2.6.1　直角三角形 课时练习（含答案）

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2.6.1　直角三角形
一、夯实基础
1．已知直角三角形一个锐角的度数为40°，则它的另一个内角(锐角)的度数为(　　)
A．140° B．60° C．50° D．40°
2．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶4∶5，则∠C的度数是(　　)
A．60° B．75° C．80° D．90°
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝55°，点D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为(　　)
A．15° B．25° C．35° D．45°
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的高线，若∠B＝20°，则∠DAC＝(　　)
A．90° B．20° C．45° D．70°
第3题 第4题 第5题
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，且AD＝CD，则下列结论错误的是(　　)
A．∠DCB＝∠B B．BC＝BD. C．AD＝BD D．∠ACD＝∠BDC
二、能力进阶
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，AE平分∠BAC交BC于点E，D为AB的中点，连结DE，则△BDE的周长是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD为斜边上的中线，将△ADC沿AD翻折，使点C落在△ABC所在平面的点C′处，若AC′∥BC，则∠B＝____．
第6题 第7题
8．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D.
(1)求证：△BEC≌△CDA.
(2)若BE＝3 cm，AD＝9 cm，求DE的长．
9．求证：在直角三角形中，如果一条直角边所对的锐角等于30°，那么这条直角边等于斜边的一半．
三、自我挑战
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD＝2，则AD等于(　　)
A．10 B．8 C．6 D．4
11．如图，一根竹竿AB斜靠在竖直的墙上，P是AB的中点，A′B′表示竹竿AB沿墙上下滑动过程中的某个位置，则在竹竿AB滑动过程中，(　　)
A．下滑时，OP增大 B．上升时，OP减小
C．无论怎样滑动，OP不变 D．只要滑动，OP就变化
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第10题 第11题
12．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高线，CF是边AB上的中线，且DC＝BF，DE⊥CF于点E.
(1)E是CF的中点吗？试说明理由．
(2)求证：∠B＝2∠BCF.
2.6.1　直角三角形 答案
一、夯实基础
1．已知直角三角形一个锐角的度数为40°，则它的另一个内角(锐角)的度数为(　C　)
A．140° B．60° C．50° D．40°
2．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶4∶5，则∠C的度数是(　D　)
A．60° B．75° C．80° D．90°
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝55°，点D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为(　C　)
A．15° B．25° C．35° D．45°
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的高线，若∠B＝20°，则∠DAC＝(　B　)
A．90° B．20° C．45° D．70°
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，且AD＝CD，则下列结论中错误的是(　B　)
A．∠DCB＝∠B B．BC＝BD. C．AD＝BD D．∠ACD＝∠BDC
二、能力进阶
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，AE平分∠BAC交BC于点E，D为AB的中点，连结DE，则△BDE的周长是(　C　)
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD为斜边上的中线，将△ADC沿AD翻折，使点C落在△ABC所在平面的点C′处，若AC′∥BC，则∠B＝__30°__．
8．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D.
(1)求证：△BEC≌△CDA.
(2)若BE＝3 cm，AD＝9 cm，求DE的长．
解：(1)证明：∵∠ACB＝90°，BE⊥CE，
∴∠BCE＋∠CBE＝90°，∠BCE＋∠ECA＝90°，
∴∠CBE＝∠ECA，∠BEC＝∠CDA，
在△BEC和△CDA中，∵
∴△BEC≌△CDA(AAS).
(2)∵△BEC≌△CDA，
∴BE＝CD，CE＝AD.
∵BE＝3 cm，AD＝9 cm，
∴CD＝3 cm，CE＝9 cm，
∴DE＝CE－CD＝9－3＝6 (cm).
9．求证：在直角三角形中，如果一条直角边所对的锐角等于30°，那么这条直角边等于斜边的一半．
解：已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°.
求证：BC＝AB.
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证明：取AB的中点D，连结CD，如图．
∵在Rt△ABC中，D是AB的中点，
∴CD＝DB＝AB.
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∴△DBC是等边三角形，
∴BC＝CD＝DB，
∴BC＝AB.
三、自我挑战
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD＝2，则AD等于(　D　)
A．10 B．8 C．6 D．4
11．如图，一根竹竿AB斜靠在竖直的墙上，P是AB的中点，A′B′表示竹竿AB沿墙上下滑动过程中的某个位置，则在竹竿AB滑动过程中，(　C　)
A．下滑时，OP增大 B．上升时，OP减小
C．无论怎样滑动，OP不变 D．只要滑动，OP就变化
12．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高线，CF是边AB上的中线，且DC＝BF，DE⊥CF于点E.
(1)E是CF的中点吗？试说明理由．
(2)求证：∠B＝2∠BCF.
解：(1)E是CF的中点．理由：如图，连结DF.
∵AD是边BC上的高线，CF是边AB上的中线，
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第13题答图
∴DF＝BF＝AB.
∵DC＝BF，∴CD＝DF.
∵DE⊥CF，∴E是CF的中点．
(2)证明：由(1)的结论DF＝BF得∠FDB＝∠B.
∵DC＝DF，∴∠DCF＝∠DFC.
由外角的性质得∠FDB＝∠DCF＋∠DFC＝2∠DCF，
∴∠B＝2∠BCF.
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