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专题4.7 探究与表达规律
模块1：学习目标
1、通过具体的问题情境，经历在实际问题中探索规律的过程。
2、能归纳具体问题中蕴含的规律，用代数式表示， 并通过计算验证。
3、在解决问题过程中体验类比、转化等数学思想，培优良好的思维品质。
模块2：知识梳理
1. 解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型：
1）一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系.
2）一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系.
3）图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系.
4）图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数.
5）数形结合的规律：观察前项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.
2. 常见的数列规律：
1）1，3，5，7，9，… ，（为正整数）．
2） 2，4，6，8，10，…，（为正整数）．
3） 2，4，8，16，32，…，（为正整数）．
4）2， 6， 12， 20，…， （为正整数）．
5），，，，，，…，（为正整数）．
6）特殊数列： ①三角形数：1,3,6,10,15,21，…，.
②斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和.
模块3：核心考点与典例
考点1、数列的规律
例1.（2023 沂南县模拟）观察下列两行数：
0，2，4，6，8，10，12，14，16，…
0，3，6，9，12，15，18，21，24，…
探究发现：第1个相同的数是0，第2个相同的数是6，…，若第n个相同的数是102，则n等于（ ）
A．20 B．19 C．18 D．17
【分析】由所给的数字可发现：第1个相同的数是0＝6×（1﹣1），第2个相同的数是6＝6×（2﹣1），第3个相同的数为12＝6×（3﹣1），…从而可得其规律：第n个相同的数为：6（n﹣1），则可求解．
【解答】解：∵第1个相同的数是0＝6×（1﹣1），
第2个相同的数是6＝6×（2﹣1），第3个相同的数为12＝6×（3﹣1），…，
∴第n个相同的数为：6（n﹣1），∴6（n﹣1）＝102，解得：n＝18．故选：C．
变式1．（2023·云南七年级模拟）有一组数：，它们是按一定规律排列的，这一组数的第n个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的分子和分母的变化特点，从而可以写出第n个数．
【详解】解：一组数为∴这组数据第1个数为：，
第2个数为：，第3个数为：…
∴第n个数为：故选：C
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数字．
变式1．（2023·福建七年级开学考试）观察下列各项：，，，，…，依此规律下去，则第7项是__________；第项是__________．
【答案】
【分析】观察可知：整数部分是从1开始的自然数，分数部分的分子为1，分母为从2开始的自然数的两倍，据此可得．
【详解】解：=，=，=，=，…
∴第7项是，第n项是，故答案为：，．
【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，利用规律解决问题．
考点2、数表的规律
例2．（2023·江苏镇江市·七年级期中）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（ ）
A．A1 B．B1 C．A2 D．B3
【答案】B
【分析】把A1，A2，B1，B3的式子表示出来，再结合值等于789，可求相应的n的值，即可判断．
【详解】解：由题意得：A1＝2n+1+2n+3+2n+5＝789，整理得：2n＝260，
则n不是整数，故A1的值不可以等于789；A2＝2n+7+2n+9+2n+11＝789，整理得：2n＝254，
则n不是整数，故A2的值不可以等于789；B1＝2n+1+2n+7+2n+13＝789，整理得：2n＝256＝28，
则n是整数，故B1的值可以等于789；B3＝2n+5+2n+11+2n+17＝789，整理得：2n＝252，
则n不是整数，故B3的值不可以等于789；故选：B．
【点睛】本题主要考查规律型：数字变化类，解答的关键是理解清楚题意，得出相应的式子．
变式1．（2023 广汉市模拟）右边是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数2021应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么m+n的值是（ ）
A．131 B．130 C．129 D．128
【分析】每行的最后一个数是这个行的行数m的平方，第m行的数字的个数是 2m﹣1，所以2021在第45行，45行最后一个数字是2025，从2025往前数4个数据得到2021，进而得出2021是第85个数据，从而得出答案．
【解答】解：∵每行的最后一个数是这个行的行数m的平方，第m行的数字的个数是 2m﹣1，
∵442＝1936，所以2021在第45行，∵452＝2025，∴45行最后一个数字是2025，
第45行有2×45﹣1＝89个数字，从2025往前数4个数据得到2021，从而得出2021是第85个数据，
∴m＝45，n＝85，∴m+n＝45+85＝130．故选：B．
变式2．（2023 柳南区校级月考）将正奇数按下表排成5列：
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行 1 3 5 7
第2行 15 13 11 9
第3行 17 19 21 23
… … … 27 25
若2021在第m行第n列，则m+n＝（ ）
A．256 B．257 C．510 D．511
【分析】观察图表，每一行都有四个数，且奇数行排在第2﹣5列，偶数行排在第1﹣4列，根据2021在正奇数中的位置来推算m，n．
【解答】解：首先，从图表观察，每一行都有四个数，且奇数行排在第2﹣5列，偶数行排在第1﹣4列，其次，奇数可以用2x﹣1表示，当x＝1011时，2x﹣1＝2021，即2021是排在第1011个位置．
在上表中，因为每行有4个数，且1011÷4＝252 3，因此2021应该在第253行，第4列，
即m＝253，n＝4．∴m+n＝257，故选：B．
考点3、算式的规律
例3．（2023·广州白云广雅实验学校七年级期中）已知：，，，，……，若符合前面式子的规律，则的值为_____．
【答案】3079
【分析】观察可得，等式的前面为加法算式，前面加数与后面加数的分母为算式的序数加1，分母为分子的平方减1，据此规律解答即可．
【详解】解：由，，，，……，
∴，∴，
∴a==3024，b=55，∴a+b=3079，故答案为3079．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．注意应从第3个式子和第4个式子进行观察，时刻注意应与序号有关，才能得到所求式子的一般规律．
变式1．（2023·安徽七年级期末）观察以下等式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：．……
按照以上规律．解决下列问题：（1）写出第个等式：____________________．
（2）写出你猜想的第个等式：____________________（用含的等式表示）．
（3）你认为（2）中所写的式子一定成立吗？请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）成立，理由见解析．
【分析】（1）根据题中等式的规律可得；（2）观察等式的规律可得；
（3）将等式的左边进行整式的混合运算，判断与等式右边是否相等即可．
【详解】（1）根据题中规律可得：
（2）观察式子可得：
（3）等式左边===3=等式右边
∴（2）中所写式子一定成立．
【点睛】本题通过找规律的方式考查整式的混合运算．分析所给等式，找到规律是解题的关键．
变式2．（2023·东营市七年级期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．如图2，某同学发现杨辉三角给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数等等．
（1）填出展开式中共有________项，第三项是________．
（2）直接写出的展开式．（3）利用上面的规律计算：．
【答案】（1）5，；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据系数规律，即可得出答案；（2）根据规律，可知（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
（3）根据规律得出原式=-1．
【详解】解：（1）∵
∴展开式中项数共有5项，第三项是，
（2）∵第六行的六个数1，5，10，10，5，1
∴（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
（3）原式．
【点睛】本题考查了数字的规律变化，要求学生通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．
考点4、有序数对的规律
例4．（2023·广州市七年级期中）将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对表示第排，从左到右第个数，如表示9，则表示2021的有序数对是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由图形可知，第一排有1个数，第二排有2个数，第三排有3个数，则第n排有n个数，前1排有1个数，前2排有3个数，前3排有6个数，则前n排有个数，由此求解即可.
【详解】解：由图形可知第一排有1个数，第二排有2个数，第三排有3个数，则第n排有n个数，
前1排有1个数，前2排有3个数，前3排有6个数，则前n排有个数，
∵，∴表示2021的数在第六十四排，第六十三排最右边的数为2016，
∴表示2021的数在第六十四排右边起的第5个数，
∴表示2021的数的有序数对为（64，64-4）即（64，60），故选D.
【点睛】本题主要考查了数字类的规律，解题的关键在于能够准确找出所包含的规律.
变式1．（2023·陕西·七年级期中）将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称莱布尼茨三角形．若用有序实数对(m，n)表示第m行，从左到右第n个数，如(4，3)表示分数那么(8，3)表示的分数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据莱布尼茨三角形找出规律即可求解，也可以根据图中规律，将图补充到（8，3）的位置．
【详解】由莱布尼茨三角形可知，第(m，n)个数等于第(m-1，n-1)与第(m，n-1)个数的差．
第（m，1）表示 ；
第（m，2）表示；
第（m，3）表示；
当时．故选A．
【点睛】本题考查规律探索，类比杨辉三角理清图中的规律是解题的关键．
变式2．（2023·北京市房山区初一期末）由一些正整数组成的数表如下（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍）：
若规定坐标号（m,n）表示第m行从左向右第n个数，则（7，4）所表示的数是_____；（5，8）与（8，5）表示的两数之积是_______；数2012对应的坐标号是_________
【答案】134， 12144， （10，495）.
【分析】根据下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍表示出前n行偶数的个数的表达式为2m-1，然后求出第6行的最后一个偶数，再计算之后的4个偶数即可求出（7，4）；分别求出第4行第7行最后的一个偶数，然后求出（5，8）与（8，5）表示的数，再相乘即可；求出数2012是第1006个偶数，根据表达式得1006=29-1+495，先求出第511个数是第9行的最后一个数，再求解即可．
【解析】解：设前m行偶数的个数为S，则S=1+2+22+23+…+2m-1，
两边都乘以2得，2S=2+22+23+…+2m，所以，S=2m-1，
当m=6时，S=26-1=64-1=63，所以，（7，4）所表示的数是第63+4=67个偶数，为134；
当n=4时，24-1=15，所以，（5，8）表示的数是第15+8=23个偶数，为46，
当n=7时，27-1=127，所以，（8，5）表示的数是第127+5=132个偶数，为264，46×264=12144；
∵数2012是第1006个偶数，n=9时，29-1=511，1006-511=495
∴数2012是第10行的第495个数，可以表示为（10，495）．故答案为：20，12144，（10，495）．
【点睛】本题是对数字变化规律的考查，读懂题目信息，表示出前n行的偶数的个数的表达式是解题的关键，也是本题的难点．
考点5、图形的规律（一次类）
例5．（2023·山东淄博市·九年级一模）如图所示，根据你的观察，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意知原图形中各行、各列中点数之和为10，据此可得．
【详解】解：由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，符合此要求的只有:
故选：C．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出原图形中各行、各列中点数之和为10．
变式1．（2023·山东九年级一模）如图1是个正五边形，分别连接这个正五边形各边中点得到图2，再分别连接图2小正五边形各边中点得到图3．
（1）填写如表
图形标号 1 2 3
正五边形个数 ______ ______ ______
三角形个数 ______ ______ ______
（2）按上面方法继续连下去，第n个图中有多少个三角形？
（3）能否分出2014个三角形？简述你的理由．
【答案】（1）第一行：1，2，3；第二行：0，5，10；（2）；（3）不能，理由见解析
【分析】（1）根据每个图形直接分析出结果即可；（2）根据前三个图形总结出一般规律即可；
（3）利用（2）的结论，建立方程，判断求解出的n是否为正整数即可．
【详解】（1）观察图形可得：图1，正五边形：1个，三角形：0个；
图2，正五边形：2个，三角形：5个；图3，正五边形：3个，三角形：10个；
故答案为：第一行：1，2，3；第二行：0，5，10；
（2）由前三个图形中三角形的个数得出：第n个图形中，三角形的个数为：个；
（3）不能，理由如下：要使得分出2014个三角形，即满足，其中n为正整数即可，
而上式解得，，并非正整数，∴不能分出2014个三角形．
【点睛】本题考查图形变化类的规律探究问题，找准图形变化中的一般规律是解题关键．
变式3.（2023·北京七年级期末）如图所示是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形与等边三角形镶嵌而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，第4个图案有13个三角形，…，按照这样的规律，第5个图案中有____个三角形，第n个图案中有____个三角形（用含有n的代数式表示）．
【答案】16 3n+1
【分析】由所给的图形可知：第1个图案中三角形的个数为4；第2个图案中三角形的个数为4+3=7；第3个图案中三角形的个数为4+3+3=10；据此可得其规律．
【详解】解：第1个图案中三角形的个数为4；第2个图案中三角形的个数为4+3=4+3×1=7；
第3个图案中三角形的个数为4+3+3=4+3×2=10；第4个图案中三角形的个数为4+3+3+3=4+3×3=13；
第5个图案中三角形的个数为4+3+3+3+3=4+3×4=16；.....．
第n个图案中三角形的个数为4+3×（n-1）=4+3n-3=3n+1．故答案为：16；3n+1．
【点睛】本题主要考查了规律型：图形的变化类，解答的关键是找到三角形个数变化的规律．
考点6、图形的规律（二次类）
例6．（2023·浙江九年级一模）按图示的方法，搭1个正方形需要4根火柴棒，搭3个正方形需要10根火柴棒，搭6个正方形需要18根火柴棒，则下列选项中，可以搭成符合规律图形的火柴棒的数目是（ ）
A．52根 B．66根 C．70根 D．72根
【答案】C
【分析】仔细观察图形，找到图形变化的规律，将每行每列的火柴棒数进行总结，可得出：当有n层时，需要根火柴，从而验证选项即可确定正确答案．
【详解】解：观察图形可以看出：搭1个正方形，一层，需要根火柴棒；
搭3个正方形，两层，需要根火柴棒；
搭6个正方形，三层，需要根火柴棒；
搭10个正方形，四层，需要根火柴棒；
因此当有n层时，需要 根火柴棒．
当时，根火柴棒，因此C选项正确．故选：C．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是找到图形变化的规律，用变量代替数字总结规律，最终再代入数字求解即可，难度中等．
变式1.（2023·重庆七年级期末）下列图形都是由同样大小的圆按一定的规律组成，其中第1个图形中有5个圆，第2个图形中有9个圆，第3个图形中有14个圆，．．．则第8个图形中圆的个数是（ ）
A．52 B．53 C．54 D．55
【答案】C
【分析】根据图中圆的个数变化规律，进而求出答案．
【详解】解：由图可得：第一个图形一共有2＋3＝5个圆，
第二个图形一共有2＋3＋4＝9个圆，
第三个图形一共有2＋3＋4＋5＝14个圆，
∴第八个图形一共有2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9+10＝54个图形．故选：C．
【点睛】本题主要考查图形的变化，根据题意得出圆的个数变化规律是解题关键．
变式2.（2023·重庆七年级期中）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…．我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球），若一个“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛球的总个数为（ ）
A．55 B．220 C．285 D．385
【答案】A
【分析】“三角形数”可以写为：1，3＝1+2，6＝1+2+3，10＝1+2+3+4，15＝1+2+3+4+5，所以第n层“三角形数”为，再把n＝10代入计算即可．
【详解】解：∵“三角形数”可以写为：第1层：1，第2层：3＝1+2，第3层：6＝1+2+3，
第4层：10＝1+2+3+4，第5层：15＝1+2+3+4+5，∴第n层“三角形数”为，
∴若一个“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛球的总个数为＝55．故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质及数字变化规律，得出第n层“三角形数”为是解答本题的关键．
考点7、 图形的规律（指数类）
例7．（2023·江苏七年级期末）如图，已知图①是一块边长为1，周长记为C1的等边三角形卡纸，把图①的卡纸剪去一个边长为的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边再剪去一个边长为的等边三角形后得到图③，依次剪去一个边长为、、…的等边三角形后，得到图④、⑤、⑥、…，记图n（n≥3）中的卡纸的周长为Cn，则Cn﹣Cn﹣1＝_____．
【答案】
【分析】利用等边三角形的性质（三边相等）求出等边三角形的周长C1，C2，C3，C4，根据周长相减的结果能找到规律即可求出答案．
【详解】解：∵C1＝1+1+1＝3，C2＝1+1+＝，C3＝1+1+×3＝，C4＝1+1+×2+×3＝，…
∴C3﹣C2= ，C3﹣C2＝﹣＝＝（）2；C4﹣C3＝﹣＝＝（）3，…
则C n﹣Cn﹣1＝（）n﹣1＝．故答案为：．
【点睛】此题考查图形的变化规律，通过观察图形，分析、归纳发现其中运算规律，并应用规律解决问题．
变式1．（2023·江苏七年级期中）数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．如图，将一个边长为1的正方形纸板等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形分成两个面积为的长方形，如此继续进行下去，根据图形的规律计算：的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析数据和图象可知，利用正方形的面积减去最后的一个小长方形的面积来求解面积和即可.
【详解】解：分析数据和图象可知，利用正方形的面积减去最后的一个小长方形的面积来求解面积和即为所求.最后一个小长方形的面积= 故
即故选B.
【点睛】本题主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，通过数形结合看出前面所有小长方形的面积等于总面积减去最后一个空白的小长方形的面积是解答此题的关键.
变式2． （2023·常州七年级期中）（1）为了计算1+2+3+…+8的值，我们构造图形（图1），共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有（1+2+3+…+8）个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有8×9＝72个点，由此可得1+2+3+…+8=×72=36．
用此方法，可求得1+2+3+…+20= （直接写结果）．
（2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题：
填空：①1+3+5+…+49= ；②1+3+5…+（2n+1）= ．
（3）请构造一图形，求 （画出示意图，写出计算结果）．
【答案】（1）210；（2）①625；②(n+1)2；（3）图见解析，
【分析】（1）利用题干中所给方法解答即可；（2）由点阵图可知：一个数时和为1=12，2个数时和为4=22，3个数时和为9=32， n个数时和为n2，由此可得①为25个数，和为252=625；②为（n+1）个数，和为(n+1)2；（3）按要求画出示意图，依据图形写出计算结果．
【详解】解：（1）1+2+3+ +20=（1+20）×20=21×10=210；故答案为：210；
（2）由点阵图可知：一个数时和为1=12，2个数时和为4=22，
3个数时和为9=32， ，n个数时和为n2．
①∵1+3+5+…+49中有25个数，∴1+3+5+…+49=252=625．
②∵1+3+5…+（2n+1）中有(n+1)个数，∴1+3+5…+（2n+1）=(n+1)2．故答案为：625；(n+1)2；
（3）由题意画出图形如下：假定正方形的面积为1，
第一次将正方形分割为和两部分，第二次将正方形的分割为和两部分， ，以此类推，
第2020次分割后，剩余的面积为，那么除了剩余部分的面积，前面所有分割留下的面积应该是：
，∴，
左右两边同除以2得：．∴原式．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，有理数的混合运算，数形结合的思想方法．前两小题考察学生数与形相结合，难度不大，仔细观察规律，即可求解，第三小题对学生构建数与形的要求较高，考察学生的发散性思维．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.（2023 九龙坡区模拟）按如图所示的规律搭正方形：搭1个小正方形需要4根小棒，搭2个小正方形需要7根小棒，搭3个小正方形需要10根小棒，搭2021个这样的小正方形需要小棒（ ）根．
A．8084 B．6066 C．6063 D．6064
【分析】通过归纳与总结得出规律：正方形每增加1，火柴棒的个数增加3，由此求出第n个图形时需要火柴的根数的代数式，然后代入求值即可．
【解答】解：搭2个正方形需要4+3×1＝7根火柴棒；
搭3个正方形需要4+3×2＝10根火柴棒；…，
搭n个这样的正方形需要4+3（n﹣1）＝3n+1根火柴棒；
搭2021个这样的正方形需要3×2021+1＝6064根火柴棒；故选：D．
2．（2023·重庆）如图，将整数按规律排列，若有序数对(a，b)表示第a排从左往右第b个数，则(9，4)表示的数是（ ）
A．49 B．﹣40 C．﹣32 D．25
【答案】B
【分析】根据有序数对（m，n）表示第m行从左到右第n个数，对如图中给出的有序数对和（3，2）表示整数5可得规律，进而可求出（9，4）表示的数．
【详解】解：根据有序数对（m，n）表示第m行从左到右第n个数，
对如图中给出的有序数对和（3，2）表示整数5可知：
（3，2）：；（3，1）：；（4，4）：；…
由此可以发现，对所有数对（m，n）（n≤m）有，．
表示的数是偶数时结果为负数，奇数时结果为正数，
所以（9，4）表示的数是：．故选：B．
【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律，总结规律．
3．（2023·重庆九年级三模）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第8个图案中共有圆点的个数是（ ）
A．34 B．40 C．49 D．59
【答案】C
【分析】观察图形可知，第1个图形共有圆点5＋2个；第2个图形共有圆点5＋2＋3个；第3个图形共有圆点5＋2＋3＋4个；第4个图形共有圆点5＋2＋3＋4＋5个；…；则第n个图形共有圆点5＋2＋3＋4＋…＋n＋（n＋1）个；由此代入n＝8求得答案即可．
【详解】解：根据图中圆点排列，当n＝1时，圆点个数5＋2；
当n＝2时，圆点个数5＋2＋3；当n＝3时，圆点个数5＋2＋3＋4；当n＝4时，圆点个数5＋2＋3＋4＋5，…
∴当n＝8时，圆点个数5＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝4＋（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＝4＋×9×(9＋1)＝49．故选：C．
【点睛】此题考查图形的变化规律，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论，利用规律解决问题．
4．（2023·北京七年级期末）在某学校庆祝建党“100周年”的活动上,宇阳同学用围棋棋子按照某种规律摆成如图所示的“100”字样．按照这种规律,第个“100”字样的棋子个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图形可知:第①个“100”字中的棋子个数是 ,
第②个“100”字中的棋子个数是 ,
第③个“100”字中的棋子个数是 ,
第④个“100”字中的棋子个数是 ,由此规律可得出答案．
【详解】第①个“100”字中的棋子个数是 ,
第②个“100”字中的棋子个数是 ,
第③个“100”字中的棋子个数是 ,
第④个“100”字中的棋子个数是 ,
第n个“100”字中的棋子个数是．故选C．
【点睛】本题考查了规律型:图形的变化类,是一道关于数字猜想的问题,解题的关键是通过总结与归纳,得到其中的规律．
5．（2023·重庆七年级期中）一组按规律排列的式子：则第2020个式子是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先观察所给的前几个式子，找出分子a的指数的规律,分母的规律，即可得2020个式子．
【详解】观察所给的前几个式子，发现第n个式子的分子a的指数为2n，分母为(2n-1)，把n换成2020即得第2020个式子的分子a的指数为2020×2=4040，分母为2020×2-1=4039，所以第2020个式子为．故选：C．
【点睛】本题是找规律题也考查奇偶数的字母表示．其关键是仔细观察前几个式子的变化和联系，归纳作出猜想，进行验证，反复进行直到找规律．
6．（2023·辽宁葫芦岛市·七年级期中）如图在表中填在各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值是（ ）
A．216 B．147 C．130 D．442
【答案】A
【分析】分析前三个正方形可知，规律为右上和左下两个数的和乘以左上的数等于右下的数，且左上，左下，右上三个数是相邻的奇数．因此，图中两个问号的数分别是左下是11，右上是13，由此解决问题．
【详解】∵右上和左下两个数的和乘以左上的数等于右下的数，且左上，左下，右上三个数是相邻的奇数
∴图中左下是11，右上是13∴故选：A．
【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于找出问号部分的数．
7．（2023·山西九年级模拟）谢尔宾斯基地毯，最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出来的：把一个正三角形分成全等的4个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法…将这种做法继续进行下去，就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯（如图）．若图1中的阴影三角形面积为1，则图5中的所有阴影三角形的面积之和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，每次挖去等边三角形的面积的，剩下的阴影部分面积等于原阴影部分面积的，然后根据有理数的乘方列式计算即可得解．
【解答】解：图2阴影部分面积＝1﹣，图3阴影部分面积＝，
图4阴影部分面积＝，图5阴影部分面积＝．故选：B．
8．（2023·浙江初一课时练习）把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组：
第一组：2，4；
第二组：6，8，10，12；
第三组：14，16，18，20，22，24
第四组：26，28，30，32，34，36，38，40
……
则现有等式Am=（i，j）表示正偶数m是第i组第j个数（从左到右数），如A10=（2，3），则A2018=（ ）
A．（31，63） B．（32，17） C．（33，16） D．（34，2）
【答案】B
【解析】2018是第1009个数，设2018在第n组，由2+4+6+8+…+2n=n（n+1），
当n=31时，n（n+1）=992；当n=32时，n（n+1）=1056；
故第1009个数在第32组，第32组的第一个数为2×992+2=1986，则2018是（+1）=17个数．
则A2016=（32，17）．故选B．
9．（2023·山东九年级三模）如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：，，，，，，，……，则的值为（ ）
A．1275 B．1326 C．1378 D．1431
【答案】B
【分析】由题将已知数列分为两个新数列，找出两个新数列的变化规律即可计算．
【详解】∵，，，，
∴是新数列第50项，
∵，，，，∴是新数列第50项，，
∴，故选．
【点睛】本题考查了根据图形数字变化找规律；能将已知数列分成两个新数列寻找规律是解题的关键．
10．（2022·河北·七年级期末）已知一列数：1，，3，，5，，7，…将这列数排成下列形式：
第1行 1
第2行 3
第3行 5
第4行 7 9
第5行 11 13 15
… …
按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数等于（ ）
A． B． C．45 D．
【答案】A
【分析】第n行有n个数，此行第一个数的绝对值为；且奇数为正，偶数为负；故第10行从左边数第1个数绝对值为46，故这个数为46，那么从左边数第5个数等于﹣50．
【详解】解：第1行有1个数，绝对值为1＝，且是正数；
第2行有2个数，第一个数的绝对值为2＝，且为负数，且奇数为正，偶数为负；
第3行有3个数，第一个数的绝对值为4＝，且为负数，且奇数为正，偶数为负；
第4行有4个数，第一个数的绝对值为7＝，且为正数，且奇数为正，偶数为负；
……
由上可知，第n行有n个数，此行第一个数的绝对值为；且奇数为正，偶数为负，
∴第10行从左边数第1个数绝对值为46，从左边数第5个数等于﹣50．故选：A
【点睛】本题考查学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧．本题的关键是得到规律：第n行有n个数，此行第一个数的绝对值为；且奇数为正，偶数为负．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11. （2023 韶关一模）按规律排列的一列数：，，，，，…，则第2021个数是 ．
【分析】由所给的数可得，奇数项为负，偶数项为正，其分母为3n﹣1，据此即可作答．
【解答】解：∵，，，
，，…，∴第n个数为：，
∴第2021个数为：．故答案为：．
12.（2023 武汉七年级期中）观察下面倒“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为 ．
【分析】首先分析得左上数字1，3，5分别是1、2、3的2倍与1的差，而下面的数21，22，23对应的指数正好也是1，2，3，即可以得出结果．
【解答】解：由题意得：1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1…∴a＝2×2020﹣1＝4039．故填：4039．
13.（2023 庐阳区校级月考）探究规律：
（1）计算：①2﹣1＝ ；②22﹣2﹣1＝ ；③23﹣22﹣2﹣1＝ ；④24﹣23﹣22﹣2﹣1＝ ；
（2）根据上面结果猜想：①22020﹣22019﹣22018﹣…﹣23﹣22﹣2﹣1＝ ；
②2n﹣2n﹣1﹣2n﹣2﹣…﹣23﹣22﹣2﹣1＝ ；③212﹣211﹣210﹣29﹣28﹣27﹣26＝ ．
【分析】（1）利用乘方的意义和减法法则求得结果即可；（2）类比（1）得出结论即可．
【解答】（1）计算：①2﹣1＝1，②22﹣2﹣1＝1，③23﹣22﹣2﹣1＝1，④24﹣23﹣22﹣2﹣1＝1；
故答案为：①1；②1；③1；④1；
（2）①22020﹣22019﹣22018﹣…﹣23﹣22﹣2﹣1＝1；
②2n﹣2n﹣1﹣2n﹣2﹣…﹣23﹣22﹣2﹣1＝1；
③212﹣211﹣210﹣29﹣28﹣27﹣26＝212﹣211﹣210﹣…﹣28﹣27﹣26﹣25﹣24﹣23﹣22﹣2﹣1+25+24+23+22+2+1＝1+25+24+23+22+2+1＝64． 故答案为：①1；②1；③64．
14.（2023 诸城市三模）按一定规律排列的一列数依次为2，﹣5，10，﹣17，26，﹣37，…，按此规律排列下去，这列数中的第20个数是 ．
【分析】根据题目中的数字，可以发现这列数的符号一正一负的出现，数字是12+1、22+1、32+1、42+1，…，从而可以写出第n个数的表达式．
【解答】解：∵一列数依次为：2，﹣5，10，﹣17，26，…，
∴这列数的第n个数为：（﹣1）n+1 （n2+1），
则第20个数为：（﹣1）20+1 （202+1）＝﹣401．故答案为：﹣401．
15．（2023·北京七年级期末）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，则S4＝_____，S1+S2+S3+…+S2021＝______．
【答案】
【分析】根据翻折变换表示出所得图形的面积，再根据句各部分图形的面积之和等于正方形面积减去剩下部分的面积进行计算即可得解．
【详解】解：由题意得：……；
∴，∴S1+S2+S3+…+S2021＝；
故答案为，．
【点睛】本题主要考查图形规律及有理数的运算，关键在于观察各部分图形的面积之和等于正方形面积减去剩下部分的面积．
16．（2023·江苏七年级期末）在无限大的正方形网格中按规律涂成的阴影如图所示，第1、2、3个图中阴影部分小正方形的个数分别为5个、9个、15个，根据此规律，则第20个图中阴影部分小正方形的个数是_____．
【答案】423
【分析】根据每一个图形都是第几个图形的平方，再加上第几个图形数，每个图形都多出3，再加上3，即可求出答案．
【详解】解：根据所给的图形可得：第一个图有：5=1+1+3（个），
第二个图有：9=4+2+3（个），第三个图有：15=9+3+3（个），…，则第n个为n2+n+3，
第20个图有：400+20+3=423（个），故答案为：423．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，根据规律进行解答．
17．（2023·四川内江九年级三模）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n个图形有___________个小圆．（用含n的代数式表示）
【答案】
【分析】第1个图形有5个小圆，第2个图形有5+2个小圆，第3个图形有5+6个图形，第4个图形有5+12个图形，根据项数关系不难分析2=1×2，6=2×3，12=3×4便可得出规律为第n个图形有个小圆．
【详解】第1个图有0×1+5个小圆；第2个图有1×2+5个小圆；第3个图有2×3+5个小圆；…
第n个图形有个小圆．故答案为．
【点睛】本题考查图形规律探究问题，掌握图形特征是探究问题的关键．
18．（2023·湖北九年级二模）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，则的值为________．
【答案】
【分析】先根据图形得出a1＝3＝1×3，a2＝8＝2×4，a3＝15＝3×5，a4＝24＝4×6，…，an＝n（n＋2），再代入、裂项求解即可．
【详解】解：a1＝3＝1×3，a2＝8＝2×4，a3＝15＝3×5，a4＝24＝4×6，…，an＝n（n＋2），
∴原式=
===故答案为：．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·浙江七年级期末）一列数a1，a2，a3，…，an，其中a1＝﹣1，a2＝，a3＝，…，an＝．（1）求a2，a3的值；（2）求a1+a2+a3+…+a2021的值．
【答案】（1），；（2）1009
【分析】（1）将代入计算可得，再将代入，可求出；
（2）根据规律可得出结果．
【详解】解：（1）把代入得，，
把代入得，，∴，；
（2）将代入得，
同理，，，，
，
所以．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，探索数字的变化规律，正确的计算，，，进而得出变化规律是解决问题的关键．
20．（2023·江苏南京市·七年级期中）观察下列各式：
根据上面各式的规律可得（ ）；
利用规律完成下列问题：
（1）______；
（2）求的值．
【答案】；（1）；（2）（或）
【分析】先观察给出的各运算式的特点，再总结出规律，再表示即可；（1）直接利用规律写出结果即可；（2）先在运算式后面加上 再减去 再直接利用规律解题即可.
【详解】解：由上面各式的规律可得：，故答案为：
（1）由规律可得：故答案为：
（2）
【点睛】本题考查运算规律的总结，表达与应用，根据已有的运算总结出规律并运用规律是解题关键.
21．（2023·福建七年级月考）如图1，给定一个正方形，要通过画线将其分割成若干个互不重叠的正方形．第1次画线分割成4个互不重叠的正方形，得到图2；第2次画线分割成7个互不重叠的正方形，得到图3；…，以后每次只在上次得到图形的左上角的正方形中画线．
尝试（1）第3次画线后，分割成______个互不重叠的正方形；
第4次画线后，分割成______个互不重叠的正方形．
发现（2）第次画线后，分割成______个互不重叠的正方形，并直接写出第2021次画线后得到互不重叠的正方形的个数．探究（3）若干次画线后﹐能否得到1005个互不重叠的正方形？若能，求出是第几次画线后得到的；若不能，请说明理由．
【答案】尝试：（1）10，13；发现：（2）3n+1；6064；探究：（3）不能，理由见解析．
【分析】尝试：根据前2次画线分割成的正方形个数即可得到第3、第4次的；
发现：结合尝试的过程：10=3×3+1，13=3×4+1，…发现规律可得第n次画线后，分割成的正方形，进而可求第2021次画线后得到互不重叠的正方形的个数； 探究：设每次画线后得到互不重叠的正方形的个数为m，则m=3n+1．求当m=1005时n的值，进而可以说明．
【详解】解：尝试：3×3+1=10，3×4+1=13；故答案为：10，13；
发现：通过尝试可知：第n次画线后，分割成的正方形为：3n+1；
当n=2021时，3n+1=3×2021+1=6064，
即第2021次画线后得到互不重叠的正方形的个数是6064；故答案为：（3n+1）；
探究：不能． 设每次画线后得到互不重叠的正方形的个数为m，则m=3n+1．
若m=1005，则1005=3n+1．解得n＝．这个数不是整数，所以不能．
【点睛】本题考查规律型：图形的变化类，根据图形的变化寻找规律、总结规律、运用规律是解题的关键．
22.（2023 安徽模拟）观察下列图形与等式：
（1）观察图形，写出第（7）个等式： ；根据图中规律，写出第n个图形的规律： ；（用含有n的式子表示）（2）求出10+11+…+80的值．
【分析】（1）观察图形的变化可得第（7）个等式，进而可得第n个图形的规律；
（2）根据（1）中第n个图形的规律即可进行计算．
【解答】解：（1）根据图形的变化可知：第（7）个等式为：（1+2+3+4+5+6）×2+7＝72；
所以第n个图形的规律为：（1+2+3+...+n﹣1）×2+n＝n2；
故答案为：（1+2+3+4+5+6）×2+7＝72；（1+2+3+...+n﹣1）×2+n＝n2；
（2）因为（1+2+3+4+...+80）×2+81＝812，
（1+2+3+4+..+9）×2+10＝102，
1+2+3+4+...+803240，
1+2+3+4+...+945，
所以10+11+…+80＝（1+2+3+4+...+80）﹣（1+2+3+4+...+9）＝3195．
23．（2023·安徽合肥市九年级一模）观察下列等式：①1＝12；②1+3＝22；③1+3+5＝32；④1+3+5+7＝42；……请解答下列问题：（1）请写出第⑤个等式： ；（2）请写出第n个等式： ；
（3）根据上述规律，求1+3+5+7+…+2019+2020．
【答案】（1）1+3+5+7+9＝52；（2）1+3+5+7+…+（2n-1）＝n2；（3）1022120
【分析】（1）根据题目中式子的特点，可以写出第⑤个等式；
（2）根据题目中式子的规律，可以写出第n个等式；
（3）根据前面发现的式子的特点，通过有理数混合运算，可以求得所求式子的值．
【详解】（1）由题意可得，第⑤个等式是：1+3+5+7+9＝52，故答案为：1+3+5+7+9＝52；
（2）①1＝12；②1+3＝22；③1+3+5＝32；④1+3+5+7＝42⑤1+3+5+7+9＝52
∴第n个等式：1+3+5+7+…+（2n-1）＝n2，故答案为：1+3+5+7+…+（2n-1）＝n2；
（3）1+3+5+7+…+2019+2020＝（）2+2020＝10102+2020＝1020100+2020＝1022120
故答案为：1022120．
【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、有理数混合运算的性质，从而完成求解．
24．（2023·福建七年级月考）在我们的生活中，很多看似繁杂的事情，其中总是隐藏着某种规律，若能找到其中的规律，就能化繁为简，巧妙解决：
（Ⅰ）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等．
……
（i）根据上面的规律，展开______． （ii）计算：
（Ⅱ）构成运算的元素有若干个相同时，将这些相同的元素归到一起看成一个整体，此时一般引入参数（表示数字的字母），化繁为简，往往可以取到事半功倍的效果．请认真观察以下算式的结构、特征，完成解答：若，，比较M与N的大小．
【答案】（1）a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5；（2）-1；（3）M＜N
【分析】（1）根据“杨辉三角”给出的系数规律直接写出展开式即可；
（2）根据式子规律把原式改写成的形式计算即可；
（3）设，则，，用作差法比较M，N的大小即可．
【详解】解：（1）a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5，
故答案是：a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5；
（2）====-1；
（3）设，则，，
∴M-N=-=-2＜0，∴M＜N．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律以及用字母表示数，理解“杨辉三角”中数字的变化规律是解题的关键．
25．（2023·青岛九年级模拟）将图1中的正方形剪开得到图2，则图2 中共有4个正方形；将图2中的一个正方形剪开得到图3，则图3中共有7个正方形；，如此剪下去，则第n个图形中正方形的个数是多少．
（1）按图示规律填写下表：
图 1 2 3 4 5
正方形个数 1 4 7 ______ ______
（2）按照这种方式剪下去，求第n个图中有多少个正方形；
（3）按照这种方式剪下去，求第200个图中有多少个正方形；
（4）按照这种方式剪下去，求第2021个图中有多少个正方形．
【答案】（1）10，13；（2）；（3）598；（4）6061
【分析】（1）观察图形可知，每剪开一次多出3个正方形，然后根据图形及规律即可得出答案；
（2）根据（1）中的规律可总结出第n个图中正方形的个数；
（3）将代入（2）的结论中即可得出答案；（4）将代入（2）的结论中即可得出答案．
【详解】（1）观察图形可知图4中正方形的个数为10个，
观察发现每一个图形都比前一个图形多3个正方形，所以第5个图形的正方形的个数为13，填表如下：
图 1 2 3 4 5
正方形个数 1 4 7 __10____ __13____
（2）图1中的正方形个数为1，； 图2中正方形的个数为4，；
图3中正方形的个数为7，；
图4中正方形的个数为10，；……第n个图中正方形的个数为；
（3）当时，， ∴第200个图中有598个正方形；
（4）当时，， ∴第2021个图中有6061个正方形．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，找到规律并能应用规律解题是关键．
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专题4.7 探究与表达规律
模块1：学习目标
1、通过具体的问题情境，经历在实际问题中探索规律的过程。
2、能归纳具体问题中蕴含的规律，用代数式表示， 并通过计算验证。
3、在解决问题过程中体验类比、转化等数学思想，培优良好的思维品质。
模块2：知识梳理
1. 解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型：
1）一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系.
2）一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系.
3）图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系.
4）图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数.
5）数形结合的规律：观察前项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.
2. 常见的数列规律：
1）1，3，5，7，9，… ，（为正整数）．
2） 2，4，6，8，10，…，（为正整数）．
3） 2，4，8，16，32，…，（为正整数）．
4）2， 6， 12， 20，…， （为正整数）．
5），，，，，，…，（为正整数）．
6）特殊数列： ①三角形数：1,3,6,10,15,21，…，.
②斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和.
模块3：核心考点与典例
考点1、数列的规律
例1.（2023 沂南县模拟）观察下列两行数：
0，2，4，6，8，10，12，14，16，…
0，3，6，9，12，15，18，21，24，…
探究发现：第1个相同的数是0，第2个相同的数是6，…，若第n个相同的数是102，则n等于（ ）
A．20 B．19 C．18 D．17
变式1．（2023·云南七年级模拟）有一组数：，它们是按一定规律排列的，这一组数的第n个数是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023·福建七年级开学考试）观察下列各项：，，，，…，依此规律下去，则第7项是__________；第项是__________．
考点2、数表的规律
例2．（2023·江苏镇江市·七年级期中）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（ ）
A．A1 B．B1 C．A2 D．B3
变式1．（2023 广汉市模拟）右边是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数2021应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么m+n的值是（ ）
A．131 B．130 C．129 D．128
变式2．（2023 柳南区校级月考）将正奇数按下表排成5列：
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行 1 3 5 7
第2行 15 13 11 9
第3行 17 19 21 23
… … … 27 25
若2021在第m行第n列，则m+n＝（ ）
A．256 B．257 C．510 D．511
考点3、算式的规律
例3．（2023·广州白云广雅实验学校七年级期中）已知：，，，，……，若符合前面式子的规律，则的值为_____．
变式1．（2023·安徽七年级期末）观察以下等式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：．……
按照以上规律．解决下列问题：（1）写出第个等式：____________________．
（2）写出你猜想的第个等式：____________________（用含的等式表示）．
（3）你认为（2）中所写的式子一定成立吗？请说明理由．
变式2．（2023·东营市七年级期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．如图2，某同学发现杨辉三角给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数等等．
（1）填出展开式中共有________项，第三项是________．
（2）直接写出的展开式．（3）利用上面的规律计算：．
考点4、有序数对的规律
例4．（2023·广州市七年级期中）将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对表示第排，从左到右第个数，如表示9，则表示2021的有序数对是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·陕西·七年级期中）将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称莱布尼茨三角形．若用有序实数对(m，n)表示第m行，从左到右第n个数，如(4，3)表示分数那么(8，3)表示的分数是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023·北京市房山区初一期末）由一些正整数组成的数表如下（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍）：
若规定坐标号（m,n）表示第m行从左向右第n个数，则（7，4）所表示的数是_____；（5，8）与（8，5）表示的两数之积是_______；数2012对应的坐标号是_________
考点5、图形的规律（一次类）
例5．（2023·山东淄博市·九年级一模）如图所示，根据你的观察，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·山东九年级一模）如图1是个正五边形，分别连接这个正五边形各边中点得到图2，再分别连接图2小正五边形各边中点得到图3．
（1）填写如表
图形标号 1 2 3
正五边形个数 ______ ______ ______
三角形个数 ______ ______ ______
（2）按上面方法继续连下去，第n个图中有多少个三角形？
（3）能否分出2014个三角形？简述你的理由．
变式3.（2023·北京七年级期末）如图所示是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形与等边三角形镶嵌而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，第4个图案有13个三角形，…，按照这样的规律，第5个图案中有____个三角形，第n个图案中有____个三角形（用含有n的代数式表示）．
考点6、图形的规律（二次类）
例6．（2023·浙江九年级一模）按图示的方法，搭1个正方形需要4根火柴棒，搭3个正方形需要10根火柴棒，搭6个正方形需要18根火柴棒，则下列选项中，可以搭成符合规律图形的火柴棒的数目是（ ）
A．52根 B．66根 C．70根 D．72根
变式1.（2023·重庆七年级期末）下列图形都是由同样大小的圆按一定的规律组成，其中第1个图形中有5个圆，第2个图形中有9个圆，第3个图形中有14个圆，．．．则第8个图形中圆的个数是（ ）
A．52 B．53 C．54 D．55
变式2.（2023·重庆七年级期中）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…．我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球），若一个“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛球的总个数为（ ）
A．55 B．220 C．285 D．385
考点7、 图形的规律（指数类）
例7．（2023·江苏七年级期末）如图，已知图①是一块边长为1，周长记为C1的等边三角形卡纸，把图①的卡纸剪去一个边长为的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边再剪去一个边长为的等边三角形后得到图③，依次剪去一个边长为、、…的等边三角形后，得到图④、⑤、⑥、…，记图n（n≥3）中的卡纸的周长为Cn，则Cn﹣Cn﹣1＝_____．
变式1．（2023·江苏七年级期中）数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．如图，将一个边长为1的正方形纸板等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形分成两个面积为的长方形，如此继续进行下去，根据图形的规律计算：的值为（ ）
A． B． C． D．
变式2． （2023·常州七年级期中）（1）为了计算1+2+3+…+8的值，我们构造图形（图1），共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有（1+2+3+…+8）个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有8×9＝72个点，由此可得1+2+3+…+8=×72=36．
用此方法，可求得1+2+3+…+20= （直接写结果）．
（2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题：
填空：①1+3+5+…+49= ；②1+3+5…+（2n+1）= ．
（3）请构造一图形，求 （画出示意图，写出计算结果）．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.（2023 九龙坡区模拟）按如图所示的规律搭正方形：搭1个小正方形需要4根小棒，搭2个小正方形需要7根小棒，搭3个小正方形需要10根小棒，搭2021个这样的小正方形需要小棒（ ）根．
A．8084 B．6066 C．6063 D．6064
2．（2023·重庆）如图，将整数按规律排列，若有序数对(a，b)表示第a排从左往右第b个数，则(9，4)表示的数是（ ）
A．49 B．﹣40 C．﹣32 D．25
3．（2023·重庆九年级三模）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第8个图案中共有圆点的个数是（ ）
A．34 B．40 C．49 D．59
4．（2023·北京七年级期末）在某学校庆祝建党“100周年”的活动上,宇阳同学用围棋棋子按照某种规律摆成如图所示的“100”字样．按照这种规律,第个“100”字样的棋子个数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·重庆七年级期中）一组按规律排列的式子：则第2020个式子是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·辽宁葫芦岛市·七年级期中）如图在表中填在各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值是（ ）
A．216 B．147 C．130 D．442
7．（2023·山西九年级模拟）谢尔宾斯基地毯，最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出来的：把一个正三角形分成全等的4个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法…将这种做法继续进行下去，就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯（如图）．若图1中的阴影三角形面积为1，则图5中的所有阴影三角形的面积之和是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·浙江初一课时练习）把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组：
第一组：2，4；
第二组：6，8，10，12；
第三组：14，16，18，20，22，24
第四组：26，28，30，32，34，36，38，40
……
则现有等式Am=（i，j）表示正偶数m是第i组第j个数（从左到右数），如A10=（2，3），则A2018=（ ）
A．（31，63） B．（32，17） C．（33，16） D．（34，2）
9．（2023·山东九年级三模）如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：，，，，，，，……，则的值为（ ）
A．1275 B．1326 C．1378 D．1431
10．（2022·河北·七年级期末）已知一列数：1，，3，，5，，7，…将这列数排成下列形式：
第1行 1
第2行 3
第3行 5
第4行 7 9
第5行 11 13 15
… …
按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数等于（ ）
A． B． C．45 D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11. （2023 韶关一模）按规律排列的一列数：，，，，，…，则第2021个数是 ．
12（2023 武汉七年级期中）观察下面倒“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为 ．
13.（2023 庐阳区校级月考）探究规律：
（1）计算：①2﹣1＝ ；②22﹣2﹣1＝ ；③23﹣22﹣2﹣1＝ ；④24﹣23﹣22﹣2﹣1＝ ；
（2）根据上面结果猜想：①22020﹣22019﹣22018﹣…﹣23﹣22﹣2﹣1＝ ；
②2n﹣2n﹣1﹣2n﹣2﹣…﹣23﹣22﹣2﹣1＝ ；③212﹣211﹣210﹣29﹣28﹣27﹣26＝ ．
14.（2023 诸城市三模）按一定规律排列的一列数依次为2，﹣5，10，﹣17，26，﹣37，…，按此规律排列下去，这列数中的第20个数是 ．
15．（2023·北京七年级期末）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，则S4＝_____，S1+S2+S3+…+S2021＝______．
16．（2023·江苏七年级期末）在无限大的正方形网格中按规律涂成的阴影如图所示，第1、2、3个图中阴影部分小正方形的个数分别为5个、9个、15个，根据此规律，则第20个图中阴影部分小正方形的个数是_____．
17．（2023·四川内江九年级三模）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n个图形有___________个小圆．（用含n的代数式表示）
18．（2023·湖北九年级二模）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，则的值为________．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·浙江七年级期末）一列数a1，a2，a3，…，an，其中a1＝﹣1，a2＝，a3＝，…，an＝．（1）求a2，a3的值；（2）求a1+a2+a3+…+a2021的值．
20．（2023·江苏南京市·七年级期中）观察下列各式：
根据上面各式的规律可得（ ）；
利用规律完成下列问题：
（1）______；
（2）求的值．
21．（2023·福建七年级月考）如图1，给定一个正方形，要通过画线将其分割成若干个互不重叠的正方形．第1次画线分割成4个互不重叠的正方形，得到图2；第2次画线分割成7个互不重叠的正方形，得到图3；…，以后每次只在上次得到图形的左上角的正方形中画线．
尝试（1）第3次画线后，分割成______个互不重叠的正方形；
第4次画线后，分割成______个互不重叠的正方形．
发现（2）第次画线后，分割成______个互不重叠的正方形，并直接写出第2021次画线后得到互不重叠的正方形的个数．探究（3）若干次画线后﹐能否得到1005个互不重叠的正方形？若能，求出是第几次画线后得到的；若不能，请说明理由．
22.（2023 安徽模拟）观察下列图形与等式：
（1）观察图形，写出第（7）个等式： ；根据图中规律，写出第n个图形的规律： ；（用含有n的式子表示）（2）求出10+11+…+80的值．
．（2023·安徽合肥市九年级一模）观察下列等式：①1＝12；②1+3＝22；③1+3+5＝32；④1+3+5+7＝42；……请解答下列问题：（1）请写出第⑤个等式： ；（2）请写出第n个等式： ；
（3）根据上述规律，求1+3+5+7+…+2019+2020．
24．（2023·福建七年级月考）在我们的生活中，很多看似繁杂的事情，其中总是隐藏着某种规律，若能找到其中的规律，就能化繁为简，巧妙解决：
（Ⅰ）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等．
……
（i）根据上面的规律，展开______． （ii）计算：
（Ⅱ）构成运算的元素有若干个相同时，将这些相同的元素归到一起看成一个整体，此时一般引入参数（表示数字的字母），化繁为简，往往可以取到事半功倍的效果．请认真观察以下算式的结构、特征，完成解答：若，，比较M与N的大小．
25．（2023·青岛九年级模拟）将图1中的正方形剪开得到图2，则图2 中共有4个正方形；将图2中的一个正方形剪开得到图3，则图3中共有7个正方形；，如此剪下去，则第n个图形中正方形的个数是多少．
（1）按图示规律填写下表：
图 1 2 3 4 5
正方形个数 1 4 7 ______ ______
（2）按照这种方式剪下去，求第n个图中有多少个正方形；
（3）按照这种方式剪下去，求第200个图中有多少个正方形；
（4）按照这种方式剪下去，求第2021个图中有多少个正方形．
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