第1章第04讲二次函数的应用（9类题型）（含解析）2023-2024学年九年级数学上册浙教版
文档属性
| 名称 | 第1章第04讲二次函数的应用（9类题型）（含解析）2023-2024学年九年级数学上册浙教版 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 5.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-16 22:51:49 | ||
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文档简介
第04讲 二次函数的应用（9类题型）
课程标准 学习目标
1.了解二次函数的应用问题； 1.能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型．利用二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的性质解决简单的实际问题，能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题． 2.能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数关系式，并能应用二次函数的相关性质解决实际几何问题，体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型．
知识点01：二次函数的应用
1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系（即函数关系）．
2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．
3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．
4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题．
5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．
6.写出答案．
【即学即练1】（2023·全国·九年级专题练习）
1．2022年的卡塔尔世界杯受到广泛关注，在半决赛中，梅西的一脚射门将足球沿着抛物线飞向球门，此时，足球距离地面的高度h与足球被踢出后经过的时间t之间的关系式为．已知足球被踢出9s时落地，那么足球到达距离地面最大高度时的时间t为（ ）
A． B． C． D．
【即学即练2】（2023·山西晋中·山西省平遥中学校校考模拟预测）
2．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时，平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元时，平均每天能多售出4件．求当每件的定价为多少元时，该服装店平均每天的销售利润最大？小颖的想法是根据“销售利润=（售价-成本）×销售量”列出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，把二次函数解析式转化为顶点式进行解答．这种解法体现的数学思想是（ ）
A．整体思想 B．函数思想 C．方程思想 D．公理化思想
题型01 图形问题
（2022秋·安徽阜阳·九年级校考期中）
3．如图，晓波家的院墙一边靠墙处，用米长的铁栅栏围成了三个相连的养殖小院子，总面积为平方米，为方便喂养这些不同类的动物，在各个养殖院子之间留出了米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个米宽的缺口作小门．若设米，则关于的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
（2023·四川成都·统考二模）
4．如图是某小区大门上方拱形示意图，其形状为抛物线，测得拱形水平横梁宽度为8m，拱高为2m，在五一节到来之际，拟在该拱形上悬挂灯笼（高度为1m），要求相邻两盏灯笼的水平间距均为1m，挂满后不擦横梁且成轴对称分布，则最多可以悬挂 个灯笼．
（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）
5．如图，用总长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖鸡棚，墙长为．
(1)如果这个矩形鸡棚与墙平行的一边长为，求鸡棚与墙垂直的一边的长（用含a的式子表示）
(2)设鸡棚与墙垂直的一边的长为xm，求这个矩形鸡棚面积S与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围
(3)试探索，这个矩形鸡棚的面积S能否等于，若可以，求出此时的长，若不行，请说明理由．
题型02 图形运动问题
（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）
6．如图，中，，，点P和点Q分别从点B和点C同时出发，沿射线向左运动，且速度相同，过点P作，垂足为H，连接，设点P运动的距离为，的面积为S，则能反映S与x之间的函数关系的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·河南郑州·九年级校考期末）
7．如图①，在中，，，点是边上一动点，过点作，交边（或）于点．设，的面积为，如图②是与的函数关系的大致图像，则的长为（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·内蒙古通辽·九年级校考期中）
8．已知：如图所示，在中，， cm， cm，点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．
(1)如果分别从同时出发，那么几秒后，的面积等于4cm2？
(2)几秒时，的面积最大？请说明理由．
题型03 拱桥问题
（2023·山西大同·大同一中校考模拟预测）
9．如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为，两侧距地面高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个门洞内部顶端离地面的距离为（ ）
A． B．8 C． D．
（2023·浙江·九年级假期作业）
10．某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度为40米，桥拱的最大高度为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与的距离为5米的景观灯杆的高度为（ ）
A．13米 B．14米 C．15米 D．16米
（2023·河南郑州·校考三模）
11．一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度为20米时，拱顶点O距离水面的高度为4米．如图，以点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)汛期水位上涨，一艘宽为5米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米（横截面可看作是长为5米，宽为3米的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）．
题型04 销售问题
（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）
12．2022年新冠病毒变异株奥密克戎来势汹汹，为了更好地让顾客做好防护，某商场销售一款升级版的KN95口罩，市场信息显示，销售这种口罩，每天所获的利润y（元）与售价x（元/个）之间关系式满足，第一天将售价定为16元/个，当天获利132元，第二天将售价定为20元/个，当天获利180元．则这种口罩的成本价是多少元/个？（单位利润=售价 成本价）（ ）
A．10 B．12 C．14 D．15
（2022秋·北京·九年级北京工业大学附属中学校考期中）
13．某服装店销售一批服装，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果一件衣服每降价1元，商店平均每天可多售出2件，则每件衣服降价 元时，服装店每天盈利最多．
（2023·安徽合肥·校考一模）
14．某市公安局交警支队在全市范围内开展“一盔一带”安全守护行动，某商场的头盔销量不断增加，该头盔销售第天与该天销售量（件）之间满足函数关系式为：（且为整数），为减少库存，该商场将此头盔的价格不断下调，其销售单价（元）与第天成一次函数关系，当时，，当时，．已知该头盔进价为元／件．
(1)求与之同的函数关系式；
(2)求这天中第几天销售利润最大，并求出最大利润；
(3)在实际销售的前天，为配合“骑乘人员佩戴头盔专题周”活动的开展，商场决定将每个头盔的单价在原来价格变化的基上再降价元（）销售，通过销售记录发现，前8天中，每天的利润随时间（天）的增大而增大，试求的取值范围．
题型05 投球问题
（2023·上海·九年级假期作业）
15．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）具有函数关系为，则小球从飞出到落地的所用时间为（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）
16．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系（如图），发现铅球与地面的高度和运动员出手点的水平距离之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是 m．
（2023·河南周口·统考三模）
17．科技进步促进了运动水平的提高．某运动员练习定点站立投篮，他利用激光跟踪测高仪测量篮球运动中的高度．图1所示抛物线的一部分是某次投篮训练中篮球飞行的部分轨迹，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知篮球每一次投出时的出手点到地面的距离都为．当球运行至点处时，与出手点的水平距离为，达到最大高度为．
(1)求该抛物线的表达式．
(2)在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽，但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守队员前来盖帽，已知防守队员的最大摸球高度为3.05m，则他应在运动员前面什么范围内跳起拦截才能盖帽成功？
题型06 喷水问题
（2023春·湖南长沙·八年级校联考期末）
18．为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点O的距离为4，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系式，则水流喷出的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
（2023·上海·九年级假期作业）
19．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱如图所示．现以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立直角坐标系，喷出的抛物线水柱对应的函数解析式是，则水管长为 ．
（2023·甘肃兰州·统考一模）
20．如图为某居民小区计划修建的圆形喷水池的效果图，在池中心需安装一个柱形喷水装置，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高高度为．水柱落地处离池中心的水平距离为．小刚以柱形喷水装置与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，柱形喷水装置所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．水柱喷出的高度y()与水平距离x()之间的函数关系如图．
(1)求表示该抛物线的函数表达式：
(2)若不计其他因素，求柱形喷水装置的高度．
题型07 增长率问题
（2023·福建·统考中考真题）
21．根据福建省统计局数据，福建省年的地区生产总值为亿元，年的地区生产总值为亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
（2022秋·湖北省直辖县级单位·九年级校考期中）
22．仙桃市大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全市学校的设施和设备进行全面改造，年市政府已投资亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计年投资亿元人民币，那么每年投资的增长率为 ．
（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）
23．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件．
(1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率；
(2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件．
①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？
②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？
题型08 其他问题
（2023春·广东深圳·七年级校考期末）
24．游乐园里的大摆锤如图1所示，它的简化模型如图2，当摆锤第一次到达左侧最高点A点时开始计时，摆锤相对地面的高度y随时间t变化的图象如图3所示．摆锤从A点出发再次回到A点需要（ ）秒．
A．2 B．4 C．6 D．8
（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）
25．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为，那么两排灯的水平距离是 米．
（2023·河南南阳·校考三模）
26．某校为加强学生的身体素质，举行了丰富多彩的体育活动，本周末，将举行“跳大绳”比赛，比赛规则：每班选择两名学生在距离的位置摇动大绳，大绳下至少有10名学生同时跳绳，按同时跳绳的时间计算名次．九（2）班选择小明和小亮摇动大绳，在训练中发现，他们持绳点距地面均为，大绳在最高处时，大绳的形状可近似看作抛物线，如图，以小明的持绳点的竖直方向为y轴，以水平地面为x轴建立平面直角坐标系，小明和小亮的持绳点分别为点A和点B，在离点O的水平距离为时，大绳的最大高度为．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)为增加比赛的观赏性，九（2）班准备选择若干名身高均为的同学参与跳绳，已知每位同学在绳下的距离均为，请问，九（2）班这样的设计是否能够达到比赛的要求？请说明理由．
题型09 二次函数的综合问题
（2023·北京昌平·统考二模）
27．《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校小组仿制了一套浮箭漏，通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到表格如下．
供水时间（小时） 0 2 4 6 8
箭尺读数（厘米） 6 18 30 42 54
那么箭尺读数和供水时间最可能满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系
（2023·山东淄博·统考一模）
28．华罗庚说过：“复杂的问题要善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失重要性的地方，是学好数学的一个诀窍．”可见，复杂的问题有时要“退”到本质上去研究．如图，已知抛物线的图象与f的图象关于直线对称，我们把探索线的变化规律“退”到探索点的变化规律上去研究，可以得到图象f所对应的关于x与y的关系式为．若抛物线与g的图象关于对称，则图象g所对应的关于x与y的关系式为 ．
（2023·黑龙江佳木斯·统考三模）
29．如图，拋物线与轴的两个交点分别为点，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在该抛物线上，当的面积为时，直接写出点的坐标．
A夯实基础
（2022秋·河南周口·九年级统考期中）
30．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是．小球运动到最高点所需的时间是（ ）
A．2s B．3s C．4s D．5s
（2023秋·全国·九年级专题练习）
31．小明在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的表达式为，其中是实心球飞行的高度，是实心球飞行的水平距离，则小明此次郑球过程中，实心球的最大高度是（ ）
A． B． C． D．
（2023·浙江·九年级假期作业）
32．某车的刹车距离（m）与开始刹车时的速度（m/s）之间满足二次函数，若该车某次的刹车距离为m，则开始刹车时的速度为（ ）
A．4m/s B．5m/s C．8m/s D．10m/s
（2023秋·全国·九年级专题练习）
33．2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价每提高2元，则每天少卖4套．设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，则该商品每天销售套件所获利润w与x之间的函数关系式为（ ）．
A． B．
C． D．
（2023·山西运城·校联考模拟预测）
34．标准大气压下，质量一定的水的体积与温度之间的关系满足二次函数，则当温度为时，水的体积为 ．
（2023秋·全国·九年级专题练习）
35．如图，隧道的截面是抛物线，可以用表示，该隧道内设双行道，一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为米，宽为米，如果要安全通过隧道，应满足 ．
（2023·山西大同·校联考模拟预测）
36．太原地铁2号线开通两年多以来，极大地便利了人们的生活．小明早晨从小店区西桥站出发，乘坐一段地铁后，换骑共享单车去学校，经过多次乘坐发现，骑共享单车的时间与乘坐地铁路程之间满足二次函数，几个地铁站点与出发站之间的距离如下表：
地铁站点 … …
… 8 9 10 13 …
若小明骑共享单车所需的时间最少，则他乘坐地铁应到达的站点为 站点．
（2023·浙江·九年级假期作业）
37．如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为 ．
（2023春·江苏盐城·八年级校考期中）
38．某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克．
(1)若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？
(2)通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？
（2023·河南信阳·统考一模）
39．掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
(1)求关于的函数表达式；
(2)根据中考体育考试评分标准（男生版），投据过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．
B能力提升
（2023秋·全国·九年级专题练习）
40．某种品牌的服装进价为每件元，当售价为每件元时，每天可卖出件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价元，每天可多卖出件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价元，每天售出服装的利润为元，则与的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
（2023秋·全国·九年级专题练习）
41．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·全国·九年级专题练习）
42．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（万元）与销售量x（辆）之间分别满足：，，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（ ）
A．30万元 B．38万元 C．46万元 D．48万元
（2023秋·浙江·九年级专题练习）
43．某市公园欲修建一个圆型喷泉池，在水池中垂直于地面安装一个柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图所示），水平距离与水流喷出的高度之间的关系式为，则水流喷出的最大高度是（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·北京海淀·九年级北京交通大学附属中学校考开学考试）
44．已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，则的面积为 ．
（2022秋·江苏淮安·九年级校考阶段练习）
45．如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽为6米，则当水面下降 米时，水面宽度为米．
（2022秋·湖南衡阳·九年级校考阶段练习）
46．当一枚火箭被竖直向上发射时，如果它的高度与时间之间的关系可以用公式表示，那么火箭到达最高点，经过的时间为 ．
（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）
47．一名男生投实心球，已知球行进的高度与水平距离之间的关系为，那么该男生此次投实心球的成绩是 ．
（2023春·江苏南通·八年级校考阶段练习）
48．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，比物线经过点，与轴的另一个交点为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直线下方拋物线上一动点，求四边形面积最大时点的坐标．
（2023秋·北京·九年级清华附中校考开学考试）
49．2023年8月5日，在成都举行的第31届世界大学生夏季运动会女子篮球金牌赛中，中国队以99比91战胜日本队，夺得冠军．女篮最重要的球员之一韩旭在日常训练中也迎难而上，勇往直前．投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是，韩旭进行了两次投篮训练．
(1)第一次训练时，韩旭投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m 0 1 2 3 4 …
竖直高度y/m …
①在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；
②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是______，并求y与x满足的函数解析式；
③已知此时韩旭距篮筐中心的水平距离，韩旭第一次投篮练习是否成功，请说明理由；
(2)第二次训练时，韩旭出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，若投篮成功，此时韩旭距篮筐中心的水平距离d_____5（填“”，“”或“”）．
C综合素养
（2023秋·全国·九年级专题练习）
50．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果、分别从、同时出发，那么经过（ ）秒，四边形的面积最小．
A．0.5 B．1.5 C．3 D．4
（2021秋·广东江门·九年级校考阶段练习）
51．竖直上抛的物体离地面的高度与运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度，是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，则小球达到的离地面的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·全国·九年级专题练习）
52．抛物线与轴交于A，两点，点A在点左侧，且，为轴正半轴上一点，抛物线与轴交于点，点C和点关于轴对称．当抛物线在直线的上方时，的取值范围是（ ）
A．或 B． C．或 D．
（2023·江苏南通·统考中考真题）
53．如图，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则的值为（ ）
A．54 B．52 C．50 D．48
（2023秋·福建福州·九年级校考开学考试）
54．如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段于两点C、D．当点，四边形为正方形时，则线段的长为 ．
（2022春·安徽宿州·九年级校考期中）
55．已知：直线与抛物线交于点，，抛物线的顶点为点，对称轴与直线交于点．
（1）抛物线的解析式为 ；
（2）动点为直线上方对称轴左侧抛物线上一点，当的面积最大时，点的坐标为 ．
（2023春·安徽·九年级专题练习）
56．已知二次函数，
（1）随着a的取值变化，图象除经过定点，请写出图象经过的另一个定点坐标 ；
（2）若抛物线与x轴有交点，过抛物线的顶点与定点作直线，该直线与x轴交于点，且，则a的取值范围为 ．
（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）
57．如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为 ．
（2023春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）
58．某公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现：
①这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如下表：
时间t（天） 1 3 5 7 9 …
日销售量m（件） 94 90 86 82 78 …
②未来40天内，该商品每天的单价y（元/件）与时间t（天）（t为整数）之间关系的函数图象如图所示：
请结合上述信息解决下列问题：
(1)经计算得，当时，y关于t的函数关系式为；则当时，y关于t的函数关系式为_____．观察表格，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的刻画m与t的关系，请写出m关于t的函数关系式为_____．
(2)请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（2023秋·湖北孝感·九年级校考开学考试）
59．已知二次函数的图象如图所示，与坐标轴的交点分别为A、B、C．
(1)求此函数解析式，及A、B、C的坐标，
(2)如果点是此二次函数的图象上一点，若，则的取值范围为______（直接写出结果）
(3)在轴上方的抛物线上是否存在点D，使得的面积为8，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据题意可得当时，，再代入，可得到该函数解析式为，然后化为顶点式，即可求解．
【详解】解：根据题意得：当时，，
∴，
解得：，
∴该函数解析式为，
∵，
∴足球到达距离地面最大高度时的时间t为．
故选：D
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，关键是正确确定函数解析式，掌握函数函数图象经过的点必能满足解析式．
2．B
【分析】利用二次函数的性质求最值体现了函数思想．
【详解】解：根据二次函数的性质求最值体现了函数思想，
故选：B．
【点睛】本题考查了利用二次函数的性质求最值，这种方法是函数思想的运用．
3．D
【分析】如图所示（见详解），设米，则可求出的长，根据矩形的面积公式即可求解．
【详解】解：如图所示，
设米，则，
又小院子的总面积为，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查二次函数的运用，理解图形面积的计算方法，掌握数量关系，准确列出函数关系式是解题的关键．
4．6
【分析】以抛物线状拱形的顶点为原点，建立直角坐标系，即设抛物线的解析式为：，结合图象求出抛物线解析式为：，当时，可得，如图，，问题随之得解．
【详解】如图，以抛物线状拱形的顶点为原点，建立直角坐标系，即设抛物线的解析式为：，
根据题意可知：，
将代入中，有，
解得：，
则抛物线解析式为：，
当时，，解得：，
如图，，
∵相邻两盏灯笼的水平间距均为1m，且按轴对称的方式摆放，
∴共计最多可以挂6盏灯笼，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，构造合适的直角坐标系，求出二次函数的解析式，是解答本题的关键．
5．(1)
(2)，
(3)这个矩形鸡棚的面积S不能等于
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）由题意可知，然后根据矩形面积可进行求解；
（3）由（2）及根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：；
（2）解：由题意得：，
∵，
∴；
（3）解：由（2）可知：，
化简得，
∵，
∴该方程无实数解，
即这个矩形鸡棚的面积S不能等于．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用及二次函数的应用，熟练掌握一元二次方程的应用及二次函数的应用是解题的关键．
6．A
【分析】过点H作于点D，根据题意可得是等边三角形，从而得到，，然后根据直角三角形的性质可得，，再根据三角形的面积公式可得S与x之间的函数关系式，即可求解．
【详解】解：如图，过点H作于点D，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴S与x之间的函数关系的图像为抛物线的一部分，且开口向上．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的图像，根据题意准确得到S与x之间的函数关系式是解题的关键．
7．D
【分析】先确定与的函数关系式，判断的面积与的关系，分类讨论：点在上时，点在上时，点在点上时，由此即可求解．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∴的面积为，
当时，，则（舍去），，
∴当时，，
当点从点到点时，的面积，随的增大而增大；
当点从点到点时，如图所示，
∵，，
∴，，
∴，
的面积，此时随的增大而减小，
∴当点到点处，的面积最大，且，如图所示，
∴在中，，，，
∴，，
故选：．
【点睛】本题主要考查三角形与动点问题，理解动点运动图像的变换，结合面积图像的最大值是解题的关键．
8．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）设经过x秒钟，的面积等于4cm2，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解．
（2）设经过t秒以后面积最大，用含的式子表示的面积，即可得出结论．
【详解】（1）解：设经过x秒以后面积为，则
，
整理得：，
解得：，
∵当时，，
∴不合题意，
答：1秒后的面积等于；
（2）解：当秒时，面积最大．理由如下：
设经过t秒以后面积最大，则
，
当秒时，面积最大．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“的面积最大”得出等量关系是解决问题的关键．
9．D
【分析】建立直角坐标系，得到二次函数，门洞高度即为二次函数的顶点的纵坐标.
【详解】解：如图，以地面为x轴，门洞中点为O点，画出y轴，建立直角坐标系，
由题意可知各点坐标为，，，
设抛物线解析式为把B、D两点带入解析式，
∴，解得：，
∴解析式为，则，
所以这个门洞内部顶端离地面的距离为，
故选D.
【点睛】本题考查二次函数的简单应用，能够建立直角坐标系解出二次函数解析式是本题关键.
10．C
【分析】以所在直线为x轴、所在直线为y轴建立坐标系，可设该抛物线的解析式为，将点B坐标代入求得抛物线解析式，再求当时y的值即可．
【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系，
设抛物线表达式为，
由题意可知，B的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴当时，．
答：与距离为5米的景观灯杆的高度为15米，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求抛物线解析式的知识，建立合适的平面直角坐标系是解题的关键．
11．(1)该抛物线的解析式；
(2)水面宽度为米．
【分析】（1）由题意可以写出A点坐标，设抛物线解析式为，把点A的坐标代入求出a，c的值即可；
（2）把代入抛物线解析式，求出对应函数值y，再把代入计算即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
∴桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面高度为4米，
∴点，
∴，解得：，
∴该抛物线的解析式；
（2）解：∵船宽5米，
∴当时，，
若该渔船能安全通过，此时水面高为米，
∴当时，，
解得，
∴水面宽度为米．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，运用二次函数解实际问题的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
12．A
【分析】根据题意列方程组求出二次函数的解析式，再列方程即可得到结论．
【详解】解：由题意知：当时，；当时，代入中，
得，
解得：，
∴，
当每天利润为0元时，售价即为成本价．令，
解得：，
由题意可知38不符合条件，
∴，
∴这种口罩的成本价是10元/个；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．
13．15
【分析】根据总利润=单价利润×销售数量，列出二次函数，利用二次函数的性质求最值即可．
【详解】解：设每件衣服降价元，获得的总利润为元，
由题意得：，
整理得：，
∴当时，取得最大值；
故答案为：15．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用：销售问题．根据总利润=单价利润×销售数量准确的列出函数解析式是解题的关键．
14．(1)与之间的函数关系式为（）
(2)第天利润最大，最大值为元
(3)的取值范围为
【分析】（1）根据待定系数法即可求解；
（2）根据题意，设总利润为元，可得出总利润与第天的函数关系，根据二次函数顶点式即可求解；
（3）根据数量关系，二次函数图像的性质即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，设，当时，，当时，，
∴，解得：，
∴与之间的函数关系式为（）．
（2）解：设总利润为元，则
，
当时，取得最大值，
∴第天利润最大，最大值为：（元）．
（3）解：由题意可设第天的销售利润为元，则
，
∴对称轴为
又知前天中，每天的利润随时间（天）的增大而增大，
∴即，
又，
∴．
【点睛】本题主要考查销售问题，理解题目中数量关系，二次函数图像的性质是解题的关键．
15．D
【分析】根据二次函数的图象与性质解题．
【详解】解：依题意，令得，
得，
解得（舍去）或，
即小球从飞出到落地所用的时间为，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
16．10
【分析】根据铅球落地时，高度，实际问题可理解为当时，求的值即可；
【详解】
当时，得：
，
解得：，（舍去）
即铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是
故答案为：10
【点睛】本题考查了二次函数的应用，利用时求出的值是解题关键．
17．(1)
(2)应在运动员前面范围内跳起拦截才能盖帽
【分析】（1）根据题意得出，，设，待定系数法求解析式即可求解．
（2）根据题意，令，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵到地面的距离都为．当球运行至点处时，与出手点的水平距离为，达到最大高度为
∴，，
设抛物线解析式为，
将点代入得，，
解得：，
∴抛物线解析式为，
（2）将代入解析式，，
解得：或（舍去），
答：应在运动员前面范围内跳起拦截才能盖帽．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
18．A
【分析】根据点A到点O的距离为4，得到,代入求得，再将解析式化为顶点式即可得解；
【详解】点A到点O的距离为4，
,
把代入得
，
，
，
水流喷出的最大高度为，
故选择：Ａ
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，正确的求出函数解析式是解题的关键．
19．
【分析】由题意令，得到的值即为水管的长．
【详解】解：在中，
令，得，
水管的长为
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的运用，解题的关键是理解水管的长即是时的值．
20．(1)抛物线函数表达式为或
(2)m
【分析】（1）根据顶点坐标，设该抛物线的函数表达式为,由题意得，该抛物线经过点，待定系数法求解析式即可求解．
（2）当时，代入解析式，解得．
【详解】（1）解：由于点为抛物线的顶点，
因此可设该抛物线的函数表达式为，
由题意得，该抛物线经过点，可得，
解得，
∴该抛物线函数表达式为或．
（2）当时，，解得．
答：柱形喷水装置的高度为m．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意求得解析式是解题的关键．
21．B
【分析】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可求解．
【详解】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
22．
【分析】设每年投资的增长率为，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设每年投资的增长率为，根据题意得，
解得：（舍去）
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
23．(1)
(2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元
【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可；
②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可．
【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得
，
解得： ， (不符合题意，舍去)，
∴，
答： 第二、三天的日平均增长率为10%．
（2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得
，
解得：，，
∵要使顾客得到实惠，
∴，
答：每件应张价5元；
②设每件涨价应为z元，根据题意，得
，
解得：，
∴，
答：每件涨价应为8元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
24．D
【分析】根据函数图象即可解答．
【详解】由函数图象发现当摆锤第一次到达左侧最高点到第一次到达右侧最高点一共用了4秒，从右侧最高点回到左侧最高点也是4秒，
∴摆锤从A点出发再次回到A点需要秒，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，正确从图象中获取信息是解题的关键．
25．
【分析】把代入解析式，再解方程即可得结论．
【详解】解：根据题意，当时，则，
解得：，，
∴两排灯的水平距离是米．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解决．
26．(1)（或）
(2)能够达到比赛的要求，见解析
【分析】（1）根据题意，抛物线顶点为，过点，用待定系数法可得函数解析式；
（2）结合（1）令得，或，根据，可知在绳下可以站11人，故九（2）班这样的设计能够达到比赛的要求．
【详解】（1）设大绳所在抛物线的解析式为
由题意得顶点坐标为，则抛物线解析式为，
将点代入可得，，
∴所求的抛物线的解析式是（或）；
（2）当时，，
解得，，
（人）
则九（2）班这样的设计能够达到比赛的要求．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出函数关系式．
27．B
【分析】先建立平面直角坐标系，然后描出各点，观察这些点的分别规律即可得出结论．
【详解】解：如图，以供水时间为横轴，箭尺读数为纵轴建立平面直角坐标系，描出以表格中数据为坐标的点，，，，：
观察图中各点的分布规律，可知它们都在同一条直线上，
∴箭尺读数和供水时间最可能满足的函数关系是一次函数．
故选B．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象是一条直线是解题的关键．
28．
【分析】设，为图象上任意点，则关于的对称点为，，把，代入抛物线后即可得出要求的函数解析式；
【详解】解：设，为图象上任意点，则关于的对称点为，，
把，代入得∶
∴，
故答案为∶．
【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换的知识，明确关于的对称的点的坐标特征是解题的关键．
29．(1)
(2)或
【分析】（1）将点，的坐标分别代入，求出，；
（2）以为底，求出的高，即点的纵坐标的绝对值，进而将的纵坐标代入抛物线的表达式，求解其横坐标．
【详解】（1）解：点，在抛物线上，
，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：，，
．
又，
，即．
①令，该方程无解，不符合题意；
②令，解得，．
或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与三角形面积的综合，熟练掌握相关知识是解题的关键．
30．B
【分析】先将二次函数一般式化为顶点式，再根据二次函数性质即可求解．
【详解】解： ，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为45．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，将实际问题化为数学问题，并熟知二次函数的性质是解题关键．
31．B
【分析】由可得抛物线的顶点坐标为：，结合函数的性质可得答案．
【详解】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为：，
∵，
∴实心球的最大高度是，
故选B．
【点睛】本题考查的是抛物线的图像与性质，掌握“利用顶点式求解抛物线的顶点坐标或函数的最值”是解本题的关键．
32．D
【分析】本题实际是告知函数值求自变量的值，代入求解即可，另外实际问题中，负值舍去．
【详解】解：当刹车距离为m时，即可得，
代入二次函数解析式得：，
解得，（舍），
故开始刹车时的速度为m/s，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，明确、代表的实际意义，刹车距离为m，即是，难度一般．
33．C
【分析】根据题意找出等量关系：总利润=单个利润×数量，即可列出函数关系式．
【详解】解：根据题意得：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数得实际应用，解题的关键是正确地根据题意找出等量关系列出函数表达式．
34．120
【分析】把代入解析式求值即可．
【详解】解：，
当时，，
水的体积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的应用，细心计算是解题的关键．
35．
【分析】根据，对称轴为轴，根据汽车宽为米，则当时，，即可．
【详解】∵，汽车宽为米，
∴当时，，
∴．
∵，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，二次函数的对称性．
36．D
【分析】利用配方求得顶点坐标，求得当时，y取得最小值，找到接近的站点即可求解．
【详解】解：
，
∵，
∴当时，y取得最小值，
∵C站点，而D站点，
∴D站点更接近最小值点，
故他乘坐地铁应到达的站点为D站点．
故答案为：D．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是找到更接近的站点．
37．16
【分析】求出当时x的值即可得出答案．
【详解】解：由题意，当时，，
解得，
∴点A、B的分别为，
∴，
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求出抛物线时，x的值是解题的关键．
38．(1)18元
(2)销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元
【分析】（1）设每千克水果应涨价x元，根据题意列出一元二次方程即可求出结果；
（2）设销售价格为x，用含x的式子表示所获利润，然后配方，利用平方的非负性即可求出最值．
【详解】（1）解：设每千克水果应涨价x元，根据题意，得：，
解得：，，
∵要尽可能让利于顾客，只能取，
∴售价应为（元），
答：每千克特产商品的售价应为18元；
（2）解：设每天获得的利润为W，销售价格为x，则
∴销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元．
【点睛】本题考查一元二次方程和配方法的应用，掌握实际问题中的等量关系和配方法是解题的关键．
39．(1)
(2)该男生在此项考试不能得满分，理由见详解
【分析】（1）由图2可知，顶点坐标为，设二次函数表达式为，由此即可求解；
（2）令（1）中抛物线的解析式，且，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意设关于的函数表达式为，
把代入解析式得，，解得，，
∴关于的函数表达式为，即：．
（2）解：不能得满分，理由如下，
根据题意，令，且，
∴，解方程得，，（舍去），
∵，
∴不能得满分．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际运用，掌握二次函数的性质及求解是解题的关键．
40．A
【分析】设每件服装降价x元，每件的销售利润为元，每天可卖出件，利用每天售出服装的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出y关于x的函数关系式，再结合要确保盈利且日销售量为整数，即可得出x的取值范围．
【详解】设每件服装降价x元，每件的销售利润为元，每天可卖出件，每天售出服装的利润为y元，由题意得：
，
又∵要确保盈利，且日销售量为整数，
∴，且x为偶数，
∴y关于x的函数解析式为（，x为偶数）．
故选：A．
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键．
41．C
【分析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，可设此函数解析式为：，利用待定系数法求解．
【详解】解：设此函数解析式为：，
由题意得：在此函数解析式上，
则
即得，
那么．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，关键是借助二次函数解决实际问题．
42．C
【分析】首先根据题意得出总利润与x之间的函数关系式，进而求出最值即可．
【详解】解：设在甲地销售x辆，则在乙地销售辆，总利润为W万元，根据题意得出：
，
∴当时，取最大值，且最大值为46，
∴该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为46万元，故C正确．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意得出函数关系式，并将函数关系式化为顶点式．
43．D
【分析】将配方成顶点式求解即可．
【详解】
∴当时，y取得最大值4，
∴水流喷出的最大高度是．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
44．
【分析】先令得一元二次方程并求解可得点，的坐标，令得的值从而可得点坐标，进一步由三角形面积公式可得结论．
【详解】解：对于
令，得，
解得：， ，
， ，
，
令，则，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是抛物线与坐标轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
45．
【分析】如图所示，建立平面直角坐标系，求出抛物线解析式，根据题意，令即可得到答案．
【详解】解：如图所示，建立如下平面直角坐标系：
设抛物线的解析式为，
将代入解析式得到，解得，
，
根据题意，当时，，
此时，水面下降（米），
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数解决实际问题，读懂题意，建立平面直角坐标系求出抛物线解析式是解决问题的关键．
46．
【分析】把抛物线解析式从一般形式化为顶点式后直接解答即可．
【详解】
经过 ，火箭达到最大高度，最大高度为 1135 米；
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次函数的应用，难度一般，关键是用配方法得到二次函数的顶点式．
47．
【分析】当球行进的高度时，球行进的水平距离即为投实心球的成绩，可得关于的一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：当时，，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴该男生此次投实心球的成绩是．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的应用，根据题意理解投实心球的成绩是时的值是解题的关键．
48．(1)
(2)
【分析】（1）根据直线与轴交于点，可求出一次函数的解析式，进而可求出点C的坐标；由抛物线经过点，可求出抛物线的解析式；
（2）过点作交于点，设点，建立四边形的积与点P坐标的关系即可求解．
【详解】（1）解：直线与轴交于点
，
，
∴点，
∵抛物线经过点，
，
，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：如图1，过点作交于点，
∵抛物线与轴的交点为，
，
，
∴点，
设点，
则点，
∵四边形面积
∴当时，四边形面积有最大值，此时点；
【点睛】本题考查了求抛物线的解析式、二次函数与面积问题．建立四边形的积与点P坐标的关系是解决第二问的关键．
49．(1)①见解析；②；；③成功，理由见解析；
(2)
【分析】（1）①直接利用描点法画出函数图象，即可；②设y与x满足的函数解析式为，再把点代入，求出m的值，即可；③把代入②中函数解析式，即可；
（2）把点代入，求出函数解析式，再把把代入，求出x，即可．
【详解】（1）解：①如图，即为所求；
②根据题意得：篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是；
设y与x满足的函数解析式为，
把点代入得：，
解得：，
∴y与x满足的函数解析式为；
③成功，理由如下：
当时，，
解得：或1（舍去），
即韩旭距篮筐中心的水平距离时，篮球运行的高度为，
∴韩旭第一次投篮练习是成功；
（2）解：把点代入得：
，
解得：，
∴此时y与x满足的函数解析式为，
当时，，
解得：或（舍去），
∵，
∴此时韩旭距篮筐中心的水平距离．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确求出函数解析式是解题的关键．
50．B
【分析】求四边形的面积最小即求面积最大，设时间为，用含有的式子表示面积，求最大值即可．
【详解】解：面积为定值，
当面积最大时，四边形的面积最小，
设时间为秒，
则，，
，
，
当时，面积最大，此时四边形的面积最小．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的最值，将问题转化成方便求的值是本题的关键．
51．C
【分析】将，代入，利用二次函数的性质求出最大值，即可得出答案．
【详解】解：依题意得：，，
把，代入得，
当时，，
故小球达到的离地面的最大高度为：．
故选：C
【点睛】本题考查了二次函数的性质的应用，利用二次函数在对称轴处取得最值是解决本题的关键，属于基础题．
52．A
【分析】先求解抛物线为：，直线为，再求解两个函数图象的交点坐标，再结合函数图象可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵为轴正半轴上一点，抛物线与轴交于点，点C和点关于轴对称．
∴D在负半轴，
∴，，
∴抛物线为：，
当时，，
∴，
∴，
设直线为，
∴，解得，
∴直线为，
∴，解得或，
∴直线与抛物线的另一个交点，
当抛物线在直线的上方时，的取值范围是或；
故选A．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，求解抛物线与直线的交点坐标，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
53．B
【分析】根据点运动的路径长为，在图中表示出来，设，在直角三角形中，找到等量关系，求出未知数的值，得到的值．
【详解】解：当时，由题意可知，
，
在中，由勾股定理得，
设，
，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
，
，
当时，由题意可知，，
设，
，
在中，由勾股定理得，
在中由勾股定理得，
中，由勾股定理得，
即，
解得，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理列出等式是解题的关键，运用了数形结合的思想解题．
54．
【分析】通过待定系数法求出函数解析式，根据题意得出，从而得出的纵坐标为8，设点坐标为，将点坐标代入解析式求解．
【详解】解：把代入中得，
解得，
，
点，四边形为正方形，
，
设点横坐标为，则，
代入得，
解得或（舍去）．
．
故答案为
【点睛】本题考查二次函数与正方形的结合，解题关键是熟练掌握二次函数与正方形的性质．
55．
【分析】（1）将点代入求出k，进一步得到点，再将点，代入列出方程组求解即可；
（2）作轴，交直线于，设的横坐标为，则，，求得，根据，得到，根据当时，的面积最大，求解即可．
【详解】解：（1）直线与抛物线交于点，，
，解得，
直线为，
，
，
把、的坐标代入得，
解得，
抛物线的解析式为．
故答案为：．
（2），
抛物线的对称轴为直线，
对称轴与直线交于点，
，
如图，作轴，交直线于，
设的横坐标为，则，，
，
，
，
当时，的面积最大，
此时点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数求二次函数的解析式，抛物线与直线的交点，在坐标系中利用三角形的面积求点的坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
56． 或
【分析】（1）根据二次函数的对称性进行解答即可；
（2）由抛物线与x轴有交点得出，解得或，求得过抛物线的顶点与定点的直线解析式，进一步求得与x轴的交点为，即可得出，当时，，即时，，即，即可得出结论．
【详解】解：（1）二次函数的对称轴为，
由二次函数图象过点，对称轴为，因此二次函数的图象过点，
故答案为：；
（2）∵抛物线与x轴有交点，
∴，
∴或，
∵，
∴抛物线的顶点为，
设过抛物线的顶点与定点的直线为，
代入得，，
∴，
∴过顶点与定点的直线为，
令，则，
∴与x轴的交点为，
∵该直线与x轴交于点，且，
∴，
∴当时，，即；
当时，，即，
∴；
综上：或．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，求得过顶点与定点的直线x轴的交点为是解题的关键．
57．##12.5
【分析】设点P的坐标为，，根据四边形的周长得到：，再由二次函数的性质即可求得最大值．
【详解】解：设点P的坐标为，，
由题意可知：四边形的周长，
∴，
当时，C有最大值．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的最值及二次函数的图像上点的坐标特征，最后根据二次函数的性质求最值是解题的关键．
58．(1)；；
(2)第14天利润最大，最大利润为578元
【分析】（1）当时，y是t的一次函数，先设出函数解析式，再用待定系数法求解即可；通过表中数据知，m与t成一次函数关系，先设出函数解析式，再用待定系数法求解即可；
（2）前20天的销售利润为元，后20天的销售利润为元，根据利润=单件利润×销售量，列出函数关系式，再根据函数的性质分别求出最大值，然后比较求最大值时的t的值即可．
【详解】（1）当时，y关于t的函数关系式为，
则，
解得：，
∴y关于t的函数关系式为；
通过表中数据知，m与t成一次函数关系，设,
将代入，得：
，
解得：，
∴m与t的函数关系为．
故答案为：；；
（2）前20天的日销售利润为元，后20天的日销售利润为元，
则，
∵，
∴当时，有最大值，为元；
，
∵，
∴当时，随t的增大而减小，
∴当时，最大，为513元，
∴第14天利润最大，最大利润为578元．
【点睛】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，关键是根据题意分两种情况列出函数关系式．
59．(1)函数解析式为，，，
(2)
(3)存在，点坐标为或
【分析】（1）由题意知，，解得，，，解得，，（舍去），即，当，，即，当，，解得，，即，；
（2）由，可得对称轴为直线，由，可知当时，最小，，当时，最大，，进而可得；
（3）设，则，即，解得，，进而可求点坐标．
【详解】（1）解：由题意知，，解得，，
，解得，，（舍去），
∴，
当，，即，
当，，解得，，即，，
∴函数解析式为，，，；
（2）解：∵，
∴对称轴为直线，
∵，
∴当时，最小，，
当时，最大，，
∴，
故答案为：；
（3）解：设，则，
∴，
解得，，
∴存在，点坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与面积综合．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
课程标准 学习目标
1.了解二次函数的应用问题； 1.能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型．利用二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的性质解决简单的实际问题，能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题． 2.能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数关系式，并能应用二次函数的相关性质解决实际几何问题，体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型．
知识点01：二次函数的应用
1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系（即函数关系）．
2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．
3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．
4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题．
5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．
6.写出答案．
【即学即练1】（2023·全国·九年级专题练习）
1．2022年的卡塔尔世界杯受到广泛关注，在半决赛中，梅西的一脚射门将足球沿着抛物线飞向球门，此时，足球距离地面的高度h与足球被踢出后经过的时间t之间的关系式为．已知足球被踢出9s时落地，那么足球到达距离地面最大高度时的时间t为（ ）
A． B． C． D．
【即学即练2】（2023·山西晋中·山西省平遥中学校校考模拟预测）
2．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时，平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元时，平均每天能多售出4件．求当每件的定价为多少元时，该服装店平均每天的销售利润最大？小颖的想法是根据“销售利润=（售价-成本）×销售量”列出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，把二次函数解析式转化为顶点式进行解答．这种解法体现的数学思想是（ ）
A．整体思想 B．函数思想 C．方程思想 D．公理化思想
题型01 图形问题
（2022秋·安徽阜阳·九年级校考期中）
3．如图，晓波家的院墙一边靠墙处，用米长的铁栅栏围成了三个相连的养殖小院子，总面积为平方米，为方便喂养这些不同类的动物，在各个养殖院子之间留出了米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个米宽的缺口作小门．若设米，则关于的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
（2023·四川成都·统考二模）
4．如图是某小区大门上方拱形示意图，其形状为抛物线，测得拱形水平横梁宽度为8m，拱高为2m，在五一节到来之际，拟在该拱形上悬挂灯笼（高度为1m），要求相邻两盏灯笼的水平间距均为1m，挂满后不擦横梁且成轴对称分布，则最多可以悬挂 个灯笼．
（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）
5．如图，用总长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖鸡棚，墙长为．
(1)如果这个矩形鸡棚与墙平行的一边长为，求鸡棚与墙垂直的一边的长（用含a的式子表示）
(2)设鸡棚与墙垂直的一边的长为xm，求这个矩形鸡棚面积S与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围
(3)试探索，这个矩形鸡棚的面积S能否等于，若可以，求出此时的长，若不行，请说明理由．
题型02 图形运动问题
（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）
6．如图，中，，，点P和点Q分别从点B和点C同时出发，沿射线向左运动，且速度相同，过点P作，垂足为H，连接，设点P运动的距离为，的面积为S，则能反映S与x之间的函数关系的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·河南郑州·九年级校考期末）
7．如图①，在中，，，点是边上一动点，过点作，交边（或）于点．设，的面积为，如图②是与的函数关系的大致图像，则的长为（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·内蒙古通辽·九年级校考期中）
8．已知：如图所示，在中，， cm， cm，点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．
(1)如果分别从同时出发，那么几秒后，的面积等于4cm2？
(2)几秒时，的面积最大？请说明理由．
题型03 拱桥问题
（2023·山西大同·大同一中校考模拟预测）
9．如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为，两侧距地面高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个门洞内部顶端离地面的距离为（ ）
A． B．8 C． D．
（2023·浙江·九年级假期作业）
10．某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度为40米，桥拱的最大高度为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与的距离为5米的景观灯杆的高度为（ ）
A．13米 B．14米 C．15米 D．16米
（2023·河南郑州·校考三模）
11．一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度为20米时，拱顶点O距离水面的高度为4米．如图，以点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)汛期水位上涨，一艘宽为5米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米（横截面可看作是长为5米，宽为3米的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）．
题型04 销售问题
（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）
12．2022年新冠病毒变异株奥密克戎来势汹汹，为了更好地让顾客做好防护，某商场销售一款升级版的KN95口罩，市场信息显示，销售这种口罩，每天所获的利润y（元）与售价x（元/个）之间关系式满足，第一天将售价定为16元/个，当天获利132元，第二天将售价定为20元/个，当天获利180元．则这种口罩的成本价是多少元/个？（单位利润=售价 成本价）（ ）
A．10 B．12 C．14 D．15
（2022秋·北京·九年级北京工业大学附属中学校考期中）
13．某服装店销售一批服装，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果一件衣服每降价1元，商店平均每天可多售出2件，则每件衣服降价 元时，服装店每天盈利最多．
（2023·安徽合肥·校考一模）
14．某市公安局交警支队在全市范围内开展“一盔一带”安全守护行动，某商场的头盔销量不断增加，该头盔销售第天与该天销售量（件）之间满足函数关系式为：（且为整数），为减少库存，该商场将此头盔的价格不断下调，其销售单价（元）与第天成一次函数关系，当时，，当时，．已知该头盔进价为元／件．
(1)求与之同的函数关系式；
(2)求这天中第几天销售利润最大，并求出最大利润；
(3)在实际销售的前天，为配合“骑乘人员佩戴头盔专题周”活动的开展，商场决定将每个头盔的单价在原来价格变化的基上再降价元（）销售，通过销售记录发现，前8天中，每天的利润随时间（天）的增大而增大，试求的取值范围．
题型05 投球问题
（2023·上海·九年级假期作业）
15．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）具有函数关系为，则小球从飞出到落地的所用时间为（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）
16．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系（如图），发现铅球与地面的高度和运动员出手点的水平距离之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是 m．
（2023·河南周口·统考三模）
17．科技进步促进了运动水平的提高．某运动员练习定点站立投篮，他利用激光跟踪测高仪测量篮球运动中的高度．图1所示抛物线的一部分是某次投篮训练中篮球飞行的部分轨迹，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知篮球每一次投出时的出手点到地面的距离都为．当球运行至点处时，与出手点的水平距离为，达到最大高度为．
(1)求该抛物线的表达式．
(2)在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽，但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守队员前来盖帽，已知防守队员的最大摸球高度为3.05m，则他应在运动员前面什么范围内跳起拦截才能盖帽成功？
题型06 喷水问题
（2023春·湖南长沙·八年级校联考期末）
18．为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点O的距离为4，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系式，则水流喷出的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
（2023·上海·九年级假期作业）
19．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱如图所示．现以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立直角坐标系，喷出的抛物线水柱对应的函数解析式是，则水管长为 ．
（2023·甘肃兰州·统考一模）
20．如图为某居民小区计划修建的圆形喷水池的效果图，在池中心需安装一个柱形喷水装置，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高高度为．水柱落地处离池中心的水平距离为．小刚以柱形喷水装置与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，柱形喷水装置所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．水柱喷出的高度y()与水平距离x()之间的函数关系如图．
(1)求表示该抛物线的函数表达式：
(2)若不计其他因素，求柱形喷水装置的高度．
题型07 增长率问题
（2023·福建·统考中考真题）
21．根据福建省统计局数据，福建省年的地区生产总值为亿元，年的地区生产总值为亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
（2022秋·湖北省直辖县级单位·九年级校考期中）
22．仙桃市大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全市学校的设施和设备进行全面改造，年市政府已投资亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计年投资亿元人民币，那么每年投资的增长率为 ．
（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）
23．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件．
(1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率；
(2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件．
①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？
②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？
题型08 其他问题
（2023春·广东深圳·七年级校考期末）
24．游乐园里的大摆锤如图1所示，它的简化模型如图2，当摆锤第一次到达左侧最高点A点时开始计时，摆锤相对地面的高度y随时间t变化的图象如图3所示．摆锤从A点出发再次回到A点需要（ ）秒．
A．2 B．4 C．6 D．8
（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）
25．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为，那么两排灯的水平距离是 米．
（2023·河南南阳·校考三模）
26．某校为加强学生的身体素质，举行了丰富多彩的体育活动，本周末，将举行“跳大绳”比赛，比赛规则：每班选择两名学生在距离的位置摇动大绳，大绳下至少有10名学生同时跳绳，按同时跳绳的时间计算名次．九（2）班选择小明和小亮摇动大绳，在训练中发现，他们持绳点距地面均为，大绳在最高处时，大绳的形状可近似看作抛物线，如图，以小明的持绳点的竖直方向为y轴，以水平地面为x轴建立平面直角坐标系，小明和小亮的持绳点分别为点A和点B，在离点O的水平距离为时，大绳的最大高度为．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)为增加比赛的观赏性，九（2）班准备选择若干名身高均为的同学参与跳绳，已知每位同学在绳下的距离均为，请问，九（2）班这样的设计是否能够达到比赛的要求？请说明理由．
题型09 二次函数的综合问题
（2023·北京昌平·统考二模）
27．《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校小组仿制了一套浮箭漏，通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到表格如下．
供水时间（小时） 0 2 4 6 8
箭尺读数（厘米） 6 18 30 42 54
那么箭尺读数和供水时间最可能满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系
（2023·山东淄博·统考一模）
28．华罗庚说过：“复杂的问题要善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失重要性的地方，是学好数学的一个诀窍．”可见，复杂的问题有时要“退”到本质上去研究．如图，已知抛物线的图象与f的图象关于直线对称，我们把探索线的变化规律“退”到探索点的变化规律上去研究，可以得到图象f所对应的关于x与y的关系式为．若抛物线与g的图象关于对称，则图象g所对应的关于x与y的关系式为 ．
（2023·黑龙江佳木斯·统考三模）
29．如图，拋物线与轴的两个交点分别为点，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在该抛物线上，当的面积为时，直接写出点的坐标．
A夯实基础
（2022秋·河南周口·九年级统考期中）
30．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是．小球运动到最高点所需的时间是（ ）
A．2s B．3s C．4s D．5s
（2023秋·全国·九年级专题练习）
31．小明在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的表达式为，其中是实心球飞行的高度，是实心球飞行的水平距离，则小明此次郑球过程中，实心球的最大高度是（ ）
A． B． C． D．
（2023·浙江·九年级假期作业）
32．某车的刹车距离（m）与开始刹车时的速度（m/s）之间满足二次函数，若该车某次的刹车距离为m，则开始刹车时的速度为（ ）
A．4m/s B．5m/s C．8m/s D．10m/s
（2023秋·全国·九年级专题练习）
33．2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价每提高2元，则每天少卖4套．设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，则该商品每天销售套件所获利润w与x之间的函数关系式为（ ）．
A． B．
C． D．
（2023·山西运城·校联考模拟预测）
34．标准大气压下，质量一定的水的体积与温度之间的关系满足二次函数，则当温度为时，水的体积为 ．
（2023秋·全国·九年级专题练习）
35．如图，隧道的截面是抛物线，可以用表示，该隧道内设双行道，一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为米，宽为米，如果要安全通过隧道，应满足 ．
（2023·山西大同·校联考模拟预测）
36．太原地铁2号线开通两年多以来，极大地便利了人们的生活．小明早晨从小店区西桥站出发，乘坐一段地铁后，换骑共享单车去学校，经过多次乘坐发现，骑共享单车的时间与乘坐地铁路程之间满足二次函数，几个地铁站点与出发站之间的距离如下表：
地铁站点 … …
… 8 9 10 13 …
若小明骑共享单车所需的时间最少，则他乘坐地铁应到达的站点为 站点．
（2023·浙江·九年级假期作业）
37．如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为 ．
（2023春·江苏盐城·八年级校考期中）
38．某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克．
(1)若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？
(2)通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？
（2023·河南信阳·统考一模）
39．掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
(1)求关于的函数表达式；
(2)根据中考体育考试评分标准（男生版），投据过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．
B能力提升
（2023秋·全国·九年级专题练习）
40．某种品牌的服装进价为每件元，当售价为每件元时，每天可卖出件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价元，每天可多卖出件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价元，每天售出服装的利润为元，则与的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
（2023秋·全国·九年级专题练习）
41．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·全国·九年级专题练习）
42．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（万元）与销售量x（辆）之间分别满足：，，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（ ）
A．30万元 B．38万元 C．46万元 D．48万元
（2023秋·浙江·九年级专题练习）
43．某市公园欲修建一个圆型喷泉池，在水池中垂直于地面安装一个柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图所示），水平距离与水流喷出的高度之间的关系式为，则水流喷出的最大高度是（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·北京海淀·九年级北京交通大学附属中学校考开学考试）
44．已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，则的面积为 ．
（2022秋·江苏淮安·九年级校考阶段练习）
45．如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽为6米，则当水面下降 米时，水面宽度为米．
（2022秋·湖南衡阳·九年级校考阶段练习）
46．当一枚火箭被竖直向上发射时，如果它的高度与时间之间的关系可以用公式表示，那么火箭到达最高点，经过的时间为 ．
（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）
47．一名男生投实心球，已知球行进的高度与水平距离之间的关系为，那么该男生此次投实心球的成绩是 ．
（2023春·江苏南通·八年级校考阶段练习）
48．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，比物线经过点，与轴的另一个交点为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直线下方拋物线上一动点，求四边形面积最大时点的坐标．
（2023秋·北京·九年级清华附中校考开学考试）
49．2023年8月5日，在成都举行的第31届世界大学生夏季运动会女子篮球金牌赛中，中国队以99比91战胜日本队，夺得冠军．女篮最重要的球员之一韩旭在日常训练中也迎难而上，勇往直前．投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是，韩旭进行了两次投篮训练．
(1)第一次训练时，韩旭投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m 0 1 2 3 4 …
竖直高度y/m …
①在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；
②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是______，并求y与x满足的函数解析式；
③已知此时韩旭距篮筐中心的水平距离，韩旭第一次投篮练习是否成功，请说明理由；
(2)第二次训练时，韩旭出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，若投篮成功，此时韩旭距篮筐中心的水平距离d_____5（填“”，“”或“”）．
C综合素养
（2023秋·全国·九年级专题练习）
50．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果、分别从、同时出发，那么经过（ ）秒，四边形的面积最小．
A．0.5 B．1.5 C．3 D．4
（2021秋·广东江门·九年级校考阶段练习）
51．竖直上抛的物体离地面的高度与运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度，是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，则小球达到的离地面的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·全国·九年级专题练习）
52．抛物线与轴交于A，两点，点A在点左侧，且，为轴正半轴上一点，抛物线与轴交于点，点C和点关于轴对称．当抛物线在直线的上方时，的取值范围是（ ）
A．或 B． C．或 D．
（2023·江苏南通·统考中考真题）
53．如图，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则的值为（ ）
A．54 B．52 C．50 D．48
（2023秋·福建福州·九年级校考开学考试）
54．如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段于两点C、D．当点，四边形为正方形时，则线段的长为 ．
（2022春·安徽宿州·九年级校考期中）
55．已知：直线与抛物线交于点，，抛物线的顶点为点，对称轴与直线交于点．
（1）抛物线的解析式为 ；
（2）动点为直线上方对称轴左侧抛物线上一点，当的面积最大时，点的坐标为 ．
（2023春·安徽·九年级专题练习）
56．已知二次函数，
（1）随着a的取值变化，图象除经过定点，请写出图象经过的另一个定点坐标 ；
（2）若抛物线与x轴有交点，过抛物线的顶点与定点作直线，该直线与x轴交于点，且，则a的取值范围为 ．
（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）
57．如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为 ．
（2023春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）
58．某公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现：
①这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如下表：
时间t（天） 1 3 5 7 9 …
日销售量m（件） 94 90 86 82 78 …
②未来40天内，该商品每天的单价y（元/件）与时间t（天）（t为整数）之间关系的函数图象如图所示：
请结合上述信息解决下列问题：
(1)经计算得，当时，y关于t的函数关系式为；则当时，y关于t的函数关系式为_____．观察表格，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的刻画m与t的关系，请写出m关于t的函数关系式为_____．
(2)请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（2023秋·湖北孝感·九年级校考开学考试）
59．已知二次函数的图象如图所示，与坐标轴的交点分别为A、B、C．
(1)求此函数解析式，及A、B、C的坐标，
(2)如果点是此二次函数的图象上一点，若，则的取值范围为______（直接写出结果）
(3)在轴上方的抛物线上是否存在点D，使得的面积为8，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据题意可得当时，，再代入，可得到该函数解析式为，然后化为顶点式，即可求解．
【详解】解：根据题意得：当时，，
∴，
解得：，
∴该函数解析式为，
∵，
∴足球到达距离地面最大高度时的时间t为．
故选：D
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，关键是正确确定函数解析式，掌握函数函数图象经过的点必能满足解析式．
2．B
【分析】利用二次函数的性质求最值体现了函数思想．
【详解】解：根据二次函数的性质求最值体现了函数思想，
故选：B．
【点睛】本题考查了利用二次函数的性质求最值，这种方法是函数思想的运用．
3．D
【分析】如图所示（见详解），设米，则可求出的长，根据矩形的面积公式即可求解．
【详解】解：如图所示，
设米，则，
又小院子的总面积为，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查二次函数的运用，理解图形面积的计算方法，掌握数量关系，准确列出函数关系式是解题的关键．
4．6
【分析】以抛物线状拱形的顶点为原点，建立直角坐标系，即设抛物线的解析式为：，结合图象求出抛物线解析式为：，当时，可得，如图，，问题随之得解．
【详解】如图，以抛物线状拱形的顶点为原点，建立直角坐标系，即设抛物线的解析式为：，
根据题意可知：，
将代入中，有，
解得：，
则抛物线解析式为：，
当时，，解得：，
如图，，
∵相邻两盏灯笼的水平间距均为1m，且按轴对称的方式摆放，
∴共计最多可以挂6盏灯笼，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，构造合适的直角坐标系，求出二次函数的解析式，是解答本题的关键．
5．(1)
(2)，
(3)这个矩形鸡棚的面积S不能等于
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）由题意可知，然后根据矩形面积可进行求解；
（3）由（2）及根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：；
（2）解：由题意得：，
∵，
∴；
（3）解：由（2）可知：，
化简得，
∵，
∴该方程无实数解，
即这个矩形鸡棚的面积S不能等于．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用及二次函数的应用，熟练掌握一元二次方程的应用及二次函数的应用是解题的关键．
6．A
【分析】过点H作于点D，根据题意可得是等边三角形，从而得到，，然后根据直角三角形的性质可得，，再根据三角形的面积公式可得S与x之间的函数关系式，即可求解．
【详解】解：如图，过点H作于点D，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴S与x之间的函数关系的图像为抛物线的一部分，且开口向上．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的图像，根据题意准确得到S与x之间的函数关系式是解题的关键．
7．D
【分析】先确定与的函数关系式，判断的面积与的关系，分类讨论：点在上时，点在上时，点在点上时，由此即可求解．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∴的面积为，
当时，，则（舍去），，
∴当时，，
当点从点到点时，的面积，随的增大而增大；
当点从点到点时，如图所示，
∵，，
∴，，
∴，
的面积，此时随的增大而减小，
∴当点到点处，的面积最大，且，如图所示，
∴在中，，，，
∴，，
故选：．
【点睛】本题主要考查三角形与动点问题，理解动点运动图像的变换，结合面积图像的最大值是解题的关键．
8．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）设经过x秒钟，的面积等于4cm2，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解．
（2）设经过t秒以后面积最大，用含的式子表示的面积，即可得出结论．
【详解】（1）解：设经过x秒以后面积为，则
，
整理得：，
解得：，
∵当时，，
∴不合题意，
答：1秒后的面积等于；
（2）解：当秒时，面积最大．理由如下：
设经过t秒以后面积最大，则
，
当秒时，面积最大．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“的面积最大”得出等量关系是解决问题的关键．
9．D
【分析】建立直角坐标系，得到二次函数，门洞高度即为二次函数的顶点的纵坐标.
【详解】解：如图，以地面为x轴，门洞中点为O点，画出y轴，建立直角坐标系，
由题意可知各点坐标为，，，
设抛物线解析式为把B、D两点带入解析式，
∴，解得：，
∴解析式为，则，
所以这个门洞内部顶端离地面的距离为，
故选D.
【点睛】本题考查二次函数的简单应用，能够建立直角坐标系解出二次函数解析式是本题关键.
10．C
【分析】以所在直线为x轴、所在直线为y轴建立坐标系，可设该抛物线的解析式为，将点B坐标代入求得抛物线解析式，再求当时y的值即可．
【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系，
设抛物线表达式为，
由题意可知，B的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴当时，．
答：与距离为5米的景观灯杆的高度为15米，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求抛物线解析式的知识，建立合适的平面直角坐标系是解题的关键．
11．(1)该抛物线的解析式；
(2)水面宽度为米．
【分析】（1）由题意可以写出A点坐标，设抛物线解析式为，把点A的坐标代入求出a，c的值即可；
（2）把代入抛物线解析式，求出对应函数值y，再把代入计算即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
∴桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面高度为4米，
∴点，
∴，解得：，
∴该抛物线的解析式；
（2）解：∵船宽5米，
∴当时，，
若该渔船能安全通过，此时水面高为米，
∴当时，，
解得，
∴水面宽度为米．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，运用二次函数解实际问题的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
12．A
【分析】根据题意列方程组求出二次函数的解析式，再列方程即可得到结论．
【详解】解：由题意知：当时，；当时，代入中，
得，
解得：，
∴，
当每天利润为0元时，售价即为成本价．令，
解得：，
由题意可知38不符合条件，
∴，
∴这种口罩的成本价是10元/个；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．
13．15
【分析】根据总利润=单价利润×销售数量，列出二次函数，利用二次函数的性质求最值即可．
【详解】解：设每件衣服降价元，获得的总利润为元，
由题意得：，
整理得：，
∴当时，取得最大值；
故答案为：15．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用：销售问题．根据总利润=单价利润×销售数量准确的列出函数解析式是解题的关键．
14．(1)与之间的函数关系式为（）
(2)第天利润最大，最大值为元
(3)的取值范围为
【分析】（1）根据待定系数法即可求解；
（2）根据题意，设总利润为元，可得出总利润与第天的函数关系，根据二次函数顶点式即可求解；
（3）根据数量关系，二次函数图像的性质即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，设，当时，，当时，，
∴，解得：，
∴与之间的函数关系式为（）．
（2）解：设总利润为元，则
，
当时，取得最大值，
∴第天利润最大，最大值为：（元）．
（3）解：由题意可设第天的销售利润为元，则
，
∴对称轴为
又知前天中，每天的利润随时间（天）的增大而增大，
∴即，
又，
∴．
【点睛】本题主要考查销售问题，理解题目中数量关系，二次函数图像的性质是解题的关键．
15．D
【分析】根据二次函数的图象与性质解题．
【详解】解：依题意，令得，
得，
解得（舍去）或，
即小球从飞出到落地所用的时间为，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
16．10
【分析】根据铅球落地时，高度，实际问题可理解为当时，求的值即可；
【详解】
当时，得：
，
解得：，（舍去）
即铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是
故答案为：10
【点睛】本题考查了二次函数的应用，利用时求出的值是解题关键．
17．(1)
(2)应在运动员前面范围内跳起拦截才能盖帽
【分析】（1）根据题意得出，，设，待定系数法求解析式即可求解．
（2）根据题意，令，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵到地面的距离都为．当球运行至点处时，与出手点的水平距离为，达到最大高度为
∴，，
设抛物线解析式为，
将点代入得，，
解得：，
∴抛物线解析式为，
（2）将代入解析式，，
解得：或（舍去），
答：应在运动员前面范围内跳起拦截才能盖帽．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
18．A
【分析】根据点A到点O的距离为4，得到,代入求得，再将解析式化为顶点式即可得解；
【详解】点A到点O的距离为4，
,
把代入得
，
，
，
水流喷出的最大高度为，
故选择：Ａ
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，正确的求出函数解析式是解题的关键．
19．
【分析】由题意令，得到的值即为水管的长．
【详解】解：在中，
令，得，
水管的长为
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的运用，解题的关键是理解水管的长即是时的值．
20．(1)抛物线函数表达式为或
(2)m
【分析】（1）根据顶点坐标，设该抛物线的函数表达式为,由题意得，该抛物线经过点，待定系数法求解析式即可求解．
（2）当时，代入解析式，解得．
【详解】（1）解：由于点为抛物线的顶点，
因此可设该抛物线的函数表达式为，
由题意得，该抛物线经过点，可得，
解得，
∴该抛物线函数表达式为或．
（2）当时，，解得．
答：柱形喷水装置的高度为m．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意求得解析式是解题的关键．
21．B
【分析】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可求解．
【详解】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
22．
【分析】设每年投资的增长率为，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设每年投资的增长率为，根据题意得，
解得：（舍去）
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
23．(1)
(2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元
【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可；
②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可．
【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得
，
解得： ， (不符合题意，舍去)，
∴，
答： 第二、三天的日平均增长率为10%．
（2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得
，
解得：，，
∵要使顾客得到实惠，
∴，
答：每件应张价5元；
②设每件涨价应为z元，根据题意，得
，
解得：，
∴，
答：每件涨价应为8元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
24．D
【分析】根据函数图象即可解答．
【详解】由函数图象发现当摆锤第一次到达左侧最高点到第一次到达右侧最高点一共用了4秒，从右侧最高点回到左侧最高点也是4秒，
∴摆锤从A点出发再次回到A点需要秒，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，正确从图象中获取信息是解题的关键．
25．
【分析】把代入解析式，再解方程即可得结论．
【详解】解：根据题意，当时，则，
解得：，，
∴两排灯的水平距离是米．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解决．
26．(1)（或）
(2)能够达到比赛的要求，见解析
【分析】（1）根据题意，抛物线顶点为，过点，用待定系数法可得函数解析式；
（2）结合（1）令得，或，根据，可知在绳下可以站11人，故九（2）班这样的设计能够达到比赛的要求．
【详解】（1）设大绳所在抛物线的解析式为
由题意得顶点坐标为，则抛物线解析式为，
将点代入可得，，
∴所求的抛物线的解析式是（或）；
（2）当时，，
解得，，
（人）
则九（2）班这样的设计能够达到比赛的要求．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出函数关系式．
27．B
【分析】先建立平面直角坐标系，然后描出各点，观察这些点的分别规律即可得出结论．
【详解】解：如图，以供水时间为横轴，箭尺读数为纵轴建立平面直角坐标系，描出以表格中数据为坐标的点，，，，：
观察图中各点的分布规律，可知它们都在同一条直线上，
∴箭尺读数和供水时间最可能满足的函数关系是一次函数．
故选B．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象是一条直线是解题的关键．
28．
【分析】设，为图象上任意点，则关于的对称点为，，把，代入抛物线后即可得出要求的函数解析式；
【详解】解：设，为图象上任意点，则关于的对称点为，，
把，代入得∶
∴，
故答案为∶．
【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换的知识，明确关于的对称的点的坐标特征是解题的关键．
29．(1)
(2)或
【分析】（1）将点，的坐标分别代入，求出，；
（2）以为底，求出的高，即点的纵坐标的绝对值，进而将的纵坐标代入抛物线的表达式，求解其横坐标．
【详解】（1）解：点，在抛物线上，
，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：，，
．
又，
，即．
①令，该方程无解，不符合题意；
②令，解得，．
或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与三角形面积的综合，熟练掌握相关知识是解题的关键．
30．B
【分析】先将二次函数一般式化为顶点式，再根据二次函数性质即可求解．
【详解】解： ，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为45．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，将实际问题化为数学问题，并熟知二次函数的性质是解题关键．
31．B
【分析】由可得抛物线的顶点坐标为：，结合函数的性质可得答案．
【详解】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为：，
∵，
∴实心球的最大高度是，
故选B．
【点睛】本题考查的是抛物线的图像与性质，掌握“利用顶点式求解抛物线的顶点坐标或函数的最值”是解本题的关键．
32．D
【分析】本题实际是告知函数值求自变量的值，代入求解即可，另外实际问题中，负值舍去．
【详解】解：当刹车距离为m时，即可得，
代入二次函数解析式得：，
解得，（舍），
故开始刹车时的速度为m/s，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，明确、代表的实际意义，刹车距离为m，即是，难度一般．
33．C
【分析】根据题意找出等量关系：总利润=单个利润×数量，即可列出函数关系式．
【详解】解：根据题意得：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数得实际应用，解题的关键是正确地根据题意找出等量关系列出函数表达式．
34．120
【分析】把代入解析式求值即可．
【详解】解：，
当时，，
水的体积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的应用，细心计算是解题的关键．
35．
【分析】根据，对称轴为轴，根据汽车宽为米，则当时，，即可．
【详解】∵，汽车宽为米，
∴当时，，
∴．
∵，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，二次函数的对称性．
36．D
【分析】利用配方求得顶点坐标，求得当时，y取得最小值，找到接近的站点即可求解．
【详解】解：
，
∵，
∴当时，y取得最小值，
∵C站点，而D站点，
∴D站点更接近最小值点，
故他乘坐地铁应到达的站点为D站点．
故答案为：D．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是找到更接近的站点．
37．16
【分析】求出当时x的值即可得出答案．
【详解】解：由题意，当时，，
解得，
∴点A、B的分别为，
∴，
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求出抛物线时，x的值是解题的关键．
38．(1)18元
(2)销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元
【分析】（1）设每千克水果应涨价x元，根据题意列出一元二次方程即可求出结果；
（2）设销售价格为x，用含x的式子表示所获利润，然后配方，利用平方的非负性即可求出最值．
【详解】（1）解：设每千克水果应涨价x元，根据题意，得：，
解得：，，
∵要尽可能让利于顾客，只能取，
∴售价应为（元），
答：每千克特产商品的售价应为18元；
（2）解：设每天获得的利润为W，销售价格为x，则
∴销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元．
【点睛】本题考查一元二次方程和配方法的应用，掌握实际问题中的等量关系和配方法是解题的关键．
39．(1)
(2)该男生在此项考试不能得满分，理由见详解
【分析】（1）由图2可知，顶点坐标为，设二次函数表达式为，由此即可求解；
（2）令（1）中抛物线的解析式，且，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意设关于的函数表达式为，
把代入解析式得，，解得，，
∴关于的函数表达式为，即：．
（2）解：不能得满分，理由如下，
根据题意，令，且，
∴，解方程得，，（舍去），
∵，
∴不能得满分．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际运用，掌握二次函数的性质及求解是解题的关键．
40．A
【分析】设每件服装降价x元，每件的销售利润为元，每天可卖出件，利用每天售出服装的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出y关于x的函数关系式，再结合要确保盈利且日销售量为整数，即可得出x的取值范围．
【详解】设每件服装降价x元，每件的销售利润为元，每天可卖出件，每天售出服装的利润为y元，由题意得：
，
又∵要确保盈利，且日销售量为整数，
∴，且x为偶数，
∴y关于x的函数解析式为（，x为偶数）．
故选：A．
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键．
41．C
【分析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，可设此函数解析式为：，利用待定系数法求解．
【详解】解：设此函数解析式为：，
由题意得：在此函数解析式上，
则
即得，
那么．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，关键是借助二次函数解决实际问题．
42．C
【分析】首先根据题意得出总利润与x之间的函数关系式，进而求出最值即可．
【详解】解：设在甲地销售x辆，则在乙地销售辆，总利润为W万元，根据题意得出：
，
∴当时，取最大值，且最大值为46，
∴该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为46万元，故C正确．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意得出函数关系式，并将函数关系式化为顶点式．
43．D
【分析】将配方成顶点式求解即可．
【详解】
∴当时，y取得最大值4，
∴水流喷出的最大高度是．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
44．
【分析】先令得一元二次方程并求解可得点，的坐标，令得的值从而可得点坐标，进一步由三角形面积公式可得结论．
【详解】解：对于
令，得，
解得：， ，
， ，
，
令，则，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是抛物线与坐标轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
45．
【分析】如图所示，建立平面直角坐标系，求出抛物线解析式，根据题意，令即可得到答案．
【详解】解：如图所示，建立如下平面直角坐标系：
设抛物线的解析式为，
将代入解析式得到，解得，
，
根据题意，当时，，
此时，水面下降（米），
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数解决实际问题，读懂题意，建立平面直角坐标系求出抛物线解析式是解决问题的关键．
46．
【分析】把抛物线解析式从一般形式化为顶点式后直接解答即可．
【详解】
经过 ，火箭达到最大高度，最大高度为 1135 米；
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次函数的应用，难度一般，关键是用配方法得到二次函数的顶点式．
47．
【分析】当球行进的高度时，球行进的水平距离即为投实心球的成绩，可得关于的一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：当时，，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴该男生此次投实心球的成绩是．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的应用，根据题意理解投实心球的成绩是时的值是解题的关键．
48．(1)
(2)
【分析】（1）根据直线与轴交于点，可求出一次函数的解析式，进而可求出点C的坐标；由抛物线经过点，可求出抛物线的解析式；
（2）过点作交于点，设点，建立四边形的积与点P坐标的关系即可求解．
【详解】（1）解：直线与轴交于点
，
，
∴点，
∵抛物线经过点，
，
，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：如图1，过点作交于点，
∵抛物线与轴的交点为，
，
，
∴点，
设点，
则点，
∵四边形面积
∴当时，四边形面积有最大值，此时点；
【点睛】本题考查了求抛物线的解析式、二次函数与面积问题．建立四边形的积与点P坐标的关系是解决第二问的关键．
49．(1)①见解析；②；；③成功，理由见解析；
(2)
【分析】（1）①直接利用描点法画出函数图象，即可；②设y与x满足的函数解析式为，再把点代入，求出m的值，即可；③把代入②中函数解析式，即可；
（2）把点代入，求出函数解析式，再把把代入，求出x，即可．
【详解】（1）解：①如图，即为所求；
②根据题意得：篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是；
设y与x满足的函数解析式为，
把点代入得：，
解得：，
∴y与x满足的函数解析式为；
③成功，理由如下：
当时，，
解得：或1（舍去），
即韩旭距篮筐中心的水平距离时，篮球运行的高度为，
∴韩旭第一次投篮练习是成功；
（2）解：把点代入得：
，
解得：，
∴此时y与x满足的函数解析式为，
当时，，
解得：或（舍去），
∵，
∴此时韩旭距篮筐中心的水平距离．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确求出函数解析式是解题的关键．
50．B
【分析】求四边形的面积最小即求面积最大，设时间为，用含有的式子表示面积，求最大值即可．
【详解】解：面积为定值，
当面积最大时，四边形的面积最小，
设时间为秒，
则，，
，
，
当时，面积最大，此时四边形的面积最小．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的最值，将问题转化成方便求的值是本题的关键．
51．C
【分析】将，代入，利用二次函数的性质求出最大值，即可得出答案．
【详解】解：依题意得：，，
把，代入得，
当时，，
故小球达到的离地面的最大高度为：．
故选：C
【点睛】本题考查了二次函数的性质的应用，利用二次函数在对称轴处取得最值是解决本题的关键，属于基础题．
52．A
【分析】先求解抛物线为：，直线为，再求解两个函数图象的交点坐标，再结合函数图象可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵为轴正半轴上一点，抛物线与轴交于点，点C和点关于轴对称．
∴D在负半轴，
∴，，
∴抛物线为：，
当时，，
∴，
∴，
设直线为，
∴，解得，
∴直线为，
∴，解得或，
∴直线与抛物线的另一个交点，
当抛物线在直线的上方时，的取值范围是或；
故选A．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，求解抛物线与直线的交点坐标，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
53．B
【分析】根据点运动的路径长为，在图中表示出来，设，在直角三角形中，找到等量关系，求出未知数的值，得到的值．
【详解】解：当时，由题意可知，
，
在中，由勾股定理得，
设，
，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
，
，
当时，由题意可知，，
设，
，
在中，由勾股定理得，
在中由勾股定理得，
中，由勾股定理得，
即，
解得，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理列出等式是解题的关键，运用了数形结合的思想解题．
54．
【分析】通过待定系数法求出函数解析式，根据题意得出，从而得出的纵坐标为8，设点坐标为，将点坐标代入解析式求解．
【详解】解：把代入中得，
解得，
，
点，四边形为正方形，
，
设点横坐标为，则，
代入得，
解得或（舍去）．
．
故答案为
【点睛】本题考查二次函数与正方形的结合，解题关键是熟练掌握二次函数与正方形的性质．
55．
【分析】（1）将点代入求出k，进一步得到点，再将点，代入列出方程组求解即可；
（2）作轴，交直线于，设的横坐标为，则，，求得，根据，得到，根据当时，的面积最大，求解即可．
【详解】解：（1）直线与抛物线交于点，，
，解得，
直线为，
，
，
把、的坐标代入得，
解得，
抛物线的解析式为．
故答案为：．
（2），
抛物线的对称轴为直线，
对称轴与直线交于点，
，
如图，作轴，交直线于，
设的横坐标为，则，，
，
，
，
当时，的面积最大，
此时点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数求二次函数的解析式，抛物线与直线的交点，在坐标系中利用三角形的面积求点的坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
56． 或
【分析】（1）根据二次函数的对称性进行解答即可；
（2）由抛物线与x轴有交点得出，解得或，求得过抛物线的顶点与定点的直线解析式，进一步求得与x轴的交点为，即可得出，当时，，即时，，即，即可得出结论．
【详解】解：（1）二次函数的对称轴为，
由二次函数图象过点，对称轴为，因此二次函数的图象过点，
故答案为：；
（2）∵抛物线与x轴有交点，
∴，
∴或，
∵，
∴抛物线的顶点为，
设过抛物线的顶点与定点的直线为，
代入得，，
∴，
∴过顶点与定点的直线为，
令，则，
∴与x轴的交点为，
∵该直线与x轴交于点，且，
∴，
∴当时，，即；
当时，，即，
∴；
综上：或．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，求得过顶点与定点的直线x轴的交点为是解题的关键．
57．##12.5
【分析】设点P的坐标为，，根据四边形的周长得到：，再由二次函数的性质即可求得最大值．
【详解】解：设点P的坐标为，，
由题意可知：四边形的周长，
∴，
当时，C有最大值．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的最值及二次函数的图像上点的坐标特征，最后根据二次函数的性质求最值是解题的关键．
58．(1)；；
(2)第14天利润最大，最大利润为578元
【分析】（1）当时，y是t的一次函数，先设出函数解析式，再用待定系数法求解即可；通过表中数据知，m与t成一次函数关系，先设出函数解析式，再用待定系数法求解即可；
（2）前20天的销售利润为元，后20天的销售利润为元，根据利润=单件利润×销售量，列出函数关系式，再根据函数的性质分别求出最大值，然后比较求最大值时的t的值即可．
【详解】（1）当时，y关于t的函数关系式为，
则，
解得：，
∴y关于t的函数关系式为；
通过表中数据知，m与t成一次函数关系，设,
将代入，得：
，
解得：，
∴m与t的函数关系为．
故答案为：；；
（2）前20天的日销售利润为元，后20天的日销售利润为元，
则，
∵，
∴当时，有最大值，为元；
，
∵，
∴当时，随t的增大而减小，
∴当时，最大，为513元，
∴第14天利润最大，最大利润为578元．
【点睛】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，关键是根据题意分两种情况列出函数关系式．
59．(1)函数解析式为，，，
(2)
(3)存在，点坐标为或
【分析】（1）由题意知，，解得，，，解得，，（舍去），即，当，，即，当，，解得，，即，；
（2）由，可得对称轴为直线，由，可知当时，最小，，当时，最大，，进而可得；
（3）设，则，即，解得，，进而可求点坐标．
【详解】（1）解：由题意知，，解得，，
，解得，，（舍去），
∴，
当，，即，
当，，解得，，即，，
∴函数解析式为，，，；
（2）解：∵，
∴对称轴为直线，
∵，
∴当时，最小，，
当时，最大，，
∴，
故答案为：；
（3）解：设，则，
∴，
解得，，
∴存在，点坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与面积综合．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
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