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专题4.1 比例线段
模块1：学习目标
1、了解两条线段的比和比例线段的概念；
2、能根据条件写出比例线段；
3、会运用比例线段解决简单实际问题。
模块2：知识梳理
1.成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.其中b，c称作内项，a，d称作外项。
2．比例中项：如果a:b= b:c ,那么b2=ac，b叫做a、c的比例中项。
3．比例的性质：（1）基本性质：如果，那么.（内项之积等于外项之积）
（2）合比性质：如果 如果
注意：（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．
4.黄金分割定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值).
5.作一条线段的黄金分割点：
图1
如图1，已知线段AB，按照如下方法作图：（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB；（2）连接AD，在DA上截取DE=DB；（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
注意：一条线段的黄金分割点有两个.
模块3：核心考点与典例
考点1. 成比例线段
例1.（2022·重庆九年级月考）线段、、、是成比例线段，、、，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】由、、、四条线段是成比例线段，根据成比例线段的定义，可得，又由，，，即可求得的值．
【详解】解：∵、、、是成比例线段，∴，即，∴．故选：A．
【点睛】此题考查了成比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段的定义
变式1．（2022·辽宁·沈阳市九年级月考）下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（ ）
A．4cm，5cm，6cm，7cm B．3cm，4cm，5cm，8cm
C．5cm，15cm，3cm，9cm D．8cm，4cm，1cm，3cm
【答案】C
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
【详解】解：、，故选项错误，不符合题意；、，故选项错误，不符合题意；
、，故选项正确，符合题意；、，故选项错误，不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等，同时注意单位要统一．
变式2．（2023·成都·九年级成都实外校考期中）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据比例的基本性质逐项进行判断即可．
【详解】解：A、∵，∴四条线段不成比例；
B、∵，∴四条线段不成比例；C、∵，∴四条线段成比例；
D、∵，∴四条线段不成比例；故选：C．
【点睛】此题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的外项之积等于内项之积是解题的关键．
考点2. 比例中项
例2．（2022秋·安徽合肥·九年级校考期末）已知线段是线段的比例中项，如果，那么 ．
【答案】
【分析】根据比例中项的定义可得，从而即可得到的值．
【详解】解：线段是线段的比例中项，，，，
，，故答案为：．
【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的含义．
变式1．（2023秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）线段4cm、9cm的比例中项为 cm．
【答案】6
【分析】根据比例中项的定义可得，代入可求得c．
【详解】解： ∵c是a、b的比例中项线段， ∴， ∴（舍去），故答案：6．
【点睛】本题主要考查比例中项的定义，掌握比例中项的性质是解题的关键，即如果c是a、b的比例中项则有．
变式2．（2022·江苏亭湖区·九年级期中）已知线段a，b，c，其中c是a和b的比例中项，a＝4，b＝9，则c=（ ）
A．4 B．6 C．9 D．36
【答案】B
【分析】根据比例中项的概念，当两个比例内项相同时，就叫比例中项，再列出比例式即可得出．
【详解】解：根据比例中项的概念，得，，
又线段不能是负数，应舍去，取，故选：B．
【点睛】考查了比例中项的概念：解题的关键是当两个比例内项相同时，就叫比例中项．这里注意线段不能是负数．
考点3. 成比例线段的应用（比例尺）
例3．（2023秋·湖南怀化·九年级统考期末）在比例尺为的图纸上长度为的线段表示实际长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据比例尺图上距离实际距离进行求解即可．
【详解】解：，故选C．
【点睛】本题主要考查了比例尺，熟知比例尺图上距离实际距离是解题的关键．
变式1．（2023秋·陕西汉中·九年级统考期末）在中国地理地图册上，连接上海、香港、台湾三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图所示，飞机从台湾直飞上海的距离约为1286千米，那么飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约为（ ）
A．3858千米 B．3218千米 C．2314千米 D．1543千米
【答案】A
【分析】根据地图上的距离比等于实际距离比，列式计算即可．
【详解】解：设飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行的实际距离为（千米），
则：，解得；
∴飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行的实际距离为千米；故选：A．
【点睛】本题考查比例尺．熟练掌握地图上的距离比等于实际距离比，是解题的关键．
变式2．（2022·上海市九年级月考）钓鱼岛列岛是我国最早发现、命名，并行使主权的，在一幅比例尺是1：100000的地图上，测得钓鱼岛的东西走向长为3.5厘米，那么它的东西走向实际长大约为 ___千米．
【答案】3.5
【分析】根据图上距离与比例尺，求实际距离，即图上距离除以比例尺．
【详解】解：根据题意，厘米千米．
即它的东西走向实际长大约为3.5千米．故答案为：3.5．
【点睛】考查了比例线段，掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用．
考点4. 比例的性质
例4.（2022·成都市·九年级期中）如果(其中，)，那么下列式子中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，则可以变形为．分别代入各个选项检验即可得到结论．
【详解】解：设，则可以变形为．
A、，，该选项正确，故不符合题意；
B、，，该选项正确，故不符合题意；
C、，，该选项正确，故不符合题意；
D、，，该选项错误，故符合题意．故选：D．
【点睛】已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表
变式1．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）若，则 ．
【答案】
【分析】根据比例的性质，设，代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵，设，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
变式2．（2023·安徽滁州·九年级校考阶段练习）已知，，则的值为 ．
【答案】/
【分析】根据等比性质解答即可.
【详解】解：∵，∴，∴，
∵，∴；故答案为：.
【点睛】本题考查了比例的性质，熟知比例的等比性质是解题的关键.
变式3．（2023·山西晋中·九年级统考期中）已知，且，则 ．
【答案】30
【分析】设，，，根据得到，求得，从而得出，，，代入进行计算即可．
【详解】解：，设，，，
，，解得：，
，，，，故答案为：30．
【点睛】本题考查了比的性质，设，，，根据求出的值是解题的关键．
考点5. 比例的性质（分类讨论）
例5．（2023·四川成都九年级月考）＝＝＝k，则关于x的函数y＝kx﹣k的图象必经过第_____________象限．
【答案】一、四
【分析】当a+b+c＝0，利用比例性质得k＝﹣1，则函数解析式为y＝﹣x+1，于是一次函数与系数的关系可得直线经过第一、二、四象限；当a+b+c≠0，利用比例性质得k＝＝2，则函数解析式为y＝2x﹣2，于是一次函数与系数的关系可得直线经过第一、三、四象限，然后综合两种情况可判断y＝kx﹣k的图象必经过第一、四象限．
【详解】解：①当a+b+c＝0，a+b＝﹣c ，k＝﹣1，
则函数解析式为y＝﹣x+1，直线y＝﹣x+1经过第一、二、四象限；
②当a+b+c≠0，k＝＝＝，则，
三个等式相加得，，
解得，则函数解析式为y＝2x﹣2，直线y＝2x﹣2经过第一、三、四象限，
所以关于x的函数y＝kx﹣k的图象必经过第一、四象限．故答案为一、四．
【点睛】本题考查了比例的性质和一次函数的性质，解题关键是根据比例的性质求出k的值.
变式1．（2023·浙江九年级期中）已知a，b，c为的三边，且，则k的值为（ ）
A．1 B．或 C． D．1或
【答案】A
【分析】依据，即可得出2（a+b+c）＝2k（a+b+c），再根据a、b、c为△ABC的三边，可得a+b+c≠0，进而得到k＝1．
【详解】解：∵，∴2a＝k（b+c），2b＝k（a+c），2c＝k（a+b），
∴2（a+b+c）＝2k（a+b+c），∵a、b、c为△ABC的三边，∴a+b+c≠0，∴k＝1．故选：A．
【点睛】此题主要考查了比例的基本性质的综合运用，解题关键是根据比例式得出含k的方程，再根据再根据a、b、c为△ABC的三边求解．
变式2．（2023·山东九年级月考）已知abc≠0，且＝＝＝k，则k的值为（ ）
A．2 B．1 C．2或﹣1 D．2或1
【答案】C
【分析】根据已知条件得出a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk，再把三式相加得出2（a+b+c）=k（a+b+c），然后分两种情况讨论，即可得出k的值．
【详解】解：∵，∴a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk，
∴2（a+b+c）=k（a+b+c），∴当a+b+c≠0时，得k=2；
当a+b+c=0时，则a+b=-c，k=-1；∴k的值为2 或-1；故选：C．
【点睛】本题考查比例的性质，解决此题关键是把等式变形，进而通过分析a+b+c的取值，确定k的取值．
考点6. 黄金分割
例6.（2022·广东·佛山市九年级月考）如图，若芭蕾舞者抬起的脚尖点C分线段AB近似于黄金分割（AC＜BC）．已知AB＝160cm，BC的长为 ___cm．（结果保留根号）
【答案】
【分析】利用黄金分割的定义得到，再把AB＝160cm代入计算即可．
【详解】点C为线段AB的黄金分割点（ACcm，故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割，属于基础题，记住黄金分割比是是解题关键．
变式1．（2023·江苏宜兴·九年级月考）电视节目主持人在主持节目时，站在舞台黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长20m，试计算主持人应走到离A至少多少米处是比较得体的位置 (A在B左边，主持人在A处) （ ）
A．7.64m B．12.3m C．13.4 m D．6m
【答案】A
【分析】根据黄金分割的定义“将整体分成两部分，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618”进行求解即可得．
【详解】解：根据黄金比得：（m），
∵黄金分割点有2个，∴（m），由于7.64<12.36，
故计算机主持人应走到离A至少7.64米处是比较得体的位置，故选A．
【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是熟记黄金分割的比值．
变式2.（2023·广西八步区·九年级期中）如图所示，已知点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB＝2，则AC的长约为（ ）
A．1.543 B．1.236 C．1.123 D．1.618
【答案】B
【分析】据黄金分割点的定义，当AC是较长线段时，AC=AB，代入数据即可得出AC的长度．
【详解】解：∵线段AB=2，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC时，
∴AC=AB=×2=-1≈1.236，故选：B．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念，熟记黄金分割的比值是解题的关键．
变式3．（2023·浙江金华·九年级校考期中）鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例．是自然界最奖的鬼斧神工，如图，P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为 ．
【答案】
【分析】根据黄金分割的定义可得，据此求解即可．
【详解】解：P是的黄金分割点，，
，故答案为：．
【点睛】本题考查黄金分割，掌握黄金分割中相关线段的比例关系是解题的关键．
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春·安徽安庆·九年级校考阶段练习）若，则下列比例式成立的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用内项之积等于外项之积进行判断．
【详解】A.，，故此选项符合题意；
B.，，故此选项不符合题意；
C.，，故此选项不符合题意；
D.，，故此选项不符合题意；故选A．
【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
2．（2023·上海青浦·九年级校考阶段练习）若，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据比例的性质，对所给选项进行整理，找到不一定正确的选项即可．
【详解】解：∵，∴，
A. ，则，即，不一定成立，符合题意；
B. ，则即，故该选项成立，不符合题意；
C. ，则，即，故该选项成立，不符合题意；
D. ，则∴
∴即，故该选项成立，不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查了比例性质；根据比例的性质灵活变形是解题关键．
3．（2023秋·重庆万州·九年级统考期末）已知，则的值是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，得到，再代入求值即可．
【详解】解：∵，∴，∴． 故选：B．
【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的基本性质，是解题的关键．
4．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）若，，，是成比例线段，其中，，则线段的长为( )
A．2 B．4 C．6 D．18
【答案】C
【分析】根据题意，可得，且，即可求解．
【详解】解：∵，，，是成比例线段，∴，且，
∵，，∴∴，故选：C．
【点睛】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段的性质是解题的关键．
5．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）下列各组长度的线段（单位：cm）中，成比例线段的是（ ）
A．， ，， B．1，，， C．，，， D．，，，7
【答案】C
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．
【详解】解：A. ，故四条线段不成比例，不合题意；
B. ，故四条线段不成比例，不合题意；
C. ，故四条线段成比例，符合题意；
D. ，故四条线段不成比例，不合题意．故选：C．
【点睛】此题考查了比例线段，如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
6．（2023·湖南永州·九年级校考阶段练习）已知实数x，y，z满足，且，则( )
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】C
【分析】设，则，所以，解方程求出k，接着求出x和y的值，然后计算它们的和即可．
【详解】解：设k，则，
∵，∴，解得，
∴，∴．故选：C
【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键．
7．（2023·陕西西安·九年级校考阶段练习）主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处是最自然得体的，现在班级元旦晚会开始了，主持人从讲台黄金分割点C走到另一个黄金分割点D，若讲台的长为米，则的长为（ ）米
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】不妨设点C靠近点A，根据黄金分割点的定义求出的长即可得到答案．
【详解】解：不妨设点C靠近点A，
∵讲台的长为米，C、D都是讲台的黄金分割点，
∴米，
∴，∴米，故选A．
【点睛】本题主要考查了黄金分割点的意义，熟知黄金分割比例为是解题的关键．
8．（2022秋·安徽六安·九年级校考阶段练习）鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，点P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可解答．
【详解】解：是的黄金分割点，线段的长为，
，，故选：A．
【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
9．（2023春·吉林长春·九年级校考开学考试）两千多年前，希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，如图，点在线段上，若满足，则称点是线段的黄金分割点，黄金分割的应用很广泛，例如：在舞台上，主持人站在黄金分割点主持节目时，视觉效果最好，若舞台长20米，设主持人登台后至少走米可到舞台的黄金分割点上，则可列出方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】点是的黄金分割点，且，，则，则，即可求解．
【详解】解：由题意知，点是的黄金分割点，且，，则，
，，故选：A．
【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
10．（2023·浙江九年级期中）已知，且，则直线不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据比例的等比性质计算即可得出p的值，从而确定直线y=px+p经过象限．本题注意条件的限制．
【详解】解：∵a+b+c≠0，根据等比性质，得p=，
∴直线y=px+p，即直线y=2x+2， ∴直线y=px+p不经过第四象限． 故选D．
【点睛】本题主要考查了等比性质：若，则 （b+d+…+n≠0）．特别注意条件的限制（分母是否为0），解决本题的关键是要熟练掌握等比的性质.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 金山区校级月考）已知，则_________．
【答案】
【分析】由，设 则 再代入代数式求值即可得到答案．
【解析】解： ，设 则
故答案为：
【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握利用设参数法解决比例的问题是解题的关键．
12．（2023·上海青浦·九年级校考期中）在比例尺是的交通游览图上，某隧道长约，那么它的实际长度约为 ．
【答案】12
【分析】根据比例尺列方程计算即可．
【详解】解：．设它的实际长度约为，
∵该交通游览图的比例尺是，∴，解得：，
∴它的实际长度约为．故答案为：12．
【点睛】本题考查了比例线段，理解比例尺的定义是解题关键．
13．（2023秋·安徽六安·九年级校考期中）已知线段是线段和线段的比例中项，若，，则 ．
【答案】4
【分析】根据比例中项的定义，若是和的比例中项，则，进行计算即可得到答案．
【详解】解：线段是线段和线段的比例中项，，
，，，故答案为：4．
【点睛】本题考查了线段的比例中项的定义，熟练掌握此知识点是解题的关键，注意线段不能为负．
14．（2022 江阴市月考）若，则的值为_______．
【答案】或﹣1
【分析】设，根据比例的性质得出，，，将它们相加得出，再分与两种情况进行讨论即可．
【解析】解：设，则，，，
①如果，那么，此时，，，
，
②如果，那么，，此时，，，
，故答案为：或﹣1．
【点睛】本题考查了比例的性质，进行分类讨论是解题的关键．
15．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，点P把线段分成两部分，且为与的比例中项．如果，那么 ．
【答案】/
【分析】根据黄金分割的定义结合已知条件得，即可得出结论．
【详解】解：∵点P把线段分成两部分，且为与的比例中项，
∴，∴根据黄金分割的定义可得出：，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．
16．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）黄金分割大量应用于艺术、大自然中，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，则的长度为 ．
【答案】/
【分析】根据黄金分割的定义可知：，由此求解即可；
【详解】解：∵为的黄金分割点，
∴∴（）故答案为：
【点睛】本题考查了黄金分割的定义；熟记黄金比是解题的关键．
17．（2022 浙江九年级期中）五角星是我们生活中常见的一种图形，如图五角星中，点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，已知黄金比为，且AB＝2，则图中五边形CDEFG的周长为________．
【答案】
【分析】根据点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，可得AC=BD=AB，BC=AB，再根据CD=BD-BC求出CD的长度，然后乘以5即可求解．
【解析】∵点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，
∴AC=BD=AB=，BC=AB，
∴CD=BD﹣BC=()﹣()=2﹣4，
∴五边形CDEFG的周长=5（2﹣4）=10﹣20．故答案为：10﹣20．
【点睛】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，则这个点叫这条线段的黄金分割点．
18.（2022 江北区校级期中）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米．
【答案】##
【分析】根据点E是AB的黄金分割点，可得，代入数值得出答案．
【解析】∵点E是AB的黄金分割点，∴．
∵AB=2米，∴米．故答案为：（）．
【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·安徽池州·九年级校考期中）已知a、b、c是的三边长，且，求：
(1)的值；(2)若的周长为90，求的面积．
【答案】(1)2(2)的面积为270．
【分析】（1）利用已知的比例式，用同一未知数表示出a，b，c的值，进而计算得出答案；（2）根据的周长为90得，，用同一未知数表示出a，b，c的值，进而计算得出答案．
【详解】（1）解：设，则，，，∴；
（2）解：∵的周长为90，∴，∴，解得：，
∴，，，
∵，∴，即是直角三角形
∴的面积为．
【点睛】此题主要考查了比例的性质，勾股定理的逆定理等，正确表示出各数是解题关键．
20．（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知线段a、b满足，且．
(1)求a、b的值；(2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据可得，再代入计算即可得；
（2）根据比例中项的定义求解即可得．
【详解】（1）解：，，
，，解得，则．
（2）解：线段是线段、的比例中项，，即，
解得或（不符合题意，舍去），则的值为．
【点睛】本题主要考查了比例线段和比例中项，属于基础题，熟记定义是解题关键．
21．（2023·福建龙岩·九年级校考阶段练习）五角星是同学们常见的图案，在正五角星存在黄金分割数其中量得五角星，计算，的长度．（保留两位小数）
【答案】的长度为，的长度为
【分析】可得是的黄金分割点，，设，则有，，可得，即可求解．
【详解】解：，是的黄金分割点，
，，
设，则有，，
，解得：，(舍去)，
()，()，
答：的长度为，的长度为．
【点睛】本题考查了黄金分割点的定义，二次根式的混合运算，理解定义，掌握解法是解题的关键．
22．（2022 重庆校级月考）如图，设线段AC＝1.
（1）过点C画CD⊥AC，使CDAC；连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点B．
（2）在所画图中，点B是线段AC的黄金分割点吗？为什么？
【答案】（1）作图见解析；（2）是，理由见解析
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）设AC＝1，则DE＝DC，利用勾股定理得到AD，所以AE，则AB，然后利用黄金分割的定义可判断点B是线段AC的黄金分割点．
【解析】解：（1）如图，点B为所作；
（2）点B是线段AC的黄金分割点．
理由如下：设AC＝1，则CD，∴DE＝DC，
∵AD=，∴AE＝AD﹣DE，
∴AB， BC，
即，
∴点B是线段AC的黄金分割点．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．求出线段长是解决问题的关键
23．（2023 沧州期中）三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，△ABC中，AB＝AC，且∠A＝36°．（1）在图中用尺规作边AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD（保留作图痕迹）；（2）请问△BDC是不是黄金三角形，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．
【思路点拨】（1）可根据基本作图中线段垂直平分线的作法进行作图；
（2）求得△BDC各个角的度数，根据题意进行判断即可．
【答案】解：（1）作边AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD，如图所示：
（2）△BDC是黄金三角形，理由如下：
∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝36°，
∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝72°﹣36°＝36°，
又∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，∴△BDC是黄金三角形．
【点睛】本题考查了黄金三角形的判定、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键
23．（2023·广东黄埔区·九年级）如图1所示，点C把线段分成与，若，则称线段被点C黄金分割（goldensection），点C叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比．（1）根据上述定义求黄金比；（2）在图2中，利用尺规按以下步骤作图，井保留作图痕迹．①作线段的垂直平分线，得线段的中点M；②过点B作垂线l；③以点B为圆心，以为半径作圆交l于N；④连接、，以N为圆心，以为半径作圆交于P；⑤以点A为圆心，以为半径作圆交于C．（3）证明你按以上步骤作出的C点就是线段的黄金分割点．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）设AB=a，AC=x，根据黄金分割的概念列出比例式，得到一元二次方程，解方程得到答案．（2）根据要求作出图形即可．（3）设AB=a，根据题意表示出BN、NP，根据勾股定理求出AN，求出AC与AB的比值，根据黄金比值进行判断即可．
【详解】解：（1）如图，设，，．
由，得．∴，即，
解这个方程，得，（不合题意，舍去）．
所以，黄金比．
（2）（1）如图所示．①作线段的垂直平分线，得线段的中点M；
②过点B作垂线l；
方法2：如图所示，用圆规过点B作垂线l．③以点B为圆心，以为半径作圆交l于N；
④连接、，以N为圆心，以为半径作圆交于P；
⑤以点A为圆心，以为半径作圆交于C．
（2）证明：设，由以上作法可知，，
在中，，∴．
∴，所以点C是线段的黄金分割点．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，黄金分割等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．（2023·河北高阳县·九年级）（1）观察下列式子：
，，，…
发现：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值_____________；（选填“变大”“变小”或“不变”）
（2）类比猜想：由（1）猜想分式和（其中，，）的大小关系，并说明理由；
（3）解决问题：某公司建居民住宅时，要求窗户与卧室地面面积的比值达到左右，显示这个比值越大采光条件越好，如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件___________；
A．变差了 B．变好了 C．没有改变
（4）联想拓展：如图所示，一个长为宽为的矩形（），四周都增加，所得大矩形与原来的矩形相似吗？____________（直接填“是”或“否”）
【答案】（1）变大；（2）；（3）A；（4）否
【分析】（1）根据已知的不等式观察规律即可；（2）利用作差法比较与的大小，即可解答；
（3）设，同时减少相等的窗户面积和地面面积为m，作差法比较、的大小解答；
（4）根据（1）、（2）、（3）得到的结论分析解答即可；
【详解】解：（1）∵，，，…
∴对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，故填：变大；
（2）由（1）得：＜，理由如下：，
∵ ，∴ ，∴ ＜0，∴ ；
（3）根据（2）的结论可知，如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件变差了，理由如下：设，同时减少相等的窗户面积和地面面积为m，则-＜0，
∴ ＜，∴ 采光条件变差，故选A ；
（4）由（2）知：，所得大矩形与原来的矩形不相似，故填：否．
【点睛】本题考查分式的基本性质、相似图形的判定，读懂材料，掌握基本运算法则是关键．
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专题4.1 比例线段
模块1：学习目标
1、了解两条线段的比和比例线段的概念；
2、能根据条件写出比例线段；
3、会运用比例线段解决简单实际问题。
模块2：知识梳理
1.成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.其中b，c称作内项，a，d称作外项。
2．比例中项：如果a:b= b:c ,那么b2=ac，b叫做a、c的比例中项。
3．比例的性质：（1）基本性质：如果，那么.（内项之积等于外项之积）
（2）合比性质：如果 如果
注意：（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．
4.黄金分割定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值).
5.作一条线段的黄金分割点：
图1
如图1，已知线段AB，按照如下方法作图：（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB；（2）连接AD，在DA上截取DE=DB；（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
注意：一条线段的黄金分割点有两个.
模块3：核心考点与典例
考点1. 成比例线段
例1.（2022·重庆九年级月考）线段、、、是成比例线段，、、，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式1．（2022·辽宁·沈阳市九年级月考）下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（ ）
A．4cm，5cm，6cm，7cm B．3cm，4cm，5cm，8cm
C．5cm，15cm，3cm，9cm D．8cm，4cm，1cm，3cm
变式2．（2023·成都·九年级成都实外校考期中）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（ ）
A． B． C． D．
考点2. 比例中项
例2．（2022秋·安徽合肥·九年级校考期末）已知线段是线段的比例中项，如果，那么 ．
变式1．（2023秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）线段4cm、9cm的比例中项为 cm．
变式2．（2022·江苏亭湖区·九年级期中）已知线段a，b，c，其中c是a和b的比例中项，a＝4，b＝9，则c=（ ）
A．4 B．6 C．9 D．36
考点3. 成比例线段的应用（比例尺）
例3．（2023秋·湖南怀化·九年级统考期末）在比例尺为的图纸上长度为的线段表示实际长为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023秋·陕西汉中·九年级统考期末）在中国地理地图册上，连接上海、香港、台湾三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图所示，飞机从台湾直飞上海的距离约为1286千米，那么飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约为（ ）
A．3858千米 B．3218千米 C．2314千米 D．1543千米
变式2．（2022·上海市九年级月考）钓鱼岛列岛是我国最早发现、命名，并行使主权的，在一幅比例尺是1：100000的地图上，测得钓鱼岛的东西走向长为3.5厘米，那么它的东西走向实际长大约为 ___千米．
考点4. 比例的性质
例4.（2022·成都市·九年级期中）如果(其中，)，那么下列式子中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）若，则 ．
变式2．（2023·安徽滁州·九年级校考阶段练习）已知，，则的值为 ．
变式3．（2023·山西晋中·九年级统考期中）已知，且，则 ．
考点5. 比例的性质（分类讨论）
例5．（2023·四川成都九年级月考）＝＝＝k，则关于x的函数y＝kx﹣k的图象必经过第_____________象限．
变式1．（2023·浙江九年级期中）已知a，b，c为的三边，且，则k的值为（ ）
A．1 B．或 C． D．1或
变式2．（2023·山东九年级月考）已知abc≠0，且＝＝＝k，则k的值为（ ）
A．2 B．1 C．2或﹣1 D．2或1
考点6. 黄金分割
例6.（2022·广东·佛山市九年级月考）如图，若芭蕾舞者抬起的脚尖点C分线段AB近似于黄金分割（AC＜BC）．已知AB＝160cm，BC的长为 ___cm．（结果保留根号）
变式1．（2023·江苏宜兴·九年级月考）电视节目主持人在主持节目时，站在舞台黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长20m，试计算主持人应走到离A至少多少米处是比较得体的位置 (A在B左边，主持人在A处) （ ）
A．7.64m B．12.3m C．13.4 m D．6m
变式2.（2023·广西八步区·九年级期中）如图所示，已知点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB＝2，则AC的长约为（ ）
A．1.543 B．1.236 C．1.123 D．1.618
变式3．（2023·浙江金华·九年级校考期中）鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例．是自然界最奖的鬼斧神工，如图，P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为 ．
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春·安徽安庆·九年级校考阶段练习）若，则下列比例式成立的是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2023·上海青浦·九年级校考阶段练习）若，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·重庆万州·九年级统考期末）已知，则的值是（ ）
A．3 B． C． D．
4．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）若，，，是成比例线段，其中，，则线段的长为( )
A．2 B．4 C．6 D．18
5．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）下列各组长度的线段（单位：cm）中，成比例线段的是（ ）
A．， ，， B．1，，， C．，，， D．，，，7
6．（2023·湖南永州·九年级校考阶段练习）已知实数x，y，z满足，且，则( )
A．5 B．10 C．15 D．20
7．（2023·陕西西安·九年级校考阶段练习）主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处是最自然得体的，现在班级元旦晚会开始了，主持人从讲台黄金分割点C走到另一个黄金分割点D，若讲台的长为米，则的长为（ ）米
A． B．2 C． D．
8．（2022秋·安徽六安·九年级校考阶段练习）鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，点P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023春·吉林长春·九年级校考开学考试）两千多年前，希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，如图，点在线段上，若满足，则称点是线段的黄金分割点，黄金分割的应用很广泛，例如：在舞台上，主持人站在黄金分割点主持节目时，视觉效果最好，若舞台长20米，设主持人登台后至少走米可到舞台的黄金分割点上，则可列出方程（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·浙江九年级期中）已知，且，则直线不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 金山区校级月考）已知，则_________．
12．（2023·上海青浦·九年级校考期中）在比例尺是的交通游览图上，某隧道长约，那么它的实际长度约为 ．
13．（2023秋·安徽六安·九年级校考期中）已知线段是线段和线段的比例中项，若，，则 ．
14．（2022 江阴市月考）若，则的值为_______．
15．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，点P把线段分成两部分，且为与的比例中项．如果，那么 ．
16．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）黄金分割大量应用于艺术、大自然中，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，则的长度为 ．
17．（2022 浙江九年级期中）五角星是我们生活中常见的一种图形，如图五角星中，点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，已知黄金比为，且AB＝2，则图中五边形CDEFG的周长为________．
18.（2022 江北区校级期中）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·安徽池州·九年级校考期中）已知a、b、c是的三边长，且，求：
(1)的值；(2)若的周长为90，求的面积．
20．（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知线段a、b满足，且．
(1)求a、b的值；(2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
21．（2023·福建龙岩·九年级校考阶段练习）五角星是同学们常见的图案，在正五角星存在黄金分割数其中量得五角星，计算，的长度．（保留两位小数）
22．（2022 重庆校级月考）如图，设线段AC＝1.
（1）过点C画CD⊥AC，使CDAC；连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点B．
（2）在所画图中，点B是线段AC的黄金分割点吗？为什么？
23．（2023 沧州期中）三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，△ABC中，AB＝AC，且∠A＝36°．（1）在图中用尺规作边AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD（保留作图痕迹）；（2）请问△BDC是不是黄金三角形，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．
24．（2023·广东黄埔区·九年级）如图1所示，点C把线段分成与，若，则称线段被点C黄金分割（goldensection），点C叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比．（1）根据上述定义求黄金比；（2）在图2中，利用尺规按以下步骤作图，井保留作图痕迹．①作线段的垂直平分线，得线段的中点M；②过点B作垂线l；③以点B为圆心，以为半径作圆交l于N；④连接、，以N为圆心，以为半径作圆交于P；⑤以点A为圆心，以为半径作圆交于C．（3）证明你按以上步骤作出的C点就是线段的黄金分割点．
25．（2023·河北高阳县·九年级）（1）观察下列式子：
，，，…
发现：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值_____________；（选填“变大”“变小”或“不变”）
（2）类比猜想：由（1）猜想分式和（其中，，）的大小关系，并说明理由；
（3）解决问题：某公司建居民住宅时，要求窗户与卧室地面面积的比值达到左右，显示这个比值越大采光条件越好，如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件___________；
A．变差了 B．变好了 C．没有改变
（4）联想拓展：如图所示，一个长为宽为的矩形（），四周都增加，所得大矩形与原来的矩形相似吗？____________（直接填“是”或“否”）
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