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专题4.5 相似三角形的性质及其应用
模块1：学习目标
1、通过测量旗杆的高度、测距离的活动，复习巩固相似三角形的有关知识；
2、灵活运用相似三角形的知识解决实际问题；
3、明确相似三角形中对应线段与相似比的关系；
4、理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方；
5、熟练运用相似三角形的相关性质解决实际问题；
模块2：知识梳理
1.相似三角形的性质
1）对应角相等，对应边的比相等；
2）拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。
3）相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
2.测量高度：测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.
注意：测量旗杆的高度的几种方法：
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
3.测量距离:测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1）如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.
2）如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.
注意：1）太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线。在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比；2）视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）；3）仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
模块3：核心考点与典例
考点1. 相似三角形的性质（长度问题）
例1．（2023·安徽蜀山·九年级月考）如图，若内有一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为的布洛卡点，三角形的布洛卡点是法国数学教育家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．问题：在等腰中，∠EDF=90 ，若点Q为的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ的值为（ ）
A．5 B．4 C．3+ D．2+
【答案】D
【分析】通过证明△DQF∽△FQE，可得，可求FQ，EQ的长，即可求解．
【解析】解：如图，在等腰直角三角形中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3，
∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°， ∴∠QEF=∠DFQ，且∠2=∠3，
∴， ∴，
∵DQ=1， ∴FQ=，EQ=2， ∴EQ+FQ=，故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
变式1．（2022·上海市九年级月考）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF是AD的中垂线，分别交AD、AC于点E、F，如果AB＝7，AC＝5，那么CF＝___．
【答案】
【分析】过点C作AB的平行线，交AD的延长线于点M，先证明，可得，再证明DF∥AB，，进而即可求解．
【详解】解：过点C作AB的平行线，交AD的延长线于点M，则∠M=∠BAD，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠M=∠CAD，∴AC=CM=5，
∵AB∥CM，∴，∴，
∵EF是AD的中垂线，∴AF=DF，∴∠CAD=∠ADF，
∴∠ADF=∠BAD，∴DF∥AB，∴，∴CF=．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键．
变式2．（2023·江苏·扬州市九年级月考）如图，在中，，，，点，分别在，上，将沿折叠，点的对应点刚好落在上，当与相似时，的长为___________.
【答案】或
【分析】根据题意得： ，设 ，则 ， ，然后分两种情况：当，即 时；当，即 时，即可求解．
【详解】解：根据题意得： ，∵，可设 ，则 ， ，
当，即 时，∵，，∴ ，解得： ；
当，即 时，∵，，解得： ，
∴当与相似时，的长为或．故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
考点2. 相似三角形的性质（面积问题）
例2．（2022·安徽·九年级期末）如图，在中，平分交于点过点作DE//BC交于点，若：：，且的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出△BDE的面积，再根据AD：DC＝3：2，可得结论．
【详解】解：∵AE：BE＝3：2，∴AE：BA＝3：5，
∴△ADE与△DEB的面积之比为：3：2，
∵△ADE的面积为3，∴△BDE的面积＝2，∴△ABD的面积为5，
∵DE//CB，∴△AED∽△ABC，∴，
∴△BCD的面积＝ ×5＝ 故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决此题的关键．
变式1．（2023·内蒙古·九年级月考）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF∶S△EBF∶S△ABF＝（ ）．
A．2∶5∶25 B．4∶9∶25 C．2∶3∶5 D．4∶10∶25
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质求出DC=AB，DC∥AB，求出DE：AB=2：5，根据相似三角形的判定推出△DEF∽△BAF，求出△DEF和△ABF的面积比，根据三角形的面积公式求出△DEF和△EBF的面积比，即可求出答案．
【详解】解：根据图形知：△DEF的边DF和△BFE的边BF上的高相等，并设这个高为h，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，DC∥AB，
∵DE：EC=2：3，∴DE：AB=2：5，∵DC∥AB，∴△DEF∽△BAF，
∴，∴
∴S△DEF：S△EBF：S△ABF=4：10：25，故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积，平行四边形的性质的应用，关键是求出和注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，若两三角形不相似，求面积比应根据三角形的面积公式求．
变式2．（2022·江苏·扬州市九年级月考）如图平行四边形，为中点，延长至，使，连结交于点，若的面积是1，则五边形的面积是______.
【答案】
【分析】过点作，根据平行四边形的性质可得，进而可得，根据相似三角形的性质可得，进而求得的面积，根据可得，进而平行四边形的面积，据平行四边形的面积减去即可求得五边形的面积．
【详解】如图，过点作，
四边形是平行四边形，，，，，
，四边形是平行四边形，
同理四边形是平行四边形， 为中点，，
，设则，，，
，，的面积是1，，
，，的面积是1，，
四边形的面积为：，平行四边的面积为，
分别为的中点，平行四边的面积为平行四边的面积的2倍，即，
五边形的面积为=，故答案为：
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定，根据相似三角形的性质求得是解题的关键．
考点3. 重心的有关性质
例3．（2022·四川·渠县九年级期末）如图，AD为△ABC的一条中线，G为△ABC的重心，GEAC交BC于点E，则BE：EC=______．
【答案】2
【分析】连接BG，延长BG交AC于H，根据重心的性质，得到BG：GH=2，根据平行线分线段成比例定理解答．
【详解】解：连接BG，延长BG交AC于H，如图，
∵G是重心，∴BG：GH=2，
∵GEAC，∴BE：EC=BG：GH=2，故答案为：2．
【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．还考查了平行线分线段成比例的性质．
变式1．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为 _____．
【答案】18
【分析】根据线段比及三角形中线的性质求解即可．
【详解】解：∵CG：GF＝2：1，△AFG的面积为3，
∴△ACG的面积为6，∴△ACF的面积为3+6＝9，
∵点F为AB的中点，∴△ACF的面积＝△BCF的面积，
∴△ABC的面积为9+9＝18，故答案为：18．
【点睛】题目主要考查线段比及线段中点的性质，熟练掌握线段中点的性质是解题关键．
变式2．（2022·上海·九年级阶段练习）在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，G是重心，若AG=9cm，则GD=_______cm．
【答案】4.5
【分析】由三角形的重心的性质即可得出答案．
【详解】解：∵AB=AC，AD⊥BC于D，∴AD是△ABC的中线，
∵G是△ABC的重心，∴AG=2GD，
∵AG=9 cm，∴GD=4.5cm，故答案为：4.5．
【点睛】本题考查了三角形的重心，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．
考点4. 相似三角形的性质（坐标问题）
例4.（2022·山东·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为___________．
【答案】
【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得，进而可得△BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解．
【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示：
∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA，∴△BOC∽△AOB，
∵点，∴OA=10，∵，∴，
∴AB=2OB，∴BC=2OC，∴在Rt△BOC中，
，即，∴，
∴BC=4，∴点B的坐标为；故答案为．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
变式1．（2022·成都市·九年级课时练习）如图，平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0）和B点（0，3），点C是AB的中点，点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是_______．
【答案】（2，0）或（，0）
【分析】设P（x，0），可表示出AP的长，分△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得P点的坐标．
【详解】解：∵A（4，0）和B点（0，3），∴OA=4，OB=3，∴AB=5，
∵C是AB的中点，∴AC=2.5，设P（x，0），由题意可知点P在点A的左侧，∴AP=4﹣x，
∵以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，
∴有△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB两种情况，
当△APC∽△AOB时，则，即，解得x=2，∴P（2，0）；
当△ACP∽△AOB时，则，即，解得x=，∴P（，0）；
综上可知P点坐标为（2，0）或（，0）．故答案为：（2，0）或（，0）．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意分类讨论．
变式2．（2022·江苏·九年级月考）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图的方格中，作格点和相似（相似比不为1），则点的坐标是_____．
【答案】或
【分析】要求△ABC与△OAB相似，因为相似比不为1，由三边对应相等的两三角形全等，知△OAB的边AB不能与△ABC的边AB对应，则AB与AC对应或者AB与BC对应并且此时AC或者BC是斜边，分两种情况分析即可．
【详解】根据题意： OA=2，OB=1，AB=，△ABC和△OAB相似应分两种情况讨论，
当∠BAC=90°时，如图，△ABC即为所作
∵△ABC∽△OBA， AB∶OB=BC∶BA，即：∶1=BC∶，解得BC=5，
∴OC=4，∴C点坐标为(4，0)，
当∠ABC=90°时，AB∶OB=∶BA，=，=5，此时C点坐标为(3，2)，
综上所述，C点坐标为 (4，0)或(3，2)，故答案为：（4，0）或（3，2）．
【点睛】本题考查了作图-相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．
考点5. 镜子模型（在异侧构建两个相似三角形测高）
例1.（2022·河北·九年级月考）如图，一位同学借助镜子测量一棵树的高度，他与树的距离为，当他在镜子中看到树的顶端时，该同学与镜子的距离是远，已知这位同学眼睛到地面的距离是，则树高为（ ）m．
A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.5
【答案】B
【分析】由入射角等于反射角可以证明再证明再利用相似三角形的性质可得答案.
【详解】解：如图，由题意得：
而
所以树高为 故选：
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟悉实际问题中存在的相似三角形是解题的关键.
变式1．（2022·山东济南九年级月考）如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面，同时量得，，则旗杆高度（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据镜面反射的性质可得，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【详解】解：，，，
又，，，，，故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．
变式2．（2022·山西·太原市九年级月考）如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端 C 处，已知 AB BD ，CD BD ，且测得 AB 4m ，BP 6m ， PD 12m ，那么该古城墙CD 的高度是（ ）
A．8m B．9m C．16m D．18m
【答案】A
【分析】利用入射与反射得到∠APB＝∠CPD，则可判断，于是根据相似三角形的性质即可求出CD．
【详解】解：根据题意得∠APB＝∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP＝∠CDP＝90°，
∴，∴，即，解得：．
答：该古城墙CD的高度为8m．故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用入射与反射的原理构建相似三角形，然后利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等解决．
考点6. 影子模型（在同侧构建两个相似三角形测高）
例6．（2022·陕西·西安九年级月考）同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，木杆AB长为3m，其影子BC长1.6m，木杆QP长为4.8m，它的部分影子PM长为2m，还有一部分落到墙上的MN处，求墙上影子MN的长度．
【答案】1.05m
【分析】连接AC，QN，过点N作ND⊥QP于D，先证明四边形PDNM是矩形，DN=PM=2m，MN=DP，再由太阳光的平行性可知△ABC∽△QDN可得，由此进行求解即可．
【详解】解：如图所示，连接AC，QN，过点N作ND⊥QP于D，
∵QP⊥PM，NM⊥PM，ND⊥QP，
∴四边形PDNM是矩形，∴DN=PM=2m，MN=DP
由太阳光的平行性可知△ABC∽△QDN，则，
∴，∴，
答：墙上影子MN的长度为1.05m．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
变式1．（2021·内蒙古·二模）阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）．
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．
小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米．
（1）在横线上直接填写甲树的高度为______米，乙树的高度为________米﹔
（2）请求出丙树的高度．
【答案】（1）5.1，4.2；（2）丙树的高为5.56米
【分析】(1)如下图1，根据测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，利用相似三角形的比例式直接得出甲树高，接着如下图2先利用，求出的长，接着利用，可得出乙树的高；(2)如下图3，先通过求出FG的长，然后通过求出FH的长，最后通过可求出丙树的高．
【详解】解：（1）如图1，假设线段AB是甲树，线段CD是竹竿，
线段BE和线段CE分别为甲树和竹竿的影子，
米，故甲树的高为5.1米；
如图2，假设线段是乙树，线段为乙树在墙壁上的影长，
线段为乙树落在地面上的影长，
与图1中的相似，
又，
故乙树的高为4.2米；故答案为：5.1，4.2；
（2）如图3，假设线段是丙树，线段为丙树落在地面上的影长，
线段为丙树落在坡面上影长，为小明，为小明落在坡面上影长，
则=2.4米，=3.2米，=1.6米，=2米，
又与图1中的相似，
又
故丙树的高为5.56米．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，有一定难度和综合性，根据同一时刻影长与高成比例以及假设没有墙或台阶时求出影长是解决问题的关键．
考点7. 移动的测量旗杆模型
例3．（2022·广东·九年级课时练习）如图，为了测量一旗杆的高度，小明立了两根高2m的标杆、（标杆与地面垂直且点B、C、D在一条线上），两标杆之间的距离，从C处沿方向退后1．5m到点G，眼睛贴着地面观察A点，G，E，A三点成一线；从D处沿方向退后3m到点H，眼睛贴着地面观察A点，H，F，A三点成一线．求旗杆的高度．
【答案】16米
【分析】设BC=ym，由题意可知两组三角形相似，再利用相似比列出关于y的方程，最后求出AB即可．
【详解】解：设BC=ym，∵DF//AB，CE//AB
∴△ABH∽△FDH，△ABG∽△ECG，.∴
∵DF=EC=2∴，即，解得：y=10.5
∵∴，解得：AB=16．
答：旗杆的高度为16米．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，灵活应用相似三角形的判定定理和性质定理是解答本题的关键．
变式1．（2022·河北·九年级课时练习）如图，小明同学为了测量路灯的高度，先将长的竹竿竖直立在水平地面上的处，测得竹竿的影长，然后将竹竿向远离路灯的方向移动到处，即，测得竹竿的影长（、为竹竿）．求路灯的高度．
【答案】路灯的高度为7m
【分析】先根据AB⊥OF，CD⊥OP可知△EAB∽△EPO，同理可得△FCD∽△FPO，再由相似三角形的对应边成比例即可得出OP的值．
【详解】解：由已知得，m，m，m，m，
，，，
∴在和中，，∴∽
∴，即，∴，
在和中，
∴∽，∴，即，
∴，∴，，
∴，，即路灯的高度为．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·江苏·九年级专题练习）已知，且相似比为，则与的对应高之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比即可得到答案．
【详解】∵△ABC∽△DEF，且相似比为2:3，
∴△ABC与△DEF的对应高之比为2:3，故选A.
【点睛】此题考查相似三角形的性质，解题关键在于掌握其性质.
2．（2022·浙江·九年级课时练习）如图，在中，E为边上的点，若，交于F，则等于（ ）
A．4：5 B．2：5 C．5：9 D．4：9
【答案】B
【分析】通过证明△ADF∽△EBF，可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE：EC＝2：3，∴BE：AD＝2：5，
∵AD∥BC，∴△ADF∽△EBF，∴BF：FD＝BE：AD＝2：5，故选：B．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，灵活运用平行四边形的性质定理和相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
3．（2022·山东·阳谷县九年级月考）如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长，底边上的高为，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
【答案】B
【分析】根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．
【详解】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则该正方形的边长为，
设从顶点到这个正方形顶边的距离为，
根据相似三角形的性质可得，解得（张），
所以这张正方形纸条是第5张，故选B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用；由相似三角形的性质得出比例式是解决问题的关键．
4．（2022·山东·阳谷县九年级月考）如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意知：，可得：，再由，代入即可求得答案．
【详解】由题意知：，∴∴
∵，，∴∴故选：C
【点睛】本题主要考查了相似三角形的实际应用问题，熟练地掌握相似三角形的判定和性质、并正确的列出相似比的关系式是解题的关键，属于基础应用题型．
5．（2020·江苏崇川·南通田家炳中学初三期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（ ）
A．2：5 B．3：5 C．9：25 D．4：25
【答案】C
【分析】由平行四边形的性质得出CD∥AB，而得出△DEF∽△BAF，再利用相似三角形的性质可得出结果.
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴△DEF∽△BAF．
∵DE：EC=3：2，∴，∴．故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定及平行四边形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方.
6．（2022·北京·九年级月考）如图，小明在11点时测得某树的影长为1米，在下午3点时测得该树影长为4米，若两次日照光线互相垂直，则该树的高度为（ ）
A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
【答案】B
【分析】根据题意，画出示意图，根据两角对应相等得出Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得，从而CD的长即可
【详解】解：根据题意，作△EFC；树高为CD，且∠ECF=90°，FD=4，ED=1；
则∠ECF=∠EDC=∠CDF=90°，∴∠ECD+∠E=90°，∠ECD+∠FCD=90°，
∴∠E=∠FCD∴Rt△EDC∽Rt△CDF∴
即DC2=ED FD，代入数据可得DC2=4，∴DC=2．故选：B
【点睛】本题考查相似三角形的应用，关键是掌握三角形的相似的性质和判定
7．（2022·陕西师大附中模拟预测）《海岛算经》是我国杰出数学家刘徽留给后世最宝贵的数学遗产．书中的第一问：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直．从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？大致意思是：假设测量海岛，立两根表，高均为3丈，前后相距1000步，令后表与前表在同一直线上，从前表退行123步，人的眼睛贴着地面观察海岛，从后表退行127步，人的眼睛贴着地面观察海岛，问海岛高度及两表相距多远？想要解决这一问题，需要利用（ ）
A．全等三角形 B．相似三角形 C．勾股定理 D．垂径定理
【答案】B
【分析】由题意，画出示意图，然后利用相似三角形的判定和性质，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，如图
根据题意得出△FCB∽△FAH，△EDG∽△AHG，
然后利用相似三角形的判定和性质，即可求出海岛高度及两表相距的距离；故选：B．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△FCB∽△FAH，△EDG∽△AHG是解题关键．
8．（2021·广西北海·二模）如图，已知零件的外径，现用一个交叉卡钳（两条尺长和相等，）量零件的内孔直径，若，量的，则零件的厚度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据题意证明△AOB∽△COD，再根据相似三角形对应边成比例求出AB，问题得解．
【详解】解：∵两条尺长AC和BD相等，OC＝OD，∴OA＝OB，
∵OC：AC＝1：3，∴OC：OA＝1：2，∴OD：OB＝OC：OA＝1：2，
∵∠COD＝∠AOB，∴△AOB∽△COD，∴CD：AB＝OC：OA＝1：2，
∵CD＝10mm，∴AB＝20mm，∴零件的厚度为2.5mm．故选：B
【点睛】此题考查相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，求出零件的内孔直径AB是解题关键．
9．（2022·山东中区·一模）如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云图”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得眼睛D离地面的高度为，他与“步云图”的水平距离为，则“步云图”的高度是（ ）m．
A．75.5 B．77.1 C．79.8 D．82.5
【答案】C
【分析】先判定和相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出的长，再加上即可得解．
【详解】在和中，，∴，
∴，即，解得：，
∵，∴，即“步云图”的高度为．故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出和相似是解题的关键．
10．（2021·河北·中考真题）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB．
【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm），
第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm），
因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，
所以图1和图2中的两个三角形相似，∴，∴（cm），故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能灵活运用相似三角形的判定得到相似三角形，并能运用其性质得到相应线段之间的关系等，本题对学生的观察分析的能力有一定的要求．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·山东·九年级专题练习）如图，要在底边，高的铁皮余料上，截取一个面积为的矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E，F在BC上，AD交HC于点M，则EH的长为_______cm．
【答案】90或30
【分析】证明，相似三角形对应边、高的比等于相似比，得出EH的长度
【详解】设，∵矩形EFGH的面积为，∴.
∵，∴．
又∵AM，AD分别为与的高，∴，
即，解得，，∴EH的长为90cm或30cm．
【点睛】本题考察了相似三角形的性质，掌握相似三角形对应边、高的比等于相似比是解题的关键
12．（2022·上海·九年级阶段练习）在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，G是重心，若AG=9cm，则GD=_______cm．
【答案】4.5
【分析】由三角形的重心的性质即可得出答案．
【详解】解：∵AB=AC，AD⊥BC于D，∴AD是△ABC的中线，
∵G是△ABC的重心，∴AG=2GD，
∵AG=9 cm，∴GD=4.5cm，故答案为：4.5．
【点睛】本题考查了三角形的重心，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．
13．（2022·浙江杭州·九年级专题练习）为了测量河宽AB，某同学采用以下方法：如图，取一根标尺，把它横放，使CD∥AB，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得CD＝10米，OC＝15米，OA＝45米，则河宽AB＝______米．
【答案】30
【分析】根据题意得到△OCD∽△OAB，由该相似三角形的对应边成比例求得答案．
【详解】解：∵CD∥AB，∴△OCD∽△OAB．∴，
∵CD=10米，OC=15米，OA=45米，∴，∴AB=30．故答案为：30．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是判定相似三角形△OCD∽△OAB．
14．（2022·山东·八年级期末）学楼旁边有一棵树，数学小组的同学想利用树影来测量树高．在阳光下他们测得一根长为1m的竹竿的影长是0.9m，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有部分影子落在教学楼的墙壁上，测得落在地面的影长2.7m，落在墙壁上的影长1.2m，那么树高应为____________．
【答案】4.2m
【分析】作CD⊥AB于E，连接AD，根据四边形BCDE是矩形，得到DE=BC=2.7m，CD=BE=1.2m，根据同一时刻物高与影长成正比例，即可求出AE，问题得解．
【详解】解：如图，作CD⊥AB于E，连接AD，
由题意得AB⊥BC，DC⊥BC，∴四边形BCDE是矩形，∴DE=BC=2.7m，CD=BE=1.2m，
∵同一时刻物高与影长成正比例，∴，即，
∴AE=3m，∴AB=AE+BD=4.2m，即树高为4.2m．故答案为：4.2m
【点睛】本题考查了相似三角形的性质及应用，明确同一时刻物高与影长成正比例，根据题意添加辅助线构造三角形是解题关键．
15．（2022·上海市九年级月考）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF是AD的中垂线，分别交AD、AC于点E、F，如果AB＝7，AC＝5，那么CF＝___．
【答案】
【分析】过点C作AB的平行线，交AD的延长线于点M，先证明，可得，再证明DF∥AB，，进而即可求解．
【详解】解：过点C作AB的平行线，交AD的延长线于点M，则∠M=∠BAD，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠M=∠CAD，∴AC=CM=5，
∵AB∥CM，∴，∴，
∵EF是AD的中垂线，∴AF=DF，∴∠CAD=∠ADF，
∴∠ADF=∠BAD，∴DF∥AB，∴，∴CF=．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键．
16．（2022·北京通州·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为___________．
【答案】
【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得，进而可得△BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解．
【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示：
∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA，∴△BOC∽△AOB，∵点，∴OA=10，
∵，∴，∴AB=2OB，∴BC=2OC，
∴在Rt△BOC中，，即，∴，∴BC=4，
∴点B的坐标为；故答案为．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
17．（2022·四川邛崃·八年级期末）如图，线段、（）的长是方程的两根，点P是y轴正半轴上一点，连接，以点为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接，当线段取最小值时点的坐标是__________，此时线段的最小值为__________．
【答案】
【分析】先求出一元二次方程的解得出，，AB=2，以AB为斜边的构造等腰直角三角形MAB，连接MP，AQ，过点M作交AB于点N，则是等腰直角三角形，由题意得是等腰三角形，根据等腰直角三角形的性质得，根据则，根据相似三角形的性质得，则当MP取得最小值时，BQ就取得最小值，根据垂线最短即可得．
【详解】解：， 或
∵线段OA、OB（OA如图所示，以AB为斜边的构造等腰直角三角形MAB，连接MP，AQ，过点M作交AB于点N，则MN=BN=AN=1，∴点M的坐标为（-3，1），
∵PA以点P为中心，将线段PA顺时针旋转90°得到线段PQ，
∴是等腰三角形，∴AP=QP，，，
又∵是等腰直角三角形，∴AM=BM，，，
∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴当MP取得最小值时，BQ就取得最小值，
∴时，MP取得最小值是3，此时BQ取得最小值，此时点P坐标为（0，1），
故答案为：（0，1），．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质和垂线段最短，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．
18．（2022·江苏·扬州市梅岭中学九年级月考）如图，在中，，，，点，分别在，上，将沿折叠，点的对应点刚好落在上，当与相似时，的长为___________.
【答案】或
【分析】根据题意得： ，设 ，则 ， ，然后分两种情况：当，即 时；当，即 时，即可求解．
【详解】解：根据题意得： ，∵，可设 ，则 ， ，
当，即 时，∵，，∴ ，解得： ；
当，即 时，∵，，解得： ，
∴当与相似时，的长为或．故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·陕西·九年级月考）数学小组想利用所学知识测量一棵树的高度．在第一次测量中，小莉来回走动，走到点D时，其影子末端与树梢影子末端重合于点H，测得米．随后，组员在直线上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线上的对应位置为点G．镜子不动，小莉从点D沿着直线后退11米到B点时，恰好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合，此时米．如图，已知，，，小莉的身高为1.6米（眼睛到头顶距离忽略不计，平面镜的厚度忽略不计）．根据以上信息，求树的高度．
【答案】
【分析】设，，根据，可得关于的方程组，解方程组即可求得．
【详解】设 ，，，，，，
，，
，
又，
即
．答：树的高度为米．
20．（2023·陕西韩城·一模）青龙寺是西安最著名的櫻花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的櫻花让这里成为了花的海洋．一天，小明和小刚去青龙寺游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（櫻花树四周被围起来了，底部不易到达）．小明在F处竖立了一根标杆，小刚走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上．此时测得小刚的眼睛到地面的距离米；然后，小刚在C处蹲下，小明平移标杆到H处时，小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小刚的眼睛到地面的距离米.已知米，米，米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在上，，，，．根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树的高度．
【答案】8.8米
【分析】过点D作DP⊥AB于点P，交EF于点N，过点M作MQ⊥AB于点Q，交GH于点K，构造相似三角形：△DEN∽△DBP，△GMK∽△BMQ，利用相似三角形的对应边成比例求得相关线段的长度即可．
【详解】解：过点D作于点P，交于点N，过点M作于点Q，交于点K，
由题意得：，米，，米，米．
，，，，
，，，．
，．（米）．
答：这棵樱花树的高度是8.8米．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
21．（2022·江苏·九年级月考）如图：AB为路灯主杆，AE为路灯的悬臂，AE长3米，CD是长为1.8米的标杆．已知路灯悬臂AE与地面BG平行，当标杆竖立于地面时，主杆顶端A、标杆顶端D和地面上一点G在同一直线上，此时路灯E、标杆顶端D和地面上另一点F也在同一条直线上（路灯主杆底端B、标杆底端C和地面上点F、点G在同一水平线上）．这时测得FG长1.5米，求路灯主杆AB的高度．
【答案】路灯主杆的高度为5.4米．
【分析】过点作于，交于点，则，，从而得到，利用相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式可得的值，即可求解．
【详解】解：过点作于，交于点，
，，，，，等于的边上的高，
，，，，米．米，
，，，即，
（米，（米，答：路灯主杆的高度为5.4米．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是根据已知条件得到平行线，从而证得相似三角形．
22．（2022·山东·招远市八年级期末）如图，两棵树的高度分别为，，两树的根部间的距离，小强正在距树AB的20m的点P处从左向右前进，如果小强的眼睛与地面的距离为1.5m，当小强前进多少米时，就恰好不能看到CD的树顶D
【答案】小强前进11米时，就恰好不能看到CD的树顶D．
【分析】根据盲区的定义结合图片，我们可看出在之间时，是看不到树的树顶的．因此求出就是本题的关键．已知了的长，、的长，那么可根据平行线分线段成比例来得出关于、、、的比例关系式，用表示出后即可求出的长．
【详解】由题可知：，，，，
∴，
∵∴又∵∴.
∴，即 设为，则
∴∴经检验可知，是原分式方程的根，即.
∴
答：小强前进11米时，就恰好不能看到CD的树顶D．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的实际应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
23．（2022·辽宁·九年级月考）在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AB、AC上的点，∠ADE＝∠AEB，AF平分∠BAC交DE于G，交BE于F（1）在图1中找1条和EF相等得线段，并证明；（2）如图2，延长DE与BC交于点H，若AG＝kGF，猜想并验证BC与CH的数量关系（用含k得式子表示）
【答案】（1）见详解；（2）
【分析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义∠AGD=∠AFE，从而得∠AFE=∠EGF，进而即可得到结论；（2）先证明，可得，再证明，可得，最后证明，进而可得结论．
【详解】解：（1）EF=EG，理由如下：∵∠DAG+∠ADE+∠AGD=∠EAF+∠AEB+∠AFE=180°，
∵AF平分∠BAC，∴∠DAG=∠EAF，又∵∠ADE＝∠AEB，∴∠AGD=∠AFE，
∵∠AGD=∠EGF，∴∠AFE=∠EGF，∴EF=EG；
（2）∵∠ADE=∠AEB，∠DAE=∠EAB，∴∠ABE=∠AED，
又∵AF平分∠BAC，∴∠BAF=∠EAG，∴，∴，
∵AG＝kGF，∴，∴，即：，∴CE=AC-AE=AB-AE=，
∵∠ADE=∠AEB，∠DAE=∠EAB，∴，∴，
∴，，∴，
∵∠ADE=∠AEB，∴∠BDH=∠CEB，又∵AB=AC，∴∠DBH=∠ECB，∴，
∴，∴，∴．即：．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，找出相似三角形，得到对应边的比例关系，是解题的关键．
24．（2022·山东·淄博市八年级期末）在矩形中，于点，点是边上一点．
（1）若平分，交于点，PF⊥BD，如图（1），证明四边形是菱形；
（2）若，如图（2），求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）想办法证明AG=PF，AG∥PF，推出四边形AGFP是平行四边形，再证明PA=PF即可解决问题．（2）证明△AEP∽△DEC，可得 ，由此即可解决问题．
【详解】解：（1）∵平分，，，
∴，，又∵在中，，
在中，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∵，，∴AG∥PF，
∴四边形是平行四边形，∴四边形AGFP是菱形；
（2）∵，，
∴，，∴，
又∵，，
∴，∴，∴，∴，
又∵，∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，菱形的判定，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解
25．（2022·广东初三专题练习）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：的值为 ：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：
（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2，则BC= ．
【答案】（1）①四边形CEGF是正方形；②；（2）线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE；（3）3
【分析】（1）①由、结合可得四边形CEGF是矩形，再由即可得证；②由正方形性质知、，据此可得、，利用平行线分线段成比例定理可得；（2）连接CG，只需证∽即可得；（3）证∽得，设，知，由得、、，由可得a的值．
【解析】（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，
∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，
∴四边形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，∴EG=EC，∴四边形CEGF是正方形；
②由①知四边形CEGF是正方形，∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴，GE∥AB，
∴，故答案为；
（2）连接CG，由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α，在Rt△CEG和Rt△CBA中，=、=，
∴=，∴△ACG∽△BCE，∴，
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE；
（3）∵∠CEF=45°，点B、E、F三点共线，∴∠BEC=135°，
∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC=∠BEC=135°，∴∠AGH=∠CAH=45°，
∵∠CHA=∠AHG，∴△AHG∽△CHA，∴，
设BC=CD=AD=a，则AC=a，则由得，∴AH=a，
则DH=AD﹣AH=a，CH==a，∴由得，
解得：a=3，即BC=3，故答案为3．
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.
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专题4.5 相似三角形的性质及其应用
模块1：学习目标
1、通过测量旗杆的高度、测距离的活动，复习巩固相似三角形的有关知识；
2、灵活运用相似三角形的知识解决实际问题；
3、明确相似三角形中对应线段与相似比的关系；
4、理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方；
5、熟练运用相似三角形的相关性质解决实际问题；
模块2：知识梳理
1.相似三角形的性质
1）对应角相等，对应边的比相等；
2）拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。
3）相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
2.测量高度：测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.
注意：测量旗杆的高度的几种方法：
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
3.测量距离:测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1）如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.
2）如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.
注意：1）太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线。在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比；2）视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）；3）仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
模块3：核心考点与典例
考点1. 相似三角形的性质（长度问题）
例1．（2023·安徽蜀山·九年级月考）如图，若内有一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为的布洛卡点，三角形的布洛卡点是法国数学教育家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．问题：在等腰中，∠EDF=90 ，若点Q为的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ的值为（ ）
A．5 B．4 C．3+ D．2+
变式1．（2022·上海市九年级月考）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF是AD的中垂线，分别交AD、AC于点E、F，如果AB＝7，AC＝5，那么CF＝___．
变式2．（2023·江苏·扬州市九年级月考）如图，在中，，，，点，分别在，上，将沿折叠，点的对应点刚好落在上，当与相似时，的长为___________.
考点2. 相似三角形的性质（面积问题）
例2．（2022·安徽·九年级期末）如图，在中，平分交于点过点作DE//BC交于点，若：：，且的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·内蒙古·九年级月考）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF∶S△EBF∶S△ABF＝（ ）．
A．2∶5∶25 B．4∶9∶25 C．2∶3∶5 D．4∶10∶25
变式2．（2022·江苏·扬州市九年级月考）如图平行四边形，为中点，延长至，使，连结交于点，若的面积是1，则五边形的面积是______.
考点3. 重心的有关性质
例3．（2022·四川·渠县九年级期末）如图，AD为△ABC的一条中线，G为△ABC的重心，GEAC交BC于点E，则BE：EC=______．
变式1．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为 _____．
变式2．（2022·上海·九年级阶段练习）在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，G是重心，若AG=9cm，则GD=_______cm．
考点4. 相似三角形的性质（坐标问题）
例4.（2022·山东·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为___________．
变式1．（2022·成都市·九年级课时练习）如图，平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0）和B点（0，3），点C是AB的中点，点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是_______．
变式2．（2022·江苏·九年级月考）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图的方格中，作格点和相似（相似比不为1），则点的坐标是_____．
考点5. 镜子模型（在异侧构建两个相似三角形测高）
例1.（2022·河北·九年级月考）如图，一位同学借助镜子测量一棵树的高度，他与树的距离为，当他在镜子中看到树的顶端时，该同学与镜子的距离是远，已知这位同学眼睛到地面的距离是，则树高为（ ）m．
A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.5
变式1．（2022·山东济南九年级月考）如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面，同时量得，，则旗杆高度（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·山西·太原市九年级月考）如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端 C 处，已知 AB BD ，CD BD ，且测得 AB 4m ，BP 6m ， PD 12m ，那么该古城墙CD 的高度是（ ）
A．8m B．9m C．16m D．18m
考点6. 影子模型（在同侧构建两个相似三角形测高）
例6．（2022·陕西·西安九年级月考）同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，木杆AB长为3m，其影子BC长1.6m，木杆QP长为4.8m，它的部分影子PM长为2m，还有一部分落到墙上的MN处，求墙上影子MN的长度．
变式1．（2021·内蒙古·二模）阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）．
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．
小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米．
（1）在横线上直接填写甲树的高度为______米，乙树的高度为________米﹔
（2）请求出丙树的高度．
考点7. 移动的测量旗杆模型
例3．（2022·广东·九年级课时练习）如图，为了测量一旗杆的高度，小明立了两根高2m的标杆、（标杆与地面垂直且点B、C、D在一条线上），两标杆之间的距离，从C处沿方向退后1．5m到点G，眼睛贴着地面观察A点，G，E，A三点成一线；从D处沿方向退后3m到点H，眼睛贴着地面观察A点，H，F，A三点成一线．求旗杆的高度．
变式1．（2022·河北·九年级课时练习）如图，小明同学为了测量路灯的高度，先将长的竹竿竖直立在水平地面上的处，测得竹竿的影长，然后将竹竿向远离路灯的方向移动到处，即，测得竹竿的影长（、为竹竿）．求路灯的高度．
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·江苏·九年级专题练习）已知，且相似比为，则与的对应高之比为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江·九年级课时练习）如图，在中，E为边上的点，若，交于F，则等于（ ）
A．4：5 B．2：5 C．5：9 D．4：9
3．（2022·山东·阳谷县九年级月考）如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长，底边上的高为，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
4．（2022·山东·阳谷县九年级月考）如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·江苏崇川·南通田家炳中学初三期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（ ）
A．2：5 B．3：5 C．9：25 D．4：25
6．（2022·北京·九年级月考）如图，小明在11点时测得某树的影长为1米，在下午3点时测得该树影长为4米，若两次日照光线互相垂直，则该树的高度为（ ）
A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
7．（2022·陕西师大附中模拟预测）《海岛算经》是我国杰出数学家刘徽留给后世最宝贵的数学遗产．书中的第一问：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直．从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？大致意思是：假设测量海岛，立两根表，高均为3丈，前后相距1000步，令后表与前表在同一直线上，从前表退行123步，人的眼睛贴着地面观察海岛，从后表退行127步，人的眼睛贴着地面观察海岛，问海岛高度及两表相距多远？想要解决这一问题，需要利用（ ）
A．全等三角形 B．相似三角形 C．勾股定理 D．垂径定理
8．（2021·广西北海·二模）如图，已知零件的外径，现用一个交叉卡钳（两条尺长和相等，）量零件的内孔直径，若，量的，则零件的厚度为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·山东中区·一模）如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云图”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得眼睛D离地面的高度为，他与“步云图”的水平距离为，则“步云图”的高度是（ ）m．
A．75.5 B．77.1 C．79.8 D．82.5
10．（2021·河北·中考真题）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·山东·九年级专题练习）如图，要在底边，高的铁皮余料上，截取一个面积为的矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E，F在BC上，AD交HC于点M，则EH的长为_______cm．
12．（2022·上海·九年级阶段练习）在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，G是重心，若AG=9cm，则GD=_______cm．
13．（2022·浙江杭州·九年级专题练习）为了测量河宽AB，某同学采用以下方法：如图，取一根标尺，把它横放，使CD∥AB，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得CD＝10米，OC＝15米，OA＝45米，则河宽AB＝______米．
14．（2022·山东·八年级期末）学楼旁边有一棵树，数学小组的同学想利用树影来测量树高．在阳光下他们测得一根长为1m的竹竿的影长是0.9m，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有部分影子落在教学楼的墙壁上，测得落在地面的影长2.7m，落在墙壁上的影长1.2m，那么树高应为____________．
15．（2022·上海市九年级月考）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF是AD的中垂线，分别交AD、AC于点E、F，如果AB＝7，AC＝5，那么CF＝___．
16．（2022·北京通州·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为___________．
17．（2022·四川邛崃·八年级期末）如图，线段、（）的长是方程的两根，点P是y轴正半轴上一点，连接，以点为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接，当线段取最小值时点的坐标是__________，此时线段的最小值为__________．
18．（2022·江苏·扬州市梅岭中学九年级月考）如图，在中，，，，点，分别在，上，将沿折叠，点的对应点刚好落在上，当与相似时，的长为___________.
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·陕西·九年级月考）数学小组想利用所学知识测量一棵树的高度．在第一次测量中，小莉来回走动，走到点D时，其影子末端与树梢影子末端重合于点H，测得米．随后，组员在直线上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线上的对应位置为点G．镜子不动，小莉从点D沿着直线后退11米到B点时，恰好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合，此时米．如图，已知，，，小莉的身高为1.6米（眼睛到头顶距离忽略不计，平面镜的厚度忽略不计）．根据以上信息，求树的高度．
20．（2023·陕西韩城·一模）青龙寺是西安最著名的櫻花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的櫻花让这里成为了花的海洋．一天，小明和小刚去青龙寺游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（櫻花树四周被围起来了，底部不易到达）．小明在F处竖立了一根标杆，小刚走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上．此时测得小刚的眼睛到地面的距离米；然后，小刚在C处蹲下，小明平移标杆到H处时，小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小刚的眼睛到地面的距离米.已知米，米，米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在上，，，，．根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树的高度．
21．（2022·江苏·九年级月考）如图：AB为路灯主杆，AE为路灯的悬臂，AE长3米，CD是长为1.8米的标杆．已知路灯悬臂AE与地面BG平行，当标杆竖立于地面时，主杆顶端A、标杆顶端D和地面上一点G在同一直线上，此时路灯E、标杆顶端D和地面上另一点F也在同一条直线上（路灯主杆底端B、标杆底端C和地面上点F、点G在同一水平线上）．这时测得FG长1.5米，求路灯主杆AB的高度．
22．（2022·山东·招远市八年级期末）如图，两棵树的高度分别为，，两树的根部间的距离，小强正在距树AB的20m的点P处从左向右前进，如果小强的眼睛与地面的距离为1.5m，当小强前进多少米时，就恰好不能看到CD的树顶D
23．（2022·辽宁·九年级月考）在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AB、AC上的点，∠ADE＝∠AEB，AF平分∠BAC交DE于G，交BE于F（1）在图1中找1条和EF相等得线段，并证明；（2）如图2，延长DE与BC交于点H，若AG＝kGF，猜想并验证BC与CH的数量关系（用含k得式子表示）
24．（2022·山东·淄博市八年级期末）在矩形中，于点，点是边上一点．
（1）若平分，交于点，PF⊥BD，如图（1），证明四边形是菱形；
（2）若，如图（2），求证：．
25．（2022·广东初三专题练习）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：的值为 ：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：
（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2，则BC= ．
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