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专题4.1 探索确定位置的方法
模块1：学习目标
1、探索确定平面上物体位置的方法；
2、体验用有序实数对表示平面上点的位置的坐标思想，体验用方向和距离表示平面内点的位置的坐标思想；
3、初步会用有序实数对和方向、距离表示平面.上点的位置。
模块2：知识梳理
1、确定一个物体的位置的方法：
1）有序实数对确定点的位置--行列定位法；
2）方位角+距离确定点的位置--极坐标定位法；
3）用“经纬度”确定点的位置--经纬定位法；
4）区域定位法。
2、有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作．
注意：有序数对是有顺序的，可以准确地表示出平面内一个点的位置，和表示的意义是不同的．
模块3：核心考点与典例
考点1. 确定位置的方法
例1．（2023春·云南昆明·八年级校考阶段练习）根据下列表述，不能确定具体位置的是（ ）
A．某电影院1号厅3排4座 B．人民东路号
C．东经，北纬 D．某灯塔南偏西
【答案】D
【分析】根据有序数对表示位置即可得．
【详解】解：A、某电影院1号厅3排4座，能确定具体位置，选项说法错误，不符合题意；
B、人民东路号，能确定具体位置，选项说法错误，不符合题意；
C、东经，北纬，能确定具体位置，选项说法错误，不符合题意；
D、某灯塔南偏西，不能确定具体位置，选项说法正确，符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了有序数对表示位置，解题的关键是理解有序数对表示位置．
变式1．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期中）下列表述能确定位置的是（ ）
A．东经，北纬 B．万达影城3排 C．北京市五环路 D．南偏西
【答案】A
【分析】根据确定位置需要两个数据，对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】解：A、东经，北纬，能确定具体位置，故本选项符合题意
B、万达影城影城3排，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；
C、北京市五环路，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；
D、南偏西，不能确定具体位置，故本选项不符合题意．故选：A．
【点睛】本题考查了有序数对确定位置，理解确定有序数对的两个数的意义是解题的关键．
变式2．（2023春·河北保定·八年级校联考期中）下列四种描述中，能确定具体位置的是（ ）
A．东经，北纬 B．某电影院5号厅2排 C．北京长安大街 D．一架飞机距离地面10千米
【答案】A
【分析】根据在平面内，确定一个点的位置需要两个有序数对逐项判定即可．
【详解】解：A、东经，北纬，可以确定位置，符合题意；
B、某电影院5号厅2排，无法确定位置，故不符合题意；
C、北京长安大街，无法确定位置，故不符合题意；
D、一架飞机距离地面10千米，无法确定位置，故不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查坐标位置的确定，明确题意，确定一个点的位置需要两个条件是解答此题的关键．
考点2. 雷达图表示位置（方位角+距离）
例2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图是雷达在一次探测中发现的三个目标，目标的位置表示为目标的位置表示为，按照此方法可以将目标的位置表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据目标、目标位置的坐标可以得出第一个数字表示点到中心的距离，第二个数字表示角度，即可表示出目标的位置．
的位置
【详解】目标的位置表示为，目标的位置表示为，
坐标的第一个数字表示点到中心的距离，第二个数字表示角度，
目标的位置表示为，故选B．
【点睛】本题考查了用坐标来表示位置，理解题目中表示位置的两个数的实际意义是解决本题的关键，注意表示时数字的顺序．
变式1．（2023·江苏连云港·统考中考真题）画一条水平数轴，以原点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点的坐标分别表示为，则点的坐标可以表示为 ．
【答案】
【分析】根据题意，可得在第三个圆上，与正半轴的角度，进而即可求解．
【详解】解：根据图形可得在第三个圆上，与正半轴的角度，
∴点的坐标可以表示为 故答案为：．
【点睛】本题考查了有序实数对表示位置，数形结合，理解题意是解题的关键．
变式2．（2023·山东聊城·八年级统考期末）如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标A的位置为(2，90°)，B为(5，30°)，C为(5，240°)，则目标D的位置表示为 ．
【答案】(3，300°)
【分析】根据题意可知点的第1个数字为点所在圈数，第2个数据为点所在射线对应的角度，从而得出答案．
【详解】解：由题意知，目标D的在第3圈，所在射线对应的角度为 ，
所以目标D的位置表示为（3，300°），故答案为：（3，300°）．
【点睛】本题主要考查了点的位置的 确定，解题的关键是理解题意，点的第1个数字为点所在圈数，第2个数据为点所在射线对应的角度，注意运用类比思想解决问题．
考点3. 区域定位法
例3．（2022秋·广西八年级期中）如图是某市地图简图的一部分，若图中“故宫”所在区域用表示，那么“古樱”所在的区域是( )
古樱 大北门
故宫
大南门 东华门
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据表格结合图形，字母表示列，数字表示行，据此即可求解．
【详解】解：∵“故宫”所在区域用表示，∴“古樱”所在的区域是，故选：C．
【点睛】本题考查了用有序数对表示位置，数形结合解题的关键．
变式1．（2023·湖北宜昌·校考一模）如图是济南市地图简图的一部分，图中“济南西站”、“雪野湖”所在区域分别是（ ）
D E F
4 遥墙国际机场
5 济南西站 野生动物世界
6 济南国际园博园 七星台风景区 雪野湖
A．E4，E6 B．D5，F5 C．D6，F6 D．D5，F6
【答案】D
【分析】观察已知表格，由行列定位法确定位置即可知道答案．
【详解】解：由行列定位法知，图中“济南西站”、“雪野湖”所在区域分别是：D5，F6故选：D
【点睛】本题考查行列定位法确定位置，熟记相关的知识点是解题的关键．
变式2．（2023·广东八年级课时练习）下表是计算机中的Excel电子表格，计算B2，C2，D2，E2和F2的和，其结果是( )
A B C D E F
1 4 6 2 5 9 3
2 2 3 4 5 6 7
3 3 3 5 8 2 6
4 4 2 7 5 10 9
A．28 B．25 C．15 D．10
【答案】B
【详解】由题意得B2=3，C2=4，D2=5，E2=6，F2=7，
则B2+C2+D2+E2+F2=3+4+5+6+7=25. 故选B.
点睛：本题关键是知道A、B、C、D、E代表列，1、2、3、4代表行，B2即第二列第二行的数.
考点4. 行列法确定位置
例4．（2023秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）在校运会开幕式彩旗方队中，小兰的位置不管是列还是行都在正中间，用数对表示为．则彩旗方队一共有（ ）人．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】表示第三列，第三行，由题意可知彩旗方队一共有列、行，据此即可求得彩旗方队一共有人．
【详解】解：∵表示第三列，第三行，且小兰的位置不管是列还是行都在正中间，
∴彩旗方队一共有列、行，∴彩旗方队一共有：（人）．故选：B．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，明确题意得出彩旗方队一共有列、行是解题的关键．
变式1．（2023秋·江苏连云港·八年级统考期中）如果棋盘上的“第5列第2行”记作，“第7列第5行”记作，那么表示（ ）
A．第3列第5行 B．第5列第3行 C．第4列第3行 D．第3列第4行
【答案】C
【分析】根据定义，列为第一个数，行为第2个数即可求解．
【详解】解：由题意得：第4列第3行，故选C．
【点睛】本题考查了有序实数对，熟练掌握用有序实数对表示位置是解题的关键．
变式2．（2023·河北沧州·八年级校考阶段练习）剧院里2排5号可以用表示，则表示（ ）
A．4排7号 B．2排5号 C．7排4号 D．5排2号
【答案】A
【分析】根据第一个数表示排，第二个数表示号即可解答.
【详解】解：剧院里2排5号可以用表示，则表示4排7号；故选：A.
【点睛】本题考查了用有序数对表示位置，正确理解有序数对的实际意义是关键.
考点5. 有序数对
例5．（2023春·四川自贡·八年级校考期中）如图，将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序数对表示第n排，从左到右第m个数，如表示9，则表示60的有序数对是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由图可知每排的数字个数就是排数，且奇数排从左到右，数字由小到大，而偶数排从右到左，数字由小到大，从而可计算出前十排共有55个数，并得出第十排第一个数为55，则第十一排第一个数字为56，最后得出第五个数字为60，即表示60的有序数对是．
【详解】观察图可知：每排的数字个数就是排数，且奇数排从左到右，数字由小到大，而偶数排从右到左，数字由小到大， ∴前十排共有个数．
∵第十排是从右到左，数字由小到大，∴第十排第一个数为55，
∴第十一排第一个数字为56，第二个为57，第三个为58，第四个为59，第五个为60，
∴表示60的有序实数对为．故选C．
【点睛】本题考查点坐标的规律探索．根据图形正确的总结出规律，并用规律解答问题是解题关键．
变式1．（2023春·河南南阳·八年级统考期中）如图是小飒关于诗歌《望洞庭》的书法展示，若“湖”的位置用有序实数对表示，那么“青”的位置可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据“湖”的位置用有序数对表示可得有序数对的第一个数是从横向看“湖”对应的数字，第二个数是从纵向看“湖”对应的数字，由此即可得．
【详解】解：因为“湖”的位置用有序数对表示，所以“青”的位置可以表示为，故选：C．
【点睛】本题考查了有序数对，理解“湖”的位置用有序数对表示的方法是解题关键．
变式2．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）如图是一个教室平面示意图，我们把小刚的座位“第1列第3排”记为.若小丽的座位为，以下四个座位中，与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用有序数对表示出与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位位置，即可得出答案．
【详解】如图所示：与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是或．故选：C．
【点睛】此题主要考查了用有序数对表示位置，正确掌握用有序数对表示位置是解题关键．
变式3．（2023春·陕西安康·八年级统考期末）观察如图所示的象棋棋盘，表示“帅”的位置，马走“日”字，那么“马8进7”（即第8列的马前进到第7列）后的位置可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据表示“帅”的位置，结合马走“日”字，“马8进7”（即第8列的马前进到第7列）后的位置是，选择即可．
【详解】∵表示“帅”的位置，马走“日”字，
∴“马8进7”（即第8列的马前进到第7列）后的位置是，故选C．
【点睛】本题考查了有序实数对表示点的位置，正确理解实数对的意义是解题的关键．
考点6. 用有序实数对表示路线
例6．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，奥运福娃在5×5的方格（每小格边长为1m）上沿着网格线运动．贝贝从A处出发去寻找B、C、D处的其它福娃，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（＋1，＋4），从B到A记为：B→A（－1，－4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中
（1）B→D（ ， ）,C→ （-3，-4）；（2）若贝贝从A处去寻找妮妮的行走路线依次为（＋2，＋2），（＋2，－1），（－2，＋3），（－1，－2），请在图中标出妮妮的位置E点．（3）在（3）中贝贝若每走1m需消耗1.5焦耳的能量,则贝贝寻找妮妮过程中共需消耗多少焦耳的能量
【答案】（1）+3，-2，A，（2）作图见解析；（3）22.5焦耳
【分析】（1）首先认真分析题意，理解题目所给的规则，再根据规则得出答案；
（2）根据规则依次移动贝贝，故可得妮妮的位置；
（3）计算贝贝走过的路程，再根据贝贝若每走1m需消耗1．5焦耳的能量，即可得出答案．
【详解】（1）B→D（+3，-2），C→A（-3，-4）；
（2）如图，
；
（3）|+2|+|+2|+|+2|+|-1|+|-2|+|+3|+|-1|+|-2|=2+2+2+1+2+3+1+2=15
15×1.5=22.5（焦耳），
答：则贝贝寻找妮妮过程中共需消耗22.5焦耳的能量．
【点睛】本题考查了正负数在生活中的应用，解决本题的关键是弄清楚条件给出的规定．
变式1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在5×5的方格（每小格边长为1）内有4只甲虫A、B、C、D，它们爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：A→B（＋1，＋4），从B到A的爬行路线为：B→A（－1，－4），其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息，那么图中
（1） A→C（ ， ），B→D（ ， ），C→ （＋1， ）；
（2） 若甲虫A的爬行路线为A→B→C→D，请计算甲虫A爬行的路程；
（3） 若甲虫A的爬行路线依次为（＋2，＋2），（＋1，－1），（－2，＋3），（－1，－2），最终到达甲虫P处，请在图中标出甲虫A的爬行路线示意图及最终甲虫P的位置．
【答案】（1）A→C（+3 ，+4 ），B→D（+3 ，-2 ），C→ D （＋1，-2 ）；（2） 10；（3）见解析．
【详解】（1）由第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向结合图形写出即可；
（2）由行走路线列出算式计算即可得解；
（3）由方格和标记方法作出线路图即可得解．
试题解析：解：（1）A→C（+3，+4）；B→D（+3，﹣2）；C→D（+1，﹣2）；
（2）据已知条件可知：A→B表示为：（1，4），B→C记为（2，0）C→D记为（1，﹣2）；则该甲虫走过的路线长为1+4+2+0+1+2=10．
答：甲虫A爬行的路程为10；
（3）甲虫A爬行示意图与点P的位置如图所示：
考点：1．有理数的加减混合运算；2．正数和负数；3．坐标确定位置．
变式2．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，小军家的位置点A在经5路和纬4路的十字路口，用有序数对表示；点B是学校的位置，点C是小芸家的位置，如果用表示小军家到学校的一条路径．
(1)请你用有序数对表示出学校和小芸家的位置；
(2)请你写出小军家到学校的其他几条路径．(写3条)
【答案】(1)学校和小芸家的位置分别可表示为， (2)答案不唯一，
如：①；
②；
③
【分析】（1）直接根据图象确定位置即可；（2）根据点的位置写出路径即可．
【详解】（1）解：根据图得：学校和小芸家的位置分别可表示为，；
（2）答案不唯一，符合题意即可：
如：①；
②；
③．
【点睛】题目考查用有序数对表示位置，理解题意是解题关键．
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023春·广东九年级课前预习）法国数学家笛卡尔发明了平面直角坐标系，使平面内的点与有序实数对建立了一一对应关系，将几何问题通过代数方法来研究．这种解决问题的方法是（ ）
A．数形结合 B．类比 C．一般到特殊 D．分类讨论
【答案】A
【分析】根据题意，平面内的点与有序实数对建立了一一对应关系，将几何问题通过代数方法来研究，即可求解．
【详解】解：法国数学家笛卡尔发明了平面直角坐标系，使平面内的点与有序实数对建立了一一对应关系，将几何问题通过代数方法来研究．这种解决问题的方法是数形结合，故选：A．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系，数学思想，理解题意是解题的关键．
2．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）以下能够准确表示我们学校地理位置的是（ ）
A．离曲江大城米 B．在西安市 C．在钟楼以南 D．东经，北纬
【答案】D
【分析】根据有序数对的定义，确定一个位置需要两个数据，即可获得答案．
【详解】解：A. 离曲江大城米，不能准确表示我们学校地理位置，故不符合题意；
B. 在西安市，不能准确表示我们学校地理位置，故不符合题意；
C. 在钟楼以南，不能准确表示我们学校地理位置，故不符合题意；
D. 东经，北纬，能准确表示我们学校地理位置，故符合题意．．故选：D．
【点睛】本题主要考查了有序数对确定位置，理解有序数对的定义是解题的关键．
3．（2023秋·浙江八年级课前预习）在数轴上，用有序数对表示点的平移，若得到的数为1，得到的数为3，则得到的数为（ ）．
A．8 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】由用有序数对表示点的平移，得到的数为1，得到的数为3，可得平移的方向：后一个数为正数表示向左平移，为负数表示向右平移，而平移的距离是后一个数的绝对值，从而可得答案.
【详解】解： 用有序数对表示点的平移，得到的数为1，得到的数为3，
数轴上的数向左边平移个单位得到的数为
数轴上的数向右边平移个单位得到的数为
可表示数轴上的数向左边平移个单位得到的数是 故选：
【点睛】本题考查的是有序实数对表示平移，正确的理解平移的方向与平移的距离是解题的关键.
4．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图所示，小亮从学校到家所走最短路线是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据点的坐标写出即可．
【详解】由图可知小亮从学校到家所走最短路线是，故选：B．
【点睛】本题考查学生利用类比点的坐标来解决实际问题的能力和阅读理解能力，实际操作一下能直观地得到结论．
5．（2023春·湖南株洲·八年级统考期末）小军参加团体操表演，他的位置用数对表示是，如果这时的方队是一个正方形，参加团体操表演的至少有（ ）人．
A．80 B．64 C．24 D．11
【答案】B
【分析】根据用有序数对表示位置可进行求解．
【详解】解：由题意得：参加团体操表演的至少有（人），故选B．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系，熟练掌握利用有序数对表示位置是解题的关键．
6．（2023春·湖北咸宁·八年级统考期中）在教室如果我的座位号是，那么我的同桌的座位号不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分表示第2列第3排和表示第2排第3列两种情况分析即可．
【详解】解：若表示第2列第3排，则和我是同桌；
若表示第2排第3列，则和和我是同桌；
∴不可能和我是同桌．故选C．
【点睛】本题考查了用有序数对确定位置，一对有顺序的数叫做有序数对，理解有序数对是两个有顺序的数是解题的关键．
7．（2022秋·安徽六安·八年级校考期中）如图，在围棋棋盘局部上有3枚棋子，如果黑棋①的位置用有序数对表示，黑棋②的位置用有序数对表示，则白棋③的位置可用有序数对表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据黑棋①的有序数对确定出坐标原点，然后建立平面直角坐标系，再写出白棋③的有序数对即可．
【详解】解：建立平面直角坐标系如图，白棋③的坐标为，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，根据已知点的坐标确定出坐标原点的位置是解题的关键．
8．（2023春·云南曲靖·八年级校考期中）如图，将整数按规律排列，若有序数对表示第a排从左往右第b个数，则表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据有序数对表示第m行从左到右第n个数对，如图中给出的有序数对表示整数5可得规律，进而可求出表示的数．
【详解】解：根据有序数对表示第m行从左到右第n个数，
对如图中给出的有序数对表示整数5可知：
：；：；：；
由此可以发现，对所有数对有：．
表示的数是偶数时结果为负数，奇数时结果为正数，
所以表示的数是：．故选：B．
【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律，总结规律．
9．（2023春·北京海淀·八年级校联考期中）在实际生活中，我们经常采用“角度+距离”的方法来确定物体的相对位置．如图，以O点为基准点，射线的方向为起始边，规定逆时针方向旋转为正角度（），顺时针方向旋转为负角度（），特别地，的反向延长线所在的方向记为．由于方向为方向绕O点逆时针旋转，点B与点O的距离为，因此点B可以用有序数对记为，类似地，点C可以记为．以下点的位置标记正确的是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
【答案】D
【分析】根据题干中的例子，分别判断每个选项即可．
【详解】解：由题意可得：A、点D中数对位置颠倒，故不符合题意；
B、点E表示从开始逆时针，与O相距，与图中位置不符，故不合题意；
C、点F表示从开始顺时针，与O相距，与图中位置不符，故不合题意；
D、点G表示从开始逆时针，与O相距，与图中位置相符，故符合题意；故选D．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解“角度+距离”的方法是解题的关键．
10．（2023春·安徽芜湖·八年级统考期中）定义：平面内的直线与相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线，的距离分别为a，b，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”，根据上述定义，距离坐标为的点的个数是（ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
【答案】C
【分析】根据两条相交直线把平面分成四部分，在每一个部分内都存在一个满足要求的距离坐标解答．
【详解】解：如图，直线与把平面分成四个部分，
在每一部分内都有一个“距离坐标”为的点，所以，共有4个．故选：C．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，点的坐标的类比利用，读懂题目信息并且理解两条相交直线把平面分成四部分是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023秋·山东菏泽·八年级校考期中）五（1）班同学进行队列训练，每列人数相等，张静站在最后一列的最后一个，她的位置用数对表示是，五（1）班有 名同学参加了队列训练．
【答案】48
【分析】根据张静位置数对表示是，可得本班有8列，每列有6人，计算即可．
【详解】∵张静站在最后一列的最后一个，她的位置用数对表示是，每列人数相等，
∴五（1）班有8列，每列有6人，∴五（1）班有名同学参加了队列训练，故答案为：48．
【点睛】本题考查了用有序数对表示位置，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
12．（2023春·河北石家庄·八年级校考期中）春节期间，嘉嘉和淇淇去电影院观看电影《流浪地球2》，如果嘉嘉的座位15排8号可以用表示，则淇淇的表示 ．
【答案】27排15号
【分析】理解用有序实数对表示方位，第一个数表示第几排，第二个数表示在该排的第几号，根据题意求解；
【详解】解：第一个数表示第几排，第二个数表示在该排的第几号，可知表示第27排15号；
故答案为：27排15号
【点睛】本题考查有序实数对表示方位；结合实际场景理解表示方法是解题的关键．
13．（2023·黑龙江绥化·八年级统考期末）星星家位于某住宅楼F座20层，记为：，按这种方法，丽丽家住C座10层，可记为 ．
【答案】
【分析】先明确对应关系，再根据对应关系即可解答．
【详解】解：星星家位于某住宅楼F座20层，记为：，按这种方法，丽丽家住C座10层，可记为．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了用有序数对确定位置，正确表示出丽丽家的位置是解题关键．
14．（2023秋·陕西西安·八年级校考开学考试）如图，三角形的顶点B用数对表示，顶点A用数对表示，如果作三角形关于直线l对称的三角形，那么点B的对称点用数对 表示．
【答案】
【分析】根据题意，画出对称图形，再根据题意，确定数对的含义，即可求解．
【详解】解：如图，图中和关于直线对称，
顶点B用数对表示，顶点A用数对表示，可得数对的表示方法为（列数，行数），即数对的第一个数表示列，第二个数表示行，
点在第9列，第1行的位置，则表示数对为 故答案为：
【点睛】本题考查了轴对称图形的性质以及用数对来表示位置，解题的关键是掌握轴对称的性质，理解数对表示的意义．
15．（2023·辽宁沈阳·八年级统考期末）在仪仗队列中，共有八列，每列8人，若战士甲站在第二列从前面数第3个，可以表示为，则战士乙站在第七列倒数第3个，应表示为 ．
【答案】
【分析】根据战士甲站在第二列从前面数第3个，可以表示为，即可得到答案．
【详解】解：∵共有八列，每列8人，则战士乙站在第七列倒数第3个，则从前面数是第6个，若战士甲站在第二列从前面数第3个，可以表示为，则战士乙站在第七列倒数第3个，应表示为．
故答案为：
【点睛】此题考查了用有序数对表示位置，解题的关键是根据题意写出有序数对．
16．（2023春·吉林松原·八年级统考期中）如图，有一个英文单词，它的各个字母的位置依次是，所对应的字母，如对应的字母是，则这个英文单词的中文意思为 ．
【答案】数学
【分析】根据题目所给坐标，得出相应位置的字母，即可得出代表的英文单词，进而得到答案．
【详解】解：∵对应的字母是，
∴分别对应的字母为M、A，T，H，
∴这个英文单词为，∴这个单词的中文意思为“数学”，故答案为：数学．
【点睛】本题考查了用有序数对表示位置，能准确根据所给的有序数对得出点的位置是解本题的关键．
17．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，点A在射线OX上，OA等于2cm，如果OA绕点O按逆时针方向旋转30°到OA′，那么点A′的位置可以用（2，30°）表示．若OB＝3cm，且OA′⊥OB，则点B的位置可表示为 ．
【答案】（3，120°）
【分析】根据题意得出坐标中第一个数为线段长度，第二个数是逆时针旋转的角度，进而得出B点位置即可．
【详解】解：∵OA等于2cm，如果OA绕点O按逆时针方向旋转30°到OA′，那么点A′的位置可以用（2，30°）表示，∵OA′⊥OB，∴∠BOA=90°+30°=120°，
∵OB=3cm，∴点B的位置可表示为：（3，120°）．故答案为：（3，120°）．
【点睛】此题主要考查了用有序数对表示位置，解决本题的关键是理解所给例子的含义．
18．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始、按顺时针方向、取与三角形外箭头方向一致的一侧序号），如点A的坐标可表示为，点B的坐标可表示为，按此方法，若点C的坐标为，则m＝ ．
【答案】3
【分析】根据题目中定义的新坐标系中点坐标的表示方法，求出点C坐标，即可得到结果．
【详解】解：根据题意，点C的坐标应该是，∴．故答案是：3．
【点睛】本题考查新定义，解题的关键是理解题目中新定义的坐标系中点坐标的表示方法．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·浙江·八年级专题练习）根据指令(s，A)(说明：s≥0，单位：厘米；0°≤A＜180°)，机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度A，再朝其面对的方向沿直线行走距离s，若机器人站在点M处，面对的方向如图所示．
（1）给机器人下了一个指令(2，60°)，机器人移动到了B点，请你画出机器人从M点到B点的运动路径；（2）若机器人从M点运动到了C点，则给机器人下了一个什么指令？
【答案】（1）见解析（2）指令(3，20°)
【分析】（1）首先弄懂(2，60°)表示的意思：先原地逆时针旋转60°，再朝其面对的方向沿直线行走2厘米，据此画图；（2）根据图形看出s和A的值．
【详解】（1）如图：
（2）给机器人的指令是（3，20°）．
【点睛】本题考查了用角度和距离表示物体的位置，关键是理解题意，弄懂(2，60°)表示的意思，先原地逆时针旋转60°，再朝其面对的方向沿直线行走2厘米．
20．（2023春·河北石家庄·八年级校考期中）嘉嘉从A处出发向北偏东走了30m，到达B处；淇淇从A处出发向南偏东走了40m，到达C处．
(1)用1cm表示10m，画图表示A，B，C的位置；
(2)A处在C处的______偏______度的方向上，距离C处______米；
(3)叙述A处相对于B处的位置．
【答案】(1)见解析(2)北偏西，60，40 (3)A处在B处的南偏西30度，距离B处30米处
【分析】（1）确定比例尺为，图上1cm表示实际距离10m，明确方位角，画图；
（2）根据图形判断位置，A处在C处的北偏西度的方向上，距离C处40米；
（3）根据图形判断位置，A处在B处的南偏西30度，距离B处30米处；
【详解】（1）解：如图．
（2）解：A处在C处的北偏西度的方向上，距离C处40米；
（3）解：A处在B处的南偏西30度，距离B处30米处；
【点睛】本题考查比例尺，用方位角表示位置；理解方位角的表示方法是解题的关键．
21．（2023春·安徽滁州·八年级校考阶段练习）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
请根据上述规律解答下面的问题：(1)第6行有_____个数；第n行有_____个数（用含n的式子表示）；
(2)若有序数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示6．
①求表示的数；②求表示2023的有序数对．
【答案】(1)11；；(2)①；②
【分析】（1）观察前5行发现：后一行数字的个数比前一行多2个，以此规律解答即可；（2）①先求第11行最后一个数，然后判断为第11行倒数第二个数即可解答；②先根据判断2023为第45行的数字，然后根据2023比第45行最后一个数字2025小2，即可判断．
【详解】（1）解：第1行有1个数，第2行有个数，
第3行有个数，第4行有个数，第5行有个数，
∴第6行有个数，……第n行有个数；
（2）解：①∵第11行有个数，且最末尾的数是，
而表示第11行的第20个数，∴表示的数是；
②∵，，∴，∴2023位于第45行，
∵第45行有个数，而2023与2025相差2个数，
∴2023位于第45行的第87个数，∴表示2023的有序数对是．
【点睛】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．
22．（2022秋·浙江八年级课时练习）把一个地点的东经度写在前面，北纬度写在后面，并用括号括起来，就组成一对有序的数对，可以用来表示一个地点的位置．如杭州大致位于北纬，东经，记作（如图）．
(1)怎样用有序数对表示海口、北京的位置？(2)据气象报告，2012年8月9日20时，台风“海葵”的中心位于北纬，东经．用有序数对（东经度写在前面）表示台风中心的位置，并在图上标出台风中心．(3)图中黄色路线表示西北太平洋台风移动的主要路径．各地点是否位于这条路径上？
【答案】(1)海口的位置表示为；北京的位置为；
(2)“海葵”的中心为，图见解析
(3)在这条路径上，不在这条路径上
【分析】（1）根据题意直接读出两个地点的位置即可；（2）先确定点的表示，然后在图中确定位置即可；（3）将三个点的位置在图中标出，即可确定．
【详解】（1）解：东经度写在前面，北纬度写在后面，
根据图得：海口的位置表示为；北京的位置为；
（2）“海葵”的中心为，台风中心的位置如图中点A所示；
（3）用B、C、D分别表示点的位置，如图所示，
∴在这条路径上，不在这条路径上．
【点睛】题目主要考查用有序数对表示点的位置，理解题意是解题关键．
23．（2022秋·浙江八年级课时练习）如图1，将射线OX按逆时针方向旋转β角，得到射线OY，如果点P为射线OY上的一点，且OP=a，那么我们规定用(a，β)表示点P在平面内的位置，并记为P(a，β)．例如，图2中，如果OM=8，∠XOM=110°，那么点M在平面内的位置，记为M(8，110)，根据图形，解答下面的问题：
（1）如图3，如果点N在平面内的位置记为N(6，30)，那么ON=________；∠XON=________．
（2）如果点A，B在平面内的位置分别记为A(5，30)，B(12，120)，画出图形并求出AOB的面积．
【答案】（1）6，30°；（2）见解析，30
【分析】（1）由题意得第一个坐标表示此点距离原点的距离，第二个坐标表示此点与原点的连线与x轴所夹的角的度数；（2）根据相应的度数判断出△AOB的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】(1)根据点N在平面内的位置N(6，30)可知，ON=6，∠XON=30°.答案：6，30°
(2)如图所示：∵A(5，30)，B(12，120)，∴∠BOX=120°，∠AOX=30°，∴∠AOB=90°，
∵OA=5，OB=12，∴△AOB的面积为OA·OB=30.
【点睛】本题考查了坐标确定位置及旋转的性质，解决本题的关键是理解所给的新坐标的含义．
24．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图回答下列问题：（1）如图①所示，请用有序数对写出棋盘上棋子“帅、黑车、炮”的位置（把列号写在前面，行号写在后面）．（2）如图②所示把O点移动到棋子“仕”的位置时，用有序数对写出棋子“仕、相、黑马”的位置（把列号写在前面，行号写在后面）。（3）如图②，已知棋子“将”的位置是（2，8），棋子“黑马”的位置是（4，3），规定列在前，行在后，请你在棋盘上确定A（0，0）点的位置，棋子“红马”的位置是什么？
【答案】（1）（4，1），（0，7），（4，0）；（2）（0，0），（5，0），（3，2）；（3）（0，4）
【分析】（1）据已知点的位置即可确定行列表示的数据的顺序，进而得出答案；（2）据已知点的位置即可确定行列表示的数据的顺序，进而得出答案；（3）画出图形，根据位置即可解答．
【详解】解：（1）根据题意知棋子“帅”的位置可表示为（4，1），
棋子“黑车”的位置可表示为（0，7），棋子“炮”的位置可表示为（5，0）；
（2）根据题意知棋子“仕”的位置可表示为（0，0），
棋子“相”的位置可表示为（5，0），棋子“黑马”的位置可表示为（3，2）；
（3）A（0，0）点的位置如图所示：
棋子“红马”的位置是（0，4）．
【点睛】本题主要考查了用有序实数对表示位置，正确得出行列表示的数据的顺序是解题关键．
25．（2023春·浙江·八年级专题练习）对有序数对（m，n）定义“f运算”：f（m，n）＝（am+bn，am﹣bn），其中a，b为常数．f运算的结果也是一个有序数对，比如当a＝1，b＝1时，f（﹣3，2）＝（﹣1，﹣5）．
（1）当a＝2，b＝﹣1时，f（2，2）＝ ．（2）f（3，1）＝（﹣3，﹣1），求a和b的值；
（3）有序数对（m，n），f（m﹣1，2n）＝（m﹣1，n），求a，b的值．（用m，n表示a和b）
【答案】（1）（2，6）；（2）；（3）
【分析】（1）根据“f运算”的定义计算即可；（2）根据“f运算”的定义列出方程组即可解决问题；
（3）根据“f运算”的定义列出方程组即可解决问题．
【详解】解：（1）∵f（m，n）＝（am+bn，am﹣bn），
∴当a＝2，b＝﹣1时，f（m，n）＝（2m﹣n，2m+n），
∴当m＝2，n＝2时，2m﹣n＝2×2﹣2＝2，2m+n＝2×2+2＝6，
f（2，2）＝（2，6）．故答案为：（2，6）；
（2）由题意得 ，解得：；
（3）由题意得 ，解得：．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，二元一次方程组的应用，点的坐标，理解“f运算”的定义，列出方程组是解题的关键．
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专题4.1 探索确定位置的方法
模块1：学习目标
1、探索确定平面上物体位置的方法；
2、体验用有序实数对表示平面上点的位置的坐标思想，体验用方向和距离表示平面内点的位置的坐标思想；
3、初步会用有序实数对和方向、距离表示平面.上点的位置。
模块2：知识梳理
1、确定一个物体的位置的方法：
1）有序实数对确定点的位置--行列定位法；
2）方位角+距离确定点的位置--极坐标定位法；
3）用“经纬度”确定点的位置--经纬定位法；
4）区域定位法。
2、有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作．
注意：有序数对是有顺序的，可以准确地表示出平面内一个点的位置，和表示的意义是不同的．
模块3：核心考点与典例
考点1. 确定位置的方法
例1．（2023春·云南昆明·八年级校考阶段练习）根据下列表述，不能确定具体位置的是（ ）
A．某电影院1号厅3排4座 B．人民东路号
C．东经，北纬 D．某灯塔南偏西
变式1．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期中）下列表述能确定位置的是（ ）
A．东经，北纬 B．万达影城3排 C．北京市五环路 D．南偏西
变式2．（2023春·河北保定·八年级校联考期中）下列四种描述中，能确定具体位置的是（ ）
A．东经，北纬 B．某电影院5号厅2排 C．北京长安大街 D．一架飞机距离地面10千米
考点2. 雷达图表示位置（方位角+距离）
例2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图是雷达在一次探测中发现的三个目标，目标的位置表示为目标的位置表示为，按照此方法可以将目标的位置表示为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·江苏连云港·统考中考真题）画一条水平数轴，以原点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点的坐标分别表示为，则点的坐标可以表示为 ．
变式2．（2023·山东聊城·八年级统考期末）如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标A的位置为(2，90°)，B为(5，30°)，C为(5，240°)，则目标D的位置表示为 ．
考点3. 区域定位法
例3．（2022秋·广西八年级期中）如图是某市地图简图的一部分，若图中“故宫”所在区域用表示，那么“古樱”所在的区域是( )
古樱 大北门
故宫
大南门 东华门
A． B． C． D．
变式1．（2023·湖北宜昌·校考一模）如图是济南市地图简图的一部分，图中“济南西站”、“雪野湖”所在区域分别是（ ）
D E F
4 遥墙国际机场
5 济南西站 野生动物世界
6 济南国际园博园 七星台风景区 雪野湖
A．E4，E6 B．D5，F5 C．D6，F6 D．D5，F6
变式2．（2023·广东八年级课时练习）下表是计算机中的Excel电子表格，计算B2，C2，D2，E2和F2的和，其结果是( )
A B C D E F
1 4 6 2 5 9 3
2 2 3 4 5 6 7
3 3 3 5 8 2 6
4 4 2 7 5 10 9
A．28 B．25 C．15 D．10
考点4. 行列法确定位置
例4．（2023秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）在校运会开幕式彩旗方队中，小兰的位置不管是列还是行都在正中间，用数对表示为．则彩旗方队一共有（ ）人．
A． B． C． D．
变式1．（2023秋·江苏连云港·八年级统考期中）如果棋盘上的“第5列第2行”记作，“第7列第5行”记作，那么表示（ ）
A．第3列第5行 B．第5列第3行 C．第4列第3行 D．第3列第4行
变式2．（2023·河北沧州·八年级校考阶段练习）剧院里2排5号可以用表示，则表示（ ）
A．4排7号 B．2排5号 C．7排4号 D．5排2号
考点5. 有序数对
例5．（2023春·四川自贡·八年级校考期中）如图，将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序数对表示第n排，从左到右第m个数，如表示9，则表示60的有序数对是（ ）．
A． B． C． D．
变式1．（2023春·河南南阳·八年级统考期中）如图是小飒关于诗歌《望洞庭》的书法展示，若“湖”的位置用有序实数对表示，那么“青”的位置可以表示为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）如图是一个教室平面示意图，我们把小刚的座位“第1列第3排”记为.若小丽的座位为，以下四个座位中，与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2023春·陕西安康·八年级统考期末）观察如图所示的象棋棋盘，表示“帅”的位置，马走“日”字，那么“马8进7”（即第8列的马前进到第7列）后的位置可表示为（ ）
A． B． C． D．
考点6. 用有序实数对表示路线
例6．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，奥运福娃在5×5的方格（每小格边长为1m）上沿着网格线运动．贝贝从A处出发去寻找B、C、D处的其它福娃，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（＋1，＋4），从B到A记为：B→A（－1，－4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中
（1）B→D（ ， ）,C→ （-3，-4）；（2）若贝贝从A处去寻找妮妮的行走路线依次为（＋2，＋2），（＋2，－1），（－2，＋3），（－1，－2），请在图中标出妮妮的位置E点．（3）在（3）中贝贝若每走1m需消耗1.5焦耳的能量,则贝贝寻找妮妮过程中共需消耗多少焦耳的能量
变式1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在5×5的方格（每小格边长为1）内有4只甲虫A、B、C、D，它们爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：A→B（＋1，＋4），从B到A的爬行路线为：B→A（－1，－4），其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息，那么图中
（1） A→C（ ， ），B→D（ ， ），C→ （＋1， ）；
（2） 若甲虫A的爬行路线为A→B→C→D，请计算甲虫A爬行的路程；
（3） 若甲虫A的爬行路线依次为（＋2，＋2），（＋1，－1），（－2，＋3），（－1，－2），最终到达甲虫P处，请在图中标出甲虫A的爬行路线示意图及最终甲虫P的位置．
变式2．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，小军家的位置点A在经5路和纬4路的十字路口，用有序数对表示；点B是学校的位置，点C是小芸家的位置，如果用表示小军家到学校的一条路径．
(1)请你用有序数对表示出学校和小芸家的位置；
(2)请你写出小军家到学校的其他几条路径．(写3条)
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023春·广东九年级课前预习）法国数学家笛卡尔发明了平面直角坐标系，使平面内的点与有序实数对建立了一一对应关系，将几何问题通过代数方法来研究．这种解决问题的方法是（ ）
A．数形结合 B．类比 C．一般到特殊 D．分类讨论
2．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）以下能够准确表示我们学校地理位置的是（ ）
A．离曲江大城米 B．在西安市 C．在钟楼以南 D．东经，北纬
3．（2023秋·浙江八年级课前预习）在数轴上，用有序数对表示点的平移，若得到的数为1，得到的数为3，则得到的数为（ ）．
A．8 B． C．2 D．
4．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图所示，小亮从学校到家所走最短路线是( )
A． B．
C． D．
5．（2023春·湖南株洲·八年级统考期末）小军参加团体操表演，他的位置用数对表示是，如果这时的方队是一个正方形，参加团体操表演的至少有（ ）人．
A．80 B．64 C．24 D．11
6．（2023春·湖北咸宁·八年级统考期中）在教室如果我的座位号是，那么我的同桌的座位号不可能是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·安徽六安·八年级校考期中）如图，在围棋棋盘局部上有3枚棋子，如果黑棋①的位置用有序数对表示，黑棋②的位置用有序数对表示，则白棋③的位置可用有序数对表示为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·云南曲靖·八年级校考期中）如图，将整数按规律排列，若有序数对表示第a排从左往右第b个数，则表示的数是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023春·北京海淀·八年级校联考期中）在实际生活中，我们经常采用“角度+距离”的方法来确定物体的相对位置．如图，以O点为基准点，射线的方向为起始边，规定逆时针方向旋转为正角度（），顺时针方向旋转为负角度（），特别地，的反向延长线所在的方向记为．由于方向为方向绕O点逆时针旋转，点B与点O的距离为，因此点B可以用有序数对记为，类似地，点C可以记为．以下点的位置标记正确的是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
10．（2023春·安徽芜湖·八年级统考期中）定义：平面内的直线与相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线，的距离分别为a，b，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”，根据上述定义，距离坐标为的点的个数是（ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023秋·山东菏泽·八年级校考期中）五（1）班同学进行队列训练，每列人数相等，张静站在最后一列的最后一个，她的位置用数对表示是，五（1）班有 名同学参加了队列训练．
12．（2023春·河北石家庄·八年级校考期中）春节期间，嘉嘉和淇淇去电影院观看电影《流浪地球2》，如果嘉嘉的座位15排8号可以用表示，则淇淇的表示 ．
13．（2023·黑龙江绥化·八年级统考期末）星星家位于某住宅楼F座20层，记为：，按这种方法，丽丽家住C座10层，可记为 ．
14．（2023秋·陕西西安·八年级校考开学考试）如图，三角形的顶点B用数对表示，顶点A用数对表示，如果作三角形关于直线l对称的三角形，那么点B的对称点用数对 表示．
15．（2023·辽宁沈阳·八年级统考期末）在仪仗队列中，共有八列，每列8人，若战士甲站在第二列从前面数第3个，可以表示为，则战士乙站在第七列倒数第3个，应表示为 ．
16．（2023春·吉林松原·八年级统考期中）如图，有一个英文单词，它的各个字母的位置依次是，所对应的字母，如对应的字母是，则这个英文单词的中文意思为 ．
17．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，点A在射线OX上，OA等于2cm，如果OA绕点O按逆时针方向旋转30°到OA′，那么点A′的位置可以用（2，30°）表示．若OB＝3cm，且OA′⊥OB，则点B的位置可表示为 ．
18．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始、按顺时针方向、取与三角形外箭头方向一致的一侧序号），如点A的坐标可表示为，点B的坐标可表示为，按此方法，若点C的坐标为，则m＝ ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·浙江·八年级专题练习）根据指令(s，A)(说明：s≥0，单位：厘米；0°≤A＜180°)，机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度A，再朝其面对的方向沿直线行走距离s，若机器人站在点M处，面对的方向如图所示．
（1）给机器人下了一个指令(2，60°)，机器人移动到了B点，请你画出机器人从M点到B点的运动路径；（2）若机器人从M点运动到了C点，则给机器人下了一个什么指令？
20．（2023春·河北石家庄·八年级校考期中）嘉嘉从A处出发向北偏东走了30m，到达B处；淇淇从A处出发向南偏东走了40m，到达C处．(1)用1cm表示10m，画图表示A，B，C的位置；
(2)A处在C处的______偏______度的方向上，距离C处______米；(3)叙述A处相对于B处的位置．
21．（2023春·安徽滁州·八年级校考阶段练习）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
请根据上述规律解答下面的问题：(1)第6行有_____个数；第n行有_____个数（用含n的式子表示）；
(2)若有序数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示6．
①求表示的数；②求表示2023的有序数对．
22．（2022秋·浙江八年级课时练习）把一个地点的东经度写在前面，北纬度写在后面，并用括号括起来，就组成一对有序的数对，可以用来表示一个地点的位置．如杭州大致位于北纬，东经，记作（如图）．
(1)怎样用有序数对表示海口、北京的位置？(2)据气象报告，2012年8月9日20时，台风“海葵”的中心位于北纬，东经．用有序数对（东经度写在前面）表示台风中心的位置，并在图上标出台风中心．(3)图中黄色路线表示西北太平洋台风移动的主要路径．各地点是否位于这条路径上？
23．（2022秋·浙江八年级课时练习）如图1，将射线OX按逆时针方向旋转β角，得到射线OY，如果点P为射线OY上的一点，且OP=a，那么我们规定用(a，β)表示点P在平面内的位置，并记为P(a，β)．例如，图2中，如果OM=8，∠XOM=110°，那么点M在平面内的位置，记为M(8，110)，根据图形，解答下面的问题：
（1）如图3，如果点N在平面内的位置记为N(6，30)，那么ON=________；∠XON=________．
（2）如果点A，B在平面内的位置分别记为A(5，30)，B(12，120)，画出图形并求出AOB的面积．
24．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图回答下列问题：（1）如图①所示，请用有序数对写出棋盘上棋子“帅、黑车、炮”的位置（把列号写在前面，行号写在后面）．（2）如图②所示把O点移动到棋子“仕”的位置时，用有序数对写出棋子“仕、相、黑马”的位置（把列号写在前面，行号写在后面）。（3）如图②，已知棋子“将”的位置是（2，8），棋子“黑马”的位置是（4，3），规定列在前，行在后，请你在棋盘上确定A（0，0）点的位置，棋子“红马”的位置是什么？
25．（2023春·浙江·八年级专题练习）对有序数对（m，n）定义“f运算”：f（m，n）＝（am+bn，am﹣bn），其中a，b为常数．f运算的结果也是一个有序数对，比如当a＝1，b＝1时，f（﹣3，2）＝（﹣1，﹣5）．
（1）当a＝2，b＝﹣1时，f（2，2）＝ ．（2）f（3，1）＝（﹣3，﹣1），求a和b的值；
（3）有序数对（m，n），f（m﹣1，2n）＝（m﹣1，n），求a，b的值．（用m，n表示a和b）
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