1.3二次函数的性质 同步练习（含答案） 2023—2024学年浙教版数学九年级上册

1.3二次函数的性质——浙教版数学九年级上册
一、选择题
1．下列对抛物线性质的描写中，正确的是（　　）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标是 D．函数y有最小值
2．抛物线的最小值是（　　）
A．3 B．-3 C．4 D．-4
3．已知函数y=ax2+bx+3的图象如图所示，则a，b的值可能是（　　）
A．a=1，b=2 B．a=1，b=-2 C．a=-1，b=2 D．a=-1，b=-2
4．已知二次函数y=mx2+2mx-1（m＞0）的最小值为-5，则m的值为（　　）
A．-4 B．-2 C．2 D．4
5．已知二次函数 ，当 时，y随x的增大而减小，则b的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．已知点在抛物线上，则下列点中，一定也在该抛物线上的是点（　　）
A． B． C． D．
7．已知是二次函数图象上的两点，那么的大小关系是（　　）
A． B． C． D．不能确定
8．如图，给出了二次函数y = ax2 + bx +c的图象，关于这个函数有下列四个结论：①b=2a ；②a-b+c=0；③b2-4ac<0；④直线y=bx+ac不经过第一象限，其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
9．已知二次函数，当时，y有最小值和最大值5，则m的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，抛物线y=x2+bx+c (b， c为常数)经过点A (1，0)，点B (0，3)，点P在该抛物线上，其横坐标为m，若该抛物线在点P左侧部分(包括点P)的最低点的纵坐标为2-m．则m的值为（　　）
A．m=3 B．m= C．m= D．m=3或m=
11．已知二次函数（a，b是常数，）的图象经过，，三个点中的其中两个点.平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的（　　）
A．最大值为-1 B．最小值为-1 C．最大值为 D．最小值为
二、填空题
12．已知点和点是抛物线上的两点， 则的大小关系是a　 　b (填 “>” 或 “<” 或 “=”).
13．已知点是抛物线上的两点，则这条抛物线的对称轴为直线　 　．
14．已知，点A（1，m）和点B（3，n）在二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象上，若点C（x0，y0）是该二次函数图象上任意一点，且满足y0≥m，mn的最大值为 　 　.
15．二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：①；②；③若方程有两个根和，且，则；④的最小值为．其中正确结论的是　 　．
三、解答题
16．已知抛物线经过点.
（1）求该抛物线的对称轴.
（2）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而减小？
17．已知二次函数.
（1）当时，
①求该函数图象的顶点坐标.
②当时，求的取值范围.
（2）当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式.
18． 某架飞机着陆后滑行的距离单位：与滑行时间单位：近似满足函数关系，由电子监测获得滑行时间与滑行距离的几组数据如表：
滑行时间
滑行距离
（1）根据上述数据，求出满足的函数关系；
（2）飞机着陆后滑行多远才能停下来？此时滑行的时间是多少？
19． 在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
（1）求的值；
（2）求抛物线的对称轴用含的式子表示；
（3）点，，在抛物线上，若，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】解：抛物线中，
抛物线开口向下，有最大值，故A、D错误；
抛物线的解析式为∶，
抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为，故B正确，C错误.
故答案为：∶B.
2．【答案】D
【解析】解：∵y=x2+2x-3=（x+1）2-4，a=1＞0，
∴图象开口向上，当x=-1时，y的最小值是-4.
故答案为：D.
3．【答案】C
【解析】解：根据二次函数的图象与性质可得：
∵图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x=，
∴b＞0，
所以选项C符合题意.
故答案为：C.
4．【答案】D
【解析】解：，，
抛物线开口向上，函数最小值为，
，
解得．
故答案为：D．
5．【答案】D
【解析】解：∵ ，
∴对称轴为直线x＝b，开口向下，
∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∵当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴1不在对称轴左侧，
∴b≤1.
故答案为：D.
6．【答案】A
【解析】由题可知，抛物线的对称轴，
∵点与关于x=1对称，
∴点一定在该抛物线上；
故答案为：A．
7．【答案】A
【解析】解：∵二次函数的图象的对称轴是，
，开口方向向上，
在对称轴的左面y随x的增大而减小，
∵、且第二个点为抛物线的顶点，为最低点，
∴．
故答案为：A．
8．【答案】C
【解析】解：由图可知的对称轴为，
∴对称轴为：，即，所以①符合题意；
当时，由图可知>0，故②不符合题意；
由图可知，二次函数图象与x轴有两个交点，所以>0，故③不符合题意；
由图象开口向下可得a<0，再求出b<0，由图象交y轴于上半轴可得 c>0，
故ac<0，故经过二，三，四象限，不经过第一象限，故④符合题意；
综上所述，正确的为①④，
故答案为：C．
9．【答案】D
【解析】解：二次函数对称轴为，
由题意得，二次函数经过点，，，
结合图象可知：①当时，最小值为时y的值，最大值为5；
②当时，最小值为，最大值为5；
③当时，最小值为，最大值为时y的值；
∴m的取值范围是.
故答案为：D.
10．【答案】D
【解析】解：解：将（1，0），（0，3）分别代入y＝x2＋bx＋c得，
解得
∴y＝x2 4x＋3，
∵y＝x2 4x＋3＝（x 2）2 1，
∴抛物线顶点坐标为（2， 1），对称轴为直线x＝2，
当m＞2时，抛物线顶点为最低点，
∴ 1＝2 m，
解得m＝3，
当m≤2时，点P为最低点，
将x＝m代入y＝x2 4x＋3得y＝m2 4m＋3，
∴m2 4m＋3＝2 m，
解得（舍），，
∴m=3或.
故答案为：D.
11．【答案】C
【解析】解：由题意得，二次函数的图象经过点A，B或点A，点C，
①若经过点A和点B
把A（2，1），B（4，3）代入得
解得
∵
∴二次函数的图象不能经过点A，B；
②若经过点A、点C，则有
解得，
∴
当时，
则点A（2，1）是的顶点
此时二次函数的顶点在上，且与y轴交点，纵坐标为-1，故D不符合题意；
经过平移，顶点始终在直线上，
故平移后函数表达式为，其中c为沿x轴正方向平移的单位，c取实数，
当x=0时，
当时，y有最大值，为：
故答案为：C.
12．【答案】=
【解析】解：∵y=x2+2x-c=（x+1）2-1-c，
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴点B（2，b）关于直线x=-1的对称点为（-4，b），
∵点A（-4，a），
∴a=b.
故答案为：=
13．【答案】
【解析】 是抛物线上的两点，
根据抛物线的对称性，A、B的纵坐标都是5，
A和B是对称点
对称轴是
故答案为：x=3
14．【答案】
【解析】解：∵点C（x0，y0）是二次函数图象上的任意一点，且满足y0≥m，
∴二次函数图象开口向上，即a＞0，顶点坐标为（1，m），
∴对称轴为x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
∵mn＝（a+b+1）（9a+3b+1）＝（﹣a+1）（3a+1）＝﹣3（a﹣）2+，
∵﹣3＜0，
∴mn的最大值为.
故答案为：.
15．【答案】②③④
【解析】解：观察图象得：抛物线的开口向上，对称轴在y轴的左侧，交y轴的负半轴，
∴a>0，b>0，c<0，
∴abc<0，故①不符合题意；
∵顶点坐标为，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∴，故②符合题意；
当y=0时，，
解得：或1，
即抛物线与x轴的交点坐标为（-5，0）和（1，0），
∵方程有两个根和，且，
∴，故③符合题意；
∵，
∴，
∴当时， 有最小值，最小值为，故④符合题意．
∴正确结论的是②③④．
故答案为：②③④
16．【答案】（1）解：把（-1，0），（3，0）代入抛物线解析式得：，
解得：b=-2，c=-3，
则抛物线解析式为y=x2-2x-3，
∴抛物线的对称轴为直线x==1；
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，a＞0，开口向上，
则x＜1时，y随x的增大而减小.
17．【答案】（1）解：①当时，，
顶点坐标为.
②a=-1＜0，顶点坐标为（2，7），
∴当x=2时，y有最大值7，
当2≥x≥-1时，y随x增大而增大，
当3≥x≥2时，y随x增大而减小，
又当时，；当时，，
当3≥x≥-1时，7≥y≥-2
（2）解：抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2，
，
∵x≤0时，y的最大值为2，当x＞0时，y的最大值为3，
抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＞0，
又
∴b＝±2，
∵b＞0，
∴b=2，
二次函数的表达式为.
18．【答案】（1）解：将，代入解析式得：
，
解得，
与满足的函数关系式为；
（2）解：由知，，
，
当时，有最大值，最大值为，
飞机着陆后滑行米才能停下来，此时滑行的时间是．
19．【答案】（1）解：由题意得：，
解得：；
（2）解：，
，
抛物线的对称轴为：直线；
（3）解：当时，可知点，，从左至右分布，
，
，
解得；
当时，
，
，不合题意，
综上，的取值范围是．