2.4 等腰三角形的判定定理 课时练习（含答案）

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2.4 等腰三角形的判定定理
一、夯实基础
1．已知等腰三角形的一边长为6，一个内角为60°，则它的周长是( )
A．12 B．15 C．18 D．20
2．下列选项中能判定三角形是等腰三角形的是( )
A．有两个角为30°，60° B．有两个角为40°，80°
C．有两个角为50°，80° D．有两个角为100°，20°
3．如图，∠A＝36°，∠ADB＝108°，则图中共有等腰三角形( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第3题 第4题 第6题
4．如图，若AD平分∠BAC，AD∥EC，则( )
A．△ABD是等腰三角形 B．△ACD是等腰三角形
C．△ACE是等腰三角形 D．△ABC是等腰三角形
5．下列条件中不能得到等边三角形的是( )
A．有两个角是60°的三角形 B．有一个角是60°的等腰三角形
C．有两个外角相等的等腰三角形 D．三边都相等的三角形
6．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N.若BM＋CN＝9，则线段MN的长为( )
A．6 B．8 C．9 D．10
7．如图，在△ABC中，BC＝5 cm，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是 cm.
第7题 第8题
8．如图，上午8时，一轮船以每小时25海里的速度由西向东航行，在A处测得灯塔P的方位是北偏东68°，按原来的方向继续航行，10时到达B处，在B处测得灯塔P的方位是北偏东46°，求B处到灯塔P的距离．
二、能力进阶
9．如图，下列4个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是( )
A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB， D，A，E在一条直线上，且DE∥BC，若DE＝10，则AB的长为 ．
11．如图，已知在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以点B为圆心，BC长为半径的弧分别交AC，AB于点D，E，连结BD，ED.
(1)直接写出图中所有的等腰三角形．
(2)若∠AED＝114°，求∠ABD和∠ACB的度数．
12．在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ.
(1)求证：△ABP≌△ACQ.
(2)请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
三、挑战自我
13．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于点O，过点O作OE∥BC交AB于E，交AC于F，EF与BE，CF之间有怎样的数量关系？并给予证明．
答案
1.C 2.C 3.A 4.C 5.C 6.C 7. 5
8.解：∵AB＝25×2＝50(海里)，
∠CAP＝68°，∠DBP＝46°，
∴∠PAE＝22°，∠PBE＝44°.
∵∠PBE＝∠PAE＋∠P，
∴∠P＝44°－22°＝22°，
∴∠PAE＝∠P，
∴AB＝PB＝50海里．
故B处到灯塔P的距离是50海里．
9.C 10. 5
11.解：(1)图中所有的等腰三角形有△ABC，△BCD，△BED.
(2)∵∠AED＝114°，
∴∠BED＝180°－∠AED＝66°.
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝66°，
∴∠ABD＝180°－66°×2＝48°.
设∠ACB＝x°，
∴∠ABC＝∠ACB＝x°.
∴∠A＝180°－2x°.
∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠ACB＝x°.
又∵∠BDC为△ABD的外角，
∴∠BDC＝∠A＋∠ABD.
∴x＝180－2x＋48，解得x＝76.
∴∠ACB＝76°.
12.解：(1)证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，
在△ABP和△ACQ中，
∴△ABP≌△ACQ(SAS).
(2)△APQ为等边三角形，理由：
∵△ABP≌△ACQ，
∴∠BAP＝∠CAQ，AP＝AQ.
∵∠BAP＋∠CAP＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠CAP＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
13.解：EF＝BE－CF.证明：∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO＝∠CBO.
∵OE∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC＝∠EBO，
∴BE＝OE.
同理CF＝OF，
∴EF＝OE－OF＝BE－CF.
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