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专题4.3 相似三角形
模块1：学习目标
1、理解并掌握相似三角形的性质，注意对应点、对应线段、对应角写在对应位置上；
2、灵活运用相似三角形的性质进行证明、计算；
3、运用相似三角形的性质解决综合问题。
模块2：知识梳理
1、相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.
2、相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。
3、相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。
即：在和中，若
则与相似，记作∽. k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”
注意：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；
4、相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一种特例。
模块3：核心考点与典例
考点1. 相似图形的相关概念
例1．（2022·辽宁抚顺县·九年级）如图，从图甲到图乙的变换是（ ）
A．轴对称变换 B．平移变换 C．旋转变换 D．相似变换
【答案】D
【分析】根据轴对称变换，平移变换，旋转变换，相似变换的定义判断即可．
【详解】解：从图甲到图乙的图形的形状相同，大小不相同，图甲与图乙是相似形，所以从图甲到图乙的变换是相似变换．故选：D．
【点睛】本题考查轴对称变换，平移变换，旋转变换，相似变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
变式1．（2023·上海九年级专题练习）下列各组中的图形，不是相似图形的是（ ）
A．同一座城市的两张比例尺不同的地图； B．一个人现在的照片和他十年前的照片；
C．两个正方形； D．国旗上的五角星．
【答案】B
【分析】根据相似图形的概念可直接进行排除选项．
【详解】A、同一座城市的两张比例尺不同的地图是相似的，故不符合题意；
B、一个人现在的照片和他十年前的照片不相似，故符合题意；C、两个正方形是相似的，故不符合题意；D、国旗上的五角星是相似的，故不符合题意；故选B．
【点睛】本题主要考查相似图形的概念，正确理解相似图形的概念是解题的关键．
变式2.（2023·河北新乐市·九年级期中）图是世界休闲博览会吉祥物“晶晶”．右边的“晶晶”可由左边的“晶晶”经下列哪个变换得到（ ）
A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．相似
【答案】D
【分析】根据各图形变换的意义和特征及题目图形的实际变化作出选择 ．
【详解】解：A、轴对称变换是反射产生一个图形的映象的过程，不符合题意，故错误；
B、平移变换是原图形中的点都沿着平行的途径运动一个恒等的距离，不符合题意，故错误；
C、旋转变换原图形中的点都绕着一个固定的中心点转动一个恒等的角度，不符合题意，故错误；
D、相似变换，图形的形状相同，但大小不一定相同的变换，符合题意，故正确．故选：D．
【点睛】本题考查图形变换的应用，熟练掌握图形变换的意义和特征是解题关键．
变式3．（2023·浙江杭州市·九年级期中）如图所示，在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，下面各个备选答案的量中，保持不变的量是（ ）
A．角 B．边长 C．周长 D．面积
【答案】A
【分析】利用相似图形的性质即可得出答案．
【详解】在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，角度没有改变，故选：A．
【点睛】本题主要考查了相似图形，正确掌握相似图形的性质是解题的关键．
考点2. 相似三角形的对应角相等
例2．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习），，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由相似三角形的性质可得，再由三角形内角和定理进行计算即可得到答案．
【详解】解：，，
，，，故选：C．
【点睛】本题考查了三角形相似的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形相似的性质，三角形内角和定理，是解题的关键．
变式1．（2023·甘肃陇南·统考一模）已知，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的对应角相等，以及三角形的内角和定理，进行求解即可．
【详解】解：
故选A．
【点睛】本题考查相似三角形的性质、三角形的内角和定理．熟练掌握相似三角形的对应角相等，是解题的关键．
变式2．（2023秋·湖南株洲·九年级统考期末）已知∽，且，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形内角和等于和相似三角形的性质定理解答．
【详解】解：因为，根据相似三角形对应角相等可得：，因为，，所以,故选B.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质定理并学会应用是解答本题的关键.
考点3. 相似三角形的对应边成比例
例3．（2022秋·河北石家庄·九年级校考期中）已知三边长是，，2，与相似的三角形三边长可能是（ ）
A．1，， B．1，， C．1，， D．1，，
【答案】B
【分析】根据相似三角形的三组对应边的比相等即可得到结论．
【详解】解：∵三边长是，，2，∴三边长的比为，
∴相似的三角形三边长可能是1：：，故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
变式1．（2023·浙江九年级期中）已知，其中，，，则相似比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】相似三角形对应边的比叫做相似三角形的相似比，根据定义即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴相似比为，即相似比为，故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的相似比的定义，掌握定义是解题的关键．
变式2．（2023·广东茂名·校考一模）如图，，若，，则与的相似比是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据相似三角形对应边的比等于相似比求解．
【详解】解：∵，∴故选：B.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
变式3．（2022秋·甘肃兰州·九年级校考期末）两个相似三角形对应边之比为，那么它们的对应中线之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两个相似图形的相似比与对应中线的比和对应周长的比相等，即可求解．
【详解】解：∵两个相似三角形对应边之比为，
∴这两个相似三角形的对应中线之比为，故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握两个相似图形的相似比与对应中线的比相等是解题的关键．
考点4. 相似三角形的对应边成比例的运用（求边长）
例4．（2023秋·安徽六安·九年级校考期中）已知，，若，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】根据相似三角形的性质得到线段间的数量关系，从而得解；
【详解】解：∵，∴∴．故选：C
【点睛】本题考查相似三角形的性质；由相似三角形得到比例线段是解题的关键．
变式1．（2023·重庆·统考中考真题）如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（ ）
A．4 B．9 C．12 D．
【答案】B
【分析】根据相似三角形的性质即可求出．
【详解】解：∵，∴，
∵，，∴，∴，故选：B.
【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题的关键.
变式2．（2022秋·上海浦东新·九年级校考阶段练习）在中，点、分别在边、上，，，如果，那么 ．
【答案】14
【分析】由得到，，从而得到，由得到，计算即可得到答案．
【详解】解：如图：
，
，，，，
，，，
，，故答案为：14．
【点睛】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
考点5. 相似三角形的对应边成比例的运用（求周长）
例5．（2023春·云南临沧·八年级校联考期末）如图，在中，的周长是18，D、E分别是边的中点，则的周长为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
【答案】C
【分析】根据三角形中位线定理得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵的周长是18，∴，
∵D、E分别是边的中点，∴是的中位线，，
∴，∴的周长，故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
变式1．（2022秋·上海徐汇·九年级校考阶段练习）如果，点A、B、C的对应点分别是D、E、F，的三边长为3、4、6，的一边长为12，那么的周长不可能是（ ）
A．26 B．39 C．52 D．65
【答案】D
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比，根据边长为12的对应边分三种情况求解即可．
【详解】解：设的周长为，
∵，的三边长为3、4、6，的一边长为12，
∴若12和3是对应边，则，∴；
若12与4是对应边，则，∴；
若12与6是对应边，则，∴，
综上，选项D符合题意，选项A、B、C不符合题意， 故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解答的关键是注意对应边不确定，需分类讨论求解，防止漏解．
变式2．（2023·福建南平·统考二模）在等边三角形中，点，分别是边，的中点，若的周长为12，则的周长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】C
【分析】利用中位线定理，得到三角形相似，运用周长之比等于相似比计算选择．
【详解】设三角形的周长用C表示，
∵点，分别是边，的中点，∴，，
∴，∴，∴，∴，故选C．
【点睛】本题考查了中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．
变式3．（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）两个相似三角形的一组对应边长分别为15和27，它们的周长之差为36，则较小三角形的周长是 ．
【答案】45
【分析】相似三角形的相似比等于其对应边，对应周长的比，又有周长的差，可设较小的三角形的周
长为，进而代入求解即可．
【详解】解：相似三角形的一组对应边长分别为15和27，其相似比为，
相似三角形的相似比等于对应周长的比，
可设较小的三角形的周长为，则另一三角形的周长为，
，解得，所以较小三角形的周长为．故答案为：45．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质问题，应熟练掌握．
考点6. 相似三角形的对应边成比例的运用
例6．（2023·新疆克拉玛依·统考一模）如图，中，点在线段上，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的性质进行计算即可得．
【详解】解：∵，∴，
∴，，故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．
变式1．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图所示，，，，则的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据得到，代入计算即可．
【详解】∵，∴，
∵，，∴，解得．故选D．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，根据性质列出恰当的比例式计算是解题的关键．
变式2．（2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）如图中，，延长至点A，使，连结，此时．则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出，由得到，代入数值，先求出，进一步即可求得的长．
【详解】解：∵，，∴，
∵，∴,∴，∴，∴，
∵，∴，解得．故选：A
【点睛】此题考查了相似三角形性质，准确计算是解题的关键．
变式3．（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形中，点、分别在边、上，， ，，，则的长是（ ）
A．12 B．15 C． D．
【答案】C
【分析】利用相似三角形的性质求出AE的长，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，∴，∴，∴，
∵矩形中，，∴．故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质、勾股定理，解题关键是求出的长后利用勾股定理求解．
考点7. 相似三角形的对应边成比例的运用（分类讨论思想）
例7．（2023秋·山东济南·九年级统考期末）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（ ）秒时与相似．
A．2秒 B．4秒 C．或秒 D．2或4秒
【答案】C
【分析】设经过秒时, 与相似,则,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当 时, ,即 当 时,,即 然后解方程即可求出答案．
【详解】解：设经过秒时, 与相似,
则
,当 时, ,即 解得：
当 时, ,即 解得：
综上所述：经过或秒时,与相似 故选：C
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是准确分析题意列出方程求解．
变式1．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期末）已知在中，，分别是，边上的点，且． 若和相似，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】根据相似三角形的性质，对应边成比例，由此即可求解．
【详解】解：①如图所示，，
∴，，，∴；
②如图所示，
∴，∴，综上所述，的长为或，故选：．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形中对应边成比例是解题的关键．
变式2．（2023春·辽宁本溪·九年级统考开学考试）如图，点，，点是第一象限内一动点，且，若与相似，则的长为 ．
【答案】或
【分析】分两种情况：当时，当时，结合相似三角形性质，即可求解．
【详解】解：∵，，∴，∴，∵，当时，，∴，解得：；
当时，，∴，解得：；
综上所述，的长为或．故答案为：或．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键，注意分类讨论．
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，，若，则的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】直接利用相似三角形的性质进行计算即可．
【详解】解：，，即，解得：，故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
2．（2023·安徽滁州·九年级校考阶段练习），，，则与的相似比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】相似三角形的相似比即为对应边的比，据此解答.
【详解】解：∵，，，
∴与的相似比为，故选：B.
【点睛】本题考查了相似三角形的知识，熟知相似三角形的相似比即为对应边的比是关键.
3．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行解答即可．
【详解】解：∵，又∵和分别是和的高，，，
∴与的相似比为，∴与的面积的比为．故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．掌握相似三角形的性质是解题的关键．
4．（2023秋·福建宁德·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，，则的长为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据，得出，进而根据相似三角形的性质可得，代入数据，即可求解．
【详解】解：∵，∴，∴，
∵，，，∴解得：，故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
5．（2023秋·江苏淮安·九年级统考期末）如图，已知，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三角形内角和定理求出，根据相似三角形的性质可得答案．
【详解】解：∵，，∴，
∵，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应角相等是解题的关键．
6．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）已知，的三边长分别为5、12、13，的最短边长为25，则的最长边长为（ ）
A．17 B．18 C．25 D．65
【答案】D
【分析】根据相似三角形的性质即可解答．
【详解】解：∵的最短边是5，最长边是13；的最短边是25，
∵，∴相似比是5，∴的最长边是．故选D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应表成比例是解答本题的关键．
7．（2023·陕西汉中·九年级统考期末）如图，BC，AD相交于点C，△ABC∽△DEC，若AC＝4.8，CD＝2.4，BC＝8.4，则CE的长为（ ）
A．2.4 B．3.6 C．4.2 D．4.8
【答案】C
【分析】由△ABC∽△DEC，可得，由此即可得到答案．
【详解】解：∵△ABC∽△DEC，∴，∴，故选C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质．
8．（2023秋·广东河源·九年级校考期末）如图，在正方形网格中：、的顶点都在正方形网格的格点上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据网格求出，再利用相似三角形的性质可得结论．
【详解】解：如图，由网格可知：，，∴，
，，故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，网格的性质，解题关键是根据相似三角形得到相等的角．
9．（2023·河北保定·九年级统考期末）下面是两位同学对一道习题的交流，下列判断正确的是（ ）
在中，，，，是边上一点，且，点在边上，连接，若以A，，为顶点的三角形与相似，求的长．：如图，∵，∴．∵，，，，∴．：小明的解答过程中比例式写错了，并且小明考虑的不周全．
结论Ⅰ：上述过程中，比例式应改为；
结论Ⅱ：小明考虑的不周全，在另一种情况下，的长度为
A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ，Ⅱ都不正确 D．结论Ⅰ，Ⅱ都正确
【答案】D
【分析】分两种情况分析；，，分别利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：第一种情况：如图所示：
∵，∴．
∵，，，，∴；故结论Ⅰ正确；
第二种情况：如图所示：
∵，∴．∵，，，，
∴ ；故结论Ⅱ正确；故选：D．
【点睛】题目主要考查利用相似三角形的性质求解，结合图形进行分类讨论是解题关键．
10．（2023·山东枣庄·校考一模）如图，，在边上取点P，使得与相似，则满足条件的点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】C
【分析】根据相似三角形的性质分两种情况列式计算：①若；②若．
【详解】解：，
若与相似，可分两种情况：
①若，则，；解得．
②若，则，，解得或6．
则满足条件的长为2.8或1或6．故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第六十九中学校校考开学考试）与的相似比为，则与的周长比为 ．
【答案】
【分析】直接利用相似三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：与的相似比为，
与的周长比为，故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比，熟练掌握此知识点是解题的关键．
12．（2023秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）两个相似三角形的相似比是，周长的差为，则它们的周长分别为 ．
【答案】，
【分析】由两个相似三角形相似之比为，根据相似三角形的周长比等于相似比，即可得它们的周长比为，又由周长之差为，即可求得答案．
【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是，∴它们的周长比为，
设它们的周长分别为，，∵周长的差为，∴解得：，
∴它们的周长分别为，，故答案为：，．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质，此题比较简单，注意掌握相似三角形的周长比等于相似比是解此题的关键．
13．（2020秋·上海青浦·九年级校考阶段练习）两个相似三角形，其中一个三角形的二个内角分别为，．则另一个三角形的最大内角的度数是 ．
【答案】/度
【分析】根据相似三角形的性质得出，，求出和的度数，再根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】解：
，，，，，，
，即的最大的内角度数是，故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记相似三角形的性质是解此题的关键，注意：相似三角形的对应角相等．
14．（2023·福建龙岩·九年级校考阶段练习）三角形三边之比为，与它相似的三角形的一边长为，则其余两边之和为 ．
【答案】或或
【分析】根据相似三角形对应边成比例分类讨论对应的边即可得到答案；
【详解】解：∵三角形三边之比为，
①当与3对应的相似三角形的一边长为时，
其余两边之和为：，
②当与5对应的相似三角形的一边长为时，
其余两边之和为：，
③当与7对应的相似三角形的一边长为时，
其余两边之和为：，
故答案为：或或.
【点睛】本题考查相似三角形对应边成比例及分类讨论，解题的关键是注意分类讨论．
15．（2023·上海青浦·九年级校考期中）如图，，若，，则 ．
【答案】
【分析】根据得到，进而得到，求出最后结果即可．
【详解】解：
，，，解得：，故答案为：．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例的推论，根据平行得出三角形相似是解题关键．
16．（2022秋·九年级单元测试）如图，已知，，，若，写出与a，b之间满足的关系式 ．
【答案】/
【分析】根据相似三角形对应边成比例进行求解，即可得到答案．
【详解】解：，，，，，故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．
17．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝16cm，AC＝12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为t秒．t＝4秒时，PQ＝ ；若△CPQ与△ABC相似，则t＝ 秒．
【答案】 或
【分析】根据点P，Q的运动速度，当t＝4，可分别求出PC，CQ的长，再用勾股定理即可算出．若△CPQ与△ABC相似，可分两种情况，①当CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA与②CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，根据相似三角形的性质分别求出时间t即可．
【详解】解：∵点P从点B出发，以2cm/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，时，
故答案为：
若△CPQ与△ABC相似，可分两种情况，
①CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，
②CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，
综上所述，当或时，△CPQ与△CBA相似．故答案为：或．
【点睛】此题主要考查了勾股定理及相似三角形的性质，利用了相似三角形对应边成比例，解题的关键是分情况讨论．
18．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）如图，在中，，点D是线段上一动点，作，连接．若是等腰三角形，则 ．
【答案】或
【分析】分三种情况讨论，由相似三角形的性质，等腰三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：，，，，
，，，，
，，，
当时，，，
，；
当时，，，，
当时，，，
，，或．故答案为：或．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是要分三种情况讨论．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022秋·湖南岳阳·九年级校考阶段练习），，，，，．
(1)求和的大小；(2)求的长．
【答案】(1)，；(2)．
【分析】(1)由三角形内角和定理求出，由相似三角形的性质得出即可；
(2)由相似三角形的对应边成比例得出，即可得出的长．
【详解】（1）∵，∴，
∵，∴；
（2），，即，解得(cm)．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握相似三角形的性质是解决问题的关键．
20．（2022秋·贵州铜仁·九年级校考期中）如图，已知．(1)求的度数；(2)求的长．
【答案】(1)(2)12
【分析】(1)根据，得到，利用三角形内角和定理计算即可．
(2)根据，得到，结合比例的性质，得，代入计算即可．
【详解】（1）∵，
∴，∴．
（2）∵，∴，∴，
∵，∴，解得．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
21．（2023秋·浙江·九年级期中）如图，，，．
(1)求的长．(2)若平分，求的长．
【答案】(1)；(2)3．
【分析】（1）根据相似三角形的性质得到，把已知数据代入比例式求出；（2）根据相似三角形的性质得到，根据角平分线的性质、等腰三角形的判定定理求出．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，即，∴．
（2）∵，∴，
又∵平分，∴，
∴，∴．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例、对应角相等是解题关键．
22．（2023春·浙江九年级期中）如图，已知，，，，，．(1)求与的相似比；(2)求的度数和的长．
【答案】(1)2(2)，
【分析】（1）根据形似三角形的形似比即可求出；
（2）根据相似三角形性质求出，再根据形似比求出．
【详解】（1）∵，，，
∴相似比．
（2）∵，，∴．
∵，∴．
∵，∴．
∵，，∴，即．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟悉相似三角形的性质．
23．（2023春·山东淄博·八年级统考期末）如图，已知，点，在边上，连接，，使，且．(1)请判定的形状，并说明理由；(2)若，，求的面积．
【答案】(1)是等边三角形，理由见解析(2)
【分析】（1）根据相似三角形的性质得出，然后根据邻补角得出，进而即可得出结论；（2）根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下，
∵，∴，
∴，∴是等边三角形，
（2）解：∵是等边三角形，设等边三角形的边长为，
∵， ∴，又∵，，∴，解得：（负值舍去），
如图所示，过点，作于点，
∴，∴，
∴的面积为
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
24．（2023秋·山东枣庄·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，若的长是关于x的一元二次方程的两个根，且．
(1)试求A点和B点的坐标；
(2)若点E为x轴上的点，且．求此时点E的坐标．
【答案】(1)A点的坐标为；B点的坐标为；(2)点E的坐标为或．
【分析】（1）用因式分解法解出一元二次方程，求出的长，即可求解；（2）设点E的坐标为，根据相似三角形的性质得到，即可求出|m|的值，进而得到点E的坐标．
【详解】（1）解：方程，∴，解得：，，
∵，∴，；∴A点的坐标为；B点的坐标为；
（2）解：设点E的坐标为，则，
∵，∴，∴，∴，∴，
∴点E的坐标为或．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法、相似三角形的性质，掌握因式分解法解一元二次方程和相似三角形的对应边成比例是解决问题的关键．
25．（2023·广东江门·九年级统考期末）如图，点E，F分别是正方形的边，上的动点（点E不与点A、B重合），且始终保持．
(1)求证：；(2)若正方形的边长为4，设，，求y与x之间的函数解析式；(3)当x取何值时，y有最大值？并求出这个最大值．
【答案】(1)见解析(2)(3)当时，y有最大值，y的最大值为1
【分析】（1）根据相似三角形的性质可得，然后求出即可；
（2）根据相似三角形的性质可得，整理后可得答案；
（3）将二次函数解析式改写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）证明：∵，∴，
∵四边形是正方形，∴，
∴，∴，∴；
（2）解：由题意，得，，
∵，∴，即，整理，得；
（3）解：由（2）知，配方，得：，
∵二次项系数，∴当时，y有最大值，y的最大值为1．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，正方形的性质，二次函数的应用等知识，熟练掌握相似三角形的性质，得出二次函数解析式是解题的关键．
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专题4.3 相似三角形
模块1：学习目标
1、理解并掌握相似三角形的性质，注意对应点、对应线段、对应角写在对应位置上；
2、灵活运用相似三角形的性质进行证明、计算；
3、运用相似三角形的性质解决综合问题。
模块2：知识梳理
1、相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.
2、相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。
3、相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。
即：在和中，若
则与相似，记作∽. k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”
注意：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；
4、相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一种特例。
模块3：核心考点与典例
考点1. 相似图形的相关概念
例1．（2022·辽宁抚顺县·九年级）如图，从图甲到图乙的变换是（ ）
A．轴对称变换 B．平移变换 C．旋转变换 D．相似变换
变式1．（2023·上海九年级专题练习）下列各组中的图形，不是相似图形的是（ ）
A．同一座城市的两张比例尺不同的地图； B．一个人现在的照片和他十年前的照片；
C．两个正方形； D．国旗上的五角星．
变式2.（2023·河北新乐市·九年级期中）图是世界休闲博览会吉祥物“晶晶”．右边的“晶晶”可由左边的“晶晶”经下列哪个变换得到（ ）
A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．相似
变式3．（2023·浙江杭州市·九年级期中）如图所示，在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，下面各个备选答案的量中，保持不变的量是（ ）
A．角 B．边长 C．周长 D．面积
考点2. 相似三角形的对应角相等
例2．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习），，，则为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·甘肃陇南·统考一模）已知，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023秋·湖南株洲·九年级统考期末）已知∽，且，，则等于（ ）
A． B． C． D．
考点3. 相似三角形的对应边成比例
例3．（2022秋·河北石家庄·九年级校考期中）已知三边长是，，2，与相似的三角形三边长可能是（ ）
A．1，， B．1，， C．1，， D．1，，
变式1．（2023·浙江九年级期中）已知，其中，，，则相似比为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023·广东茂名·校考一模）如图，，若，，则与的相似比是( )
A． B． C． D．
变式3．（2022秋·甘肃兰州·九年级校考期末）两个相似三角形对应边之比为，那么它们的对应中线之比为（ ）
A． B． C． D．
考点4. 相似三角形的对应边成比例的运用（求边长）
例4．（2023秋·安徽六安·九年级校考期中）已知，，若，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
变式1．（2023·重庆·统考中考真题）如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（ ）
A．4 B．9 C．12 D．
变式2．（2022秋·上海浦东新·九年级校考阶段练习）在中，点、分别在边、上，，，如果，那么 ．
考点5. 相似三角形的对应边成比例的运用（求周长）
例5．（2023春·云南临沧·八年级校联考期末）如图，在中，的周长是18，D、E分别是边的中点，则的周长为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
变式1．（2022秋·上海徐汇·九年级校考阶段练习）如果，点A、B、C的对应点分别是D、E、F，的三边长为3、4、6，的一边长为12，那么的周长不可能是（ ）
A．26 B．39 C．52 D．65
变式2．（2023·福建南平·统考二模）在等边三角形中，点，分别是边，的中点，若的周长为12，则的周长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
变式3．（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）两个相似三角形的一组对应边长分别为15和27，它们的周长之差为36，则较小三角形的周长是 ．
考点6. 相似三角形的对应边成比例的运用
例6．（2023·新疆克拉玛依·统考一模）如图，中，点在线段上，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图所示，，，，则的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
变式2．（2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）如图中，，延长至点A，使，连结，此时．则的长为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形中，点、分别在边、上，， ，，，则的长是（ ）
A．12 B．15 C． D．
考点7. 相似三角形的对应边成比例的运用（分类讨论思想）
例7．（2023秋·山东济南·九年级统考期末）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（ ）秒时与相似．
A．2秒 B．4秒 C．或秒 D．2或4秒
变式1．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期末）已知在中，，分别是，边上的点，且． 若和相似，则（ ）
A． B． C． D．或
变式2．（2023春·辽宁本溪·九年级统考开学考试）如图，点，，点是第一象限内一动点，且，若与相似，则的长为 ．
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，，若，则的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023·安徽滁州·九年级校考阶段练习），，，则与的相似比为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·福建宁德·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，，则的长为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．4
5．（2023秋·江苏淮安·九年级统考期末）如图，已知，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）已知，的三边长分别为5、12、13，的最短边长为25，则的最长边长为（ ）
A．17 B．18 C．25 D．65
7．（2023·陕西汉中·九年级统考期末）如图，BC，AD相交于点C，△ABC∽△DEC，若AC＝4.8，CD＝2.4，BC＝8.4，则CE的长为（ ）
A．2.4 B．3.6 C．4.2 D．4.8
8．（2023秋·广东河源·九年级校考期末）如图，在正方形网格中：、的顶点都在正方形网格的格点上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·河北保定·九年级统考期末）下面是两位同学对一道习题的交流，下列判断正确的是（ ）
在中，，，，是边上一点，且，点在边上，连接，若以A，，为顶点的三角形与相似，求的长．：如图，∵，∴．∵，，，，∴．：小明的解答过程中比例式写错了，并且小明考虑的不周全．
结论Ⅰ：上述过程中，比例式应改为；
结论Ⅱ：小明考虑的不周全，在另一种情况下，的长度为
A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ，Ⅱ都不正确 D．结论Ⅰ，Ⅱ都正确
10．（2023·山东枣庄·校考一模）如图，，在边上取点P，使得与相似，则满足条件的点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第六十九中学校校考开学考试）与的相似比为，则与的周长比为 ．
12．（2023秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）两个相似三角形的相似比是，周长的差为，则它们的周长分别为 ．
13．（2020秋·上海青浦·九年级校考阶段练习）两个相似三角形，其中一个三角形的二个内角分别为，．则另一个三角形的最大内角的度数是 ．
14．（2023·福建龙岩·九年级校考阶段练习）三角形三边之比为，与它相似的三角形的一边长为，则其余两边之和为 ．
15．（2023·上海青浦·九年级校考期中）如图，，若，，则 ．
16．（2022秋·九年级单元测试）如图，已知，，，若，写出与a，b之间满足的关系式 ．
17．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝16cm，AC＝12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为t秒．t＝4秒时，PQ＝ ；若△CPQ与△ABC相似，则t＝ 秒．
18．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）如图，在中，，点D是线段上一动点，作，连接．若是等腰三角形，则 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022秋·湖南岳阳·九年级校考阶段练习），，，，，．(1)求和的大小；(2)求的长．
20．（2022秋·贵州铜仁·九年级校考期中）如图，已知．(1)求的度数；(2)求的长．
21．（2023秋·浙江·九年级期中）如图，，，．
(1)求的长．(2)若平分，求的长．
22．（2023春·浙江九年级期中）如图，已知，，，，，．(1)求与的相似比；(2)求的度数和的长．
23．（2023春·山东淄博·八年级统考期末）如图，已知，点，在边上，连接，，使，且．(1)请判定的形状，并说明理由；(2)若，，求的面积．
24．（2023秋·山东枣庄·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，若的长是关于x的一元二次方程的两个根，且．
(1)试求A点和B点的坐标；(2)若点E为x轴上的点，且．求此时点E的坐标．
25．（2023·广东江门·九年级统考期末）如图，点E，F分别是正方形的边，上的动点（点E不与点A、B重合），且始终保持．
(1)求证：；(2)若正方形的边长为4，设，，求y与x之间的函数解析式；(3)当x取何值时，y有最大值？并求出这个最大值．
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