2.3.2 等腰三角形的性质定理 课时练习（含答案）

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2.3.2 等腰三角形的性质定理
一、夯实基础
1．等腰三角形的对称轴是( )
A．底边上的高线所在的直线 B．底边上的高线
C．底边上的中线 D．顶角的平分线
2．如图，△ABC为等边三角形，AD⊥BC于D，则∠BAD的度数为( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
第2题 第3题 第4题
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，下列结论中不正确的是( )
A．AB＝2BD B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．∠B＝∠C
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，有下列结论：①AD上任意一点到点C和点B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BC＝CD，AD⊥BC；④∠ADE＝∠BDE.其中，正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，在△ABC中，AB＝AC.
(1)∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠ ，BD＝ ．
(2)∵AD是△ABC的中线，
∴ ⊥ ，∠BAD＝∠ ．
(3)∵AD是∠BAC的平分线，
∴ ⊥ ，BD＝ ．
6．墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平．他拿来一个如图所示的测平仪，在这个测平仪中，AB＝AC，BC边的中点D处挂了一个重锤．小明将BC边与木条重合，观察此时重锤是否通过点A.如果重锤通过点A，那么这根木条是水平的，这是因为 ．
第6题 第7题 第8题
7． 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是 ．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是三角形外一点，且BD＝CD.求证：AD垂直平分BC.
9．求证：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等．(要求画图，写已知、求证，然后证明)
二、能力进阶
10．已知在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，若△ABC，△ABD的周长分别是20 cm和16 cm，则AD的长为( )
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm
11．已知线段a，b，求作等腰三角形，使腰长为b，底边上的高线为a.(a＜b，尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
如图所示，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝DE，∠ABC＝∠AED，F是CD的中点．求
证：AF⊥CD.
三、挑战自我
13．如图，已知△ABC是等边三角形，D为边BC上一点，以CD为边向外作等边三角形CDE，
连结AD，BE.
(1)试说明AD＝BE的理由．
(2)如果∠CBE＝30°，试说明BD＝CD的理由．
答案
1.A 2.B 3.A 4.B
5.(1)∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠__CAD__，BD＝__CD__．
(2)∵AD是△ABC的中线，
∴__AD__⊥__BC__，∠BAD＝∠__CAD__．
(3)∵AD是∠BAC的平分线，
∴__AD__⊥__BC__，BD＝__CD__．
6.等腰三角形底边上的中线与底边上的高线互相重合 7. 20
8.证明：在△ABD和△ACD中，
∵
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠BAD＝∠CAD.
又∵AB＝AC，∴AD垂直平分BC.
9.解：已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
求证：DE＝DF.
证明：连结AD.
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD为∠BAC的平分线．
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF(角平分线上的点到角两边的距离相等).
10.C
11.解：如图所示，△ABC即为所求．
12.证明：连结AC，AD，如图．
在△ABC和△AED中，
∵
∴△ABC≌△AED(SAS)，
∴AC＝AD.
∵F是CD的中点，
∴AF⊥CD.
13.解：(1)∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝EC，∠ACB＝∠BCE＝60°.
在△ADC和△BEC中，
∵
∴△ADC≌△BEC(SAS)，
∴AD＝BE.
(2)由(1)可知△ADC≌△BEC，
∴∠CAD＝∠CBE＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝60°－30°＝30°，
∴∠CAD＝∠BAD，即AD平分∠BAC.
∵△ABC为等边三角形，
∴BD＝CD.
第5题
第12题答图
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