转的性质，认识圆的轴对称性和中心对称性. 6.探索并证明垂径定理和垂径定理的逆定理，会运用垂径定理及其逆定理解决问题. 7.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。 8.探索弧长计算公式及扇形的面积计算公式，并能利用公式解决问题。
内容分析 本章的主要内容有:圆的定义、弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角、扇形和三角形的外接圆等有关概念.圆属于空间与图形这部分内容，在前面学生已经学习了直线形图形的有关的性质，会借助于变换、坐标、证明等手段去认识图形的性质，并在小学的基础上，学生已经积累了大量有关圆的经验，本章是在此基础上，对圆的概念及其有关的性质进行系统的梳理，从圆的概念形成，圆本身的性质，圆中的量之间的关系以及圆中有关量的计算等方面，加强对圆的认识.
学情分析 九年级学生已经具有一定的活动经验和体验，具备一定的主动参与合作意识和初步的分析、抽象、归纳概括能力。同时具有自主学习意识，教师能创设便于观察和思考的学习环境引导学生观察和自觉分析生活现实和数学现实中的圆的现象，自觉总结圆的有关性质并自觉地应用到现实之中，逐步形成正确的数学观，并通过圆进一步丰富学生的数学活动经验和体验，在学习中有意识地培养学生积极的情感、态度，认识数学丰富的人文价值，促进观察、分析、归纳、概括等一般能力和审美意识的发展，从而进一步培养学生探究习惯、把握和研究“空间与图形”的水平.
单元目标 （一）教学目标 1.知道圆的有关定义及表示方法；掌握点和圆的位置关系；会根据要求画出图形. 2.了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法；了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念. 3.了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质以及简单平面图形旋转后的图形的作法. 4.掌握垂径定理和垂径定理逆定理，理解其探索和证明过程； 5.理解圆、弧、弦、弦心距、圆周角、圆心角、扇形、圆内接四边形、弧长、正多边形等有关概念，学会圆、弧、弦、弦心距、圆周角、圆心角、扇形、圆内接四边形、弧长、正多边形等的表示方法. 6.掌握扇形面积计算公式，会用公式解决问题． （二）教学重点、难点 重点：1.理解圆的相关概念。 2.掌握圆的基本性质和弧长扇形面积的计算方法。 难点：1.综合运用圆的基本性质解决相关的几何问题和相关的实际问题。 2.运用弧长的计算公式计算，能熟练运用面积的转化求不规则图形的面积。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数3.1圆23.2图形的旋转13.3垂径定理23.4圆心角23.5圆周角23.6圆内接四边形13.7正多边形13.8弧长及扇形的面积2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务 圆21.知道圆的有关定义及表示方法； 2.掌握点和圆的位置关系； 3.会根据要求画出图形. 从运动和集合的观点理解圆的定义. 理解点与圆的位置关系. 理解记忆圆的相关概念，完成课本练习题。1．了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法； 2．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.1．确定圆的条件：不在同一直线上的三点；圆心、半径 2．外心的位置： （1）锐角三角形外心在三角形的内部 （2）直角三角形的外心在斜边上 （3）钝角三角形的外心在三角形的.了解不在同一直线上的三点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三点作圆的方法，了解并辨认三角形的外接圆、三角形的外心等概念 图形的旋转1 了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质以及简单平面图形旋转后的图形的作法. 通过作平面图形旋转后的图形，进一步理解了旋转的性质，并且还知道要确定一个三角形旋转后的位置。通过具体事例认识旋转，理解旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等的性质. 垂径定理21.通过实验观察，让学生理解圆的轴对称性； 2.掌握垂径定理，理解其探索和证明过程； 3.能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题.1.了解圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴. 2.通过猜想，证明，形成垂径定理.使学生掌握垂径定理、记住垂径定理的题设和结论. 对垂径定理的探索和证明，在解决问题时想到用垂径定理.1.利用圆的轴对称性研究垂径定理的逆定理． 2．运用垂径定理的逆定理解决问题.1.利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理． 2.解决有关弦的问题，1.探索并证明垂径定理，会运用垂径定理及其逆定理解决问题. 2.垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线. 圆心角2 1.理解圆心角的概念,并掌握圆心角定理． 2.理解“弧的度数等于它所对的圆心角的度数”这一性质． 掌握圆心角定理，会运用圆心角定理解决实际问题。1.探究圆心角定理，猜想结论，并证明。 2.运用圆心角定理解决简单的几何问题. 掌握”在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦，两个圆心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等”这个圆的性质 会运用关于弧,弦,弦心距之间相互关系的定理解决简单的几何问题.定理的探究：让学生观察，猜想，证明，最后教师给出证明过程.圆周角21.理解圆周角的概念． 2.掌握圆周角与圆心角的关系． 3.掌握同弧或等弧所对的圆周角相等．掌握圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半. 学习圆周角的定义，并探索其定理。1.圆周角概念和圆周角定理. 2.圆周角定理的三种情况证明，圆周角定理的应用.1.利用同弧所对的圆周角相等，进行角与角之间的转化 2.将圆周角相等的问题转化为弦相等或弧相等的问题. 探索圆周角定理，会用圆周角定理及推论解决问题. 圆内接四边形1.使学生掌握圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形的性质定理； 2.使学生初步会运用圆的内接四边形的性质定理证明和计算一些问题．掌握圆内接四边形的性质定理． 理解“内对角”这一重点词语的意思．1.通过观察、探索得到圆内接四边形的性质。 2.能准确地辨认图形，较熟练地运用性质．正多边形1.了解正多边形和圆的有关概念； 2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系3.会应用多边形和圆的有关知识画多边形．了解正多边形可以通过切割圆得到；理解正多边形的外接圆与内切圆的关系.学会判定一个多边形是正多边形，并了解正多边形有哪些性质？弧长及扇形的面积1.经历探索弧长计算公式的过程； 2.了解弧长计算公式，并会应用公式解决问题1.经历探索弧长计算公式的过程，培养学生的探索能力； 2.了解弧长后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力.探索弧长计算公式；用公式解决实际问题.1.经历探索扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力． 2.了解扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力．1.扇形的概念和扇形面积的计算公式． 2.弧长与扇形面积的关系． 推导扇形面积计算公式的过程.掌握扇形面积计算公式，会用公式解决问题．
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