3.3 垂径定理（选学）课件（共31张PPT) -2023-2024学年九年级数学上册同步精品课堂（浙教版）

3.3 垂径定理（选学）
数学（浙教版）
九年级 上册
第3章 圆的基本性质
学习目标
1．深入理解圆的轴对称性；
2．掌握垂径定理及其应用，学会运用垂径定理求相关的长度；
3、掌握垂径定理的推论，并用垂径定理及其推论解决一些简单的计算、证明和作图问题；
　
导入新课
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
（2）你是怎么得出结论的？
圆的对称性：
圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.
用折叠的方法
●O
说一说
　
导入新课
欣赏图片
思考：观察这些图片，你发现了什么？说一说你的发现。
　
导入新课
问题:赵州桥，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵县古称赵州而得名。当地人称之为大石桥，以区别于城西门外的永通桥（小石桥）。赵州桥始建于隋代，由匠师李春设计建造，后由宋哲宗赵煦赐名安济桥，并以之为正名它；主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
讲授新课
知识点一 垂径定理及其推论
问题：如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧? 为什么?
线段: AE=BE
弧: AC=BC, AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
理由如下：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．
⌒
⌒
⌒
⌒
·
O
A
B
D
E
C
讲授新课
垂径定理
·
O
A
B
C
D
P
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件)
∴ AP=BP,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.(结论)
归纳总结
推导格式：
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
讲授新课
思考：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
讲授新课
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O

D
C
A
B
O
C
讲授新课
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；
④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
思考探索
可以，简记为“知二求三”
讲授新课
D
O
A
B
E
C
举例证明其中一种组合方法
已知:_________;
求证:_________.
① CD是直径
② CD⊥AB，垂足为E
③ AE=BE
④ AC=BC ⑤ AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
① ③
② ④ ⑤
讲授新课
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）
·
O
A
B
C
D
E
（2）由垂径定理可得AC =BC， AD =BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∴CD⊥AB.
⌒
AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
⌒
⌒
⌒
讲授新课
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
垂径定理的推论
·
O
A
B
C
D
特别说明：
圆的两条直径是互相平分的.
讲授新课
垂径定理的本质是:
（1）一条直线过圆心
（2）这条直线垂直于弦
（3）这条直线平分不是直径的弦
（4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧
（5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧
讲授新课
知识点二 垂径定理及其推论相关的计算
典例精析
例1、如图，?O的直径AB垂直弦CD于点P，且P为半径OB的中点，若CD=6，则?O的半径长为_________.
?
解：如图，连接OD，设?O的半径为r，
在Rt△ODP中，OD2=OP2+DP2，
∵P为半径OB的中点，∴OP=????????r，
∵?O的直径AB垂直弦CD于点P ，
∴DP=????????CD=3（垂径定理），
∴r2=(????????r)2+32，解得：r=2????.
?
讲授新课
例2、如图，AB是?O的直径，弦CD⊥AB 于E，若CD＝4????，BE=2，则AB的长是_________.
?
解：如图，连接OC，设?O的半径为r，
在Rt△OEC中，OC2=OE2+CE2，
∵BE=2，∴OE=r-2，
∵AB是?O的直径，CD⊥AB ，
∴CE=????????CD=2????（垂径定理），
∴r2=(r-2)2+(2????)2，解得：r=6，∴AB=2r=12.
?
讲授新课
练一练
1、 如图， ⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
·
O
A
B
E
C
D
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
∴
设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得
解得 x=5，
即半径OC的长为5cm.
x2=42+(x-2)2，
讲授新课
2、如图，OA，OB，OC都是?O的半径，AC，OB交于点D．若AD=CD=8，OD=6，则BD的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
?
解：∵OB是?O的半径，AD=CD=8，
∴OB⊥AC（推论1），
在Rt△AOD中，OA2=AD2+OD2=82+62=100，
∴OA=10，∴OB=10，
∴BD=10-6=4．
故选：B
?
讲授新课
知识点三 垂径定理的实际应用
典例精析
例3、1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为37.4m，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2m，求桥拱所在圆的半径（结果精确到0.1m）.
讲授新课
在Rt△OAD中，由勾股定理，得：OA2=AD2+OD2，
即 R2=18.72+(R-7.2)2.
解得 R≈27.9（m）.
答：桥拱所在圆的半径约为27.9m.
解：如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm，经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于点C.根据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高.由题设
⌒
AB
⌒
AB
⌒
AB
⌒
AB
R
D
37.4
7.2
O
A
B
C
AB=37.4，CD=7.2，
OD=OC-DC=R-7.2.
讲授新课
练一练
1、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
解:连接OC.
● O
C
D
E
F
┗
设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
根据勾股定理，得
解得R=545.
∴这段弯路的半径约为545m.
讲授新课
∴ AC= =56mm.
2.如图，在直径为130mm的圆形铁片上切下一块高为32mm的弓形铁片，求弓形的弦AB的长.
C
解：过O点作弦AB的平分线，交直线AB于点C，连结OA，OB，则 OC⊥AB.
∵OC=65-32=33mm，
∴AB=2AC=112mm.
讲授新课
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
方法归纳
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
弓形中重要数量关系
A
B
C
D
O
h
r
d
d+h=r
O
A
B
C
·
当堂检测
1、在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D。AC与BD相等吗？为什么？
O
B
D
A
C
解：如图，过点O作OP⊥AB，垂足为P，
∵OP⊥AB，
∴AP=BP，CP=DP（垂径定理），
∴AP-CP=BP-DP，
即AC=BD.
P
当堂检测
2、如图，点C是?O的弦AB上一点．若AC=6，BC=2，AB的弦心距为3，则OC的长为_________.
?
解：如图，作OD⊥AB，垂足为D，
由题意可知：OD=3，
∵OD⊥AB，
∴BD=????????AB=????????(AC+BC)=4（垂径定理），
∴CD=BD-BC=2，
在Rt△OCD中，OC2=CD2+OD2=22+32=13，
∴OC=????????.
?
????????
?
D
当堂检测
3、如图，AB是?O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6，AB=10，则AE的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
?
解：如图，连接OC，
在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2，
∵AB是?O的直径，AB=10，∴OC=5，
∵CD⊥AB ，∴CE=????????CD=3（垂径定理），
∴52=32+OE2，解得：OE=4，
∴AE=OA-OE=5-4=1.
?
A
当堂检测
4、如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD=4，EM=6，则弧CED所在圆的半径为_________.
解：设弧CED所在圆的半径为r，
∵M是CD的中点，EM⊥CD，
∴EM过圆心O，CM=12CD=2，
如图，连接OC，
∵EM=6，∴OM=6-r，
在Rt△OCM中，OC2=CM2+OM2，即r2=22+(6-r)2，解得：r=103．
?
????????????
?
当堂检测
5.如图所示，⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦， AM=BM，OM∶OC=3∶5，求AB的长.
解：∵圆O的直径CD=10cm，
∴圆O的半径为5cm，即OC=5cm，
∵OM：OC=3：5，
∴OM= OC=3cm，
连接OA，∵AB⊥CD，
∴M为AB的中点，即AM=BM= AB，
在Rt△AOM中，OA=5cm，OM=3cm，
根据勾股定理得：AM=
则AB=2AM=8cm．
当堂检测
6.如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO的延长线垂直于BC于点E，BC=2.(1)求AB的长；(2)求⊙O的半径．
课堂小结
谢 谢~