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专题5.1 一元一次方程+专题5.2 等式的基本性质
模块1：学习目标
1、掌握并理解方程的概念，并掌握方程、等式的区别与联系；
2、掌握并理解一元一次方程的概念，及方程的解与解方程的区别与联系；
3、理解并掌握等式的两个基本性质，并能利用等式的基本性质解方程。
模块2：知识梳理
1.方程和一元一次方程的概念
1）方程：含有未知数的等式。
如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数。．
2）一元一次方程：只含有一个未知数（元，隐含未知数系数不为0），未知数的次数是1（次），等号两边都是整式（整式：未知数的积，而非商）的方程。
如何判断一元一次方程：
①整式方程；②只含一个未知数，且未知数的系数不为0；③未知数的次数为1.
2.方程的解与解方程
1）方程的解：使方程两边相等的未知数的值
2）解方程：求方程的解的过程
3.等式的基本性质
1）等式两边同加或同减一个数（或式子），等式仍然成立。即： （注：此处字母可表示一个数字，也可表示一个式子）
2）等式两边同乘一个数（或式子），或同除一个不为零的数（式子），等式仍然成立。
即：（此处字母可表示数字，也可表示式子）
3）其他性质：①对称性：若a=b，则b=a；②传递性：若a=b，b=c，则a=c。
模块3：核心考点与典例
考点1、方程与等式的辨别
例1．（2022·河南开封·七年级期中）下列四个式子中，是方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据方程的定义（含有未知数的等式叫方程）进行判断即可．
【详解】A.不是方程，因为不含有未知数，故A错误；
B.是方程，x是未知数，式子又是等式，故B正确；C.不是方程，因为它不是等式，故C错误；
D.不是方程，因为它不是等式，故D错误．故选：B．
【点睛】本题主要考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）．
变式1．（2023·浙江·七年级假期作业）下列叙述中，正确的是（ ）
A．方程是含有未知数的式子 B．方程是等式
C．只有含有字母x，y的等式才叫方程 D．带等号和字母的式子叫方程
【答案】B
【分析】根据方程的概念结合选项选出正确答案即可．
【详解】解：A、方程是含有未知数的等式，错误；
B、方程是含有未知数的等式，故选项正确；
C、并不是只有含有字母x，y的等式才叫方程，错误；
D、含有未知数的等式叫做方程，错误；故选：B．
【点睛】本题考查了方程的概念，掌握各知识点的定义是解答本题的关键．
变式2．（2022·山西临汾·七年级阶段练习）下列属于方程的是（ ）
A．2x＝3 B．2x＞﹣1 C．1﹣3＝﹣2 D．7y﹣1
【答案】A
【分析】根据方程的定义，含有未知数的等式叫方程．
【详解】A. 2x＝3，是方程，符合题意；B. 2x＞﹣1不是等式，不符合题意；
C. 1﹣3＝﹣2，不含有未知数，不符合题意；D. 7y﹣1，不是等式，不符合题意故选A
【点睛】本题考查了方程的定义，理解方程的定义是解题的关键．
考点2、根据实际背景列方程
例2．（2023春·河南新乡·七年级校联考阶段练习）根据“x与5的和的3倍比x的少2”列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件x与5的和的3倍即为，x的少2即为，然后列出等量关系即可
【详解】解：由题意可得：，故选：C
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系．
变式1．（2023春·河南洛阳·七年级统考期末）《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．8x+4=7x-3
【答案】B
【分析】设人数为x，然后根据等量关系“每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱”即可列出方程．
【详解】解：设人数为x，根据题意可得：．故选B．
【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、找准等量关系是解答本题的关键．
变式2．（2023春·四川宜宾·七年级校考阶段练习）设某数为a，则“某数的2倍与3的和是7”用方程可表示为 ;
【答案】
【分析】根据题意，列出方程即可．
【详解】某数的2倍与3的和是7，设某数为a，则，故答案为：．
【点睛】本题考查列一元一次方程，解题的关键是明确题意找出等量关系．
考点3、一元一次方程的辨别
例3．（2022·湖北武汉市·七年级期末）下列方程为一元一次方程的是（ ）
A．＋y＝2 B．x＋2y＝4 C．x2＝2x D．y－3＝0
【答案】D
【分析】根据一元一次方程的定义，形如（），含有一个未知数，且未知数的最高次数是一次的方程即为一元一次方程，逐项判断作答即可．
【详解】解：A、 不是整式方程，不是一元一次方程，故选项A与题意不符
B、x＋2y＝4含有两个未知数，不是一元一次方程，故选项B与题意不符；
C、x2=2x最高次数是二次，不是一元一次方程，故选项C与题意不符； D、含有一个未知数，且未知数的最高次数是一次，是一元一次方程，故选项D符合题意；故选D．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，（）的方程即为一元一次方程；含有一个未知数，且未知数的最高次数是一次，是判断是否是一元一次方程的依据．
变式1．（2022·仪征市七年级月考）下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．根据此定义，对四个选项逐一进行判断即可．
【详解】解：A、未知数的次数不是1次，所以不是一元一次方程，故本选项不合题意；
B、不是整数，所以不是一元一次方程，故本选项不合题意；
C、是一元一次方程，故本选项符合题意；
D、含有2个未知数，所以不是一元一次方程，故本选项不合题意．故选：C．
【点睛】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确运用一元一次方程的定义．
变式2．（2022·乐山七年级期中）下列方程①②③④⑤：其中是一元一次方程的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】根据一元一次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：①，含有一个未知数，但是分式，故①不是一元一次方程；
②，是一元一次方程；③，是一元一次方程；
④，是一元二次方程，故④不是一元一次方程；
⑤，含有两个未知数，故⑤不是一元一次方程．所以是一元一次方程的有2个．故选：D．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的定义，解题的关键是掌握只含有一个未知数（元，且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．
考点4、根据一元一次方程的概念求参数
例4．（2022·南阳市七年级期中）已知是关于的一元一次方程，则的值为____．
【答案】4
【分析】根据一元一次方程的定义判断即可．
【详解】解：∵是关于的一元一次方程，
∴且，解得：，故答案为：4．
【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，根据题意列出方程和不等式是解题的关键．
变式1．（2022·浙江 七年级课时练习）如果方程是关于x的一元一次方程，则n的值为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．1
【答案】B
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）．根据未知数的指数为1可求出n的值．
【详解】解：由方程是关于x的一元一次方程可知x的次数是1，
故，所以．故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，未知数的指数是1，一次项系数不是0，特别容易忽视的一点就是系数不是0的条件．这是这类题目考查的重点．
变式2．（2022·山西七年级期中）已知方程是关于的一元一次方程，则的值是（ ）
A．±1 B．1 C．3 D．3或1
【答案】B
【分析】：根据一元一次方程的定义得 ，且 ，即可求解．
【详解】解：根据题意得： ，且 ，
解得： 或 ，且 ，∴ ．故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的次数为1的方程叫一元一次方程是解题的关键．
考点5、方程的解
例5．（2023秋·江苏·七年级专题练习）下列方程中，解为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把代入每个方程，看看方程两边是否相等即可．
【详解】解：A．把代入方程，左边，右边，左边右边，则不是方程的解，故此选项不符合题意；
B．把代入方程，左边，右边，左边右边，则不是方程的解，故此选项不符合题意；
C．把代入方程，左边，右边，左边右边，则不是方程的解，故此选项不符合题意；
D．把代入方程，左边，右边，左边右边，则是方程的解，故此选项符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解）是解题的关键．
变式1．（2021春·上海松江·六年级校考阶段练习）是下列哪个方程的解（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将代入各个选项，逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、 把代入方程中，左边，右边，
左边右边，∴不是方程的解；
B、 把代入方程中，左边，右边，
左边右边，∴不是方程的解；
C、把代入方程中，左边，右边，左边右边，∴不是方程的解；
D、把代入方程中，左边，右边，
左边右边，∴是方程的解．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，理解方程解的定义，将代入各个方程验证是解决问题的关键．
变式2．（2023秋·河南驻马店·八年级期中）请写出一个解为的一元一次方程： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】方程的解就是能使方程成立的未知数的值，据此即可求解．
【详解】解：解为的一元一次方程为：（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了方程的解的定义，理解定义是关键．
考点6、根据方程的解区域参数
例6．（2022·浙江丽水·七年级期末）已知关于的方程的解为，则____．
【答案】5
【分析】把x=2代入原方程得到关于a的方程，解得即可．
【详解】把x=2代入方程得：2（a-1）+3=3a-4，解得a=5，故答案为：5．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，能得到关于a的一元一次方程是解题的关键．
变式1．（2022·山西临汾·七年级期末）已如关于x的方程的解，则a的值为________．
【答案】2
【分析】使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解．将方程的解代入方程可得关于a的一元一次方程，从而可求出a的值．
【详解】解：∵关于x的方程的解，
∴，即，解得．故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，正确的计算是解题的关键．
变式2．（2022·河南南阳·七年级期中）己知方程3x+m+4＝0的解为x＝m，则m＝______．
【答案】-1
【分析】根据一元一次方程的解可直接把代入方程求解m即可．
【详解】解：∵方程的解是，
∴，解得：，故答案为．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解是解题的关键．使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解．
考点7、等式的基本性质
例7．（2023秋·江苏·七年级专题练习）下列等式变形，错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】等式的性质1：等式的两边都加（或减）同一个数或式子，等式仍成立；等式的性质2：等式的两边都乘同一个数，等式仍成立；等式的性质3：等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立．根据等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：A．∵，∴，变形正确，故本选项不符合题意；
B．∵，∴，变形正确，故本选项不符合题意；
C．∵·，∴，变形正确，故本选项不符合题意；
D．由能推出或，故本选项错误，符合题意．故选：D．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，能正确根据等式的基本性质进行变形是解此题的关键．
变式1.（2022秋·北京西城·七年级北师大实验中学校考期中）下列变形中，不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】根据等式的性质即可求出答案，等式的性质是：等式的两边同时加上或减去同一个数或式，所得结果仍是等式；等式的两边同时乘或除以同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式．
【详解】解：A、若，则，故本选项变形正确；
B、若，则，故本选项变形正确；
C、若，则，故本选项变形正确；
D、若，则当时，故本选项变形错误；故选：D．
【点睛】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．
变式2.（2023·江西宜春·七年级校考阶段练习）设是有理数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】根据等式的性质一一判断即可．
【详解】解：∵，∴或，故A不符合题意；
∵，∴，故B符合题意；∵，，∴，故C不符合题意；
∵，∴，故D不符合题意；故选B
【点睛】本题考查等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
考点8、等式的基本性质的实际应用
例8．（2023·广东江门·七年级校考阶段练习）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平右边不能放的是（ ）
A．▲▲▲▲ B．▲▲▲▲▲ C．●●▲ D．●▲▲▲
【答案】A
【分析】设■，●，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c，根据前面两幅图可以得到，进而推出，，由此即可得到答案．
【详解】解：设■，●，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c，
由左边第一幅图可知①，由中间一幅图可知②，
∴得，∴，∴，
由②得，，即∴∴，故A不正确，B正确，
，故C，D正确，故选A ．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，正确理解题意得到，是解题的关键．
变式1．（2023秋·浙江·七年级专题练习）有13个乒乓球，有12个质量相同，另有一个较轻一点，如果用天平称，至少称（ ）次保证能找出这个乒乓球．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据题意，首先要将13个乒乓球分成1、6、6三组，若一样重，则拿出的那一个是次品；若不一样重，再将轻的那6个分成3、3两组，进而再将轻的那3个分成1、1、1称量，即可求解．
【详解】解：首先要将13个乒乓球分成1、6、6三组，先称量6、6两组，若一样重，则拿出的那一个是次品；若不一样重，再将轻的那6个分成3、3两组，进而再将轻的那3个分成1、1、1称量，
从而可知至少需要3次才能找出次品．故选：C．
【点睛】本题考查了数学知识的应用，等式的性质，理解题意是解题的关键．
变式2．（2023秋·浙江·七年级专题练习）“△〇□”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持了平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放〇的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由〇+〇＝△+□，△＝□+〇，可知△+□＝□+□+〇，〇+〇＝□+□+〇，〇＝□+□，所以△+△＝□+□+〇+〇＝〇+〇+〇．据此解答即可．
【详解】解：由〇+〇＝△+□，△＝□+〇，可知△+□＝□+□+〇，〇+〇＝□+□+〇，〇＝□+□，所以△+△＝□+□+〇+〇＝〇+〇+〇．答：“？”处应放〇的个数是3个．故选：C．
【点睛】找出各图形之间的数量关系，是解题关键．
.
考点9、利用等式的基本性质解方程
例9．（2023秋·浙江·七年级课堂例题）完成下列解方程的过程．
解：根据________________，两边________________，
得________________．
于是________________．
根据________________，两边________________，
得________________．
【答案】等式的性质1， 同时减去3，，1，等式的性质2，乘以（或除以），
【分析】根据等式的性质解方程
【详解】解：根据等式性质1，两边同时减去3，
得．
于是．
根据等式的性质2，两边乘以（或除以），
得．
【点睛】本题考查等式的性质，熟知等式的基本性质是解答此题的关键．
变式1．（2023秋·浙江七年级课时练习）利用等式的性质解方程：
(1)； (2)．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用等式的性质即可求解．
（2）利用等式的性质即可求解．
【详解】（1）解：等式两边同时减去，得：，
化简，得：，
等式两边同时除以，得：．
（2）等式两边同时加，得：，
化简，得：，
两边同时除以5，得：．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
变式2．（2023秋·浙江七年级课时练习）利用等式的性质解下列方程：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【答案】(1) (2) (3) (4)
【分析】（1）等式的两边同时加5即可得出结论；
（2）先把等式的两边同时加4， 再把两边同时除以2即可得出结论；
（3）先把等式的两边同时加，再把两边同时除以3即可得出结论；
（4）先把等式的两边同时加2，再把两边同时乘以，即可得出结论．
【详解】（1）解：两边同时加5，得．
（2）解：两边同时加4，得，两边同时除以2，得．
（3）解：两边同时加，得，两边同时除以3，得．
（4）解：两边同时加2，得，两边同时乘，得．
【点睛】本题考查的是等式的基本性质，熟知等式的2个基本性质是解答此题的关键，等式的基本性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式两边依然相等；等式两边同时乘或除同一个数或整式，等式两边依然相等．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023春·河南周口·七年级校考期中）下列各式是方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据方程的定义：含有未知数的等式是方程，逐一判断即可．
【详解】解：不是等式，故A选项不符合题意；不含有未知数，故B选项不符合题意；
不是等式，故C选项不符合题意；是方程，故D选项符合题意，故选：D．
【点睛】本题考查了方程的定义，熟知该定义是解题的关键．
2．（2023·上海·七年级校考期中）以为解的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把代入各选项的方程中，逐一计算验证即可．
【详解】解：当时，A、方程左边，右边，
∵左边≠右边，∴不是的解，本选项不符合题意；
B、方程左边，右边0，
∵左边=右边，∴是的解，本选项符合题意；
C、方程左边，右边，
∵左边≠右边，∴不是的解，本选项不符合题意；
D、方程左边，右边，
∵左边≠右边，∴不是的解，本选项不符合题意．故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义，属于基础概念题型，熟知概念是关键．
3．（2023·湖北黄冈·七年级校考阶段练习）已知，下列式子符合等式基本性质的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等式的性逐个判断即可得到答案；
【详解】解：∵，∴当时，，当时不成立，故A错误，
，故B错误，当，时，故C错误，
，故D正确，故选：D；
【点睛】本题考查等式的性质是，解题的关键是熟练掌握等式的性质．
4．（2023·河北·七年级校联考阶段练习）“的4倍与3的差比的2倍多5”可列等式表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据文字描述，直接列出等式即可．
【详解】解：由题意，得 故选：B．
【点睛】本题考查了列代数式．解决问题的关键是读懂题意，找到等量关系．
5．（2023·江苏宿迁·校考三模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题其内容是：“分田地，三人分之二，留三亩，问田地几何？”设田地有x亩，则可列方程为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设田地有x亩，则参与分配田地为，根据等量关系“留三亩”即可列出方程．
【详解】解：设田地有x亩，根据题意：可知方程为．故选：B．
【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、明确等量关系是解答本题的关键．
6．（2023·河南鹤壁·七年级统考期中）若是方程的解，则代数式的值为（ ）
A．4 B．7 C．9 D．12
【答案】D
【分析】把代入方程可得，整体代入即可求出的值．
【详解】解：把代入方程得：，
．故选：D．
【点睛】本题考查了方程的解及整体代入求代数式的值，熟练掌握相关知识是解题关键．
7．（2022秋·辽宁抚顺·七年级统考期末）下列方程是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一元一次方程的定义逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A、中含有两个未知数，是二元一次方程，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B、中未知数的最高次数是2，是一元二次方程，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；
C、是分式方程，不是整式方程，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；
D、，是一元一次方程，故此选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程叫一元一次方程，熟练掌握此定义是解题的关键．
8．（2023·安徽淮南·七年级统考阶段练习）下列等式变形正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】根据等式的性质逐项判断即可．
【详解】∵，∴．A变形错误，该选项不符合题意．
∵，∴．B变形错误，该选项不符合题意．
∵，∴．C变形错误，该选项不符合题意．
∵1，∴．D变形正确，该选项符合题意．故选：D．
【点睛】本题主要考查等式，牢记等式的性质（等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等）是解题关键．
9．（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）如下图可以表示的等式变形是（ ）（其中、、均为正数）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】C
【分析】观察图形可得，两边的物品都变为之前的一半，天平仍平衡，结合等式性质，即可进行解答．
【详解】解：由图可得：两边的物品都变为之前的一半，天平仍平衡，
∴图中可以表示的等式变形是：如果，那么，故选：C．
【点睛】本题考查了等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的性质一：等式两边同时加上或者是减去同一个整式，等式仍然成立．性质二：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．
10．（2022 瑶海区期中）小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【思路点拨】根据方程的解是x＝9，把x＝9代入2（x﹣3）﹣■＝x+1，解出方程即可．
【答案】解：把x＝9代入2（x﹣3）﹣■＝x+1，得
2×（9﹣3）﹣■＝9+1，解得■＝2；故选：C．
【点睛】本题考查了方程的解，掌握代入计算法是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023秋·浙江·七年级课堂例题）已知式子：①；②；③；④；⑤．其中的等式是 ，其中含有未知数的等式是 ，所以其中的方程是 ．（填序号）
【答案】 ①③④⑤ ③④⑤ ③④⑤
【分析】根据等式的特点：用等号连接的式子，方程的特点：①含有未知数，②是等式进行判断即可．
【详解】解：由题意可得，含有未知数的等式是方程，
①是等式；②是多项式，既不是等式也不是方程；
③既是等式也是方程；④既是等式也是方程；
⑤既是等式也是方程，故答案为：①③④⑤；③④⑤；③④⑤．
【点睛】本题考查等式和方程的定义，熟练掌握方程的定义是解题的关键．
12．（2023春·四川遂宁·七年级校考阶段练习）若关于x的方程是一元一次方程，则方程的解为__________．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义以及解一元一次方程的法则进行作答即可．
【详解】解：因为方程是一元一次方程，所以，则，
则，解得．故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义以及解一元一次方程的法则，正确掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
13．（2023秋·浙江·七年级课堂例题）由下表可知方程的解是 ．
的值 1 2 3 4
的值 1 3 5 7
的值 3 4 5 6
【答案】
【分析】根据一元一次方程的解的定义即可得到答案．
【详解】解：观察表格，可知当与的值相等时，的值即为方程的解，
∴方程的解为，故填：．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义：使方程两边的因式相等的的值是一元一次方程的解是解题的关键．
14．（2023·河南开封·七年级校考阶段练习）若比某数的相反数大2的数是8，设某数为x，可列方程为 ．
【答案】
【分析】根据数学语言转化为等式即可得解．
【详解】解：设某数为x，根据题意得，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了方程的定义，主要是对数学语言转化为等式的能力的考查．
15．（2023·上海长宁·七年级校考期中）关于x的方程
（1）当a、b满足 ，此方程为一元一次方程．
（2）当a、b满足 时，此方程无解．
【答案】 为任意数
【分析】（1）方程移项合并整理得到结果，根据一元一次方程的定义即可得出答案；
（2）方程移项合并整理得到结果，由方程无解，确定出a的值，及b的范围即可．
【详解】解：（1）
移项得：，
合并同类项得：，
∴为任意数，此方程为一元一次方程，
故答案为：为任意数．
解：（2）由原方程得，
则时，此方程无解，
解得：，故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值．
16．（2023春·福建厦门·七年级校考阶段练习）方程的解是，则 ．
【答案】3
【分析】把代入方程解答即可．
【详解】解：把代入方程，可得：，解得：，故答案为：3．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，关键是把代入方程得出关于的方程解答．
157．（2022·仪征市七年级月考）若关于x的一元一次方程ax＝b的解满足x＝b＋a，则称该方程为“和解方程”，例如：方程2x＝ 4的解为x＝ 2，而 2＝ 4＋2，则方程2x＝ 4为“和解方程”．若关于x的一元一次方程2x＝b－1是“和解方程”，则b的值为________________；
【答案】﹣3
【分析】先解方程得到，再根据新定义得到，然后解关于b的方程即可．
【详解】解：解方程2x＝b－1，得，
∵关于x的一元一次方程2x＝b－1是“和解方程”，
∴，即解得，故答案为：﹣3
【点睛】本题考查了一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．解题关键是：根据“和解方程”的定义列出关于b的一元一次方程．
18．（2022·江苏·七年级期中）已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是x＝2，则a＋b＝________．
【答案】﹣3
【分析】把x＝2代入方程，得，可得，再根据题意可得4＋b＝0，2a﹣2＝0，进而可得a、b的值，从而可得答案．
【详解】解：把x＝2代入方程，得：
，，
4k＋2a＝6﹣4﹣bk，4k＋bk＋2a﹣2＝0，，
∵无论k为何值，它的解总是1，∴4＋b＝0，2a﹣2＝0，
解得：b＝﹣4，a＝1则a＋b＝﹣3．故答案为：﹣3．
【点睛】本题主要考查方程解的定义，由k可以取任何值得到a和b的值是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023秋·全国·七年级课堂例题）判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由．
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．
【答案】(1)不是方程，见解析(2)是方程(3)不是方程，见解析(4)不是方程，见解析
(5)是方程(6)不是方程，见解析
【分析】（1）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得；
（2）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得；
（3）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得；
（4）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得；
（5）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得；
（6）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得．
【详解】（1）解：不是方程，理由是：不含未知数．
（2）解：是方程．
（3）解：不是方程，理由是：不是等式．
（4）解：不是方程，理由是：不是等式．
（5）解：是方程．
（6）解：不是方程，理由是：不含未知数．
【点睛】本题考查了方程，熟记方程的概念是解题关键．
20．（2023秋·江苏·七年级专题练习）检验下列方程后面括号内所列各数是否为相应方程的解：
(1)； (2)．
【答案】(1)不是方程的解,是方程的解；(2)是方程的解；不是方程的解．
【分析】（1）根据方程解的定义，把数分别代入方程左、右两边的代数式，能使得左右两边相等的即为方程的解；
（2）根据方程解的定义，把数分别代入方程左、右两边的代数式，能使得左右两边相等的即为方程的解；
【详解】（1）把代入原方程；
左边，
右边．
∵，
∴不是该方程的解．
把代入方程，得
左边，
右边．
∵，
∴是该方程的解；
（2）把代入原方程．
左边，右边，
∵，
∴是原方程的解；
把代入原方程．
左边，右边，
∵，
∴不是原方程的解．
【点睛】本题考查方程解的定义，理解方程解的定义是解题的关键．
21．（2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）利用等式性质解下列方程：
(1) (2) (3)
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）首先在方程两边同加上1，再方程两边同除以，即可求得答案；
（2）首先在方程两边同加上5，再方程两边同乘以，即可求得答案；
（3）首先方程两边同减去2，再方程两边乘，即可求得答案．
【详解】（1）解：，
，即，
，
解得；
（2）解：，
，即，
，
解得；
（3）解：，
，，
，
解得．
【点睛】本题考查了等式的基本性质．注意等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
22．（2023秋·浙江年级课堂例题）在一次植树活动中，甲班植树的棵数比乙班多，乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵．设乙班植树棵．
(1)列两个不同的含的式子来表示甲班植树的棵数；(2)根据题意列出含未知数的方程；
(3)检验乙班、甲班植树的棵数是不是分别为25棵和35棵．
【答案】(1)甲班植树的棵数为棵、棵(2)(3)见解析
【分析】（1）根据多、一半的含义列出式子即可；（2）直接列出等式即可；（3）利用代入法进行检验即可．
【详解】（1）根据甲班植树的棵数比乙班多，
得甲班植树的棵数为棵；根据乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵，
得甲班植树的棵数为棵．
（2）．
（3）把分别代入（2）中方程的左边和右边，
得左边，
右边．
因为左边右边，
所以是方程的解，
即乙班植树的棵数是25棵．
由上面的检验过程可得甲班植树的棵数是30棵，而不是35棵
【点睛】本题考查了列方程解实际问题的能力，考查了学生应用数学解决实际问题的能力．
23．（2022 前郭县期末）一般情况下+＝不成立，但有些数可以使得它成立，例如m＝n＝0．我们称使得+＝成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为（m，n）．
（1）试说明（1，﹣4）是相伴数对；（2）若（x，4）是相伴数对，求x的值．
【思路点拨】（1）根据定义即可判断；（2）根据定义列出方程即可求出答案．
【答案】解：（1）由题意可知：m＝1，n＝﹣4，
∴+＝，＝，∴（1，﹣4）是相伴数对；
（2）由题意可知：+＝，解得：x＝﹣1
【点睛】本题考查等式的性质，解题的关键是正确理解相伴数对的定义，本题属于基础题型
24．（2022·江苏·七年级专题练习）已知是关于的一元一次方程．
（1）求的值，并写出这个方程；（2）判断是不是方程的解．
【答案】（1），；（2）、不是方程的解，是方程的解
【分析】（1）根据一元一次方程的定义得到关于的方程、不等式，解之即可得解；
（2）在（1）的基础上，根据方程的解的概念进行判断即可得解．
【详解】解：（）∵方程是关于的一元一次方程
∴
∴，即这个方程是：．
（2）①当时，方程的左边，方程的右边
∵方程的左边方程的右边
∴不是方程的解；
②当时，方程的左边，方程的右边
∵方程的左边方程的右边
∴是方程的解；
③当时，方程的左边，方程的右边
∵方程的左边方程的右边
∴不是方程的解．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义、方程的解的定义、解含绝对值的方程等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
25．（2022·四川达州·七年级期末）已知m，n，t是有理数，单项式﹣xny的次数为3，而且多项式（m+1）x2+mx﹣tx+n+2是关于x的一次多项式．(1)分别求m，n的值，及t的取值范围；
(2)若关于x的一元一次方程（m+1）x2+mx﹣tx+n+2＝0的解是x＝3，求t的值；
(3)若（2）中关于x的一元一次方程的解是整数，求整数t的值．
【答案】(1)m=-1，n=2，t≠-1(2)t=(3)3，0，-5，-2，1，-3
【分析】（1）根据单项式的定义和一元一次方程的定义可得结论；（2）将x=3代入可得t的值；
（3）分别将第一问中的m和n的值代入，根据整数解和整数t的条件可得结论．
(1)解：由题意得：n=2，m+1=0，∴m=-1；
∵多项式（m+1）x2+mx﹣tx+n+2是关于x的一次多项式，∴m-t≠0，∴t≠-1；
(2)（m+1）x2+mx-tx+n+2=0，当x=3时，3m-3t+n+2=0，
∵n=2，m=-1，∴-3-3t+2+2=0，解得：t=；
(3)（m+1）x2+mx-tx+n+2=0，
∵n=2，m=-1，∴-x-xt+4=0，解得：x=，t=，∴t≠-1，x≠0
∵t是整数，x是整数，
∴当x=1时，t=3，当x=4时，t=0，当x=-1时，t=-5，
当x=-4时，t=-2，当x=2时，t=1，当x=-2时，t=-3．
【点睛】本题考查了单项式的定义和一元一次方程的定义，熟练掌握这些定义是关键，并注意方程有整数解的条件．
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专题5.1 一元一次方程+专题5.2 等式的基本性质
模块1：学习目标
1、掌握并理解方程的概念，并掌握方程、等式的区别与联系；
2、掌握并理解一元一次方程的概念，及方程的解与解方程的区别与联系；
3、理解并掌握等式的两个基本性质，并能利用等式的基本性质解方程。
模块2：知识梳理
1.方程和一元一次方程的概念
1）方程：含有未知数的等式。
如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数。．
2）一元一次方程：只含有一个未知数（元，隐含未知数系数不为0），未知数的次数是1（次），等号两边都是整式（整式：未知数的积，而非商）的方程。
如何判断一元一次方程：
①整式方程；②只含一个未知数，且未知数的系数不为0；③未知数的次数为1.
2.方程的解与解方程
1）方程的解：使方程两边相等的未知数的值
2）解方程：求方程的解的过程
3.等式的基本性质
1）等式两边同加或同减一个数（或式子），等式仍然成立。即： （注：此处字母可表示一个数字，也可表示一个式子）
2）等式两边同乘一个数（或式子），或同除一个不为零的数（式子），等式仍然成立。
即：（此处字母可表示数字，也可表示式子）
3）其他性质：①对称性：若a=b，则b=a；②传递性：若a=b，b=c，则a=c。
模块3：核心考点与典例
考点1、方程与等式的辨别
例1．（2022·河南开封·七年级期中）下列四个式子中，是方程的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·浙江·七年级假期作业）下列叙述中，正确的是（ ）
A．方程是含有未知数的式子 B．方程是等式
C．只有含有字母x，y的等式才叫方程 D．带等号和字母的式子叫方程
变式2．（2022·山西临汾·七年级阶段练习）下列属于方程的是（ ）
A．2x＝3 B．2x＞﹣1 C．1﹣3＝﹣2 D．7y﹣1
考点2、根据实际背景列方程
例2．（2023春·河南新乡·七年级校联考阶段练习）根据“x与5的和的3倍比x的少2”列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023春·河南洛阳·七年级统考期末）《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．8x+4=7x-3
变式2．（2023春·四川宜宾·七年级校考阶段练习）设某数为a，则“某数的2倍与3的和是7”用方程可表示为 ;
考点3、一元一次方程的辨别
例3．（2022·湖北武汉市·七年级期末）下列方程为一元一次方程的是（ ）
A．＋y＝2 B．x＋2y＝4 C．x2＝2x D．y－3＝0
变式1．（2022·仪征市七年级月考）下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·乐山七年级期中）下列方程①②③④⑤：其中是一元一次方程的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
考点4、根据一元一次方程的概念求参数
例4．（2022·南阳市七年级期中）已知是关于的一元一次方程，则的值为____．
变式1．（2022·浙江 七年级课时练习）如果方程是关于x的一元一次方程，则n的值为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．1
变式2．（2022·山西七年级期中）已知方程是关于的一元一次方程，则的值是（ ）
A．±1 B．1 C．3 D．3或1
考点5、方程的解
例5．（2023秋·江苏·七年级专题练习）下列方程中，解为的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2021春·上海松江·六年级校考阶段练习）是下列哪个方程的解（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023秋·河南驻马店·八年级期中）请写出一个解为的一元一次方程： ．
考点6、根据方程的解区域参数
例6．（2022·浙江丽水·七年级期末）已知关于的方程的解为，则____．
变式1．（2022·山西临汾·七年级期末）已如关于x的方程的解，则a的值为________．
变式2．（2022·河南南阳·七年级期中）己知方程3x+m+4＝0的解为x＝m，则m＝______．
考点7、等式的基本性质
例7．（2023秋·江苏·七年级专题练习）下列等式变形，错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
变式1.（2022秋·北京西城·七年级北师大实验中学校考期中）下列变形中，不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则
变式2.（2023·江西宜春·七年级校考阶段练习）设是有理数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
考点8、等式的基本性质的实际应用
例8．（2023·广东江门·七年级校考阶段练习）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平右边不能放的是（ ）
A．▲▲▲▲ B．▲▲▲▲▲ C．●●▲ D．●▲▲▲
变式1．（2023秋·浙江·七年级专题练习）有13个乒乓球，有12个质量相同，另有一个较轻一点，如果用天平称，至少称（ ）次保证能找出这个乒乓球．
A．1 B．2 C．3 D．4
变式2．（2023秋·浙江·七年级专题练习）“△〇□”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持了平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放〇的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
.
考点9、利用等式的基本性质解方程
例9．（2023秋·浙江·七年级课堂例题）完成下列解方程的过程．
解：根据________________，两边________________，
得________________．
于是________________．
根据________________，两边________________，
得________________．
变式1．（2023秋·浙江七年级课时练习）利用等式的性质解方程：
(1)； (2)．
变式2．（2023秋·浙江七年级课时练习）利用等式的性质解下列方程：
(1)； (2)； (3)； (4)．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023春·河南周口·七年级校考期中）下列各式是方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·上海·七年级校考期中）以为解的方程是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖北黄冈·七年级校考阶段练习）已知，下列式子符合等式基本性质的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·河北·七年级校联考阶段练习）“的4倍与3的差比的2倍多5”可列等式表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·江苏宿迁·校考三模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题其内容是：“分田地，三人分之二，留三亩，问田地几何？”设田地有x亩，则可列方程为（ ）．
A． B． C． D．
6．（2023·河南鹤壁·七年级统考期中）若是方程的解，则代数式的值为（ ）
A．4 B．7 C．9 D．12
7．（2022秋·辽宁抚顺·七年级统考期末）下列方程是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·安徽淮南·七年级统考阶段练习）下列等式变形正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
9．（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）如下图可以表示的等式变形是（ ）（其中、、均为正数）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
10．（2022 瑶海区期中）小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023秋·浙江·七年级课堂例题）已知式子：①；②；③；④；⑤．其中的等式是 ，其中含有未知数的等式是 ，所以其中的方程是 ．（填序号）
12．（2023春·四川遂宁·七年级校考阶段练习）若关于x的方程是一元一次方程，则方程的解为__________．
13．（2023秋·浙江·七年级课堂例题）由下表可知方程的解是 ．
的值 1 2 3 4
的值 1 3 5 7
的值 3 4 5 6
14．（2023·河南开封·七年级校考阶段练习）若比某数的相反数大2的数是8，设某数为x，可列方程为 ．
15．（2023·上海长宁·七年级校考期中）关于x的方程
（1）当a、b满足 ，此方程为一元一次方程．
（2）当a、b满足 时，此方程无解．
16．（2023春·福建厦门·七年级校考阶段练习）方程的解是，则 ．
157．（2022·仪征市七年级月考）若关于x的一元一次方程ax＝b的解满足x＝b＋a，则称该方程为“和解方程”，例如：方程2x＝ 4的解为x＝ 2，而 2＝ 4＋2，则方程2x＝ 4为“和解方程”．若关于x的一元一次方程2x＝b－1是“和解方程”，则b的值为________________；
18．（2022·江苏·七年级期中）已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是x＝2，则a＋b＝________．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023秋·全国·七年级课堂例题）判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由．
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．
20．（2023秋·江苏·七年级专题练习）检验下列方程后面括号内所列各数是否为相应方程的解：
(1)； (2)．
21．（2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）利用等式性质解下列方程：
(1) (2) (3)
22．（2023秋·浙江年级课堂例题）在一次植树活动中，甲班植树的棵数比乙班多，乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵．设乙班植树棵．
(1)列两个不同的含的式子来表示甲班植树的棵数；(2)根据题意列出含未知数的方程；
(3)检验乙班、甲班植树的棵数是不是分别为25棵和35棵．
23．（2022 前郭县期末）一般情况下+＝不成立，但有些数可以使得它成立，例如m＝n＝0．我们称使得+＝成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为（m，n）．
（1）试说明（1，﹣4）是相伴数对；（2）若（x，4）是相伴数对，求x的值．
24．（2022·江苏·七年级专题练习）已知是关于的一元一次方程．
（1）求的值，并写出这个方程；（2）判断是不是方程的解．
25．（2022·四川达州·七年级期末）已知m，n，t是有理数，单项式﹣xny的次数为3，而且多项式（m+1）x2+mx﹣tx+n+2是关于x的一次多项式．(1)分别求m，n的值，及t的取值范围；
(2)若关于x的一元一次方程（m+1）x2+mx﹣tx+n+2＝0的解是x＝3，求t的值；
(3)若（2）中关于x的一元一次方程的解是整数，求整数t的值．
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