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专题4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移
模块1：学习目标
1、感受坐标平面内图形变化相应的坐标变化；
2、了解关于坐标轴对称的两个点的坐标关系；
3、会求与已知点关于坐标轴对称的点的坐标；
3、利用关于坐标轴对称的两个对称点的坐标关系，求作轴对称图形。
模块2：知识梳理
1．坐标系中的平移：
（1）将点向右（或向左）平移a个单位可得对应点或．
（2）将点向上（或向下）平移b个单位可得对应点或．
总结：点的左右平移横坐标满足左减右加，点的上下平移纵坐标满足上加下减．
2．坐标系中的对称：
（1）点关于x轴的对称点是，即横坐标不变，纵坐标互为相反数．
（2）点关于y轴的对称点是，即纵坐标不变，横坐标互为相反数．
总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数．
（3）点关于坐标原点的对称点是，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．
（4）点关于点的对称点是．
（5）点关于的对称点是．
（6）点关于的对称点是．
（7）点关于一三象限的平分线的对称点为．
（8）点关于二四象限的平分线的对称点为．
3.两个公式
（1）中点公式：若、，则AB中点C坐标为：；
（2）两点距离公式：已知两点：、，则．
（都可以由这两个点来构造直角三角形进行推导，中点公式用中位线，距离公式用勾股定理推导）
模块3：核心考点与典例
考点1. 点在坐标系中的平移
例1．（2022·山东临沂·七年级期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得到的点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”的规律求解即可．
【详解】解：将点P（3，2）向右平移2个单位长度得到（5，2），
再向下平移2个单位长度，所得到的点坐标为（5，0）．故选：D．
【点睛】本题考查坐标与图形变化——平移：向右平移a个单位，坐标P（x，y） （x+a，y）；向左平移a个单位，坐标P（x，y）（x-a，y）；向上平移b个单位，坐标P（x，y）（x，y+b）；向下平移b个单位，坐标P（x，y）（x，y-b），熟记点的坐标的平移规则是解题关键．
变式1.（2022·成都市·八年级期末）将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣1，5），则A点坐标为（ ）
A．（﹣4，11） B．（﹣2，6） C．（﹣4，8） D．（﹣3，8）
【答案】D
【分析】让点B先向上平移3个单位，再向左平移2个单位即可得到点A的坐标，让点B的横坐标减2，纵坐标加3即可得到点A的坐标．
【详解】解：∵将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣1，5），
∴点A的横坐标为﹣1﹣2＝﹣3，纵坐标为5+3＝8，
∴A点坐标为（﹣3，8）．故选D．
【点睛】在直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，本题需注意的是已知新点的坐标，求原来点的坐标，注意平移的顺序的反过来的运用．解决本题关键是得到由点B到点A的平移过程．
变式2.（2023·辽宁葫芦岛·七年级期末）在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点B（﹣1，2）重合，则点A的坐标是（ ）
A．（4，5） B．（﹣6，﹣1） C．（﹣4，5） D．（﹣4，﹣1）
【答案】A
【分析】根据点坐标的平移变换规律即可得．
【详解】解：由题意得：，
解得，即，故选：A．
【点睛】本题考查了点坐标的平移变换，熟练掌握点坐标的平移变换规律是解题关键．
考点2. 图形在坐标系中的平移
例2．（2022·福建·武平县实验中学七年级期中）如图，把图①中经过一定的变换得到图②中的，如果某个点在图②中的点的坐标是，那么这个点在图①的上点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图形可得平移方法，再根据平移方法可得P的坐标．
【详解】解：根据图可得△ABC向上平移了2个单位，向右平移了4个单位，
因此点的坐标为（a，b）变为点P的坐标为，故选：A．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．
变式1.（2022·陕西商洛·七年级期末）已知线段的端点，，将线段平移后，点坐标是，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】比较平移前A（-1，2），平移后（1，2）的横坐标、纵坐标，可知平移后横坐标加2，纵坐标加4，由于点A、B的平移规律相同，坐标变化也相同，即可得的坐标．
【详解】解：∵平移前A（-1，2），平移后（1，2）
∴平移方式为向右平移2个单位长度，向上平移4个单位长度，
∵平移前点B的坐标为（1，2），∴平移后点B的坐标为（1+2，2+4）即（3，6），故选A．
【点睛】本题主要考查了图形的平移，根据A点平移前后的坐标判断出平移方式是解题的关键．
变式2.（2022·广西·柳州七年级阶段练习）如图，点A、B的坐标分别是为（-3，1），（-1，-2），若将线段AB平移至的位置，与坐标分别是（m，4）和（3，n），则线段AB在平移过程中扫过的图形面积为（ ）
A．18 B．20 C．28 D．36
【答案】A
【分析】直接利用平移中点的变化规律求出m，n的值，再根据线段AB在平移过程中扫过的图形面积=四边形的面积=2△的面积求解即可．
【详解】解：∵点A、B的坐标分别是为（-3，1），（-1，-2），若将线段AB平移至的位置，与坐标分别是（m，4）和（3，n），
∴可知将线段AB向右平移4个单位，向上平移3个单位得到的位置，
∴m=1，n=1，∴与坐标分别是（1，4）和（3，1），
∴线段AB在平移过程中扫过的图形面积=四边形的面积=2△的面积=2××6×3=18，
故选：A．
【点睛】本题主要考查坐标系中线段的平移规律．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
考点3. 点在坐标系中的轴对称
例3．（2022·新疆·八年级期末）已知点A(a，2)与点B(3，b)关于x轴对称，则a+2b＝（ ）
A．-4 B．-1 C．-2 D．4
【答案】B
【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特点求出a、b，再代入计算即可．
【详解】解：∵点A(a，2)与点B(3，b)关于x轴对称，所以a=3，b= 2，
∴a+2b=3+2×( 2)=-1．故选B．
【点睛】此题主要考查关于x轴对称的点的坐标特点．关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
变式1．（2022·贵州·金沙县八年级期末）若点关于y轴的对称点是，则m＋n的值是（ ）
A．4 B．－4 C．－2 D．2
【答案】B
【分析】根据两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数列式求出m，n，即可得出结果．
【详解】解：∵点关于y轴的对称点是，
∴m－1＋2＝0，n＋2＝－1，∴m＝－1，n＝－3，∴m＋n＝－1－3＝－4，故选：B．
【点睛】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
变式2．（2022·新疆·八年级期末）已知点A(a，2)与点B(3，b)关于x轴对称，则a+2b＝（ ）
A．-4 B．-1 C．-2 D．4
【答案】B
【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特点求出a、b，再代入计算即可．
【详解】解：∵点A(a，2)与点B(3，b)关于x轴对称，所以a=3，b= 2，
∴a+2b=3+2×( 2)=-1．故选B．
【点睛】此题主要考查关于x轴对称的点的坐标特点．关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
考点4. 图形在格点中的变换（平移）
例4．（2022·四川南充·七年级期末）如图，三角形AOB中，A，B两点的坐标分别为，将三角形AOB向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度得到三角形．
(1)在图中画出三角形，并分别写出点，，的坐标．(2)求三角形AOB的面积．
【答案】(1)图见解析，，，(2)7
【分析】（1）根据平移的定义，应用并作图，写出坐标即可；（2）用间接法求三角形的面积，三角形AOB的面积等于矩形面积依次减去三个小三角形的面积，即可得出答案．
（1）画出三角形如下图．点的坐标分别为：，，．
（2）将三角形补成矩形，三角形AOB的面积等于矩形面积依次减去三个小三角形的面积，因此三角形AOB的面积为．
【点睛】本题考查了平面直接坐标系中的图形平移问题和求图形面积问题，转化思想是本题的关键．
变式1．（2022·山东·宁津七年级期中）如图，将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到．
(1)请画出平移后的图形(2)并写出各顶点的坐标．(3)求出的面积．
【答案】(1)见解析(2)(3)6
【分析】（1）画出A，B，C三点平移后的对应点，连接即可
（2）根据变换后的图形写出的坐标（3）割补法计算求解
（1）如图，即为所求；
（2）由图可知：
（3）=5×3-×1×5-×2×2-×3×3=6
【点睛】本题考查了图形的平移变换，画出平移后的图形是解题关键．因为三角形形状不规则，所以采用割补法求解．
变式2．（2022·山东德州·七年级期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，．(1)在平面直角坐标系中画出；(2)平移，使点A与点重合，写出点、点平移后的所得点的坐标，并描述这个平移过程．(3)求的面积
【答案】(1)见解析 (2)；；将向下平移4个单位，再向左平移2个单位得到新的三角形（答案不唯一） (3)
【分析】（1）根据坐标，，描点，连接即可得；
（2）根据点A的平移方式确定的平移方式，从而得到点、点平移后的所得点的坐标和平移过程的描述；（3）用长方形面积减去小三角形的面积即可得到的面积．
（1）如图，即为所求；
（2）由图可知，点B平移后对应的坐标为：；点C平移后对应的坐标为：；
平移方式：将向下平移4个单位，再向左平移2个单位得到新的三角形（或将向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到新的三角形；或将沿AO方向平移个单位长度得到新的三角形；答案不唯一）；
（3）．
【点睛】本题考查了坐标与图形中的描点、平移、求三角形的面积，熟练掌握点平移的坐标特征是本题的关键．
考点5. 图形在格点中的变换（轴对称）
例5.（2022·云南·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，4），B（-4，1），C（-1，2）．
(1)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△．
(2)请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标： ．
(3)求△ABC的面积．(4)在x轴上画出点P，使QA＋QC最小．
【答案】(1)见解析(2)（1，2）(3)4(4)见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质即可作出△ABC关于x轴的对称图形△；
（2）根据轴对称的性质即可写出点C关于y轴的对称点的坐标
（3）根据网格利用割补法即可求出△ABC的面积；
（4）连接C交x轴于点Q，根据两点之间线段最短即可使得QA＋QC最小．
（1）解：如图所示，△即为所求；
；
（2）解：点C关于y轴的对称点的坐标为（1，2）；故答案为：（1，2）；
（3）解：△ABC的面积=3×3-×1×3-×1×3-×2×2=4；
（4）解：如图．点Q即为所求．
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
变式1．（2022·甘肃·八年级期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系后△ABC的顶点均在格点上．
(1)写出点A、B、C的坐标；(2)写出△ABC关于x轴对称的的顶点、、的坐标；
(3)求．
【答案】(1)A（1，3），B（﹣1，2），C（2，0） (2)，， (3)
【分析】（1）根据点的坐标的确定方法写出点A、B、C的坐标；
（2）根据关于x轴对称的点的坐标特征求解；
（3）利用面积的和差计算△ABC的面积．
（1）解：根据图形可知：A（1，3），B（﹣1，2），C（2，0）；
（2）解：关于x轴对称的点的坐标：，，；
（3）解：.
【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标：点关于x轴的对称点的坐标是；点关于y轴的对称点的坐标是．也考查了三角形面积公式．
变式2．（2023·浙江·八年级期中）如图，在边长为1的小正方形所组成的网格中，每一个小正方形的顶点称为“格点”，请你用无刻度直尺，借助网格，按要求完成作图：
(1)以AB所在直线为对称轴，作出△ABC的轴对称图形△ABD；(2)以AD所在直线为对称轴，作出△ABD的轴对称图形△AED；(3)已知A点的坐标为(0，2)，C点坐标为(4，4)，请你建立平面直角坐标系并分别写出点D和点E的坐标为_______．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)（4，0），（3，-2）
【分析】（1）作出点C关于直线AB的对称点D即可；
（2）作出点B关于直线AD的对称点E即可；
（3）建立平面直角坐标系，写出点D和点E的坐标即可．
（1）解：如图，△ABD即为所求．
（2）解：如图，△ADE即为所求．
（3）解：建立平面直角坐标系如图所示，
D（4，0），E（3，-2）．故答案为：（4，0），（3，-2）．
【点睛】本题考查作图-轴对称变换，平面直角坐标系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
考点6. 两个重要的公式
例6.（2022·湖北省宜昌七年级期中）先阅读下列一段文字，再解答问题：已知在平面内有两点，其两点间的距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或
(1)已知点M（2，4），N（3，8），试求M，N两点间的距离；
(2)已知点，判断线段AB，BC，AC中哪两条是相等的？并说明理由．
【答案】(1) (2)，理由见解析
【分析】（1）直接利用两点间的距离公式即可得；
（2）利用两点间的距离公式分别求出，由此即可得．
（1）解：，，即两点间的距离为．
（2）解：，理由如下：，，
，，．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系、算术平方根、勾股定理的应用，理解题中所给的两点间的距离公式是解题关键．
变式1．（2022·海南海口·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点B、C的坐标分别是，，点D、E分别是AB、AC的中点，点D的坐标为，则点A、E的坐标分别是______．
【答案】（3，4）、（4，2）
【分析】已知点A和点D的坐标，且D为AB的中点，由中点坐标公式可求出点A的坐标，由点E为AC的中点，同理由中点坐标公式可求得点E的坐标．
【详解】解：设A（a，b）∵点B（-1，0），点D（1，2），且点D为AB的中点，
∴ 解得， ∴A（3，4）
又点C（5，0），点E为AC的中点，设C（x，y），则有：
∴点E的坐标为（4，2）故答案是：（3，4）、（4，2）．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，熟练运用中点坐标公式是解答本题的关键．
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·辽宁大连·七年级期末）在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度，得到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平移的方法结合平移中点的坐标变换规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，可以直接算出平移后点的坐标．
【详解】解：点向上平移2个单位长度，
得到的点的坐标是(3,-1+2)，即 (3,1），故选：B．
【点睛】此题主要考查了点的平移规律，关键是掌握平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
2．（2022·西安·八年级期末）四盏灯笼的位置如图，已知，，，的坐标分别是，，，，平移轴右侧的一盏灯笼，使得轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是( )
A．将向左平移个单位 B．将向左平移个单位
C．将向左平移个单位 D．将向左平移个单位
【答案】C
【分析】注意到，关于轴对称，只需要，对称即可，可以将点向左移动到，移动个单位，或可以将向左移动到，移动个单位．
【详解】解：，，，这四个点的纵坐标都是，
这四个点在一条直线上，这条直线平行于轴，
，，，关于轴对称，只需要，对称即可，
，，可以将点向左移动到，移动5.个单位，
或可以将向左移动到，移动个单位，故选：C．
【点睛】本题考查了生活中的平移现象，关于轴对称的点的坐标，注意关于轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标不变．
3．（2022·新疆·沙雅县第五中学七年级期中）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是，将线段AB平移得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据点的坐标得出平移方式，再根据点坐标的平移变换规律即可得．
【详解】解：将线段AB平移得到线段，且，
将点先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度即可得到点，
又，，即，故选：A．
【点睛】本题考查了点坐标的平移，熟练掌握点坐标的平移变换规律是解题关键．
4．（2022·贵州毕节·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，若将线段平移至处，点分别在x轴和y轴上，则的面积为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【答案】A
【分析】由题意平移方式为向下平移1个单位，向左平移1个单位，（3，0），（0，1），推出O＝3，O＝1，利用三角形面积公式求解．
【详解】解：∵点A，B的坐标分别为，若将线段平移至处，点分别在x轴和y轴上，∴平移方式为向下平移1个单位，向左平移1个单位，
∴（3，0），（0，1），∴O＝3，O＝1，
∴△O的面积＝×3×1＝1.5，故选：A．
【点睛】本题考查坐标与图形变化 平移，三角形的面积等知识，解题关键是判断出点，的坐标．
5．（2022·河北保定·七年级期末）已知点在第一象限内，连接PQ，将线段PQ平移，使平移后的点P，Q分别在x，y轴上，则点Q平移后的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由平移后点的坐标的位置可知平移规律：即横坐标减去m，纵坐标减去n，进而求出点Q平移后的对应点的坐标，解答即可．
【详解】设平移后点，的对应点分别是，．
∵点在x轴上，点在y轴上，∴点的纵坐标为0，点的横坐标为0，
∴平移前后点的坐标变化规律是：横坐标减去m，纵坐标减去n，
∴点Q平移后的对应点的坐标是，即（0，-2）．故选：D．
【点睛】本题主要考查了图形的平移及平移的特征，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．
6．（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点B（﹣1，2）重合，则点A的坐标是（ ）
A．（4，5） B．（﹣6，﹣1） C．（﹣4，5） D．（﹣4，﹣1）
【答案】A
【分析】根据点坐标的平移变换规律即可得．
【详解】解：由题意得：，
解得，即，故选：A．
【点睛】本题考查了点坐标的平移变换，熟练掌握点坐标的平移变换规律是解题关键．
7．（2022·全国·八年级期末）点A在平面直角坐标系xOy中的坐标为（5，3），将坐标系xOy中的x轴向上平移2个单位长度，y轴向左平移3个单位长度，得到平面直角坐标系，在新坐标系中，点A的坐标为（ ）
A．（2，5） B．（8，0） C．（8，5） D．（8，1）
【答案】D
【分析】将问题看作求在原来的坐标系中，将点先沿轴向右平移3个单位长度，再沿轴向下平移2个单位长度后的点的坐标，再根据点坐标的平移变换规律即可得．
【详解】解：由题意，将所求问题转为求在原来的坐标系中，将点先沿轴向右平移3个单位长度，再沿轴向下平移2个单位长度后的点的坐标，
则平移后的点的坐标为，即为，
所以在新坐标系中，点的坐标为，
故选：D．
【点睛】本题考查了点坐标的平移变换，熟练掌握点坐标的平移变换规律是解题关键．
8．（2022·山东菏泽·一模）如图，在平面直角坐标系中，将四边形先向上平移，再向左平移得到四边形，已知，则点B坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得到点A的坐标变化规律，然后根据点A的变化规律反推可以由B1得到B的坐标．
【详解】解：∵-3-3=-6，5-3=2，
∴点A变到A1的过程中，横坐标加-6，纵坐标加2，
∴由B1反推到B的过程，必须是横坐标加6，纵坐标加-2，
∴-4+6=2，3-2=1，∴B点坐标为（2，1），故选B．
【点睛】本题考查平移的坐标变化，得到图形的平移规律是解题关键．
9．（2022·贵州省毕节市威宁彝族回族苗族自治县保家中学八年级期末）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
【详解】解：点（-3，2）关于y轴对称点的坐标是（3，2）．故选：A．
【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
10．（2022·河北·石家庄市第二十二中学八年级阶段练习）如图，将的三个顶点坐标的横坐标都乘以－1，并保持纵坐标不变，则所得图形与原图形的关系是（ ）
A．将原图形沿轴的负方向平移了1个单位 B．关于轴对称
C．将原图形沿轴的负方向平移了1个单位 D．关于轴对称
【答案】D
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），分别关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y）．
【详解】解：根据对称的性质，得三个顶点坐标的横坐标都乘以﹣1，并保持纵坐标不变，就是横坐标变成相反数．即所得到的点与原来的点关于y轴对称．
∴所得图形与原图形的关系是关于y轴对称．故选D．
【点睛】题目主要考查点的对称的性质，理解轴对称的性质是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·甘肃·武威第九中学八年级期末）点P（-2，4）关于x轴对称的点的坐标为________．
【答案】
【分析】根据关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求解．
【详解】解：点P（-2，4）关于x轴对称的点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求关于轴对称的点的坐标，掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
12．（2022·四川成都·八年级期末）平面直角坐标系中，将点先向上平移6个单位．再向左平移2个单位得到点B，则点B的坐标为______．
【答案】（-5，1）
【分析】利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可．
【详解】解：点A的坐标为（-3，-5），将点A向上平移6个单位，再向左平移2个单位到点B，
∴点B的横坐标是-3-2=-5，纵坐标为-5+6=1，即（-5，1）．
故答案为：（-5，1）．
【点睛】本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减、右加；上下移动改变点的纵坐标，下减、上加．
13．（2022·陕西·西安高新一中实验中学八年级期末）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移2个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点B′的坐标是_____．
【答案】（1，-2）
【分析】首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案．
【详解】解：点A（-1，2）向右平移2个单位长度得到的B的坐标为（-1+2，2），即（1，2），
则点B关于x轴的对称点的坐标是（1，-2），
故答案为：（1，-2）．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化-平移，以及关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律．
14．（2022·山东济宁·七年级期末）如图，已知Rt△ABC的边BC在x轴上，，且A（1，2），B（-2，0）若将△ABC平移，使点B落在点A处，则点C的对应点的坐标为___________
【答案】（4，2）
【分析】根据A、B两点的坐标可得坐标的变化规律为横坐标加3，纵坐标加2，再把C点的坐标横坐标加3，纵坐标加2，即可求解．
【详解】解：∵将△ABC平移，使点B落在点A处，点A（1，2），B（﹣2，0），
∴坐标的变化规律为横坐标加3，纵坐标加2，
∵C（1，0），∴点C的对应点的坐标为是（1+3，0+2），即（4，2）．故答案为：（4，2）．
【点睛】本题考查了坐标系中的点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移过程中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
15．（2022·辽宁·辽河油田实验中学八年级阶段练习）已知点A（-2，m）与点B（-2，-4）关于x轴对称，则m的值为___
【答案】4
【分析】利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数计算可得．
【详解】∵点与点关于x轴对称，
∴，则，故答案为：．
【点睛】本题考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关键．
16．（2022·广东·惠州市第九中学七年级期末）在平面直角坐标系中，已知点A（-5，4），B（0，1），现将线段向右平移，使A与坐标原点重合，则平移后的坐标是_____．
【答案】（5，-3）
【分析】先由平移后的坐标变化可得：点A向右平移5个单位，向下平移4个单位与原点重合，再根据平移方式确定B的对应点的坐标即可．
【详解】解：∵点A（-5，4），B（0，1），现将线段向右平移，使A与坐标原点重合，
∴点A向右平移5个单位，向下平移4个单位与原点重合，
∴点B也如此平移，则平移后为（5，-3）．
故答案为：
【点睛】本题考查的是由坐标的变化确定平移方式，再根据平移方式确定点的坐标，掌握“点的平移，坐标变化规律”是解本题的关键．
17．（2022·吉林吉林·七年级期末）在平面直角坐标系中，把线段平移（点A的对应点是，点B的对应点是）．线段的两个端点的坐标分别为，，若平移后，点的坐标为，则点的坐标为________．
【答案】
【分析】根据A点的坐标及对应点的坐标可得线段AB向左平移了2个单位，向上平移了1个单位，然后可得B′点的坐标．
【详解】解：∵平移后得到点A′的坐标为，
∴向左平移了2个单位，向上平移了1个单位，
∴的对应点坐标为（0-2，2+1），即．故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标系中点的平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
18．（2022·山西晋中·二模）如图，在平面直角坐标系中，是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，它的顶点坐标分别为：，，，则的顶点的坐标为______．
【答案】
【分析】设顶点A的坐标为：，根据平移规律可知：，再利用即可求出x，y的值．
【详解】解：设顶点A的坐标为：．由题意可知：
∵是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，∴，
∵，∴，，解得：，，∴，故答案为：
【点睛】本题考查平移，解题的关键是掌握平移规律“左减右加，上加下减”．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·山东德州·七年级期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，．
(1)在平面直角坐标系中画出；(2)平移，使点A与点重合，写出点、点平移后的所得点的坐标，并描述这个平移过程．(3)求的面积
【答案】(1)见解析(2)；；将向下平移4个单位，再向左平移2个单位得到新的三角形（答案不唯一）(3)
【分析】（1）根据坐标，，描点，连接即可得；
（2）根据点A的平移方式确定的平移方式，从而得到点、点平移后的所得点的坐标和平移过程的描述；（3）用长方形面积减去小三角形的面积即可得到的面积．
（1）如图，即为所求；
（2）由图可知，点B平移后对应的坐标为：；点C平移后对应的坐标为：；
平移方式：将向下平移4个单位，再向左平移2个单位得到新的三角形（或将向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到新的三角形；或将沿AO方向平移个单位长度得到新的三角形；答案不唯一）；
（3）．
【点睛】本题考查了坐标与图形中的描点、平移、求三角形的面积，熟练掌握点平移的坐标特征是本题的关键．
20．（2022·辽宁·阜新蒙古族自治县蒙古贞初级中学八年级期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC，并求出△ABC的面积？
(2)若点D与点C关于轴对称，则点D的坐标为_____________；
【答案】(1)图见解析，4(2)
【分析】（1）直接利用所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；
（2）利用关于轴对称点的性质得出答案；
（1）解：如图所示：
即为所求，；
（2）解：点与点关于轴对称，则点的坐标为：；故答案为：．
【点睛】本题考查三角形面积求解以及关于轴对称点的性质，正确得出对应点位置作出图形是解题关键．
21．（2022·山东济宁·七年级期末）在平面直角坐标系中，A， B， C三点的坐标分别为(－5，4)，(－3， 0)， (0， 2)．
(1)画出三角形ABC，并求三角形ABC的面积；(2)如图，三角形A'B'C'可以由三角形ABC经过怎样的平移得到？对应点的坐标有什么变化？(3)已知点P (m， n)为三角形ABC内的一点，则点P在三角形A'B'C'内的对应点P'的坐标为(__________)．
【答案】(1)图见解析，8(2)向右平移 4 个单位，向下平移 3 个单位；横坐标增加 4 ，纵坐标减少 3
(3)m+4，n－3
【分析】（1）找出点A、B、C的位置，连接AB、BC、AC可得到三角形ABC，然后依据△ABC的面积等于矩形的面积减去3个直角三角形的面积求解即可．
（2）先确定出点A′的坐标，然后依据点A与点A′的位置可确定出平移的方向和距离；
（3）依据平移与坐标变化的规律求解即可．
（1）如图1所示
S△ABC=S矩形AEOD－S△ADC－S△BCO－S△AEB=4×5－×5×2－×3×2－×4×2=20－5－3－4=8．
（2）∵A（－5，4），A′（－1，1），
∴点A′由点A向右平移4个单位，然后向下平移3个单位得到．
∴△A′B′C′由△ABC向右平移4个单位，然后向下平移3个单位得到．
（3）点P（m，n）对应点P′的坐标为（m+4，n－3）．故答案为：（m+4，n－3）．
【点睛】本题主要考查的是平移与坐标变化，掌握平移与坐标变化的规律是解题的关键．
22．（2022·江苏无锡·八年级期中）在平面直角坐标系中，已知线段AB．其中A（1，－3），B（3，0）．平移线段AB到线段CD，使点A的对应点为点D，点B的对应点为点C．
（备用图）
(1)若点C的坐标为（－2，4），则点D的坐标是 ；
(2)若点C在y轴的正半轴上，点D在第三象限且四边形ABCD的面积为14，求点C的坐标．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）点B（3，0）向左平移5个单位，向上平移4个单位得到C（－2，4），A（1，－3）也向左平移5个单位，向上平移4个单位得到D；
（2）如图，设，则，表示出四边形ABCD的面积列出方程即可．
（1）解：B（3，0）向左平移5个单位，向上平移4个单位得到C（－2，4），
因此A（1，－3）向左平移5个单位，向上平移4个单位得到D；
（2）设，则
∴，解得，∴．
【点睛】本题考查坐标与图形变化——平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，间接法求面积也是本题的关键．
23．（2022·河南·郑州市第十九初级中学八年级期末）已知：如图，已知△ABC．
(1)写出图中A，B，C三个点的坐标．
(2)画出与△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1．
(3)写出△A1B1C1与△ABC对应点的坐标之间的关系．
【答案】(1)，，；(2)图见详解(3)横坐标相同，纵坐标互为相反数
【分析】（1）根据直角坐标系得出坐标即可；
（2）直接利用关于轴对称点的性质得出对应点位置；
（3）直接利用关于轴对称点的性质得出对应点坐标关系解答．
（1）解：由坐标系可得：，，；
（2）解：如图所示：
（3）解：由（2）可知：△与对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数．
【点睛】此题主要考查了轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．
24．（2022·湖北荆门·八年级期中）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示：
(1)画出△ABC关于y轴对称的△AB1C1；并写出B1的坐标；
(2)将△ABC向右平移8个单位，画出平移后的△A1B2C2，并写出B2的坐标；
(3)在（1）、（2）的基础上，写出△AB1C1与△A1B2C2有怎样的位置关系？
(4)在y轴上有一点P，使得PB+PC最小，请画出点P；（用虚线保留画图的痕迹）
(5)在y轴上有一点Q，使得QB－QC最大，请画出点Q．（用虚线保留画图的痕迹）
【答案】(1)作图见解析，B1（3，2）(2)作图见解析，B2（5，2）；
(3)由图可知△AB1C1与△A1B2C2关于直线x＝4对称；(4)作图见解析(5)作图见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质找到关于y轴对称的点，顺次连接，则△AB1C1即为所求，根据坐标系写出点B1（的坐标即可；
（2）将点向右平移8个单位，得到，顺次连接，则△A1B2C2即为所求，根据坐标系写出点B2的坐标即可；（3）观察图形即可求解．
（4）连接BC1，交y轴于点P，连接BC，根据轴对称的性质可知则点P即为所求
（5）延长BC交y轴于点Q，根据两点之间线段最短可得Q点即为所求
（1）作图见解析，B1（3，2） （2）作图见解析，B2（5，2）；
（3）由图可知△AB1C1与△A1B2C2关于直线x＝4对称；
（4）作图见解析 连接BC1，交y轴于点P，连接BC，
∵PC1=PC，PC+PB=PC1+PB≥BC1 当B，P，C1三点共线时，PB+PC最小
（5）作图见解析
延长BC交y轴于点Q，∵QB-QC≤BC 当B，C，Q三点共线时，取得最大值
【点睛】本题考查了平移作图，轴对称作图，写出点的坐标，轴对称的性质求最值，两点之间线段最短求最值，掌握以上知识是解题的关键．
25．（2022·河南商丘·七年级期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，现同时将点，分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，的对应点，，连接，，．
(1)点的坐标为_________，点的坐标为_________，四边形的面积为_________；
(2)在轴上是否存在一点，使得的面积是面积的2倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，点是线段上一动点（，两点除外），试说明与的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)点C的坐标为，点D的坐标为，四边形的面积12
(2)存在，的坐标为或 (3)，理由见解析
【分析】（1）根据点平移的规律易得点C的坐标为（0，2），点D的坐标为（6，2）；
（2）设点E的坐标为（x，0），根据△DEC的面积是△DEB面积的2倍和三角形面积公式得到，解得x＝1或x＝7，然后写出点E的坐标；
（3）当点P在线段BD上，作交轴于，根据平行线的性质由得，再根据平行线的性质，，从而得到结论．
（1）解：∵点A、的坐标分别是，，同时将点、分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到A、的对应点、，
∴点的坐标为，点的坐标为，；
（2）解：存在．理由如下：设点的坐标为，∵的面积是的面积的2倍，
∴，解得或，∴点的坐标为或；
（3）解：，理由如下：过点作交轴于，如图所示：
∴ ∴，，∴．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标得到线段的长和线段与坐标轴的关系，也考查了平行线的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．
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专题4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移
模块1：学习目标
1、感受坐标平面内图形变化相应的坐标变化；
2、了解关于坐标轴对称的两个点的坐标关系；
3、会求与已知点关于坐标轴对称的点的坐标；
3、利用关于坐标轴对称的两个对称点的坐标关系，求作轴对称图形。
模块2：知识梳理
1．坐标系中的平移：
（1）将点向右（或向左）平移a个单位可得对应点或．
（2）将点向上（或向下）平移b个单位可得对应点或．
总结：点的左右平移横坐标满足左减右加，点的上下平移纵坐标满足上加下减．
2．坐标系中的对称：
（1）点关于x轴的对称点是，即横坐标不变，纵坐标互为相反数．
（2）点关于y轴的对称点是，即纵坐标不变，横坐标互为相反数．
总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数．
（3）点关于坐标原点的对称点是，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．
（4）点关于点的对称点是．
（5）点关于的对称点是．
（6）点关于的对称点是．
（7）点关于一三象限的平分线的对称点为．
（8）点关于二四象限的平分线的对称点为．
3.两个公式
（1）中点公式：若、，则AB中点C坐标为：；
（2）两点距离公式：已知两点：、，则．
（都可以由这两个点来构造直角三角形进行推导，中点公式用中位线，距离公式用勾股定理推导）
模块3：核心考点与典例
考点1. 点在坐标系中的平移
例1．（2022·山东临沂·七年级期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得到的点坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2022·成都市·八年级期末）将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣1，5），则A点坐标为（ ）
A．（﹣4，11） B．（﹣2，6） C．（﹣4，8） D．（﹣3，8）
变式2.（2023·辽宁葫芦岛·七年级期末）在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点B（﹣1，2）重合，则点A的坐标是（ ）
A．（4，5） B．（﹣6，﹣1） C．（﹣4，5） D．（﹣4，﹣1）
考点2. 图形在坐标系中的平移
例2．（2022·福建·武平县七年级期中）如图，把图①中经过一定的变换得到图②中的，如果某个点在图②中的点的坐标是，那么这个点在图①的上点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2022·陕西商洛·七年级期末）已知线段的端点，，将线段平移后，点坐标是，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
变式2.（2022·广西·柳州七年级阶段练习）如图，点A、B的坐标分别是为（-3，1），（-1，-2），若将线段AB平移至的位置，与坐标分别是（m，4）和（3，n），则线段AB在平移过程中扫过的图形面积为（ ）
A．18 B．20 C．28 D．36
考点3. 点在坐标系中的轴对称
例3．（2022·新疆·八年级期末）已知点A(a，2)与点B(3，b)关于x轴对称，则a+2b＝（ ）
A．-4 B．-1 C．-2 D．4
变式1．（2022·贵州·金沙县八年级期末）若点关于y轴的对称点是，则m＋n的值是（ ）
A．4 B．－4 C．－2 D．2
变式2．（2022·新疆·八年级期末）已知点A(a，2)与点B(3，b)关于x轴对称，则a+2b＝（ ）
A．-4 B．-1 C．-2 D．4
考点4. 图形在格点中的变换（平移）
例4．（2022·四川南充·七年级期末）如图，三角形AOB中，A，B两点的坐标分别为，将三角形AOB向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度得到三角形．
(1)在图中画出三角形，并分别写出点，，的坐标．(2)求三角形AOB的面积．
变式1．（2022·山东·七年级期中）如图，将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到．(1)请画出平移后的图形(2)并写出各顶点的坐标．(3)求出的面积．
变式2．（2022·山东德州·七年级期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，．(1)在平面直角坐标系中画出；(2)平移，使点A与点重合，写出点、点平移后的所得点的坐标，并描述这个平移过程．(3)求的面积
考点5. 图形在格点中的变换（轴对称）
例5.（2022·云南·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，4），B（-4，1），C（-1，2）．(1)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△．(2)请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标： ．(3)求△ABC的面积．(4)在x轴上画出点P，使QA＋QC最小．
变式1．（2022·甘肃·八年级期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系后△ABC的顶点均在格点上．(1)写出点A、B、C的坐标；(2)写出△ABC关于x轴对称的的顶点、、的坐标；(3)求．
变式2．（2023·浙江·八年级期中）如图，在边长为1的小正方形所组成的网格中，每一个小正方形的顶点称为“格点”，请你用无刻度直尺，借助网格，按要求完成作图：
(1)以AB所在直线为对称轴，作出△ABC的轴对称图形△ABD；(2)以AD所在直线为对称轴，作出△ABD的轴对称图形△AED；(3)已知A点的坐标为(0，2)，C点坐标为(4，4)，请你建立平面直角坐标系并分别写出点D和点E的坐标为_______．
考点6. 两个重要的公式
例6.（2022·湖北省宜昌七年级期中）先阅读下列一段文字，再解答问题：已知在平面内有两点，其两点间的距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或
(1)已知点M（2，4），N（3，8），试求M，N两点间的距离；
(2)已知点，判断线段AB，BC，AC中哪两条是相等的？并说明理由．
变式1．（2022·海南海口·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点B、C的坐标分别是，，点D、E分别是AB、AC的中点，点D的坐标为，则点A、E的坐标分别是______．
模块四：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·辽宁大连·七年级期末）在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度，得到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·西安·八年级期末）四盏灯笼的位置如图，已知，，，的坐标分别是，，，，平移轴右侧的一盏灯笼，使得轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是( )
A．将向左平移个单位 B．将向左平移个单位
C．将向左平移个单位 D．将向左平移个单位
3．（2022·新疆·沙雅县第五中学七年级期中）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是，将线段AB平移得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·贵州毕节·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，若将线段平移至处，点分别在x轴和y轴上，则的面积为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
5．（2022·河北保定·七年级期末）已知点在第一象限内，连接PQ，将线段PQ平移，使平移后的点P，Q分别在x，y轴上，则点Q平移后的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后与点B（﹣1，2）重合，则点A的坐标是（ ）
A．（4，5） B．（﹣6，﹣1） C．（﹣4，5） D．（﹣4，﹣1）
7．（2022·全国·八年级期末）点A在平面直角坐标系xOy中的坐标为（5，3），将坐标系xOy中的x轴向上平移2个单位长度，y轴向左平移3个单位长度，得到平面直角坐标系，在新坐标系中，点A的坐标为（ ）
A．（2，5） B．（8，0） C．（8，5） D．（8，1）
8．（2022·山东菏泽·一模）如图，在平面直角坐标系中，将四边形先向上平移，再向左平移得到四边形，已知，则点B坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·贵州省毕节市威宁彝族回族苗族自治县保家中学八年级期末）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·河北·石家庄市第二十二中学八年级阶段练习）如图，将的三个顶点坐标的横坐标都乘以－1，并保持纵坐标不变，则所得图形与原图形的关系是（ ）
A．将原图形沿轴的负方向平移了1个单位 B．关于轴对称
C．将原图形沿轴的负方向平移了1个单位 D．关于轴对称
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·甘肃·武威八年级期末）点P（-2，4）关于x轴对称的点的坐标为________．
12．（2022·四川成都·八年级期末）平面直角坐标系中，将点先向上平移6个单位．再向左平移2个单位得到点B，则点B的坐标为______．
13．（2022·陕西·西安八年级期末）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移2个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点B′的坐标是_____．
14．（2022·山东济宁·七年级期末）如图，已知Rt△ABC的边BC在x轴上，，且A（1，2），B（-2，0）若将△ABC平移，使点B落在点A处，则点C的对应点的坐标为___________
15．（2022·辽宁·八年级阶段练习）已知点A（-2，m）与点B（-2，-4）关于x轴对称，则m的值为___
16．（2022·广东·惠州市七年级期末）在平面直角坐标系中，已知点A（-5，4），B（0，1），现将线段向右平移，使A与坐标原点重合，则平移后的坐标是_____．
17．（2022·吉林吉林·七年级期末）在平面直角坐标系中，把线段平移（点A的对应点是，点B的对应点是）．线段的两个端点的坐标分别为，，若平移后，点的坐标为，则点的坐标为________．
18．（2022·山西晋中·二模）如图，在平面直角坐标系中，是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，它的顶点坐标分别为：，，，则的顶点的坐标为______．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·山东德州·七年级期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，．(1)在平面直角坐标系中画出；(2)平移，使点A与点重合，写出点、点平移后的所得点的坐标，并描述这个平移过程．(3)求的面积
20．（2022·辽宁·阜新蒙古族自治县蒙古贞初级中学八年级期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC，并求出△ABC的面积？
(2)若点D与点C关于轴对称，则点D的坐标为_____________；
21．（2022·山东济宁·七年级期末）在平面直角坐标系中，A， B， C三点的坐标分别为(－5，4)，(－3， 0)， (0， 2)．
(1)画出三角形ABC，并求三角形ABC的面积；(2)如图，三角形A'B'C'可以由三角形ABC经过怎样的平移得到？对应点的坐标有什么变化？(3)已知点P (m， n)为三角形ABC内的一点，则点P在三角形A'B'C'内的对应点P'的坐标为(__________)．
22．（2022·江苏无锡·八年级期中）在平面直角坐标系中，已知线段AB．其中A（1，－3），B（3，0）．平移线段AB到线段CD，使点A的对应点为点D，点B的对应点为点C．
（备用图）
(1)若点C的坐标为（－2，4），则点D的坐标是 ；
(2)若点C在y轴的正半轴上，点D在第三象限且四边形ABCD的面积为14，求点C的坐标．
23．（2022·河南·郑州市第十九初级中学八年级期末）已知：如图，已知△ABC．
(1)写出图中A，B，C三个点的坐标．
(2)画出与△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1．
(3)写出△A1B1C1与△ABC对应点的坐标之间的关系．
24．（2022·湖北荆门·八年级期中）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示：
(1)画出△ABC关于y轴对称的△AB1C1；并写出B1的坐标；
(2)将△ABC向右平移8个单位，画出平移后的△A1B2C2，并写出B2的坐标；
(3)在（1）、（2）的基础上，写出△AB1C1与△A1B2C2有怎样的位置关系？
(4)在y轴上有一点P，使得PB+PC最小，请画出点P；（用虚线保留画图的痕迹）
(5)在y轴上有一点Q，使得QB－QC最大，请画出点Q．（用虚线保留画图的痕迹）
25．（2022·河南商丘·七年级期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，现同时将点，分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，的对应点，，连接，，．
(1)点的坐标为_________，点的坐标为_________，四边形的面积为_________；
(2)在轴上是否存在一点，使得的面积是面积的2倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，点是线段上一动点（，两点除外），试说明与的大小关系，并说明理由．
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