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专题4.6 整式的加减
模块1：学习目标
1、掌握整式的加减的步骤；
2、掌握化简求值的步骤.
3、掌握整式比较大小的方法；
4、掌握整式在实际中的应用；
模块2：知识梳理
整式的加减运算实际就是合并同类项的过程，具体步骤为：
①将同类项找出，并置与一起；②合并同类项。
注意：（1）当括号前面有数字因数时，应先利用乘法分配律计算，然后再去括号，注意不要漏乘括号内的任一项。（2）合并同类项时，只能把同类项合并，不是同类项的不能合并，合并同类项实际上就是有理数的加减运算。合并同类项要完全、彻底，不能漏项。
模块3：核心考点与典例
考点1、多项式与多项式和的结果
例1．（2023·浙江七年级期末）若是一个五次多项式，是一个四次多项式，则一定是（ ）
A．次数不超过五次的多项式 B．五次多项式或单项式
C．九次多项式 D．次数不低于五次的多项式
【答案】B
【分析】利用整式的加减法则判断即可．
【详解】解：若A是一个五次多项式，B是一个四次多项式，
则A-B一定是五次多项式或单项式．故选：B．
【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式1. （2023·江苏七年级期中）两个四次多项式相加，和是（ ）
A．八次多项式 B．四次多项式 C．不超过四次的整式 D．不超过四次的多项式
【答案】C
【分析】根据两个多项式都为四次多项式，利用合并同类项法则得到结果为不高于四次的整式．
【详解】解：两个四次多项式相加，结果的次数一定不高于四次，且为多项式或单项式，故选C．
【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式2.（2023 萧山区月考）若P和Q都是关于x的五次多项式，则P+Q是（ ）
A．关于x的五次多项式 B．关于x的十次多项式
C．关于x的四次多项式 D．关于x的不超过五次的多项式或单项式
【分析】根据合并同类项法则判断即可．
【解答】解：若P和Q都是关于x的五次多项式，
则P+Q是关于x的不超过五次的多项式或单项式．故选：D．
考点2、整式的加减（遮挡问题）
例2．（2023·辽宁锦州市·七年级期中）下面是小芳做的一道多项式的加减运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面：，阴影部分即为被墨迹弄污的部分．那么被墨汁遮住的一项应是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意易得，然后进行求解即可．
【详解】解：由题意得：
==；故选D．
【点睛】本题主要考查整式的加减，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键．
变式1. （2023·河南新乡·七年级期末）下面是小明做的一道多项式的加减运算题，但他不小心把一滴墨水滴在了上面．，黑圆处即为被墨汁遮住的部分，那么被墨汁遮住的部分是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】原式去括号合并得到结果，即可确定．
【详解】=-x2+3xy-y2+x2-4xy+y2=-xy，
所以墨汁遮住的是-xy．故选：B．
【点睛】考查了整式的加减，解题关键是理解整式的加减实质上是合并同类项．
变式2. （2023 射洪市七年级期末）印卷时，工人不小心把一道化简题前面一个数字遮住了，结果变成：■．（1）某同学辨认后把“■”猜成10，请你帮他算算化简后该式是多少；（2）老师说：“你猜错了，我看到该题目遮挡部分是单项式的系数和次数之积．”遮挡部分是多少？（3）若化简结果是一个常数，请算算遮挡部分又该是多少？
【分析】（1）把“■”换成10，原式去括号合并即可得到结果；（2）求出单项式的系数和次数之积，确定出遮挡部分即可；（3）设遮挡部分为a，原式去括号合并后，根据化简结果为常数，确定出a的值即可．
【解答】解：（1）根据题意得：原式＝10x2y﹣（5xy2xy﹣3x2yxy）+5xy2
＝10x2y﹣5xy2xy+3x2yxy+5xy2＝13x2y；
（2）是单项式的系数和次数之积为：3＝﹣4，答：遮挡部分应是﹣4；
（3）设遮挡部分为a，原式＝ax2y﹣5xy2+3x2y+5xy2＝ax2y+3x2y＝（a+3）x2y，
因为结果为常数，所以遮挡部分为﹣3．
考点3、整式的加减（不含某项）
例3．（2023 鹿邑县七年级期末）若多项式2x3﹣8x2+x﹣1与多项式3x3+2mx2﹣5x+3的差不含二次项，则m等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【分析】直接利用整式的加减运算法则得出8+2m＝0，进而得出答案．
【解答】解：∵多项式2x3﹣8x2+x﹣1与多项式3x3+2mx2﹣5x+3的差不含二次项，
∴2x3﹣8x2+x﹣1﹣（3x3+2mx2﹣5x+3）＝﹣x3﹣（8+2m）x2+6x﹣4，
∴8+2m＝0，解得：m＝﹣4．故选：D．
变式1．（2023·重庆市七年级期中）若多项式与多项式相减后不含二次项，则的值为______ ．
【答案】-4
【分析】由题意可以得到关于m的方程，解方程即可得到问题答案．
【详解】解：由题意可得：-8-2m=0，解之可得：m=-4，故答案为-4．
【点睛】本题考查多项式的应用，熟练掌握多项式的相关概念是解题关键．
变式2. （2023·河北九年级一模）老师写出一个整式（其中、为常数，且表示为系数），然后让同学给、赋予不同的数值进行计算，
（1）甲同学给出了一组数据，最后计算的结果为，则甲同学给出、的值分别是_______，_______；（2）乙同学给出了，，请按照乙同学给出的数值化简整式；
（3）丙同学给出一组数，计算的最后结果与的取值无关，请直接写出丙同学的计算结果．
【答案】（1），；（2）；（3）-1
【分析】（1）整式进行整理后，利用等式的性质求解即可；（2）把，代入求解即可；
（3）计算的最后结果与的取值无关，则含x项的系数为0，据此求解即可．
【详解】解：（1），
∴，，∴，，故答案为：，；
（2）当，时，原式；
（3）
∵计算的最后结果与的取值无关，∴，，∴原式．
【点睛】本题考查了整式的加减－化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
考点4、整式的比较大小
例4．（2023·河北七年级期末）已知，则与的大小关系____
【答案】M＜N
【分析】利用作差法比较大小即可．
【详解】∵M=x2-3x-1， N=2x2-3x+1，∴M-N=x2-3x-1-2x2+3x-1=-x2-2，
∵x2≥0，∴-x2≤0，即-x2-2≤-2<0，∴M-N<0， 则M【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式1. （2023·浙江七年级期中）若，则A与B的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法判定大小关系
【答案】B
【分析】利用作差法进行比较即可．
【详解】解：∵A=3x2-2x+3，B=2x2-2x+1，
∴A-B=（3x2-2x+3）-（2x2-2x+1）=3x2-2x+3-2x2+2x-1=x2+2＞0，∴A＞B．故选：B．
【点睛】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．
变式2.（2023 广信区七年级期中）设A＝x2﹣4x﹣3，B＝2x2﹣4x﹣1，若x取任意有理数．则A与B的大小关系为（ ）
A．A＜B B．A＝B C．A＞B D．无法比较
【分析】把A与B代入A﹣B中，判断差的正负，即可确定出大小关系．
【解答】解：∵A＝x2﹣4x﹣3，B＝2x2﹣4x﹣1，
∴A﹣B＝（x2﹣4x﹣3）﹣（2x2﹣4x﹣1）＝x2﹣4x﹣3﹣2x2+4x+1＝﹣x2﹣2＜0，则A＜B．故选：A．
考点5、整式的实际应用
例5．（2023·河北七年级期末）在学校温暖课程数字兴趣课中，嘉淇同学将一个边长为的正方形纸片（如图1）剪去两个相同的小长方形，得到一个的图案（如图2），剪下的两个小长方形刚好拼成一个“T”字形（如图3），则“T”字形的外围周长（不包括虚线部分）可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图形表示出小长方形的长与宽，即可确定出周长．
【详解】解：根据题意得：小长方形的长为a-b，宽为，
则“T”字形的外围周长为，故选：C．
【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式1．（2023·重庆七年级期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求矩形的长和宽，然后依据周长公式求解即可；
【详解】矩形的宽为= ，矩形的长为= ，
∴ 矩形的周长为= ，故选：D．
【点睛】本意考查了求图形的周长，熟练掌握相关知识是解题的关键．
变式2. （2023·北京七年级期末）如图，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．
其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以上图为例，其算法为：
步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和，即；
步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和，即；
步骤3：计算与的和，即；
步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数，即；
步骤5：计算与的差就是校验码，即．
请解答下列问题：
（1）《数学故事》的图书码为978753，则“步骤3”中的的值为______，校验码的值为______．
（2）如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为，你能用只含有的代数式表示上述步骤中的吗？从而求出的值吗？写出你的思考过程．
（3）如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的差是4，这两个数字从左到右分别是多少？请直接写出结果．
【答案】（1）73，7；（2）3，过程见解析；（3）4、0或9、5或2、6
【分析】（1）根据特定的算法代入计算计算即可求解；
（2）根据特定的算法依次求出a，b，c，d，再根据d为10的整数倍即可求解；
（3）根据校验码为8结合两个数字的差是4即可求解．
【详解】（1）∵《数学故事》的图书码为978753Y，∴a=7+7+3=17，b=9+8+5=22，
则“步骤3”中的c的值为3×17+22=73，校验码Y的值为80-73=7．故答案为：73，7；
（2）依题意有：a=m+1+2=m+3，b=6+0+0=6，
c=3a+b=3(m+3)+6=3m+15，d=c+X=3m+15+6=3m+21，
∵d为10的整数倍，∴3m的个位数字只能是9，∴m的值为3；
（3）可设这两个数字从左到右分别是p，q，依题意有：
a=p+9+2=p+11，b=6+1+q=q+7，c=3(p+11)+(q+7)=3p+q+40，
∵校验码是8，则3p+q的个位是2，
∵|p-q|=4，∴p=4，q=0或p=9，q=5或p=2，q=6．
故这两个数字从左到右分别是4，0或9，5或2，6．
【点睛】本题考查列代数式以及整式的加减，正确理解题意，学会探究规律、利用规律是解题的关键．
考点6、整式的化简求值
例6．（2023·湖北武汉市·七年级期中）先化简，再求值．
（1），其中，； （2），其中，．
【答案】（1），5；（2），．
【分析】（1）直接合并同类项得出答案；
（2）直接去括号进而合并同类项，再把已知代入求出答案．
【详解】（1）解：
，
当，时，原式．
（2）解：
，
当，时，
原式
．
【点睛】本题主要考查了整式的加减－化简求值，正确合并同类项是解题关键．
变式1. （2023·焦作市七年级期中）先化简，再求值：
（1）（4a2﹣3a）﹣（1﹣4a+4a2），其中a＝﹣2．
（2）2（x2y+xy）﹣3（x2y﹣xy）﹣4x2y，其中x＝1，y＝﹣1．
【答案】（1）a﹣1，﹣3；（2）﹣5x2y+5xy，0．
【分析】（1）先对原式去括号，合并同类项后，再代入求值即可；
（2）先对原式去括号，合并同类项后，再代入求值即可．
【详解】解：（1）（4a2﹣3a）﹣（1﹣4a+4a2）＝4a2﹣3a﹣1+4a﹣4a2＝a﹣1，
∵a＝﹣2，∴原式＝﹣2﹣1＝﹣3．
（2）2（x2y+xy）﹣3（x2y﹣xy）﹣4x2y＝2x2y+2xy﹣3x2y+3xy﹣4x2y＝﹣5x2y+5xy，
∵x＝1，y＝﹣1，∴原式＝﹣5×1×（﹣1）+5×1×（﹣1）＝5﹣5＝0．
【点睛】本题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握整式的加减的运算法则是解题的关键．
变式2．（2023·成都市七年级期中）请将下列代数式先化简，再求值
（1），其中．
（2），其中．
【答案】（1），1；（2），
【分析】（1）根据去括号、合并同类项，可化简整式，再将a和b值代入计算；
（2）根据去括号、合并同类项，可化简整式，再将x和y值代入计算；
【详解】解：（1）==
将代入，原式==1；
（2）
==
将代入，原式==．
【点睛】本题考查了整式的加减及化简求值的知识，先去括号，再合并同类项，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的整式的值．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·河北七年级期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成化简代数式，规则是：每名同学只能利用前面一个同学的式子，进一步计算，再将结果传给下一个同学，最后解决问题．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步正确的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【分析】根据整式的加减法则去括号、移项、加括号、合并同类项逐一判断即可．
【详解】解：由老师到甲，甲接力应为：，故甲错误；
由甲到乙,乙接力应为：，故乙错误；
由乙到丙，丙接力应为：，故丙错误；
由丙到丁，丁接力应为: ，故丁正确；故选D．
【点睛】本题考查了整式加减法则去括号、移项、加括号、合并同类项；关键在于要正确的进行括号、移项、加括号、合并同类项，不要出现符号错误的情况．
2．（2023·江苏七年级期末）若M和N都是3次多项式，则为（ ）
A．3次多项式 B．6次多项式 C．次数不超过3的整式 D．次数不低于3的整式
【答案】C
【分析】由M和N都是3次多项式，得到M+N的次数为3或2或1或0，即M+N的次数不一定为3次，不可能超过3次，即可得到正确的选项．
【详解】解：∵M和N都是3次多项式，∴M+N为次数不超过3的整式．故选：C．
【点睛】此题考查整式的加减运算，以及多项式的次数，多项式的次数即为多项式中次数最高项次数．
3．（2023·江苏七年级期中）减去得的式子为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先去括号，然后合并同类项即可．
【详解】解：-3x+（x2-3x+6）=-3x+x2-3x+6=x2-6x+6故选：D．
【点睛】本题考查整式的加法运算，整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．合并同类项时，注意是系数相加减，字母与字母的指数不变．去括号时，括号前面是“-”号，去掉括号和“-”号，括号里的各项都要改变符号．
4．（2023·安徽七年级期末）一个长方形的长是，宽是，则这个长方形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：长方形的周长为：2（2a+a+1）=2（3a+1）=6a+2，故选：D．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
5.（2023 卫辉市七年级期末）下面是小明做的一道多项式的加减运算题，但他不小心把一滴墨水滴在了上面．（﹣x2+3xyy2）﹣（x2+4xyy2）x2●，黑点处即为被墨迹弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项应是（ ）
A．﹣xy B．+xy C．﹣7xy D．+7xy
【分析】原式去括号合并得到结果，即可确定出背墨汁遮住的一项．
【解答】解：原式＝﹣x2+3xyy2x2﹣4xyy2x2﹣xy，
则被墨汁遮住的一项应是﹣xy．故选：A．
6．（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）若，则表示的多项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据整式加减法的关系列式计算即可．
【详解】设表示的多项式是M，
∵，
∴，故选：C．
【点睛】本题考查整式的加减运算，熟记加数与和的关系是解题的关键，需要注意符号．
7.（2022·陕西·西安市七年级期中）已知多项式化简后不含x2项，则m的值为（ ）
A．-2 B．-3 C．1 D．-5
【答案】B
【分析】去括号，合并同类项，根据化简后不含x2项即可求得答案．
【详解】解：，
因为化简后不含x2项，则，解得，故选B．
【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握去括号及合并同类项是解题的关键．
8.（2023 澄海区期末）若A＝2x2﹣x+1，B＝x2﹣x﹣m2，则A，B的大小关系是（ ）
A．A＜B B．A＝B C．A＞B D．与x的值有关
【分析】将A和B作差，然后化简，即可得到A﹣B的结果与0的大小关系，从而可以解答本题．
【解答】解：∵A＝2x2﹣x+1，B＝x2﹣x﹣m2，
∴A﹣B＝（2x2﹣x+1）﹣（x2﹣x﹣m2）＝2x2﹣x+1﹣x2+x+m2＝x2+1+m2＞0，∴A＞B，故选：C．
9.（2022·山西吕梁·七年级期末）周末，奶奶买了一些小桔子，小亮、姐姐、弟弟做了一个有趣的游戏：首先姐姐，小亮，弟弟手中拿上相同数量的桔子（每人手中的桔子大于4个），然后依次完成以下步骤：
第一步：姐姐给小亮2个桔子；
第二步：弟弟给小亮1个桔子；
第三步：此时，姐姐手中有几个桔子，小亮就给姐姐几个桔子．
请你确定，最终小亮手中剩余的桔子有几个（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题是整式加减法的综合运用，设每人有x个桔子，解答时依题意列出算式，求出答案．
【详解】解：设刚开始姐姐，小亮，弟弟手中都拿x个桔子（x>4）， 那么，
姐姐给小亮2个桔子，姐姐手中剩下的桔子数为：x-2，
接着，弟弟给小亮1个桔子，此时小亮手中的桔子数为：x+2+1=x+3，
然后，姐姐手中有几个桔子，小亮就给姐姐几个桔子．最终小亮手中剩余的桔子数为：
x+3-(x-2)=x+3-x+2=5．故选：C．
【点睛】此题考查列代数式以及整式的加减，解题的关键是根据题目中所给的数量关系列代数式运算．
10．（2023·浙江七年级期末）如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为5小块，除D、E外，其余3块都是正方形，若阴影E的周长为8，下列说法中正确的是（ ）
①x的值为4；②若阴影D的周长为6，则正方形A的面积为1；③若大长方形的面积为24，则三个正方形周长的和为24．
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【答案】B
【分析】设正方形A的边长为a， 正方形B的边长为b，正方形C的边长为c，表示出阴影E的长和宽，阴影D的长和宽，然后结合图形逐项分析即可．
【详解】设正方形A的边长为a， 正方形B的边长为b，正方形C的边长为c，则x=a+b,y=b+c，阴影E的长为c，宽为a+b-c，阴影D的长为a，宽为b-a，
①∵阴影E的周长为8，∴2(c+a+b-c)=8，∴a+b=4，即x=4，故①正确；
②∵阴影D的周长为6，∴2(a+b-a)=6，∴b=3，
∵a+b=4，∴a=1，∴正方形A的面积为1，故②正确；
③∵大长方形的面积为24，∴xy=24，∵x=4，∴y=6，∴b+c=6，
假设三个正方形周长的和为24，则4a+4b+4c=24，∴a+b+c=6，
∴a=0，不合题意，故③错误；故选B．
【点睛】本题考查了整式加减的应用，用a，b，c表示出x，y是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·山东临沂·七年级期末）定义新运算：a#b＝3a－2b，则(x＋y)#(x－y)＝_________ ．
【答案】x＋5y##5y+x
【分析】根据定义的运算法则，计算求值即可；
【详解】解：由题意得：(x＋y)#(x－y)= 3(x＋y)-2(x－y)=3x+3y-2x+2y=x+5y，
故答案为：x+5y；
【点睛】本题考查了整式的加减，掌握去括号法则是解题关键．
12.（2023 铜官区期末）若A是五次多项式，B是三次多项式，则A﹣B一定是 次 式．
【分析】根据合并同类项的法则即可求解．
【解答】解：根据题意，五次项没有同类项，所以差的最高次是五次．
所以A﹣B的一定是五次多项式或单项式．故答案为：五、多项或单项
13．（2023·浙江七年级期中）某同学把错抄成了，抄错后的答案为y，正确答案为x，则的值为________．
【答案】-20
【分析】根据题意，用6（a-4）减去6a-4，求出x-y的值是多少即可．
【详解】解：∵x=6（a-4），y=6a-4，
∴x-y=6（a-4）-（6a-4）=6a-24-6a+4=-20．故答案为：-20．
【点睛】此题主要考查了整式的加减问题，要熟练掌握，解题的关键是根据题意列出算式．
14．（2023·南靖县七年级月考）小明在计算一个整式加上（xy﹣2yz）时所得答案是2yz+2xy，那么这个整式是______．
【答案】4yz+xy
【分析】利用和减去（xy﹣2yz），运用去括号，合并同类项即可得到正确的结果．
【详解】解：由题意得：2yz+2xy-（xy﹣2yz）=2yz+2xy-xy+2yz=4yz+xy故答案为：4yz+xy
【点睛】此题主要考查了整式的加减运算，正确合并同类项是解题关键．
15.长方形一边长为，另一边长比它大，则周长为_______.
【答案】见试题解答内容
【分析】先求另一边的长，然后根据周长公式列式求解．
【解答】解：另一边的长为：（2a+b）+（a-b）=3a．
∴周长为[（2a+b）+3a]×2=10a+2b．
16．（2023·浙江七年级期末）已知，，无论取何值时，恒成立，则的值为______．
【答案】2
【分析】根据题意可以得到关于a的等式，从而可以求得a的值，本题得以解决．
【详解】解：∵P=3ax-8x+1，Q=x-2ax-3，无论x取何值时，3P-2Q=9恒成立，
∴3P-2Q=3（3ax-8x+1）-2（x-2ax-3）=9ax-24x+3-2x+4ax+6=13ax-26x+9=（13a-26）x+9=9，
∴13a-26=0，解得，a=2，故答案为：2．
【点睛】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确整式的加减的计算方法．
17．（2023·浙江宁波市·七年级期中）如图，把五个长为、宽为（）的小长方形，按图1和图2两种方式放在一个宽为的大长方形上（相邻的小长方形既无重叠，又不留空隙）．设图1中两块阴影部分的周长和为，图2中阴影部分的周长为，若大长方形的长比宽大，则的值为______．
【答案】12
【分析】先将图1拆成两个长方形，分别算出两个长方形的长和宽即可求出；将图2的每条边长都求出来，相加即可求出；再根据两个长方形的长相等得到等式，用和表示，代入中即可得出答案.
【详解】由图可知
∴
又∴故答案为12.
【点睛】本题考查的是整式的加减，解题的关键是理解题意得出等式.
18．（2022·湖南株洲·七年级期末）《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九提出的一种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．例如，计算“当时，多项式的值”，按照秦九韶算法，可先将多项式进行改写：
按改写后的方式计算，它一共做了3次乘法，3次加法，与直接计算相比节省了乘法的次数，使计算量减少，计算当时，多项式的值为1008．
请参考上述方法，将多项式改写为___________．
当时，这个多项式的值为____________．
【答案】
【分析】根据题意将变形，再将代入求值即可．
【详解】解：由题意得，
，
当时，原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的运算和代数式的求值，准确理解题意是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·湖北十堰市·七年级期中）式的计算：
（1）﹣ab+a2﹣（﹣ab）﹣a2；（2）3a2﹣[7a﹣（4a﹣3）﹣2a2]．
【答案】（1）ab+；（2）5a2﹣3a﹣3．
【分析】（1）根据整式的加减运算法则即可求解；
（2）先去括号，再根据整式的加减运算法则即可求解．
【详解】（1）原式＝﹣ab+a2+ab﹣a2＝ab+；
（2）原式＝3a2﹣（7a﹣4a+3﹣2a2）＝3a2﹣（3a+3﹣2a2）＝3a2﹣3a﹣3+2a2＝5a2﹣3a﹣3．
【点睛】此题主要考查整式的加减，解题的关键是熟知其运算法则．
20．（2023江苏·七年级期中）先化简，再求值．
①，其中
②已知，求的值，其中．
【答案】①，；②，0
【分析】①原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值；
②把A、B与C代入A-（B+C）中，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：①
==
将代入，原式==；
②=
==
将代入，原式==0．
【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（2023·河南濮阳市·七年级期中）在化简时，甲、乙两同学的解答如下：
甲：
乙：
他们的解答正确吗？如不正确，
（1）把出错部分用横线标出来，并在后面写出正确的结果；
（2）写出正确的解题过程．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据去括号法则判断；（2）写出正确解题过程即可．
【详解】解：（1）两人的解答都是在第一步出错；
（2）正确的过程为：（2x2-1+3x）-4（x-x2+1）=2x2-1+3x-4x+4x2-4=（2+4）x2+（3-4）x+（-1-4）=6x2-x-5．
【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（2023·河北唐山市·）老师写出一个整式（其中、为常数，且表示为系数），然后让同学给、赋予不同的数值进行计算，
（1）甲同学给出了一组数据，最后计算的结果为，则甲同学给出、的值分别是_______，_______；（2）乙同学给出了，，请按照乙同学给出的数值化简整式；
（3）丙同学给出一组数，计算的最后结果与的取值无关，请直接写出丙同学的计算结果．
【答案】（1），；（2）；（3）-1
【分析】（1）整式进行整理后，利用等式的性质求解即可；（2）把，代入求解即可；
（3）计算的最后结果与的取值无关，则含x项的系数为0，据此求解即可．
【详解】解：（1），
∴，，∴，，故答案为：，；
（2）当，时，
原式；
（3）
∵计算的最后结果与的取值无关，∴，，∴原式．
【点睛】本题考查了整式的加减－化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
23．（2023·北京七年级期中）阅读下面材料：
小明和小丽在信息技术课上设计了一个小游戏程序：开始时两人的屏幕上显示的数分别是2a和10a－1，如图．每按一次屏幕，小明的屏幕上的数就会加上a2，同时小丽的屏幕上的数就会减去2a，且均显示化简后的结果，如下表：
开始数 按一次后 按二次后 按三次后 按四次后
小明
小丽
根据以上的信息回答问题：
（1）按四次后，两人屏幕上显示的结果是：小明____；小丽____；
（2）判断（1）中两个结果的大小，并说明理由．
【答案】（1）；2a-1；（2）小明的结果＞小丽的结果，理由见解析
【分析】(1)根据题目所给的定义，每按一次屏幕，小明的屏幕上的数就会加上a2，同时小丽的屏幕上的数就会减去2a进行计算得出结果即可；(2) 利用作差法，结合平方的非负性即可比较大小．
【详解】解：(1)按4次，小明的屏幕上的数等于2a加4个，即为，
按4次，小丽的屏幕上的数等于10a－1减4个，为，
故答案为：，；
(2) =
∵，∴，故．即小明的结果＞小丽的结果．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用．掌握作差法，能用知道平方的非负性是解题关键．
24．（2023·四川七年级期中）现有一块长方形菜地，长24米，宽20米．菜地中间欲铺设横、纵两条道路（图中空白部分），如图1所示，纵向道路的宽是横向道路的宽的2倍，设横向道路的宽是x米（x＞0）．
（1）填空：在图1中，纵向道路的宽是 米；（用含x的代数式表示）
（2）试求图1中菜地（阴影部分）的面积；
（3）若把横向道路的宽改为原来的2.2倍，纵向道路的宽改为原来的一半，如图2所示，设图1与图2中菜地的面积（阴影部分）分别为，试比较的大小．
【答案】（1）2x；（2）（2x2﹣68x+480）平方米；（3）
【分析】（1）根据纵向道路的宽是横向道路的宽的2倍即可求解；
（2）根据题意，由菜地的面积=长方形的面积﹣菜地道路的面积求解即可；
（3）根据菜地的面积=长方形的面积﹣菜地道路的面积分别求出S1、S2，再比较即可．
【详解】解：（1）∵横向道路的宽是x米，且纵向道路的宽是横向道路的宽的2倍，
∴纵向道路的宽是2x米，故答案为：2x；
（2）由题意，图1中菜地的面积为24×20﹣(24×2x+20×x﹣x·2x)=2x2﹣68x+480(平方米)，
答：图1中菜地（阴影部分）的面积为（2x2﹣68x+480）平方米；
（3）由题意，图1中菜地的面积S1= 2x2﹣68x+480（平方米）
图2中横向道路的宽为2.2x米，纵向道路的宽为x米，
∴图2中菜地的面积S2=24×20﹣(24×x+20×2.2x﹣x·2.2x=2.2x2﹣68x+480(平方米)，
∵x＞0，∴x2＞0，∴S1﹣S2=(2x2﹣68x+480)﹣（2.2x2﹣68x+480）=﹣0.2x2＜0，∴S1＜S2．
【点睛】本题考查了列代数式、整式的加减的应用、长方形的面积，正确表示出菜地道路的面积是解答的关键．
25．（2023·重庆八中七年级期中）2019 年，某葡萄园中“黑美人”喜获丰收，总产量为 24000 千克，且有两种销售方式①运往市区销售；②市民亲自去生态农业园采摘购买，若运往市区销售每千克售价为 a 元，市民亲自去生态园采摘购买每千克售价为 b 元（b＜a），若小张将葡萄运往生态区销售平均每天售出 1000 千克．需要请 6 名工人，每人每天付工资 300 元．农用车运费及其他各项税费平均每天 400 元，若市民亲自去生态农业园采摘则不再产生其他费用．
（1）请用 a 或 b 分表示出两种不同方式出售完该批葡萄的收入若采用方式①收入 ；若采用方式②收入 ；
（2）由于 2019 年葡萄销售良好，小张计划 2020 大投理加种葡萄面积，但是现金不够，小张于 2020 年 1 月在工商银行借了 18 万元贷款，贷款期为 5 年，从开始贷款的下一个月起以等额本金的方式偿还：每月还贷款=平均每月应还的贷款本金+月利息．月利息=上月所剩贷款本金数额×月利率，贷款月利率是 0.5%．
①小张贷款后第一个月应还款额是多少元？
②假设贷款月利率不变，若小张在贷款后第 n（1≤n≤60，n 是正整数）个月的还款额为 y，请写出 y 与 n 之间的关系．
【答案】（1）()元，元；（2）①第一个月应还款额是元；②()
【分析】（1）按两种不同销售方式列式即可；
（2）①求得平均每月应还的贷款本金与月利息的和即可；
②同理求得平均每月应还的贷款本金与月利息的和即可．
【详解】（1）运往市区销售葡萄的收入是：
(元)，
亲自去生态园采摘葡萄的收入是：元，
故答案为：()元，元；
（2）①平均每月应还的贷款本金：(元)，
月利息是：(元)，
∴第一个月应还款额是：(元)；
答：第一个月应还款额是元；
②平均每月应还的贷款本金：(元)，
第个月的月利息是：(元)，
∴() ．
【点睛】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，正确理解并利用“每月还款数额=每月应还的贷款本金数额+月利息，月利息=上月所剩贷款本金数额×月利率“这些公式是解题关键．
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专题4.6 整式的加减
模块1：学习目标
1、掌握整式的加减的步骤；
2、掌握化简求值的步骤；
3、掌握整式比较大小的方法；
4、掌握整式在实际中的应用。
模块2：知识梳理
整式的加减运算实际就是合并同类项的过程，具体步骤为：
①将同类项找出，并置与一起；②合并同类项。
注意：（1）当括号前面有数字因数时，应先利用乘法分配律计算，然后再去括号，注意不要漏乘括号内的任一项。（2）合并同类项时，只能把同类项合并，不是同类项的不能合并，合并同类项实际上就是有理数的加减运算。合并同类项要完全、彻底，不能漏项。
模块3：核心考点与典例
考点1、多项式与多项式和的结果
例1．（2023·浙江七年级期末）若是一个五次多项式，是一个四次多项式，则一定是（ ）
A．次数不超过五次的多项式 B．五次多项式或单项式
C．九次多项式 D．次数不低于五次的多项式
变式1. （2023·江苏七年级期中）两个四次多项式相加，和是（ ）
A．八次多项式 B．四次多项式 C．不超过四次的整式 D．不超过四次的多项式
变式2.（2023 萧山区月考）若P和Q都是关于x的五次多项式，则P+Q是（ ）
A．关于x的五次多项式 B．关于x的十次多项式
C．关于x的四次多项式 D．关于x的不超过五次的多项式或单项式
考点2、整式的加减（遮挡问题）
例2．（2023·辽宁锦州市·七年级期中）下面是小芳做的一道多项式的加减运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面：，阴影部分即为被墨迹弄污的部分．那么被墨汁遮住的一项应是（ ）
A． B． C． D．
变式1. （2023·河南新乡·七年级期末）下面是小明做的一道多项式的加减运算题，但他不小心把一滴墨水滴在了上面．，黑圆处即为被墨汁遮住的部分，那么被墨汁遮住的部分是（ ）
A． B． C． D．
变式2. （2023 射洪市七年级期末）印卷时，工人不小心把一道化简题前面一个数字遮住了，结果变成：■．（1）某同学辨认后把“■”猜成10，请你帮他算算化简后该式是多少；（2）老师说：“你猜错了，我看到该题目遮挡部分是单项式的系数和次数之积．”遮挡部分是多少？（3）若化简结果是一个常数，请算算遮挡部分又该是多少？
考点3、整式的加减（不含某项）
例3．（2023 鹿邑县七年级期末）若多项式2x3﹣8x2+x﹣1与多项式3x3+2mx2﹣5x+3的差不含二次项，则m等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
变式1．（2023·重庆市七年级期中）若多项式与多项式相减后不含二次项，则的值为______ ．
变式2. （2023·河北九年级一模）老师写出一个整式（其中、为常数，且表示为系数），然后让同学给、赋予不同的数值进行计算，
（1）甲同学给出了一组数据，最后计算的结果为，则甲同学给出、的值分别是_______，_______；（2）乙同学给出了，，请按照乙同学给出的数值化简整式；
（3）丙同学给出一组数，计算的最后结果与的取值无关，请直接写出丙同学的计算结果．
考点4、整式的比较大小
例4．（2023·河北七年级期末）已知，则与的大小关系____
变式1. （2023·浙江七年级期中）若，则A与B的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法判定大小关系
变式2.（2023 广信区七年级期中）设A＝x2﹣4x﹣3，B＝2x2﹣4x﹣1，若x取任意有理数．则A与B的大小关系为（ ）
A．A＜B B．A＝B C．A＞B D．无法比较
考点5、整式的实际应用
例5．（2023·河北七年级期末）在学校温暖课程数字兴趣课中，嘉淇同学将一个边长为的正方形纸片（如图1）剪去两个相同的小长方形，得到一个的图案（如图2），剪下的两个小长方形刚好拼成一个“T”字形（如图3），则“T”字形的外围周长（不包括虚线部分）可表示为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·重庆七年级期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的周长为（ ）
A． B． C． D．
变式2. （2023·北京七年级期末）如图，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．
其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以上图为例，其算法为：
步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和，即；
步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和，即；
步骤3：计算与的和，即；
步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数，即；
步骤5：计算与的差就是校验码，即．
请解答下列问题：
（1）《数学故事》的图书码为978753，则“步骤3”中的的值为______，校验码的值为______．
（2）如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为，你能用只含有的代数式表示上述步骤中的吗？从而求出的值吗？写出你的思考过程．
（3）如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的差是4，这两个数字从左到右分别是多少？请直接写出结果．
考点6、整式的化简求值
例6．（2023·湖北武汉市·七年级期中）先化简，再求值．
（1），其中，； （2），其中，．
变式1. （2023·焦作市七年级期中）先化简，再求值：
（1）（4a2﹣3a）﹣（1﹣4a+4a2），其中a＝﹣2．
（2）2（x2y+xy）﹣3（x2y﹣xy）﹣4x2y，其中x＝1，y＝﹣1．
变式2．（2023·成都市七年级期中）请将下列代数式先化简，再求值
（1），其中．
（2），其中．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·河北七年级期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成化简代数式，规则是：每名同学只能利用前面一个同学的式子，进一步计算，再将结果传给下一个同学，最后解决问题．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步正确的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．（2023·江苏七年级期末）若M和N都是3次多项式，则为（ ）
A．3次多项式 B．6次多项式 C．次数不超过3的整式 D．次数不低于3的整式
3．（2023·江苏七年级期中）减去得的式子为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·安徽七年级期末）一个长方形的长是，宽是，则这个长方形的周长为（ ）
A． B． C． D．
5.（2023 卫辉市七年级期末）下面是小明做的一道多项式的加减运算题，但他不小心把一滴墨水滴在了上面．（﹣x2+3xyy2）﹣（x2+4xyy2）x2●，黑点处即为被墨迹弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项应是（ ）
A．﹣xy B．+xy C．﹣7xy D．+7xy
6.（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）若，则表示的多项式是（ ）
A． B． C． D．
7.（2022·陕西·西安市七年级期中）已知多项式化简后不含x2项，则m的值为（ ）
A．-2 B．-3 C．1 D．-5
8.（2023 澄海区期末）若A＝2x2﹣x+1，B＝x2﹣x﹣m2，则A，B的大小关系是（ ）
A．A＜B B．A＝B C．A＞B D．与x的值有关
9.（2022·山西吕梁·七年级期末）周末，奶奶买了一些小桔子，小亮、姐姐、弟弟做了一个有趣的游戏：首先姐姐，小亮，弟弟手中拿上相同数量的桔子（每人手中的桔子大于4个），然后依次完成以下步骤：
第一步：姐姐给小亮2个桔子；
第二步：弟弟给小亮1个桔子；
第三步：此时，姐姐手中有几个桔子，小亮就给姐姐几个桔子．
请你确定，最终小亮手中剩余的桔子有几个（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（2023·浙江七年级期末）如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为5小块，除D、E外，其余3块都是正方形，若阴影E的周长为8，下列说法中正确的是（ ）
①x的值为4；②若阴影D的周长为6，则正方形A的面积为1；③若大长方形的面积为24，则三个正方形周长的和为24．
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·山东临沂·七年级期末）定义新运算：a#b＝3a－2b，则(x＋y)#(x－y)＝_________ ．
12.（2023 铜官区期末）若A是五次多项式，B是三次多项式，则A﹣B一定是 次 式．
13．（2023·浙江七年级期中）某同学把错抄成了，抄错后的答案为y，正确答案为x，则的值为________．
14．（2023·南靖县七年级月考）小明在计算一个整式加上（xy﹣2yz）时所得答案是2yz+2xy，那么这个整式是______．
15.长方形一边长为，另一边长比它大，则周长为_______.
16．（2023·浙江七年级期末）已知，，无论取何值时，恒成立，则的值为______．
17．（2023·浙江宁波市·七年级期中）如图，把五个长为、宽为（）的小长方形，按图1和图2两种方式放在一个宽为的大长方形上（相邻的小长方形既无重叠，又不留空隙）．设图1中两块阴影部分的周长和为，图2中阴影部分的周长为，若大长方形的长比宽大，则的值为______．
18．（2022·湖南株洲·七年级期末）《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九提出的一种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．例如，计算“当时，多项式的值”，按照秦九韶算法，可先将多项式进行改写：
按改写后的方式计算，它一共做了3次乘法，3次加法，与直接计算相比节省了乘法的次数，使计算量减少，计算当时，多项式的值为1008．
请参考上述方法，将多项式改写为___________．
当时，这个多项式的值为____________．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·湖北十堰市·七年级期中）式的计算：
（1）﹣ab+a2﹣（﹣ab）﹣a2；（2）3a2﹣[7a﹣（4a﹣3）﹣2a2]．
20．（2023江苏·七年级期中）先化简，再求值．
①，其中
②已知，求的值，其中．
21．（2023·河南濮阳市·七年级期中）在化简时，甲、乙两同学的解答如下：
甲：
乙：
他们的解答正确吗？如不正确，
（1）把出错部分用横线标出来，并在后面写出正确的结果；（2）写出正确的解题过程．
22．（2023·河北唐山市·）老师写出一个整式（其中、为常数，且表示为系数），然后让同学给、赋予不同的数值进行计算，
（1）甲同学给出了一组数据，最后计算的结果为，则甲同学给出、的值分别是_______，_______；（2）乙同学给出了，，请按照乙同学给出的数值化简整式；
（3）丙同学给出一组数，计算的最后结果与的取值无关，请直接写出丙同学的计算结果．
23．（2023·北京七年级期中）阅读下面材料：
小明和小丽在信息技术课上设计了一个小游戏程序：开始时两人的屏幕上显示的数分别是2a和10a－1，如图．每按一次屏幕，小明的屏幕上的数就会加上a2，同时小丽的屏幕上的数就会减去2a，且均显示化简后的结果，如下表：
开始数 按一次后 按二次后 按三次后 按四次后
小明
小丽
根据以上的信息回答问题：
（1）按四次后，两人屏幕上显示的结果是：小明____；小丽____；
（2）判断（1）中两个结果的大小，并说明理由．
24．（2023·四川七年级期中）现有一块长方形菜地，长24米，宽20米．菜地中间欲铺设横、纵两条道路（图中空白部分），如图1所示，纵向道路的宽是横向道路的宽的2倍，设横向道路的宽是x米（x＞0）．
（1）填空：在图1中，纵向道路的宽是 米；（用含x的代数式表示）
（2）试求图1中菜地（阴影部分）的面积；
（3）若把横向道路的宽改为原来的2.2倍，纵向道路的宽改为原来的一半，如图2所示，设图1与图2中菜地的面积（阴影部分）分别为，试比较的大小．
25．（2023·重庆八中七年级期中）2019 年，某葡萄园中“黑美人”喜获丰收，总产量为 24000 千克，且有两种销售方式①运往市区销售；②市民亲自去生态农业园采摘购买，若运往市区销售每千克售价为 a 元，市民亲自去生态园采摘购买每千克售价为 b 元（b＜a），若小张将葡萄运往生态区销售平均每天售出 1000 千克．需要请 6 名工人，每人每天付工资 300 元．农用车运费及其他各项税费平均每天 400 元，若市民亲自去生态农业园采摘则不再产生其他费用．
（1）请用 a 或 b 分表示出两种不同方式出售完该批葡萄的收入若采用方式①收入 ；若采用方式②收入 ；（2）由于 2019 年葡萄销售良好，小张计划 2020 大投理加种葡萄面积，但是现金不够，小张于 2020 年 1 月在工商银行借了 18 万元贷款，贷款期为 5 年，从开始贷款的下一个月起以等额本金的方式偿还：每月还贷款=平均每月应还的贷款本金+月利息．月利息=上月所剩贷款本金数额×月利率，贷款月利率是 0.5%．①小张贷款后第一个月应还款额是多少元？②假设贷款月利率不变，若小张在贷款后第 n（1≤n≤60，n 是正整数）个月的还款额为 y，请写出 y 与 n 之间的关系．
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