2.7探索勾股定理 浙教版初中数学八年级上册同步练习（含解析）

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2.7探索勾股定理浙教版初中数学八年级上册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，在中，，，，点是边上的动点，则的长不可能是( )
A. B. C. D.
2.五根小木棒，其长度分别为，，，，，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是( )
A. B.
C. D.
3.如图所示，已知中，，，于，为上任一点，则等于( )
A. B. C. D. 无法计算
4.如图，在中，，，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，，则的值等于( )
A. B. C. D.
5.如图，正方形是由个边长为的小正方形组成的，每个小正方形的顶点都叫格点，连结，，则的度数为( )
A. B. C. D.
6.具备下列条件的中，不是直角三角形的是( )
A. B. ：：：：
C. 三边之比为：： D. 三边长分别为，，
7.在如图所示的方格纸中，点，，均为格点，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
8.下列条件中不能判断是直角三角形的是( )
A. ：：： B.
C. ：：：： D.
9.如图在三角形中，，，则点到线段的距离为( )
A.
B.
C.
D. 无法计算
10.如图，是用个全等的直角三角形与个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为，小正方形面积为，若用、表示直角三角形的两直角边，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11.阅读下面的情景对话，然后解答问题：
老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做奇异三角形．
小华：等边三角形一定是奇异三角形
小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢
根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是 命题填“真”或“假”
在中，两边长分别是，，这个三角形是否是奇异三角形请说明理由．
12.如图，以点为端点的四条射线，，，分别过四点，它们依次是点，，，，则 填“”“”或“”．
13.如果三角形的三边长为，，，那么这个三角形面积为______ ．
14.如图，在中，，，分别为，边上的点，且，，连结，过点作于点．
若，，则四边形的面积为______ ；
若，，则四边形的面积为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.本小题分
如图，在中，，点为的中点，，三角形的周长为，则三角形的面积为多少．
16.本小题分
如图，是四边形的对角线，，，，，．
试判断的形状，并说明理由；
求四边形的面积．
17.本小题分
如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫格点．
在图中以格点为顶点画一条线段，使；
在图中以格点为顶点画，，，，并判断它是否是直角三角形．
18.本小题分
已知：如图，中，，，点在上，于求：的长．
19.本小题分
如图，在中，
为上的中点，求证：；
若为上的任意一点，中的结论是否成立，并证明；
若为延长线上一点，说明、、、之间的数量关系．
20.本小题分
如图，在中，边上的垂直平分线与、分别交于点、，且．
求证：；
若，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】，，，
．
点是边上的动点，
的值不可能是．
2.【答案】
【解析】解析：，，，故A不正确；
B.，，故B不正确；
C.，，故C正确；
D.，，故D不正确．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查勾股定理的应用，可先判断、、、均为直角三角形，再根据勾股定理可求解的值．
【解答】解：，
，
、、、均为直角三角形，
，，，，
．
故选C．
4.【答案】
【解析】，，
．
故选A．
5.【答案】
【解析】略
6.【答案】
【解析】解：，，
，即，是直角三角形，故选项A不符合题意；
：：：：，，
，不是直角三角形，故选项B符合题意；
三边之比为：：，
，是直角三角形，故选项C不符合题意；
三边长分别为，，，
，是直角三角形，故选项D不符合题意；
故选：．
根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理可以判断各个选项的条件能否判断三角形是否为直角三角形．
本题考查三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确三角形内角和定理和勾股定理的逆定理的内容．
7.【答案】
【解析】解：连接，
则，
，
，
是等腰直角三角形，
．
故选：．
连接，根据勾股定理求出，，的长，再根据勾股定理的逆定理可求是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质即可求解．
本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8.【答案】
【解析】解：、，能判断是直角三角形，不符合题意；
B、，，能判断是直角三角形，不符合题意；
C、：：：：，，不能判断是直角三角形，符合题意；
D、，，能判断是直角三角形，不符合题意；
故选：．
利用勾股定理逆定理和三角形内角和判断即可．
此题主要考查了勾股定理逆定理，掌握勾股定理逆定理是解本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，
，，，
，
，
，
故选：．
过点作于点，先由勾股定理求出，再由三角形面积求出的长即可．
本题考查了勾股定理以及三角形面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：中，根据勾股定理以及正方形的面积公式即可得到，正确；
中，根据小正方形的边长是即可得到，正确；
中，根据四个直角三角形的面积和加上小正方形的面积即可得到，正确；
中，根据，联立结合完全平方公式可以求得，错误．
故选：．
利用勾股定理和正方形的面积公式解答即可．
根据各部分图形的面积的关系和勾股定理即可证明有关，的一些等式．
11.【答案】真
当为斜边时， ，
，
或 ，
不是奇异三角形．
当为斜边时， ，
，
，
，
是奇异三角形．

【解析】【分析】
本题考查的是勾股定理的应用，在解答时要注意分类讨论得出是解题关键．
根据题中所给的奇异三角形的定义直接进行判断即可；
分是斜边和是斜边两种情况，再根据勾股定理判断出所给的三角形是否符合奇异三角形的定义．
【解答】
解：设等边三角形的一边为，则，
符合奇异三角形”的定义．
“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题；
故答案为：真；
见答案．
12.【答案】
【解析】略
13.【答案】
【解析】解：三角形的三边长分别是，，，
，
这个三角形为直角三角形，
这个三角形的面积是．
故答案为：．
先根据勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，再求其面积．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
14.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
四边形的面积；
故答案为：；
由知≌，
，
，
，
，
，
，
由知，四边形的面积．
故答案为：．
根据平行线的性质得到，推出，根据全等三角形的性质即可得到结论；
根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，少林足球全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
15.【答案】解：中，，点为的中点，
，
，
的周长，
的周长，
，
，
即，
，
，
，
，
即的面积为．
【解析】由直角三角形斜边上的中线性质得出，再由的周长得出，然后由勾股定理得出，求出，即可解决问题．
本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16.【答案】解：是直角三角形，理由如下：
，
，
，，
，，
，
，
是直角三角形，
，
四边形的面积为．
【解析】在中，利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明，由此即可得到结论；
根据进行计算即可详解．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
17.【答案】解：如图，线段即为所求．
如图，即为所求．
，，，
，
，
是直角三角形．
【解析】利用数形结合的思想作出图形．
利用数形结合的思想作出图形即可．再利用勾股定理的逆定理判断即可．
本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
18.【答案】解：过点作于点，
，，
，
在中，利用勾股定理可知：，
设，则，，
又，
在和中分别利用勾股定理得：，
代入为：，解得：．
即．
【解析】先根据勾股定理求出，设，则，，在和中利用勾股定理得：，继而代入求出的值即可．
本题考查勾股定理及等腰三角形的性质，解题关键是在和中分别利用勾股定理，列出等式．
19.【答案】【小题】
证明：如图所示，连接，
，是中点，
，，
在中，，
，
又，
，
；
【小题】
解：成立． 如图所示，连接，作，交于，
，，
，
在中，，
同理，，
，
又， ，
；
【小题】
解：
如图，是延长线任一点，连接，并做，交于，
，，
，
在中，，
在中，，

又，，
，
．

【解析】 本题考查的是勾股定理的应用，以及等腰三角形的性质。
根据等腰三角形的性质和勾股定理可知，．
成立． 如图所示，连接，作，交于，依然利用勾股定理，借助平方差公式即可证明。
画出图形，利用勾股定理即可证明。
20.【答案】【小题】
证明：连接，
边上的垂直平分线为，
，
，
，
，
．
【小题】解：设，则，
在中，，
，
解得： ，
的长为 ．

【解析】 本题考查垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，连接，根据垂直平分线的性质得出，再根据得出，然后根据勾股定理的逆定理即可得解．
本题考查勾股定理，首先设，则可得出，然后在中，利用勾股定理求出的值即可．
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