2023年浙教版数学七年级上册5.4一元一次方程的应用 同步测试（培优版）

2023年浙教版数学七年级上册5.4一元一次方程的应用 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·海曙竞赛）如图，在数轴上标出若干点，每相邻两点长为1，P，Q，R，S，T对应的整数分别为p，q，r，s，t，且，则原点对应的点是（　　）
A．P B．Q C．R D．S
2．（2023·浙江模拟）如图，A，B两地相距1200m，小车从A地出发，以8m/s的速度向B地行驶，中途在C地停靠3分钟.大货车从B地出发，以5m/s的速度向A地行驶，途经D地（在A地与C地之间）时沿原路返回B点取货两次，且往返两次速度都保持不变（取货时间不计），取完两批货后再出发至A点.已知：，则直至两车都各自到达终点时，两车相遇的次数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2023七下·义乌开学考）将，2，，4，…，60这60个整数分成两组，使得一组中所有数的和比另一组所有数的和小10，这样的分组方法有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种及以上 D．不存在
4．（2023七下·开福开学考）如图，点A在数轴上表示的数是﹣8，点B在数轴上表示的数是16．若点A以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时点B以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．问：当AB＝8时，运动时间为多少秒？（　　）
A．2秒 B．13.4秒 C．2秒或4秒 D．2秒或6秒
5．（2022七下·诸暨期末）如图，现有3×3的方格，每个小方格内均有数字，要求方格内每一行每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，记三个数字之和为P，则P的值为（　　）
A．21 B．24 C．27 D．36
6．（2022八上·慈溪期末）某大型超市购进一批特种水果，运输过程中质量损失，假设不计超市其它费用，如果超市要想至少获得的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（　　）
A． B． C． D．
7．（2021七上·长沙期末）如图，数轴上的点O和点A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点.点P沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（t不超过10秒）.若点P在运动过程中，当PB＝2时，则运动时间t的值为（　　）
A． 秒或 秒
B． 秒或 秒或 秒或 秒
C．3秒或7秒或 秒或 秒
D． 秒或 秒或 秒或 秒
8．（2021七上·拱墅月考）某超市在“元旦”活动期间，推出如下购物优惠方案：
①一次性购物在元（不含元）以内，不享受优惠；
②一次性购物在元（含元）以上，元（不含元）以内，一律享受九折优惠；
③一次性购物在元（含元）以上，一律享受八折优惠；
小敏在该超市两次购物分别付了90 元和270元，如果小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款（　　）元
A． B． C． D．
9．（2021七下·高平期末）某超市为了回馈顾客，若一次性购物不超过300元不优惠，超过300元时按全额9折优惠．一位顾客第一次购物付款180元，第二次购物付款288元，若这两次购物付款合并一次性付款可节省（　　）
A．18元 B．16元 C．18或46.8元 D．46.8元
10．（2021七上·海曙期末）如图，表中给出的是2021年1月份的月历，任意选取“工”型框中的7个数（如阴影部分所示）．请你运用所学的数学知识来研究，则这7个数的和不可能是（　　）
A．76 B．91 C．140 D．16l
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2023·宁波竞赛）某商品随季节变化降价出售，如果按标价降价10%，仍可盈利40元．如果降价后再九折出售，就要亏损14元，则这件商品的标价是 　 　元．
12．（2023七下·自贡期末）在长为，宽为（）的长方形纸片上，从它的一侧，剪去一个以长方形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的长方形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则的值为　 　．
13．（2022七上·龙港期中）下表是某市居民出行方式以及收费标准：（不足1千米按1千米算）
打车方式 出租车 3千米以内8元；超过3千米的部分2.4元/千米
滴滴快车 路程：1.4元/千米；时间：0.6元/分钟
说明 打车的平均车速40千米/时
假设乘坐8千米，耗时：8÷40×60＝12分钟；出租车收费：8＋（8－3）×2.4＝20元；滴滴快车收费：8×1.4＋12×0.6＝18.4元．
为了提升市场竞争力，出租车公司推出行使里程超过10千米立减4.8元活动．小聪乘坐出租车从甲地到达乙地支付车费22.4元，若改乘滴滴快车从甲地到乙地，则需支付　 　元．
14．（2022七下·重庆市月考）茶百道生产的一种由A、B两种原料按一定比例配制而成的奶茶，其中A原料成本价为10元/千克，B原料成本价为15元/千克，按现行价格销售每千克奶茶可获得4.8元的利润.由于物价上涨，A原料上涨20%，B原料上涨10%，配制后的总成本增加.茶百道为了拓展市场，打算再投入现总成本的10%做广告宣传，使得销售成本再次增加，如果要保证每千克的利润不变，则此时这种奶茶每千克的售价与原售价之差为　 　元
15．（2021七上·南浔期末）将长为4宽为a（a大于1且小于4）的长方形纸片按如图所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按同样的方式操作，称为第二次操作；如此反复操作下去 ，若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止.当 时，a的值为　 　.
16．（2022七上·衢江期末）实验室里有一个水平放置的正方体容器，从内部量得它的棱长为15cm，容器内的水深为4cm、现往容器内放入如图所示的长方体实心铁块（铁块一面平放在容器底面），过顶点A的三条棱的长分别10cm，10cm，xcm（x<15）．
（1）容器内水的体积为　 　 cm3
（2）当铁块的顶部高出水面1cm时，x的值为　 　．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022七上·江油月考）由甲地到乙地前三分之二的路是高速公路，后三分之一的路是普通公路，高速公路和普通公路交界处是丙地．车在高速公路上的行驶速度是，在普通公路上的行驶速度是；车在高速公路上的行驶速度是，在普通公路上的行驶速度是，，两车分别从甲，乙两地同时出发相向行驶．在高速公路上距离丙地处相遇，求甲，乙两地之间的距离是多少？
18．（2023七下·长泰期中）如图，在长方形中，，，点M以的速度从点A出发，沿的路线运动，点N以的速度从点D出发，沿的路线运动.若点M，N同时出发，当点N回到点D时，M，N两点同时停止运动.运动时间为t（s）.
（1）当t为何值时，点M，N在运动路线上相遇；
（2）当t为何值时，点M，N在运动路线上相距的路程为；
（3）在整个运动过程中，是否存在直线把长方形分成两个梯形，且这两个梯形的面积比为，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
19．（2023七上·温州期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计宣传牌？
素材1 如图1是长方形宣传牌，长330cm，宽220cm，拟在上面书写24个字． (1)中间可以用来设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55倍． (2)四周空白部分的宽度相等．
素材2 如图2，为了美观，将设计部分分割成大小相等的左、中、右三个长方形栏目，栏目与栏目之间的中逢间距相等．
素材3 如图3，每栏划出正方形方格，中间有十字间隔，竖行两列中间间隔和横向中间间隔宽度比为1：2．
问题解决
任务1 分析数量关系 设四周宽度为xcm，用含x的代数式分别表示设计部分的长和宽．
任务2 确定四周宽度 求出四周宽度x的值．
任务3 确定栏目大小 (1)求每个栏目的水平宽度． (2)求长方形栏目与栏目之间中缝的间距．
20．（2023七上·金东期末）盲盒近来火爆，其主打“盲”，盒子上不会标注里面是什么，只有打开才会知道，有越多惊喜，所以深受中学生的喜爱.寒假将近，胡老师准备网购以下两款盲盒若干个，作为新年礼物奖励给班里有学习进步的同学.
类型 介绍 图片 单价
文具盲盒 里面可能包含笔袋、中性笔、笔记本、手账本、便签、胶带等各种学习用品，能开出什么文具，纯凭个人手气. 10元/个
Molly盲盒 泡泡玛特是国内最火的盲盒品牌，而Molly则被称为“泡泡玛特一姐”，一个系列有12个不同Molly造型，也有可能会抽到隐藏款哦. 59元/个
（1）若胡老师网购两种盲盒共40个，花费792元，则两种盲盒各采购了多少个？
（2）为清理库存，文具盲盒店家现推出优惠活动：
购买数量 每个售价
前10个 标价
第11个到第20个 标价的九折
第21个到第30个 标价的八折
超过30个 标价的七折
此时正巧碰上电商平台的年货节，在该商店打完折的基础上，还可以享受电商平台的优惠：每满200-25（即总价在200元到399元可以优惠少付25元；总价400元到599元可以优惠少付50元；总价600元到799元可以优惠少付75元；）
①若胡老师购买了35个文具盲盒，应付给该商家多少钱？
②若胡老师购买文具盲盒共花费181元，则她购买了几个文具直盒？
21．（2023七上·中山期末）将连续的自然数1到150按图1的方式排列成一个方阵：
（1）在图1中，第6行的第3个数是　 　，第20行的最后一个数是　 　；
（2）如图2，用一个正方形在该方阵中任意框出9个数，请用代数方法说明这9个数之和一定是9的倍数；
（3）如图3，若用如图所示的长方形在该方阵中任意框出6个数，这6个数之和能等于156吗？如果能，请求出这6个数；如果不能，请说明理由．
22．（2023七上·江北期末）小江同学注意到妈妈手机中的电费短信（如下左图），对其中的数据产生了浓厚的兴趣，谷度是什么意思 电费是如何计算的 第一档与第二档又有什么关系？
表1：宁波市居民生活用电标准（部分修改）
电压等级 普通电价（元/度） 峰谷电价（元/度）
峰时电价 谷时电价
第一档 年用电量不超过2760度的部分 0.538 0.568 0.288
第二档 年用电量超过2760度但不超过4800度的部分 0.588 0.618 0.338
第三档 年用电量超过4800度的部分 0.838 0.868 0.588
【解读信息】
通过互联网查询后获得上表（如表1）.小江家采用峰谷电价计费，谷时用电量为85度，那么峰时用电量就是度，由于小江家年用电量处在第一档，故9月份电费为： .
第一档年用电量的上限为2760度，所以截至9月底小江家已经用电2760－581＝2179度.不难发现，第二档所有电价均比第一档提高0.05元/度，第三档所有电价均比第一档提高0.3元/度.
【理解信息】
（1）若采用普通电价计费，小江家九月份的电费为　 　元.（精确到）
（2）若采用峰谷电价计费，假设某月谷时用电量与月用电量的比值为m，那么处在第一档的1度电的电费可以表示成　 　元.（用含有m的代数式表示）
（3）【重构信息】
12月份，小江家谷时用电量与月用电量的比值为0.2.请根据上述对话完成下列问题：
①通过计算判断：截至12月底小江家的年用电量是否仍处于第一档？
②12月份谁家的用电量多，多了多少？
23．（2021七上·太原期末）阅读材料，解答下列问题：
幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都和等．
（1）在图2中，每行、每列、每条对角线上三个数的和为　 　；
（2）设图3所示的三阶幻方中间的数为x（x为整数），请用含x的代数式将图3幻方补充完整；
（3）从A，B两题中任选一题作答．我选择 ▲ 题．
A．将－2，－1，0，1，2，3，4，5，6这9个数中除－1，2，5外的6个数填入图4中其余的方格中，使其成为一个三阶幻方．
B．如图5是一个三阶幻方，按方格中已给的信息，x的值为 ▲ ，4x上方的方格中的数为 ▲ ．
24．（2022七上·余姚竞赛）【阅读理解】
若A，B，C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是[A，B]的“妙点”．例如，如图1，点A表示的数为-1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是[A，B]的“妙点”.又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是[A，B]的“妙点”，但点D是[B，A]的“妙点”．
【知识应用】
如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为4．
（1）数3　 　(填“是”或“不是”）[M，N]的“妙点”，数2　 　(填“是”或“不是”）[N，M]的“妙点”.
（2）若数轴上有一点Q表示的数是x，且点Q是[N，M]的妙点，求x的值.
（3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为-40，点B所表示的数为20．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，点P，A和B中恰有一个点为其余两点的“妙点”？（请直接写出答案）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：由图形可知：t=p+7，把t=p+7代入t+2p=1得：p+7+2p=1，解之得：p=-2，∴原点对应的点是Q。故选B.
【分析】由图形可知：t=p+7，把t=p+7代入已知的等式可得关于p的方程，解方程求得p的值，根据p的值即可判断原点所对应的点.
2．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由题意可知.
∵，
∴，，
∴，.
当大货车第一次到达D地时，用时，
∴此时小车行驶路程为.
∵640m＜800m，
∴此过程两车不相遇；
当大货车第一次由D地返回B地，且到达C地的过程中，
∵，
∴大货车到达C地用时.
假设此过程中两车相遇，且又经过t秒相遇，
则，
解得：，即说明大货车到达C地之前没相遇；
当大货车继续由C地返回B地时，
∵，
∴大货车到达B地用时.
此时大货车共行驶.
∵小车到达C地用时，
∴当大货车到达B地时，小车已经到达C地停靠.
∵小车中途在C地停靠3分钟，即，
∴当大货车到达B地时，小车在C地还需停靠.
当大货车又从B地出发前往D地时，用时，
∴当大货车到达D地时小车还在停靠，即此时第一次相遇，
∴此时小车剩余停靠时间，
∴当小车出发时，大货车第二次从D地前往B地行驶了.
假设大货车到达B地前小车能追上大货车，且用时为，
则，
解得：，即说明大货车到达B地前小车没追上大货车，
∴此过程两车没相遇.
当大货车最后由B地前往A地时，小车正在向B地行驶，
∴两车此过程必相遇.
综上可知，两车相遇的次数为2次.
故答案为：A.
【分析】由题意知，AB=1200m，AC=900m，CD=100m，AD=800m，BD=400m，然后根据了，路程、速度、时间三者的关系，分①当大货车第一次到达D地时，②当大货车第一次由D地返回B地，且到达C地的过程中，③当大货车继续由C地返回B地时，④当大货车到达B地时，小车已经到达C地停靠，⑤当大货车又从B地出发前往D地时，⑥当小车出发时，大货车第二次从D地前往B地行驶，⑦当大货车最后由B地前往A地时，小车正在向B地行驶，这么几段情景考虑即可解决问题.
3．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：这60个数和为：，
设一组的和为x，则另一组的和为，
则有，解得，
所以另一组的和为10，那么分组方法有3种及以上.
故答案为：C.
【分析】由题意可得：这60个数和为30，设一组的和为x，则另一组的和为(x-10)，根据和为30建立方程，求出x的值，据此解答.
4．【答案】C
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设x秒后AB=8，则点A所表示的数为-8+6x，点B所表示的数为16-2x，
由题意得，
解得x=2或x=4.
故答案为：C.
【分析】设x秒后AB=8，根据数轴上的点所表示的数“左移减，右移加”分别表示出点A、B所表示的数，进而根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值，据此建立方程，求解即可.
5．【答案】C
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：如图，
由题意可得A=P-15，
设C=x，
∴B=P-A-C=15-x.
∵B+9+E=P，
∴E=P-B-9=P-(15-X)-9=P+X-24.
∵C+9+D=P，
∴D=P-C-9=P-X-9.
∵6+D+E=P，
∴6+P-X-9+P+X-24=P，
∴-27+2P=P，
∴P=27.
故答案为：C.
【分析】根据方格内每一行每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等可得A=P-15，由A+B+C=P表示出B，由B+9+E=P表示出E，同理表示出D，再根据6+D+E=P建立关于X、P的方程，求解即可得到P的值.
6．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设这种水果的售价在进价的基础上应至少提高a％，进价为b元每千克，共有c千克，根据题意得，
解得
故答案为：D.
【分析】设这种水果的售价在进价的基础上应至少提高a％，进价为b元每千克，共有c千克，则这批水果的售价为b（1+a％）元每千克，可供销售的数量为c（1-20％）千克，根据单价乘以数量=总价，总价-总成本价=利润，利润=进价×利率，建立方程，求解即可.
7．【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：①当0≤t≤5时，动点P所表示的数是2t，
∵PB＝2，
∴|2t 5|＝2，
∴2t 5＝ 2，或2t 5＝2，
解得t＝ 或t＝ ；
②当5≤t≤10时，动点P所表示的数是20 2t，
∵PB＝2，
∴|20 2t 5|＝2，
∴20 2t 5＝2，或20 2t 5＝ 2，
解得t＝ 或t＝ .
综上所述，运动时间t的值为 秒或 秒或 秒或 秒.
故答案为：D.
【分析】分两种情况：①当0≤t≤5时，动点P所表示的数是2t，②当5≤t≤10时，动点P所表示的数是20 2t，由PB=2分别建立方程并解之即可.
8．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：第一次购物可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同），
①没有超过100元，即是90元，则实际购物为90；
②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，享受九折优惠，设实际购物为x元，依题意得：x×0.9=90，
解得x=100元；
第二次购物消费270元，满足一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，享受九折优惠；
设第二次实质购物价值为y元，那么依题意有y×0.9=270，
解得：y=300元；
∴他两次购物的实质价值为90+300=390或100+300=400，均超过了350元，因此均可以按照8折付款：
390×0.8=312（元），
400×0.8=320（元），
综上所述：如果小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款312元；
故答案为：C.
【分析】第一次购物可能有两种情况，①没有超过100元，则实际购物为90元；②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，设实际购物为x元，依题意得：0.9x=90，求出x的值；设第二次实质购物价值为y元，则有0.9y=270，求出y的值，可得两次购物的实质价值均超过了350元，求出享受八折优惠后的价钱，进而进行解答.
9．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）若第二次购物超过300元，
设此时所购物品价值为x元，则
90%x=288，
解得x=320，
两次所购物价值为180+320=500>300，
所以享受9折优惠，因此应付
500×90%=450（元），
这两次购物付款合并一次性付款可节省：
180+288-450=18（元），
（2）若第二次购物没有超过300元，
两次所购物价值为180+288=468（元），
这两次购物付款合并一次性付款可节省：
468×10%=46.8（元），
故答案为：C．
【分析】此题的难度较大，原因在于第二次购物的钱数并未指明是否超过300元，故应分类讨论，所以答案有两种情况。
10．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】设最中间的数为 ，由题意得，这7个数分别为： ，
A. 不是7的倍数，故A符合题意；
B. ，故B不符合题意；
C. ，故C不符合题意；
D. ，故D不符合题意，
故选：A．
【分析】设最中间的数为x ， 根据题意列出一元一次方程，解得这7个数的和是7的倍数，据此逐项分析判断即可.
11．【答案】600
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设标价为x，由题意可得(1-10%)x-40=90%×(1-10%)x+14，
解得x=600.
故答案为：600.
【分析】设标价为x，根据按标价降价10%，仍可盈利40元可得成本为(1-10%)x-40；根据降价后再九折出售，就要亏损14元可得成本价为90%×(1-10%)x+14，然后根据成本价不变列出方程，求解即可.
12．【答案】或
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】第一次操作后的两边长分别是x和（4-x），第二次操作后的两边长分别是（2x-4）和（4-x）；
第三次操作时：
①当4-x＜2x-4，即x＞时，（2x-4）-（4-x）=（4-x），解得：x=3；
②当4-x＞2x-4，即x＜时，（4-x）-（2x-4）=（2x-4），解得：x=；
综上所述，x的值可以为：或.
【分析】先求出第二次操作后的两边长分别是（2x-4）和（4-x），再分类讨论求第三次操作后的两边长，再列出方程求解即可.
13．【答案】20.7或25.3
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【解答】解：设此次的路程为x千米，
①假设此次的路程没有超过10千米，
则 8＋2.4（x－3）＝22.4 ，解得x=9，
则改乘滴滴快车从甲地到乙地，需要支付9×1.4+（9÷40×60）×0.6=20.7元；
②假设此次的路程超过10千米，
则 8＋2.4（x－3）-4.8＝22.4 ，解得x=11，
则改乘滴滴快车从甲地到乙地，需要支付11×1.4+（11÷40×60）×0.6=25.3元；
综上， 若改乘滴滴快车从甲地到乙地，则需支付20.7或25.3元
故答案为：20.7或25.3.
【分析】设此次的路程为x千米，此题需要分类讨论：①假设此次的路程没有超过10千米，②假设此次的路程超过10千米，分别根据出租车的计费方式列出方程，求解算出x的值，进而再根据滴滴快车的收费方式计算即可得出答案.
14．【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设配制比例为，由题意得：
解得x=，
则原来每千克成本为： ＝12（元），
原来每千克售价为：（元）
此时每千克成本为：（元），
此时每千克售价为：（元），
则此时售价与原售价之差为：（元）.
故答案为：3.18.
【分析】设配制比例为1：x，根据题意可得上涨后A原料的总成本为10(1+20%)元，B原料的总成本为15(1+10%)x元，配制后的总成本为(10+15x)(1+)元，然后根据A原料的总成本+B原料的总成本=配制后的总成本列出方程，求出x，然后计算出原来每千克的成本以及每千克的售价，进而求出涨价后每千克的售价以及成本，据此求解.
15．【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：第1次操作，剪下的正方形边长为a，剩下的长方形的长宽分别为a、4-a，
（1）当 时，即 时
第二次操作后，剩余长方形的长宽分别为a、4-2a，
①当 时，即 时
第三次操作剩余两边为a、4-3a，
此时为正方形，得
解得
又
不成立；
②当 ，即 时
第三次操作剩余两边边长分别为 ，
此时为正方形，得
解得 ，此时符合题意；
（2）当 ，即 时，第2次操作，剪下的正方形边长为4-a，所以剩下的长方形的两边分别为4-a、a-（4-a）=2a-4，
①当2a-4＜4-a，即a＜ 时，
则第3次操作时，剪下的正方形边长为2a-4，剩下的长方形的两边分别为2a-4、（4-a）-（2a-4）=8-3a，
则2a-4=8-3a，解得a= ；
②2a-4＞4-a，即a＞ 时
则第3次操作时，剪下的正方形边长为4-a，剩下的长方形的两边分别为4-a、（2a-4）-（4-a）=3a-8，
则4-a=3a-8，解得a= ；
故答案为： 或 或 .
【分析】第1次操作，剪下的正方形边长为a，剩下的长方形的长宽分别为a、4-a；分当 时，当 ，两种情况；若第二次操作后，剩余长方形的长宽分别为a、4-2a，分两种情况讨论；第三次操作剩余两边为a、4-3a，此时剩下的恰好为正方形，可得关于a的一元一次方程，解之即可.
16．【答案】（1）900
（2）12.5或8.2
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）根据已知容器内水的体积为15×15×4=900（cm3），
故答案为：900；
（2）①当长方体实心铁块的棱长为10cm和xcm的那一面平放在长方体的容器底面时，
则铁块浸在水中的高度为9cm，此时水位上升了5cm，铁块浸在水中的体积为10×9x=90x cm3，
∴90x=15×15×5，
解得x=12.5，
②当长方体实心铁块的棱长为10cm和10cm的那一面平放在长方体的容器底面时，
同理可得：10×10 （x-1）=15×15 （x-1-4），
解得x=8.2，
故答案为：12.5cm或8.2cm．
【分析】（1）求容器内水的体积，实质就是求长宽高分别为15cm、15cm、4cm的长方体的体积，根据长方体的体积=长×宽×高计算即可；
（2）需要分类讨论：①当长方体实心铁块的棱长为10cm和xcm的那一面平放在长方体的容器底面时，②当长方体实心铁块的棱长为10cm和10cm的那一面平放在长方体的容器底面时，分别找出铁块浸在水中的高度，根据铁块浸在水中的体积=正方体容器内水上升部分的体积建立方程，求解即可.
17．【答案】解：设甲乙两地之间的距离是xkm，
由题意，得： ，
整理，解得：x=528，
答：甲乙两地之间的距离是528km.
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】设甲乙两地之间的距离是xkm，由A、B两车分别从甲，乙两地同时出发相向行驶，在高速公路上距离丙地40km处相遇，可列方程，解之即可解决问题.
18．【答案】（1）解：根据题意，
M的运动的路程为：，
N的运动的路程为：，
点M，N在运动路线上相遇，则有：
，
解得：，
∴当时，点M，N在运动路线上相遇；
（2）解：根据题意，
M的运动的路程为：，
N的运动的路程为：
当点M，N在运动路线上相遇前：
，
解得：，
当点M，N在运动路线上相遇后：
，
解得：；
当或时，点M，N在运动路线上相距的路程为；
（3）解：存在，理由如下：
N的运动时间为：（s），
M在运动时间为：（s），
即在整个运动过程中M一直在上运动，
当直线把长方形分成两个梯形时N在，
如图：
，则，
，则，
，
，
当时，
，
解得：，
当时，
，
解得：（不合题意，舍去），
故：当时，直线把长方形分成两个梯形，且这两个梯形的面积比为.
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）根据路程=时间×速度可将点M、N运动的路程表示出来，然后由点M，N在运动路线上相遇可得关于t的方程，解方程可求解；
（2）根据路程=时间×速度可将点M、N运动的路程表示出来，分两种情况讨论：①当点M，N在运动路线上相遇前，根据点M，N在运动路线上相距的路程为5cm可得关于t的方程，解方程可求解；②当点M，N在运动路线上相遇后，根据点M，N在运动路线上相距的路程为5cm可得关于t的方程，解方程可求解；
（3）存在，理由如下：根据时间=路程÷速度可求得N的运动时间和M在AB运动时间，当直线MN把长方形分成两个梯形时，N在CD上，在整个运动过程中M一直在AB上运动，由题意可将AM、BM、CN、DN用含t的代数式表示出来，根据梯形的面积=（上底+下底）×高可将梯形AMND和梯形BMNC的面积表示出来，再根据这两个梯形面积的倍数关系可得关于t的方程，解方程可求解.
19．【答案】任务一： 设四周宽度为xcm， 长为（330-2x）cm，宽为（220-2x）cm；
任务二：∵ 中间可以用来设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55倍．
∴330-2x=1.55（220-2x）
解之：x=10.
答：四周的宽度为10cm；
任务三：（1）设每一个栏目的水平宽度为ycm，每一栏竖行两列中间间隔acm，则横向中间间隔为2acm，
∴，
解之：a=100，
答：求每个栏目的水平宽度100cm；
（2）∵，
∴长方形栏目与栏目之间中缝的间距为5cm
【知识点】列式表示数量关系；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】任务一：利用图1，可用含x的代数式分别表示出设计部分的长和宽.
任务二：根据中间可以用来设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55倍，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
任务三：（1）设每一个栏目的水平宽度为ycm，每一栏竖行两列中间间隔acm，则横向中间间隔为2acm，根据题意可得到关于a，y的方程，解方程求出a的值；（2）利用已知条件列式计算求出长方形栏目与栏目之间中缝的间距.
20．【答案】（1）解：设胡老师购买文具盲盒x个，则购买Molly盲盒（40-x）个，
由题意得10x+59（40-x）=792，
解得x=32，
∴购买Molly盲盒40-32=8个，
答：胡老师购买文具盲盒32个，Molly盲盒8个；
（2）解：①10×10+10×10×0.9+10×10×0.8+（35-30）×10×0.7=305（元），
∵200＜305＜399，
∴ 胡老师购买了35个文具盲盒，应付给该商家的钱数为305-25=280（元），
②设胡老师购买了x个文具盲盒，当10＜x＜20时，
根据题意可得10×10+10×（x-10）×0.9=181，
解得x=19，
当x=20时，胡老师需支付的费用为：10×10+10×10×0.9=190，
由于181＜190＜200，
∴故胡老师购买的文具盲盒的数量可能超过20，且总费用超过200元，即胡老师购买文具盲盒支付的费用在该商店打完折的基础上，还享受了电商平台的优惠 ，
当20 ＜x≤30时，根据题意可得10×10+10×10×0.9+10×（x-20）×0.8=181+25，解得x=22，
综上若 胡老师购买文具盲盒共花费181元，则她购买了 19个或22个.
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设胡老师购买文具盲盒x个，则购买Molly盲盒（40-x）个，根据单价乘以数量等于总价及购买x个文具盲盒的费用+购买（40-x）个Molly盲盒的费用=792，列出方程，求解即可；
（2）①用购买前10个的费用+购买第11个到第20个的费用+购买第21个到第30个的费用+购买超过30个的费用算出在该商店打完折后应付的钱数，用这个数量与电商平台的优惠政策进行比较即可求出胡老师最后需要支付的费用；②设胡老师购买了x个文具盲盒，分当10＜x＜20时，根据题意列出方程求解可得x的值；由于当x=20时，支付的费用超过181，但又没有超过200，所以故胡老师购买的文具盲盒的数量可能超过20，且总费用超过200元，当20 ＜x≤30时胡老师在该商店打完折的基础上，还享受了电商平台的优惠 ，据此列出方程，求解即可，综上即可得出答案.
21．【答案】（1）33；120
（2）解：设任意框出的9个数中的第一个数为x，则剩下的8个数分别为、、、、、、、，
∴，
∴这9个数之和一定是9的倍数；
（3）解：由题意可分①当框出的6个数都在一排时，则设第一个数为m，则剩下的5个数为、、、、，
∴
解得：，
∴不存在6个数的和为156；
②当框出的6个数分为上下两排时，则设第一个数为m，则剩下的5个数为、、、、，
∴
解得：，
∴当这6个数为22、23、24、28、29、30时，它们的和能为156；
③当框出的6个数分为三排时，则设第一个数为m，则剩下的5个数为、、、、，
∴
解得：，
∴不存在6个数的和为156；
综上所述：当这6个数为22、23、24、28、29、30时，它们的和能为156．
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】（1）解：由方阵的特征可知：每一行的开头数字为6n-5，最后一个数字是6n，
∴第6行的第3个数是，第20行的最后一个数是；
故答案为33；120；
【分析】（1）结合图1中的数据排列求解即可；
（2）设任意框出的9个数中的第一个数为x，再将所有数据相加可得，再根据结果判断即可；
（3）分类讨论，再分别列出方程求解即可。
22．【答案】（1）122.13
（2）（0.568-0.28m）
（3）解：①假设小江家12月的用电量未超过第一档，那么该月最多支付电费：
（元），
∵，
∴小江家12月份的用电量必定超过第一档；
②设小江家12月份用电量为x度，
，
解得，
（度），
即小江家用电量多，比小北家多用25度.
【知识点】列式表示数量关系；运用有理数的运算解决简单问题；一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【解答】（1）解：（元），
故答案为：122.13；
（2）解：用电量为1度，则有（元），
故答案为：（0.568-0.28m）；
【分析】（1）根据表格数据，利用单价×数量等于总价列式计算即可；
（2）根据表格数据，利用单价×数量等于总价分别表示出峰时电费与谷时电费，其和再除以总用电量即可得出答案；
（3）①假设小江家12月份的用电量未超过第一档，求出该月最多支付电费，比较即可得出答案；②设小江家12月份的用电量为x度，列方程求出小江家12月份的用电量，然后进行求解比较即可.
23．【答案】（1）15
（2）解：补全图3如下：
（3）解：A；补全图形如下：
－1 4 3
6 2 －2
1 0 5
；B.3；1
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】（1）在图2中，每行、每列、每条对角线上的三个数和为；
故答案为：15；
（3）从A，B两题中任选一题作答，我选择B；
故答案为A；
B．根据规则可知，
解得：，
设4x上方的数为m，
∵，，
∴，
解得：，即4x上方的数为1；
故答案为3，1．
【分析】（1）根据题意即可得出每行、每列、每条对角线上的三个数和；
（2）根据题意即可得出答案；
（3）从A，B两题中任选一题作答，我选择A；根据规则可知，得出x的值，设4x上方的数为m，列出方程求解，得出m的值即可。
24．【答案】（1）不是；不是
（2）解：当时
∴
当时
∴
当时
不成立
（3）解：t=10，15，20
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）∵ 点M所表示的数为-2，点N所表示的数为4，
数3到点M的距离为|3-（-2）|=5，到点N的距离为|3-4|=1，
1和5不是2倍关系，
∴数3不是[M，N]的“妙点”；
数2到点M的距离为|2-（-2）|=4，到点N的距离为|2-4|=2，
∴数2是[M，N]的“妙点”，不是[N，M]的“妙点”
故答案为：不是，不是.
（3）t=10，15，20不是
提示：解法一：①
②
③
④
⑤
⑥
解法二：由题意可知：点P，A和B中恰有一个点为其余两点的“妙点”，其本质是其中一个点为某两个点所组成的三等分点或中点.
(1)当点P在线段AB上时：
①P为中点，；
②P为三等分点，则或.
(2)当点P在线段BA的延长线上时：
①A为中点，
②A为三等分点，则
或
或
或
【分析】（1）利用阅读材料中的“妙点”定义，根据点M，N表示的数，分别求出已知数到点M，N的距离，即可作出判断.
（2）分情况讨论：当-2＜x＜4时，根据点Q是[N，M]的妙点，可得到关于x的方程，解方程求出x的值；当x＞4时，不成立.
（3）利用妙点的定义，分情况讨论：当P为[A，B]的妙点时；当P为[B，A]的妙点时；当A为[B，P]或[P，B]的妙点时；当B为[A，P]或[P，A]的妙点时；分别可得到关于t的方程，解方程求出t的值；解法二：由题意可知：点P，A和B中恰有一个点为其余两点的“妙点”，其本质是其中一个点为某两个点所组成的三等分点或中点，(1)当点P在线段AB上时：①P为中点；②P为三等分点；(2)当点P在线段BA的延长线上时：①A为中点；②A为三等分点；分别可得到关于t的方程，解方程求出t的值.
1 / 12023年浙教版数学七年级上册5.4一元一次方程的应用 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·海曙竞赛）如图，在数轴上标出若干点，每相邻两点长为1，P，Q，R，S，T对应的整数分别为p，q，r，s，t，且，则原点对应的点是（　　）
A．P B．Q C．R D．S
【答案】B
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：由图形可知：t=p+7，把t=p+7代入t+2p=1得：p+7+2p=1，解之得：p=-2，∴原点对应的点是Q。故选B.
【分析】由图形可知：t=p+7，把t=p+7代入已知的等式可得关于p的方程，解方程求得p的值，根据p的值即可判断原点所对应的点.
2．（2023·浙江模拟）如图，A，B两地相距1200m，小车从A地出发，以8m/s的速度向B地行驶，中途在C地停靠3分钟.大货车从B地出发，以5m/s的速度向A地行驶，途经D地（在A地与C地之间）时沿原路返回B点取货两次，且往返两次速度都保持不变（取货时间不计），取完两批货后再出发至A点.已知：，则直至两车都各自到达终点时，两车相遇的次数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由题意可知.
∵，
∴，，
∴，.
当大货车第一次到达D地时，用时，
∴此时小车行驶路程为.
∵640m＜800m，
∴此过程两车不相遇；
当大货车第一次由D地返回B地，且到达C地的过程中，
∵，
∴大货车到达C地用时.
假设此过程中两车相遇，且又经过t秒相遇，
则，
解得：，即说明大货车到达C地之前没相遇；
当大货车继续由C地返回B地时，
∵，
∴大货车到达B地用时.
此时大货车共行驶.
∵小车到达C地用时，
∴当大货车到达B地时，小车已经到达C地停靠.
∵小车中途在C地停靠3分钟，即，
∴当大货车到达B地时，小车在C地还需停靠.
当大货车又从B地出发前往D地时，用时，
∴当大货车到达D地时小车还在停靠，即此时第一次相遇，
∴此时小车剩余停靠时间，
∴当小车出发时，大货车第二次从D地前往B地行驶了.
假设大货车到达B地前小车能追上大货车，且用时为，
则，
解得：，即说明大货车到达B地前小车没追上大货车，
∴此过程两车没相遇.
当大货车最后由B地前往A地时，小车正在向B地行驶，
∴两车此过程必相遇.
综上可知，两车相遇的次数为2次.
故答案为：A.
【分析】由题意知，AB=1200m，AC=900m，CD=100m，AD=800m，BD=400m，然后根据了，路程、速度、时间三者的关系，分①当大货车第一次到达D地时，②当大货车第一次由D地返回B地，且到达C地的过程中，③当大货车继续由C地返回B地时，④当大货车到达B地时，小车已经到达C地停靠，⑤当大货车又从B地出发前往D地时，⑥当小车出发时，大货车第二次从D地前往B地行驶，⑦当大货车最后由B地前往A地时，小车正在向B地行驶，这么几段情景考虑即可解决问题.
3．（2023七下·义乌开学考）将，2，，4，…，60这60个整数分成两组，使得一组中所有数的和比另一组所有数的和小10，这样的分组方法有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种及以上 D．不存在
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：这60个数和为：，
设一组的和为x，则另一组的和为，
则有，解得，
所以另一组的和为10，那么分组方法有3种及以上.
故答案为：C.
【分析】由题意可得：这60个数和为30，设一组的和为x，则另一组的和为(x-10)，根据和为30建立方程，求出x的值，据此解答.
4．（2023七下·开福开学考）如图，点A在数轴上表示的数是﹣8，点B在数轴上表示的数是16．若点A以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时点B以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．问：当AB＝8时，运动时间为多少秒？（　　）
A．2秒 B．13.4秒 C．2秒或4秒 D．2秒或6秒
【答案】C
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设x秒后AB=8，则点A所表示的数为-8+6x，点B所表示的数为16-2x，
由题意得，
解得x=2或x=4.
故答案为：C.
【分析】设x秒后AB=8，根据数轴上的点所表示的数“左移减，右移加”分别表示出点A、B所表示的数，进而根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值，据此建立方程，求解即可.
5．（2022七下·诸暨期末）如图，现有3×3的方格，每个小方格内均有数字，要求方格内每一行每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，记三个数字之和为P，则P的值为（　　）
A．21 B．24 C．27 D．36
【答案】C
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：如图，
由题意可得A=P-15，
设C=x，
∴B=P-A-C=15-x.
∵B+9+E=P，
∴E=P-B-9=P-(15-X)-9=P+X-24.
∵C+9+D=P，
∴D=P-C-9=P-X-9.
∵6+D+E=P，
∴6+P-X-9+P+X-24=P，
∴-27+2P=P，
∴P=27.
故答案为：C.
【分析】根据方格内每一行每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等可得A=P-15，由A+B+C=P表示出B，由B+9+E=P表示出E，同理表示出D，再根据6+D+E=P建立关于X、P的方程，求解即可得到P的值.
6．（2022八上·慈溪期末）某大型超市购进一批特种水果，运输过程中质量损失，假设不计超市其它费用，如果超市要想至少获得的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设这种水果的售价在进价的基础上应至少提高a％，进价为b元每千克，共有c千克，根据题意得，
解得
故答案为：D.
【分析】设这种水果的售价在进价的基础上应至少提高a％，进价为b元每千克，共有c千克，则这批水果的售价为b（1+a％）元每千克，可供销售的数量为c（1-20％）千克，根据单价乘以数量=总价，总价-总成本价=利润，利润=进价×利率，建立方程，求解即可.
7．（2021七上·长沙期末）如图，数轴上的点O和点A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点.点P沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（t不超过10秒）.若点P在运动过程中，当PB＝2时，则运动时间t的值为（　　）
A． 秒或 秒
B． 秒或 秒或 秒或 秒
C．3秒或7秒或 秒或 秒
D． 秒或 秒或 秒或 秒
【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：①当0≤t≤5时，动点P所表示的数是2t，
∵PB＝2，
∴|2t 5|＝2，
∴2t 5＝ 2，或2t 5＝2，
解得t＝ 或t＝ ；
②当5≤t≤10时，动点P所表示的数是20 2t，
∵PB＝2，
∴|20 2t 5|＝2，
∴20 2t 5＝2，或20 2t 5＝ 2，
解得t＝ 或t＝ .
综上所述，运动时间t的值为 秒或 秒或 秒或 秒.
故答案为：D.
【分析】分两种情况：①当0≤t≤5时，动点P所表示的数是2t，②当5≤t≤10时，动点P所表示的数是20 2t，由PB=2分别建立方程并解之即可.
8．（2021七上·拱墅月考）某超市在“元旦”活动期间，推出如下购物优惠方案：
①一次性购物在元（不含元）以内，不享受优惠；
②一次性购物在元（含元）以上，元（不含元）以内，一律享受九折优惠；
③一次性购物在元（含元）以上，一律享受八折优惠；
小敏在该超市两次购物分别付了90 元和270元，如果小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款（　　）元
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：第一次购物可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同），
①没有超过100元，即是90元，则实际购物为90；
②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，享受九折优惠，设实际购物为x元，依题意得：x×0.9=90，
解得x=100元；
第二次购物消费270元，满足一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，享受九折优惠；
设第二次实质购物价值为y元，那么依题意有y×0.9=270，
解得：y=300元；
∴他两次购物的实质价值为90+300=390或100+300=400，均超过了350元，因此均可以按照8折付款：
390×0.8=312（元），
400×0.8=320（元），
综上所述：如果小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款312元；
故答案为：C.
【分析】第一次购物可能有两种情况，①没有超过100元，则实际购物为90元；②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，设实际购物为x元，依题意得：0.9x=90，求出x的值；设第二次实质购物价值为y元，则有0.9y=270，求出y的值，可得两次购物的实质价值均超过了350元，求出享受八折优惠后的价钱，进而进行解答.
9．（2021七下·高平期末）某超市为了回馈顾客，若一次性购物不超过300元不优惠，超过300元时按全额9折优惠．一位顾客第一次购物付款180元，第二次购物付款288元，若这两次购物付款合并一次性付款可节省（　　）
A．18元 B．16元 C．18或46.8元 D．46.8元
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）若第二次购物超过300元，
设此时所购物品价值为x元，则
90%x=288，
解得x=320，
两次所购物价值为180+320=500>300，
所以享受9折优惠，因此应付
500×90%=450（元），
这两次购物付款合并一次性付款可节省：
180+288-450=18（元），
（2）若第二次购物没有超过300元，
两次所购物价值为180+288=468（元），
这两次购物付款合并一次性付款可节省：
468×10%=46.8（元），
故答案为：C．
【分析】此题的难度较大，原因在于第二次购物的钱数并未指明是否超过300元，故应分类讨论，所以答案有两种情况。
10．（2021七上·海曙期末）如图，表中给出的是2021年1月份的月历，任意选取“工”型框中的7个数（如阴影部分所示）．请你运用所学的数学知识来研究，则这7个数的和不可能是（　　）
A．76 B．91 C．140 D．16l
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】设最中间的数为 ，由题意得，这7个数分别为： ，
A. 不是7的倍数，故A符合题意；
B. ，故B不符合题意；
C. ，故C不符合题意；
D. ，故D不符合题意，
故选：A．
【分析】设最中间的数为x ， 根据题意列出一元一次方程，解得这7个数的和是7的倍数，据此逐项分析判断即可.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2023·宁波竞赛）某商品随季节变化降价出售，如果按标价降价10%，仍可盈利40元．如果降价后再九折出售，就要亏损14元，则这件商品的标价是 　 　元．
【答案】600
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设标价为x，由题意可得(1-10%)x-40=90%×(1-10%)x+14，
解得x=600.
故答案为：600.
【分析】设标价为x，根据按标价降价10%，仍可盈利40元可得成本为(1-10%)x-40；根据降价后再九折出售，就要亏损14元可得成本价为90%×(1-10%)x+14，然后根据成本价不变列出方程，求解即可.
12．（2023七下·自贡期末）在长为，宽为（）的长方形纸片上，从它的一侧，剪去一个以长方形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的长方形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则的值为　 　．
【答案】或
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】第一次操作后的两边长分别是x和（4-x），第二次操作后的两边长分别是（2x-4）和（4-x）；
第三次操作时：
①当4-x＜2x-4，即x＞时，（2x-4）-（4-x）=（4-x），解得：x=3；
②当4-x＞2x-4，即x＜时，（4-x）-（2x-4）=（2x-4），解得：x=；
综上所述，x的值可以为：或.
【分析】先求出第二次操作后的两边长分别是（2x-4）和（4-x），再分类讨论求第三次操作后的两边长，再列出方程求解即可.
13．（2022七上·龙港期中）下表是某市居民出行方式以及收费标准：（不足1千米按1千米算）
打车方式 出租车 3千米以内8元；超过3千米的部分2.4元/千米
滴滴快车 路程：1.4元/千米；时间：0.6元/分钟
说明 打车的平均车速40千米/时
假设乘坐8千米，耗时：8÷40×60＝12分钟；出租车收费：8＋（8－3）×2.4＝20元；滴滴快车收费：8×1.4＋12×0.6＝18.4元．
为了提升市场竞争力，出租车公司推出行使里程超过10千米立减4.8元活动．小聪乘坐出租车从甲地到达乙地支付车费22.4元，若改乘滴滴快车从甲地到乙地，则需支付　 　元．
【答案】20.7或25.3
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【解答】解：设此次的路程为x千米，
①假设此次的路程没有超过10千米，
则 8＋2.4（x－3）＝22.4 ，解得x=9，
则改乘滴滴快车从甲地到乙地，需要支付9×1.4+（9÷40×60）×0.6=20.7元；
②假设此次的路程超过10千米，
则 8＋2.4（x－3）-4.8＝22.4 ，解得x=11，
则改乘滴滴快车从甲地到乙地，需要支付11×1.4+（11÷40×60）×0.6=25.3元；
综上， 若改乘滴滴快车从甲地到乙地，则需支付20.7或25.3元
故答案为：20.7或25.3.
【分析】设此次的路程为x千米，此题需要分类讨论：①假设此次的路程没有超过10千米，②假设此次的路程超过10千米，分别根据出租车的计费方式列出方程，求解算出x的值，进而再根据滴滴快车的收费方式计算即可得出答案.
14．（2022七下·重庆市月考）茶百道生产的一种由A、B两种原料按一定比例配制而成的奶茶，其中A原料成本价为10元/千克，B原料成本价为15元/千克，按现行价格销售每千克奶茶可获得4.8元的利润.由于物价上涨，A原料上涨20%，B原料上涨10%，配制后的总成本增加.茶百道为了拓展市场，打算再投入现总成本的10%做广告宣传，使得销售成本再次增加，如果要保证每千克的利润不变，则此时这种奶茶每千克的售价与原售价之差为　 　元
【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设配制比例为，由题意得：
解得x=，
则原来每千克成本为： ＝12（元），
原来每千克售价为：（元）
此时每千克成本为：（元），
此时每千克售价为：（元），
则此时售价与原售价之差为：（元）.
故答案为：3.18.
【分析】设配制比例为1：x，根据题意可得上涨后A原料的总成本为10(1+20%)元，B原料的总成本为15(1+10%)x元，配制后的总成本为(10+15x)(1+)元，然后根据A原料的总成本+B原料的总成本=配制后的总成本列出方程，求出x，然后计算出原来每千克的成本以及每千克的售价，进而求出涨价后每千克的售价以及成本，据此求解.
15．（2021七上·南浔期末）将长为4宽为a（a大于1且小于4）的长方形纸片按如图所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按同样的方式操作，称为第二次操作；如此反复操作下去 ，若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止.当 时，a的值为　 　.
【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：第1次操作，剪下的正方形边长为a，剩下的长方形的长宽分别为a、4-a，
（1）当 时，即 时
第二次操作后，剩余长方形的长宽分别为a、4-2a，
①当 时，即 时
第三次操作剩余两边为a、4-3a，
此时为正方形，得
解得
又
不成立；
②当 ，即 时
第三次操作剩余两边边长分别为 ，
此时为正方形，得
解得 ，此时符合题意；
（2）当 ，即 时，第2次操作，剪下的正方形边长为4-a，所以剩下的长方形的两边分别为4-a、a-（4-a）=2a-4，
①当2a-4＜4-a，即a＜ 时，
则第3次操作时，剪下的正方形边长为2a-4，剩下的长方形的两边分别为2a-4、（4-a）-（2a-4）=8-3a，
则2a-4=8-3a，解得a= ；
②2a-4＞4-a，即a＞ 时
则第3次操作时，剪下的正方形边长为4-a，剩下的长方形的两边分别为4-a、（2a-4）-（4-a）=3a-8，
则4-a=3a-8，解得a= ；
故答案为： 或 或 .
【分析】第1次操作，剪下的正方形边长为a，剩下的长方形的长宽分别为a、4-a；分当 时，当 ，两种情况；若第二次操作后，剩余长方形的长宽分别为a、4-2a，分两种情况讨论；第三次操作剩余两边为a、4-3a，此时剩下的恰好为正方形，可得关于a的一元一次方程，解之即可.
16．（2022七上·衢江期末）实验室里有一个水平放置的正方体容器，从内部量得它的棱长为15cm，容器内的水深为4cm、现往容器内放入如图所示的长方体实心铁块（铁块一面平放在容器底面），过顶点A的三条棱的长分别10cm，10cm，xcm（x<15）．
（1）容器内水的体积为　 　 cm3
（2）当铁块的顶部高出水面1cm时，x的值为　 　．
【答案】（1）900
（2）12.5或8.2
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）根据已知容器内水的体积为15×15×4=900（cm3），
故答案为：900；
（2）①当长方体实心铁块的棱长为10cm和xcm的那一面平放在长方体的容器底面时，
则铁块浸在水中的高度为9cm，此时水位上升了5cm，铁块浸在水中的体积为10×9x=90x cm3，
∴90x=15×15×5，
解得x=12.5，
②当长方体实心铁块的棱长为10cm和10cm的那一面平放在长方体的容器底面时，
同理可得：10×10 （x-1）=15×15 （x-1-4），
解得x=8.2，
故答案为：12.5cm或8.2cm．
【分析】（1）求容器内水的体积，实质就是求长宽高分别为15cm、15cm、4cm的长方体的体积，根据长方体的体积=长×宽×高计算即可；
（2）需要分类讨论：①当长方体实心铁块的棱长为10cm和xcm的那一面平放在长方体的容器底面时，②当长方体实心铁块的棱长为10cm和10cm的那一面平放在长方体的容器底面时，分别找出铁块浸在水中的高度，根据铁块浸在水中的体积=正方体容器内水上升部分的体积建立方程，求解即可.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022七上·江油月考）由甲地到乙地前三分之二的路是高速公路，后三分之一的路是普通公路，高速公路和普通公路交界处是丙地．车在高速公路上的行驶速度是，在普通公路上的行驶速度是；车在高速公路上的行驶速度是，在普通公路上的行驶速度是，，两车分别从甲，乙两地同时出发相向行驶．在高速公路上距离丙地处相遇，求甲，乙两地之间的距离是多少？
【答案】解：设甲乙两地之间的距离是xkm，
由题意，得： ，
整理，解得：x=528，
答：甲乙两地之间的距离是528km.
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】设甲乙两地之间的距离是xkm，由A、B两车分别从甲，乙两地同时出发相向行驶，在高速公路上距离丙地40km处相遇，可列方程，解之即可解决问题.
18．（2023七下·长泰期中）如图，在长方形中，，，点M以的速度从点A出发，沿的路线运动，点N以的速度从点D出发，沿的路线运动.若点M，N同时出发，当点N回到点D时，M，N两点同时停止运动.运动时间为t（s）.
（1）当t为何值时，点M，N在运动路线上相遇；
（2）当t为何值时，点M，N在运动路线上相距的路程为；
（3）在整个运动过程中，是否存在直线把长方形分成两个梯形，且这两个梯形的面积比为，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：根据题意，
M的运动的路程为：，
N的运动的路程为：，
点M，N在运动路线上相遇，则有：
，
解得：，
∴当时，点M，N在运动路线上相遇；
（2）解：根据题意，
M的运动的路程为：，
N的运动的路程为：
当点M，N在运动路线上相遇前：
，
解得：，
当点M，N在运动路线上相遇后：
，
解得：；
当或时，点M，N在运动路线上相距的路程为；
（3）解：存在，理由如下：
N的运动时间为：（s），
M在运动时间为：（s），
即在整个运动过程中M一直在上运动，
当直线把长方形分成两个梯形时N在，
如图：
，则，
，则，
，
，
当时，
，
解得：，
当时，
，
解得：（不合题意，舍去），
故：当时，直线把长方形分成两个梯形，且这两个梯形的面积比为.
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）根据路程=时间×速度可将点M、N运动的路程表示出来，然后由点M，N在运动路线上相遇可得关于t的方程，解方程可求解；
（2）根据路程=时间×速度可将点M、N运动的路程表示出来，分两种情况讨论：①当点M，N在运动路线上相遇前，根据点M，N在运动路线上相距的路程为5cm可得关于t的方程，解方程可求解；②当点M，N在运动路线上相遇后，根据点M，N在运动路线上相距的路程为5cm可得关于t的方程，解方程可求解；
（3）存在，理由如下：根据时间=路程÷速度可求得N的运动时间和M在AB运动时间，当直线MN把长方形分成两个梯形时，N在CD上，在整个运动过程中M一直在AB上运动，由题意可将AM、BM、CN、DN用含t的代数式表示出来，根据梯形的面积=（上底+下底）×高可将梯形AMND和梯形BMNC的面积表示出来，再根据这两个梯形面积的倍数关系可得关于t的方程，解方程可求解.
19．（2023七上·温州期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计宣传牌？
素材1 如图1是长方形宣传牌，长330cm，宽220cm，拟在上面书写24个字． (1)中间可以用来设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55倍． (2)四周空白部分的宽度相等．
素材2 如图2，为了美观，将设计部分分割成大小相等的左、中、右三个长方形栏目，栏目与栏目之间的中逢间距相等．
素材3 如图3，每栏划出正方形方格，中间有十字间隔，竖行两列中间间隔和横向中间间隔宽度比为1：2．
问题解决
任务1 分析数量关系 设四周宽度为xcm，用含x的代数式分别表示设计部分的长和宽．
任务2 确定四周宽度 求出四周宽度x的值．
任务3 确定栏目大小 (1)求每个栏目的水平宽度． (2)求长方形栏目与栏目之间中缝的间距．
【答案】任务一： 设四周宽度为xcm， 长为（330-2x）cm，宽为（220-2x）cm；
任务二：∵ 中间可以用来设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55倍．
∴330-2x=1.55（220-2x）
解之：x=10.
答：四周的宽度为10cm；
任务三：（1）设每一个栏目的水平宽度为ycm，每一栏竖行两列中间间隔acm，则横向中间间隔为2acm，
∴，
解之：a=100，
答：求每个栏目的水平宽度100cm；
（2）∵，
∴长方形栏目与栏目之间中缝的间距为5cm
【知识点】列式表示数量关系；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】任务一：利用图1，可用含x的代数式分别表示出设计部分的长和宽.
任务二：根据中间可以用来设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55倍，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
任务三：（1）设每一个栏目的水平宽度为ycm，每一栏竖行两列中间间隔acm，则横向中间间隔为2acm，根据题意可得到关于a，y的方程，解方程求出a的值；（2）利用已知条件列式计算求出长方形栏目与栏目之间中缝的间距.
20．（2023七上·金东期末）盲盒近来火爆，其主打“盲”，盒子上不会标注里面是什么，只有打开才会知道，有越多惊喜，所以深受中学生的喜爱.寒假将近，胡老师准备网购以下两款盲盒若干个，作为新年礼物奖励给班里有学习进步的同学.
类型 介绍 图片 单价
文具盲盒 里面可能包含笔袋、中性笔、笔记本、手账本、便签、胶带等各种学习用品，能开出什么文具，纯凭个人手气. 10元/个
Molly盲盒 泡泡玛特是国内最火的盲盒品牌，而Molly则被称为“泡泡玛特一姐”，一个系列有12个不同Molly造型，也有可能会抽到隐藏款哦. 59元/个
（1）若胡老师网购两种盲盒共40个，花费792元，则两种盲盒各采购了多少个？
（2）为清理库存，文具盲盒店家现推出优惠活动：
购买数量 每个售价
前10个 标价
第11个到第20个 标价的九折
第21个到第30个 标价的八折
超过30个 标价的七折
此时正巧碰上电商平台的年货节，在该商店打完折的基础上，还可以享受电商平台的优惠：每满200-25（即总价在200元到399元可以优惠少付25元；总价400元到599元可以优惠少付50元；总价600元到799元可以优惠少付75元；）
①若胡老师购买了35个文具盲盒，应付给该商家多少钱？
②若胡老师购买文具盲盒共花费181元，则她购买了几个文具直盒？
【答案】（1）解：设胡老师购买文具盲盒x个，则购买Molly盲盒（40-x）个，
由题意得10x+59（40-x）=792，
解得x=32，
∴购买Molly盲盒40-32=8个，
答：胡老师购买文具盲盒32个，Molly盲盒8个；
（2）解：①10×10+10×10×0.9+10×10×0.8+（35-30）×10×0.7=305（元），
∵200＜305＜399，
∴ 胡老师购买了35个文具盲盒，应付给该商家的钱数为305-25=280（元），
②设胡老师购买了x个文具盲盒，当10＜x＜20时，
根据题意可得10×10+10×（x-10）×0.9=181，
解得x=19，
当x=20时，胡老师需支付的费用为：10×10+10×10×0.9=190，
由于181＜190＜200，
∴故胡老师购买的文具盲盒的数量可能超过20，且总费用超过200元，即胡老师购买文具盲盒支付的费用在该商店打完折的基础上，还享受了电商平台的优惠 ，
当20 ＜x≤30时，根据题意可得10×10+10×10×0.9+10×（x-20）×0.8=181+25，解得x=22，
综上若 胡老师购买文具盲盒共花费181元，则她购买了 19个或22个.
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设胡老师购买文具盲盒x个，则购买Molly盲盒（40-x）个，根据单价乘以数量等于总价及购买x个文具盲盒的费用+购买（40-x）个Molly盲盒的费用=792，列出方程，求解即可；
（2）①用购买前10个的费用+购买第11个到第20个的费用+购买第21个到第30个的费用+购买超过30个的费用算出在该商店打完折后应付的钱数，用这个数量与电商平台的优惠政策进行比较即可求出胡老师最后需要支付的费用；②设胡老师购买了x个文具盲盒，分当10＜x＜20时，根据题意列出方程求解可得x的值；由于当x=20时，支付的费用超过181，但又没有超过200，所以故胡老师购买的文具盲盒的数量可能超过20，且总费用超过200元，当20 ＜x≤30时胡老师在该商店打完折的基础上，还享受了电商平台的优惠 ，据此列出方程，求解即可，综上即可得出答案.
21．（2023七上·中山期末）将连续的自然数1到150按图1的方式排列成一个方阵：
（1）在图1中，第6行的第3个数是　 　，第20行的最后一个数是　 　；
（2）如图2，用一个正方形在该方阵中任意框出9个数，请用代数方法说明这9个数之和一定是9的倍数；
（3）如图3，若用如图所示的长方形在该方阵中任意框出6个数，这6个数之和能等于156吗？如果能，请求出这6个数；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）33；120
（2）解：设任意框出的9个数中的第一个数为x，则剩下的8个数分别为、、、、、、、，
∴，
∴这9个数之和一定是9的倍数；
（3）解：由题意可分①当框出的6个数都在一排时，则设第一个数为m，则剩下的5个数为、、、、，
∴
解得：，
∴不存在6个数的和为156；
②当框出的6个数分为上下两排时，则设第一个数为m，则剩下的5个数为、、、、，
∴
解得：，
∴当这6个数为22、23、24、28、29、30时，它们的和能为156；
③当框出的6个数分为三排时，则设第一个数为m，则剩下的5个数为、、、、，
∴
解得：，
∴不存在6个数的和为156；
综上所述：当这6个数为22、23、24、28、29、30时，它们的和能为156．
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】（1）解：由方阵的特征可知：每一行的开头数字为6n-5，最后一个数字是6n，
∴第6行的第3个数是，第20行的最后一个数是；
故答案为33；120；
【分析】（1）结合图1中的数据排列求解即可；
（2）设任意框出的9个数中的第一个数为x，再将所有数据相加可得，再根据结果判断即可；
（3）分类讨论，再分别列出方程求解即可。
22．（2023七上·江北期末）小江同学注意到妈妈手机中的电费短信（如下左图），对其中的数据产生了浓厚的兴趣，谷度是什么意思 电费是如何计算的 第一档与第二档又有什么关系？
表1：宁波市居民生活用电标准（部分修改）
电压等级 普通电价（元/度） 峰谷电价（元/度）
峰时电价 谷时电价
第一档 年用电量不超过2760度的部分 0.538 0.568 0.288
第二档 年用电量超过2760度但不超过4800度的部分 0.588 0.618 0.338
第三档 年用电量超过4800度的部分 0.838 0.868 0.588
【解读信息】
通过互联网查询后获得上表（如表1）.小江家采用峰谷电价计费，谷时用电量为85度，那么峰时用电量就是度，由于小江家年用电量处在第一档，故9月份电费为： .
第一档年用电量的上限为2760度，所以截至9月底小江家已经用电2760－581＝2179度.不难发现，第二档所有电价均比第一档提高0.05元/度，第三档所有电价均比第一档提高0.3元/度.
【理解信息】
（1）若采用普通电价计费，小江家九月份的电费为　 　元.（精确到）
（2）若采用峰谷电价计费，假设某月谷时用电量与月用电量的比值为m，那么处在第一档的1度电的电费可以表示成　 　元.（用含有m的代数式表示）
（3）【重构信息】
12月份，小江家谷时用电量与月用电量的比值为0.2.请根据上述对话完成下列问题：
①通过计算判断：截至12月底小江家的年用电量是否仍处于第一档？
②12月份谁家的用电量多，多了多少？
【答案】（1）122.13
（2）（0.568-0.28m）
（3）解：①假设小江家12月的用电量未超过第一档，那么该月最多支付电费：
（元），
∵，
∴小江家12月份的用电量必定超过第一档；
②设小江家12月份用电量为x度，
，
解得，
（度），
即小江家用电量多，比小北家多用25度.
【知识点】列式表示数量关系；运用有理数的运算解决简单问题；一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【解答】（1）解：（元），
故答案为：122.13；
（2）解：用电量为1度，则有（元），
故答案为：（0.568-0.28m）；
【分析】（1）根据表格数据，利用单价×数量等于总价列式计算即可；
（2）根据表格数据，利用单价×数量等于总价分别表示出峰时电费与谷时电费，其和再除以总用电量即可得出答案；
（3）①假设小江家12月份的用电量未超过第一档，求出该月最多支付电费，比较即可得出答案；②设小江家12月份的用电量为x度，列方程求出小江家12月份的用电量，然后进行求解比较即可.
23．（2021七上·太原期末）阅读材料，解答下列问题：
幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都和等．
（1）在图2中，每行、每列、每条对角线上三个数的和为　 　；
（2）设图3所示的三阶幻方中间的数为x（x为整数），请用含x的代数式将图3幻方补充完整；
（3）从A，B两题中任选一题作答．我选择 ▲ 题．
A．将－2，－1，0，1，2，3，4，5，6这9个数中除－1，2，5外的6个数填入图4中其余的方格中，使其成为一个三阶幻方．
B．如图5是一个三阶幻方，按方格中已给的信息，x的值为 ▲ ，4x上方的方格中的数为 ▲ ．
【答案】（1）15
（2）解：补全图3如下：
（3）解：A；补全图形如下：
－1 4 3
6 2 －2
1 0 5
；B.3；1
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】（1）在图2中，每行、每列、每条对角线上的三个数和为；
故答案为：15；
（3）从A，B两题中任选一题作答，我选择B；
故答案为A；
B．根据规则可知，
解得：，
设4x上方的数为m，
∵，，
∴，
解得：，即4x上方的数为1；
故答案为3，1．
【分析】（1）根据题意即可得出每行、每列、每条对角线上的三个数和；
（2）根据题意即可得出答案；
（3）从A，B两题中任选一题作答，我选择A；根据规则可知，得出x的值，设4x上方的数为m，列出方程求解，得出m的值即可。
24．（2022七上·余姚竞赛）【阅读理解】
若A，B，C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是[A，B]的“妙点”．例如，如图1，点A表示的数为-1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是[A，B]的“妙点”.又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是[A，B]的“妙点”，但点D是[B，A]的“妙点”．
【知识应用】
如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为4．
（1）数3　 　(填“是”或“不是”）[M，N]的“妙点”，数2　 　(填“是”或“不是”）[N，M]的“妙点”.
（2）若数轴上有一点Q表示的数是x，且点Q是[N，M]的妙点，求x的值.
（3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为-40，点B所表示的数为20．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，点P，A和B中恰有一个点为其余两点的“妙点”？（请直接写出答案）
【答案】（1）不是；不是
（2）解：当时
∴
当时
∴
当时
不成立
（3）解：t=10，15，20
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）∵ 点M所表示的数为-2，点N所表示的数为4，
数3到点M的距离为|3-（-2）|=5，到点N的距离为|3-4|=1，
1和5不是2倍关系，
∴数3不是[M，N]的“妙点”；
数2到点M的距离为|2-（-2）|=4，到点N的距离为|2-4|=2，
∴数2是[M，N]的“妙点”，不是[N，M]的“妙点”
故答案为：不是，不是.
（3）t=10，15，20不是
提示：解法一：①
②
③
④
⑤
⑥
解法二：由题意可知：点P，A和B中恰有一个点为其余两点的“妙点”，其本质是其中一个点为某两个点所组成的三等分点或中点.
(1)当点P在线段AB上时：
①P为中点，；
②P为三等分点，则或.
(2)当点P在线段BA的延长线上时：
①A为中点，
②A为三等分点，则
或
或
或
【分析】（1）利用阅读材料中的“妙点”定义，根据点M，N表示的数，分别求出已知数到点M，N的距离，即可作出判断.
（2）分情况讨论：当-2＜x＜4时，根据点Q是[N，M]的妙点，可得到关于x的方程，解方程求出x的值；当x＞4时，不成立.
（3）利用妙点的定义，分情况讨论：当P为[A，B]的妙点时；当P为[B，A]的妙点时；当A为[B，P]或[P，B]的妙点时；当B为[A，P]或[P，A]的妙点时；分别可得到关于t的方程，解方程求出t的值；解法二：由题意可知：点P，A和B中恰有一个点为其余两点的“妙点”，其本质是其中一个点为某两个点所组成的三等分点或中点，(1)当点P在线段AB上时：①P为中点；②P为三等分点；(2)当点P在线段BA的延长线上时：①A为中点；②A为三等分点；分别可得到关于t的方程，解方程求出t的值.
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