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专题4.4 整式
模块1：学习目标
1、了解单项式、多项式、整式的概念；
2、理解单项式的系数和次数的概念；理解多项式中项、项的系数、多项式的次数等概念；
3、了解整式在解决实际问题中的应用。
模块2：知识梳理
单项式：数或字母的积（单独的一个数或一个字母也是单项式）。例：5x；100；x；10ab等。
注：分母中有字母，那就是字母的商，不是单项式。例：不是单项式。
单项式的系数：单项式中的数字叫做单项式的系数。例：的系数为。
单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和。例： 的次数为3次。
多项式：几个单项式的和。
项：每个单项式叫做多项式的项，有几项，就叫做几项式。 常数项：不含字母的项。
多项式的次数：所有项中，次数最高的项的次数就是多项式的次数（最高次数是n次，就叫做n次式）。
整式：单项式与多项式统称为整式。
注：①多项式是由多个单项式构成的；②单项式和多项式的区别在于是否含有加减运算；③分母中含有字母的式子不是整式（因不是单项式或多项式）
模块3：核心考点与典例
考点1、单项式的概念
例1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考期中）代数式：，，，t，，，，其中单项式的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】单项式就是数与字母的乘积，单独的数或字母是单项式，根据定义即可判断．
【详解】解：单项式就是数与字母的乘积，单独的数或字母是单项式，
所以是单项式的是：，，t，，所以单项式的个数是4个．故选：B．
【点睛】本题考查了单项式的定义，正确理解定义是关键．
变式1．（2023·广东惠州·七年级统考期中）下列代数式 ，0， ， ， ， ， 中，单项式共有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】据单项式的定义：数字和字母的乘积的形式，单个数字和字母，也是单项式，进行判断即可．
【详解】解： ，0， ， ， ， ， 中，属于单项式的有 ，0， ，共4个；故选B．
【点睛】本题考查单项式．熟练掌握单项式的定义，是解题的关键．
变式2．（2022秋·河北唐山·七年级统考期中）代数式，，，a，20，，中单项式的个数是（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】B
【分析】根据单项式的定义：数字与字母的乘积叫做单项式，单独的一个数或单独的一个字母也是单项式，求解即可．
【详解】解：单项式有：，a，20，，共有5个，故选：B．
【点睛】本题主要考查了单项式的定义，熟悉相关性质是解题的关键，注意单独的一个数或单独的一个字母也是单项式．
考点2、单项式的系数与次数
例2．（2023·福建三明·七年级校考期中）下面的说法中，正确的是（ ）
A．单项式的次数是2次 B．中底数是2 C．的系数是3 D．3是单项式
【答案】D
【分析】根据单项式的相关概念逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A、单项式的次数是3次，故此选项错误，不符合题意；
B、中底数是，故此选项错误，不符合题意；
C、的系数是，故此选项错误，不符合题意；
D、3是单项式，故此选项正确，符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了单项式的相关概念，由数与字母的积和字母与字母的积组成的代数式叫做单项式；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，熟练掌握相关概念是解题的关键．
变式1．（2022秋·江西赣州·七年级统考期末）若单项式的次数为 ．
【答案】3
【分析】根据单项式的次数的定义得出即可．
【详解】单项式的次数为 故答案为：．
【点睛】本题考查了单项式的次数的定义，能熟记单项式的次数的定义的内容是解此题的关键，注意：单项式中的字母的指数的和，叫单项式的次数．
变式2．（2023秋·四川成都·七年级校考阶段练习）单项式的系数是 ．
【答案】
【分析】根据单项式中的数字因数叫做单项式的的系数解答即可．
【详解】解：单项式的系数是．故答案为：．
【点睛】本题考查了单项式的概念，只含加、减、乘、乘方的代数式叫做整式，不含有加减运算的整式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．单项式中的数字因数叫做单项式的的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和．
变式3．（2023秋·浙江七年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．单项式既没有系数，也没有次数 B．单项式的系数是
C．式子是单项式 D．有理数是单项式
【答案】D
【分析】根据单项式及其系数、次数的定义：只含有数与字母的积的整式叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．判断选择即可．
【详解】A、单项式系数是，次数是，故原说法错误；
B、单项式的系数是，故原说法错误；
C、式子是分式，不是单项式，故原说法错误；
D、有理数是单独的一个数，也是单项式，故原说法正确．故选：D．
【点睛】本题考查单项式及其系数、次数的定义，熟练掌握单项式及其系数、次数的定义是解题关键．
考点3、多项式的概念
例3．（2023·江西赣州·七年级统考期末）下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥；⑦，多项式的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】多项式是几个单项式和的形式．
【详解】解：多项式有：、共2个 故选：B．
【点睛】本题考了多项式的概念，抓住多项式是几个单项式的和．
变式1．（2022秋·河南鹤壁·七年级统考期中）下列代数式中，不是多项式的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据多项式是几个单项式的和去判断即可．
【详解】A. 是多项式，不符合题意；B. 是多项式，不符合题意；
C. 不是多项式，符合题意； D. 是多项式，不符合题意；故选B．
【点睛】本题考查了多项式，熟练掌握定义是解题的关键．
变式2．（2023秋·浙江·七年级专题练习）下列式子：，，，4，，，，其中是多项式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据多项式的定义解答即可．
【详解】解：由题意得，，均是多项式，共三个；
的分母含字母，不是整式；，4，是单项式；故选：B．
【点睛】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式．多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．
考点4、多项式的项、系数与次数
例4．（2023·江西吉安·七年级统考期中）多项式是（ ）
A．三次四项式 B．三次三项式 C．四次四项式 D．四次三项式
【答案】C
【分析】根据多项式的定义解答即可．
【详解】解：项式是四次四项式．故选C．
【点睛】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式．多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
变式1．（2023·安徽合肥·七年级校考阶段练习）对于多项式，下列说法正确的是（ ）
A．最高次项是 B．二次项系数是 C．常数项是 D．是三次四项式
【答案】D
【分析】根据几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫作多项式的次数进行分析即可．
【详解】解：多项式最高次项是，二次项系数是，常数项是，是三次四项式，故D选项正确，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了多项式的定义，关键是掌握和多项式有关的定义．
变式2．（2023·福建·七年级校考期中）关于多项式，下列说法错误的是（ ）
A．这个多项式是五次四项式 B．常数项是1
C．按y降幂排列为 D．四次项的系数是3
【答案】D
【分析】根据多项式的概念和降幂排序的方法进行判断即可．
【详解】解：A、这个多项式是五次四项式，故此项不符合题意；
B、常数项是1，故此项不符合题意；
C、按y降幂排列为，故此不项符合题意；
D、四次项的系数是，故此项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查多项式的定义及多项式的降幂排序，熟练掌握多项式的相关定义是解题的关键．
考点5、整式的概念
例5．（2023·上海浦东新·七年级校考期中）在代数式；；；；；中整式的个数有（ ）个．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】单项式和多项式统称为整式，利用整式的定义即可判断．
【详解】、分母中含字母，不是整式，
是多项式、、、是单项式，属于整式，
故整式有，共4个，故选：．
【点睛】此题考查了整式，单项式和多项式统称为整式，解答题的关键是正确理解：单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法；多项式是若干个单项式的和，有加减法．
变式1．（2023·福建漳州·七年级漳州实验中学校考期中）在代数式：中，整式有（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据整式的定义，单项式和多项式统称为整式解决此题．
【详解】解：根据整式的定义，整式有，共4个．故选：C．
【点睛】本题主要考查整式，熟练掌握整式的定义是解决本题的关键．
变式2．（2023·河北唐山·模拟预测）在，，，，等五个代数式中整式一共有（ ）个．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法．
【详解】解：是不是整式，、、、是整式，故整式的个数有4个，故选：B．
【点睛】本题主要考查的是整式的定义，属于基础题型．正确理解整式的定义是解决这个问题的关键．
考点6、写出满足条件的单项式
例6．（2023秋·安徽亳州·七年级统考期中）请写出一个系数是负数，次数是5的单项式： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据单项式定义直接求解即可得到答案．
【详解】解：由单项式定义可得满足条件的一个单项式为，故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查单项式定义，熟记单项式定义是解决问题的关键．
变式1．（2023·河南鹤壁·七年级统考期中）写一个含有3个字母，系数是，次数是4的单项式，则这个单项式可以是 ．（写一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据单项式的次数和系数的定义构造单项式即可．
【详解】解：由题意可得：这个单项式可以是，故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查单项式的次数和系数，熟记概念是关键．
变式2．（2023秋·浙江·七年级专题练习）写出一个系数为，且含字母和的3次单项式 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据单项式的系数与次数的含义即可求解．单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
【详解】解：依题意，一个系数为，且只含有字母，的3次单项式为：，
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题考查了单项式的系数与次数，熟记概念是解题的关键．
考点7、写出满足条件的多项式
例7．（2023·上海·七年级统考期末）写一个只含有字母x，且一次项系数为的二次三项式： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据多项式的次数和项数的概念解答即可．二次三项式是指最高次为2次，并含有三项，而一次系数为．
【详解】解：由题意得：满足题意的可为：，答案不唯一．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】此题考查的是对多项式的性质的理解，此题答案不唯一，只要满足条件即可．
变式1. （2023 乾安县期末）任意写出一个含有字母a，b的五次三项式，其中最高次项的系数为2： ．
【解题思路】直接利用多项式的次数与项数的定义分析得出答案．
【解答过程】解：由题意可得：2a2b3+ab+1（答案不唯一）．
故答案为：2a2b3+ab+1（答案不唯一）．
变式2. （2023 无锡期末）写出一个次数是3，且只含有x，y的二项式： ．
【解题思路】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一个符合已知条件的即可．
【解答过程】解：次数是3，且只含有x，y的二项式是x2y+x，
故答案为：x2y+x（答案不唯一）．
考点8、单项式与多项式中的参数问题
例8．（2023·陕西榆林·七年级统考期中）已知单项式的次数与多项式的次数相同，求的值．
【答案】
【分析】根据多项式的次数和项数以及单项式的次数的定义，即可求解．
【详解】解：因为多项式的次数是6，
所以单项式的次数也是6，所以，所以．
【点睛】本题考查了多项式的次数和单项式的次数的定义，掌握多项式中次数最高项的次数是多项式的次数是解题的关键．
变式1．（2023秋·浙江七年级课时练习）已知多项式是五次多项式，单项式与该多项式的次数相同，则 ．
【答案】
【分析】根据多项式的次数和单项式的次数的定义即可得出答案，单项式的次数是所有变量次数的和，多项式次数是其所有单项式次数最高的次数．
【详解】解：∵多项式是五次多项式，，解得：，
∵单项式与该多项式的次数相同，，解得：，故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式的次数和单项式的次数的定义，掌握多项式中次数最高项的次数是多项式的次数是解题的关键．
变式2．（2023秋·浙江七年级课时练习）已知多项式是五次四项式，最高次项的系数为，且单项式与该多项式的次数相同，求三次项系数．
【答案】1和
【分析】根据多项式是五次四项式，最高次项的系数为，且单项式与该多项式的次数相同，求出的值，从而即可得到答案．
【详解】解：多项式是五次四项式，最高次项的系数为，
或，解得：或，
单项式与该多项式的次数相同，，
把代入得：，解得：，，
多项式为，三次项系数为1和．
【点睛】本题主要考查了单项式与多项式的相关概念，根据题意正确求出的值，熟练掌握单项式与多项式的相关概念是解题的关键．
.
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）下列各式中，不是单项式的是（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】A
【分析】根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式解答即可．
【详解】解：x，5，都是单项式，不是整式，不是单项式，故选：A．
【点睛】本题考查的是单项式，即数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
2．（2023·河北沧州·七年级校考期中）下列代数式：，，，，，，a，其中整式有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】B
【分析】根据单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法，可得答案．
【详解】解：整式有，，，，，共有5个；故选：B．
【点睛】本题考查了整式，单项式和多项式统称为整式，注意分母中含有字母的式子是分式不是整式．
3．（2023·广东广州·七年级校考期中）单项式的系数和次数分别是（ ）
A．9，6 B．9，5 C． D．
【答案】C
【分析】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，由此即可得出答案．
【详解】解：单项式的系数和次数分别是：；6．
故选：C．
【点睛】此题考查了单项式的知识，解题的关键是掌握单项式的系数及次数的定义，属于基础题．
4．（2023·黑龙江佳木斯·七年级校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．的系数是，次数是3 B．的系数是，次数是8
C．的系数是，次数是5 D．的系数是5，次数是2
【答案】C
【分析】根据单项式的系数和次数的定义进行判断即可．
【详解】解：A．的系数是，次数是2，故选项错误，不符合题意；
B．的系数是，次数是，故选项错误，不符合题意；
C．的系数是，次数是5，故选项正确，符合题意；
D．的系数是，次数是2，故选项错误，不符合题意．故选：C．
【点睛】此题考查了单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数，熟练掌握单项式的系数和次数的定义是解题的关键．
5．（2023·黑龙江鸡西·七年级校考期中）下列结论正确的序号是（ ）
①是一个二次多项式；②多项式的系数是；③多项式是整式；④多项式的次数是4；⑤是多项式．
A．①②③④ B．①③ C．②③⑤ D．①④⑤
【答案】B
【分析】根据单项式与多项式的系数与次数的定义进行求解即可．
【详解】①是一个二次多项式，故正确；②多项式没有系数，故错误；
③多项式是整式，正确；④多项式的次数是2，故错误；⑤不是整式，故错误．
故选：B
【点睛】本题主要考查多项式与单项式，解答的关键是对多项式与单项式的次数与系数的掌握．
6．（2023·福建南平·七年级统考期中）一组按规律排列的式子：，，，，，则第个式子是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据上述式子，找到规律，进行解答，即可
【详解】∵，，，，，
通过观察，第一个式子的分子为：，第二个式子的分子为：，第三个式子的分子为：，第四个式子的分子为：，∴第个式子的分子为：；
第一个式子的分母为：，第二个式子的分子为：，第三个式子的分子为：，第四个式子的分子为：，∴第个式子的分母为：，∴上述式子的规律为：，
∴第个式子为：．故选：C．
【点睛】本题考查整式的知识，解题的关键根据题意，找到式子的规律．
7．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级校考开学考试）下列各式中，是二次三项式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据多项式的相关概念逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A、是二次二项式，故此选项不符合题意；
B、是一次三项式，故此选项不符合题意；C、是三次二项式，故此选项不符合题意；
D、是二次三项式，故此选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了多项式的相关概念，几个单项式的和（或者差），叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数，其中多项式中不含字母的项叫做常数项，熟练掌握多项式的有关概念是解题的关键．
8．（2023·广西七年级期末）下列说法错误的是（ ）
A．是单项式也是整式 B．是多项式也是整式
C．整式一定是单项式 D．整式不一定是多项式
【答案】C
【分析】整式包括单项式和多项式；表示数与字母的积的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式．
【详解】解：A. 是单独一个字母，是单项式也是整式，此选项正确，不符合题意；
B. 表示为5m-5n，是两个单项式的和，是多项式也是整式，此选项正确，不符合题意；
C. 整式可能是单项式，也可能是多项式，此选项不正确，符合题意；
D. 整式可能是单项式，也可能是多项式，整式不一定是多项式，此选项正确，不符合题意．
故答案为：C．
【点睛】本题考查了整式的定义，掌握概念是解题的关键．
9．（2023 泰兴市期中）下列说法：①若n为任意有理数，则﹣n2+2总是负数；②一个有理数不是整数就是分数；③若ab＞0，a+b＜0，则a＜0，b＜0；④﹣3x2y，，6a都是单项式；⑤若干个有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定；⑥若a＜0，则|a|＝﹣a．其中错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据多项式、单项式、有理数的乘法和有理数的加法法则分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解析】①若n为任意有理数，则﹣n2+2总是负数，错误；②一个有理数不是整数就是分数，正确；
③若ab＞0，a+b＜0，则a＜0，b＜0，正确；④是多项式；
⑤若干个有理数（0除外）相乘，积的符号由负因数的个数确定；⑥若a＜0，则|a|＝﹣a，正确；
其中错误的有①④⑤，共3个；故选：C．
【点评】本题考查了多项式、单项式、有理数的乘法和有理数的加法则，能熟记知识点的内容是解此题的关键．
10.（2023·河南鹤壁·七年级期末）多项式是关于的四次三项式，则的值是（ ）
A．4 B． C． D．4或
【答案】C
【分析】根据四次三项式的定义可知，该多项式的最高次数为4，项数是3，所以可确定m的值．
【详解】解：∵多项式是关于x的四次三项式，
∴|m|=4，m-4≠0，∴m=-4，故C正确．故选：C．
【点睛】本题考查了与多项式有关的概念，解题的关键理解四次三项式的概念，多项式中每个单项式叫做多项式的项，有几项叫几项式，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·湖北黄冈·七年级校考阶段练习）在整式，，，，中，单项式有 ．
【答案】，
【分析】根据单项式的定义逐个判断即可得到答案．
【详解】解：，是单项式，故答案为：，；
【点睛】本题考查单项式的定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式．
12．（2023·内蒙古呼伦贝尔·七年级统考期末）写出一个系数为，次数为4的单项式，这个单项式可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据单项式的系数、次数的定义即可得．
【详解】解：由题意，这个单项式可以为，故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了单项式的系数、次数的定义，熟记定义是解题关键．
13．（2023·黑龙江鸡西·七年级校考期中）多项式是 次 项式，它的常数项是 ．
【答案】 二 三
【分析】多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数；多项式中的每一个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，根据定义可得答案．
【详解】解：多项式二次三项式，常数项是，故答案为：二、三，
【点睛】本题考查的是多项式的次数与项，常数项的含义，熟记基础概念是解本题的关键．
14．（2023·安徽宣城·七年级校考期中）已知单项式的次数与多项式的次数相同，则 ．
【答案】5
【分析】根据单项式次数的定义：各字母指数的和；多项式中次数的定义：组成多项式的各单项式中次数最高的项，得出相应方程求解即可．
【详解】解：单项式的次数是7，
∴多项式的次数也是7，∴，∴．故答案为：5
【点睛】题目主要考查单项式与多项式中次数的定义，理解次数的定义是解题关键．
15．（2022秋·黑龙江佳木斯·七年级校考期中）观察一列单项式：，，，，，…，则第2018个单项式是 。
【答案】
【分析】观察单项式的系数和次数找出规律即可求解．
【详解】解：根据题意，第n个单项式的系数为，又次数依次为1、2、3、1、2、3…，每3个为一组进行循环，，
∴第2018个单项式的系数为，次数为2，
∴第2018个单项式是，
故答案为：．
【点睛】本题考察单项式的应用，理解题意，观察出系数和次数的变化规律是解答的关键．
16．（2023 南岗区七年级校级月考）已知（m﹣3）xy|m|+1是关于x，y的五次单项式，则m的值是 ．
【分析】根据单项式的次数的概念列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：由题意得，|m|+1+1＝5，m﹣3≠0，解得，m＝﹣3，故答案为：﹣3．
17．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考期中）如果一个多项式的各项的次数都相同，那么这个多项式叫做齐次多项式，如：是3次齐次多项式，若是齐次多项式，则x的值是 ．
【答案】1
【分析】根据题意，得到，计算即可．
【详解】根据题意，得到，解得，故答案为：1．
【点睛】本题考查了多项式的新定义，熟练掌握定义是解题的关键．
18．（2022秋·北京朝阳·七年级校考期中）观察下列图形及图形所对应的算式，
根据你发现的规律计算：（1）的结果为 ；
（2）（是正整数）的结果为 ．
【答案】 49
【分析】算式与正方形的面积有关，分别列出前三个图形的面积，找出规律，从而得到第个图形的面积．
【详解】解：第（1）个图形的面积；
第（2）个图形的面积；
第（3）个图形的面积；
第个图形的面积是正整数），故答案为：49；．
【点睛】本题考查探索规律，体现了数形结合的数学思想，发现算式与正方形的面积有关是解题关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·安徽六安·七年级校考阶段练习）对下列式子进行分类．
．
单项式：（ ）；多项式：（ ）；整式：（ ）．
【答案】，，，；，，；，，，，，，
【分析】单项式是指只含乘法的式子，单独的字母或数字也是单项式． 多项式：若干个单项式的代数和组成的式子．多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．不含字母的项叫做常数；整式：单项式和多项式统称为整式．
【详解】单项式：（，，，）
多项式：（，，）
是整式：（，，，，，，）
【点睛】本题考查整式、单项式、多项式的概念，熟练掌握相关的概念是解题的关键．
20．（2023秋·江苏·七年级专题练习）已知多项式是六次四项式，单项式的次数与多项式的次数相同，求m、a的值．
【答案】
【分析】单项式的次数是指单项式中所有字母的指数的和，多项式的次数是指多项式中次数最高的单项式的次数，根据定义解决即可．
【详解】解：∵是六次四项式，，∴，解得：，
又∵单项式的次数与多项式的次数相同，
∴，即，解得：，∴．
【点睛】本题考查了单项式的次数的定义和多项式次数的定义，根据定义建立方程即可解决．
21.分别写出一个符合下列条件的单项式：（1）系数为3；（2）次数为2；（3）系数为﹣1，次数为3；（4）写出系数为﹣1，均只含有字母a，b所有五次单项式．
【分析】（1）直接利用单项式的系数确定方法分别分析得出答案；
（2）直接利用单项式的次数确定方法分别分析得出答案；
（3）直接利用单项式的次数与系数确定方法分别分析得出答案；
（4）直接利用单项式的系数确定方法分别分析得出答案．
【解答】解：（1）系数为3的单项式可以为：3ab（答案不唯一）；
（2）次数为2的单项式可以为：x2（答案不唯一）；
（3）系数为﹣1，次数为3的的单项式可以为：﹣x3（答案不唯一）；
（4）系数为﹣1，均只含有字母a，b所有五次单项式分别为：﹣ab4，﹣a2b3，﹣a3b2，﹣a4b．
22.（2023 双流区校级期中）已知（m+1）x3﹣（n﹣2）x2+（2m+5n）x﹣6是关于x的多项式．
（1）当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的二次多项式？
（2）当m，n满足什么条件时，该多项式是关于x的三次二项式？
【解题思路】（1）根据二次多项式的定义得出m+1＝0，且n﹣2≠0，然后求解即可；（2）根据多项式是关于x的三次二项式得出m+1≠0，n﹣2＝0，且2m+5n＝0，然后求解即可得出答案．
【解答过程】解：（1）由题意得：m+1＝0，且n﹣2≠0，解得：m＝﹣1，n≠2，
则m＝﹣1，n≠2时，该多项式是关于x的二次多项式；
（2）由题意得：m+1≠0，n﹣2＝0，且2m+5n＝0，解得：m≠﹣1，n＝2，
把n＝2代入2m+5n＝0得：m＝﹣5，则m＝﹣5，n＝2时该多项式是关于x的三次二项式．
23.（2023 朝阳区校级期中）定义：f（a，b）是关于a，b的多项式，如果f（a，b）＝f（b，a），那么f（a，b）叫做“对称多项式”．例如，如果f（a，b）＝a2+a+b+b2，则f（b，a）＝b2+b+a+a2，显然，所以f（a，b）＝f（b，a）是“对称多项式”．
（1）f（a，b）＝a2﹣2ab+b2是“对称多项式”，试说明理由；
（2）请写一个“对称多项式”，f（a，b）＝ （不多于四项）；
【解题思路】（1）根据对称多项式的定义，把多项式中的a，b互换，多项式不变就是，据此即可判断；（2）根据定义即可写出，答案不唯一；
【解答过程】解：（1）∵f（b，a）＝a2﹣2ab+b2，
则f（a，b）＝f（a，b），故f（a，b）＝a2﹣2ab+b2是“对称多项式”；
（2）f（a，b）＝a+b，答案不唯一 故答案为：a+b，答案不唯一；
24．（2023·陕西咸阳·七年级校考期中）18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单的多面体模型，解答下列问题：
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体 顶点数 面数 棱数
四面体 4 4 ________
六面体 8 ________
八面体 ________ 8
你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是_______；
(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有条棱，则这个多面体的面数多少？
【答案】(1)6；6；6； (2)
【分析】（1）观察图形，结合多面体的顶点、面和棱的定义进行填空即可．根据多面体的顶点数，面数和棱数，总结规律可得V、F、E之间的数量关系式．
（2）根据（1）中，顶点数，面数和棱数之间的关系式，代入求解即可．
【详解】（1）解：四面体的棱数为6；长方体的面数为6；正八面体的顶点数为6；
关系式为：；故答案为：；
（2）解：由题意得：，解得．故答案为：．
【点睛】本题考查了多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用，得出欧拉公式是解题关键．
25．（2023·福建三明·七年级校考期中）（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空：
第1个点阵：
第2个点阵：
______＋______
第3个点阵：
______＋______
（2）观察猜想，写出第个点阵相对应的等式．
（3）根据以上猜想，求出的值．
【答案】（1），，，；（2）；（3）20201
【分析】（1）根据点阵图即可求解；（2）根据（1）中的3个等式得出规律，进而写出第个点阵相对应的等式；（3）根据（2）中得出的规律，进行计算即可．
【详解】解：（1）由图可得：，，
故答案为：，，，；
（2）第1个点阵：
第2个点阵：
第3个点阵：
第个点阵相对应的等式为：
；
（3）由（2）可得：，
，，
．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过观察、分析、归纳，得出规律第个点阵相对应的等式为：，是解题的关键．
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专题4.4 整式
模块1：学习目标
1、了解单项式、多项式、整式的概念；
2、理解单项式的系数和次数的概念；理解多项式中项、项的系数、多项式的次数等概念；
3、了解整式在解决实际问题中的应用。
模块2：知识梳理
单项式：数或字母的积（单独的一个数或一个字母也是单项式）。例：5x；100；x；10ab等。
注：分母中有字母，那就是字母的商，不是单项式。例：不是单项式。
单项式的系数：单项式中的数字叫做单项式的系数。例：的系数为。
单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和。例：的次数为3次。
多项式：几个单项式的和。
项：每个单项式叫做多项式的项，有几项，就叫做几项式。 常数项：不含字母的项。
多项式的次数：所有项中，次数最高的项的次数就是多项式的次数（最高次数是n次，就叫做n次式）。
整式：单项式与多项式统称为整式。
注：①多项式是由多个单项式构成的；②单项式和多项式的区别在于是否含有加减运算；③分母中含有字母的式子不是整式（因不是单项式或多项式）
模块3：核心考点与典例
考点1、单项式的概念
例1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考期中）代数式：，，，t，，，，其中单项式的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
变式1．（2023·广东惠州·七年级统考期中）下列代数式 ，0， ， ， ， ， 中，单项式共有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
变式2．（2022秋·河北唐山·七年级统考期中）代数式，，，a，20，，中单项式的个数是（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
考点2、单项式的系数与次数
例2．（2023·福建三明·七年级校考期中）下面的说法中，正确的是（ ）
A．单项式的次数是2次 B．中底数是2 C．的系数是3 D．3是单项式
变式1．（2022秋·江西赣州·七年级统考期末）若单项式的次数为 ．
变式2．（2023秋·四川成都·七年级校考阶段练习）单项式的系数是 ．
变式3．（2023秋·浙江七年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．单项式既没有系数，也没有次数 B．单项式的系数是
C．式子是单项式 D．有理数是单项式
考点3、多项式的概念
例3．（2023·江西赣州·七年级统考期末）下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥；⑦，多项式的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式1．（2022秋·河南鹤壁·七年级统考期中）下列代数式中，不是多项式的是（ ）．
A． B． C． D．
变式2．（2023秋·浙江·七年级专题练习）下列式子：，，，4，，，，其中是多项式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
考点4、多项式的项、系数与次数
例4．（2023·江西吉安·七年级统考期中）多项式是（ ）
A．三次四项式 B．三次三项式 C．四次四项式 D．四次三项式
变式1．（2023·安徽合肥·七年级校考阶段练习）对于多项式，下列说法正确的是（ ）
A．最高次项是 B．二次项系数是 C．常数项是 D．是三次四项式
变式2．（2023·福建·七年级校考期中）关于多项式，下列说法错误的是（ ）
A．这个多项式是五次四项式 B．常数项是1
C．按y降幂排列为 D．四次项的系数是3
考点5、整式的概念
例5．（2023·上海浦东新·七年级校考期中）在代数式；；；；；中整式的个数有（ ）个．
A． B． C． D．
变式1．（2023·福建漳州·七年级校考期中）在代数式：中，整式有（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
变式2．（2023·河北唐山·模拟预测）在，，，，等五个代数式中整式一共有（ ）个．
A． B． C． D．
考点6、写出满足条件的单项式
例6．（2023秋·安徽亳州·七年级统考期中）请写出一个系数是负数，次数是5的单项式： ．
变式1．（2023·河南鹤壁·七年级统考期中）写一个含有3个字母，系数是，次数是4的单项式，则这个单项式可以是 ．（写一个即可）
变式2．（2023秋·浙江·七年级专题练习）写出一个系数为，且含字母和的3次单项式 ．
考点7、写出满足条件的多项式
例7．（2023·上海·七年级统考期末）写一个只含有字母x，且一次项系数为的二次三项式： ．
变式1. （2023 乾安县期末）任意写出一个含有字母a，b的五次三项式，其中最高次项的系数为2： ．
变式2. （2023 无锡期末）写出一个次数是3，且只含有x，y的二项式： ．
考点8、单项式与多项式中的参数问题
例8．（2023·陕西榆林·七年级统考期中）已知单项式的次数与多项式的次数相同，求的值．
变式1．（2023秋·浙江七年级课时练习）已知多项式是五次多项式，单项式与该多项式的次数相同，则 ．
变式2．（2023秋·浙江七年级课时练习）已知多项式是五次四项式，最高次项的系数为，且单项式与该多项式的次数相同，求三次项系数．
.
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）下列各式中，不是单项式的是（ ）
A． B． C．5 D．
2．（2023·河北沧州·七年级校考期中）下列代数式：，，，，，，a，其中整式有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
3．（2023·广东广州·七年级校考期中）单项式的系数和次数分别是（ ）
A．9，6 B．9，5 C． D．
4．（2023·黑龙江佳木斯·七年级校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．的系数是，次数是3 B．的系数是，次数是8
C．的系数是，次数是5 D．的系数是5，次数是2
5．（2023·黑龙江鸡西·七年级校考期中）下列结论正确的序号是（ ）
①是一个二次多项式；②多项式的系数是；③多项式是整式；④多项式的次数是4；⑤是多项式．
A．①②③④ B．①③ C．②③⑤ D．①④⑤
6．（2023·福建南平·七年级统考期中）一组按规律排列的式子：，，，，，则第个式子是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级校考开学考试）下列各式中，是二次三项式的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·广西七年级期末）下列说法错误的是（ ）
A．是单项式也是整式 B．是多项式也是整式
C．整式一定是单项式 D．整式不一定是多项式
9．（2023 泰兴市期中）下列说法：①若n为任意有理数，则﹣n2+2总是负数；②一个有理数不是整数就是分数；③若ab＞0，a+b＜0，则a＜0，b＜0；④﹣3x2y，，6a都是单项式；⑤若干个有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定；⑥若a＜0，则|a|＝﹣a．其中错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10.（2023·河南鹤壁·七年级期末）多项式是关于的四次三项式，则的值是（ ）
A．4 B． C． D．4或
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·湖北黄冈·七年级校考阶段练习）在整式，，，，中，单项式有 ．
12．（2023·内蒙古呼伦贝尔·七年级统考期末）写出一个系数为，次数为4的单项式，这个单项式可以是 ．
13．（2023·黑龙江鸡西·七年级校考期中）多项式是 次 项式，它的常数项是 ．
14．（2023·安徽宣城·七年级校考期中）已知单项式的次数与多项式的次数相同，则 ．
15．（2022秋·黑龙江佳木斯·七年级校考期中）观察一列单项式：，，，，，…，则第2018个单项式是 。
16．（2023 南岗区七年级校级月考）已知（m﹣3）xy|m|+1是关于x，y的五次单项式，则m的值是 ．
17．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考期中）如果一个多项式的各项的次数都相同，那么这个多项式叫做齐次多项式，如：是3次齐次多项式，若是齐次多项式，则x的值是 ．
18．（2022秋·北京朝阳·七年级校考期中）观察下列图形及图形所对应的算式，
根据你发现的规律计算：（1）的结果为 ；
（2）（是正整数）的结果为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·安徽六安·七年级校考阶段练习）对下列式子进行分类．
．
单项式：（ ）；多项式：（ ）；整式：（ ）．
20．（2023秋·江苏·七年级专题练习）已知多项式是六次四项式，单项式的次数与多项式的次数相同，求m、a的值．
21.分别写出一个符合下列条件的单项式：（1）系数为3；（2）次数为2；（3）系数为﹣1，次数为3；（4）写出系数为﹣1，均只含有字母a，b所有五次单项式．
22.（2023 双流区校级期中）已知（m+1）x3﹣（n﹣2）x2+（2m+5n）x﹣6是关于x的多项式．
（1）当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的二次多项式？
（2）当m，n满足什么条件时，该多项式是关于x的三次二项式？
23.（2023 朝阳区校级期中）定义：f（a，b）是关于a，b的多项式，如果f（a，b）＝f（b，a），那么f（a，b）叫做“对称多项式”．例如，如果f（a，b）＝a2+a+b+b2，则f（b，a）＝b2+b+a+a2，显然，所以f（a，b）＝f（b，a）是“对称多项式”．
（1）f（a，b）＝a2﹣2ab+b2是“对称多项式”，试说明理由；
（2）请写一个“对称多项式”，f（a，b）＝ （不多于四项）；
24．（2023·陕西咸阳·七年级校考期中）18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单的多面体模型，解答下列问题：
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体 顶点数 面数 棱数
四面体 4 4 ________
六面体 8 ________
八面体 ________ 8
你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是_______；
(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有条棱，则这个多面体的面数多少？
25．（2023·福建三明·七年级校考期中）（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空：
第1个点阵：
第2个点阵：
______＋______
第3个点阵：
______＋______
（2）观察猜想，写出第个点阵相对应的等式．
（3）根据以上猜想，求出的值．
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