2023--2024学年浙教版数学九年级上册4.1 比例线段 同步训练(含解析)
文档属性
| 名称 | 2023--2024学年浙教版数学九年级上册4.1 比例线段 同步训练(含解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 637.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-18 18:22:09 | ||
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文档简介
4.1比例线段同步训练——浙教版数学九年级上册
一、选择题
1．若（），则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．四条线段a，b，c，d成比例，其中，则线段c的长为（ ）
A．1cm B．4cm C．9cm D．12cm
4．已知线段，点是的黄金分割点，则（ ）
A． B．
C．或 D．以上都不对
5．下列各组中的四条线段是成比例线段的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
6．已知线段a=3，b=12，则a，b的比例中项线段等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
7．生活中到处可见黄金分割的美，如上图，在设计人体雕像时：使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为（ ）．
A．1.52米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.24米
8．如果，且是和的比例中项，那么等于（ ）
A． B． C． D．
9．在比例尺为1：100000的地图上，甲、乙两地图距是2cm，它的实际长度约为（ ）
A．100km B．2000m C．10km D．20km
10．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．若矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝﹣1，则长AB为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
11．在学习画线段的黄金分割点时，小明过点B作的垂线，取的中点M，以点B为圆心，为半径画弧交射线于点D，连接，再以点D为圆心，为半径画弧，前后所画的两弧分别与交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交于点H，点H即为的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．已知，则 .
13．在中，，分别是和上的点，，，，且，则 ．
14．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为，则它的宽为 .（结果保留根号）
15．数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例．如图，P是AB的黄金分割点（），若线段的长为，则BP的长为 ．
三、解答题
16．已知有三条长度分别为2cm、4cm、8cm的线段，请再添一条线段.使这四条线段成比例，求所添线段的长度.
17．已知，且a+3b﹣2c＝15，求a+b﹣c的值．
18．已知、、是的三边，且满足，，试判断的形状，并说明理由．
19．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CE平分∠ACB交AB于点E，
（1）试说明点E为线段AB的黄金分割点；
（2）若AB=4，求BC的长．
20．如图，点E是正方形 的边 边上的黄金分割点，且 ＞ ， 表示 为边长的正方形面积， 表示以 为长， 为宽的矩形面积， 表示正方形 除去 和 剩余的面积，求 ： 的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】解：A、∵，∴4x=3y，故此选项正确，符合题意；
B、∵，∴3x=4y，故此选项错误，不符合题意；
C、∵，∴3x=4y，故此选项错误，不符合题意；
D、∵，∴xy=12，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：A.
2．【答案】C
【解析】解：设，则，
A、，说法正确，不符合题意；
B、，说法正确，不符合题意；
C、，，即，说法错误，符合题意；
D、，，即，说法正确，不符合题意.
故答案为：C.
3．【答案】B
【解析】解：∵四条线段a，b，c，d成比例，
∴，
∴，
故答案为：B．
4．【答案】C
【解析】解：分两种情况讨论：
当AC是较长线段时，
由黄金分割线的概念得：，
当AC是较短线段时，，
，
综上或，
故答案为：C.
5．【答案】D
【解析】解：A、，所以A选项错误；
B、，所以B选项错误；
C、，所以C选项错误；
D、，所以D选项正确.
故答案为：D.
6．【答案】C
【解析】解：设a、b的比例中项为c（c＞0），则c2=ab，
∵ a=3，b=12 ，
∴c2=36，
∴c=6.
故答案为：C.
7．【答案】D
【解析】解：∵雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0.618，
∴，
∵b为2米，
∴a≈2×0.618=1.236≈1.24（米）；
故答案为：D．
8．【答案】D
【解析】解：∵，b是a和c的比例中项，
即，
∴．
故答案为：D．
9．【答案】B
【解析】解：设实际长度为xcm，
∴比例尺=，
∴x=200000cm=2000m，
∴它的实际长度约为2000m，
故答案为：B.
10．【答案】C
【解析】解：黄金矩形的宽与长的比等于黄金数，
，
．
故答案为：C．
11．【答案】A
【解析】解：根据作图可知，，，
设，则，
∴根据勾股定理可得：，
∴，
∴，
∴以A为圆心，“”的长度为半径画弧交于点H，点H即为的其中一个黄金分割点，故A正确.
故答案为：A.
12．【答案】
【解析】解：，
，，，
，
故答案为：.
13．【答案】
【解析】解：∵AB=12cm，AB=AD+BD，
∴BD=AB-AD=（12-AD）cm，
∵ ，AE=6cm，EC=4cm，
∴，
解得AD=.
故答案为：.
14．【答案】
【解析】解：∵书的宽与长之比为黄金比，长为，
∴它的宽（）.
故答案为：.
15．【答案】
【解析】解：∵点P是的黄金分割点（），线段的长为，
∴，
∴，
故答案为：．
16．【答案】解：设添加的线段长度为x，
当时，解得：；
当时，解得：；
当时，解得：.
∴所添线段的长度为1或4或16.
17．【答案】解：设a＝2k，则b＝3k，c＝4k
∵a＋3b－2c＝15
∴2k＋9k－8 k＝15
∴k＝5
∴a＝10，b＝15，c＝20
∴a＋b－c＝5．
18．【答案】解：是直角三角形，理由是：
设，
，，，
，
，
，
，，，
，
是直角三角形．
19．【答案】（1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ACB=（180°﹣36°）=72°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠ACB=×72°= 36°，∴∠BCE=∠A=36°，∴AE=BC，又∵∠B=∠B，∴△ABC∽△CBE，∴=，∴BC2=AB BE，即AE2=AB BE，∴E为线段AB的黄金分割点；（2）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，∴∠BEC=180°﹣72°﹣36°=72°，∴BC=CE，由（1）已证AE=CE，∴AE=CE=BC，∴BC= AB=×4=2﹣2．
20．【答案】解：如图，设 ，
点E是正方形 的边 边上的黄金分割点，且 ＞ ，
＞
，
正方形 ,正方形
，
： ：
：
．
一、选择题
1．若（），则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．四条线段a，b，c，d成比例，其中，则线段c的长为（ ）
A．1cm B．4cm C．9cm D．12cm
4．已知线段，点是的黄金分割点，则（ ）
A． B．
C．或 D．以上都不对
5．下列各组中的四条线段是成比例线段的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
6．已知线段a=3，b=12，则a，b的比例中项线段等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
7．生活中到处可见黄金分割的美，如上图，在设计人体雕像时：使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为（ ）．
A．1.52米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.24米
8．如果，且是和的比例中项，那么等于（ ）
A． B． C． D．
9．在比例尺为1：100000的地图上，甲、乙两地图距是2cm，它的实际长度约为（ ）
A．100km B．2000m C．10km D．20km
10．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．若矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝﹣1，则长AB为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
11．在学习画线段的黄金分割点时，小明过点B作的垂线，取的中点M，以点B为圆心，为半径画弧交射线于点D，连接，再以点D为圆心，为半径画弧，前后所画的两弧分别与交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交于点H，点H即为的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．已知，则 .
13．在中，，分别是和上的点，，，，且，则 ．
14．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为，则它的宽为 .（结果保留根号）
15．数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例．如图，P是AB的黄金分割点（），若线段的长为，则BP的长为 ．
三、解答题
16．已知有三条长度分别为2cm、4cm、8cm的线段，请再添一条线段.使这四条线段成比例，求所添线段的长度.
17．已知，且a+3b﹣2c＝15，求a+b﹣c的值．
18．已知、、是的三边，且满足，，试判断的形状，并说明理由．
19．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CE平分∠ACB交AB于点E，
（1）试说明点E为线段AB的黄金分割点；
（2）若AB=4，求BC的长．
20．如图，点E是正方形 的边 边上的黄金分割点，且 ＞ ， 表示 为边长的正方形面积， 表示以 为长， 为宽的矩形面积， 表示正方形 除去 和 剩余的面积，求 ： 的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】解：A、∵，∴4x=3y，故此选项正确，符合题意；
B、∵，∴3x=4y，故此选项错误，不符合题意；
C、∵，∴3x=4y，故此选项错误，不符合题意；
D、∵，∴xy=12，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：A.
2．【答案】C
【解析】解：设，则，
A、，说法正确，不符合题意；
B、，说法正确，不符合题意；
C、，，即，说法错误，符合题意；
D、，，即，说法正确，不符合题意.
故答案为：C.
3．【答案】B
【解析】解：∵四条线段a，b，c，d成比例，
∴，
∴，
故答案为：B．
4．【答案】C
【解析】解：分两种情况讨论：
当AC是较长线段时，
由黄金分割线的概念得：，
当AC是较短线段时，，
，
综上或，
故答案为：C.
5．【答案】D
【解析】解：A、，所以A选项错误；
B、，所以B选项错误；
C、，所以C选项错误；
D、，所以D选项正确.
故答案为：D.
6．【答案】C
【解析】解：设a、b的比例中项为c（c＞0），则c2=ab，
∵ a=3，b=12 ，
∴c2=36，
∴c=6.
故答案为：C.
7．【答案】D
【解析】解：∵雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0.618，
∴，
∵b为2米，
∴a≈2×0.618=1.236≈1.24（米）；
故答案为：D．
8．【答案】D
【解析】解：∵，b是a和c的比例中项，
即，
∴．
故答案为：D．
9．【答案】B
【解析】解：设实际长度为xcm，
∴比例尺=，
∴x=200000cm=2000m，
∴它的实际长度约为2000m，
故答案为：B.
10．【答案】C
【解析】解：黄金矩形的宽与长的比等于黄金数，
，
．
故答案为：C．
11．【答案】A
【解析】解：根据作图可知，，，
设，则，
∴根据勾股定理可得：，
∴，
∴，
∴以A为圆心，“”的长度为半径画弧交于点H，点H即为的其中一个黄金分割点，故A正确.
故答案为：A.
12．【答案】
【解析】解：，
，，，
，
故答案为：.
13．【答案】
【解析】解：∵AB=12cm，AB=AD+BD，
∴BD=AB-AD=（12-AD）cm，
∵ ，AE=6cm，EC=4cm，
∴，
解得AD=.
故答案为：.
14．【答案】
【解析】解：∵书的宽与长之比为黄金比，长为，
∴它的宽（）.
故答案为：.
15．【答案】
【解析】解：∵点P是的黄金分割点（），线段的长为，
∴，
∴，
故答案为：．
16．【答案】解：设添加的线段长度为x，
当时，解得：；
当时，解得：；
当时，解得：.
∴所添线段的长度为1或4或16.
17．【答案】解：设a＝2k，则b＝3k，c＝4k
∵a＋3b－2c＝15
∴2k＋9k－8 k＝15
∴k＝5
∴a＝10，b＝15，c＝20
∴a＋b－c＝5．
18．【答案】解：是直角三角形，理由是：
设，
，，，
，
，
，
，，，
，
是直角三角形．
19．【答案】（1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ACB=（180°﹣36°）=72°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠ACB=×72°= 36°，∴∠BCE=∠A=36°，∴AE=BC，又∵∠B=∠B，∴△ABC∽△CBE，∴=，∴BC2=AB BE，即AE2=AB BE，∴E为线段AB的黄金分割点；（2）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，∴∠BEC=180°﹣72°﹣36°=72°，∴BC=CE，由（1）已证AE=CE，∴AE=CE=BC，∴BC= AB=×4=2﹣2．
20．【答案】解：如图，设 ，
点E是正方形 的边 边上的黄金分割点，且 ＞ ，
＞
，
正方形 ,正方形
，
： ：
：
．
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