2.5　逆命题和逆定理 同步练习（含答案）

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2.5　逆命题和逆定理
一、夯实基础
1．下列说法中不正确的是(　　)
A．真命题的逆命题不一定是真命题 B．假命题的逆命题也许是真命题
C．每个定理都有逆定理 D．把一个命题的题设与结论互换即可得到逆命题
2．下列命题的逆命题属于真命题的是(　　)
A．若a＝b，则a2＝b2 B．全等三角形的周长相等
C．若a＝0，则ab＝0 D．有两边相等的三角形是等腰三角形
3．下列定理中有逆定理的是(　　)
A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等
C．同角的余角相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
4．下列说法中不正确的是(　　)
A．“对顶角相等”没有逆命题
B．“等腰三角形的底角相等”的逆命题是真命题
C．“两直线平行，同位角相等”的逆命题是“同位角相等，两直线平行”
D．“全等三角形的对应边相等”的逆命题是“对应边相等的三角形全等”
5．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 ．
二、能力进阶
6．写出定理“等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线相互重合”的逆命题，判断该逆命题的真假，并证明．
7．已知命题“等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线重合”，写出它的逆命题，判断该逆命题的真假，并证明．
8．说出命题“若a＞b，则a2＞b2.”的逆命题，并判断逆命题的真假．若逆命题是真命题，请加以证明；若逆命题是假命题，请举出反例．
9．如图，点E在DF上，点B在AC上，∠1＝∠2，∠C＝∠D.
(1)求证：AC∥DF.(写出每一步的依据)
(2)写出(1)中应用到的一对互逆定理．
三、自我挑战
10．已知命题“等腰三角形两腰上的高线相等”．
(1)写出此命题的逆命题．
(2)逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出图形，写出“已知”“求证”“证明”；如果是假命题，请举反例说明．
11．已知命题：“P是等边三角形ABC内的一点，若点P到三边的距离相等，则PA＝PB＝PC.”
(1)写出它的逆命题．判断其逆命题成立吗？若成立，请给出证明.
(2)进一步证明：点P到等边三角形ABC各边的距离之和为定值．
2.5　逆命题和逆定理 答案
一、夯实基础
1．下列说法中不正确的是(　C　)
A．真命题的逆命题不一定是真命题
B．假命题的逆命题也许是真命题
C．每个定理都有逆定理
D．把一个命题的题设与结论互换即可得到逆命题
2．下列命题的逆命题属于真命题的是(　D　)
A．若a＝b，则a2＝b2
B．全等三角形的周长相等
C．若a＝0，则ab＝0
D．有两边相等的三角形是等腰三角形
3．下列定理中有逆定理的是(　D　)
A．对顶角相等
B．全等三角形的对应角相等
C．同角的余角相等
D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
4．下列说法中不正确的是(　A　)
A．“对顶角相等”没有逆命题
B．“等腰三角形的底角相等”的逆命题是真命题
C．“两直线平行，同位角相等”的逆命题是“同位角相等，两直线平行”
D．“全等三角形的对应边相等”的逆命题是“对应边相等的三角形全等”
5．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是__两个角相等的三角形是等腰三角形__．
二、能力进阶
6．写出定理“等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线相互重合”的逆命题，判断该逆命题的真假，并证明．
解：逆命题：如果一个三角形一边的高线和这边所对的角的平分线相互重合，那么这个三角形是等腰三角形，是真命题．
已知：在△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
求证：△ABC是等腰三角形．
证明：∵AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∠CAD＝∠BAD.
∵AD＝AD，
∴△CAD≌△BAD(ASA)，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
7．已知命题“等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线重合”，写出它的逆命题，判断该逆命题的真假，并证明．
解：逆命题：如果三角形一条边上的中线和这条边所对角的角平分线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形，是真命题.
已知：如图，在△ABC中，BD＝CD，AD平分∠BAC.
求证：△ABC是等腰三角形．
证明：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE.
∵BD＝CD，
∠BDE＝∠CDA，DE＝DA，
∴△BDE≌△CDA(SAS)，
∴BE＝CA，∠BED＝∠CAD.
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠BED，∴AB＝BE，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
8．说出下面命题的逆命题，并判断逆命题的真假．若逆命题是真命题，请加以证明；若逆命题是假命题，请举出反例．
命题：若a＞b，则a2＞b2.
解：逆命题：若a2＞b2，则a＞b.此命题为假命题．反例：a＝－2，b＝－1，有a2＞b2，但a＜b.
9．如图，点E在DF上，点B在AC上，∠1＝∠2，∠C＝∠D.
(1)求证：AC∥DF.(写出每一步的依据)
(2)写出(1)中应用到的一对互逆定理．
解：(1)证明：∵∠1＝∠2(已知)，
∠1＝∠3(对顶角相等)，
∴∠2＝∠3(等量代换)，
∴BD∥CE(同位角相等，两直线平行)，
∴∠C＝∠ABD(两直线平行，同位角相等).
又∵∠C＝∠D(已知)，
∴∠D＝∠ABD(等量代换)，
∴AC∥DF(内错角相等，两直线平行).
(2)同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
三、自我挑战
10．已知命题“等腰三角形两腰上的高线相等”．
(1)写出此命题的逆命题．
(2)逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出图形，写出“已知”“求证”“证明”；如果是假命题，请举反例说明．
解：(1)逆命题：两边上的高线相等的三角形是等腰三角形．
(2)真命题．
已知：如图，在△ABC中，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，且CE＝BD.
求证：AB＝AC.
证明：∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°.
在△ADB和△AEC中，
∵
∴△ADB≌△AEC(AAS)，
∴AB＝AC.
11．已知命题：“P是等边三角形ABC内的一点，若点P到三边的距离相等，则PA＝PB＝PC.”
(1)写出它的逆命题．判断其逆命题成立吗？若成立，请给出证明.
(2)进一步证明：点P到等边三角形ABC各边的距离之和为定值．
解：(1)逆命题：P 是等边三角形 ABC 内的一点，若 PA＝PB＝PC，则点P到三边的距离相等. 该逆命题成立．
证明：如图，∵PA＝PB，
∴P 在 AB 的垂直平分线上．
∵AC＝BC，
∴C 在 AB 的垂直平分线上，
∴CP 是 AB 的垂直平分线，
∴CP 平分∠ACB，
同理，BP 平分∠ABC，AP 平分∠BAC，
∴P 是△ABC 三个角的平分线的交点，
∴点P到三边的距离相等．
(2)证明：∵AB＝BC＝AC 且 S△ABC＝S△ABP＋S△PBC＋S△APC，
∴由面积法可得，点P到各边的距离之和＝任意边上的高线长，即为定值．
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