第1章二次函数章末重难点检测卷（含解析）2023-2024学年九年级数学上册浙教版

第1章 二次函数 章末重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（本大题共10小题,每小题3分,共30分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分）
（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期末）
1．抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
（2018秋·浙江杭州·九年级校联考期中）
2．已知 ， 是函数上的点，则
A． B． C． D．， 的大小关系不确定
（2023春·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）
3．已知点，是抛物线上两点，若，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
（2023春·浙江金华·九年级校联考阶段练习）
4．如图，抛物线（a，b，c为常数，且）交x轴于，两点，则不等式的解为（ ）

A． B． C．或 D．或
（2023秋·浙江·九年级专题练习）
5．同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·浙江·九年级专题练习）
6．某市公园欲修建一个圆型喷泉池，在水池中垂直于地面安装一个柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图所示），水平距离与水流喷出的高度之间的关系式为，则水流喷出的最大高度是（ ）

A． B． C． D．
（2023·浙江·九年级假期作业）
7．已知二次函数（m为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最小值为3，则m的值为（ ）
A．0或3 B．0或7 C．3或4 D．4或7
（2023·浙江·九年级假期作业）
8．游乐园里的大摆锤如图1所示，它的简化模型如图2，当摆锤第一次到达左侧最高点A点时开始计时，摆锤相对地面的高度y随时间t变化的图象如图3所示．摆锤从A点出发再次回到A点需要（ ）秒．

A．2 B．4 C．6 D．8
（2023春·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）
9．已知函数，当时，自变量x等于1，函数值y有最大值1，则的最大值为（ ）
A．2 B．0 C． D．
（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）
10．如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③抛物线另一个交点在到之间；④当时，；⑤一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①④⑤ C．②④⑤ D．②③⑤
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
（2023秋·浙江·九年级专题练习）
11．若点，在抛物线上，则，的大小关系为： （填“＞”，“=”或“＜”）．
（2023秋·浙江·九年级专题练习）
12．已知如图，平面直角坐标系中，一条直线与抛物线相交于、两点，求当时的x的取值范围是 ．

（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）
13．已知抛物线：上有两点，，点为该抛物线的顶点，且满足，则的取值范围是 ．
（2022秋·浙江温州·九年级统考阶段练习）
14．“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为，，，水嘴高，则水柱落地点到水嘴所在墙的距离是 ．

（2023秋·浙江·九年级专题练习）
15．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④．则a、b、c、d的大小关系为 ．

（2023·浙江·九年级假期作业）
16．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点在抛物线上，点E在直线上，若，则点E的坐标是 ．

三、解答题(本大题共7小题,共66分)
（2023·浙江·九年级假期作业）
17．已知二次函数
(1)求开口方向、对称轴及顶点坐标;
(2)当x为何值时，y随x增大而减小，当x为何值时，y随x增大而增大．
（2023·浙江·九年级假期作业）
18．已知二次函数部分自变量与函数值的对应值如下表所示：
… …
… …
(1)求二次函数解析式；
(2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象；
(3)当时，的取值范围是____________．
（2023春·浙江杭州·八年级杭州市杭州中学校考期中）
19．一个物体从地面竖直向上抛，有这样的关系式：（不计空气阻力），其中是物体距离地面的高度，是初速度，是重力加速度（g取），t是抛出后所经历的时间．圆圆用发射器（发射器的高度忽略不计）将一个小球以的初速度从地面竖直向上抛．
(1)当小球的高度为米时，求时间的值；
(2)小球的高度能达到米吗？请作出判断，并说明理由．
（2023·浙江湖州·统考二模）
20．如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)将该抛物线向下平移n个单位，使得平移后的抛物线经过点，求n的值．
（2023·浙江·九年级假期作业）
21．原地正面掷实心球是体育训练项目之一、受测者站在起掷线后，被掷出的实心球进行斜抛运动，实心球着陆点到起掷线的距离即为此项目成绩．实心球的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，实心球从出手到着陆的过程中，竖直高度y（m）与水平距离x（m）近似满足函数关系（）．小明使用内置传感器的智能实心球进行掷实心球训练．

(1)第一次训练时，智能实心球回传的水平距离x（m）与竖直高度y（m）的几组对应数据如下：
水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 7
竖直高度y/m
求出y与x近似满足的函数关系式，并求本次训练的成绩．
(2)第二次训练时，y与x近似满足函数关系，则第二次训练成绩与第一次相比是否有提高？为什么？若有提高，提高了多少？
（2022秋·浙江金华·九年级校考期中）
22．如图，二次函数的图象与轴相交于点A，与反比例函数的图象相交于点．

(1)求这两个函数的表达式；
(2)当随的增大而增大，且时，直接写出的取值范围；
(3)平行于轴的直线与函数的图象相交于点、（点在点的右边），与函数的图象相交于点．若与的面积相等，求点的坐标．
（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）
23．已知二次函数．
(1)若，求该函数图象的顶点坐标．
(2)若当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，求m的取值范围．
(3)若函数，点都在函数的图象上，且，求n的取值范围．（用含m的代数式表示）
（2023春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）
24．如图，直线与抛物线交于两点，点在轴上，点在轴上．

(1)求两点的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)在第三象限的抛物线上存在一点，使得的面积是面积的两倍，求点的坐标以及此时的面积．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据题目中抛物线的解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标．
【详解】解：抛物线，
该抛物线的顶点坐标为，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是会根据顶点式，直接写出顶点坐标．
2．B
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出a，b的值，比较后即可得出结论．
【详解】解：∵，是函数上的点，
∴，，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征求出a，b的值是解题的关键．
3．B
【分析】先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的增减性得到结论．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线开口向上，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而减少，
∵点，是抛物线上两点，且，
∴与的大小关系是．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
4．D
【分析】由抛物线与x轴的两个交点和开口向下可得不等式的解集是或，且，进而可得不等式的解为或.
【详解】解：∵抛物线交x轴于A，B两点，且抛物线开口向下，
∴不等式的解集是或，且，
∴不等式的解为或；
故选：D.
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，正确理解抛物线与x轴的交点与对应不等式的关系、数形结合是解题的关键.
5．D
【分析】可先根据一次函数的图象判断a，b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【详解】解：A、由一次函数的图象可得：两个a的符号不一致， 故错误；
B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的顶点，，矛盾，故错误；
C、由一次函数的图象可得：，由其与y轴的交点可知，矛盾，故错误；
D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的顶点，，故正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
6．D
【分析】将配方成顶点式求解即可．
【详解】
∴当时，y取得最大值4，
∴水流喷出的最大高度是．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
7．B
【分析】利用二次函数的性质，分三种情况求解即可．
【详解】解：∵，
∴当时，y的最小值为．
当时，在中，y随x的增大而增大，
∴，
解得：，（舍去）；
当时，y的最小值为，舍去；
当时，在中，y随x的增大而减小，
∴，
解得：（舍去），．
∴m的值为0或7．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，分三种情况求解是解题的关键．
8．D
【分析】根据函数图象即可解答．
【详解】由函数图象发现当摆锤第一次到达左侧最高点到第一次到达右侧最高点一共用了4秒，从右侧最高点回到左侧最高点也是4秒，
∴摆锤从A点出发再次回到A点需要秒，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，正确从图象中获取信息是解题的关键．
9．D
【分析】由，可知抛物线开口向下，对称轴为直线，由当时，自变量x等于1，函数值y有最大值1，可得，，即，，根据，求最值即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∵当时，自变量x等于1，函数值y有最大值1，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
10．D
【分析】①根据抛物线的对称轴公式即可求解；②当x等于1时，y等于n，再利用对称轴公式即可求解；③根据抛物线的对称性即可求解；④根据抛物线的平移即可求解；⑤根据一元二次方程的判别式即可求解．
【详解】解：①因为抛物线的顶点坐标为，则其对称轴为，
即，所以，所以①错误；
②当时，，
所以，因为，
所以，所以②正确；
③因为抛物线的对称轴为，
且与x轴的一个交点在点和之间，
所以抛物线另一个交点在到之间；所以③正确；
④因为，即，
根据图象可知：
把抛物线图象向下平移c个单位后图象过原点，
即可得抛物线的图象，
所以当时，，
即．所以④错误；
⑤一元二次方程，
，
因为根据图象可知：，，
所以，
所以，
所以一元二次方程有两个不相等的实数根．
所以⑤正确．
综上，正确的有②③⑤，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式、根的判别式、二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解决本题的关键是综合运用以上知识．
11．
【分析】分别求出，的值，再比较大小即可．
【详解】解：∵点，在抛物线上，
∴，
∴．
故答案为：.
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
12．或
【分析】根据图象结合A，B两点的坐标求解即可．
【详解】解：由图象可得，
∵、
∴当或时，．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，利用数形结合的思想，熟练掌握数形结合思想是解本题的关键．
13．
【分析】根据二次函数图像的对称轴可得点关于对称轴的对称点的坐标为，结合图形的性质，不等式的求值方法即可求解．
【详解】解：∵的顶点为，
∴，
①当时，二次函数图形开口向上，
∴点关于对称轴的对称点的坐标为，
∵
∴，解得，；
②当时，二次函数图形开口向下，
∵二次函数的顶点为，即时，二次函数有最大值为，
∴当时不符合题意；
综上所示，的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，不等式的性质解不等式，掌握以上知识，图形结合分析方法是解题的关键．
14．6
【分析】以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，易得点和点的坐标，设抛物线的解析式为：，代入点的坐标求得函数的解析式，再求出点的坐标即可得到的长度．
【详解】解：以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，

则，，，
∵点是最高点，
∴设抛物线的解析式为：，
将点坐标代入，可得：，
解得：，
∴，
令，解得：，，
∴点，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，建立适当的坐标系，设出顶点式是解题的关键．
15．
【分析】设，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．
【详解】解：因为直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，，
所以，．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图象，本题采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小是解题的关键．
16．和
【分析】先根据题意画出图形，先求出点坐标，当点在线段上时:是△DCE的外角，，而，所以此时，有，可求出所在直线的解析式，设点坐标，再根据两点距离公式，，得到关于的方程，求解的值，即可求出点坐标；当点在线段的延长线上时，根据题中条件，可以证明，得到为直角三角形，延长至，取，此时，，从而证明是要找的点，应为，为等腰直角三角形， 点和关于点对称，可以根据点坐标求出点坐标．
【详解】解：在中，当时，，则有，
令，则有，
解得：，
∴，
根据点坐标，有
所以点坐标

设所在直线解析式为，其过点、
有，
解得
∴所在直线的解析式为：
当点在线段上时，设
而
∴
∴
因为：，，
有
解得：，
所以点的坐标为:
当在的延长线上时，
在中，，,
∴
∴
如图延长至，取，

则有为等腰三角形，，
∴
又∵
∴
则为符合题意的点，
∵
∴
的横坐标：，纵坐标为；
综上E点的坐标为：或，
故答案为：或
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合应用，熟练掌握一次函数根二次函数的图象和性质，分情况找到点的位置，是求解此题的关键．
17．(1)开口向下，对称轴为：直线，顶点坐标为：；
(2)时，y随x增大而减小，时，y随x增大而增大．
【分析】（1）根据二次函数的性质进行解答即可；
（2）根据对称轴的开口方向朝下，在对称轴的左侧，y随x增大而增大，在对称轴的右侧，y随x增大而增大减小进行解答即可．
【详解】（1）解：，
∵，
∴抛物线的开口向下，
对称轴为：直线，顶点坐标为：；
（2）解：∵抛物线的开口向下，
∴时，y随x增大而减小，时，y随x增大而增大．
【点睛】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
18．(1)
(2)画图见详解
(3)
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）根据函数解析式，用描点法即可求解；
（3）根据自变量的取值范围，结合图示，即可确定函数值的取值范围．
【详解】（1）解：当时，；当时，；当时，，
∴，解方程得，
∴二次函数解析式为．
（2）解：二次函数解析式为，图像如图所示，
函数与轴的交点是，，与轴的交点是，对称轴为，符合题意．
（3）解：当时，根据（2）中图示可知，
当时，；当当时，；当时，．
∴当时，．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，根据函数解析式画函数图形，根据函数自变量求函数取值范围，掌握待定系数法解二次函数解析式，函数图像的性质是解题的关键．
19．(1)小球的高度为米时，所用时间为或；
(2)小球的高度不能达到米．理由见解析
【分析】（1）把，代入所给关系式求出二次函数解析式，再代入解析式求t的值即可；
（2）把代入函数解析式得到关于t的一元二次方程，由判别式判定方程是否有解即可．
【详解】（1）解：把代入得：
，
当时，，
即，
解得：．
答：小球的高度为米时，所用时间为或；
（2）解：小球的高度不能达到米，
理由如下：
把代入得：
，
∴，
∵，
∴无实数解，
∴小球的高度不能达到米．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，根据题意找出等量关系是解决问题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）把点代入可求出b，从而得解；
（2）根据抛物线向下平移n个单位，得到新抛物线的解析式，再将点代入可求出n的值．
【详解】（1）解：把点代入得：，
解得，
∴抛物线的解析式为：
（2）抛物线向下平移n个单位后得：，
把点代入得：
解得：
即n的值为1．
【点睛】本题考查待定系数法和抛物线的平移，掌握待定系数法和抛物线的平移是解题的关键．
21．(1)y与x的函数关系式为；本次训练的成绩为；
(2)第二次训练成绩与第一次相比有提高，提高了．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得y与x的函数关系式，令即可求得本次训练的成绩；
（2）令即可求得第二次训练的成绩，与第一次比较即可求解．
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，
把，，代入得，，
解得，
∴y与x的函数关系式为；
当时，，即，
解得或(负值不符合题意，舍去)，
∴本次训练的成绩为；
（2）解：解方程，
整理得，即，
解得或(负值不符合题意，舍去)，
∴本次训练的成绩为；
，且，
答：第二次训练成绩与第一次相比有提高，提高了．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
22．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法即可求解．
（2）利用函数的性质结合图象即可求解．
（3）根据点A和点B的坐标得出三角形等高，再根据面积相等得出，进而确定E点是抛物线对称轴和反比例函数的交点，进而可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，
∴，，
解得，，
∴二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为．
（2）∵二次函数的解析式为，
∴对称轴为直线，
由图象知，当随的增大而增大，且时，
（3）由题意作图如下：

∵当时，，
∴，
∵，
∴的边上的高与的边上的高相等，
∵与的面积相等，
∴，
即点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，
当时，，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数与反比例函数的综合、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数和反比例函数的图象及性质和待定系数法求函数解析式是解题的关键．
23．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）把代入求出解析式，然后配方即可；
（2）先求出的对称轴，可得当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，再结合条件即可求出；
（3）根据代入法求出，结合即可求出答案．
【详解】（1）解：当时，，
将配方得：，
∴该函数图象的顶点坐标是；
（2）解：在中，，
当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，
∵当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵点都在函数的图象上，
当时，，
当时，，
∵，
∴，
∴，
∴或，
∴或；
【点睛】本题是二次函数的一个综合题，主要考查了求顶点坐标，二次函数的性质，熟练掌握相关知识是关键．
24．(1)，
(2)
(3)，32
【分析】（1）在直线中，当时，，当时，，即可求出点的坐标；
（2）把两点的坐标代入抛物线解析式，得到，解方程组即可得到答案；
（3）设，根据的面积是面积的两倍，求出点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式以及直线与轴的交点，从而即可求出的面积．
【详解】（1）解：在直线中，
当时，，
当时，，
解得：，
，；
（2）解：把，代入，
得，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（3）解：，，
，
，
设，
，
的面积是面积的两倍，
，
点在第三象限，
，
，
解得：，（舍去），
当时，，
，
设直线的解析式为：，
将，代入直线的解析式，
得，
解得，
直线的解析式为：，
如图，过点作轴，连接交轴于点，连接，
，
在直线：中，
当时，，
，
，，，
．
【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，求二次函数的解析式，二次函数的几何问题，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页