第1章第02讲二次函数的图象（10类题型）（含解析）2023-2024学年九年级数学上册浙教版
文档属性
| 名称 | 第1章第02讲二次函数的图象（10类题型）（含解析）2023-2024学年九年级数学上册浙教版 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-16 22:51:58 | ||
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文档简介
第02讲 二次函数的图象（10类题型）
课程标准 学习目标
1.二次函数y＝ax2的图象和性质 2.二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质 3.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 1.会画出各二次函数图象的简图；2.掌握各二次函数的图象与性质，包括开口方向、对称轴和顶点坐标； 3、经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及配方的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质．
知识点01：二次函数y=ax2的图象的性质：
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0．
向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0．
的性质： 上加下减
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
的性质： 左加右减
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
题型01 二次函数y=ax2的图象与性质
【典例1】
（2021秋·山东青岛·九年级校考阶段练习）
1．和，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴都是x轴 B．最低点都是点
C．在y轴右侧都是下降趋势 D．形状相同，开口方向相反
【典例2】
（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）
2．如图，①，②，③，④，比较a．b．c．d的大小，用“”连接．
【变式1】
（2022秋·湖北孝感·九年级统考期中）
3．已知是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大．
(1)求k的值；
(2)如果点P(m，n)是此二次函数的图象上一点，若 2≤m≤1，那么n的取值范围为______．
题型02 二次函数y=ax2+k的图象与性质
【典例1】
（2022秋·九年级单元测试）
4．抛物线，，共有的性质是( )
A．开口向上 B．对称轴都是轴 C．都有最高点 D．顶点都是原点
【变式1】
（2023·全国·九年级假期作业）
5．抛物线 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当 时，随的增大而增大，当x 时，随的增大而减小．
【变式2】
（2023·上海·九年级假期作业）
6．将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表．
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
题型03 二次函数y=a（x-h）2的图象与性质
【典例1】
（2023·全国·九年级假期作业）
7．二次函数的的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】
（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考期中）
8．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，大小关系为 ．
【变式1】
（2023·浙江·九年级假期作业）
9．已知抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点．
(1)求a和h的值；
(2)求该抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式．
题型04 二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质
【典例1】
（2023秋·河北石家庄·九年级统考期末）
10．对于二次函数的图象与性质，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴是直线，y的最小值是2 B．对称轴是直线，y的最大值是2
C．对称轴是直线，y的最大值是 D．对称轴是直线，y的最大值是2
【典例2】
（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）
11．已知一个二次函数图象的形状与抛物线相同，它的顶点坐标为，则该二次函数的表达式为 ．
【变式1】
（2022春·江苏·九年级专题练习）
12．已知抛物线的图象经过点．
(1)求a的值及顶点坐标；
(2)若点都在该抛物线上，请直接写出与的大小．
题型05 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
【典例1】
（2023·陕西渭南·统考二模）
13．如表中列出的是二次函数中与的几组对应值：
x …… 0 1 2 ……
y 2
下列说法错误的是（ ）
A．图象开口向下 B．顶点坐标为
C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．这个函数的图象与轴无交点
【变式1】
（2023·全国·九年级假期作业）
14．点在抛物线上，且点P到y轴的距离小于1，则n的取值范围是______.
【变式2】
（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）
15．如图，利用函数的图像，解决下列问题：
(1)方程的解是 ；
(2)当x 时，y随x的增大而减小；
(3)当时，x的取值范围是 ．
(4)当时，y的取值范围是 ；
题型06 二次函数图象与各系数的关系
【典例1】
（2022秋·广东肇庆·九年级校考期中）
16．二次函数的图像如图所示，下列结论：①，②，③，④．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②③④
【典例2】
（2023·全国·九年级假期作业）
17．写出一个满足下列要求的函数： ．
①该函数存在一条对称轴②该函数图像过且仅过三个象限③该函数图像过点
【变式1】
（2022春·全国·九年级专题练习）
18．如图，抛物线与y轴交于点．
(1)m的值为 ；
(2)当x满足 时，y的值随x值的增大而减小；
(3)当x满足 时，抛物线在x轴上方；
(4)当x满足时，y的取值范围是 ．
题型07 两个二次函数图象综合判断
【典例1】
（2023·安徽·模拟预测）
19．如果两个不同的二次函数的图象相交，那么它们的交点最多有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【变式1】
（2022春·九年级课时练习）
20．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，若|ax2+bx+c|=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【变式2】
（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市采荷中学校考期中）
21．设二次函数，（，，是实数，）．
(1)若，函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求，的值．
(2)设函数的最大值为，函数的最小值为，若，求证：．
(3)若函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，求证：．
题型08 根据二次函数的对称性求函数值
【典例1】
（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）
22．若抛物线上的，Q两点关于直线对称，则Q点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】
（2023·江西·统考二模）
23．二次函数（，，是常数）的自变量与函数值的部分对应值如下表：
… 1 …
… 0 0 …
其中，，，以下结论中不正确的是（ ）
A．对称轴为直线 B．关于的方程的两根为或
C． D．关于的不等式的解集为
【变式2】
（2023·浙江·九年级假期作业）
24．如图，已知二次函数的图像经过点．
(1)求a的值和二次函数图像的顶点坐标．
(2)已知点在该二次函数图像上．
①当时，求n的值；
②当时，该二次函数有最大值，请结合函数图像求出m的值．
题型09 已知二次函数的的函数值求自变量的值
【典例1】
（2022秋·河南郑州·九年级河南省实验中学校考期中）
25．根据下列表格的对应值：
判断方程（，，，为常数）一个近似解是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】
（2021春·八年级课时练习）
26．关于x的二次函数，当 时，y的值为0；当 时，y的值等于9．
【变式2】
（2022秋·甘肃金昌·九年级统考期末）
27．已知抛物线的顶点坐标为，且经过点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点在该抛物线上，求m的值．
题型10 二次函数y=ax2+bx+c的最值
【典例1】
（2023·浙江·一模）
28．已知二次方程的两根为和5，则对于二次函数，下列叙述正确的是（ ）
A．当时，函数的最大值是9． B．当时，函数的最大值是9．
C．当时，函数的最小值是． D．当时，函数的最小值是．
【典例2】
（2023·浙江·一模）
29．已知二次函数（其中是常数，），当时，的最小值为，则的值为（ ）
A． B．或3 C．或3 D．3或
【变式1】
（2023春·江苏盐城·八年级校考期中）
30．已知二次函数．
(1)将化成的形式；
(2)当时，的最小值是_____，最大值是______；
(3)当时，写出的取值范围．
A夯实基础
（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）
31．抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
（2023秋·河南许昌·九年级统考期末）
32．抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
（2023春·河北邢台·九年级统考开学考试）
33．二次函数的图象如图所示，那么的值可以是（ ）
A． B． C． D．2
（2019秋·广东佛山·九年级佛山市禅城区澜石中学校考期中）
34．已知二次函数，下列结论正确的是（ ）
A．其图像的开口向上 B．图像的对称轴为直线
C．当时，随的增大而减小 D．函数有最小值
（2023春·山东临沂·九年级校考期末）
35．对于二次函数，图象的顶点坐标为 ．
（2023春·湖南株洲·九年级统考开学考试）
36．二次函数的顶点坐标在第一象限，则的取值范围是 ．
（2023秋·浙江·九年级专题练习）
37．若点，在抛物线上，则，的大小关系为： （填“＞”，“=”或“＜”）．
（2022秋·甘肃定西·九年级校联考阶段练习）
38．已知二次函数，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，则的值为 ．
（2023·浙江·九年级假期作业）
39．说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)
(2)
(3)
（2023·浙江·九年级假期作业）
40．已知二次函数，解答下列问题：
(1)根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）．
(2)判断点是否在这个函数图象上，说明理由．
(3)求当时对应的函数图象上的点的坐标．
B能力提升
（2023秋·全国·九年级专题练习）
41．抛物线与的图象的关系是（ ）
A．开口方向不同，顶点相同，对称轴相同
B．开口方向不同，顶点不同，对称轴相同
C．开口方向相同，顶点相同，对称轴相同
D．开口方向相同，顶点不同，对称轴不同
（2023秋·全国·九年级专题练习）
42．已知抛物线，若点都在该抛物线上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·全国·九年级专题练习）
43．设函数，直线的图象与函数的图象分别交于点，得（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
（2023·安徽·九年级专题练习）
44．如图，直线与抛物线和抛物线分别交于点、，直线轴，与抛物线交于、两点，与抛物线交于、两点，则（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·浙江·九年级专题练习）
45．函数最小值是 ．
（2023秋·浙江·九年级专题练习）
46．抛物线在y轴右侧的部分是 ．（填“上升”或“下降”）
（2023秋·浙江·九年级专题练习）
47．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④．则a、b、c、d的大小关系为 ．
（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）
48．在平面直角坐标系中，已知点是抛物线上任意一点，则长的最小值为 ．
（2023秋·全国·九年级专题练习）
49．将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表．
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
（2023秋·全国·九年级专题练习）
50．已知二次函数的图象经过点．求：
(1)该函数解析式及对称轴；
(2)试判断点是否在此函数的图象上．
C综合素养
（2022·黑龙江哈尔滨·校考三模）
51．将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，所得的抛物线为（ ）
A． B． C． D．
（2022秋·浙江金华·九年级校考期中）
52．当时，二次函数恰好有最大值2，则值是（ ）
A．0 B．0和 C． D．
（2023春·广东云浮·九年级校考期末）
53．已知a是不为0的常数，函数和函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
（2023秋·全国·九年级专题练习）
54．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（ ）
A．或4 B．4或 C．或4 D．或
（2023·重庆·九年级统考学业考试）
55．已知是抛物线上的两点，则的大小关系是 ．（用“”、“”或“”填空）
（2022·黑龙江哈尔滨·校考三模）
56．反比例函数的图象过抛物线的顶点，则k的值为 ．
（2023春·安徽·九年级专题练习）
57．已知，是抛物线上的两点，点的横坐标为，点的横坐标为，为线段AB的中点，轴，交抛物线于点．
（1）抛物线的顶点坐标是 ；
（2）线段的长为 ．
（2023春·安徽·九年级专题练习）
58．设二次函数，其中a为实数．
（1）二次函数的对称轴为直线 ．（用含a的式子表示）
（2）若二次函数在有最小值，则实数a的值是 ．
（2023秋·安徽滁州·九年级校联考期末）
59．设二次函数，的图像的顶点坐标分别为，．若，，且开口方向相同，则称是的“反倍顶二次函数”．
(1)请写出二次函数的“反倍顶二次函数”；
(2)已知关于的二次函数和二次函数．若函数恰是的“反倍顶二次函数”，求的值．
（2023秋·天津津南·九年级统考期末）
60．已知抛物线（a，h是常数，），与y轴交于点C，点M为抛物线顶点．
(1)若，点C的坐标为，求h的值；
(2)若，当时，对应函数值y的最小值是，求此时抛物线的解析式；
(3)直线经过点M，且与抛物线交于另一点D．当轴时，求抛物线的解析式．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据抛物线的图象与性质逐一分析即可．
【详解】解：抛物线和的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点，
但是开口向上，在y轴右侧呈上升趋势，顶点是最低点．
开口向下，顶点是最高点，在y轴右侧呈下降趋势．
抛物线和的开口方向相反，形状相同．
∴A，B，C不符合题意；D符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，函数图像的开口方向，开口大小，对称轴，形状，以及函数图像的增减性．①二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口．越大，则二次函数图像的开口越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．③当且y在对称轴右侧时，y随x增大而增大，y在对称轴左侧则相反，同增同减．当且y在对称轴右侧时，y随x增大而减小，y在对称轴左侧则相反，大小小大．此为重点，也为易考点．
2．
【分析】设，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．
【详解】解：因为直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，
所以，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小．
3．(1)；
(2)≤y≤0
【分析】（1）根据二次函数定义以及当x＜0时，y随x的增大而增大．可得出结论；
（2）当x=2时，y=4，当x=1时，y=1并结合函数图象求出y的取值范围．
【详解】（1）解：由是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大，得
，
解得：；
（2）解：由（1）得二次函数的解析式为，
如图所示：
当x=2时，，
当x=1时，，
∴当2≤x＜1时，≤y≤0，
故答案为：≤y≤0．
【点睛】本题考查二次函数的定义和二次函数的性质，关键是求函数解析式．
4．B
【分析】根据二次函数的性质，求解即可．
【详解】解：，，开口向下，有最大值，对称轴为，即轴；
，，开口向上，有最小值，对称轴为，即轴；
，，开口向上，有最小值，对称轴为，即轴；
共有的性质是：对称轴都是轴，
故选：B．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质．
5． 向下 轴
【分析】利用二次函数的性质判定即可．
【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴是轴，顶点坐标是，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．
故答案为：向下，轴，，，．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质．
6．见解析
【分析】根据抛物线与抛物线的性质进行比较即可．
【详解】抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是轴，即直线；顶点坐标是．抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下．
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 轴
向上 轴
向上 轴
【点睛】本题考查了的性质，掌握抛物线与抛物线的性质是解题的关键．
7．D
【分析】根据解析式，，可得图像开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，即可得．
【详解】解：∵，，
∴图像开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
故选：D．
【点晴】本题考查了二次函数的图像，熟练记住图像与系数的关系是关键．
8．##
【分析】根据给出的二次函数判断开口方向向上，对称轴为直线，即可根据自变量的大小判断函数值的大小
【详解】∵二次函数为：
∴
∴二次函数的开口向上，对称轴为：，
∴当时，二次函数的函数值随x的增大而减小，
∵，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称轴和开口方向是解决问题的关键
9．(1)，；
(2)．
【分析】（1）利用对称轴为直线，可得，
（2）根据原抛物线为，顶点坐标为：，求出关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为，即可求出关于y轴对称的抛物线的解析式为．
【详解】（1）解：∵对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与y轴交于点，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可知：该抛物线为：，顶点坐标为：
∴抛物线关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为，
∴该抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式为．
【点睛】本题考查二次函数的顶点式的图形及性质，点关于y轴对称的性质．
10．B
【分析】根据二次函数图象的性质进行求解即可．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴y的最大值是2，
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，对于二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，当时，二次函数有最小值k，在对称轴右边y随x增大而增大，在对称轴左边，y随x增大而减小；当时，二次函数有最大值k，在对称轴右边y随x增大而减小，在对称轴左边，y随x增大而增大．
11．或
【分析】根据二次函数的顶点坐标为，可得可设这个二次函数的解析式为，再根据图象的形状和与抛物线相同，可得，即可求解．
【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为，
∴可设这个二次函数的解析式为，
∵二次函数图象的形状与抛物线相同，，
∴，
∴，
∴这个二次函数的解析式为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，牢记形状相同的二次函数二次项系数的绝对值相等是解题的关键．
12．(1)a的值是，顶点坐标是；
(2)
【分析】（1）根据题目中的解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标，把点代入，可以求得a的值；
（2）根据二次函数的性质可以解答本题．
【详解】（1）解：∵，
∴该抛物线的顶点坐标是；
∵经过点，
∴，
解得，，
即a的值是；
（2）解：∵，，
∴该抛物线的图象在时，y随x的增大而增大，在时，y随x的增大而减小，
∵点都在该抛物线上，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
13．D
【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线,并确定二次函数的开口向下，即可得解.
【详解】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线，
结合的函数值与其他函数值比较可知：在对称轴处取得最大值2，故二次函数图象开口向下，顶点坐标为，当时，y的值随x值的增大而减小，且与x轴有两个交点，
故选项A,B,C都正确，选项D错误；
故选择：D
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，仔细观察分析表格数据，得到对称轴和开口方向是解答本题的关键．
14．
【分析】点P到y轴的距离小于1，即，根据得对称轴，分别把，和代入即可得n的取值范围．
【详解】解：根据，
∴对称轴，
因为点P到y轴的距离小于1，
∴，
∴当时，；
当时，；
当时，；
所以n的取值范围为，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质等知识内容，解题关键是掌握二次函数的性质．
15．(1)，
(2)（也对）
(3)或
(4)
【分析】（1）由抛物线与轴的交点坐标可得答案；
（2）求出二次函数的对称轴，然后根据其开口方向可得答案；
（3）由抛物线经过点及抛物线的对称性求解即可；
（4）求出二次函数的顶点坐标得出其最小值，然后将代入函数解析式即可得出其最大值，从而得解．
【详解】（1）解：由函数图像可知抛物线经过点，
∴是方程的解，
故答案为：，；
（2）抛物线的对称轴为，
∴当或时y随x的增大而减小，
故答案为：（也对）；
（3）由图像可知抛物线经过点，
∵抛物线的对称轴为，
∴抛物线经过点，
∴或时，，
故答案为：或；
（4）∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴函数的最小值为，
将代入得，
∴当时，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键时掌握二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
16．A
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
即，所以①正确；
②由二次函数图象可知，，，，
∴，故②错误；
③∵对称轴：直线，
∴，
∴，
∵，，，
∴，故③错误；
④∵对称轴为直线，抛物线与x轴一个交点，
∴抛物线与x轴另一个交点，
当时，，故④正确．
综上，①④正确．
故选：A．
【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
17．（答案不唯一）
【分析】此函数可以为二次函数（，，），结合条件求解即可．
【详解】解：∵顶点为，开口向下且与轴的交点在负半轴上的抛物线的解析式都是符合题意的，
∴我们可以写出一个函数是（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题是开放性试题，考查函数图形及性质的综合运用，对考查学生所学函数的深入理解、掌握程度具有积极的意义，本题的结论是不唯一的，其解答思路渗透了数形结合的数学思想．
18．(1)3
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）把点代入抛物线的关系式，求出m的值即可；
（2）根据二次函数图像的性质，求出对称轴，即可得出答案；
（3）先求出抛物线与x轴的两个交点，结合函数图像即可得出答案；
（4）根据二次函数的的增减性结合函数图像，求出当时，y的取值范围即可．
【详解】（1）解：把点代入抛物线的关系式得：．
故答案为：3．
（2）解：把代入得：
，
对称轴为直线，
∵，
∴当时y的值随x值的增大而减小；
故答案为：．
（3）解：根据解析（1）可知，抛物线的关系式为：，
把代入得：，解得：，，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：，，
∴结合函数图像可知，当时，抛物线在x轴上方；
故答案为：．
（4）解：结合函数图像可知，当时，y可以取最大值，且最大值为：
，
∵，
∴当时，函数有最小值，且最小值为：，
∴当时，y的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，对称轴，与x轴的交点，函数值，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质，注意进行数形结合．
19．B
【分析】根据二次函数图像的特点进一步求解即可.
【详解】∵二次函数的图像为抛物线，
∴两个不同二次函数的图像的交点最多只能有2个，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质与特点，熟练掌握相关概念是解题关键.
20．k=0或k＞2．
【分析】先根据题意画出y＝|ax2＋bx＋c|的图象，即可得出|ax2＋bx＋c|＝k（k≠0）有两个不相等的实数根时，k的取值范围．
【详解】解：∵当ax2＋bx＋c≥0，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象在x轴上方，
∴此时y＝|ax2＋bx＋c|＝ax2＋bx＋c，
∴此时y＝|ax2＋bx＋c|的图象是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x轴上方部分的图象．
∵当ax2＋bx＋c＜0时，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象在x轴下方，
∴此时y＝|ax2＋bx＋c|＝－(ax2＋bx＋c)，
∴此时y＝|ax2＋bx＋c|的图象是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x轴下方部分与x轴对称的图象．
∵y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点纵坐标是－2，
∴函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x轴下方部分与x轴对称的图象的顶点纵坐标是2，
∴y＝|ax2＋bx＋c|的图象如右图．
∵观察图象可得当k≠0时，
函数图象在直线y＝2的上方时，纵坐标相同的点有两个，
函数图象在直线y＝2上时，纵坐标相同的点有三个，
函数图象在直线y＝2的下方时，纵坐标相同的点有四个，
∴若|ax2＋bx＋c|＝k有两个不相等的实数根，
则函数图象应该在y＝2的上边，
故k＝0或k＞2．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是根据题意画出y＝|ax2＋bx＋c|的图象，根据图象得出k的取值范围．
21．(1)为2，为
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据，对称轴，求出的值，再把点代入函数即可求出的值；
（2）根据顶点坐标公式得出和，再利用得出；
（3）分情况根据对称轴的位置推出结论即可．
【详解】（1）解：∵函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∵函数的图象经过点，
∴，
∴；
（2）∵函数的最大值为，
∴，，
∵函数的最小值为，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（3）∵函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，且，
①若，，
则，
即，
∵，，
∴，
②若，，
则，
即，
∵，，
∴，
综上可知，．
【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标公式等知识是解题的关键．
22．B
【分析】设，因为抛物线上的，Q两点关于直线对称，故，，则，即可知道Q点的坐标．
【详解】解：依题意，设，
因为抛物线上的，Q两点关于直线对称，
所以，，
即，
那么Q点的坐标为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是二次函数图象的点的坐标以及二次函数图象的对称性等知识内容，经过函数的某点一定在函数的图象上．
23．D
【分析】根据对称轴和图象上点的坐标特征即可判断A；由表格数据可知抛物线开口向上，函数的对称轴为：，则，即可判断B、C；根据二次函数的性质即可判断D．
【详解】解：∵和时，函数值都是m，
∴点和关于抛物线的对称轴对称，
∴对称轴为，故选项A不符合题意；
∵对称轴为，
∴，
∴于的方程的两根为或，故选项B不符合题意；
∵，，
∴，
∴抛物线开口向上，
∴，，
∵，
∴，
∴，故选项C不符合题意；
∵抛物线开口向上，和时，函数值都是m，
∴时，的解为和，
∴，
∴关于的不等式的解集为或，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出开口方向和对称轴是解题的关键．
24．(1)，顶点坐标为
(2)①；②或
【分析】（1）把点代入，解得a的值并配方，得，即得二次函数图像的顶点坐标；
（2）①把代入即可；②结合函数图像，即可得到当时，该二次函数有最大值时的m的值．
【详解】（1）解：将点代入，
得，解得，
∴二次函数的解析式为，
配方，得，
∴顶点坐标为；
（2）解：①将代入，得.
∴当时，.
②由（1）可知抛物线的对称轴为直线，点关于直线的对称点为，如解图所示：
根据函数图像，若满足当时，该二次函数有最大值，则或，
∴或．
【点睛】本题主要考查二次函数图像性质以及应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并熟练二次函数图像性质以及应用知识内容．
25．D
【分析】根据表格，得出当时，的值为，当时，的值为，再根据，即可得出方程（，，，为常数）的一个近似解应大于且小于，再结合选项，即可得出结果．
【详解】解：∵由表格可知，当时，的值为，当时，的值为，
又∵，
∴方程（，，，为常数）的一个近似解应大于且小于，
又∵，
∴方程（，，，为常数）一个近似解为．
故选：D
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的近似解，解本题的关键在熟练掌握一元二次方程的解相当于在二次函数的函数值为时，自变量的值．
26． 3 0或6
【分析】令即可得到关于x的一元二次方程，求出x的值即可；令即可得到关于x的一元二次方程，求出x的值即可．
【详解】解：∵当的函数值为0，
∴，
解得，
当的函数值为9，
∴，
解得，，
故答案为：3；0或6．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，根据函数值得到关于x的一元二次方程，求出x的值是解答此题的关键．
27．(1)
(2)或
【分析】（1）设出二次函数的顶点式，然后将顶点坐标为，点直接代入即可．
（2）将代入（1）中求出的表达式，解方程即可．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
得
解得，
所以此函数的解析式为
（2）解：把代入
得，
解得 或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数表达式，以及求坐标的值，准确设出表达式是解题关键．
28．C
【分析】根据二次方程的两根为和5，求出，的值，从而得出函数解析式，再根据函数的性质求最值．
【详解】解：二次方程的两根为和5，
，
解得，
二次函数，
，
当时，有最小值，最小值为，
故选：C．
【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的最值，关键是求函数解析式．
29．A
【分析】首先求出二次函数的对称轴为，然后分两种情况和，分别根据题意列方程求解即可．
【详解】∵二次函数，
∴对称轴为，
当时，抛物线开口向上，
∴当时，
∴当时，的最小值为，
∴，解得；
当时，抛物线开口向下，
∴当时，
∵，
∴当时，的最小值为，
∴，解得，
综上所述，的值为．
故选：A．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
30．(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）根据二次函数的顶点式，进行配方即可求解；
（2）根据二次函数图象的性质，找出的范围对应的函数值，由此即可求解；
（3）根据图象，，图象与横坐标的交点的下方，由此即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得，，
∴改写形式为．
（2）解：∵抛物线开口向上，对称轴为，如图所示，
∴当时，二次函数与轴的交点坐标为；
当时，二次函数；
当时，二次函数；
∴当时，，有最小值；，有最大值，
故答案为：，．
（3）解：令时，，解得，，，
∴当时，的取值范围是．
【点睛】本题主要考查二次函数的顶点式，区间最大最小值，掌握二次函数图象及二次函数图象与坐标轴交点的计算方法是解题的关键．
31．B
【分析】根据抛物线的对称轴是直线求解即可．
【详解】解：抛物线的对称轴是直线，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
32．B
【分析】根据抛物线的顶点坐标为，即可求解．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的的顶点坐标为是解题的关键．
33．B
【分析】对于二次函数：①，图象开口向上；，图象开口向下；②越大，开口越小．
【详解】解：∵的图象开口向下
∴
∵的图象比的图象开口更大
∴
即
A：错误；B：正确；C：错误；D：错误．
故选：B
【点睛】本题考查的图象和性质，熟记相关结论是解题关键．
34．C
【分析】根据二次函数图像和性质即可求解．
【详解】解：二次函数中，，图像开口向下；顶点坐标是，对称轴为直线，当时，随的增大而增大；当，随的增大而减小，函数的最大值为，
∴、其图像的开口向下，故选项错误，不符合题意；
、图像的对称轴为直线，故选项错误，不符合题意；
、当时，随的增大而减小，正确，符合题意；
、函数有最大值，故选项错误，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查二次函数图像和性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
35．
【分析】根据题目中的函数解析式，可以直接写出该函数图象的顶点坐标．
【详解】解：二次函数，
该函数图象的顶点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
36．
【分析】根据题目中的解析式可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以列出相应的不等式，求出的取值范围．
【详解】解：抛物线的顶点在第一象限，
该抛物线的顶点坐标为，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的顶点，解答本题的关键是明确题意，准确得出二次函数的顶点坐标解答．
37．
【分析】分别求出，的值，再比较大小即可．
【详解】解：∵点，在抛物线上，
∴，
∴．
故答案为：.
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
38．
【分析】根据题意可得二次函数的对称轴为直线，进而可得的值，从而可得函数解析式，再把代入函数解析式可得的值．
【详解】解：由题意得：二次函数的对称轴为直线，
故，
把代入二次函数可得，
当时，，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数定点式，对称轴为直线．
39．(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】二次函数通过配方可以化为顶点式，即y=a(x－h)2+k，其中a决定了抛物线的开口方向，对称轴是x=h，顶点坐标是(h，k)；根据所给出的三个函数解析式，对照以上规律确定答案．
【详解】（1）开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，0)．
（2）开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，-7)．
（3）开口向上，对称轴为直线x=-3，顶点坐标为(-3，6)
【点睛】本题考查根据函数的表达式确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数的“顶点式”以及各个系数与抛物线的关系．
40．(1)见解析；
(2)点不在这个函数图像上；
(3)和．
【分析】（1）根据对称性可直接画出图象；
（2）代入横坐标或纵坐标都可判断；
（3）代入即可求出坐标．
【详解】（1）如图所示，
（2）当时，
，
∴点不在这个函数图象上；
（3）当时，
，
∴，
∴时，对应的函数图象上的点的坐标为：和．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，解题关键是运用好数形结合的思想．
41．A
【分析】根据形如的二次函数的的值互为相反数时，开口方向相反，顶点相同，对称轴相同，即可得到答案．
【详解】解：抛物线与的二次项系数互为相反数，
其开口方向相反，顶点相同，对称轴相同，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握形如的二次函数的的值互为相反数时，开口方向相反，顶点相同，对称轴相同，是解题的关键．
42．D
【分析】根据二次函数的对称性，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∵点都在该抛物线上，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是熟记二次函数的增减性．
43．C
【分析】根据二次函数的图象，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵直线的图象与函数的图象分别交于点，
A、若，如图所示，
则，故A选项不合题意；
B．若，如图所示，
则或故B选项不合题意，
C．若，如图所示，
∴，故C选项正确，D选项不正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
44．D
【分析】根据待定系数法求出函数，的解析式；设直线为，直线经过函数，，可求出，的值，即可求出的值．
【详解】∵抛物线和抛物线分别交于点、，
∴，，
∴，，
设直线为，
∵直线经过函数，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，掌握数形结合的解题方法．
45．2
【分析】根据二次函数的顶点式确定顶点坐标是（4，2），即可确定函数的最小值．
【详解】解：，
∴此函数的顶点坐标为，
∴又，
∴函数图象开口向下，
∴当时，y取得最小值，最小值为2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，掌握二次函数顶点式并会根据顶点式求最值是解题关键．
46．上升
【分析】先求出抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的增减性即可解答．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∴y轴右侧部分上升．
故答案为：上升．
【点睛】本题主要考查二次函数的增减性，掌握开口向上的二次函数图像在对称轴右侧y随x的增大而增大是解题的关键．
47．
【分析】设，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．
【详解】解：因为直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，，
所以，．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图象，本题采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小是解题的关键．
48．3
【分析】根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为，
∴长的最小值为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次函数(a，h，k为常数，)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是y轴．
49．见解析
【分析】根据抛物线与抛物线的性质进行比较即可．
【详解】抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是轴，即直线；顶点坐标是．抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下．
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 轴
向上 轴
向上 轴
【点睛】本题考查了的性质，掌握抛物线与抛物线的性质是解题的关键．
50．(1)，对称轴为y轴
(2)点不在此函数的图象上
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再求出对称轴即可；
（2）求出当，y的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为，
∴二次函数对称轴为y轴；
（2）解：在中，当时，，
∴点不在此函数的图象上．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
51．C
【分析】根据抛物线的平移规则，上加下减，左加右减，即可得出结论．
【详解】解：将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，所得的抛物线：，即，
故选C．
【点睛】此题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握抛物线的平移规则，上加下减，左加右减，是解题的关键．
52．C
【分析】根据抛物线解析式得到顶点坐标为，然后由抛物线的增减性得到当时，二次函数恰好有最大值2，代入求出a的值即可．
【详解】解：∵，
∴该抛物线开口向下，且顶点坐标是，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴当时，二次函数恰好有最大值2，且，
即，
解得 ，（舍去），
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式和增减性是解题的关键．
53．D
【分析】根据一次函数和二次函数的图像特征，判定出a的正负即可．
【详解】解：由图可知：
A、正比例函数的，二次函数中的，a不一致，故此选项不符合题意；
B、正比例函数的，二次函数中的且，a不一致，故此选项不符合题意；
C、正比例函数的，二次函数中的，a不一致，故此选项不符合题意；
D、正比例函数的，二次函数中的，a一致，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数图像的分布，熟练掌握图像分布的符号特征是解题的关键．
54．B
【分析】根据表达式求出对称轴，对的正负进行分类讨论，求出每种情况的最小值即可．
【详解】解：的对称轴为直线，
顶点坐标为，
当时，在，
∵y的最小值为，
∴，
∴；
时，在，
当时函数有最小值，
∴，
解得；
综上所述：a的值为4或，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，对的分类讨论是本题的解题关键．
55．
【分析】根据抛物线开口向上，对称轴为，判定在对称轴的右侧，随的增大而增大，即可求解．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线开口向上，对称轴为，
∴抛物线上与点关于对称的点的坐标为，
∴当时，随的增大而增大，
∵ ，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了抛物线的开口，对称轴，函数的增减性，熟练确定函数的增减性，判断点与对称轴的位置关系是解题的关键．
56．
【分析】先求抛物线的顶点坐标，顶点的横纵坐标之积即为值．
【详解】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为：，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查二次函数的性质，求反比例函数的解析式．解题的关键是掌握的顶点坐标为：．
57． ； ．
【分析】（）根据二次函数表达式特点可求顶点坐标；
（）由题意写出、的坐标，再根据中点坐标得出点坐标，再由轴得出点坐标即可．
【详解】解：（1）∵，
∴抛物线的顶点坐标是，
故答案为：，
（2）依据题意可知，点的坐标为，点的坐标为，，
∵为线段的中点，
∴的坐标为，
∵轴，
∴点的坐标为，
∴CD＝．
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的相关知识点是解决本题的关键．
58． ## 4
【分析】（1）直接利用抛物线的对称轴公式可得答案；
（2）分三种情况讨论：当，即，则当时，y有最小值，最小值为，当，即，则当时，y有最小值，当，即，则当时，y有最小值，从而可得答案．
【详解】解：（1）∵二次函数，
∴对称轴为直线：，
故答案为：；
（2）当，即，
则当时，y有最小值，最小值为，不合题意，舍去；
若，即，则当时，y有最小值，
∴，
∴，解得（舍去），；
当，即，
则当时，y有最小值，
∴，解得（舍去）．
故答案为4．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．
59．(1)
(2)
【分析】（1）根据“反倍顶二次函数”的定义，求出顶点坐标即可解决问题；
（2）根据“反倍顶二次函数”的定义，列出方程即可解决问题．
【详解】（1）解：，
二次函数的顶点坐标为，
二次函数的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为，
这个“反倍顶二次函数”的解析式为；
（2），顶点坐标为，
，顶点坐标为，
函数恰好是的“反倍顶二次函数”，
，
解得．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握配方法确定顶点坐标是解题的基础，属于中考常考题型．
60．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）当，，将代入，得，，计算求解即可；
（2）当，，由，可得当时，有最小值为，由当时，对应函数值y的最小值是，可知当时，在处，函数值y的最小值是，当，，计算求出满足要求的解，进而可得二次函数解析式；当时，在处，函数值y的最小值是，当，，计算求出满足要求的解，进而可得二次函数解析式；
（3）由题意知，，由直线经过点M，可得，解得，即，，由抛物线与y轴交于点C，可知当，，则，由直线与抛物线交于另一点D，且轴，可知关于直线对称，点纵坐标为，将，代入，得，解得，则，根据，计算求解，进而可确定抛物线的解析式．
【详解】（1）解：当，，
将代入，得，，解得，
∴h的值为；
（2）解：当，，
∵，
∴当时，有最小值为，
∵当时，对应函数值y的最小值是，
∴当时，在处，函数值y的最小值是，
当，，解得，，（舍去），
∴；
当时，在处，函数值y的最小值是，
当，，解得，，（舍去），
∴；
综上所述，或；
（3）解：由题意知，，
∵直线经过点M，
∴，解得，
∴，
∴，
∵抛物线与y轴交于点C，
当，，
∴，
∵直线与抛物线交于另一点D，且轴，
∴关于直线对称，点纵坐标为，
将，代入，得，解得，
∴，
∴，解得，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法，掌握分类讨论思想和数形结合思想是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
课程标准 学习目标
1.二次函数y＝ax2的图象和性质 2.二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质 3.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 1.会画出各二次函数图象的简图；2.掌握各二次函数的图象与性质，包括开口方向、对称轴和顶点坐标； 3、经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及配方的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质．
知识点01：二次函数y=ax2的图象的性质：
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0．
向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0．
的性质： 上加下减
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
的性质： 左加右减
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
题型01 二次函数y=ax2的图象与性质
【典例1】
（2021秋·山东青岛·九年级校考阶段练习）
1．和，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴都是x轴 B．最低点都是点
C．在y轴右侧都是下降趋势 D．形状相同，开口方向相反
【典例2】
（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）
2．如图，①，②，③，④，比较a．b．c．d的大小，用“”连接．
【变式1】
（2022秋·湖北孝感·九年级统考期中）
3．已知是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大．
(1)求k的值；
(2)如果点P(m，n)是此二次函数的图象上一点，若 2≤m≤1，那么n的取值范围为______．
题型02 二次函数y=ax2+k的图象与性质
【典例1】
（2022秋·九年级单元测试）
4．抛物线，，共有的性质是( )
A．开口向上 B．对称轴都是轴 C．都有最高点 D．顶点都是原点
【变式1】
（2023·全国·九年级假期作业）
5．抛物线 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当 时，随的增大而增大，当x 时，随的增大而减小．
【变式2】
（2023·上海·九年级假期作业）
6．将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表．
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
题型03 二次函数y=a（x-h）2的图象与性质
【典例1】
（2023·全国·九年级假期作业）
7．二次函数的的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】
（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考期中）
8．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，大小关系为 ．
【变式1】
（2023·浙江·九年级假期作业）
9．已知抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点．
(1)求a和h的值；
(2)求该抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式．
题型04 二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质
【典例1】
（2023秋·河北石家庄·九年级统考期末）
10．对于二次函数的图象与性质，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴是直线，y的最小值是2 B．对称轴是直线，y的最大值是2
C．对称轴是直线，y的最大值是 D．对称轴是直线，y的最大值是2
【典例2】
（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）
11．已知一个二次函数图象的形状与抛物线相同，它的顶点坐标为，则该二次函数的表达式为 ．
【变式1】
（2022春·江苏·九年级专题练习）
12．已知抛物线的图象经过点．
(1)求a的值及顶点坐标；
(2)若点都在该抛物线上，请直接写出与的大小．
题型05 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
【典例1】
（2023·陕西渭南·统考二模）
13．如表中列出的是二次函数中与的几组对应值：
x …… 0 1 2 ……
y 2
下列说法错误的是（ ）
A．图象开口向下 B．顶点坐标为
C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．这个函数的图象与轴无交点
【变式1】
（2023·全国·九年级假期作业）
14．点在抛物线上，且点P到y轴的距离小于1，则n的取值范围是______.
【变式2】
（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）
15．如图，利用函数的图像，解决下列问题：
(1)方程的解是 ；
(2)当x 时，y随x的增大而减小；
(3)当时，x的取值范围是 ．
(4)当时，y的取值范围是 ；
题型06 二次函数图象与各系数的关系
【典例1】
（2022秋·广东肇庆·九年级校考期中）
16．二次函数的图像如图所示，下列结论：①，②，③，④．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②③④
【典例2】
（2023·全国·九年级假期作业）
17．写出一个满足下列要求的函数： ．
①该函数存在一条对称轴②该函数图像过且仅过三个象限③该函数图像过点
【变式1】
（2022春·全国·九年级专题练习）
18．如图，抛物线与y轴交于点．
(1)m的值为 ；
(2)当x满足 时，y的值随x值的增大而减小；
(3)当x满足 时，抛物线在x轴上方；
(4)当x满足时，y的取值范围是 ．
题型07 两个二次函数图象综合判断
【典例1】
（2023·安徽·模拟预测）
19．如果两个不同的二次函数的图象相交，那么它们的交点最多有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【变式1】
（2022春·九年级课时练习）
20．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，若|ax2+bx+c|=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【变式2】
（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市采荷中学校考期中）
21．设二次函数，（，，是实数，）．
(1)若，函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求，的值．
(2)设函数的最大值为，函数的最小值为，若，求证：．
(3)若函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，求证：．
题型08 根据二次函数的对称性求函数值
【典例1】
（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）
22．若抛物线上的，Q两点关于直线对称，则Q点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】
（2023·江西·统考二模）
23．二次函数（，，是常数）的自变量与函数值的部分对应值如下表：
… 1 …
… 0 0 …
其中，，，以下结论中不正确的是（ ）
A．对称轴为直线 B．关于的方程的两根为或
C． D．关于的不等式的解集为
【变式2】
（2023·浙江·九年级假期作业）
24．如图，已知二次函数的图像经过点．
(1)求a的值和二次函数图像的顶点坐标．
(2)已知点在该二次函数图像上．
①当时，求n的值；
②当时，该二次函数有最大值，请结合函数图像求出m的值．
题型09 已知二次函数的的函数值求自变量的值
【典例1】
（2022秋·河南郑州·九年级河南省实验中学校考期中）
25．根据下列表格的对应值：
判断方程（，，，为常数）一个近似解是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】
（2021春·八年级课时练习）
26．关于x的二次函数，当 时，y的值为0；当 时，y的值等于9．
【变式2】
（2022秋·甘肃金昌·九年级统考期末）
27．已知抛物线的顶点坐标为，且经过点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点在该抛物线上，求m的值．
题型10 二次函数y=ax2+bx+c的最值
【典例1】
（2023·浙江·一模）
28．已知二次方程的两根为和5，则对于二次函数，下列叙述正确的是（ ）
A．当时，函数的最大值是9． B．当时，函数的最大值是9．
C．当时，函数的最小值是． D．当时，函数的最小值是．
【典例2】
（2023·浙江·一模）
29．已知二次函数（其中是常数，），当时，的最小值为，则的值为（ ）
A． B．或3 C．或3 D．3或
【变式1】
（2023春·江苏盐城·八年级校考期中）
30．已知二次函数．
(1)将化成的形式；
(2)当时，的最小值是_____，最大值是______；
(3)当时，写出的取值范围．
A夯实基础
（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）
31．抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
（2023秋·河南许昌·九年级统考期末）
32．抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
（2023春·河北邢台·九年级统考开学考试）
33．二次函数的图象如图所示，那么的值可以是（ ）
A． B． C． D．2
（2019秋·广东佛山·九年级佛山市禅城区澜石中学校考期中）
34．已知二次函数，下列结论正确的是（ ）
A．其图像的开口向上 B．图像的对称轴为直线
C．当时，随的增大而减小 D．函数有最小值
（2023春·山东临沂·九年级校考期末）
35．对于二次函数，图象的顶点坐标为 ．
（2023春·湖南株洲·九年级统考开学考试）
36．二次函数的顶点坐标在第一象限，则的取值范围是 ．
（2023秋·浙江·九年级专题练习）
37．若点，在抛物线上，则，的大小关系为： （填“＞”，“=”或“＜”）．
（2022秋·甘肃定西·九年级校联考阶段练习）
38．已知二次函数，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，则的值为 ．
（2023·浙江·九年级假期作业）
39．说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)
(2)
(3)
（2023·浙江·九年级假期作业）
40．已知二次函数，解答下列问题：
(1)根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）．
(2)判断点是否在这个函数图象上，说明理由．
(3)求当时对应的函数图象上的点的坐标．
B能力提升
（2023秋·全国·九年级专题练习）
41．抛物线与的图象的关系是（ ）
A．开口方向不同，顶点相同，对称轴相同
B．开口方向不同，顶点不同，对称轴相同
C．开口方向相同，顶点相同，对称轴相同
D．开口方向相同，顶点不同，对称轴不同
（2023秋·全国·九年级专题练习）
42．已知抛物线，若点都在该抛物线上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·全国·九年级专题练习）
43．设函数，直线的图象与函数的图象分别交于点，得（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
（2023·安徽·九年级专题练习）
44．如图，直线与抛物线和抛物线分别交于点、，直线轴，与抛物线交于、两点，与抛物线交于、两点，则（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·浙江·九年级专题练习）
45．函数最小值是 ．
（2023秋·浙江·九年级专题练习）
46．抛物线在y轴右侧的部分是 ．（填“上升”或“下降”）
（2023秋·浙江·九年级专题练习）
47．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④．则a、b、c、d的大小关系为 ．
（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）
48．在平面直角坐标系中，已知点是抛物线上任意一点，则长的最小值为 ．
（2023秋·全国·九年级专题练习）
49．将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表．
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
（2023秋·全国·九年级专题练习）
50．已知二次函数的图象经过点．求：
(1)该函数解析式及对称轴；
(2)试判断点是否在此函数的图象上．
C综合素养
（2022·黑龙江哈尔滨·校考三模）
51．将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，所得的抛物线为（ ）
A． B． C． D．
（2022秋·浙江金华·九年级校考期中）
52．当时，二次函数恰好有最大值2，则值是（ ）
A．0 B．0和 C． D．
（2023春·广东云浮·九年级校考期末）
53．已知a是不为0的常数，函数和函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
（2023秋·全国·九年级专题练习）
54．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（ ）
A．或4 B．4或 C．或4 D．或
（2023·重庆·九年级统考学业考试）
55．已知是抛物线上的两点，则的大小关系是 ．（用“”、“”或“”填空）
（2022·黑龙江哈尔滨·校考三模）
56．反比例函数的图象过抛物线的顶点，则k的值为 ．
（2023春·安徽·九年级专题练习）
57．已知，是抛物线上的两点，点的横坐标为，点的横坐标为，为线段AB的中点，轴，交抛物线于点．
（1）抛物线的顶点坐标是 ；
（2）线段的长为 ．
（2023春·安徽·九年级专题练习）
58．设二次函数，其中a为实数．
（1）二次函数的对称轴为直线 ．（用含a的式子表示）
（2）若二次函数在有最小值，则实数a的值是 ．
（2023秋·安徽滁州·九年级校联考期末）
59．设二次函数，的图像的顶点坐标分别为，．若，，且开口方向相同，则称是的“反倍顶二次函数”．
(1)请写出二次函数的“反倍顶二次函数”；
(2)已知关于的二次函数和二次函数．若函数恰是的“反倍顶二次函数”，求的值．
（2023秋·天津津南·九年级统考期末）
60．已知抛物线（a，h是常数，），与y轴交于点C，点M为抛物线顶点．
(1)若，点C的坐标为，求h的值；
(2)若，当时，对应函数值y的最小值是，求此时抛物线的解析式；
(3)直线经过点M，且与抛物线交于另一点D．当轴时，求抛物线的解析式．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据抛物线的图象与性质逐一分析即可．
【详解】解：抛物线和的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点，
但是开口向上，在y轴右侧呈上升趋势，顶点是最低点．
开口向下，顶点是最高点，在y轴右侧呈下降趋势．
抛物线和的开口方向相反，形状相同．
∴A，B，C不符合题意；D符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，函数图像的开口方向，开口大小，对称轴，形状，以及函数图像的增减性．①二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口．越大，则二次函数图像的开口越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．③当且y在对称轴右侧时，y随x增大而增大，y在对称轴左侧则相反，同增同减．当且y在对称轴右侧时，y随x增大而减小，y在对称轴左侧则相反，大小小大．此为重点，也为易考点．
2．
【分析】设，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．
【详解】解：因为直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，
所以，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小．
3．(1)；
(2)≤y≤0
【分析】（1）根据二次函数定义以及当x＜0时，y随x的增大而增大．可得出结论；
（2）当x=2时，y=4，当x=1时，y=1并结合函数图象求出y的取值范围．
【详解】（1）解：由是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大，得
，
解得：；
（2）解：由（1）得二次函数的解析式为，
如图所示：
当x=2时，，
当x=1时，，
∴当2≤x＜1时，≤y≤0，
故答案为：≤y≤0．
【点睛】本题考查二次函数的定义和二次函数的性质，关键是求函数解析式．
4．B
【分析】根据二次函数的性质，求解即可．
【详解】解：，，开口向下，有最大值，对称轴为，即轴；
，，开口向上，有最小值，对称轴为，即轴；
，，开口向上，有最小值，对称轴为，即轴；
共有的性质是：对称轴都是轴，
故选：B．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质．
5． 向下 轴
【分析】利用二次函数的性质判定即可．
【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴是轴，顶点坐标是，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．
故答案为：向下，轴，，，．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质．
6．见解析
【分析】根据抛物线与抛物线的性质进行比较即可．
【详解】抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是轴，即直线；顶点坐标是．抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下．
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 轴
向上 轴
向上 轴
【点睛】本题考查了的性质，掌握抛物线与抛物线的性质是解题的关键．
7．D
【分析】根据解析式，，可得图像开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，即可得．
【详解】解：∵，，
∴图像开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
故选：D．
【点晴】本题考查了二次函数的图像，熟练记住图像与系数的关系是关键．
8．##
【分析】根据给出的二次函数判断开口方向向上，对称轴为直线，即可根据自变量的大小判断函数值的大小
【详解】∵二次函数为：
∴
∴二次函数的开口向上，对称轴为：，
∴当时，二次函数的函数值随x的增大而减小，
∵，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称轴和开口方向是解决问题的关键
9．(1)，；
(2)．
【分析】（1）利用对称轴为直线，可得，
（2）根据原抛物线为，顶点坐标为：，求出关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为，即可求出关于y轴对称的抛物线的解析式为．
【详解】（1）解：∵对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与y轴交于点，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可知：该抛物线为：，顶点坐标为：
∴抛物线关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为，
∴该抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式为．
【点睛】本题考查二次函数的顶点式的图形及性质，点关于y轴对称的性质．
10．B
【分析】根据二次函数图象的性质进行求解即可．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴y的最大值是2，
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，对于二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，当时，二次函数有最小值k，在对称轴右边y随x增大而增大，在对称轴左边，y随x增大而减小；当时，二次函数有最大值k，在对称轴右边y随x增大而减小，在对称轴左边，y随x增大而增大．
11．或
【分析】根据二次函数的顶点坐标为，可得可设这个二次函数的解析式为，再根据图象的形状和与抛物线相同，可得，即可求解．
【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为，
∴可设这个二次函数的解析式为，
∵二次函数图象的形状与抛物线相同，，
∴，
∴，
∴这个二次函数的解析式为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，牢记形状相同的二次函数二次项系数的绝对值相等是解题的关键．
12．(1)a的值是，顶点坐标是；
(2)
【分析】（1）根据题目中的解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标，把点代入，可以求得a的值；
（2）根据二次函数的性质可以解答本题．
【详解】（1）解：∵，
∴该抛物线的顶点坐标是；
∵经过点，
∴，
解得，，
即a的值是；
（2）解：∵，，
∴该抛物线的图象在时，y随x的增大而增大，在时，y随x的增大而减小，
∵点都在该抛物线上，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
13．D
【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线,并确定二次函数的开口向下，即可得解.
【详解】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线，
结合的函数值与其他函数值比较可知：在对称轴处取得最大值2，故二次函数图象开口向下，顶点坐标为，当时，y的值随x值的增大而减小，且与x轴有两个交点，
故选项A,B,C都正确，选项D错误；
故选择：D
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，仔细观察分析表格数据，得到对称轴和开口方向是解答本题的关键．
14．
【分析】点P到y轴的距离小于1，即，根据得对称轴，分别把，和代入即可得n的取值范围．
【详解】解：根据，
∴对称轴，
因为点P到y轴的距离小于1，
∴，
∴当时，；
当时，；
当时，；
所以n的取值范围为，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质等知识内容，解题关键是掌握二次函数的性质．
15．(1)，
(2)（也对）
(3)或
(4)
【分析】（1）由抛物线与轴的交点坐标可得答案；
（2）求出二次函数的对称轴，然后根据其开口方向可得答案；
（3）由抛物线经过点及抛物线的对称性求解即可；
（4）求出二次函数的顶点坐标得出其最小值，然后将代入函数解析式即可得出其最大值，从而得解．
【详解】（1）解：由函数图像可知抛物线经过点，
∴是方程的解，
故答案为：，；
（2）抛物线的对称轴为，
∴当或时y随x的增大而减小，
故答案为：（也对）；
（3）由图像可知抛物线经过点，
∵抛物线的对称轴为，
∴抛物线经过点，
∴或时，，
故答案为：或；
（4）∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴函数的最小值为，
将代入得，
∴当时，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键时掌握二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
16．A
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
即，所以①正确；
②由二次函数图象可知，，，，
∴，故②错误；
③∵对称轴：直线，
∴，
∴，
∵，，，
∴，故③错误；
④∵对称轴为直线，抛物线与x轴一个交点，
∴抛物线与x轴另一个交点，
当时，，故④正确．
综上，①④正确．
故选：A．
【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
17．（答案不唯一）
【分析】此函数可以为二次函数（，，），结合条件求解即可．
【详解】解：∵顶点为，开口向下且与轴的交点在负半轴上的抛物线的解析式都是符合题意的，
∴我们可以写出一个函数是（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题是开放性试题，考查函数图形及性质的综合运用，对考查学生所学函数的深入理解、掌握程度具有积极的意义，本题的结论是不唯一的，其解答思路渗透了数形结合的数学思想．
18．(1)3
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）把点代入抛物线的关系式，求出m的值即可；
（2）根据二次函数图像的性质，求出对称轴，即可得出答案；
（3）先求出抛物线与x轴的两个交点，结合函数图像即可得出答案；
（4）根据二次函数的的增减性结合函数图像，求出当时，y的取值范围即可．
【详解】（1）解：把点代入抛物线的关系式得：．
故答案为：3．
（2）解：把代入得：
，
对称轴为直线，
∵，
∴当时y的值随x值的增大而减小；
故答案为：．
（3）解：根据解析（1）可知，抛物线的关系式为：，
把代入得：，解得：，，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：，，
∴结合函数图像可知，当时，抛物线在x轴上方；
故答案为：．
（4）解：结合函数图像可知，当时，y可以取最大值，且最大值为：
，
∵，
∴当时，函数有最小值，且最小值为：，
∴当时，y的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，对称轴，与x轴的交点，函数值，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质，注意进行数形结合．
19．B
【分析】根据二次函数图像的特点进一步求解即可.
【详解】∵二次函数的图像为抛物线，
∴两个不同二次函数的图像的交点最多只能有2个，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质与特点，熟练掌握相关概念是解题关键.
20．k=0或k＞2．
【分析】先根据题意画出y＝|ax2＋bx＋c|的图象，即可得出|ax2＋bx＋c|＝k（k≠0）有两个不相等的实数根时，k的取值范围．
【详解】解：∵当ax2＋bx＋c≥0，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象在x轴上方，
∴此时y＝|ax2＋bx＋c|＝ax2＋bx＋c，
∴此时y＝|ax2＋bx＋c|的图象是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x轴上方部分的图象．
∵当ax2＋bx＋c＜0时，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象在x轴下方，
∴此时y＝|ax2＋bx＋c|＝－(ax2＋bx＋c)，
∴此时y＝|ax2＋bx＋c|的图象是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x轴下方部分与x轴对称的图象．
∵y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点纵坐标是－2，
∴函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x轴下方部分与x轴对称的图象的顶点纵坐标是2，
∴y＝|ax2＋bx＋c|的图象如右图．
∵观察图象可得当k≠0时，
函数图象在直线y＝2的上方时，纵坐标相同的点有两个，
函数图象在直线y＝2上时，纵坐标相同的点有三个，
函数图象在直线y＝2的下方时，纵坐标相同的点有四个，
∴若|ax2＋bx＋c|＝k有两个不相等的实数根，
则函数图象应该在y＝2的上边，
故k＝0或k＞2．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是根据题意画出y＝|ax2＋bx＋c|的图象，根据图象得出k的取值范围．
21．(1)为2，为
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据，对称轴，求出的值，再把点代入函数即可求出的值；
（2）根据顶点坐标公式得出和，再利用得出；
（3）分情况根据对称轴的位置推出结论即可．
【详解】（1）解：∵函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∵函数的图象经过点，
∴，
∴；
（2）∵函数的最大值为，
∴，，
∵函数的最小值为，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（3）∵函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，且，
①若，，
则，
即，
∵，，
∴，
②若，，
则，
即，
∵，，
∴，
综上可知，．
【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标公式等知识是解题的关键．
22．B
【分析】设，因为抛物线上的，Q两点关于直线对称，故，，则，即可知道Q点的坐标．
【详解】解：依题意，设，
因为抛物线上的，Q两点关于直线对称，
所以，，
即，
那么Q点的坐标为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是二次函数图象的点的坐标以及二次函数图象的对称性等知识内容，经过函数的某点一定在函数的图象上．
23．D
【分析】根据对称轴和图象上点的坐标特征即可判断A；由表格数据可知抛物线开口向上，函数的对称轴为：，则，即可判断B、C；根据二次函数的性质即可判断D．
【详解】解：∵和时，函数值都是m，
∴点和关于抛物线的对称轴对称，
∴对称轴为，故选项A不符合题意；
∵对称轴为，
∴，
∴于的方程的两根为或，故选项B不符合题意；
∵，，
∴，
∴抛物线开口向上，
∴，，
∵，
∴，
∴，故选项C不符合题意；
∵抛物线开口向上，和时，函数值都是m，
∴时，的解为和，
∴，
∴关于的不等式的解集为或，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出开口方向和对称轴是解题的关键．
24．(1)，顶点坐标为
(2)①；②或
【分析】（1）把点代入，解得a的值并配方，得，即得二次函数图像的顶点坐标；
（2）①把代入即可；②结合函数图像，即可得到当时，该二次函数有最大值时的m的值．
【详解】（1）解：将点代入，
得，解得，
∴二次函数的解析式为，
配方，得，
∴顶点坐标为；
（2）解：①将代入，得.
∴当时，.
②由（1）可知抛物线的对称轴为直线，点关于直线的对称点为，如解图所示：
根据函数图像，若满足当时，该二次函数有最大值，则或，
∴或．
【点睛】本题主要考查二次函数图像性质以及应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并熟练二次函数图像性质以及应用知识内容．
25．D
【分析】根据表格，得出当时，的值为，当时，的值为，再根据，即可得出方程（，，，为常数）的一个近似解应大于且小于，再结合选项，即可得出结果．
【详解】解：∵由表格可知，当时，的值为，当时，的值为，
又∵，
∴方程（，，，为常数）的一个近似解应大于且小于，
又∵，
∴方程（，，，为常数）一个近似解为．
故选：D
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的近似解，解本题的关键在熟练掌握一元二次方程的解相当于在二次函数的函数值为时，自变量的值．
26． 3 0或6
【分析】令即可得到关于x的一元二次方程，求出x的值即可；令即可得到关于x的一元二次方程，求出x的值即可．
【详解】解：∵当的函数值为0，
∴，
解得，
当的函数值为9，
∴，
解得，，
故答案为：3；0或6．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，根据函数值得到关于x的一元二次方程，求出x的值是解答此题的关键．
27．(1)
(2)或
【分析】（1）设出二次函数的顶点式，然后将顶点坐标为，点直接代入即可．
（2）将代入（1）中求出的表达式，解方程即可．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
得
解得，
所以此函数的解析式为
（2）解：把代入
得，
解得 或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数表达式，以及求坐标的值，准确设出表达式是解题关键．
28．C
【分析】根据二次方程的两根为和5，求出，的值，从而得出函数解析式，再根据函数的性质求最值．
【详解】解：二次方程的两根为和5，
，
解得，
二次函数，
，
当时，有最小值，最小值为，
故选：C．
【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的最值，关键是求函数解析式．
29．A
【分析】首先求出二次函数的对称轴为，然后分两种情况和，分别根据题意列方程求解即可．
【详解】∵二次函数，
∴对称轴为，
当时，抛物线开口向上，
∴当时，
∴当时，的最小值为，
∴，解得；
当时，抛物线开口向下，
∴当时，
∵，
∴当时，的最小值为，
∴，解得，
综上所述，的值为．
故选：A．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
30．(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）根据二次函数的顶点式，进行配方即可求解；
（2）根据二次函数图象的性质，找出的范围对应的函数值，由此即可求解；
（3）根据图象，，图象与横坐标的交点的下方，由此即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得，，
∴改写形式为．
（2）解：∵抛物线开口向上，对称轴为，如图所示，
∴当时，二次函数与轴的交点坐标为；
当时，二次函数；
当时，二次函数；
∴当时，，有最小值；，有最大值，
故答案为：，．
（3）解：令时，，解得，，，
∴当时，的取值范围是．
【点睛】本题主要考查二次函数的顶点式，区间最大最小值，掌握二次函数图象及二次函数图象与坐标轴交点的计算方法是解题的关键．
31．B
【分析】根据抛物线的对称轴是直线求解即可．
【详解】解：抛物线的对称轴是直线，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
32．B
【分析】根据抛物线的顶点坐标为，即可求解．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的的顶点坐标为是解题的关键．
33．B
【分析】对于二次函数：①，图象开口向上；，图象开口向下；②越大，开口越小．
【详解】解：∵的图象开口向下
∴
∵的图象比的图象开口更大
∴
即
A：错误；B：正确；C：错误；D：错误．
故选：B
【点睛】本题考查的图象和性质，熟记相关结论是解题关键．
34．C
【分析】根据二次函数图像和性质即可求解．
【详解】解：二次函数中，，图像开口向下；顶点坐标是，对称轴为直线，当时，随的增大而增大；当，随的增大而减小，函数的最大值为，
∴、其图像的开口向下，故选项错误，不符合题意；
、图像的对称轴为直线，故选项错误，不符合题意；
、当时，随的增大而减小，正确，符合题意；
、函数有最大值，故选项错误，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查二次函数图像和性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
35．
【分析】根据题目中的函数解析式，可以直接写出该函数图象的顶点坐标．
【详解】解：二次函数，
该函数图象的顶点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
36．
【分析】根据题目中的解析式可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以列出相应的不等式，求出的取值范围．
【详解】解：抛物线的顶点在第一象限，
该抛物线的顶点坐标为，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的顶点，解答本题的关键是明确题意，准确得出二次函数的顶点坐标解答．
37．
【分析】分别求出，的值，再比较大小即可．
【详解】解：∵点，在抛物线上，
∴，
∴．
故答案为：.
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
38．
【分析】根据题意可得二次函数的对称轴为直线，进而可得的值，从而可得函数解析式，再把代入函数解析式可得的值．
【详解】解：由题意得：二次函数的对称轴为直线，
故，
把代入二次函数可得，
当时，，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数定点式，对称轴为直线．
39．(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】二次函数通过配方可以化为顶点式，即y=a(x－h)2+k，其中a决定了抛物线的开口方向，对称轴是x=h，顶点坐标是(h，k)；根据所给出的三个函数解析式，对照以上规律确定答案．
【详解】（1）开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，0)．
（2）开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，-7)．
（3）开口向上，对称轴为直线x=-3，顶点坐标为(-3，6)
【点睛】本题考查根据函数的表达式确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数的“顶点式”以及各个系数与抛物线的关系．
40．(1)见解析；
(2)点不在这个函数图像上；
(3)和．
【分析】（1）根据对称性可直接画出图象；
（2）代入横坐标或纵坐标都可判断；
（3）代入即可求出坐标．
【详解】（1）如图所示，
（2）当时，
，
∴点不在这个函数图象上；
（3）当时，
，
∴，
∴时，对应的函数图象上的点的坐标为：和．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，解题关键是运用好数形结合的思想．
41．A
【分析】根据形如的二次函数的的值互为相反数时，开口方向相反，顶点相同，对称轴相同，即可得到答案．
【详解】解：抛物线与的二次项系数互为相反数，
其开口方向相反，顶点相同，对称轴相同，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握形如的二次函数的的值互为相反数时，开口方向相反，顶点相同，对称轴相同，是解题的关键．
42．D
【分析】根据二次函数的对称性，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∵点都在该抛物线上，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是熟记二次函数的增减性．
43．C
【分析】根据二次函数的图象，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵直线的图象与函数的图象分别交于点，
A、若，如图所示，
则，故A选项不合题意；
B．若，如图所示，
则或故B选项不合题意，
C．若，如图所示，
∴，故C选项正确，D选项不正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
44．D
【分析】根据待定系数法求出函数，的解析式；设直线为，直线经过函数，，可求出，的值，即可求出的值．
【详解】∵抛物线和抛物线分别交于点、，
∴，，
∴，，
设直线为，
∵直线经过函数，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，掌握数形结合的解题方法．
45．2
【分析】根据二次函数的顶点式确定顶点坐标是（4，2），即可确定函数的最小值．
【详解】解：，
∴此函数的顶点坐标为，
∴又，
∴函数图象开口向下，
∴当时，y取得最小值，最小值为2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，掌握二次函数顶点式并会根据顶点式求最值是解题关键．
46．上升
【分析】先求出抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的增减性即可解答．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∴y轴右侧部分上升．
故答案为：上升．
【点睛】本题主要考查二次函数的增减性，掌握开口向上的二次函数图像在对称轴右侧y随x的增大而增大是解题的关键．
47．
【分析】设，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．
【详解】解：因为直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，，
所以，．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图象，本题采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小是解题的关键．
48．3
【分析】根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为，
∴长的最小值为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次函数(a，h，k为常数，)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是y轴．
49．见解析
【分析】根据抛物线与抛物线的性质进行比较即可．
【详解】抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是轴，即直线；顶点坐标是．抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下．
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 轴
向上 轴
向上 轴
【点睛】本题考查了的性质，掌握抛物线与抛物线的性质是解题的关键．
50．(1)，对称轴为y轴
(2)点不在此函数的图象上
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再求出对称轴即可；
（2）求出当，y的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为，
∴二次函数对称轴为y轴；
（2）解：在中，当时，，
∴点不在此函数的图象上．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
51．C
【分析】根据抛物线的平移规则，上加下减，左加右减，即可得出结论．
【详解】解：将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，所得的抛物线：，即，
故选C．
【点睛】此题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握抛物线的平移规则，上加下减，左加右减，是解题的关键．
52．C
【分析】根据抛物线解析式得到顶点坐标为，然后由抛物线的增减性得到当时，二次函数恰好有最大值2，代入求出a的值即可．
【详解】解：∵，
∴该抛物线开口向下，且顶点坐标是，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴当时，二次函数恰好有最大值2，且，
即，
解得 ，（舍去），
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式和增减性是解题的关键．
53．D
【分析】根据一次函数和二次函数的图像特征，判定出a的正负即可．
【详解】解：由图可知：
A、正比例函数的，二次函数中的，a不一致，故此选项不符合题意；
B、正比例函数的，二次函数中的且，a不一致，故此选项不符合题意；
C、正比例函数的，二次函数中的，a不一致，故此选项不符合题意；
D、正比例函数的，二次函数中的，a一致，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数图像的分布，熟练掌握图像分布的符号特征是解题的关键．
54．B
【分析】根据表达式求出对称轴，对的正负进行分类讨论，求出每种情况的最小值即可．
【详解】解：的对称轴为直线，
顶点坐标为，
当时，在，
∵y的最小值为，
∴，
∴；
时，在，
当时函数有最小值，
∴，
解得；
综上所述：a的值为4或，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，对的分类讨论是本题的解题关键．
55．
【分析】根据抛物线开口向上，对称轴为，判定在对称轴的右侧，随的增大而增大，即可求解．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线开口向上，对称轴为，
∴抛物线上与点关于对称的点的坐标为，
∴当时，随的增大而增大，
∵ ，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了抛物线的开口，对称轴，函数的增减性，熟练确定函数的增减性，判断点与对称轴的位置关系是解题的关键．
56．
【分析】先求抛物线的顶点坐标，顶点的横纵坐标之积即为值．
【详解】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为：，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查二次函数的性质，求反比例函数的解析式．解题的关键是掌握的顶点坐标为：．
57． ； ．
【分析】（）根据二次函数表达式特点可求顶点坐标；
（）由题意写出、的坐标，再根据中点坐标得出点坐标，再由轴得出点坐标即可．
【详解】解：（1）∵，
∴抛物线的顶点坐标是，
故答案为：，
（2）依据题意可知，点的坐标为，点的坐标为，，
∵为线段的中点，
∴的坐标为，
∵轴，
∴点的坐标为，
∴CD＝．
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的相关知识点是解决本题的关键．
58． ## 4
【分析】（1）直接利用抛物线的对称轴公式可得答案；
（2）分三种情况讨论：当，即，则当时，y有最小值，最小值为，当，即，则当时，y有最小值，当，即，则当时，y有最小值，从而可得答案．
【详解】解：（1）∵二次函数，
∴对称轴为直线：，
故答案为：；
（2）当，即，
则当时，y有最小值，最小值为，不合题意，舍去；
若，即，则当时，y有最小值，
∴，
∴，解得（舍去），；
当，即，
则当时，y有最小值，
∴，解得（舍去）．
故答案为4．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．
59．(1)
(2)
【分析】（1）根据“反倍顶二次函数”的定义，求出顶点坐标即可解决问题；
（2）根据“反倍顶二次函数”的定义，列出方程即可解决问题．
【详解】（1）解：，
二次函数的顶点坐标为，
二次函数的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为，
这个“反倍顶二次函数”的解析式为；
（2），顶点坐标为，
，顶点坐标为，
函数恰好是的“反倍顶二次函数”，
，
解得．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握配方法确定顶点坐标是解题的基础，属于中考常考题型．
60．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）当，，将代入，得，，计算求解即可；
（2）当，，由，可得当时，有最小值为，由当时，对应函数值y的最小值是，可知当时，在处，函数值y的最小值是，当，，计算求出满足要求的解，进而可得二次函数解析式；当时，在处，函数值y的最小值是，当，，计算求出满足要求的解，进而可得二次函数解析式；
（3）由题意知，，由直线经过点M，可得，解得，即，，由抛物线与y轴交于点C，可知当，，则，由直线与抛物线交于另一点D，且轴，可知关于直线对称，点纵坐标为，将，代入，得，解得，则，根据，计算求解，进而可确定抛物线的解析式．
【详解】（1）解：当，，
将代入，得，，解得，
∴h的值为；
（2）解：当，，
∵，
∴当时，有最小值为，
∵当时，对应函数值y的最小值是，
∴当时，在处，函数值y的最小值是，
当，，解得，，（舍去），
∴；
当时，在处，函数值y的最小值是，
当，，解得，，（舍去），
∴；
综上所述，或；
（3）解：由题意知，，
∵直线经过点M，
∴，解得，
∴，
∴，
∵抛物线与y轴交于点C，
当，，
∴，
∵直线与抛物线交于另一点D，且轴，
∴关于直线对称，点纵坐标为，
将，代入，得，解得，
∴，
∴，解得，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法，掌握分类讨论思想和数形结合思想是解题的关键．
答案第1页，共2页
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