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专题4.2 由平行线截得的比例线段
模块1：学习目标
1.掌握平行线等分线段及平行线分线段成比例定理的内容；
2.会运用平行线分线段成比例定理解决问题；
3.体会转化、特殊到一般的数学思想。
模块2：知识梳理
平行线截线段成比例
基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例
已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，
则比例式 成立.
注意：上图的变式图形：分A型和X（8）型；
则常用的比例式：依然成立.
模块3：核心考点与典例
考点1. 平行线分线段成比例（梯子型）
例1．（2023秋·河北保定·九年级校考期末）如图，直线，两条直线和与，，分别相交于点A、B、C和点D、E、F．则下列比例式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例定理进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，，故B、C、D比例式正确，不符合题意；
根据现有条件无法证明，故A比例式不正确，符合题意；故选A．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理是解题的关键．
变式1．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，已知直线，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【详解】∵，∴，∵，，∴，即，故选：B．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理．
变式2．（2023·江苏南京·校考三模）如图，已知直线，如果，，那么线段的长是 ．
【答案】6
【分析】由平行线所截线段对应成比例可知，然后代入求解即可．
【详解】解：∵，∴，∵，∴，故答案为：6．
【点睛】本题考查平行线所截线段对应成比例，熟练掌握比例线段的计算是解决本题的关键．
考点2. 平行线分线段成比例（A字型）
例2．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，已知中，，若，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例的方法即可求解．
【详解】解：在中，，∴，
∴，且，，，∴，
∴，故选：．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的知识，掌握以上知识是解题的关键．
变式1．（2023春·天津滨海新·九年级校考开学考试）如图，在中，，，，，（ ）
A．4 B．1.5 C．2 D．4.5
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入计算即可．
【详解】解：∵，∴，
∵，，，∴，∴，
∴，故选：D．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例．
变式2．（2023·上海浦东新·校考一模）如图，点、分别在、上，以下能推得的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】平行于三角形一边的直线截其他两边或延长线，所得的对应线段成比例．如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
【详解】解：设，
那么，
选项A、B、D、不符合平行线分段成比例定理．
如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，
那么这条直线平行于三角形的第三边．
∵，∴．故选：C．
【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例，解答此题的关键的是明确哪些对应线段成比例．
考点3. 平行线分线段成比例（双A字型）
例3．（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，在中，D、E分别为边的中点，连接，点F为边上一点，，连接交于点N，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理，可推出,根据中位线定理分析求解．
【详解】解：∵D、E分别为边的中点，∴.∴
∴, .∴.
∵，∴.∴.所以，正确，错误；故选：C
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，中位线定理；由平行线的位置关系得到线段间数量关系是解题的关键．
变式1．（2023·黑龙江哈尔滨·统考二模）如图，在中，点D、E、F分别在边上，，，则下列比例式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【详解】A、∵，，∴四边形是平行四边形，，
∴，∴，不符合题意；
B、∵，∴，∴，不符合题意；
C、∵，∴，∴，不符合题意；
D、∵，∴，∴，故D错误，符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了平行线判定三角形的相似和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．
变式2．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）如图，是的中位线，点F在线段上，，连接交于点E，下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】A．根据中位线性质得出，根据平行线分线段成比例定理，即可判断A正确；
B．根据中位线的性质得出，，根据，得出，即可判断B正确；C．根据，，即可判断C错误；
D．根据，，即可判断D正确．
【详解】解：A．∵是的中位线，∴，，，
∴，故A正确，不符合题意；
B．∵，∴点E为的中点，∴，，
∵，∴，∴，故B正确，不符合题意；
C．∵M为的中点，∴，∵，∴，故C错误，符合题意；
D．∵，，∴，故D正确，不符合题意．故选：C．
【点睛】本题主要考查了中位线的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
考点4. 平行线分线段成比例（8字型）
例4．（2023秋·浙江九年级期中）如图D、E分别是的边、的延长线上的点，下列不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由平行线分线段成比例定理的逆定理得出A、B、C正确，D不正确，即可得出结论．
【详解】解：∵，∴，选项A正确，不符合题意；
∵，∴，∴选项B正确，不符合题意；
∵，∴，选项C正确，不符合题意；
∵不能判定，∴选项D不正确，符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查根据所给的比例线段判断平行的结论，熟练掌握平行线分线段成比例定理及推论即可求解．
变式1．（2022秋·河南周口·九年级校考期中）如图，与相交于点O，，若，则的长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】C
【分析】首先根据平行线的性质可以得到，由此即可求解．
【详解】解：∵与相交于点O，，∴，
∵，＝8，∴，∴＝6，∴．故选：C．
【点睛】此题考查平行线分线段成比例，属于基础题型，熟练掌握比例线段的对应关系是解题的关键．
变式2．（2023·河南周口·九年级统考期末）如图，，则的长为 ．
【答案】4.5/
【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
【详解】 即解得
故答案为：4.5．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
考点5. 平行线分线段成比例（AX字型）
例5．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质得出，，，，利用平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可．
【详解】解：A．∵四边形为平行四边形，
∴，，，，∵，∴，
∵，∴，故A正确，不符合题意；
B．∵，∴，∵，∴，故B正确，不符合题意；
C．∵，∴，故C正确，不符合题意；
D．∵，∴，即，
∵，∴，∴，故D错误，符合题意．故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理．
变式1．（2022秋·山西晋城·九年级统考期末）如图，F是平行四边形的边上一点，直线交的延长线于点E，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由四边形是平行四边形，可得，，，，然后根据平行线分线段成比例定理，对各个结论进行分析即可求得答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，，，，
故①②④正确；故③错误；故选C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．也考查了平行四边形的性质．
变式2．（2023秋·重庆沙坪坝·九年级校考期中）如图，，直线a，b相交于点，与这三条平行线分别相交于点A、B、C和点D、E、F，下列比例式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】平行线分线段成比例定理的内容是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例，根据以上内容判断即可．
【详解】解：A、∵，∴，结果正确，故本选项不符合题意；
B、∵，∴，结果正确，故本选项不符合题意；
C、∵，∴，结果错误，故本选项符合题意；
D、∵，∴，结果正确，故本选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．
考点6. 平行线分线段成比例（辅助线）
例6．（2022·江苏南京市·）如图，在△ABC中，点E在BC上，且BE＝3EC．D是AC的中点，AE、BD交于点F，则的值为______．
【答案】
【分析】过E点作交BD于点H，根据平行线分线段成比例定理，由得到,由于AD=CD，则，然后利用平行线分线段成比例定理得到的值.
【详解】过E点作交BD于点H，如图：
∵，∴，∵BE＝3EC，∴，
∵D为AC的中点，∴AD=CD，∴，∵，∴.故答案为.
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
变式1．（2022·山西九年级）如图，在中，为边上的中线，是的角平分线，交于点F．则的长为______．
【答案】
【分析】过点E作EG⊥AB，垂足为G，证明△CBE≌△GBE，求得CE，EG，AE的长，过点F作FO⊥AC，垂足为O，利用平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】∵∴AB==10，
过点E作EG⊥AB，垂足为G，
∵是的角平分线，∴∠CBE=∠GBE，
∵∠C=∠BGE=90°，BE=BE，∴△CBE≌△GBE，∴BC=BG=6，EC=EG，
设CE=x，则EG=x，AE=8-x,AG=AB-BG=4,
在直角三角形AEG中，根据勾股定理，得，
即，解得x=3，∴CE=3，AE=5，
过点F作FO⊥AC，垂足为O，，
∴FO∥BC，∴，∴即FO=2OE，
∵AD是中线，BC=6，∴CD=3，
∵FO∥DC，∴，∴，解得OE=，
在直角三角形OEF中，，∴EF==．故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形全等，平行线分线段成比例定理，中线，角的平分线，构造辅助线实施全等证明，平行线分线段成比例证明是解题的关键．
变式2．（2022·浙江·九年级月考）如图，在△ABC中，点D在AC边上，AD：DC=1：2，点E是BD的中点，连接AE并延长交BC于点F，BC=12，则BF=_________．
【答案】3
【分析】过E作BC的平行线交AC与G，由中位线的知识可得出DG：DC=1：2，根据已知和平行线分线段成比例得出EG：FC=2：3，再根据BC=12，即可得出BF的值．
【详解】解：过E作EG∥BC，交AC于G，
∵EG∥BC，E为BD中点，BC=12，∴DG=CG，，∴EG=6，
又∵AD：DC=1：2，∴AG：AC=2：3，∵EG∥BC，∴，∴FC=9，
∵BC=12，∴BF=BC-FC=3，故答案为：3．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式．
变式3．（2022·台州市初三期中）如图中，、为的三等份点，为的中点，与、分别交于、，则________．
【答案】
【分析】首先过点M作MK∥BC，交AF，AE分别于K，N，由M是AC的中点与D、E是BC的三等分点，根据平行线分线段成比例定理，即可求得MK=NK=BE=EF=EC，然后根据比例的性质，即可求得BG：GH：HM的值．
【解析】解：过点M作MK∥BC，交AF，AE分别于K，N，
∵M是AC的中点，∴，
∵E、F是BC的三等分点，∴BE=EF=FC，∴MN=2NK，
∵，，∴MH=BH，MG=BG，
设MH=a，BH=4a，BG=GM=，∴GH=GM-MN=，
∴BG：GH：HM=：：a=5：3：2．故答案为5：3：2．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理与比例的性质．此题难度适中，解题的关键是注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·上海·一模）如图，梯形中，，点、分别在腰、上，且，下列比例成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，即可得到结论．
【详解】解：∵，，∴，∴，故选D．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线所分线段对应成比例是解题的关键．
2．（2022秋·陕西延安·九年级校考期末）如图，，直线交于点，直线交于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由平行线分线段成比例可得，再根据平行线分线段成比例定理求解．
【详解】解：∵∴
∵，∴，∴；故选：
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．
3．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，在中，、、分别是边，，上的点，，，且，那么的值为（ ）
A．4：3 B．3：2 C．3：4 D．2：4
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得出答案．
【详解】解：∵，，，
∴，∴，故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练利用平行线分线段成比例定理是解题的关键．
4．（2023·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理逐个判断即可．
【详解】解：A．∵，∴，故本选项不符合题意；
B．∵，∴，故本选项不符合题意；
C．∵，∴，故本选项不符合题意；
D．∵，∴，故本选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
5．（2023·上海·九年级假期作业）如图，下列式子不一定能推得的是（ ）
A．； B．； C．； D．．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可．
【详解】A．，能推得，故不符合题意；
B． ，能推得，故不符合题意；
C． ，能推得，故不符合题意；
D． ，不能推得，故符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应边是解题关键．
6．（2023·河北石家庄·九年级校考阶段练习）如图，在中，，且，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，且，可根据平行线分线段成比例分别求出的长，由此即可求解．
【详解】解：∵，，∴，则，
∵，∴，则，
∵，∴，则，
∵，∴，∴，
∴，∴，故选：．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握其运算，比例的性质是解题的关键．
7．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，某位同学用直尺在数轴上作图，若图中的虚线相互平行，则点表示的数（ ）
A．1 B． C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例即可求解．
【详解】解：如图，，
∴点P表示的数是3．故选：C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解本题的关键．
8．（2022·山东九年级月考）如图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，将A，间加一条安全绳（线段），分别交，于点E，F，量得．则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，同理得到，计算即可．
【解析】解：，，
，，同理可得：，
，，故选C．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
9．（2023·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图，平行四边形中，连接，在的延长线上取一点，点为的中点，连接，交、分别为点、点，则下列结论错误的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平行四边形的性质以及平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴故A正确，不符合题意；∵，∴，
又∵．∴，故B正确，不符合题意；
∴，∴，，∴，故C正确，不符合题意；
∵与不一定相等，不一定等于， 而，故D错误，符合题意；故选：D．
【点睛】考核知识点∶ 相似三角形的判定与性质．理解性质是关键．
10.（2022·广西初三期中）如图，DE、NM分别是ABC、ADE的中位线，NM的延长线交BC于点F，则：S四边形MFCE等于（ ）
A．1：5 B．1：4 C．2：5 D．2：7
【答案】B
【分析】过N作NH⊥DE于H，过A作AP⊥BC于P交DE于G，得到NM∥AG，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，得到AG＝PG，求得NM＝AG＝PG，根据三角形和平行四边形的面积即可得到结论．
【解析】解：过N作NH⊥DE于H，过A作AP⊥BC于P交DE于G，∴NM∥AG，
∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴AG＝PG，
∵M是DE的中点，∴DM＝ME＝DE，
∵NM∥AG，AN＝DN，∴＝＝，∴NM＝AG＝PG，
∵DM＝ME，∴S△DMN：S四边形MFCE＝＝＝1：4．故选：B．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理及平行线分线段成比例定理．本题关键是找准比例关系求解．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023秋·湖南永州·九年级统考期末）已知：如下图，，，，，则 ．
【答案】8
【分析】根据平行线分线段成比例求出，减去可得结果．
【详解】解：∵，∴，即，
∴，∴，故答案为：8．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是能根据平行线得出正确的比例式．
12．（2023·四川成都·八年级校考期中）如图，直线，直线和被所截，，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可．
【详解】解：由平行线分线段成比例定理，得，即，∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
13．（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）如图，已知直线，直线m与直线、、分别交于点A、D、F，直线n与直线、、分别交于点B、C、E．若，则 ．
【答案】
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，解答即可．
【详解】解：直线，，，故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，解此题的关键是能根据定理得出比例式，注意：一组平行线截两条直线，所截得的线段对应成比例．
14．（2022·山东桓台县·八年级期末）如图，在中，是中线，是重心，过点作，分别交、于点、，若，则____________．
【答案】12
【分析】如图，运用平行线分线段成比例定理列出比例式：，根据AC=18，求出AF即可解决问题．
【解析】解：∵G是△ABC的重心，∴AG=2DG，AD=3DG；
∵EF∥BC，∴，∵AC=18，∴AF=12．故答案为12．
【点睛】该题主要考查了三角形重心的性质、平行线分线段成比例定理等几何知识点及其应用问题；牢固掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
15．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，在中，平分，交于点，且，，交于点．若，则的长是 ．
【答案】6
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得，根据等边对等角可得，然后根据平行线分线段成比例定理，可得，结合即可得出答案．
【详解】解：∵平分，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，，∴，
∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，平行线分线段成比例定理等知识，理解并掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．
16．（2023·河北衡水·校联考二模）如图，已知在中，，，点P是的中点，过点P的直线与交于点Q，依据尺规作图痕迹解决下列问题．
（1）与是否平行？ （填“是”或“否”）；（2）的周长为 ．
【答案】 是 8
【分析】（1）由尺规作图痕迹可知，根据平行线的判定即可得到；
（2）由平行线等分线段定理和三角形中位线定理即可求得结论．
【详解】解：（1）与是平行，
证明：由尺规作图痕迹可知，，；
（2），点是的中点，
，，
是的中位线，，
的周长．故答案为：是，8．
【点睛】本题主要考查了作图—基本作图，平行线等分线段定理和三角形中位线定理，熟知作一个角等于已知角的方法是解决问题的关键．
17．（2023春·吉林长春·九年级统考阶段练习）如图，、相交于点，点、分别在、上，，如果，，，，那么 ．
【答案】10
【分析】利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【详解】解：，，
，，，，，
，．故答案为：10．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．（2022·浙江·温州市九年级月考）如图，在中，为边上的中线，是的角平分线，交于点F．则的长为______．
【答案】
【分析】过点E作EG⊥AB，垂足为G，证明△CBE≌△GBE，求得CE，EG，AE的长，过点F作FO⊥AC，垂足为O，利用平行线分线段成比例定理求解即可．
【解析】∵∴AB==10，
过点E作EG⊥AB，垂足为G，∵是的角平分线，∴∠CBE=∠GBE，
∵∠C=∠BGE=90°，BE=BE，∴△CBE≌△GBE，∴BC=BG=6，EC=EG，
设CE=x，则EG=x，AE=8-x,AG=AB-BG=4,
在直角三角形AEG中，根据勾股定理，得，
即，解得x=3，∴CE=3，AE=5，
过点F作FO⊥AC，垂足为O，，
∴FO∥BC，∴，∴即FO=2OE，
∵AD是中线，BC=6，∴CD=3，
∵FO∥DC，∴，∴，解得OE=，
在直角三角形OEF中，，∴EF==．故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形全等，平行线分线段成比例定理，中线，角的平分线，构造辅助线实施全等证明，平行线分线段成比例证明是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·甘肃武威·九年级校联考阶段练习）如图，已知，，，，求的长．
【答案】
【分析】根据平行线分线段成比例即可进行解答．
【详解】解：∵，∴ ，
又∵，，，∴ ，∴．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是两条线段被一组平行线所截的对应线段成比例．
20．（2023秋·浙江九年级专题练习）已知，如图，在中，，求证：
(1) (2)．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）根据成比例线段的性质求解即可；（2）根据成比例线段的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵∴∴；
（2）证明：∵∴，∴．
【点睛】此题考查了成比例线段，解题的关键是熟练掌握线段成比例的性质．
21．（2022 兰州期中）如图，已知AC∥FE∥BD，求证：+＝1．
【思路点拨】利用平行线分线段成比例定理证明即可．
【答案】证明：∵AC∥EF，∴，
∵FE∥BD，∴，
①+②，得：，即．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键
22．（2022·北京初三月考）如图，已知ADBECF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．（1）求的值；（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．
【答案】（1）；（2）11
【分析】（1）根据ADBECF可得，由此计算即可；
（2）过点A作AGDF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=5，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH=6，即可得出结果．
【解析】解：（1）∵ADBECF，∴，
∵AB=6，BC=8，∴，故的值为；
（2）如图，过点A作AGDF交BE于点H，交CF于点G，
∵AGDF，ADBECF，∴AD=HE=GF=5，
∵CF=19，∴CG=CF-GF=14，∵BECF，
∴，∴，解得BH=6，∴BE=BH+HE=11．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH是解决问题的关键．
23．（2022·重庆初三期中）如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3．
（1）求EC的值；（2）求证：AD AG=AF AB．
【答案】（1）6；（2）证明见解析．
【分析】（1）由平行可得 ，可求得AC，且EC=AC-AE，可求得EC；
（2）由平行可知 ，可得出结论．
【解析】解：（1）∵DE∥BC，∴，
又，AE=3，∴，解得AC=9，∴EC=AC-AE=9-3=6；
（2）∵DE∥BC，EF∥CG，∴，∴AD AG=AF AB．
24．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，直线，分别交于点分别交于点与交于点O．已知．
(1)求的长；(2)若，求．
【答案】(1)12(2)
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，列出比例式解答即可；
（2）利用平行线分线段成比例定理，列出比例式解答即可．
【详解】（1）∵，∴，即，解得：；
（2）∵，∴，
∵，∴，∴，∴．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是注意：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
25．（2022·台州市初三月考）如图，MN经过ABC的顶点A，MN∥BC，AM=AN，MC交AB于D，NB交AC于E．（1）求证：DE∥BC；（2）联结DE，如果DE=1，BC=3，求MN的长．
【答案】（1）见解析；（2）3
【分析】（1）由平行线分线段成比例结合条件可证得，可证得结论；（2）由（1）的结论，结合平行线分线段成比例可得到，结合条件可求得，可求得AM，可求出MN．
【解析】（1）证明：∵，∴，．
∵，∴．∴．
（2）∵，，．∴
∴，∴．∴
∵，∴．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的性质和判定，掌握线段对应成比例 两直线平行是解题的关键．
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专题4.2 由平行线截得的比例线段
模块1：学习目标
1.掌握平行线等分线段及平行线分线段成比例定理的内容；
2.会运用平行线分线段成比例定理解决问题；
3.体会转化、特殊到一般的数学思想。
模块2：知识梳理
平行线截线段成比例
基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例
已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，
则比例式 成立.
注意：上图的变式图形：分A型和X（8）型；
则常用的比例式：依然成立.
模块3：核心考点与典例
考点1. 平行线分线段成比例（梯子型）
例1．（2023秋·河北保定·九年级校考期末）如图，直线，两条直线和与，，分别相交于点A、B、C和点D、E、F．则下列比例式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，已知直线，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023·江苏南京·校考三模）如图，已知直线，如果，，那么线段的长是 ．
考点2. 平行线分线段成比例（A字型）
例2．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，已知中，，若，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023春·天津滨海新·九年级校考开学考试）如图，在中，，，，，（ ）
A．4 B．1.5 C．2 D．4.5
变式2．（2023·上海浦东新·校考一模）如图，点、分别在、上，以下能推得的条件是（ ）
A． B． C． D．
考点3. 平行线分线段成比例（双A字型）
例3．（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，在中，D、E分别为边的中点，连接，点F为边上一点，，连接交于点N，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·黑龙江哈尔滨·统考二模）如图，在中，点D、E、F分别在边上，，，则下列比例式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）如图，是的中位线，点F在线段上，，连接交于点E，下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点4. 平行线分线段成比例（8字型）
例4．（2023秋·浙江九年级期中）如图D、E分别是的边、的延长线上的点，下列不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022秋·河南周口·九年级校考期中）如图，与相交于点O，，若，则的长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
变式2．（2023·河南周口·九年级统考期末）如图，，则的长为 ．
考点5. 平行线分线段成比例（AX字型）
例5．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022秋·山西晋城·九年级统考期末）如图，F是平行四边形的边上一点，直线交的延长线于点E，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2．（2023秋·重庆沙坪坝·九年级校考期中）如图，，直线a，b相交于点，与这三条平行线分别相交于点A、B、C和点D、E、F，下列比例式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
考点6. 平行线分线段成比例（辅助线）
例6．（2022·江苏南京市·）如图，在△ABC中，点E在BC上，且BE＝3EC．D是AC的中点，AE、BD交于点F，则的值为______．
变式1．（2022·山西九年级）如图，在中，为边上的中线，是的角平分线，交于点F．则的长为______．
变式2．（2022·浙江·九年级月考）如图，在△ABC中，点D在AC边上，AD：DC=1：2，点E是BD的中点，连接AE并延长交BC于点F，BC=12，则BF=_________．
变式3．（2022·台州市初三期中）如图中，、为的三等份点，为的中点，与、分别交于、，则________．
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·上海·一模）如图，梯形中，，点、分别在腰、上，且，下列比例成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·陕西延安·九年级校考期末）如图，，直线交于点，直线交于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，在中，、、分别是边，，上的点，，，且，那么的值为（ ）
A．4：3 B．3：2 C．3：4 D．2：4
4．（2023·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·上海·九年级假期作业）如图，下列式子不一定能推得的是（ ）
A．； B．； C．； D．．
6．（2023·河北石家庄·九年级校考阶段练习）如图，在中，，且，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，某位同学用直尺在数轴上作图，若图中的虚线相互平行，则点表示的数（ ）
A．1 B． C．3 D．4
8．（2022·山东九年级月考）如图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，将A，间加一条安全绳（线段），分别交，于点E，F，量得．则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图，平行四边形中，连接，在的延长线上取一点，点为的中点，连接，交、分别为点、点，则下列结论错误的是（ ）．
A． B． C． D．
10.（2022·广西初三期中）如图，DE、NM分别是ABC、ADE的中位线，NM的延长线交BC于点F，则：S四边形MFCE等于（ ）
A．1：5 B．1：4 C．2：5 D．2：7
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023秋·湖南永州·九年级统考期末）已知：如下图，，，，，则 ．
12．（2023·四川成都·八年级校考期中）如图，直线，直线和被所截，，，，则的长为 ．
13．（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）如图，已知直线，直线m与直线、、分别交于点A、D、F，直线n与直线、、分别交于点B、C、E．若，则 ．
14．（2022·山东桓台县·八年级期末）如图，在中，是中线，是重心，过点作，分别交、于点、，若，则____________．
15．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，在中，平分，交于点，且，，交于点．若，则的长是 ．
16．（2023·河北衡水·校联考二模）如图，已知在中，，，点P是的中点，过点P的直线与交于点Q，依据尺规作图痕迹解决下列问题．
（1）与是否平行？ （填“是”或“否”）；（2）的周长为 ．
17．（2023春·吉林长春·九年级统考阶段练习）如图，、相交于点，点、分别在、上，，如果，，，，那么 ．
18．（2022·浙江·温州市九年级月考）如图，在中，为边上的中线，是的角平分线，交于点F．则的长为______．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·甘肃武威·九年级校联考阶段练习）如图，已知，，，，求的长．
20．（2023秋·浙江九年级专题练习）已知，如图，在中，，求证：
(1) (2)．
21．（2022 兰州期中）如图，已知AC∥FE∥BD，求证：+＝1．
22．（2022·北京初三月考）如图，已知ADBECF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．（1）求的值；（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．
23．（2022·重庆初三期中）如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3．
（1）求EC的值；（2）求证：AD AG=AF AB．
24．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，直线，分别交于点分别交于点与交于点O．已知．
(1)求的长；(2)若，求．
25．（2022·台州市初三月考）如图，MN经过ABC的顶点A，MN∥BC，AM=AN，MC交AB于D，NB交AC于E．（1）求证：DE∥BC；（2）联结DE，如果DE=1，BC=3，求MN的长．
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