2023--2024学年浙教版数学八年级上册2.8直角三角形全等的判定 课件(共17张PPT)

(共17张PPT)
2.8 直角三角形全等的判定
第2章 特殊三角形
浙教版 八年级上册
学习目标
学习目标
a
b
c
1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”，理解角平分线性质定理的逆定理.
2．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．
3．掌握角平分线性质定理的逆定理并应用其解题.
课前复习
a
b
c
【探究1】（1）判定两个三角形全等的方法有哪些？
（2）有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等吗？请举例说明.
探索新知
A
B
C
A
B
C
【探究2】判定两个直角三角形全等的方法有哪些？
探索新知
A
B
C
A′
B′
C′
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
【新知1】直角三角形的判定定理：
探究新知
A
B
C
A′
B′
C′
【探究3】已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C =∠C′=Rt∠，
AB＝A′B′，AC＝A′C′. 求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.
证明：如图，延长BC至D，使CD=B′C′，连结AD.
D
新知学习
【新知1】直角三角形全等的判定定理：
（1）文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
（2）符号语言：
A
B
C
A′
B′
C′
（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，
∴Rt△ABC≌Rt△ A′B′C′ (HL).
AB=A′B′,
BC=B′C′,
∵
【例1】如图，已知P是∠AOB内部一点，PD⊥OA，PE⊥OB，D，E分别是垂足,且PD=PE，求证：点P在∠AOB的平分线上.
B
O
A
E
P
D
1
2
作射线OP.
解：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴ ∠PDO=∠PEO=Rt∠
又∵ OP = OP
PD = PE
∴ Rt△PDO≌ Rt△PEO
∴ ∠1=∠2
即点P在∠AOB的平分线上
（已知）
（已知）
（公共边）
（HL）
（角平分线的定义）
探究新知
新知学习
【新知2】角平分线性质定理的逆定理：
角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
符号语言：
∴ 点P在∠AOB的平分线上.
∵
B
O
A
E
P
D
PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE
例题探究
【例2】如图，在△ABC和△A′B′C′中，CD，C′D′分别是两个三角形的高线，并且AC＝A′C′，CD＝C′D′，∠ACB＝∠A′C′B′.△ABC与△A′B′C′全等吗？请说明理由．
例题探究
【例3】如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上任一点，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD交CD的延长线于点F，CH⊥AB，垂足为H，交AE于点G.问：CG与BD相等吗？请说明理由．
例题探究
【例4】如图2.8 3，在△ABC中，点P在BC边的垂直平分线上，过点P分别作AB，AC(或其延长线)的垂线，垂足分别为M，N，且MB＝NC，那么点P在∠BAC的平分线上吗？请说明理由．
课内练习
【1】如图，已知AB＝DC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，有下列条件，其中，选择一个就可以判断Rt△ABE≌Rt△DCF的是_______.
①∠B＝∠C ②AB∥CD ③BE＝CF ④AF＝DE
【解析】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，AB＝DC，∴∠AEB＝∠CFD，选择①可利用AAS定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；选择②可得∠A＝∠D，可利用AAS定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；选择③可利用HL定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；选择④可得AE＝DF，可利用HL定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF．故填：①②③④．
课内练习
【2】如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝6，AC＝4，求BE的长.
【解析】解：连接CD，BD，∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝90°，∠ADF＝∠ADE，∴AE＝AF，∵DG是BC的垂直平分线，∴CD＝BD，在Rt△CDF和Rt△BDE中，
CD＝BD，DF＝DE，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），∴BE＝CF，∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，∵AB＝6，AC＝4，∴BE＝1．
课内练习
【3】已知：如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论；（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由．
【解析】解：（1）AM平分∠DAB，理由为：证明：过点M作ME⊥AD，垂足为E，∵DM平分∠ADC，∴∠1＝∠2，∵MC⊥CD，ME⊥AD，∴ME＝MC，又∵MC＝MB，∴ME＝MB，∵MB⊥AB，ME⊥AD，∴AM平分∠DAB．（2）AM⊥DM，理由如下：∵∠B＝∠C＝90°，∴DC⊥CB，AB⊥CB，∴CD∥AB，∴∠CDA+∠DAB＝180°又∵∠1＝∠CDA÷2，∠3＝∠DAB÷2∴2∠1+2∠3＝180°，∴∠1+∠3＝90°，∴∠AMD＝90度．即AM⊥DM．
E
课内练习
【4】如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？
解：(1)当P运动到AP＝BC时，
∵∠C＝∠QAP＝90°.
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
PQ＝AB，AP＝BC，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，
∴AP＝BC＝5cm.
(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC.
在Rt△ABC与Rt△QPA中，PQ＝AB，AP＝AC，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，
∴AP＝AC＝10cm.
故当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
课堂总结
【1】两个直角三角形全等的方法有哪些？
【2】角平分线性质定理的逆定理：
（1）一般三角形判定全等的方法
SAS，ASA，AAS，SSS.
（2）直角三角形全等的判定定理：
（HL）
角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.