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专题4.8 相似三角形中的(双)A字模型与(双)8字模型
模块1:知识梳理
相似三角形是初中几何中的重要的内容,常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现,其变化很多,是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的(双)A字模型和(双)8(X)字模型.
A字型和8 (X )字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型,有的是直接作平行线,有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线), 这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。
模块2:核心模型与典例
模型1. “A”字模型
【模型解读与图示】
“A”字模型图形(通常只有一个公共顶点)的两个三角形有一个“公共角”(是对应角),再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例,就可以判定这两个三角形相似.
图1 图2 图3
1)“A”字模型 条件:如图1,DE∥BC;结论:△ADE∽△ABC ==.
2)反“A”字模型 条件:如图2,∠AED=∠B;结论:△ADE∽△ACB ==.
3)同向双“A”字模型
条件:如图3,EF∥BC;结论:△AEF∽△ABC,△AEG∽△ABD,△AGF∽△ADC
例1.(2022·浙江杭州·中考真题)如图,在ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,连接DE,EF,已知四边形BFED是平行四边形,.(1)若,求线段AD的长.(2)若的面积为1,求平行四边形BFED的面积.
【答案】(1)2(2)6
【分析】(1)利用平行四边形对边平行证明,得到即可求出;
(2)利用平行条件证明,分别求出、的相似比,通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出、,最后通过求出.
(1)∵四边形BFED是平行四边形,∴,∴,∴,
∵,∴,∴;
(2)∵四边形BFED是平行四边形,∴,,DE=BF,
∴,∴∴,
∵,DE=BF,∴,
∴,∴,
∵,,∴,
∵,∴,∴.
【点睛】本题考查了相似三角形,熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键.
例2.(2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习)如图,在三角形纸片中,,,,若沿的垂直平分线线前下,则的长为 .
【答案】
【分析】勾股定理求得,根据垂直平分线的性质得出,,证明,根据相似三角形的性质即可求解.
【详解】在中,,,,∴,
∵是的垂直平分线,∴,,∴,
又∵,∴∴,∴
解得:,故答案为:.
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质,勾股定理,相似三角形的性质与判定,证明是解题的关键.
例3.(2021·山东菏泽·中考真题)如图,在中,,垂足为,,,四边形和四边形均为正方形,且点、、、、、都在的边上,那么与四边形的面积比为______.
【答案】1∶3
【分析】先设四边形和四边形的边长为x,然后根据AEM∽ABC可得,进而可求得AP=2.5,EM=5,然后分别求得S△AEM=,S△ABC=25,即可求得S四边形BCME=S△ABC-S△AEM=,由此可得答案.
【详解】解:∵四边形和四边形均为正方形,
∴设四边形和四边形的边长为x,
则EM=2x,EF=x,EF⊥BC,EM∥BC,∵AD⊥BC,∴PD=EF=x,
∵AD=5,∴AP=AD-PD=5-x,
∵EMBC,∴AEM∽ABC,∴,∴,解得:x=2.5,
∴AP=2.5,EM=5,∴S△AEM==,
又∵S△ABC==25, ∴S四边形BCME=S△ABC-S△AEM=25-=,
∴S△AEM∶S四边形BCME=∶=1∶3,故答案为:1∶3.
【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定及性质,熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键.
例4.(2022·浙江宁波·中考真题)(1)如图1,在中,D,E,F分别为上的点,交于点G,求证:.
(2)如图2,在(1)的条件下,连接.若,求的值.
(3)如图3,在中,与交于点O,E为上一点,交于点G,交于点F.若平分,求的长.
【答案】(1)证明见详解(2)(3)
【分析】(1)利用,证明,利用相似比即可证明此问;
(2)由(1)得,,得出是等腰三角形,利用三角形相似即可求出 的值;
(3)遵循第(1)、(2)小问的思路,延长交于点M,连接,作,垂足为N.构造出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形,求出、的值,即可得出的长.
(1)解:∵,∴,
∴,∴.∵,∴.
(2)解:由(1)得,∵,∴.
∵,∴.∵,∴.∴.
(3)解:如图,延长交于点M,连接,作,垂足为N.
在中,.
∵,∴由(1)得,
∵,∴,∴.
∵,∴,∴.
∵平分,∴,
∴.
∴.在中,.
∵,∴,
∴.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识,遵循构第(1)、(2)小问的思路,构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键.
例5. (2022 安庆一模)如图,在△ABC中,点D、E、F分别在边BC、AB、CA上,且DE∥CA,DF∥AB.(1)若点D是边BC的中点,且BE=CF,求证:DE=DF;
(2)若AD⊥BC于D,且BD=CD,求证:四边形AEDF是菱形;
(3)若AE=AF=1,求+的值.
【分析】(1)根据中点和平行两个条件可得中点,从而可得DE是△ABC的中位线,进而可得DE=FC,同理可得DF=BE,即可解答;
(2)根据已知易证四边形AEDF是平行四边形,再利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BAD=∠CAD,然后利用平行线的性质可得∠EDA=∠CAD,从而可得∠BAD=∠EDA,进而可得EA=ED,即可解答;
(3)根据A字模型相似三角形可知△BED∽△BAC,△CDF∽△CBA,从而可得=,=,然后把两个式子相加进行计算,即可解答.
【解答】(1)证明:∵点D是边BC的中点,DE∥CA,
∴点E是AB的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE=AC,
∵点D是边BC的中点,DF∥AB,∴点F是AC的中点,
∴FC=AC,∴DE=FC,同理可得:DF=BE,
∵BE=FC,∴DE=DF;
(2)证明:∵DE∥CA,DF∥AB,∴四边形AEDF是平行四边形,
∵AD⊥BC,BD=CD,∴AD是BC的垂直平分线,
∴AB=AC,∴∠BAD=∠CAD,∵DE∥AC,∴∠EDA=∠CAD,
∴∠BAD=∠EDA,∴EA=ED,∴四边形AEDF是菱形;
(3)∵DE∥CA,∴∠EDB=∠C,
∵∠B=∠B,∴△BED∽△BAC,∴=,
∵DF∥AB,∴∠B=∠FDC,
∵∠C=∠C,∴△CDF∽△CBA,∴=,
∴+=+==1,
∵四边形AEDF是平行四边形,∴DE=AF,DF=AE,
∵AE=AF=1,∴DE=DF=1,∴+=1,∴+的值为1.
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,分式的化简求值,菱形的判定与性质,熟练掌握菱形的判定与性质,以及A字模型相似三角形的关键.
模型2. “X”字模型(“8”模型)
【模型解读与图示】
“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”,再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似.
图1 图2 图3 图4
1)“8”字模型
条件:如图1,AB∥CD;结论:△AOB∽△COD ==.
2)反“8”字模型
条件:如图2,∠A=∠D;结论:△AOB∽△DOC ==.
3)平行双“8”字模型
条件:如图3,AB∥CD;结论:
4)斜双“8”字模型
条件:如图4,∠1=∠2;结论:△AOD∽△BOC,△AOB∽△DOC ∠3=∠4.
例1.(2022·内蒙古包头·中考真题)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,A,B,C,D四个点均在格点上,与相交于点E,连接,则与的周长比为( )
A.1:4 B.4:1 C.1:2 D.2:1
【答案】D
【分析】运用网格图中隐藏的条件证明四边形DCBM为平行四边形,接着证明,最后利相似三角形周长的比等于相似比即可求出.
【详解】如图:由题意可知,,, ∴,而,
∴四边形DCBM为平行四边形,∴,
∴,,∴,
∴.故选:D.
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理,熟练掌握相关知识并正确计算是解题关键.
例2.(2023·黑龙江·哈尔滨九年级阶段练习)如图,,,分别交于点G,H,则下列结论中错误的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定,进行逐一判断即可.
【详解】解:∵AB∥CD∴,∴A选项正确,不符合题目要求;
∵AE∥DF,∴∠CGE=∠CHD,∠CEG=∠D,∴△CEG∽△CDH,
∴,∴,
∵AB∥CD,∴,∴,∴,∴,
∴B选项正确,不符合题目要求;
∵AB∥CD,AE∥DF,∴四边形AEDF是平行四边形,∴AF=DE,
∵AE∥DF∴,∴; ∴C选项正确,不符合题目要求;
∵AE∥DF,∴△BFH∽△BAG,∴,
∵AB>FA,∴∴D选项不正确,符合题目要求. 故选D.
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理,相似三角形的性质和判定的应用,能根据定理得出比例式是解此题的关键.
例3.(2021·上海·中考真题)如图,在梯形中,是对角线的中点,联结并延长交边或边于E.
(1)当点E在边上时,①求证:;②若,求的值;
(2)若,求的长.
【答案】(1)①见解析;②;(2)或
【分析】(1)①根据已知条件、平行线性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推导,,由此可得;
②若,那么在中,由.可得,作于H.设,那么.根据所对直角边是斜边的一半可知,由此可得的值.
(2)①当点E在上时,可得四边形是矩形,设,在和中,根据,列方程求解即可.
②当点E在上时,设,由,得,所以,所以;由得,所以,解出x的值即可.
【详解】(1)①由,得.
由,得.
因为是斜边上的中线,所以.所以.
所以.所以.
②若,那么在中,由.可得.
作于H.设,那么.
在中,,所以.
所以.所以.
(2)①如图5,当点E在上时,由是的中点,可得,
所以四边形是平行四边形.又因为,所以四边形是矩形,
设,已知,所以.已知,所以.
在和中,根据,列方程.
解得,或( 舍去负值).
②如图6,当点E在上时,设,已知,所以.
设,已知,那么.
一方面,由,得,所以,所以,
另一方面,由是公共角,得.
所以,所以.
等量代换,得.由,得.
将代入,整理,得.
解得,或(舍去负值).
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质,斜边上的中线,勾股定理等,能够运用相似三角形边的关系列方程是解题的关键.
模型3. “AX”字模型(“A8”模型)
【模型解读与图示】
图1 图2 图3
1)一“A”一“8”模型
条件:如图1,DE∥BC;结论:△ADE∽△ABC,△DEF∽△CBF
2)两“A”一“8”模型
条件:如图2,DE∥AF∥BC;结论:.
3)四“A”一“8”模型
条件:如图3,DE∥AF∥BC,;结论:AF=AG
例1.(2022 惠山区一模)如图,D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点,且DE∥BC,BE、CD相交于点O,若S△DOE:S△EOC=1:3,则当S△ADE=1时,四边形DBCE的面积是 .
【分析】由题意可得出,由相似三角形的性质可得出答案.
【解答】解:∵S△DOE:S△EOC=1:3,∴=,
∵DE∥BC,∴△ODE∽△OCB,∴,
∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴,
∵S△ADE=1,∴S△ABC=9,∴四边形DBCE的面积=S△ABC﹣S△ADE=9﹣1=8.
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质.
例2.(2020·浙江·杭州启正中学九年级期中)如图,中,中线,交于点,交于点.(1)求的值.(2)如果,,请找出与相似的三角形,并挑出一个进行证明.
【答案】(1)3;(2),证明见解析
【分析】(1)先证明,再证明,得到,则问题可解;
(2)根据题意分别证明,问题可证.
【详解】解:(1)是的中点,是的中点,,,
,,
,,,
,,,
,,.
(2)当,时,由(1)可得
,,,,
,,,
又,,
,,,
,,.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定,解答关键是根据题意选择适当方法证明三角形相似.
例3.(2023·浙江·九年级期中)图,,点H在BC上,AC与BD交于点G,AB=2,CD=3,求GH的长.
【答案】
【分析】根据平行线分线段成比例定理,由,可证△CGH∽△CAB,由性质得出,由,可证△BGH∽△BDC,由性质得出,将两个式子相加,即可求出GH的长.
【详解】解:∵,∴∠A=∠HGC,∠ABC=∠GHC,∴△CGH∽△CAB,∴,
∵,∴∠D=∠HGB,∠DCB=∠GHB,△BGH∽△BDC,
∴,∴,∵AB=2,CD=3,∴,解得:GH=.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,平行线性质,熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.
例4.(2022 安庆模拟)在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O.
(1)如图①,若四边形ABCD为矩形,过点O作OE⊥BC,求证:OE=CD.
(2)如图②,若AB∥CD,过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F.求证:=2.
(3)如图③,若OC平分∠AOB,D、E分别为OA、OB上的点,DE交OC于点M,作MN∥OB交OA于一点N,若OD=8,OE=6,直接写出线段MN长度.
【分析】(1)由OE⊥BC,DC⊥BC,可知EO∥CD,且OB=OD,可得结论;
(2)由△DFO∽△DAB,得,同理,,,利用等式的性质将比例式相加,从而得出结论;(3)作DF∥OB交OC于点F,连接EF,可知△ODF是等腰三角形,得DO=DF=8,由△DMF∽△EMO,可得EM=,由△DMN∽△DOE,得,从而得出答案.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴O是AC中点,AB⊥BC,
∵OE⊥BC,∴OE∥AB,∴E是BC中点,∴OE=;
(2)证明:∵EF∥AB,∴△DFO∽△DAB,∴,
同理,,,∴=,
∴,即;
(3)解:作DF∥OB交OC于点F,连接EF,
∵OC平分∠AOB,∴∠AOC=∠BOC,∵DF∥OB,∴∠DFO=∠BOC=∠AOC,
∴△ODF是等腰三角形,∴DO=DF=8,∵DF∥OE,∴△DMF∽△EMO,
∴,∴EM=,∴,
∵MN∥OE,∴△DMN∽△DOE,∴,∴,∴MN=.
【点评】本题是相似形综合题,主要考查了矩形的性质,相似三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,对比例式进行恒等变形是解题的关键.
模块3:同步培优题库
全卷共25题 测试时间:80分钟 试卷满分:120分
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2023·浙江·九年级专题练习)如图,,,分别交于点G,H,则下列结论中错误的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定,进行逐一判断即可.
【详解】解:∵AB∥CD,
∴,
∴A选项正确,不符合题目要求;
∵AE∥DF,
∴∠CGE=∠CHD,∠CEG=∠D,
∴△CEG∽△CDH,
∴,
∴,
∵AB∥CD,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴B选项正确,不符合题目要求;
∵AB∥CD,AE∥DF,
∴四边形AEDF是平行四边形,
∴AF=DE,
∵AE∥DF,
∴,
∴;
∴C选项正确,不符合题目要求;
∵AE∥DF,
∴△BFH∽△BAG,
∴,
∵AB>FA,
∴
∴D选项不正确,符合题目要求.
故选D.
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理,相似三角形的性质和判定的应用,能根据定理得出比例式是解此题的关键.
2. (2021·山东淄博·中考真题)如图,相交于点,且,点在同一条直线上.已知,则之间满足的数量关系式是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】由题意易得,,则有,,然后可得,进而问题可求解.
【详解】解:∵,
∴,,
∴,,
∴,
∵,
∴,即;
故选C.
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定,熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.
3.(2023春·黑龙江哈尔滨·九年级校考期末)如图,中,是它的角平分线,是上的一点,交于点,交于点为的中点,若,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质可知是等腰三角形,再根据相似三角形的判定与性质可知,进而解答即可.
【详解】解:过点作,交的延长线于点,
∵是的角平分线,
∴,
∵,,
∴,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴是等腰三角形,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴设,,
∴,
∵是的中点,
∴,
∴,
过作,垂足为,
∴,,
∴,
故选:.
【点睛】本题考查了平行线的性质,相似三角形的判定与性质,角平分线的定义,中点的定义,等腰三角形的判定与性质,掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
4.(2023·浙江九年级期中)如图,在平行四边形ABCD中,E为边AD的中点,连接AC,BE交于点F.若△AEF 的面积为2,则△ABC的面积为( )
A.8 B.10 C.12 D.14
【答案】C
【分析】先利用平行四边形的性质得,AD=BC,由可判断△AEF∽△CBF,根据相似三角形的性质得,然后根据三角形面积公式得,则.
【详解】∵平行四边形ABCD
∴,AD=BC
∵E为边AD的中点
∴BC=2AE
∵
∴∠EAC=∠BCA
又∵∠EFA=∠BFC
∴△AEF∽△CBF
如图,过点F作FH⊥AD于点H,FG⊥BC于点G,
则,
∴,
∵△AEF的面积为2
∴
故选C.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质,属于同步基础题.
5.(2023秋·山西阳泉·九年级统考期末)如图,在四边形中,,对角线与相交于点E,,,,,则对角线与的长分别是( )
A., B.,
C., D.,
【答案】D
【分析】过点B作交于点O,证明,可求得,,根据勾股定理求出的长,进而可求出的长,再根据勾股定理求出的长,进而求出的长.
【详解】过点B作交于点O,如图所示:
∵,,
∴.
∵,
∴,
∴.
∵,
∴.
∵,
∴,
∴.
∵,,
∵,
∴,
∴.
在中,,即,
解得:,
∴.
∵,,
∴,
∴,
∴.
故选D .
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,含30度角的直角三角形的性质,勾股定理以及平行线的性质,解题的关键是利用勾股定理求出BE的长度.
6.(2022秋·山西晋中·九年级统考阶段练习)如图,点F在平行四边形的边上,延长交的延长线于点E,交于点O,若,则的值为( )
A. B. C.2 D.
【答案】C
【分析】先由平行四边形性质得到,,证明得到,进而得到,再证明求解即可.
【详解】解:∵四边形是平行四边形,
∴,,
∴,,
∴,
∴,
∴,则,
∵,,
∴,
∴,
故选:C.
【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键.
7.(2023春·福建福州·八年级校考期末)如图,已知四边形为矩形,点E在的延长线上,.连接,于点G.若交于点F,,则的长度是( )
A. B. C.6 D.
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定得出,再由其性质确定,利用矩形的性质及相似三角形的判定和性质求解即可.
【详解】解:,
∴,
∵,,
∴,
∵四边形为矩形,
∴,,
∵,
∴
∴,
∵,
∴
∴,
设,
∴,
解得:,负值舍去,
故选:A.
【点睛】题目主要考查全等三角形及相似三角形的判定和性质,矩形的性质,理解题意,综合运用这些知识点是解题关键.
8.(2023春·山东烟台·八年级统考期末)如图,在矩形中,是边的中点,于点,则下列结论:①;②;③.其中正确结论的个数是( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
【答案】A
【分析】①先证明,再由,即可证明;
②先得到,由矩形的性质可得,由此证明,根据相似三角形对应边成比例的性质即可得到结论;
③可证根据相似三角形对应边成比例的性质即可得到结论.
【详解】解:,
∴,
,
∵四边形是矩形,
∴,
,
,
又,
,故①正确;
是边的中点,
∴,
∵四边形是矩形,
∴,
,故②正确;
,
,
,
,
,
,
,故③正确,
故选:A.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质,矩形的性质,数控掌握相关知识是解题关键.
9.(2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习)如图,将平行四边形绕点A逆时针旋转到平行四边形的位置,使点落在上,与交于点E,若,,,则的长为( )
A. B. C. D.1
【答案】A
【分析】先结合旋转的性质证明,求出,再证点在同一条直线上,推出,再证明,得出,设,,代入可得,解出x的值即可.
【详解】解:由旋转的性质可知,,,,
∴,
∴,
∴,,
∵,
∴,
又∵,,
∴,
即点在同一条直线上,
∴,
又∵,,
∴,
∴,即,
设,,
∴,
解得,
∴,
故选:A.
【点睛】本题考查平行四边形的性质、旋转的性质以及相似三角形的判定与性质,有一定难度,解题的关键是利用旋转的性质得出对应边相等、对应角相等.
10.(2023春·山东淄博·八年级统考期末)如图,矩形,,,点是边上的动点,点F是射线BC上的动点,且,连接,.若,则m的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】延长到G,使,连接、,得到,从而可得,再利用勾股定理即可求出最小值.
【详解】解:如图,延长到G,使,连接、,
在矩形,,
∴,
又∵,
∴,
∴
∴,即,
∵,
∴,
∴当G、E、C三点共线时,m取最小值为GC,
,
∴m的最小值为.
故选C.
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、最短距离问题,一般求两条线段最短距离问题,都转化为一条线段.本题通过构造,得到,利用两点间线段最短解决m取最小值的问题.
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在横线上)
11.(2023春·山东烟台·八年级统考期末)如图,在正方形方格纸中,每个小的四边形都是相同的正方形,A、B、C、D都在格点处,与相交于O,则 .
【答案】
【分析】如图所示,延长交各格线于点D,证明,即可得到.
【详解】解:如图所示,延长交网格线于点D,
由网格的特点可知点E在格点处,
∵,
∴,
∴,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定,正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键.
12.(2022秋·山西晋城·九年级统考期末)如图,点G是的重心,连接、并延长分别交、于点D,E,连接,则 .
【答案】
【分析】根据三角形的重心的概念得到是的中位线,证明,根据相似三角形的性质解答即可.
【详解】解:点是的重心,
、分别为、的中点,
是的中位线,
,,
,
,
故答案为:.
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形的重心的概念、三角形中位线定理,掌握三角形的重心是三角形三边中线的交点是解题的关键.
13.(2023·广东深圳·校考三模)如图,在中,,D是上一点,点E在上,连接交于点F,若,则= .
【答案】2
【分析】过D作垂直于H点,过D作交BC于G点,先利用解直角三角形求出的长,其次利用,求出的长,得出的长,最后利用求出的长,最后得出答案.
【详解】解:如图:过D作垂直于H点,过D作交于G点,
∵在中,,
∴,
又∵,
∴ ,
∴在等腰直角三角形中,,
∴,
在中,,
∵,
∴,,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∴ ,
即,
∴ ,
∴,
又∵,
∴,
又∵,
∴,
又,
∴,
∴,
故答案为:2.
【点睛】本题考查勾股定理,等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合,解题关键在于正确做出辅助线,利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案.
14.(2023春·山东东营·八年级统考期末)如图,在中,D,E,F分别是,,上的点,且,,,,则 cm.
【答案】8
【分析】首先根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形,则,然后根据相似三角形的性质即可求解.
【详解】解:∵,,
∴四边形是平行四边形,
∴.
∵,
∴.
∵,
∴,
∴,即,
∴,
∴.
故的长为.
故答案为:8
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质,相似三角形的判定与性质,掌握这些性质及判定是解题的关键.
15.(2022秋·山西吕梁·九年级校考阶段练习)如图,在中,的垂直平分线与的延长线交于点,与交于点,若,则的长为 .
【答案】
【分析】如图所示,取中点H,连接,先求出,再由线段垂直平分线的性质得到,点D为中点,证明得到,则,再由三角形中位线定理得到,进而证明,得到,利用勾股定理可得.
【详解】解:如图所示,取中点H,连接,
∵,
∴,
∴,
∵垂直平分线段,
∴,点D为中点,
又∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵点H为中点,点D为中点,
∴为 中位线,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定,三角形中位线定理,勾股定理,线段垂直平分线的性质,等腰直角三角形的性质与判定等等,正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键.
16.(2023春·重庆九龙坡·八年级校考期末)如图,小明站在两路灯之间的点处,两路灯底部的距离,两路灯的高度均为,小明身高,他在路灯下的影子,在路灯下的影子为,则 .
【答案】
【分析】先通过证明可求得,进而得到;再证明得到求解即可.
【详解】解:∵,
∴,
∴,即,解得:
∴,
∵,
∴,
∴,即,解得:
故答案为.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质,灵活应用判定性质判定三角形相似是解答本题的关键.
17.(2023·湖北十堰·统考中考真题)如图,在菱形中,点E,F,G,H分别是,
,,上的点,且,若菱形的面积等于24,,则 .
【答案】6
【分析】连接,交于点O,由题意易得,,,,则有,然后可得,设,则有,进而根据相似三角形的性质可进行求解.
【详解】解:连接,交于点O,如图所示:
∵四边形是菱形,,
∴,,,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
同理可得,
设,则有,
∵,
∴,
∴,即,
∴,
同理可得,即,
∴,
∴;
故答案为6.
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及菱形的性质,熟练掌握菱形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键.
18.(2023春·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考期末)如图,已知在中,,,是边上的一点,与交于点,若,则 .
【答案】
【分析】如图,取的中点I,连接并延长,交于点J,中,,于是,,,可证,于是,由平行线分线段成比例,得,,得,,由中位线定理,得,,推出,由可推证,所以.
【详解】如图,取的中点I,连接并延长,交于点J,
中,
∴,
∵,
∴
∴
∴,
∵,
∴,
∴,
∴
∴
∵
∴,
∴
∴
故答案为:.
【点睛】本题考查平行线的判定,平行线分线段成比例定理,中位线定理,相似三角形,直角三角形斜边中线性质,添加辅助线,构造中线,同时形成中位线是解题的关键.
三、解答题(本大题共7小题,共66分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(2023·浙江·九年级专题练习)已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,在边AB的延长线上截取BE=AB,点F在AE的延长线上,CE和DF交于点M,BC和DF交于点N,联结BD.
(1)求证:△BND∽△CNM;(2)如果AD2=AB AF,求证:CM AB=DM CN.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【分析】(1)利用平行四边形的性质得AB=CD,AB∥CD,再证明四边形BECD为平行四边形得到BD∥CE,根据相似三角形的判定方法,由CM∥DB可判断△BND∽△CNM;
(2)先利用AD2=AB AF可证明△ADB∽△AFD,则∠1=∠F,再根据平行线的性质得∠F=∠4,∠2=∠3,所以∠3=∠4,加上∠NMC=∠CMD,于是可判断△MNC∽△MCD,所以MC:MD=CN:CD,然后利用CD=AB和比例的性质即可得到结论.
【详解】证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,
而BE=AB,
∴BE=CD,
而BE∥CD,
∴四边形BECD为平行四边形,
∴BD∥CE,
∵CM∥DB,
∴△BND∽△CNM;
(2)∵AD2=AB AF,
∴AD:AB=AF:AD,
而∠DAB=∠FAD,
∴△ADB∽△AFD,
∴∠1=∠F,
∵CD∥AF,BD∥CE,
∴∠F=∠4,∠2=∠3,
∴∠3=∠4,
而∠NMC=∠CMD,
∴△MNC∽△MCD,
∴MC:MD=CN:CD,
∴MC CD=MD CN,
而CD=AB,
∴CM AB=DM CN.
【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形.在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长.也考查了平行四边形的判定与性质.
20.(2023·江苏·九年级中考模拟)在中,,D为上一点,过D作DEBC交于点E,连接.设,求的取值范围.
【答案】
【分析】作AG⊥BC于F点,交DE于G点,设AD=x,首先结合相似三角形的判定与性质推出和的值,然后结合面积公式进行列式,得出二次函数解析式,最后结合二次函数的性质以及自变量的取值范围进行判断即可.
【详解】解:如图所示,作AG⊥BC于F点,交DE于G点,设AD=x,
∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴,
∴,
∴,
整理得:,
∵点D在AB上,,
∴,,
∴抛物线的开口向下,且当时,取得最大值为,
当和时,均有,
综上分析,的取值范围是.
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质,二次函数的性质运用等,掌握相似三角形的判定与性质推出相关线段的比例,以及熟练运用二次函数的性质分析是解题关键.
21.(2022·湖南常德·九年级校考期中)如图1,ΔABC中,AB=AC,点D在BA的延长线上,点E在BC上,DE=DC,点F是DE与AC的交点.
(1)求证:∠BDE=∠ACD;(2)若DE=2DF,过点E作EG//AC交AB于点G,求证:AB=2AG;
(3)将“点D在BA的延长线上,点E在BC上”改为“点D在AB上,点E在CB的延长线上”,“点F是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”,其它条件不变,如图2.
①求证:AB·BE=AD·BC;②若DE=4DF,请直接写出SΔABC:SΔDEC的值.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)①见解析;②.
【分析】(1)运用等腰三角形的性质及三角形的外角性质就可解决问题.
(2)如图1,证明△DCA≌△EDG(AAS),得AD=EG,根据等腰三角形的判定得:DG=AB,由平行线分线段成比例定理得:,由此可得结论;
(3)①如图2,作辅助线,构建三角形全等,证明△DCA≌△EDG(AAS),得DA=EG,再证明△ACB∽△GEB,列比例式可得结论;
②如图3,作辅助线,构建△ABC和△DCE的高线,先得,设AF=a,则EG=AD=4a,DG=16a,根据AH∥PD,得,设PD=3h,AH=4h,根据EG∥AC,同理得,设BE=y,BC=4y,利用三角形面积公式代入可得结论.
【详解】(1)证明:∵AC=AB,
∴∠ACB=∠B,
∵DC=DE,
∴∠DCE=∠DEC,
∴∠ACD+∠ACB=∠B+∠BDE,
∴∠BDE=∠ACD;
(2)证明:如图1,
∵EG∥AC,
∴∠DAC=∠DGE,∠BEG=∠ACB,
由(1)知:∠DCA=∠BDE,
∵DC=DE,
∴△DCA≌△EDG(AAS),
∴AD=EG,
∵∠B=∠ACB=∠BEG,
∴EG=BG=AD,
∴DG=AB,
∵DE=2DF,AF∥EG,
∴,
∴DG=2AD=2AG,
∴AB=DG=2AG;
(3)解:①如图2,过点E作EG∥AC,交AB的延长线于点G,
则有∠A=∠G,
∵AB=AC,CD=DE,
∴∠ACB=∠ABC,∠DCE=∠DEC,
∴∠ACD+∠DCE=∠EDG+∠DEC,
∴∠ACD=∠EDG,
在△DCA和△EDG中,
∵,
∴△DCA≌△EDG(AAS).
∴DA=EG,
∵AC∥EG,
∴△ACB∽△GEB,
∴,
∵EG=AD,AC=AB,
∴AB BE=AD BC;
②如图3,过A作AH⊥BC于H,过D作DP⊥BC于P,则AH∥PD,
∵AF∥EG,
∴,
∵DE=4DF,
∴,
设AF=a,则EG=AD=4a,DG=16a,
∵∠ACB=∠ABC,
∴∠GBE=∠BEG,
∴BG=EG=4a,
∴BD=12a,
∵AH∥PD,
∴,
设PD=3h,AH=4h,
∵EG∥AC,
∴,
设BE=y,BC=4y,
∴S△ABC=BC AH===8yh,
S△DCE=CE PD==yh,
∴S△ABC:S△DEC=8yh:yh=16:15.
【点睛】本题是三角形的综合题,考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、等腰三角形的性质和判定等知识,第三问有难度,利用参数表示各线段的长是本题的关键,综合性较强.
22.(2023秋·山西晋城·九年级校考期末)实践与探究:
如图1,在中,,,.点P是边上的动点(不与A,C重合),过点P作交于点M,于点N.
(1)求边上的高的长;(2)当时,求的长;(3)连接(如图2),是否存在点P使得与相似?若存在,请求出的长;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)的长为(2)的长为(3)存在,的长为或
【分析】(1)由勾股定理逆定理判断是直角三角形,且,根据,即,计算求解即可;
(2)设,证明,则,即,解得,证明,则,即,解得,由,可得,计算求解即可;
(3)设,由题意知,分与,两种情况求解:①当,则,证明,,由题意知,,则,即,解得,则,由,可得,即,解得,则,计算求解即可;②当,则,证明四边形是平行四边形,则,由题意知,,则,即,解得,则,由,可得,即,解得,根据,计算求解即可.
【详解】(1)解:∵,即,∴是直角三角形,且,
∴,即,解得,∴的长为;
(2)解:设,∵,∴,
∴,即,解得,
∵,,∴,
∴,即,解得,
∵,∴,解得,∴的长为;
(3)解:设,由题意知,分与,两种情况求解:
①当,则,∵,∴,
∴,,由题意知,,
∴,即,解得,则,
∵,∴,即,解得,
∴,解得,∴的长为;
②当,则,
∵,∴,
∴,∴四边形是平行四边形,
∴,由题意知,,
∴,即,解得,则,
∵,∴,即,解得,
∴,解得,∴的长为;
综上所述,存在,的长为或.
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理,相似三角形的判定与性质,平行线的性质,平行四边形的判定与性质等知识.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.
23.(2023·浙江杭州·统考中考真题)在边长为的正方形中,点在边上(不与点,重合),射线与射线交于点.
(1)若,求的长.(2)求证:.
(3)以点为圆心,长为半径画弧,交线段于点.若,求的长.
【答案】(1)(2)见解析(3)
【分析】(1)证明,利用相似三角形的对应边成比例求解;
(2)证明,利用相似三角形的对应边成比例证明;
(3)设,则,,在中,利用勾股定理求解.
【详解】(1)解:由题知,,若,则.
四边形是正方形,,
又,,,即,.
(2)证明:四边形是正方形,
,,,
,,.
(3)解:设,则,.
在中,,即,解得..
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定,勾股定理的应用,正方形的性质等,熟练掌握相关性质定理是解题的关键.
24.(2023·湖北武汉·统考模拟预测)问题背景:如图1,在四边形中,点F,E,G分别在上,,,求证:
尝试应用:如图 2,是的中线,点E在上,直线交于点G,直线交于点F,若,求的值.
迁移拓展:如图3,在等边中,点D在上,点E在上,若,,直接写出的值.(用含m的式子表示)
【答案】问题背景:见解析;尝试应用:;迁移拓展:
【分析】问题背景:根据,,推出,根据对应边成比例即可得到结论;
尝试应用:延长至D,使得,连接, 证得四边形是平行四边形,得到,由图(1)得,,即可得到,利用,得到;
迁移拓展:过点E作,交于点M,交于点N,得到也是等边三角形,推出,证明,得到,即,由图(1)可得,设,则,求出,即可得到.
【详解】问题背景:如图(1),证明:∵,,
∴,∴,∴;
尝试应用:如图(2),
解:延长至D,使得,连接,
∵是的中线,∴,
∵,∴四边形是平行四边形,
∴,
由图(1)得,,∴,∴,
∵,∴;
迁移拓展:如图(3),
过点E作,交于点M,交于点N,
∵是等边三角形,∴,
∵,∴,
∴也是等边三角形,∴∴,
又∵
∴∴,即,
∴由图(1)可得,
设,则,∴,
∴,∴.
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质,应用类比的方法解决问题,正确掌握相似三角形的判定和性质及类比方法是解题的关键.
25.(2022秋·广东清远·九年级统考期中)如图,在平行四边形中,,交于点,点是的中点,连接交于点,.
(1)求证:;(2)求的长;(3)若的面积为2,直接写出四边形的面积.
【答案】(1)见解析(2)的长为6(3)四边形的面积为5
【分析】(1)由题意易得,然后问题可求证;
(2)由(1)及题意易得,,,则有,设,然后可得,进而问题可求解;
(3)由题意易得,,然后问题可求解.
【详解】(1)证明:∵四边形是平行四边形,∴,
∴,,∴;
(2)解:∵四边形是平行四边形,∴,,
∵,∴,
∵为中点,∴,∴,∴,
设,∴,∴,,
∴,解得:,∴,∴的长为6;
(3)解:∵,∴,
∵的面积为2,∴,,
∴,∴,
∴四边形的面积为5.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质是解题是关键.
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专题4.8 相似三角形中的(双)A字模型与(双)8字模型
模块1:知识梳理
相似三角形是初中几何中的重要的内容,常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现,其变化很多,是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的(双)A字模型和(双)8(X)字模型.
A字型和8 (X )字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型,有的是直接作平行线,有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线), 这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。
模块2:核心模型与典例
模型1. “A”字模型
【模型解读与图示】
“A”字模型图形(通常只有一个公共顶点)的两个三角形有一个“公共角”(是对应角),再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例,就可以判定这两个三角形相似.
图1 图2 图3
1)“A”字模型 条件:如图1,DE∥BC;结论:△ADE∽△ABC ==.
2)反“A”字模型 条件:如图2,∠AED=∠B;结论:△ADE∽△ACB ==.
3)同向双“A”字模型
条件:如图3,EF∥BC;结论:△AEF∽△ABC,△AEG∽△ABD,△AGF∽△ADC
例1.(2022·浙江杭州·中考真题)如图,在ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,连接DE,EF,已知四边形BFED是平行四边形,.(1)若,求线段AD的长.(2)若的面积为1,求平行四边形BFED的面积.
例2.(2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习)如图,在三角形纸片中,,,,若沿的垂直平分线线前下,则的长为 .
例3.(2021·山东菏泽·中考真题)如图,在中,,垂足为,,,四边形和四边形均为正方形,且点、、、、、都在的边上,那么与四边形的面积比为______.
例4.(2022·浙江宁波·中考真题)(1)如图1,在中,D,E,F分别为上的点,交于点G,求证:.
(2)如图2,在(1)的条件下,连接.若,求的值.
(3)如图3,在中,与交于点O,E为上一点,交于点G,交于点F.若平分,求的长.
例5. (2022 安庆一模)如图,在△ABC中,点D、E、F分别在边BC、AB、CA上,且DE∥CA,DF∥AB.(1)若点D是边BC的中点,且BE=CF,求证:DE=DF;(2)若AD⊥BC于D,且BD=CD,求证:四边形AEDF是菱形;(3)若AE=AF=1,求+的值.
模型2. “X”字模型(“8”模型)
【模型解读与图示】
“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”,再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似.
图1 图2 图3 图4
1)“8”字模型
条件:如图1,AB∥CD;结论:△AOB∽△COD ==.
2)反“8”字模型
条件:如图2,∠A=∠D;结论:△AOB∽△DOC ==.
3)平行双“8”字模型
条件:如图3,AB∥CD;结论:
4)斜双“8”字模型
条件:如图4,∠1=∠2;结论:△AOD∽△BOC,△AOB∽△DOC ∠3=∠4.
例1.(2022·内蒙古包头·中考真题)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,A,B,C,D四个点均在格点上,与相交于点E,连接,则与的周长比为( )
A.1:4 B.4:1 C.1:2 D.2:1
例2.(2023·黑龙江·哈尔滨九年级阶段练习)如图,,,分别交于点G,H,则下列结论中错误的是( )
A. B. C. D.
例3.(2021·上海·中考真题)如图,在梯形中,是对角线的中点,联结并延长交边或边于E.
(1)当点E在边上时,①求证:;②若,求的值;
(2)若,求的长.
模型3. “AX”字模型(“A8”模型)
【模型解读与图示】
图1 图2 图3
1)一“A”一“8”模型
条件:如图1,DE∥BC;结论:△ADE∽△ABC,△DEF∽△CBF
2)两“A”一“8”模型
条件:如图2,DE∥AF∥BC;结论:.
3)四“A”一“8”模型
条件:如图3,DE∥AF∥BC,;结论:AF=AG
例1.(2022 惠山区一模)如图,D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点,且DE∥BC,BE、CD相交于点O,若S△DOE:S△EOC=1:3,则当S△ADE=1时,四边形DBCE的面积是 .
例2.(2020·浙江·杭州启正中学九年级期中)如图,中,中线,交于点,交于点.(1)求的值.(2)如果,,请找出与相似的三角形,并挑出一个进行证明.
例3.(2023·浙江·九年级期中)图,,点H在BC上,AC与BD交于点G,AB=2,CD=3,求GH的长.
例4.(2022 安庆模拟)在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O.
(1)如图①,若四边形ABCD为矩形,过点O作OE⊥BC,求证:OE=CD.
(2)如图②,若AB∥CD,过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F.求证:=2.
(3)如图③,若OC平分∠AOB,D、E分别为OA、OB上的点,DE交OC于点M,作MN∥OB交OA于一点N,若OD=8,OE=6,直接写出线段MN长度.
模块3:同步培优题库
全卷共25题 测试时间:80分钟 试卷满分:120分
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2023·浙江·九年级专题练习)如图,,,分别交于点G,H,则下列结论中错误的是( )
A. B. C. D.
2. (2021·山东淄博·中考真题)如图,相交于点,且,点在同一条直线上.已知,则之间满足的数量关系式是( )
A. B. C. D.
3.(2023春·黑龙江哈尔滨·九年级校考期末)如图,中,是它的角平分线,是上的一点,交于点,交于点为的中点,若,,则( )
A. B. C. D.
4.(2023·浙江九年级期中)如图,在平行四边形ABCD中,E为边AD的中点,连接AC,BE交于点F.若△AEF 的面积为2,则△ABC的面积为( )
A.8 B.10 C.12 D.14
5.(2023秋·山西阳泉·九年级统考期末)如图,在四边形中,,对角线与相交于点E,,,,,则对角线与的长分别是( )
A., B.,
C., D.,
6.(2022秋·山西晋中·九年级统考阶段练习)如图,点F在平行四边形的边上,延长交的延长线于点E,交于点O,若,则的值为( )
A. B. C.2 D.
7.(2023春·福建福州·八年级校考期末)如图,已知四边形为矩形,点E在的延长线上,.连接,于点G.若交于点F,,则的长度是( )
A. B. C.6 D.
8.(2023春·山东烟台·八年级统考期末)如图,在矩形中,是边的中点,于点,则下列结论:①;②;③.其中正确结论的个数是( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
9.(2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习)如图,将平行四边形绕点A逆时针旋转到平行四边形的位置,使点落在上,与交于点E,若,,,则的长为( )
A. B. C. D.1
10.(2023春·山东淄博·八年级统考期末)如图,矩形,,,点是边上的动点,点F是射线BC上的动点,且,连接,.若,则m的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在横线上)
11.(2023春·山东烟台·八年级统考期末)如图,在正方形方格纸中,每个小的四边形都是相同的正方形,A、B、C、D都在格点处,与相交于O,则 .
12.(2022秋·山西晋城·九年级统考期末)如图,点G是的重心,连接、并延长分别交、于点D,E,连接,则 .
13.(2023·广东深圳·校考三模)如图,在中,,D是上一点,点E在上,连接交于点F,若,则= .
14.(2023春·山东东营·八年级统考期末)如图,在中,D,E,F分别是,,上的点,且,,,,则 cm.
15.(2022秋·山西吕梁·九年级校考阶段练习)如图,在中,的垂直平分线与的延长线交于点,与交于点,若,则的长为 .
16.(2023春·重庆九龙坡·八年级校考期末)如图,小明站在两路灯之间的点处,两路灯底部的距离,两路灯的高度均为,小明身高,他在路灯下的影子,在路灯下的影子为,则 .
17.(2023·湖北十堰·统考中考真题)如图,在菱形中,点E,F,G,H分别是,,,上的点,且,若菱形的面积等于24,,则 .
18.(2023春·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考期末)如图,已知在中,,,是边上的一点,与交于点,若,则 .
三、解答题(本大题共7小题,共66分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(2023·浙江·九年级专题练习)已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,在边AB的延长线上截取BE=AB,点F在AE的延长线上,CE和DF交于点M,BC和DF交于点N,联结BD.
(1)求证:△BND∽△CNM;(2)如果AD2=AB AF,求证:CM AB=DM CN.
20.(2023·江苏·九年级中考模拟)在中,,D为上一点,过D作DEBC交于点E,连接.设,求的取值范围.
21.(2022·湖南常德·九年级校考期中)如图1,ΔABC中,AB=AC,点D在BA的延长线上,点E在BC上,DE=DC,点F是DE与AC的交点.
(1)求证:∠BDE=∠ACD;(2)若DE=2DF,过点E作EG//AC交AB于点G,求证:AB=2AG;
(3)将“点D在BA的延长线上,点E在BC上”改为“点D在AB上,点E在CB的延长线上”,“点F是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”,其它条件不变,如图2.
①求证:AB·BE=AD·BC;②若DE=4DF,请直接写出SΔABC:SΔDEC的值.
22.(2023秋·山西晋城·九年级校考期末)实践与探究:
如图1,在中,,,.点P是边上的动点(不与A,C重合),过点P作交于点M,于点N.
(1)求边上的高的长;(2)当时,求的长;(3)连接(如图2),是否存在点P使得与相似?若存在,请求出的长;若不存在,请说明理由.
23.(2023·浙江杭州·统考中考真题)在边长为的正方形中,点在边上(不与点,重合),射线与射线交于点.(1)若,求的长.(2)求证:.
(3)以点为圆心,长为半径画弧,交线段于点.若,求的长.
24.(2023·湖北武汉·统考模拟预测)问题背景:如图1,在四边形中,点F,E,G分别在上,,,求证:
尝试应用:如图 2,是的中线,点E在上,直线交于点G,直线交于点F,若,求的值.
迁移拓展:如图3,在等边中,点D在上,点E在上,若,,直接写出的值.(用含m的式子表示)
25.(2022秋·广东清远·九年级统考期中)如图,在平行四边形中,,交于点,点是的中点,连接交于点,.
(1)求证:;(2)求的长;(3)若的面积为2,直接写出四边形的面积.
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