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专题4.6 相似多边形
模块1：学习目标
1、了解相似多边形的概念和性质；
2、在简单情形下，能根据定义判断两个多边形相似；
3、会用相似多边形的性质解决简单的几何问题。
模块2：知识梳理
相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.它的符号是“∽”，读作“相似于”.
相似比：相似多边形的对应边的比叫做相似比.
注意：（1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；（2）“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等.（3）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
相似多边形的性质：
（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似多边形的周长比等于相似比．
（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．
注意：用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：
（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；
（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；
（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.
模块3：核心考点与典例
考点1. 相似图形与相似多边形
例1．（2022·山东市北区·九年级期末）如图，细线平行于正多边形一边，并把它分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用相似多边形的判定方法判断即可．
【详解】A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意；
B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；
C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查相似多边形的定义，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
变式1．（2023·四川青白江区·九年级月考）下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案．
【详解】A、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；B、两图形形状不同，不是相似图形，符合题意；C、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
D、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；故选：B．
【点睛】本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键．
变式2．（2022·江苏海陵·初三期中）下列四组图形中，一定相似的是（ ）
A．矩形与矩形 B．正方形与菱形 C．菱形与菱形 D．正方形与正方形
【答案】D
【分析】据对应边成比例，对应角相等的图形是相似图形，对各选项分析判断后利用排除法即可求解．
【解析】A、任意两个矩形，对应角都是直角，对应角一定相等，但对应边不一定成比例，所以不一定相似，故本选项错误；
B、正方形与菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；
C、任意两个菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；
D、任意两个正方形的对应边成比例，对应角也相等，所以一定相似，故本选项正确，故选：D
【点睛】本题考查相似图形的定义及矩形、正方形、菱形的性质，解题关键是掌握相似图形判定方法．
变式3．（2023·山东蓬莱市·八年级期末）有下列结论：①两个正三角形相似；②两个等腰直角三角形相似；③两个菱形相似：④两个矩形相似；⑤两个正方形相似其中正确的结论是（ ）
A．仅①③⑤ B．仅②③⑤ C．仅②③④ D．仅①②⑤
【答案】D
【分析】根据相似图形的定义判断即可；
【详解】两个正三角形相似，故①正确；两个等腰直角三角形相似，故②正确；
两个菱形不一定相似，因为角度可能不相等，故③错误；
两个矩形不一定相似，因为边长可能不一定成比例，故④错误；
两个正方形相似，故⑤正确；故正确的有①②⑤；故答案选D．
【点睛】本题主要考查了相似图形的性质，准确判断是解题的关键．
考点2. 相似多边形的判定
例2．（2023·重庆大渡口·初三月考）根据中国人民政治协商会议第一届全体会议主席团1949年9月27日公布的国旗制法说明，我国五种规格的国旗旗面为相似矩形.已知一号国旗的标准尺寸是长288cm，高192cm，则下列国旗尺寸不符合标准的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据相似矩形的性质，对应边之比相等即可得到答案.
【解析】解：根据相似矩形的性质，对应边的比相等，则
A、，故A符合标准；B、，故B不符合标准；
C、，故C符合标准；D、，故D符合标准；故选择：B.
【点睛】本题考查了相似图形的性质，解题的关键是熟练掌握相似图形对应边的比相等.
变式1．（2023·内蒙古青山·初三期中）如图，有三个矩形，其中是相似图形的是( )
A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙
【答案】B
【解析】根据对应角相等且对应边成比例的两个多边形相似即可判断.
∵∴是相似形的是甲和丙故选B.
点评：特殊平行四边形的性质的应用是初中数学的重点，也是难点，是中考常见题，因而熟练掌握特殊平行四边形的性质极为重要.
变式2.（2023春·山东烟台·八年级统考期末）在如图所示的三个矩形中，相似的是（ ）
A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙
【答案】A
【分析】先根据矩形的性质可得所有对应角相等，再根据对应边成比例，即可判定三个矩形中相似的是甲和乙．
【详解】解：∵甲、乙、丙三个图形都是矩形，∴所有对应角相等，均为，
∵甲与乙对应边的比例为，甲与丙对应边的比例为，
∴甲与乙相似，甲与丙不相似，∴乙与丙也不相似，故选：A．
【点睛】本题考查了相似图形，熟练掌握相似图形的判定是解题关键．
考点3. 相似多边形的性质（求长度）
例3．（2023·浙江九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，AB＝2．点E在矩形ABCD的边BC上，连结AE，将矩形ABCD沿AE翻折，翻折后的点B落在边AD上的点F处，得到矩形CDFE．若矩形CDFE与原矩形ABCD相似，则AD的长为 ．
【答案】
【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】∵矩形CDFE∽矩形ADCB，∴＝，即＝，
整理得，AD2﹣2AD﹣4＝0，解得，AD1＝1﹣（舍去），AD2＝，故答案为：．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．
变式1．（2023·浙江九年级期中）如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB＝12，CD＝15，A1B1＝9，则边C1D1的长是( )
A．10 B．12 C． D．
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，∴，
∵AB=12，CD=15，A1B1=9，∴C1D1=．故选C．
变式2．（2023·江苏·九年级期中）如图，一块矩形ABCD绸布的长AB=a，宽AD=3，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，则可利用相似多边形的性质构建比例式，求解后即可得出结论．
【详解】解：∵裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
∴，解得：或（不合题意，舍去），∴，故选：C．
【点睛】此题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解答此题的关键．
变式3．（2022·子长县九年级期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，M为AB上一点，MN∥BC，交CD于N，AD=2，BC=8，当MN=_____时，MN所分的梯形AMND与梯形MBCN相似
【答案】4
【分析】根据相似图形对应边成比例得，即可求出MN的长．
【详解】解：若梯形AMND与梯形MBCN相似，
则，即，解得．故答案是：4．
【点睛】本题考查相似图形的性质，解题的关键是掌握相似图形对应边成比例的性质．
考点4. 相似多边形的性质（求面积）
例4．（2023·陕西长安区·九年级期末）在长8cm，宽6cm的矩形ABCD中，截去一个矩形后，使留下的矩形BEFA与原矩形ABCD相似，那么留下的矩形BEFA面积为（ ）cm2
A．24 B．25 C．26 D．27
【答案】D
【分析】矩形BEFA与矩形ABCD相似，再利用相似多边形的对应边成比例列方程解方程求解 从而可得答案.
【详解】解： 矩形BEFA与矩形ABCD相似，
故选：
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，判断相似多边形的对应边是解本题的难点.
变式1．（2023·浙江初三课时练习）如图所示，在长为8 cm，宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是( )
A．2 cm2 B．4 cm2 C．8 cm2 D．16 cm2
【答案】C
【解析】设留下矩形的宽为xcm，
∵留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，∴，解得
则留下矩形的面积为 .故选C.
变式2.（2023·招远市教学研究室）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AD，BC边的中点，连接EF，若矩形ABFE与矩形ABCD相似，，则矩形ABCD的面积为______．
【答案】
【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】解：设AE＝x，则AD＝2AE＝2x，
∵矩形ABFE与矩形ABCD相似，∴，即，
解得，x1＝2，(舍)，∴AD＝2x＝4，
∴矩形ABCD的面积为AB AD＝4×4＝16，故答案为：16．
【点睛】考查了相似多边形的性质，解题的关键是根据相似多边形的性质列出比例式，难度不大．
变式3．（2020·黑龙江肇州县·九年级期末）如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽，以AB为长的矩形面积为S2，S1______S2（填“”或“”或“”）．
【答案】=
【分析】根据黄金分割的定义，即可得到答案．
【详解】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，
∴，∴，∴故答案为：＝．
【点睛】本题主要考查黄金分割的定义，记住公式即可．
考点5. 相似多边形的性质（求比值）
例5．（2023·山西孝义市·九年级期末）如图所示，复印纸的型号有A0，A1，A2，A3，A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸沿较长边的中点对折，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么这些型号的复印纸的长、宽之比为______．
【答案】
【分析】设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可．
【详解】解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，
∵得到的矩形都和原来的矩形相似，∴，则，∴，
∴这些型号的复印纸的长宽之比为，故答案为：．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．
变式1．（2023·陕西·九年级期末）复印纸型号多样，而各型号复印纸之间存在这样的关系：将其中一型号纸张（如A3纸）沿较长边中点的连线对折，就能得到下一型号（A4纸）的纸张，且对折得到的两个矩形和原来的矩形相似（即A3纸与A4纸相似），则这些型号的复印纸宽与长之比为________．
【答案】
【分析】设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可．
【详解】解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为、，
得到的矩形都和原来的矩形相似，，则，，故答案为：．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．
变式2．（2023·山东·九年级期中）如图，把一个矩形分割成三个全等的小矩形，要使小矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽之比为（ ）
A．2：1 B．3：1 C． D．
【答案】D
【分析】设原矩形ABCD的长为，宽为，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得．
【详解】解：设原矩形ABCD的长为，宽为，∴小矩形的长为，宽为，
∵小矩形与原矩形相似，∴∴；故选：D．
考点6. 相似多边形（新定义）
例6．（2023·广东初三二模）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
【答案】D
【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．
【解析】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1;在直角三角形DCF中，
∴矩形DCGH为黄金矩形故选：D．
【点睛】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形．
变式1．（2022·山东·初三期末）如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝，则长AB为_____．
【答案】2
【分析】根据黄金矩形的定义，得出宽与长的比例即可得出答案．
【解析】黄金矩形的宽与长的比等于黄金数
故答案为：2．
【点睛】本题考查新定义题型，给一个新的定义，根据定义来解题，对于这道题是基础题型．
变式2．（2023·浙江绍兴·九年级期中）如果一条直线把矩形分割成两个矩形，其中一个为黄金矩形（宽与长的比为的矩形），则称这条直线为该矩形的黄金线．例如图所示的矩形中，直线，分别交、于点、，且，显然直线是矩形的黄金线．
（1）如图，在矩形中，，．请在图中画出矩形的其中一条黄金线，其中在边上，在边上，并标注出线段的长度；
（2）将正方形纸片按图所示的方式折叠．
如图所示，按上述方法折叠所得到的折痕是否为正方形的黄金线？请说明理由．
（3）在矩形中，，，已知矩形的黄金线恰好将矩形分割成两个黄金矩形，则______（只要求直接写出其中三个答案）．
【答案】（1）答案见解析，（2）是，理由见解析；（3），，，，，．
【分析】（1）根据矩形黄金线的定义可算出AM=和，从而可画出已知矩形的黄金线；（2）连结，设，，由折叠得，由△CGE的面积两种求法列出方程，求得，从而求得，即是正方形的黄金线；
（3）分类讨论，根据点E的不同位置，不同边的比得到不同a的值．
【详解】（1）∵∴,如图所示，此时，
（2）折痕是正方形的黄金线．理由如下：
如图，连结，设，，由折叠得，
在中，，
，
又，∴．解得：．
即．∴．∴是正方形的黄金线．
（3）①当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则
∵AB=1，AD=a∴，∴∴；
②当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则
∵AB=1，AD=a∴，∴∴；
③当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则
∵AB=1，AD=a∴，∴∴；
④当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则
，
，，解得，；
⑤，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则
，解得，；
⑥当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则
，
，解得，；
⑦当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则
，，，解得，；
⑧当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则
，
，解得，
故答案为：，，，，，
【点睛】本题考查了矩形的黄金分割线，黄金矩形的定义，勾股定理，翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋·浙江九年级课时练习）学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图形相似的概念进行解答即可．
【详解】解：两个矩形不一定相似，但两个正方形、两个等边三角形及两个圆一定相似，故选：A．
【点睛】本题考查了两个图形的相似，掌握相似多边形的概念（即边数相同的两个多边形，如果对应角相等，对应边成比例）是解题的关键．
2．（2023秋·浙江·九年级专题练习）下列各组中的两个图形一定相似的有（ ）
（1）两个等腰三角形； （2）两个直角三角形； （3）两个等腰直角三角形；
（4）两个等边三角形； （5）两个矩形； （6）两个菱形；
（7）两个正方形； （8）两个等腰梯形； （9）两个圆．
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
【答案】B
【分析】根据相似三角形及多边形的判定依次判断即可
【详解】解：（1）两个等腰三角形不能确定其每个内角的度数，所以不一定相似；
（2）两个直角三角形只有一个相同的角是直角，其他两个角都不确定，所以不一定相似；
（3）两个等腰直角三角形三个内角都确定且对应的三个角都相等，所以一定相似；
（4）两个等边三角形三个内角都确定且对应的三个角都相等，所以一定相似；
（5）两个矩形四个角都为90度，但是对应边不一定成比例，所以不一定相似；
（6）两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，所以不一定相似；
（7）两个正方形对应边成比例，对应角一定相等，所以一定相似；
（8）两个等腰梯形对应边和对应角都不确定，所以不一定相似；
（9）两个圆一定相似；∴相似的是（3）（4）（7）（9），故选：B
【点睛】考查相似图形的特征，形状完全相同，对于三角形来说，三个角大小相等即可，对于其它多边形来说，除了考虑角的大小，还要考虑边的大小对应．
3．（2022·上海）下列命题中，是真命题的有（ ）
（1）两条线段长度的比叫做两条线段的比；（2）两个矩形一定是相似形；
（3）任意两个相似多边形，它们的对应角相等，对应边也相等；
（4）若线段a与b的比是3:5，则a=3，b=5.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】分别利用相似的定义、比例的性质即可判断．
【详解】（1）两条线段长度的比叫做两条线段的比，是真命题；
（2）两个矩形不一定相似，因为对应边的比值不一定相等，不是真命题；
（3）任意两个相似多边形，它们的对应角相等，对应边成比例，不是真命题；
（4）若线段a与b的比是3:5，但a不一定是3，b不一定是5，不是真命题；
综上，只有（1）是真命题，共1个．故选：A．
【点睛】本题主要考查了命题真假的判断，正确把握相似的定义以及比例的性质是解题关键．
4．（2023春·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）已知矩形的长与宽分别为4和3，下列矩形与它相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据相似图形的定义：所有的对应边对应成比例，所有的对应角相等，进行判断即可．
【详解】解：因为矩形的所有内角均为90°，∴所有矩形的对应角均相等，
∴当两个矩形相似时，长比长等于宽比宽，∴满足题意的只有C选项，故选C．
【点睛】本题考查相似图形．熟练掌握相似图形的定义，是解题的关键．
5．（2023秋·浙江九年级期中）两个大小不一的五边形和五边形如图所示放置，点F在线段上，点H在线段上，对应连接并延长刚好交于一点O，则这两个五边形的关系是（ ）
A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．不能确定
【答案】B
【分析】根据相似多边形的定义即可解答．
【详解】解：∵两个大小不一的五边形和五边形对应边不成比例
∴五边形和五边形一定不相似．故选B．
【点睛】本题考查相似多边形的定义，掌握对应边成比例的多边形是相似三角形成为解答本题的关键．
6．（2023春·山东威海·八年级校联考期末）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．
丙：将菱形按图③的方式向外扩张，得到新的菱形，他们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似．
对于三人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．甲对，丙、乙不对 B．甲、乙都对，丙不对
C．甲、丙都对，乙不对 D．甲、乙、丙都对
【答案】C
【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似即可判断．
【详解】解：如图所示，
据题意得：，，，
∴，，∴，∴新三角形与原三角形相似，甲说法正确．
乙：设原矩形边长为，．向外扩张一个单位后边长变为，．
则∴新矩形与原矩形不相似，乙说法不正确；
丙：将边长为的菱形按图③的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行，因此各角与原菱形角对应相等，扩张后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似，故丙正确，故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，相似多边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的判定是解题的关键．
7．（2022秋·河北·九年级校联考阶段练习）将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则新图形与原图形相似的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】利用相似三角形和相似多边形的判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：如图1，可知：，
∴，，∴；
如图2，∵正方形的边长由4变为6，对应边比值相等，对应角相等，∴新图形与原图形相似；
如图3，∵，，则，，
∴，∴新矩形与原矩形不相似．综上：新图形与原图形相似的有2个；故选C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，相似多边形的判定．熟练掌握相似三角形和多边形的判定方法，是解题的关键．
8．（2022春·浙江九年级课时练习）我们把宽与长的比等于黄金比()的矩形称为黄金矩形.如图,在黄金矩形中,的平分线交边于点,于点,则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定可得四边形ABFE是正方形，再根据正方形的性质可得，再根据黄金矩形的定义逐项判断即可得．
【详解】四边形ABCD是矩形，，
，即，四边形ABFE是矩形，
是的平分线，且，
，四边形ABFE是正方形，，
又四边形ABCD是黄金矩形，且，，
设，则，，
，，
则，，即，选项A正确；
，，即，选项B正确；
，，即，选项C错误；
，则选项D正确；故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质，掌握理解黄金矩形的定义是解题关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2023秋·浙江九年级课时练习）已知五边形五边形，，，，，则 ．
【答案】
【分析】首先根据相似多边形的性质得到，，然后根据五边形的内角和为即可解答．
【详解】解：∵五边形五边形，∴，，
又∵五边形的内角和为，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题关键是掌握相似多边形的对应角相等．
10．（2023秋·浙江·九年级专题练习）宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形．古希腊很多矩形建筑中宽与长的比都等于黄金比，如图，矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，以AB为边在矩形ABCD内部作正方形ABEF，若AD＝1，则DF＝ ．
【答案】
【分析】先根据黄金矩形求出AB，再利用正方形的性质求出AF，然后进行计算即可解答．
【详解】解：∵矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，∴，∴，
∵四边形ABEF是正方形，∴AB=AF=，∴DF=AD-AF=，故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割，相似多边形的性质，正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握黄金分割是解题的关键．
11．（2022秋·陕西榆林·九年级校考期中）如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是 ．
【答案】
【分析】相似图形的相似比等于对应边之比；再由五边形 五边形 可得相似比为，进而求解即可．
【详解】解：设横向相邻的两点距离为1，则，，
∴五边形 五边形 可得相似比为．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似图形的相似比，掌握相似比的定义是解题的关键．
12．（2023·浙江·八年级专题练习）如图，四边形四边形，则的度数是 ．
【答案】
【分析】利用相似多边形对应角相等即可求解．
【详解】解：∵四边形四边形，∴，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了全等形的性质及四边形的内角和定理，熟练掌握全等形的性质是解题的关键．
13．（2022春·浙江九年级课时练习）装裱一幅宽 长的矩形画， 要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似， 装裱上去的部分的上下的宽都为， 若装裱上去的左右部分的宽都为， 则 ．
【答案】10
【分析】根据相似图形对应边成比例即可进行解答．
【详解】解：∵装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，
∴，解得：．故答案为：10 ．
【点睛】本题主要考查了相似的性质，解题的关键是熟练掌握形似的图形对应边成比例．
14．（2022秋·江西宜春·九年级江西省宜丰中学校考期中）在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为图案的一条边由原来的1cm变成4cm，则这次复印出来的图案的面积是
【答案】32
【分析】复印前后的图案按照比例放大或缩小，因此它们是相似图形，按照相似图形的面积比等于相似比的平方求解即可．
【详解】解：∵在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为图案的一条边由原来的1cm变成4cm，∴相似比，∴面积比，
∴这次复印出来的图案的面积．故答案是：32．
【点睛】考查了相似图形，掌握相似图形面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
15．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，已知五边形与五边形相似且相似比为，，则 ．
【答案】
【分析】利用相似五边形的对应边之比等于相似比建立方程求解即可．
【详解】解：∵五边形与五边形相似且相似比为，∴，
∵，∴，∴，经检验符合题意；故答案为：
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应边的比即为相似比是解本题的关键．
16．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，矩形中，，，剪去一个矩形后，余下的矩形矩形，则的长为 ．
【答案】1
【分析】根据相似多边形的性质得，即，然后利用比例性质求出即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，∴，
∵四边形是矩形，∴，
∵余下的矩形矩形，∴，即，∴，故答案为：1．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解决本题的关键是掌握如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比．
17．（2022·北京·九年级月考）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若四边形EFGH与四边形ABCD相似，则四边形EFGH的面积是 ___．
【答案】
【分析】利用相似多边形的性质求解即可．
【详解】解：∵＝2×4 ×1×2 ×1×2 1×1 ×1×1＝．
又∵四边形EFGH与四边形ABCD相似，∴：＝＝＝，
∴＝×＝．故答案为：．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识，解决问题．
【点睛】本题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，注意分清对应边是解决本题的关键．
18．（2023春·山东东营·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；…按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，…则的值为 ．
【答案】
【分析】根据已知和矩形的性质可分别求得，再利用相似多边形的性质可发现规律，然后根据规律即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∴，
∵按逆时针方向作矩形的相似矩形，
∴矩形的边长和矩形的边长的比为：2
∴矩形的面积和矩形的面积的比，
∵，，，…∴，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·浙江·九年级专题练习）在，的矩形花坛四周修小路．
（1）如图，如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周围成的矩形和矩形相似吗？请说明理由．
（2）如图，如果相对着的两条小路的宽均相等，试问小路的宽与的比值为多少时，能使小路四周围成的矩形和矩形相似？请说明理由．
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【分析】（1）首先设四周的小路的宽为x，易得，则可判定：小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD不相似；（2）由相似多边形的性质可得：当时，小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似，继而求得答案．
【详解】（1）如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形和矩形不相似；
设四周的小路的宽为，
∵，，∴，
∴小路四周所围成的矩形和矩形不相似．
（2）∵当时，小路四周所围成的矩形和矩形相似，解得：,
∴路的宽与的比值为时，小路四周所围成的矩形和矩形相似．
【点睛】此题考查了相似多边形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
20．（2022春·浙江九年级课时练习）已知：如图，梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，AD∥BC，A′D′∥B′C′，∠A＝∠A′．AD＝4，A′D′＝6，AB＝6，B′C′＝12．求：
(1)梯形ABCD与梯形A′B′C′D′的相似比k；(2)A′B′和BC的长；(3)D′C′∶DC．
【答案】(1)k＝2∶3；(2)A＇B＇＝9，BC＝8；(3)3∶2．
【分析】根据相似多边形的对应边成比例列式计算即可求出.
【详解】∵梯形ABCD∽梯形A′B′C′D′相似，∴AD：A′D′=4:6=2:3;
（2）由（1）知AB: A′B′= AD：A′D′=2:3，∵AB=6，∴A′B′=9；同理可得，BC＝8；
（3）∵梯形ABCD∽梯形A′B′C′D′相似，∴D′C′∶DC= A′D′：AD=3:2.
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，主要利用了对应边成比例的性质，熟记性质是解题的关键．
21．（2023·浙江九年级期中）观察下面这张残破的图（如图所示），其中残破的七边形与七边形相似，如果量得，，你能求出七边形的面积吗？
【答案】能，
【分析】先得出两个相似图形的相似比，再根据相似多边形面积比等于相似比的平方，即可求解．
【详解】解：能．求解过程如下：
七边形与七边形相似，且其相似比等于，
七边形与七边形的面积比为，则，
．故七边形的面积为．
【点睛】本题主要考查了相似图形的性质，解题的关键是掌握相抵图形面积比等于相似比的平方．
22．（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在四边形的边上任取一点O（不与点A、B重合）连接、，分别取的中点、、、，连接、、，四边形与四边形相似吗？为什么？
【答案】四边形四边形，见解析
【分析】根据三角形的中位线定理证明两个多边形对应边的比相等、对应角相等即可得到答案．
【详解】解：四边形四边形，理由如下：
证明：、是、的中点， ，，，
同理，，
，，，
同理，
，，
四边形四边形．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质、三角形中位线定理，掌握相似多边形的判定定理、灵活运用三角形中位线定理是解题的关键．
23．（2023秋·浙江·九年级专题练习）矩形纸片的边长为，动直线l分别交于E、F两点，且∶
(1)若直线l是矩形的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形与原矩形相似，试求的长？(2)若使，试探究：在边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况．若存在，请求出的值，并判断E点在边上位置的特殊性；若不存在，试说明理由．
【答案】(1) (2)存在， 或，E刚好是边的两个黄金分割点
【分析】（1）先根据矩形矩形可得出两矩形的对应边成比例，再，把的值代入关系式即可得出x的值，进而可求出的值；
（2）假设存在矩形与矩形相似，则必与对应，必与对应，由相似多边形的对应边成比例即可得出的长，进而可得出的长，进而可得出结论．
【详解】（1）解：∵矩形矩形，∴，
又∵，可设，∴，解得：，∴；
（2）解：假设存在矩形与矩形相似；则必与对应，必与对应，
∴，∴，
又∵∴
∴，而，
依据对称性考虑，必定存在当时，使矩形与矩形相似的情形，
综上所述：当或时，在剪开所得到的小矩形纸片中必存在与原矩形相似；
且该两种情形中，E刚好是边的两个黄金分割点．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．
24．（2023·江苏南京·统考二模）学完“探索三角形相似的条件”之后，小明所在的学习小组尝试探索四边形相似的条件，以下是他们的思考，请你和他们一起完成探究过程．
【定义】四边成比例，且四角分别相等的两个四边形叫做相似四边形．
【初步思考】（1）小明根据探索三角形相似的条件所获得的经验，考虑可以从定义出发逐步弱化条件探究四边形相似的条件．他考虑到“四角分别相等的两个四边形相似”可以举出反例“矩形”，“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例______．所以四边形相似的条件必须再添加条件，于是，可以从“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”，“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”来探究．
【深入探究】（2）学习小组一致认为，“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”是真命题，请结合图形完成证明．
已知：四边形和四边形中，，．
求证：四边形四边形．证明：
（3）对于“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，学习小组得到如下的四个命题：
①“三边成比例，两邻角分别相等且只有一角为其中两边的夹角的两个四边形相似”；
②“三边成比例，两邻角分别相等且都不是其中两边的夹角的两个四边形相似”；
③“三边成比例及其两夹角分别相等的两个四边形相似”；
④“三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似”．
其中真命题是______．（填写所有真命题的序号）
（4）请你完成“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”的探究过程．
【答案】（1）菱形和正方形；（2）见解析；（3）③；（4）见解析．
【分析】（1）利用正方形的四边相等，菱形的四边也相等，四边成比例，但不相似可以举出反例；
（2）先判断出△，得出，，，进而得出△，得出，，，即可得出结论；
（3）根据相似多边形的判定方法，一一判断即可；
（4）分两种情况考虑，两边是对边，两边是邻边，根据相似多边形的判定方法即可完成证明．
【详解】（1）解：正方形的四边相等，菱形的四边也相等，四边成比例，但不相似，
“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例菱形和正方形，
故答案为：菱形和正方形；
（2）证明：连接、，
∵，，∴，
∴，，，
∵，∴，
∴，∴，，，
∴，，
即，，
综上，四边形四边形．
（3）解：①如图，四边形四边形，以为圆心、为半径作圆交延长线于点，则，，，但四边形不与四边形相似．
②如图，四边形四边形，以为圆心、为半径作圆交过点且和平行的直线相交于点，过作交于点，则，四边形为平行四边形．则，即，，，
但四边形不与四边形相似．
③已知：如图，四边形和四边形中，，，．
求证：四边形四边形．
证明：连接，．
，且，△，
，，，
，，
，，△，
，，，
，，，，，
四边形与四边形相似；
④如图，四边形四边形，以为圆心，为半径作圆交于点，在左侧作，则，，，，，但四边形不与四边形相似．
故答案为：③，
（4）解：因为四边形内角和为360°，所以四边形只要三个角分别相等，第四个角就也相等，所以只需考虑成比例的两边是邻边还是对边．
若成比例的两边是对边，则有反例“矩形”．若成比例的两边是邻边，则相似，理由如下：
已知：四边形和四边形中，，，，．
求证：四边形四边形．
证明：∵，，，
∴．连接、，
∵，，∴，
∴，，∴，
又∵，∴，∴，
综上，四边形四边形．
【点睛】此题是相似形综合题，考查了相似多边形的判定方法，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把四边形问题转化为三角形问题，属于中考压轴题．
25．（2023·浙江宁波·九年级校考期中）根据下列题目要求，解答下列问题：
(1)如图1，已知正方形和正方形，连接、．求证．
(2)如图2，在矩形中，，已知矩形矩形，相似比为，，连接、，延长交于M．探究线段与的数量关系．
(3)如图3，已知矩形矩形，连接、、，发现线段、、存在这样的数量关系：，请你对这个数量关系加以证明．
【答案】(1)见解析(2)(3)见解析
【分析】(1)根据定理，即可证得，据此即可证得结论；
(2)设，，根据，可求得，，据此即可证得，据此即可求得；
(3)将沿向右平移，使与重合，得到，连接，与、分别交于点H、O，可证得四边形为平行四边形，，，再根据矩形矩形，可证得，可得，据此即可证得是直角三角形，即可证得结论．
【详解】（1）证明：四边形和都是正方形，
，，，
，，
在与中， ，；
（2）解：，设，，
矩形矩形，相似比为，
，， ，，
，，
，，，
，，
，；
（3）证明：将沿向右平移，使与重合，得到，连接，与、分别交于点H、O，
，，，，
四边形是矩形，，，
，，四边形为平行四边形，
，，，
矩形矩形，，
又，，
，，
又，，
是直角三角形，，
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，相似多边形的性质，直角三角形的判定与性质，作出辅助线是解决本题的关键．
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专题4.6 相似多边形
模块1：学习目标
1、了解相似多边形的概念和性质；
2、在简单情形下，能根据定义判断两个多边形相似；
3、会用相似多边形的性质解决简单的几何问题。
模块2：知识梳理
相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.它的符号是“∽”，读作“相似于”.
相似比：相似多边形的对应边的比叫做相似比.
注意：（1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；（2）“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等.（3）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
相似多边形的性质：
（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似多边形的周长比等于相似比．
（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．
注意：用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：
（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；
（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；
（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.
模块3：核心考点与典例
考点1. 相似图形与相似多边形
例1．（2022·山东市北区·九年级期末）如图，细线平行于正多边形一边，并把它分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·四川青白江区·九年级月考）下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·江苏海陵·初三期中）下列四组图形中，一定相似的是（ ）
A．矩形与矩形 B．正方形与菱形 C．菱形与菱形 D．正方形与正方形
变式3．（2023·山东蓬莱市·八年级期末）有下列结论：①两个正三角形相似；②两个等腰直角三角形相似；③两个菱形相似：④两个矩形相似；⑤两个正方形相似其中正确的结论是（ ）
A．仅①③⑤ B．仅②③⑤ C．仅②③④ D．仅①②⑤
考点2. 相似多边形的判定
例2．（2023·重庆大渡口·初三月考）根据中国人民政治协商会议第一届全体会议主席团1949年9月27日公布的国旗制法说明，我国五种规格的国旗旗面为相似矩形.已知一号国旗的标准尺寸是长288cm，高192cm，则下列国旗尺寸不符合标准的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·内蒙古青山·初三期中）如图，有三个矩形，其中是相似图形的是( )
A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙
变式2.（2023春·山东烟台·八年级统考期末）在如图所示的三个矩形中，相似的是（ ）
A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙
考点3. 相似多边形的性质（求长度）
例3．（2023·浙江九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，AB＝2．点E在矩形ABCD的边BC上，连结AE，将矩形ABCD沿AE翻折，翻折后的点B落在边AD上的点F处，得到矩形CDFE．若矩形CDFE与原矩形ABCD相似，则AD的长为 ．
变式1．（2023·浙江九年级期中）如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB＝12，CD＝15，A1B1＝9，则边C1D1的长是( )
A．10 B．12 C． D．
变式2．（2023·江苏·九年级期中）如图，一块矩形ABCD绸布的长AB=a，宽AD=3，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·子长县九年级期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，M为AB上一点，MN∥BC，交CD于N，AD=2，BC=8，当MN=_____时，MN所分的梯形AMND与梯形MBCN相似
考点4. 相似多边形的性质（求面积）
例4．（2023·陕西长安区·九年级期末）在长8cm，宽6cm的矩形ABCD中，截去一个矩形后，使留下的矩形BEFA与原矩形ABCD相似，那么留下的矩形BEFA面积为（ ）cm2
A．24 B．25 C．26 D．27
变式1．（2023·浙江初三课时练习）如图所示，在长为8 cm，宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是( )
A．2 cm2 B．4 cm2 C．8 cm2 D．16 cm2
变式2.（2023·招远市教学研究室）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AD，BC边的中点，连接EF，若矩形ABFE与矩形ABCD相似，，则矩形ABCD的面积为______．
变式3．（2020·黑龙江肇州县·九年级期末）如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽，以AB为长的矩形面积为S2，S1______S2（填“”或“”或“”）．
考点5. 相似多边形的性质（求比值）
例5．（2023·山西孝义市·九年级期末）如图所示，复印纸的型号有A0，A1，A2，A3，A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸沿较长边的中点对折，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么这些型号的复印纸的长、宽之比为______．
变式1．（2023·陕西·九年级期末）复印纸型号多样，而各型号复印纸之间存在这样的关系：将其中一型号纸张（如A3纸）沿较长边中点的连线对折，就能得到下一型号（A4纸）的纸张，且对折得到的两个矩形和原来的矩形相似（即A3纸与A4纸相似），则这些型号的复印纸宽与长之比为________．
变式2．（2023·山东·九年级期中）如图，把一个矩形分割成三个全等的小矩形，要使小矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽之比为（ ）
A．2：1 B．3：1 C． D．
考点6. 相似多边形（新定义）
例6．（2023·广东初三二模）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
变式1．（2022·山东·初三期末）如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝，则长AB为_____．
变式2．（2023·浙江绍兴·九年级期中）如果一条直线把矩形分割成两个矩形，其中一个为黄金矩形（宽与长的比为的矩形），则称这条直线为该矩形的黄金线．例如图所示的矩形中，直线，分别交、于点、，且，显然直线是矩形的黄金线．
（1）如图，在矩形中，，．请在图中画出矩形的其中一条黄金线，其中在边上，在边上，并标注出线段的长度；
（2）将正方形纸片按图所示的方式折叠．
如图所示，按上述方法折叠所得到的折痕是否为正方形的黄金线？请说明理由．
（3）在矩形中，，，已知矩形的黄金线恰好将矩形分割成两个黄金矩形，则______（只要求直接写出其中三个答案）．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋·浙江九年级课时练习）学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·浙江·九年级专题练习）下列各组中的两个图形一定相似的有（ ）
（1）两个等腰三角形； （2）两个直角三角形； （3）两个等腰直角三角形；
（4）两个等边三角形； （5）两个矩形； （6）两个菱形；
（7）两个正方形； （8）两个等腰梯形； （9）两个圆．
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
3．（2022·上海）下列命题中，是真命题的有（ ）
（1）两条线段长度的比叫做两条线段的比；（2）两个矩形一定是相似形；
（3）任意两个相似多边形，它们的对应角相等，对应边也相等；
（4）若线段a与b的比是3:5，则a=3，b=5.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2023春·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）已知矩形的长与宽分别为4和3，下列矩形与它相似的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023秋·浙江九年级期中）两个大小不一的五边形和五边形如图所示放置，点F在线段上，点H在线段上，对应连接并延长刚好交于一点O，则这两个五边形的关系是（ ）
A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．不能确定
6．（2023春·山东威海·八年级校联考期末）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．
丙：将菱形按图③的方式向外扩张，得到新的菱形，他们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似．
对于三人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．甲对，丙、乙不对 B．甲、乙都对，丙不对
C．甲、丙都对，乙不对 D．甲、乙、丙都对
7．（2022秋·河北·九年级校联考阶段练习）将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则新图形与原图形相似的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．（2022春·浙江九年级课时练习）我们把宽与长的比等于黄金比()的矩形称为黄金矩形.如图,在黄金矩形中,的平分线交边于点,于点,则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2023秋·浙江九年级课时练习）已知五边形五边形，，，，，则 ．
10．（2023秋·浙江·九年级专题练习）宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形．古希腊很多矩形建筑中宽与长的比都等于黄金比，如图，矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，以AB为边在矩形ABCD内部作正方形ABEF，若AD＝1，则DF＝ ．
11．（2022秋·陕西榆林·九年级校考期中）如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是 ．
12．（2023·浙江·八年级专题练习）如图，四边形四边形，则的度数是 ．
13．（2022春·浙江九年级课时练习）装裱一幅宽 长的矩形画， 要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似， 装裱上去的部分的上下的宽都为， 若装裱上去的左右部分的宽都为， 则 ．
14．（2022秋·江西宜春·九年级江西省宜丰中学校考期中）在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为图案的一条边由原来的1cm变成4cm，则这次复印出来的图案的面积是
15．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，已知五边形与五边形相似且相似比为，，则 ．
16．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，矩形中，，，剪去一个矩形后，余下的矩形矩形，则的长为 ．
17．（2022·北京·九年级月考）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若四边形EFGH与四边形ABCD相似，则四边形EFGH的面积是 ___．
18．（2023春·山东东营·八年级统考期末）如图，在矩形中，，，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；…按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，…则的值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·浙江·九年级专题练习）在，的矩形花坛四周修小路．
（1）如图，如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周围成的矩形和矩形相似吗？请说明理由．（2）如图，如果相对着的两条小路的宽均相等，试问小路的宽与的比值为多少时，能使小路四周围成的矩形和矩形相似？请说明理由．
20．（2022春·浙江九年级课时练习）已知：如图，梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，AD∥BC，A′D′∥B′C′，∠A＝∠A′．AD＝4，A′D′＝6，AB＝6，B′C′＝12．求：
(1)梯形ABCD与梯形A′B′C′D′的相似比k；(2)A′B′和BC的长；(3)D′C′∶DC．
21．（2023·浙江九年级期中）观察下面这张残破的图（如图所示），其中残破的七边形与七边形相似，如果量得，，你能求出七边形的面积吗？
22．（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在四边形的边上任取一点O（不与点A、B重合）连接、，分别取的中点、、、，连接、、，四边形与四边形相似吗？为什么？
23．（2023秋·浙江·九年级专题练习）矩形纸片的边长为，动直线l分别交于E、F两点，且∶(1)若直线l是矩形的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形与原矩形相似，试求的长？(2)若使，试探究：在边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况．若存在，请求出的值，并判断E点在边上位置的特殊性；若不存在，试说明理由．
24．（2023·江苏南京·统考二模）学完“探索三角形相似的条件”之后，小明所在的学习小组尝试探索四边形相似的条件，以下是他们的思考，请你和他们一起完成探究过程．
【定义】四边成比例，且四角分别相等的两个四边形叫做相似四边形．
【初步思考】（1）小明根据探索三角形相似的条件所获得的经验，考虑可以从定义出发逐步弱化条件探究四边形相似的条件．他考虑到“四角分别相等的两个四边形相似”可以举出反例“矩形”，“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例______．所以四边形相似的条件必须再添加条件，于是，可以从“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”，“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”来探究．
【深入探究】（2）学习小组一致认为，“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”是真命题，请结合图形完成证明．
已知：四边形和四边形中，，．
求证：四边形四边形．证明：
（3）对于“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，学习小组得到如下的四个命题：
①“三边成比例，两邻角分别相等且只有一角为其中两边的夹角的两个四边形相似”；
②“三边成比例，两邻角分别相等且都不是其中两边的夹角的两个四边形相似”；
③“三边成比例及其两夹角分别相等的两个四边形相似”；
④“三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似”．
其中真命题是______．（填写所有真命题的序号）
（4）请你完成“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”的探究过程．
25．（2023·浙江宁波·九年级校考期中）根据下列题目要求，解答下列问题：
(1)如图1，已知正方形和正方形，连接、．求证．
(2)如图2，在矩形中，，已知矩形矩形，相似比为，，连接、，延长交于M．探究线段与的数量关系．
(3)如图3，已知矩形矩形，连接、、，发现线段、、存在这样的数量关系：，请你对这个数量关系加以证明．
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