第3章 圆的基本性质 单元测试卷（含解析）

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第3章 圆的基本性质 单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（　　）
A．3cm B．6cm C．1.5cm D．cm
2．下列图形绕某点旋转90°后，不能与原来的图形重合的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知圆O的半径为5，同一平面内有一点P，且OP＝4，则点P与圆O的关系是（　　）
A．点P在圆内 B．点P在圆外 C．点P在圆上 D．无法确定
4．下列语句中，正确的有（　　）
（1）相等的圆心角所对的弧相等；（2）平分弦的直径垂直于弦；
（3）长度相等的两条弧是等弧；（4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．如图，△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，DE交AC于F．当α＝40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（　　）
A．80° B．85° C．90° D．95°
6．如图，点A，B，C在⊙O上，连结AB，AC，OB，OC．若∠BAC＝50°，则∠BOC的度数是（　　）
A．80° B．90° C．100° D．110°
7．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，OE＝12，CD＝26，那么弦AB的长为（　　）
A．5 B．10 C．12 D．13
8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，其中∠A＝100°，则∠C的度数为（　　）
A．120° B．100° C．80° D．50°
9．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则边心距OM的长为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，以O为圆心AB为直径的圆过点C，C为弧AB的中点，若AB＝4，则阴影部分面积是（　　）
A．π B．2+2π C．2π D．2+π
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．平面直角坐标系内的三个点A（4，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3），　 　确定一个圆，（填“能”或“不能”）．
12．如图，AB是⊙O的直径，，∠AOE＝78°，则∠COB的度数是 　 　．
13．一个正多边形的中心角为40°，则这个正多边形的边数是 　 　．
14．小明很喜欢钻研问题，一次数学老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径．小明连接瓦片弧线两端AB，量得弧AB的中心C到AB的距离CD＝4cm，AB＝16cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 　 　cm．
15．如图，扇形OAB的半径为1，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点P，∠BOP＝35°，则的长l＝　 　（结果保留π）．
16．如图，平面直角坐标系中，C（0，4），A（1，0），K为x轴上一动点，连接AC，将AC绕A点顺时针旋转90°得到AB，当点K在x轴上运动时，BK的最小值为 　 　．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）如图AB、CD是⊙O的两条弦，相交于点P，若AB＝CD，求证：
（1）AD＝BC；
（2）PA＝PC．
18．（6分）如图所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.8米，求这辆送家具的卡车能否通过这个通道．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，﹣2），B（4，﹣1），C（3，﹣3）（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）．
（1）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，写出A1点的坐标；
（2）求△ABC的面积．
20．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝42°，D为△ABC内一点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转42°，得到AE，连接DE，BD，CE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若DE⊥AC，求∠BAD的度数．
21．（10分）已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长．
22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若BD＝11，DE＝2，求CD的长．
23．（12分）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝，点P在BC上，以点C为圆心，PC为半径画弧交边AC于点D，以点B为圆心，PB为半径画弧交边AB于点E．设PB＝x，图中阴影部分的面积为y．（π取3）
（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当点P在什么位置时，y有最大值？最大值是多少？
24．（12分）阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝　 　；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；
（3）能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．
第3章 圆的基本性质 单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【分析】利用圆的直径为圆中最长的弦求解．
【解答】解：∵圆的直径为圆中最长的弦，
∴⊙O中最长的弦长为2×3＝6（cm）．
故选：B．
2．【分析】根据旋转对称图形的概念作答．
【解答】解：A、绕它的中心旋转120°才能与原图形重合，故本选项符合题意；
B、绕它的中心旋转90°能与原图形重合，故本选项不合题意；
C、绕它的中心旋转90°能与原图形重合，故本选项不合题意；
D、绕它的中心旋转90°能与原图形重合，故本选项不合题意．
故选：A．
3．【分析】根据题意：OP＝4＜r，进行判断即可．
【解答】解：设圆的半径为r，
由题意得：OP＝4＜r＝5，
∴点P与圆O的关系是：点P在圆内．
故选：A．
4．【分析】由圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，等弧的概念，圆的对称性，即可判断．
【解答】解：（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故（1）不符合题意；
（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故（2）不符合题意；
（3）长度和度数相等的两条弧是等弧，故（3）不符合题意；
（4）圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是对称轴，故（4）不符合题意．
∴正确的有0个．
故选：A．
5．【分析】由旋转的性质可得∠BAC＝∠DAE，∠BAD＝∠CAE＝40°，AB＝AD，∠C＝∠E，由等腰三角形的性质可求∠B＝70°，由三角形内角和定理可求解．
【解答】解：∵将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，∠BAD＝∠CAE＝40°，AB＝AD，∠C＝∠E，
∴∠B＝70°，
∴∠C＝∠E＝55°，
∴∠AFE＝180°﹣55°﹣40°＝85°，
故选：B．
6．【分析】直接利用圆周角定理求解即可求得∠BOC的度数．
【解答】解：∵∠BAC＝50°，∠BOC＝2∠BAC，
∴∠BOC＝100°．
故选：C．
7．【分析】连接OA，如图，根据垂径定理得到AE＝BE，然后利用勾股定理计算出AE，从而得到AB的长．
【解答】解：连接OA，如图，
∵AB⊥CD，
∴AE＝BE，∠OEA＝90°，
∵CD＝26，
∴OA＝13，
在Rt△OAE中，AE＝＝＝5，
∴AB＝2AE＝10．
故选：B．
8．【分析】根据圆内接四边形的对角互补，列式计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝100°，
∴∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣100°＝80°．
故选：C．
9．【分析】根据正六边形的性质求出∠BOM，利用余弦的定义计算即可．
【解答】解：连接OB，
∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，
∴∠BOM＝＝30°，
∴OM＝OB cos∠BOM＝1×＝；
故选：B．
10．【分析】求出∠AOC＝∠BOC＝90°，OA＝OC＝OB＝2，求出阴影部分的面积＝S扇形AOC，再根据扇形的面积公式求出答案即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，C为的中点，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
∵AB＝4，
∴OA＝OC＝OB＝2，
∴S△AOC＝S△BOC＝＝2，
∴阴影部分的面积S＝S△COB+S扇形AOC﹣S△AOC
＝S扇形AOC＝＝π，
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．【分析】根据点A、B、C的坐标得到点A、B、C三点在同一条直线上，再根据确定圆的条件判断即可．
【解答】解：∵点A（4，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3），
∴点A、B、C三点在同一条直线上，
∴点A、B、C三点不能确定一个圆，
故答案为：不能．
12．【分析】先由平角的定义求出∠BOE的度数，由，根据相等的弧所对的圆心角相等可得，即可求解．
【解答】解：∵∠AOE＝78°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣78°＝102°，
∵，
∴，
故答案为：34°．
13．【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
由题意得，＝40°，
解得，n＝9，
故答案为：9．
14．【分析】利用垂径定理和勾股定理进行求解即可．
【解答】解：设圆的半径为rcm，
∵C为弧AB的中心，CD⊥AB，
∴延长CD必过圆的圆心，设圆心为O，连接OA，如图，
∴，
由勾股定理，得：OA2＝AD2+OD2，
即：r2＝82+（r﹣4）2，
解得：r＝10；
∴圆形瓦片所在圆的半径为：10cm；
故答案为：10．
15．【分析】由等腰三角形的性质求出∠AOB的度数，由弧长公式即可计算．
【解答】解：由作图知：OP垂直平分AB，
∵OA＝OB，
∴∠AOB＝2∠BOP＝2×35°＝70°，
∵扇形的半径是1，
∴的长＝＝π．
故答案为：π．
16．【分析】过点B作BH⊥x于H．△COA≌△AHB（AAS），推出OA＝BH＝1，再根据垂线段最短，即可解决问题．
【解答】解：过点B作BH⊥x于H．
∵C（0，4），A（1，0），
∴OC＝4，OA＝1，
∵∠AOC＝∠BAC＝∠AHB＝90°，
∴∠CAO+∠BAH＝90°，∠BAH+∠ABH＝90°，
∴∠CAO＝∠ABH，
在△COA和△AHB中，
，
∴△COA≌△AHB（AAS），
∴OA＝BH＝1，
根据垂线段最短可知，当BK与BH重合时，BK的值最小，最小值为1．
故答案为：1．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．【分析】（1）如图所示，连接AC，利用AAS证明△CAD≌△ACB即可证明AD＝BC；
（2）由AD＝BC可得∠BAC＝∠DCA，即可证明PA＝PC．
【解答】证明：（1）证如图所示，连接AC，
∵AB＝CD，
∴
∴∠CAD＝∠ACB，
又∵∠D＝∠B，
∴△CAD≌△ACB（AAS），
∴AD＝BC；
（2）∵AD＝BC，
∴
∴∠BAC＝∠DCA，
∴PA＝PC．
18．【分析】卡车能否通过，关键是车高4米与AC的比较，BC为2.6米，只需求AB，在直角三角形OAB中，半径OA为2米，车宽的一半为DC＝OB＝1.4米，运用勾股定理求出AB即可．
【解答】解：过直径的中点O作直径的垂线，交下底边于点D，如图所示，
在Rt△ABO中，由题意知OA＝2，DC＝OB＝1.4，
所以AB2＝22﹣1.42＝2.04，
因为4﹣2.6＝1.4，1.42＝1.96，2.04＞1.96，
所以卡车可以通过．
19．【分析】（1）根据旋转的性质即可以坐标原点O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°，得到△A1B1C1，进而可以写出A1点的坐标；
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，A1点的坐标为（2，1）；
（2）S△ABC＝3×2﹣×3×1﹣×1×2×2＝，
答：△ABC的面积为．
20．【分析】（1）根据旋转的性质得到AD＝AE，∠DAE＝42°，求得∠CAE＝∠BAD，根据全等三角形的性质得到BD＝CE；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠CAE＝DAE＝21°，根据全等三角形的性质得到结论．
【解答】（1）证明：∵将AD绕点A逆时针旋转42°，得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝42°，
∵∠BAC＝42°，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠CAE＝∠BAD，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：由（1）知AD＝AE，∠DAE＝42°，
∵DE⊥AC，
∴∠CAE＝DAE＝21°，
∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＝21°．
21．【分析】（1）连接OB、OC，先证明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，再证明△OAB≌△OAC得AB＝AC，问题得证；
（2）延长AO交BC于点H，先证明AH⊥BC，BH＝CH，设OH＝b，BH＝CH＝a，根据OA＝4，AB＝6，由勾股定理列出a、b的方程组，解得a、b，便可得BC．
【解答】解：（1）连接OB、OC，
∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC，
∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，
在△OAB和△OAC中，
，
∴△OAB≌△OAC（AAS），
∴AB＝AC
即△ABC是等腰三角形；
（2）延长AO交BC于点H，
∵AH平分∠BAC，AB＝AC，
∴AH⊥BC，BH＝CH，
设OH＝b，BH＝CH＝a，
∵BH2+OH2＝OB2，BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6，
∴，
解得，，
∴BC＝2a＝3．
22．【分析】（1）根据角平分线的定义、圆内接四边形的性质解答；
（2）过点A作AG⊥BD，分别证明Rt△AED≌Rt△AGD和Rt△AEC≌Rt△AGB，根据全等三角形的性质计算．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BDF，
∴∠ADF＝∠ADB，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠ADF＝∠ABC，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（2）解：过点A作AG⊥BD，垂足为点G．
∵AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD，
∴AG＝AE，∠AGB＝∠AEC＝90°，
在Rt△AED和Rt△AGD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AGD，
∴GD＝ED＝2，
在Rt△AEC和Rt△AGB中，
，
∴Rt△AEC≌Rt△AGB（HL），
∴BG＝CE，
∵BD＝11，
∴BG＝BD﹣GD＝11﹣2＝9，
∴CE＝BG＝9，
∴CD＝CE﹣DE＝9﹣2＝7．
23．【分析】（1）利用扇形面积以及等腰直角三角形的性质得出面积即可，利用三角形边长得出自变量x的取值范围；
（2）利用（1）中所求求出面积最值即可．
【解答】解：（1）（1）∵，
∴BC＝2，
∵设PB＝x，
∴PC＝（2﹣x），
∴＝，
∵以B为圆心、PB为半径画弧交边AB于E，
∴CP＝2﹣x，BP＝x，
则，
∴；
（2）∵，
∴当x＝1时，y最大＝，
当PB＝1时，即为BC的中点，y有最大值，最大值为1．
24．【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，根据旋转的性质可得AE′＝AE，CE′＝CE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，再求出∠E′AF＝45°，从而得到∠EAF＝∠E′AF，然后利用“边角边”证明△EAF和△E′AF全等，根据全等三角形对应边相等可得E′F＝EF，再利用勾股定理列式即可得证．
（3）将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB＝2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO＝OO′，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO′＝∠BO′O＝60°，然后求出C、O、A′、O′四点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到OA+OB+OC＝A′C．
【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP，
∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，
由题意知旋转角∠PA P′＝60°，
∴△AP P′为等边三角形，
P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°，
易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°；
故答案为：150°；
（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，
由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAF＝∠E′AF，
在△EAF和△E′AF中，
∴△EAF≌△E′AF（SAS），
∴E′F＝EF，
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，
由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，
即EF2＝BE2+FC2．
（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2，
∴BC＝，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，
∴△A′O′B如图所示；
∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，
∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，
∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，
在Rt△A′BC中，A′C＝，
∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝．