中小学教育资源及组卷应用平台
专题3.12 圆中的翻折模型
模块1：知识梳理
1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分；
2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；
3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称；
4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。
模块3：核心模型与典例
模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰）
如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，则CD=CA
特别的，若将弧BC折叠后过圆心，则CD=CA，∠CAB=60°
例1．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）已知点，，在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．若，，则的长为（ ）
A． B．9 C． D．
【答案】C
【分析】取点D在上的对应点E，连接、、、，过C点作于F点，根据四边形内接于，有，根据根据折叠的性质有：，可证明，即是等腰三角形，则有，进而有，再根据含30°角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解．
【详解】取点D在上的对应点E，连接、、、，过C点作于F点，如图，
∵四边形内接于，∴，
∵点D在上的对应点为点E，∴根据折叠的性质有：，
∵，∴，
∵，∴，∴是等腰三角形，
∵，，∴，
∵，∴，∵，∴是直角三角形，
∵，∴在中，，
∵在中，，∴，
∴，（负值舍去），故选：C．
【点睛】本题考查圆中折叠的问题，圆内接四边形的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作出辅助线，根据圆的内接四边形的性质得到，是解答本题关键．
例2．（2023·浙江杭州·九年级校考期中）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，若点与圆心不重合，，则的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】D
【分析】连接 ，根据直径所对的圆周角是直角求出 ，根据直角三角形两锐角互余求出 ，再根据翻折的性质得到 所对的圆周角，然后根据 等于 所对的圆周角减去 所对的圆周角，计算即可得解．
【详解】解：如图，连接，
是直径，，，
，，
根据翻折的性质，弧所对的圆周角为，所对的圆周角为，，
，，
．故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理以及折叠问题的知识，根据同弦所对的两个圆周角互补求解是解题的关键，此题难度不大．
例3．（2023·浙江宁波·校考一模）如图，的半径为4．将的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O．则这条劣弧的弧长为 ．
【答案】
【分析】过O作垂直于AB的半径OC，设交点为D，连接,根据折叠的性质可求出OD的长；根据勾股定理可求出AD的长，由垂径定理知AB=2AD，解，求得,即可求得，进而求得劣弧的长．
【详解】解：过O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OA，
Rt△OAD中，OD=CD=OC=2，OA=4，根据勾股定理，得：AD= =2 ，
故答案 ：
【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、解直角三角形，求弧长，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
例4．（2023春·广西·九年级专题练习）如图，是的直径，是的弦，，垂足为，，，点为圆上一点，，将沿弦翻折，交于点，图中阴影部分的面积 ．
【答案】
【分析】如图，连接，将阴影部分沿翻折，点的对应点为，过点作于点，可求出的半径，由对称性可知，，，连接，根据特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】解：如图，连接，将阴影部分沿翻折，点的对应点为，过点作于点，
为的直径，，，，
∵，，垂足为，设的半径为，则，
∴，解得：或（舍去），
，即的半径是，连接，则，，
过点作于点，∴，
∴，即，
即图中阴影部分的面积是：．故答案为：．
【点睛】本题主要考查直角三角形的，圆，扇形面积的计算，折叠知识的综合，理解圆的基础知识，直角三角形的勾股定理，扇形面积的计算方法，折叠的性质是解题的关键．
例5．（2023·宁夏吴忠·统考二模）如图，是的直径，且，是上一点，将沿直线翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点，则图中阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作于E，交于点D、于点F，求得，因为垂直平分，求得，即而进行求解．
【详解】作于E，交于点D、于点F，如图所示：
由翻折可知DE=EO，∵，∴，∴，
∵在中，，，∴，∴，
∵直径，∴弧AD=弧CD∴，∴，
由对称性可知阴影部分面积等于扇形COB的面积，∴．
【点睛】本题主要考查了圆内阴影的面积，正确读懂题意是解题的关键．
例6．（2023·吉林长春·统考模拟预测）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（ ）
①AC＝CD；②AD＝BD；③+＝；④CD平分∠ACB
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据折叠的性质可得AD＝CD；根据线段中点的定义可得AD＝BD；根据垂径定理可作判断③；延长OD交⊙O于E，连接CE，根据垂径定理可作判断④．
【详解】过D作DD'⊥BC，交⊙O于D'，连接CD'、BD'，
由折叠得：CD＝CD'，∠ABC＝∠CBD'，∴AC＝CD'＝CD，故①正确；
∵点D是AB的中点，∴AD＝BD，∵AC＝CD'，故②正确；
∴，由折叠得：，∴；故③正确；
延长OD交⊙O于E，连接CE，∵OD⊥AB，
∴∠ACE＝∠BCE，∴CD不平分∠ACB，故④错误；故选：A．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．
例7．（2022春·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若，则∠BCD的度数是（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
【答案】C
【分析】连接，，，设，证明，利用三角形内角和定理求出，可得结论；
【详解】解：如图，连接，，，设，
，，，
，，，
，
∵是直径，，，
，，，故选：C．
【点睛】本题考查翻折变换，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
例8．（2022·浙江宁波·统考一模）如图，是半径为4的的弦，且，将沿着弦折叠，点C是折叠后的上一动点，连接并延长交于点D，点E是的中点，连接.则的最小值为 ．
【答案】
【分析】如解析中的图，连结AD、AC，过点O作AB的垂线交AB于点F，过点C作AB对称点C’，连结EF、AC’，可得AC’=AD=AC，EOEF - OF，根据当E、O、F三点共线时，EO的值最小为EF-OF，求出EF的长，最后根据勾股定理可得答案．
【详解】解：连结AD、AC，过点O作AB的垂线交AB于点F，过点C作AB对称点C’，连结EF、AC’，
则AC’=AD=AC，EOEF - OF，∴EO的最小值为EF - OF，
当E、O、F三点共线时，EO的值最小为EF-OF，
∵AD=AC，且E为DC的中点，∴AEDC，
∴EF=AB=，OF=，∴OE的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的有关性质，最路线的问题，直角三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是添加辅助线．
例9．（2023·贵州遵义·统考三模）【问题背景】
如图1，在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得劣弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为．
(1)【探究发现】如图1，连接，并延长交于D，连接．直接写出的度数为__________，与的数量关系为__________；
(2)【深入探究】如图2，将劣弧沿弦所在的直线折叠，弧不经过圆心O，在劣弧上取一点C（不与A、B重合），连接并延长交于点D，连接．猜想与的数量关系，说明理由；
(3)【拓展应用】如图3，在（2）条件下，若平分，，求的长．
【答案】(1)；(2)，理由见解析(3)
【分析】（1）连接，证明与都是等边三角形，则，得到,由折叠知，
，则，由是的内接四边形，则，得到，则，即可得到结论；
（2）设折叠前点C的对应点，连接、，由折叠可知，，四边形是的圆内接四边形得到，由，则，即可得到结论；
（3）在（2）的条件下，，则，延长交于点E，连接，过点B作于点F，则，由勾股定理得，，证明，则，由平分得到，则，得到，则，设，,得到，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得劣弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为．
∴，∴与都是等边三角形，
∴，∴,
由折叠的性质可知，，
∴，
∵是的内接四边形，∴，
∴，∴，∴；
故答案为：；
（2），理由如下：设折叠前点C的对应点，连接、，如图，
由折叠可知，，
∵四边形是的圆内接四边形，∴，
∵，∴，∴；
（3）在（2）的条件下，，则，
延长交于点E，连接，过点B作于点F，如图，
则，在中，由勾股定理得，，
∵，∴，∴，
∵平分，∴，∴，∴，
∴，设，则,∴，
在中，由勾股定理得，，即，
解得（不合题意，舍去），∴，即的长为
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、勾股定理、折叠的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
模块3：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）如图，、为的两条弦，，，将折叠后刚好过弦的中点D，则的半径为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】B
【分析】连接，作于，连接、、、，过点O作于F，可由推出，进而利用勾股定理求得，，然后证明四边形是矩形，可得，，再利用勾股定理构建方程求出，然后可求半径．
【详解】解：如图，连接，作于，连接、、、，
，，，，
在中，，，，
过点O作于F，∵点D是中点，∴，
∴，∴四边形是矩形，∴，，
又∵，，且，
∴，∴，解得：，
∴，∴，故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，求出，．
2．（2023·河北唐山·统考二模）如图，已知的半径为，所对的弦长为，点是的中点，将绕点逆时针旋转后得到，三位同学提出了相关结论：
嘉嘉：点到的距离为 淇淇：的长为 嘉淇：线段扫过的面积为
下列结论正确的是( )
A．嘉嘉对，淇淇错 B．淇淇对，嘉淇错 C．嘉嘉错，嘉淇错 D．淇淇错，嘉淇对
【答案】A
【分析】根据垂径定理得出，利用勾股定理求得，继而即可求得点到的距离为，故即可判断嘉嘉对；利用勾股定理求得的长为，即可判断淇淇错；根据线段扫过的面积扇形的面积求得即可判断嘉淇错．
【详解】解：设所在圆的圆心为，连接、，
点是的中点，，，
，，点到的距离为，故嘉嘉对，
，故淇淇错；
线段扫过的面积，故嘉淇错，故选：A．
【点睛】本题考查了扇形的面积、垂径定理，勾股定理，明确线段扫过的面积扇形的面积是解题的关键．
3．（2023·河北唐山·统考二模）如图，的直径，是上一点，将沿直线翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接OC，BC，可证得， ，，再过点O作于点D，可求得OD、AD，最后根据，即可求得．
【详解】解：连接OC，BC，
，，，
，，，
，过点O作于点D，
，，，
．故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理，扇形的面积公式，作出辅助线是解决本题的关键．
4．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，在扇形中，点在弧上，将弧沿弦折叠后恰好与相切于点． 已知，，则的长为（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】C
【分析】设翻折后的弧的圆心为，连接交于点H，可得根据切线的性质可证明，根据直角三角形和勾股定理即可解决问题．
【详解】如图，设翻折后的弧的圆心为，连接交于点H，
∵将弧沿弦折叠∴∴
∵恰好与相切于点，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，∴．故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换，切线的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
5．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，将沿弦折叠，点，分别是两条弧的中点，与的度数之比为，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据与的度数之比为，点C，D分别是两条弧的中点，可知的度数，进一步可知优弧的度数，根据圆周角定理可得的度数．
【详解】解：∵与的度数之比为，点C，D分别是两条弧的中点，
∴的度数为，根据折叠，优弧的度数为，
∴，故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），圆周角定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
6．（2023·江苏·模拟预测）将半径为5的如图折叠，折痕长为8，C为折叠后的中点，则长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】延长交于点D，交于点E，连接、、、，根据圆心角、弧、弦、的关系由得到，可以判断是的垂直平分线，则，再利用勾股定理求出，所以，然后利用点C和点D关于对称得出，最后计算即可得出答案．
【详解】解：延长交于点D，交于点E，连接、、、，如图，
∵C为折叠后的中点，∴，∴，
∵，∴是的垂直平分线，∴，
在中，,∴，
∵沿折叠得到，，∴点C和点D关于对称，
∴，∴，故选C
【点睛】本题主要考查了图形的折叠变换，圆的对称性，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆的对称性及折叠前后的对应关系．
7．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考阶段练习）把一张直径为2的半圆形纸片按如图所示方式折叠一次后展开，图中的虚线表示折痕，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，过点O作于点E，根据折叠的性质得出：，，从而根据含角的直角三角形的性质判定，得出，进而可求，最后根据弧长公式计算即可．
【详解】如图，连接，过点O作于点E，
由折叠的性质可得：，，∴，∴，
∴，∴的长度是．故选C．
【点睛】本题考查折叠的性质，含角的直角三角形的性质，平行线的性质，以及弧长公式．解题的关键是正确作出辅助线．
8．（2022春·九年级课时练习）如图，已知半圆的直径，C是半圆上一点，沿折叠半圆得到弧，交直径于点，若、的长均不小于2，则的长可能是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】A
【分析】分如解图①，当点在圆心的左侧且时，如解图②，当点在圆心的右侧且时，两种情况求出AC的长，从而确定AC的取值范围即可得到答案．
【详解】如解图①，当点在圆心的左侧且时，过作，垂足为，连接、、，∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，，∴；
如解图②，当点在圆心的右侧且时，过作，垂足为，连接、、，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴，，∴，
∴若、的长均不小于2，则，∴的长可能是7，故选A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，无理数的估算等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
9．（2022·河南商丘·校考一模）如图1所示是一张圆形纸片，直径AB＝8，现将点A折叠至圆心O形成折痕CD，再把C、D折叠至圆心O处，最后将圆形打开铺平（如图2所示），则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图2，连接AC、AD、OC、OD、OE、OF、CE和DF，由折叠及圆的半径相等可得出△AOC、△COE、△AOD和△DOF都是等边三角形，从而可求得∠EOF的度数，再由直径求得半径，则可利用弧长公式求得答案．
【详解】解：如图2，连接AC、AD、OC、OD、OE、OF、CE和DF，
由折叠及圆的半径相等可知，AC＝CO＝OA，AD＝OD＝OA，CE＝OE＝OC，DF＝OF＝OD，
∴△AOC、△COE、△AOD和△DOF都是等边三角形，
∴∠EOF＝360°﹣60°×4＝120°，∵直径AB＝8，∴半径为4，
∴的长是＝．故选：A．
【点睛】本题考查了折叠的性质，求弧长，等边三角形的性质，掌握折叠的性质求得∠EOF＝120°是解题的关键．
10．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，将劣弧沿AC折叠后刚好经过弦BC的中点D．若AC＝6，∠C＝60°，则⊙O的半径长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】取折叠后的弧所在圆圆心为O′，则⊙O与⊙O′设等圆，∠ACD是公共的圆周角，所以可以证得AB＝AD，过A作AM⊥BC于M，则M为BD的中点，在Rt△AMC中，利用勾股定理，可以求出AM和CM的长度，由于D是BC中点，可以证明MC＝3BM，所以BM可以求，在直角三角形ABM中，利用勾股定理求出AB的长度，连接OA，OB，由于△AOB是顶角为120°的等腰三角形，过O作OG⊥AB于G，利用30度的特殊角和勾股定理，可以证明AB＝3OA，由此圆O半径可求．
【详解】解：如图1，设折叠后的所在圆的圆心为O′，连接O′A，O′D，
∴∠AO′D＝2∠ACB＝120°，连接OA，OB，同理，∠AOB＝120°，∴∠AOB＝∠AO′D，
∵⊙O与⊙O′是等圆，∴AB＝AD，设⊙O的半径为R，过O作OG⊥AB于G，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，AB＝2AG，
∴OG＝OA＝R，∴AG＝＝R，∴AB＝2AG＝R，
如图2，过A作AM⊥BC于M，∵AB＝AD，∴可设BM＝DM＝x，则BD＝2x，
∵D为BC的中点，∴CD＝BD＝2x，∴MC＝DM+CD＝3x，
∵AM⊥BC，∠ACB＝60°，∴∠MAC＝30°，
在Rt△AMC中，MC＝AC＝3，∴3x＝3，∴x＝1，
∴AM＝＝3，BM＝x＝1，在Rt△ABM中，AB＝＝2，
∵AB＝R，∴R＝，故⊙O的半径长为，故选：A．
【点睛】本题是圆的一道综合题型，考查圆中的折叠变换，注意等圆中的公共角，公共弦、公共弧，这些都是相等的，利用这些等量关系是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023春·北京海淀·九年级校考开学考试）如图，将半径为的圆形纸片折叠后，劣弧中点恰好与圆心距离，则折痕的长为 ．
【答案】
【分析】取的中点D，根据圆的对称性和折叠的性质可知点O，C，D共线，作直线，交于点E，连接，可知，，根据垂径定理可知，在中，根据勾股定理求出，进而得出答案．
【详解】取的中点D，根据圆的对称性和折叠的性质可知点O，C，D共线，作直线，交于点E，连接，根据题意可知，，
∵点D是的中点，∴．
在中，根据勾股定理，得．
∵，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查折叠的性质，垂径定理和逆定理等，构造直角三角形是解题的关键．
12．（2022秋·河南商丘·九年级校联考期末）如图，点A，B，C，D，E是上5个点，若，将弧CD沿弦CD翻折，使其恰好经过点O，此时，图中阴影部分恰好形成一个“钻戒型”的轴对称图形，“钻戒型”（阴影部分）的面积为 ．
【答案】
【分析】连CD、OE，如图，利用折叠性质得四边形OCED是菱形，，则S扇形ECD=S扇形OCD，判断△COE为等边三角形则可求得∠COD=∠CED=120°，根据扇形面积公式，三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：连接CD、OE，由题意可知OC=OD=CE=ED，，
∴S扇形ECD=S扇形OCD，四边形OCED是菱形，∴∠COD=∠CED=2∠CEO，
∵CO=EO=CE，∴△COE是等边三角形，∴∠CEO=60°，∴∠COD=∠CED=120°，
同理可证△ODE是等边三角形，△AOB是等边三角形，
∴S△AOB= S△COE= S△DOE=，∴S菱形OCED= S△COE+S△DOE=
∴S阴影=2S扇形OCD-2S菱形OCED+S△AOB==故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．记住扇形面积的计算公式．也考查了折叠的性质．
13．（2023·北京·统考二模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，将弧AC沿直线AC翻折，若翻折后的图形恰好经过点O，则∠CAB＝ °．
【答案】30
【分析】作OE⊥AC交⊙O于F，交AC于E，根据折叠的性质得到OE=OF，根据直角三角形的性质解答．
【详解】解：作OE⊥AC交⊙O于F，交AC于E，
由折叠的性质可知，EF＝OEOF，
∵OA=OF，∴OEOA，在Rt△AOE中，OEOA，∴∠CAB＝30°，故答案为：30．
【点睛】本题考查的是翻折变换的性质、含30°角的性质，以及圆的知识，折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
14．（2023·江苏宿迁·九年级沭阳县修远中学阶段练习）如图①是半径为2的半圆，点C是弧AB的中点，现将半圆如图②方式翻折，使得点C与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】2﹣
【分析】连接OC交MN于点P，连接OM、ON，根据折叠的性质得到OP=OM，得到∠POM=60°，根据勾股定理求出MN，结合图形计算即可．
【详解】解：连接OC交MN于点P，连接OM、ON，
由题意知，OC⊥MN，且OP=PC=1，在Rt△MOP中，∵OM=2，OP=1，
∴cos∠POM==，AC==，
∴∠POM=60°，MN=2MP=2，∴∠AOB=2∠AOC=120°，
则图中阴影部分的面积=S半圆-2S弓形MCN
=×π×22-2×（-×2×1）=2-π，故答案为2-π.
【点睛】本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运用、扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．
15．（2022秋·山东济宁·九年级校考期末）如图，将半径为的折叠，弧恰好经过与垂直的半径的中点D，已知弦的长为，则 ．
【答案】8
【分析】延长交于E点，交于点F，连接，由与垂直，根据垂径定理得到E为的中点，然后利用D是的中点和对称即可求出的长，从而求出，然后由的长，根据勾股定理求出的长，进而得出半径的长．
【详解】解：延长交于E点，交于点F，连接，
∵，∴E为的中点， ∵，∴，
∵D是的中点，，∴，，
根据对称的性质可得：， ，
在中，根据勾股定理可得：即
∴（负值舍去）故答案为：8．
【点睛】此题考查了垂径定理，折叠的性质以及勾股定理，在遇到直径与弦垂直时，常常利用垂径定理得出直径平分弦，进而由圆的半径，弦心距及弦的一半构造直角三角形来解决问题，故延长并连接作辅助线是本题的突破点．
16．（2023·广东·九年级专题练习）如图，已知是⊙O的内接三角形，⊙O的半径为2，将劣弧（虚线）沿弦折叠后交弦于点D，连接．若，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】取折叠后的弧所在圆圆心为，则⊙O与⊙设等圆，是公共的圆周角，所以可以证得，设⊙O的半径为R，过O作于G，可得，，即，根据勾股定理可得，即可求得．
【详解】设折叠后的所在圆的圆心为，连接，
∴ 连接，
同理，∴ ∵⊙O与⊙是等圆∴
设⊙O的半径为R 过O作于G
∵，∴，
∴∴∴故答案为：．
【点睛】本题考查了圆中的折叠变换，垂径定理等，注意等圆中的公共角，公共弦，公共弧，这些都是相等的，利用这些等量关系，是解决此类题的突破口．
17．（2023·河南周口·统考二模）如图①，为半圆的直径，点在上从点向点运动，将沿弦，翻折，翻折后的中点为，设点，间的距离为，点，间的距离为，图②是点运动时随变化的关系图象，则的长为 ．
【答案】8
【分析】由图可知，当时，，此时，，点与点重合，由此即可解题．
【详解】解：由图可知，当时，，
此时，，点与点重合，如图，
取的中点，连接、，
，根据对称性，得，，
，是等边三角形，，，
为直径，，在中，，，
，长为．故答案为：．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象、圆周角定理及含角的直角三角形的性质，解答本题的关键是根据图2得到时，点与点重合，此题难度一般．
18．（2022·广东珠海·校考一模）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝8，将弧AB沿弦AB翻折后恰好经过弦AC的中点D，则弦BC的长为 ，⊙O的半径为 ．
【答案】 /
【分析】连接BD，设点D关于AB的对称点为点E，连接AE，BE，得到BD=BE，∠BAD=∠BAE，得到BC=BE，BC=BD，得到∠C=∠BDC，根据AB=AC，得到∠C=∠ABC，推出∠ABC=∠BDC，得到△ABC∽△BDC，推出，根据AC=8，,得到；连接BO，过点A作AF⊥BC，得到，得到AF过圆心O，，设圆的半径为R，得到OB=R，OF=AF-AO=-R，根据,得到，得到
【详解】设点D关于AB的对称点为点E，连接AE，BE，BD，
则△ABD≌△ABE，BD=BE，∠BAD=∠BAE，∴BC=BE， ∴BC=BD，∴∠C=∠BDC，
∵AB=AC，∴∠C=∠ABC，∴∠ABC=∠BDC，∴△ABC∽△BDC，∴，
∵D是AC的中点，AC=8，∴,∴，∴
连接BO，过点A作AF⊥BC，则，
∴AF过圆心O，，
设圆的半径为R，则OB=R，OF=AF-AO=-R，
∵,∴，∴
【点睛】本题考查了圆弧折叠，圆周角定理，等腰三角形，全等三角形，相似三角形，勾股定理，熟练掌握折叠图形的全等性，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，是解决此类问题的关键
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·江西·九年级统考阶段练习）如图1，在中，，以为弦的与相切于点．（1）求证：是的切线；（2）将中以下部分沿直线向上翻折．
①如图2，若翻折后的弧过中点，并交于点，请判断与的关系，并说明理由．
②如图3，若，且翻折后的弧恰好过点，则的半径为________．
【答案】（1）见解析；（2）①，见解析，②2
【分析】（1）连接OB，OC，根据等腰三角形的性质，得∠ABC=∠ACB，∠OBC=∠OCB，结合∠ABO=90°，即可得到结论；（2）①连接DE，BE，由圆周角定理得，从而得，进而得DE∥BC，由点D是AB的中点，可得DE是 ABC的中位线，进而即可得到结论；②连接AO，BO，CO，设AO交于点O′，易得是所在圆的直径，记交弧于点，两圆半径相等，那么点就是所在的圆的圆心，可得 O′BO是等边三角形，再利用解直角三角形，即可得到答案．
【详解】（1）连接OB，OC，∵AB=AC，OB=OC，
∴∠ABC=∠ACB，∠OBC=∠OCB，∴∠ABO=∠ACO，
∵AB是的切线，∴∠ABO=90°，∴∠ACO=90°，∴AC是的切线；
（2）①，理由如下：连接DE，BE，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴，
∴，即：，∴∠BED=∠CBE，∴DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC=∠ACB=∠AED，∴AD=AE，
∵点D是AB的中点，∴AD=AB，∴AE=AC，
∴点E是AC的中点，∴DE是 ABC的中位线，∴DE=BC．
综上所述：DE∥BC，DE=BC；
②连接AO，BO，CO，设AO交于点O′，
∵翻折后的弧恰好过点，∠ABO=90°，∴AO是所在圆的直径，
∵所在圆与所在圆是等圆，∴OO′既是所在圆的半径，也是所在圆的半径，
∴点O′是所在圆的圆心，∴O′B=O′O=OB，∴ O′BO是等边三角形，即∠AOB=60°，
∴在Rt AOB中，AO=AB÷sin60°==4，∴OO′=2，即：的半径为2．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，圆的切线的判定定理，圆周角定理及其推论以及解直角三角形，添加合适的辅助线，构造直角三角形和等边三角形，是解题的关键．
20．（2023·江苏无锡·九年级校联考期中）如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为，P是半径OB上一动点，Q是上的一动点，连接PQ．
（1）当∠POQ＝ 时，PQ有最大值，最大值为 ；
（2）如图2，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求的长；
（3）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先判断出当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，即可得出结论；
（2）先判断出∠POQ＝60°，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；
（3）先在Rt△B'OP中，OP2+ ＝ ，解得OP＝ ，最后用面积的和差即可得出结论．
【详解】解：（1）∵P是半径OB上一动点，Q是 上的一动点，
∴当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，
此时，∠POQ＝90°，PQ＝ ， 故答案为90°，10 ；
（2）解：如图，连接OQ，∵点P是OB的中点，∴OP＝OB＝ OQ．
∵QP⊥OB，∴∠OPQ＝90°在Rt△OPQ中，cos∠QOP＝ ，
∴∠QOP＝60°，∴lBQ ；
（3）由折叠的性质可得， ，
在Rt△B'OP中，OP2+ ＝,解得OP＝，
S阴影＝S扇形AOB﹣2S△AOP＝.
【点睛】此题是圆的综合题，考查了圆的性质，弧长公式，扇形的面积公式，熟记公式是解本题的关键．
21．（2023·江西萍乡·校考模拟预测）如图（1）是的直径，且，点是半圆的中点，点是上一动点，将沿直线折叠交于点，连接，．
(1)求证：；(2)当点与点重合时，如图（2），求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）如图，作点关于的对称点，连接，，，，由折叠的性质可知，，根据圆周角定理可知，，可得，继而得到，即；
（2）证明是等边三角形，可知所对圆心角为，利用弧长公式可求的长．
【详解】（1）证明：如图，作点关于的对称点，连接，，，，由折叠的性质可知，，
又∵，，
∴，∴，∴．
（2）解：由（1）知，又∵，∴是等边三角形，
∴，∴所对圆心角为，∴的长为．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、圆周角定理和弧长公式，根据题意及轴对称的性质作出辅助线是解答本题的关键．
22．（2022秋·山东淄博·九年级统考期末）图1和图2中，优弧所在⊙O的半径为2，AB=2．点P为优弧上一点（点P不与A，B重合），将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．
（1）点O到弦AB的距离是 ，当BP经过点O时，∠ABA′= °；
（2）当BA′与⊙O相切时，如图2，求折痕的长：
（3）若线段BA′与优弧只有一个公共点B，设∠ABP=α．确定α的取值范围．
【答案】（1）1、60．（2）2；（3）α的取值范围是0°＜α＜30°或60°≤α＜120°．
【分析】（1）利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到AB的距离；利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出的度数.
（2）根据切线的性质得到，从而得到，就可求出，进而求出.过点O作，垂足为G，容易求出CG，BG的长，根据垂径定理就可求出折痕的长．
（3）根据点位置的不同，分点在内和外两种情况进行讨论：当点在内时，若线段与优弧都只有一个公共点B，则的范围是；当点在外时，从与相切开始，若线段与优弧都只有一个公共点B，则的范围是.从而得到：当线段与优弧只有一个公共点B时，的取值范围是或.
【详解】解：（1）①如图所示，过点O作，垂足为H，连接OB．
，，.
，，点O到AB的距离为1.
②如图所示，当BP经过点O时，
，，，.．
由折叠可得．.故填1，60.
（2）方法1 如图所示，过点O作于点H，于点D连接OB．
与相切，，
，, ,.．
点A关于直线PB的对称点为，．
．．．
方法2 如图所示，连接OB，OP，OA．
同方法1可得．，
易得．.
方法3 如图所示，连接，OB．，.
与相切，.点A关于直线PB的对称点为，
，在中，，
，即，O，A三点共线，BP垂直平分．
在中，，，
（3）点P、点A不重合，. 由(1)，当增大到时，点在上.
当时，点在内，线段与弧只有一个公共点B.
由(2)，当增大到时，与相切，即线段与弧只有一个公共点B．
当继续增大时，点P逐渐靠近点B，但点P、点B不重合.．
，，.
当时，线段与弧只有一个公共点B．
综上所述，的取值范围是或.
（如图所示，在折叠过程中，BP的4个特殊位置，点落在以点B为圆心，BA长为半径的虚线圆弧上.观察图形，由线段与的位置可确定的取值范围.）
【考点】圆的综合题．
23．（2023·江苏徐州·九年级阶段练习）小明在研究由矩形纸片折叠等边三角形之后，经过探究，他用圆形纸片也折叠出了等边三角形，以下是他的折叠过程：第一步：将圆形纸片沿直径AM对折，然后打开；第二步：将纸片沿折痕BC翻折使点M落在圆心I处，然后打开，连接AB、AC．
（1）在图③中BC与IM的位置关系是 ；
（2）小明折叠出的△ABC是等边三角形吗？请你说明理由．
【答案】（1）互相垂直平分；（2）△ABC为等边三角形．
【详解】试题分析：（1）利用折叠的性质易得IM垂直平分BC，BC垂直平分IM，即BC和IM互相垂直平分；（2）连结IB、BM、MC，如图，由BC和IM互相垂直平分可判断四边形BMCI为菱形，易得△IBM和△TMC为等边三角形，则∠BIM=∠CIM=60°，然后根据圆周角定理得到∠BAC=∠BIC=60°，加上AB=AC，于是可判断△ABC为等边三角形．
解：（1）∵圆形纸片沿直径AM对折，∴IM垂直平分BC，
∵纸片沿折痕BC翻折使点M落在圆心I处，∴BC垂直平分IM，
即BC和IM互相垂直平分；故答案为互相垂直平分；
（2）△ABC为等边三角形．理由如下：连结IB、BM、MC，如图，
∵BC和IM互相垂直平分，∴四边形BMCI为菱形，
∴IB=BM=MC=IC，∴IB=BM=MC=IC=IM，
∴△IBM和△TMC为等边三角形，∴∠BIM=∠CIM=60°，
∴∠BAC=∠BIC=60°，而AM垂直平分BC，∴AB=AC，∴△ABC为等边三角形．
考点：翻折变换（折叠问题）．
24．（2023·江西萍乡·萍乡市安源中学校考模拟预测）如图（1）是的直径，且，点是半圆的中点，点是上一动点，将沿直线折叠交于点，连接，．
(1)求证：；(2)当点与点重合时，如图（2），求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）如图，作点关于的对称点，连接，，，，由折叠的性质可知，，根据圆周角定理可知，，可得，继而得到，即；
（2）证明是等边三角形，可知所对圆心角为，利用弧长公式可求的长．
【详解】（1）证明：如图，作点关于的对称点，连接，，，，由折叠的性质可知，，
又∵，，
∴，∴，∴．
（2）解：由（1）知，
又∵，∴是等边三角形，
∴，∴所对圆心角为，
∴的长为．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、圆周角定理和弧长公式，根据题意及轴对称的性质作出辅助线是解答本题的关键．
25．（2023·江苏·九年级专题练习）（1）在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题：如图1，的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心，则AB长为 cm； 请同学们进一步研究以下问题：（2）如图2，⊥弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦AB折叠后经过C的中点D，AB=10cm，求的半径；（3）如图3，的半径为4cm，劣弧AB沿弦AB折叠后与直径CD相切于点E，ED=2cm，求弦AB的长．
【答案】（1）cm；（2） cm；（3）cm
【分析】（1）过点O1作O1F⊥AB于F，得出O1F＝O1F，再根据勾股定理，即可得出结论；
（2）同（1）的方法先判断出O2C＝2r cm，再根据勾股定理建立方程求解，即可得出结论；
（3）先求出OO3，进而求出O3E，进而利用勾股定理求出AH，即可得出结论．
【详解】（1）如图1，过点O1作O1F⊥AB于F，并延长O1F交虚线劣弧AB于E，
∴AB＝2AF，由折叠知，EF＝O1F＝O1E＝×4＝2（cm），
连接O1A，在Rt△O1FA中，O1A＝4，
根据勾股定理得，AF＝（cm），
∴AB＝2AF＝（cm），故答案为：；
（2）如图2，延长O2C交虚线劣弧AB于G，由折叠知，CG＝CD，
∵D是O2C的中点，∴CD＝O2D，∴CG＝CD＝O2D，
设⊙O2的半径为3r cm，则O2C＝2r（cm），
∵O2C⊥弦AB，∴AC＝AB＝5（cm），连接O2A，
在Rt△ACO2中，根据勾股定理得，（3r）2 （2r）2＝25，
∴r＝（舍去负值），∴O2A＝3r＝（cm），即⊙O2的半径为cm；
（3）如图3，记实线劣弧AB所在的圆心为O，连接OE，O3A，OA，OO3，
则O3A＝OA＝OE＝4（cm），
∵折叠后与直径CD相切，∴∠OEO3＝90°，
∵⊙O3的半径为4cm，∴O3A＝O3D＝4（cm），
∵DE＝2cm，∴O3E＝O3D DE＝2（cm），
在Rt△OEO3中，根据勾股定理得，OO3＝（cm），
∵AB是⊙O和⊙O3的公共弦，∴OO3⊥AB，∴AB＝2AH，O3H＝OO3＝（cm），
在Rt△O3HA中，根据勾股定理得，AH＝（cm），
∴AB＝2AH＝2（cm）．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了垂径定理，勾股定理，相交两圆的连心线垂直于勾股弦，构造出直角三角形是解本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题3.12 圆中的翻折模型
模块1：知识梳理
1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分；
2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；
3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称；
4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。
模块2：核心模型与典例
模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰）
如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，则CD=CA
特别的，若将弧BC折叠后过圆心，则CD=CA，∠CAB=60°
例1．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）已知点，，在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．若，，则的长为（ ）
A． B．9 C． D．
例2．（2023·浙江杭州·九年级校考期中）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，若点与圆心不重合，，则的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
例3．（2023·浙江宁波·校考一模）如图，的半径为4．将的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O．则这条劣弧的弧长为 ．
例4．（2023春·广西·九年级专题练习）如图，是的直径，是的弦，，垂足为，，，点为圆上一点，，将沿弦翻折，交于点，图中阴影部分的面积 ．
例5．（2023·宁夏吴忠·统考二模）如图，是的直径，且，是上一点，将沿直线翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点，则图中阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
例6．（2023·吉林长春·统考模拟预测）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（ ）
①AC＝CD；②AD＝BD；③+＝；④CD平分∠ACB
A．1 B．2 C．3 D．4
例7．（2022春·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若，则∠BCD的度数是（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
例8．（2022·浙江宁波·统考一模）如图，是半径为4的的弦，且，将沿着弦折叠，点C是折叠后的上一动点，连接并延长交于点D，点E是的中点，连接.则的最小值为 ．
例9．（2023·贵州遵义·统考三模）【问题背景】
如图1，在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得劣弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为．
(1)【探究发现】如图1，连接，并延长交于D，连接．直接写出的度数为__________，与的数量关系为__________；
(2)【深入探究】如图2，将劣弧沿弦所在的直线折叠，弧不经过圆心O，在劣弧上取一点C（不与A、B重合），连接并延长交于点D，连接．猜想与的数量关系，说明理由；(3)【拓展应用】如图3，在（2）条件下，若平分，，求的长．
模块3：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）如图，、为的两条弦，，，将折叠后刚好过弦的中点D，则的半径为（ ）
A． B． C．5 D．
2．（2023·河北唐山·统考二模）如图，已知的半径为，所对的弦长为，点是的中点，将绕点逆时针旋转后得到，三位同学提出了相关结论：
嘉嘉：点到的距离为 淇淇：的长为 嘉淇：线段扫过的面积为
下列结论正确的是( )
A．嘉嘉对，淇淇错 B．淇淇对，嘉淇错 C．嘉嘉错，嘉淇错 D．淇淇错，嘉淇对
3．（2023·河北唐山·统考二模）如图，的直径，是上一点，将沿直线翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，在扇形中，点在弧上，将弧沿弦折叠后恰好与相切于点． 已知，，则的长为（ ）
A．9 B． C． D．
5．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，将沿弦折叠，点，分别是两条弧的中点，与的度数之比为，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·江苏·模拟预测）将半径为5的如图折叠，折痕长为8，C为折叠后的中点，则长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
7．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考阶段练习）把一张直径为2的半圆形纸片按如图所示方式折叠一次后展开，图中的虚线表示折痕，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022春·九年级课时练习）如图，已知半圆的直径，C是半圆上一点，沿折叠半圆得到弧，交直径于点，若、的长均不小于2，则的长可能是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
9．（2022·河南商丘·校考一模）如图1所示是一张圆形纸片，直径AB＝8，现将点A折叠至圆心O形成折痕CD，再把C、D折叠至圆心O处，最后将圆形打开铺平（如图2所示），则的长是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，将劣弧沿AC折叠后刚好经过弦BC的中点D．若AC＝6，∠C＝60°，则⊙O的半径长为（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023春·北京海淀·九年级校考开学考试）如图，将半径为的圆形纸片折叠后，劣弧中点恰好与圆心距离，则折痕的长为 ．
12．（2022秋·河南商丘·九年级校联考期末）如图，点A，B，C，D，E是上5个点，若，将弧CD沿弦CD翻折，使其恰好经过点O，此时，图中阴影部分恰好形成一个“钻戒型”的轴对称图形，“钻戒型”（阴影部分）的面积为 ．
13．（2023·北京·统考二模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，将弧AC沿直线AC翻折，若翻折后的图形恰好经过点O，则∠CAB＝ °．
14．（2023·江苏宿迁·九年级沭阳县修远中学阶段练习）如图①是半径为2的半圆，点C是弧AB的中点，现将半圆如图②方式翻折，使得点C与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是 ．
15．（2022秋·山东济宁·九年级校考期末）如图，将半径为的折叠，弧恰好经过与垂直的半径的中点D，已知弦的长为，则 ．
16．（2023·广东·九年级专题练习）如图，已知是⊙O的内接三角形，⊙O的半径为2，将劣弧（虚线）沿弦折叠后交弦于点D，连接．若，则线段的长为 ．
17．（2023·河南周口·统考二模）如图①，为半圆的直径，点在上从点向点运动，将沿弦，翻折，翻折后的中点为，设点，间的距离为，点，间的距离为，图②是点运动时随变化的关系图象，则的长为 ．
18．（2022·广东珠海·校考一模）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝8，将弧AB沿弦AB翻折后恰好经过弦AC的中点D，则弦BC的长为 ，⊙O的半径为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·江西·九年级统考阶段练习）如图1，在中，，以为弦的与相切于点．（1）求证：是的切线；（2）将中以下部分沿直线向上翻折．
①如图2，若翻折后的弧过中点，并交于点，请判断与的关系，并说明理由．
②如图3，若，且翻折后的弧恰好过点，则的半径为________．
20．（2023·江苏无锡·九年级校联考期中）如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为，P是半径OB上一动点，Q是上的一动点，连接PQ．
（1）当∠POQ＝ 时，PQ有最大值，最大值为 ；
（2）如图2，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求的长；
（3）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积．
21．（2023·江西萍乡·校考模拟预测）如图（1）是的直径，且，点是半圆的中点，点是上一动点，将沿直线折叠交于点，连接，．
(1)求证：；(2)当点与点重合时，如图（2），求的长．
22．（2022秋·山东淄博·九年级统考期末）图1和图2中，优弧所在⊙O的半径为2，AB=2．点P为优弧上一点（点P不与A，B重合），将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．
（1）点O到弦AB的距离是 ，当BP经过点O时，∠ABA′= °；
（2）当BA′与⊙O相切时，如图2，求折痕的长：
（3）若线段BA′与优弧只有一个公共点B，设∠ABP=α．确定α的取值范围．
23．（2023·江苏徐州·九年级阶段练习）小明在研究由矩形纸片折叠等边三角形之后，经过探究，他用圆形纸片也折叠出了等边三角形，以下是他的折叠过程：第一步：将圆形纸片沿直径AM对折，然后打开；第二步：将纸片沿折痕BC翻折使点M落在圆心I处，然后打开，连接AB、AC．
（1）在图③中BC与IM的位置关系是 ；
（2）小明折叠出的△ABC是等边三角形吗？请你说明理由．
24．（2023·江西萍乡·萍乡市安源中学校考模拟预测）如图（1）是的直径，且，点是半圆的中点，点是上一动点，将沿直线折叠交于点，连接，．
(1)求证：；(2)当点与点重合时，如图（2），求的长．
25．（2023·江苏·九年级专题练习）（1）在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题：如图1，的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心，则AB长为 cm； 请同学们进一步研究以下问题：（2）如图2，⊥弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦AB折叠后经过C的中点D，AB=10cm，求的半径；（3）如图3，的半径为4cm，劣弧AB沿弦AB折叠后与直径CD相切于点E，ED=2cm，求弦AB的长．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
