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专题4.7 图形的位似
模块1：学习目标
1、了解位似多边形的有关概念及位似与相似的联系与区别；
2、掌握位似图形的性质，会画位似图形；
3、会利用位似将一个图形放大或缩小；
4、理解位似图形的坐标变换规律；
5、熟练在坐标系中根据坐标的变换规律作出位似图形。
模块2：知识梳理
1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.
注意：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.
2.位似图形的性质:
（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．
4.作位似图形的步骤
第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
第二步：作位似中心与各关键点连线；
第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
第四步：顺次连接各对应点.
注意：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.
5.坐标系中的位似图形
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.
注意：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k或-k.
模块3：核心考点与典例
考点1. 位似图形的识别
例1.（2022·湖南宁乡·九年级期末）视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“E”均是相似图形，其中不是位似图形的是（ ）
A．①和④ B．②和③ C．①和② D．②和④
【答案】B
【分析】两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形就是位似图形，根据定义即可解答.
【详解】A.两个图形相似，且对应点的连线都经过同一个点，对应边互相平行，故是位似图形，
B.两个图形相似，但是对应点的连线不在同一个点，故不是位似图形，
C.两个图形相似，且对应点的连线都经过同一个点，对应边互相平行，故是位似图形，
D.两个图形相似，且对应点的连线都经过同一个点，对应边互相平行，故是位似图形，故选：B．
【点睛】此题考查位似图形，确定位似图形时确定对应点和对应边是解题的关键，由对应点连线交于一点，对应边互相平行即可判定图形是位似图形.
变式1．（2022·江苏苏州·九年级月考）下列各选项中的两个图形不是位似图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据位似图形的定义解答即可．
【详解】解：A、B和C中的两个图形都是位似图形，A中的位似中心是点C，
B中的位似中心是点O，C中的位似中心是点O.
只有选项D的对应顶点的连线相不交于一点，对应边不互相平行，故D不是位似图像.故选D．
【点睛】本题考查的是位似变换，掌握两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．
变式2．（2022·福建三明·九年级期中）下列各组图形中的两个三角形均满足，这两个三角形不是位似图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据位似图形的概念和性质，对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．性质：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行，对各选项逐一分析，即可得出答案．
【详解】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．
根据位似图形的概念，A、C、D三个图形中的两个图形都是位似图形；
B中的两个图形不符合位似图形的概念，对应边不平行，故不是位似图形．故选：B．
【点睛】本题主要考查了位似变换，注意位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．
考点2. 图形的位似变换（求位似中心问题）
例2．（2022·河北保定·三模）如图，正方形和正方形是位似图形，且点D与点G是一对对应点，点，点，则它们位似中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两个位似图形对应顶点所在的直线相交于一点，交点就是位似中心，可得连接DG并延长，其与x轴交点即为位似中心，用待定系数法求出直线DG解析式，即可求解．
【详解】解；连接DG并延长交x轴于M，
∵点D与点G是一对对应点，
则可知两个位似图形在位似中心的同旁，位似中心就是点M，
设直线DG解析式为； ，将，代入得：
，解得： ，∴直线DG解析式为 ，
令y=0，可得： ，，即位似中心的坐标是．故选A．
【点睛】考题考查了判断位似中心和求解位似中心，待定系数法求一次函数，熟练掌握位似中心的定义是解题的关键．
变式1．（2023·浙江·二模）如图，在的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段CD是由线段AB位似放大得到，则它们的位似中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】连接CA，DB，并延长，则交点即为它们的位似中心．继而求得答案．
【详解】∵如图，连接CA，DB，并延长，则交点即为它们的位似中心．
∴它们的位似中心是．故选：A．
【点睛】此题考查了位似变换．注意根据位似图形的性质求解是关键．
变式2．（2022·河北·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，对应点B、F的坐标分别为（﹣4，4）、（2，1），则位似中心的坐标为（ ）
A．（0，1） B．（0，2） C．（0，3） D．（0，4）
【答案】B
【分析】如图，连接BF交y轴于P，根据位似图形的定义可得点P为位似中心，根据点B、F坐标可得点C、G坐标，可得CG的长，根据相似三角形的性质可求出GP的长，即可求出点P的坐标．
【详解】如图，连接BF交y轴于P，
∵矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，点B、F为对应点，∴点P为位似中心，∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），
∴点C的坐标为（0，4），点G的坐标为（0，1），BC=4，GF=2，OG=1，∴CG＝3，
∵BC∥GF，∴△BCP∽△FGP，∴＝＝，PC=CG-PG，解得：GP＝1，
∴OP=OG+GP=2，∴点P的坐标为（0，2），故选：B．
【点睛】本题考查位似图形的定义、相似三角形的判定与性质，理解位似图形的定义、熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
考点3. 图形的位似变换（求点的坐标问题）
例3.（2022·四川德阳·二模）如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是_____．
【答案】（﹣4，﹣3）
【分析】根据位似图形的性质，对应点的连线交于一点则可得出答案．
【详解】解：△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则连接和并延长相交，交点即为P点，
如图所示，P点的坐标为：，故答案为：．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，得出位似图形对应点的连线交于一点是解题的关键．
变式1.（2022 阳东区模拟）如图，在△AOB中，A，B两点在x轴的上方，以点O为位似中心，在x轴的下方按1：2的相似比作△AOB的位似图形△A'OB'．设点B的对应点B'的坐标是（4，﹣2），则点B的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
【解题思路】设点B的坐标为（x，y），根据根据位似变换的坐标特点得﹣2 x＝4，﹣2 y＝﹣2，由此求得点B的坐标．
【解答过程】解：设点B的坐标为（x，y），因为点B的对应点B'的坐标是（4，﹣2），
所以根据位似变换的坐标特点得﹣2 x＝4，﹣2 y＝﹣2，
即x＝﹣2，y＝1，故点B的坐标为（﹣2，1）．故选：C．
变式2.（2022 滦州市期末）如图，△ABO缩小后变为△A'B'O，其中A、B的对应点分别为A'、B'，点A、B、A'、B'均在格点上，若线段AB上有点P（m，n），则点P在A'B'上的对应点P'的坐标为（ ）
A．（，n） B．（m，n） C．（m，） D．（，）
【分析】根据A，B两点坐标以及对应点A′，B′点的坐标得出坐标变化规律，进而得出P′的坐标．
【解析】解：∵△ABO缩小后变为△A′B′O，
其中A、B的对应点分别为A′、B′点A、B、A′、B′均在图中在格点上，
即A点坐标为：（4，6），B点坐标为：（6，2），
A′点坐标为：（2，3），B′点坐标为：（3，1），∴线段AB上有一点P（m，n），
则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为：（）．故选：D．
考点4. 图形的位似变换（长度问题）
例4．（2022·重庆市九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，ABC与DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若A（﹣2，0），D（3，0），且BC＝4，则线段EF的长度为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【分析】根据位似图形的概念得到，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
【详解】解：与是以坐标原点为位似中心的位似图形，，
，，，，与的相似比为，∴BC∶EF＝2∶3，
，，故选：A．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形是相似图形以及相似三角形的性质是解题的关键．
变式1．（2022·重庆·中考三模）如图，正五边形ABCDE与是位似图形，O是位似中心，若正五边形与正五边形ABCDE的面积之比为4：1，且正五边形ABCDE的周长为9，则正五边形的周长是为（ ）
A．18 B．27 C．36 D．9
【答案】A
【分析】根据面积之比得到两个图形的相似比，再根据正五边形ABCDE的周长即可求解．
【详解】解：正五边形ABCDE与是位似图形，正五边形ABCDE与相似，
正五边形与正五边形ABCDE的面积之比为4：1，
可得，正五边形ABCDE与的相似比为
正五边形与正五边形ABCDE的周长之比为2：1，
正五边形ABCDE的周长为9∴正五边形的周长是为18故选：A
【点睛】此题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的有关性质是解题的关键．
变式2．（2022·重庆一中九年级月考）如图，与位似，点是它们的位似中心，其中，若点的坐标为，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由点的坐标为，利用勾股定理可求OA的长度，再根据，利用位似图形的性质即可求解．
【详解】解：∵的坐标为，∴，
∵与位似，，∴，∴．故选：B．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，熟记位似图形的性质是解题的关键．
考点5. 图形的位似变换（求面积问题）
例5．（2022·重庆市九年级月考）如图，四边形ABCD和是以点O为位似中心的位似图形，若：OA＝3：5，四边形的面积为9cm2，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．15cm2 B．25cm2 C．18cm2 D．27cm2
【答案】B
【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方即可求出边形ABCD的面积．
【详解】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA′：OA＝3：5，
∴S四边形A′B′C′D′：S四边形ABCD＝9：25，
∵四边形A′B′C′D′的面积为9cm2，∴四边形ABCD的面积＝25cm2，故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似比等于相似比，位似图形的面积比等于位似比的平方．
变式1．（2022·重庆·一模）如图，与位似，点O为位似中心，已知的面积为2，则的面积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
【答案】D
【分析】用位似的性质得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，所以，然后根据相似三角形的性质求解．
【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，∴，
∵△ABC∽△DEF，∴，∴S△DEF=9S△ABC=9×2=18．故选：D．
【点睛】本题考查了位似变换：位似的两图形两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）．
变式2．（2022·河北海港·九年级期中）如图，与是位似图形，点是它们的位似中心，已知，的面积为3，那么的面积是______．
【答案】12
【分析】由△ABC与△A1B1C1为位似图形，，即可得△ABC与△A1B1C1为相似三角形，且相似比为1：2，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得答案．
【详解】解：∵△ABC与△A1B1C1为位似图形，∴△ABC∽△A1B1C1，
∵，∴相似比是1：2，∴△ABC与△A1B1C1的面积比为：1：4，
∵△ABC的面积为3，∴△A1B1C1的面积是：3×4=12．故答案为：12．
【点睛】此题考查了位似图形的性质．注意位似图形是相似图形的特殊情况，注意相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用．
考点6. 位似变换作图
例6．（2022·江苏常熟·初二期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（1，3），（3，2）．（1）画出△OAB绕点B顺时针旋转90°后的△O′A′B；（2）以点B为位似中心，相似比为2：1，在x轴的上方画出△O′A′B放大后的△O′A′B；（3）点M是OA的中点，在（1）和（2）的条件下，M的对应点M′的坐标为 ．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）（2，7）
【分析】（1）根据旋转的性质即可画出△OAB绕点B顺时针旋转90°后的△O′A′B；
（2）根据位似变换即可以点B为位似中心，相似比为2：1，在x轴的上方画出△O′A′B放大后的△O′A′B；（3）点M是OA的中点，在（1）和（2）的条件下，即可得M的对应点M′的坐标．
【解析】（1）如图，△O′A′B即为所求；
（2）如图，△O″A″B即为所求；
（3）如图，∵点M是OA的中点，∴经过（1）旋转后坐标变为（，）
∴经过（1）位似变换后，M的对应点M′的坐标为（2，7）．故答案为：（2，7）．
【点睛】本题考察了画旋转图形和位似图形，中点坐标公示，严格按照旋转和位似图形的性质，做出正确的图形，是解决本题的关键．
变式1．（2022·江苏·苏州八年级期末）如图，四边形的四个顶点的坐标分别是、、，．
（1）以原点O为位似中心，相似比为2，将图形反向放大，画出符合要求的位似四边形；
（2）在（1）的前提下，写出点A的对应点的坐标（______，______）；（3）在（1）的前提下，如果四边形内部一点M的坐标为，写出M的对应点的坐标（_____，______）．
【答案】（1）答案见详解；（2）A′（﹣2，﹣6）；（3）M′（﹣2x，﹣2y）．
【分析】（1）连接AO并延长，使OA'＝2OA，延长OB并延长，使OB'＝2OB，延长OC并延长，使OC'＝2OC，连接可得出所求的四边形；（2）根据图形，以及平面直角坐标系找出A'坐标即可；
（3）分别找出B'，C'，D'坐标，分别与B，C，D坐标对比归纳总结得到M'坐标即可．
【详解】解：（1）做出相应的图形，如图所示；
（2）根据题意得：A'（﹣2，﹣6）；
（3）根据图形得：B'（﹣4，﹣4），C'（﹣4，﹣2），D'（﹣6，﹣6），
归纳总结得到M'（﹣2x，﹣2y）．
【点睛】此题考查了作图﹣位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
变式2．（2022·河南·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是A(﹣1，1)，B(﹣2，0)，C(0，﹣2)．（1）以原点O为位似中心，在点O另一侧画，使它与位似，且相似比为2：1，并写出点的坐标；（2）若四边形AA'B'P是矩形，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）见解析，A'(2，﹣2)，B'(4，0)，C'(0，4)；（2）(1，3)
【分析】（1）画出一个以点O为位似中心的△A'B'C'，使得△A'B'C'与△ABC的相似比为2：1即可．
（2）根据矩形的性质，即可直接写出．
【详解】解：（1）如图所示：点A'（2，﹣2），B'（4，0），C'（0，4）；
（2）四边形AA'B'P是矩形，点P的坐标（1，3）．
【点睛】本题考查作图－位似变换，正确得出对应点位置是解题的关键．
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·成都市·九年级课时练习）下列语句中，不正确的是（ ）
A．位似的图形都是相似的图形 B．相似的图形都是位似的图形
C．位似图形的位似比等于相似比 D．位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部
【答案】B
【分析】利用位似图形的性质分别判断得出即可．
【详解】A、位似的图形都是相似的图形，正确，不合题意；
B、相似的图形不一定是位似的图形，错误，符合题意；
C、位似图形的位似比等于相似比，正确，不合题意；
D、位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部，正确，不合题意．故选：B．
【点睛】题主要考查了位似图形的性质，正确掌握位似图形的相关性质是解题关键．
2．（2022·山东莱州·八年级期末）在下列四个三角形中，以为位似中心且与位似的图形番号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】根据位似图形的概念判断即可．
【详解】解：∵②与△ABC相似，对应点的连线相交于点O，对应边互相平行，
∴②与△ABC是位似图形且O为位似中心，故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
3．（2022·河北·九年级专题练习）如图，两个三角形是以点P为位似中心的为似图形，则点P的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过图中三角形的两对对应点作直线，两条直线的交点即为位似中心．
【详解】如图，过图中三角形的两对对应点作直线，从图中看出，两条直线的交点为(-3,2)．选A．
【点睛】本题主要考查了位似变换，准确找到位似中心是解题的关键．
4．（2023·河北路南·一模）如图，已知ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，分别取点D，E，F，使OD＝AO，OE＝BO，OF＝CO，得DEF．下列说法中，错误的是（ ）
A．DEF与ABC是位似三角形 B．OAC与ODF是位似三角形
C．DEF与ABC周长的比是1：3 D．图中位似的两个三角形面积比是1：9
【答案】D
【分析】根据位似三角形的定义及性质即可判断．
【详解】A、由题意知，△DEF与△ABC是位似三角形，故正确；
B、由题意知，△OAC与△ODF是位似三角形，故正确；
C、由于△DEF与△ABC是位似三角形，因而也是相似三角形，且相似比为1:3，从而周长的比也为1:3，故正确；D、此选项没有指明是哪两个位似三角形，故错误．故选：D．
【点睛】本题考查了位似三角形的定义及性质．熟练运用定义及性质是解题的关键．
5．（2022·天津南开·初三期末）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．
【解析】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′，点C、点O、点C′三点在同一直线上，AB∥A′B′，AO：OA′=1：2，
∴故选C．
【点睛】本题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键．
6．（2022·浙江初三课时练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】D
【分析】把A、C的横纵坐标都乘以2得到D、F的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段DF的长．
【解析】∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，
使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，
而A（1，2），C（3，1），∴D（2，4），F（6，2），
∴DF＝=，故选：D．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 k．
7．（2022·重庆初三期中）如图，与是位似图形，点是位似中心，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】△ABC与△A′B′C′是位似图形，由OA=2AA′可得两个图形的位似比，利用面积的比等于位似比的平方即可求解．
【解析】解：△ABC与△A′B′C′是位似图形且由OA=2AA′可得，
∴两位似图形的位似比为2：3，所以两位似图形的面积比为4：9，
又S△ABC=4，∴S△A'B'C'=．故选：C
【点睛】本题考查位似图形，理解位似图形的面积比即是对应线段比的平方是解题关键．
8．（2022·安徽蜀山·九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（-1，-2） C．（2，1）或（-2，-1） D．（1，2）或（-1，-2）
【答案】C
【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点的坐标．
【解析】∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，∴两矩形面积的相似比为：1：2，
∵B的坐标是（4，2），∴点B′的坐标是：（2，1）或（-2，-1）．故选：C．
【点睛】本题考查了位似变换及坐标与图形的知识，解题的关键是根据两图形的面积的比确定其位似比，注意有两种情况．
9．（2022·重庆永川·初三三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A．或 B． C． D．或
【答案】D
【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，把B点的横纵坐标分别乘以或-即可得到点B′的坐标．
【解析】∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点B（-9，-3）的对应点B′的坐标是（-3，-1）或（3，1）．故选D．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
10．（2022·浙江·温州市九年级月考）如图，在直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，以点O为位似中心，在第三象限内与△OAB的位似比为的位似图形△OCD．若点C的坐标为（－1，－），则点A的坐标为（ ）
A．（，2） B．（2，3） C．（3，） D．（3，2）
【答案】D
【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把C点的横纵坐标都乘以-3即可．
【详解】解：在第三象限内与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，相当于在第一象限内与△OCD的位似比为的位似图形△OAB．则以点O为位似中心，位似比为，
而点C的坐标为（-1，-），∴C点的对应点A的坐标为（3，2）．故选：D．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·安徽定远·九年级月考）在如图所示的网格中，以点为位似中心，作四边形的位似图形，小明认为四边形的位似图形是四边形；小亮认为四边形的位似图形是四边形，你认为正确的是______．（选填“小明”或“小亮”）．
【答案】小亮
【分析】根据位似图形的概念画出图形，得到答案．
【详解】解：延长、、、分别到、、、，
则四边形是四边形的位似图形，所以小亮正确．
故答案为：小亮．
【点睛】本题考查的是位似图形的概念，掌握位似的两个图形对应点的连线都经过同一点是解题关键．
12．（2023·山东牡丹·三模）如图，以点为位似中心，把放大2倍得到'，①；②；③；④点、、三点在同一直线上.则以上四种说法正确的是______．
【答案】①②④
【分析】根据位似图形的概念判断即可．
【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，
∴，故②正确；由位似图形中，对应边平行可知：，故①正确；
∵放大2倍得到，∴，∴，故③错误；
由位似图形中对应点的连线都经过同一点，∴点C、点O、点C’三点在同一直线上，故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念，掌握两个图形必须是相似形、对应点的连线都经过同一点、对应边平行是解题的关键．
13．（2022·浙江·九年级期中）图，中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是．以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍．设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是________．
【答案】
【分析】设点的横坐标为，然后表示出、的横坐标的差，再根据位似的性质列出比例式计算即可得解．
【详解】解：设点的横坐标为，则间的横坐标的差为，间的横坐标的差为．
∵放大到原来的倍得到，∴ ＝，解得：．故答案为：
【点睛】本题考查的是位似图形的含义与位似图形的性质，掌握位似图形是特殊的相似图形是解题的关键.
14．（2023春·陕西榆林·九年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到．已知点，，则与的面积比是 ．
【答案】
【分析】根据题意求得位似比，根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：∵将放大后得到．点，，
∴与的相似比为，则与的面积比是，故答案为：．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，求得位似比是解题的关键．
15．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，．若，则图中与位似的三角形中，边对应边的长为 ．
【答案】/
【分析】根据勾股定理和直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半，求出，，找出规律得出，即可得出答案．
【详解】解：∵在中，，，∴，
根据勾股定理得：，即，
解得：，同理可得：，…，
∵与位似，与是对应边，∴边对应边的长为．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，图形规律探索，位似图形的定义，解题的关键是熟练掌握勾股定理和直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半．
16．（2022秋·上海嘉定·九年级校考阶段练习）我们定义：如果一个图形上的点和另一个图形上的点A，B，…，，P分别对应，并且满足：（1）直线都经过同一点O；（2），那么这两个图形叫做位似图形，点O叫做位似中心，k叫做位似比，如图，在平面直角坐标系中，和是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且，如果点，那么点的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据位似图形的定义，得到，求出位似比，即可得出结果．
【详解】解：∵，∴，
∵和是以坐标原点O为位似中心的位似图形，
∴，∴，∵，∴；故答案为：．
【点睛】本题考查坐标系下的位似．理解并掌握位似图形的定义，是解题的关键．
17．（2022秋·河北石家庄·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且，，在第二象限内，以原点O为位似中心将矩形AOCB各边放大为原来的倍，得到矩形，再以原点O为位似中心将矩形各边放大为原来的倍，得到矩形，以此类推…，矩形的面积为_______；矩形的面积为 ．
【答案】
【分析】根据矩形的性质求出矩形的面积，根据规律解答即可．
【详解】解：∵四边形为矩形，，∴矩形的面积为：，
∵在第二象限内，将矩形以原点O为位似中心放大为原来的倍，∴
∴矩形的面积为：，
∵，
∴矩形的面积为：，……
同理得：矩形的面积为，故答案为：．
【点睛】本题考查的是矩形的性质、位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或
18．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的4倍，则第一象限内点的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据位似图形的概念得到四边形和四边形相似，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可．
【详解】解：∵四边形的面积是四边形面积的4倍，
∴四边形和四边形的相似比为，
∵，∴第一象限内点 ，即，故答案为：．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·江苏·九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．（1）△ABC外接圆的半径是 ；
（2）已知△ABC与△DEF（点D、E、F都是格点）成位似图形，则位似中心M的坐标是 ；
（3）请在网格图中的空白处画一个格点△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC，且相似比为：1．
【答案】（1）；（2），（3）见解析
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和三角形的外接圆的概念解答；（2）根据位似变换和位似中心的概念解答；（3）根据相似三角形的对应边的比相等，都等于相似比解答
【详解】（1）如图，根据网格的特点分别作的垂直平分线，交于点，连接，根据网格的特点可知则△ABC外接圆的半径是，故答案为：；
（2）如图，连接,交于点,，即位似中心，根据网格的特点可知 故答案为：；
（3）△A1B1C1∽△ABC，且相似比为：1．
根据网格的特点作出，如图，
即为所求作的三角形．
【点睛】本题考查的是格点正方形、锐角三角函数的定义、位似变换与位似中心与相似三角形的性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，对应线段互相平行，这两个图形是位似图形是解题的关键．
20．（2022·山东芝罘·八年级期末）如图，平面直角坐标系中，的顶点分别为，和，与是以点为位似中心的位似图形，点，，都在格点上．（1）在图中确定出位似中心的位置，并写出点及点的对应点的坐标；（2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出与位似的，使它与的相似比为，并写出点的对应点的坐标；（3）内部一点的坐标为，写出在中的对应点的坐标．
【答案】（1）见解析，P（-5,-1）；（2）见解析，；（3）
【分析】(1)连接O1O并延长与A1A的延长线相交，交点即为位似中心P，再根据平面直角坐标系写出点P和B1的坐标；(2)延长OA到A2，使AA2=OA，延长OB到B2，使BB2=OB，连接A2B2，再根据平面直角坐标系写出点B2的坐标； (3)根据位似比是2写出即可．
【详解】（1）点的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为
（2）如图所示，的坐标为．
（3）的坐标为
【点睛】本题考查利用位似变换作图，熟练掌握位似变换的性质准确找出对应点的位置是解题的关键．
21．（2022·辽宁·沈阳市九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧画出放大后的图形，点A，B，C的对应点分别为点，，，并直接写出点的坐标．
（2）点是线段BC上的格点，请直接写出点D经过（1）的变化后对应点的坐标．
【答案】（１）点C1的坐标为（ 6，4）；（2）变化后D的对应点D1的坐标为：（2a，2b）．
【分析】（1）连接OB并延长，截取BB1＝OB，连接OA并延长，截取AA1＝ＯA，连接OC并延长，截取CC1＝OC，确定出△A1B1C1，并求出C1点坐标即可；
（2）根据A与A1坐标，B与B1坐标，以及C与C1坐标的关系，确定出变化后点D的对应点D1坐标即可．
【详解】解：（1）根据题意画出图形，如图所示：
则点C1的坐标为（ 6，4）；
（2）变化后D的对应点D1的坐标为：（2a，2b）．
【点睛】此题考查了作图 位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
22．（2022·广西·南宁三模）如图，的三个顶点都在平面直角坐标系的格点上，，请按要求在方格纸内作图．
（1）在图1中以为位似中心，作的位似图形，使与的位似比为；
（2）在图2的格点中标出点，使得与的面积相等，并直接写出点的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）见解析，E1(－1，7)，E2(5，5)．
【分析】（1）根据位似图形的性质得出对应点坐标进而画出图形即可；
（2）根据面积相等得到高相等，过点A作BC的平行线找格点写出坐标即可．
【详解】解：（1）∵A(2，6)，B(0，2)，C(6，0)，且与的位似比为1：2，
∴，，，如图所示，即为所求；
（2）如图，过点A作BC的平行线，
∵与的面积相等，∴的高等于的高，即等于点A到BC的距离，
由平行线之间距离处处相等可知，点E1、点E2即为所求，由图可知：E1(－1，7)，E2(5，5)．
【点睛】本题考查了作图-位似变换，平行线的性质，熟练掌握位似图形的作法及平行线间距离处处相等是解题的关键．
23．（2022·酒泉市第二中学初三期中）如图，以O为位似中心，在网格内作出四边形ABCD的位似图形，使新图形与原图形的相似比为2：1，并以O为原点，写出新图形各点的坐标．
【答案】作图详见解析；A′（2，4），B′（4，8），C′（8，10），D′（6，2）．
【分析】以O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形，使各边都扩大2倍，再根据O为原点，写出新图形各点的坐标即可．
【解析】解：如图所示，新图形为四边形A′B′C′D′，
新图形各点坐标分别为A′（2，4），B′（4，8），C′（8，10），D′（6，2）．
【点睛】本题考查作图——位似变换．
24.（2022·海南·海口市九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为A(2，1)、O(0，0)、B(1，－2)．（1）画出△AOB向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的△A1O1B1，并写出点A1的坐标；（2）以点O为位似中心，在y轴的右侧画出△AOB的一个位似△A2OB2，使它与△AOB的相似比为2∶1，并写出点A的对应点A2的坐标；（3）判断△A2OB2与△A1O1B1能否是关于某一点Q为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的坐标．
【答案】（1）画图见解析，A1(－1，2)；（2）画图见解析，A2(4，2)；（3）是，Q(－6，2)
【分析】(1)如图所示，画出平移后的,找出点的坐标即可，
(2)如图所示，画出位似图形的性质，找出△A2OB2，求出A2的坐标即可，
(3)根据题意得到△A2OB2与△A1O1B1是关于点Q为位似中心的位似图形，找出Q坐标即可，
【详解】（1）如图，A1(－1，2) （2）如图，A2(4，2)
（3）如图，△A2OB2与△A1O1B1是关于点Q为位似中心的位似图形，Q(－6，2)
【点睛】此题考查了作图-位似变换，平移变换,画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点，③根据相似比,确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点,得到放大或缩小的图形．
25．（2022秋·福建莆田·九年级校考期中）若绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，则我们称与互为“旋转位似图形”．
(1)知识理解：如图①，与互为“旋转位似图形”．①若，，，则 ；②若，，，则 ；
(2)知识运用：如图②，在四边形中，，于点，，求证：与互为“旋转位似图形”；(3)拓展提高：如图③，为等边三角形，点为的中点，点是边上的一点，点为延长线上的一点，点在线段上，，且与互为“旋转位似图形”．若，，求．
【答案】(1)①27°；②(2)见解析(3)
【分析】（1）①依据和互为“旋转位似图形”，可得，依据相似三角形的对应角相等，即可得到；
②依据，可得，根据，，，即可得出；
（2）依据，即可得到，进而得到，再根据，，即可得到，进而得出和互为“旋转位似图形”；
（3）利用直角三角形的性质和勾股定理解答即可．
【详解】（1）①和互为“旋转位似图形”，，，
又，，；
②，，，，，
，，故答案为：；；
（2），，，，即，
又，，，
又，，，，，
绕点逆时针旋转的度数后与构成位似图形，
和互为“旋转位似图形”；
（3）点为的中点，，由题意得：，
，，，，
由勾股定理可得，
，．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理的综合运用．在解答时添加辅助线等腰直角三角形，利用相似形的对应边成比例是关键．
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专题4.7 图形的位似
模块1：学习目标
1、了解位似多边形的有关概念及位似与相似的联系与区别；
2、掌握位似图形的性质，会画位似图形；
3、会利用位似将一个图形放大或缩小；
4、理解位似图形的坐标变换规律；
5、熟练在坐标系中根据坐标的变换规律作出位似图形。
模块2：知识梳理
1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.
注意：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.
2.位似图形的性质:
（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．
4.作位似图形的步骤
第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
第二步：作位似中心与各关键点连线；
第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
第四步：顺次连接各对应点.
注意：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.
5.坐标系中的位似图形
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.
注意：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k或-k.
模块3：核心考点与典例
考点1. 位似图形的识别
例1.（2022·湖南宁乡·九年级期末）视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“E”均是相似图形，其中不是位似图形的是（ ）
A．①和④ B．②和③ C．①和② D．②和④
变式1．（2022·江苏苏州·九年级月考）下列各选项中的两个图形不是位似图形的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·福建三明·九年级期中）下列各组图形中的两个三角形均满足，这两个三角形不是位似图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点2. 图形的位似变换（求位似中心问题）
例2．（2022·河北保定·三模）如图，正方形和正方形是位似图形，且点D与点G是一对对应点，点，点，则它们位似中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·浙江·二模）如图，在的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段CD是由线段AB位似放大得到，则它们的位似中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
变式2．（2022·河北·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，对应点B、F的坐标分别为（﹣4，4）、（2，1），则位似中心的坐标为（ ）
A．（0，1） B．（0，2） C．（0，3） D．（0，4）
考点3. 图形的位似变换（求点的坐标问题）
例3.（2022·四川德阳·二模）如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是_____．
变式1.（2022 阳东区模拟）如图，在△AOB中，A，B两点在x轴的上方，以点O为位似中心，在x轴的下方按1：2的相似比作△AOB的位似图形△A'OB'．设点B的对应点B'的坐标是（4，﹣2），则点B的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
变式2.（2022 滦州市期末）如图，△ABO缩小后变为△A'B'O，其中A、B的对应点分别为A'、B'，点A、B、A'、B'均在格点上，若线段AB上有点P（m，n），则点P在A'B'上的对应点P'的坐标为（ ）
A．（，n） B．（m，n） C．（m，） D．（，）
考点4. 图形的位似变换（长度问题）
例4．（2022·重庆市九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，ABC与DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若A（﹣2，0），D（3，0），且BC＝4，则线段EF的长度为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
变式1．（2022·重庆·中考三模）如图，正五边形ABCDE与是位似图形，O是位似中心，若正五边形与正五边形ABCDE的面积之比为4：1，且正五边形ABCDE的周长为9，则正五边形的周长是为（ ）
A．18 B．27 C．36 D．9
变式2．（2022·重庆一中九年级月考）如图，与位似，点是它们的位似中心，其中，若点的坐标为，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
考点5. 图形的位似变换（求面积问题）
例5．（2022·重庆市九年级月考）如图，四边形ABCD和是以点O为位似中心的位似图形，若：OA＝3：5，四边形的面积为9cm2，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．15cm2 B．25cm2 C．18cm2 D．27cm2
变式1．（2022·重庆·一模）如图，与位似，点O为位似中心，已知的面积为2，则的面积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
变式2．（2022·河北海港·九年级期中）如图，与是位似图形，点是它们的位似中心，已知，的面积为3，那么的面积是______．
考点6. 位似变换作图
例6．（2022·江苏常熟·初二期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（1，3），（3，2）．（1）画出△OAB绕点B顺时针旋转90°后的△O′A′B；（2）以点B为位似中心，相似比为2：1，在x轴的上方画出△O′A′B放大后的△O′A′B；（3）点M是OA的中点，在（1）和（2）的条件下，M的对应点M′的坐标为 ．
变式1．（2022·江苏·苏州八年级期末）如图，四边形的四个顶点的坐标分别是、、，．
（1）以原点O为位似中心，相似比为2，将图形反向放大，画出符合要求的位似四边形；
（2）在（1）的前提下，写出点A的对应点的坐标（______，______）；（3）在（1）的前提下，如果四边形内部一点M的坐标为，写出M的对应点的坐标（_____，______）．
变式2．（2022·河南·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是A(﹣1，1)，B(﹣2，0)，C(0，﹣2)．（1）以原点O为位似中心，在点O另一侧画，使它与位似，且相似比为2：1，并写出点的坐标；（2）若四边形AA'B'P是矩形，请直接写出点P的坐标．
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·成都市·九年级课时练习）下列语句中，不正确的是（ ）
A．位似的图形都是相似的图形 B．相似的图形都是位似的图形
C．位似图形的位似比等于相似比 D．位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部
2．（2022·山东莱州·八年级期末）在下列四个三角形中，以为位似中心且与位似的图形番号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
3．（2022·河北·九年级专题练习）如图，两个三角形是以点P为位似中心的为似图形，则点P的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
4．（2023·河北路南·一模）如图，已知ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，分别取点D，E，F，使OD＝AO，OE＝BO，OF＝CO，得DEF．下列说法中，错误的是（ ）
A．DEF与ABC是位似三角形 B．OAC与ODF是位似三角形
C．DEF与ABC周长的比是1：3 D．图中位似的两个三角形面积比是1：9
5．（2022·天津南开·初三期末）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·浙江初三课时练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（ ）
A． B．2 C．4 D．
7．（2022·重庆初三期中）如图，与是位似图形，点是位似中心，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·安徽蜀山·九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（-1，-2） C．（2，1）或（-2，-1） D．（1，2）或（-1，-2）
9．（2022·重庆永川·初三三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A．或 B． C． D．或
10．（2022·浙江·温州市九年级月考）如图，在直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，以点O为位似中心，在第三象限内与△OAB的位似比为的位似图形△OCD．若点C的坐标为（－1，－），则点A的坐标为（ ）
A．（，2） B．（2，3） C．（3，） D．（3，2）
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·安徽定远·九年级月考）在如图所示的网格中，以点为位似中心，作四边形的位似图形，小明认为四边形的位似图形是四边形；小亮认为四边形的位似图形是四边形，你认为正确的是______．（选填“小明”或“小亮”）．
12．（2023·山东牡丹·三模）如图，以点为位似中心，把放大2倍得到'，①；②；③；④点、、三点在同一直线上.则以上四种说法正确的是______．
13．（2022·浙江·九年级期中）图，中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是．以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍．设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是________．
14．（2023春·陕西榆林·九年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到．已知点，，则与的面积比是 ．
15．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，．若，则图中与位似的三角形中，边对应边的长为 ．
16．（2022秋·上海嘉定·九年级校考阶段练习）我们定义：如果一个图形上的点和另一个图形上的点A，B，…，，P分别对应，并且满足：（1）直线都经过同一点O；（2），那么这两个图形叫做位似图形，点O叫做位似中心，k叫做位似比，如图，在平面直角坐标系中，和是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且，如果点，那么点的坐标为 ．
17．（2022秋·河北石家庄·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且，，在第二象限内，以原点O为位似中心将矩形AOCB各边放大为原来的倍，得到矩形，再以原点O为位似中心将矩形各边放大为原来的倍，得到矩形，以此类推…，矩形的面积为_______；矩形的面积为 ．
18．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的4倍，则第一象限内点的坐标为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·江苏·九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．（1）△ABC外接圆的半径是 ；
（2）已知△ABC与△DEF（点D、E、F都是格点）成位似图形，则位似中心M的坐标是 ；
（3）请在网格图中的空白处画一个格点△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC，且相似比为：1．
20．（2022·山东芝罘·八年级期末）如图，平面直角坐标系中，的顶点分别为，和，与是以点为位似中心的位似图形，点，，都在格点上．（1）在图中确定出位似中心的位置，并写出点及点的对应点的坐标；（2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出与位似的，使它与的相似比为，并写出点的对应点的坐标；（3）内部一点的坐标为，写出在中的对应点的坐标．
21．（2022·辽宁·沈阳市九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．（1）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧画出放大后的图形，点A，B，C的对应点分别为点，，，并直接写出点的坐标．
（2）点是线段BC上的格点，请直接写出点D经过（1）的变化后对应点的坐标．
22．（2022·广西·南宁三模）如图，的三个顶点都在平面直角坐标系的格点上，，请按要求在方格纸内作图．
（1）在图1中以为位似中心，作的位似图形，使与的位似比为；
（2）在图2的格点中标出点，使得与的面积相等，并直接写出点的坐标．
23．（2022·酒泉市第二中学初三期中）如图，以O为位似中心，在网格内作出四边形ABCD的位似图形，使新图形与原图形的相似比为2：1，并以O为原点，写出新图形各点的坐标．
24.（2022·海南·海口市九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为A(2，1)、O(0，0)、B(1，－2)．（1）画出△AOB向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的△A1O1B1，并写出点A1的坐标；（2）以点O为位似中心，在y轴的右侧画出△AOB的一个位似△A2OB2，使它与△AOB的相似比为2∶1，并写出点A的对应点A2的坐标；（3）判断△A2OB2与△A1O1B1能否是关于某一点Q为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的坐标．
25．（2022秋·福建莆田·九年级校考期中）若绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，则我们称与互为“旋转位似图形”．
(1)知识理解：如图①，与互为“旋转位似图形”．①若，，，则 ；②若，，，则 ；
(2)知识运用：如图②，在四边形中，，于点，，求证：与互为“旋转位似图形”；(3)拓展提高：如图③，为等边三角形，点为的中点，点是边上的一点，点为延长线上的一点，点在线段上，，且与互为“旋转位似图形”．若，，求．
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