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专题4.9. 相似三角形的母子模型（共边共角模型）
模块1：知识梳理
相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。
母子相似证明题一般思路方法:
①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；
②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；
③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；
④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。
模块2：核心模型与典例
模型1.“母子”模型(共边角模型)
【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．
图1 图2 图3
1）“母子”模型（斜射影模型）
条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.
2）双垂直模型（射影模型）
条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；
结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
3）“母子”模型（变形）
条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA；
例1．（2022秋·山西吕梁·九年级校考阶段练习）如图，在中，是边上的一点，当 时，．
【答案】
【分析】根据相似三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：∵，∴，即，∴，
∴当时，，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．
例2．（2023·广东·九年级课时练习）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝_______．
【答案】
【分析】证明△BCD∽△BAC，根据相似三角形的性质列式计算即可．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACB＝∠CDB＝90°，
∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，
∴＝，即＝，∴,
∵∴BC＝，故答案为：．
【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，牢记相关知识点并能结合图形灵活应用是解题关键．
例3.（2022.山西九年级期中）如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC BD．
证明：（1）∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°，
∵∠APB＝120°，∴∠APC+∠BPD＝60°，
∵∠CAP+∠APC＝60°∴∠BPD＝∠CAP， ∴△ACP∽△PDB；
（2）由（1）得△ACP∽△PDB，∴，
∵△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝CD，
∴，∴CD2＝AC BD．
例4．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，中，，点为上一点，且．交于，交的延长线于．
（1）求证：；（2）若，，求．
【答案】(1)见解析;(2).
【分析】(1)根据已知条件得到，，所以，根据余角的性质得到，得到∽，根据相似三角形的性质得到，等量代换即可得到结论;
(2)根据得到,根据勾股定理得到,根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结果.
【详解】（1）∵，∴．
又∵，，∴．
而，，∴，∴，∴．
又，，∴∽，
∴，∴，∴．
（2）由（1）可知，而，，
∴，∴，∴在中根据勾股定理可知．
∵∽，∴，．
【点睛】本题是考查相似三角形判定定理和性质，能够掌握相似三角形的判定定理和性质是解题关键
例5．（2022.浙江中考模拟）如图，在ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．
（1）图1中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）：
（2）已知AB＝5，AC＝4，请你求出CD的长：
（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）3，ABC∽ACD，ABC∽CBD，ACD∽CBD；（2）；（3）存在，(，)，(，)
【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．（2）先在△ABC中由勾股定理求出BC的长，再根据△ABC的面积不变得到AB CD＝AC BC，即可求出CD的长．（3）由于∠B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，分两种情况进行讨论：①△PQB∽△ACB；②△QPB∽△ACB．
【详解】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．
证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB
同理可证：△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．
故答案为：3；△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．
（2）如图2中，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝＝＝3．
∵△ABC的面积＝AB CD＝AC BC，∴CD＝＝．
（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：
在△BOC中，∵∠COB＝90°，BC＝3，OC＝，∴OB＝．
分两种情况：①当∠BQP＝90°时，如图2①，此时△PQB∽△ACB，
∴＝，∴，解得t＝，即，∴．
在△BPQ中，由勾股定理，得，∴点P的坐标为；
②当∠BPQ＝90°时，如图2②，此时△QPB∽△ACB，∴，∴，
解得t＝，即，
过点P作PE⊥x轴于点E．∵△QPB∽△ACB，∴，即，∴PE＝．
在△BPE中，，
∴，∴点P的坐标为，
综上可得，点P的坐标为(，)；(，)．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
例6．（2022·浙江绍兴·九年级期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．
（1）如果与互为母子三角形，则的值可能为（ ）
A．2 B． C．2或
（2）已知：如图1，中，是的角平分线，．
求证：与互为母子三角形．
（3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值．
【答案】（1）C；（2）见解析；（3）或3．
【分析】（1）根据互为母子三角形的定义即可得出结论；
（2）根据两角对应相等两三角形相似得出，再根据从而得出结论；（3）根据题意画出图形，分当分别在线段上时和当分别在射线上时两种情况加以讨论；
【详解】（1）∵与互为母子三角形，∴或2故选：C
（2）是的角平分线，，，．
又，与互为母子三角形．
（3）如图，当分别在线段上时，
与互为母子三角形，，，
是中线，，又，．
，，．
如图，当分别在射线上时，
与互为母子三角形，，，
是中线，，又，．
，，．综上所述，或3
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、分类讨论的数学思想以及接受与理解新生事物的能力．准确理解题设条件中互为母子三角形的定义是正确解题的先决条件，在分析与解决问题的过程中，要考虑全面，进行分类讨论，避免漏解．
模块3：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在中，是边上的点，，，则与的周长比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先证明△ACD∽△ABC，即有，则可得，问题得解．
【详解】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，
∵，∴，∴，
∴△ADC与△ACB的周长比1:2，故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD∽△ABC是解答本题的关键．
2．（2023·山西晋中·九年级统考阶段练习）如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可．
【详解】解：A、由，满足两组对角相等，可判断，故此选项不符合题意；
B、由，满足两组对角相等，可判断，故此选项不符合题意；
C、由，但夹角不相等，不能判断，故此选项符合题意；
D、由，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故此选项不符合题意，故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键．
3、如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分别为D、E两点，则图中与△ABC相似的三角形有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解析】∵在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，
∴∠A＝∠EBD＝∠CDE，∴△ADB∽△BED∽△DEC∽△BDC∽△ABC，
∴共有四个三角形与Rt△ABC相似．故选：A．
4．（2022·浙江衢州·统考中考真题）如图，在中，．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线分别交，于点．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结．则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线的判定与性质即可判断选项A；先根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质可得，由此即可判断选项B；先假设可得，再根据角的和差可得，从而可得，由此即可判断选项C；先根据等腰三角形的判定可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质可得，最后根据等量代换即可判断选项D．
【详解】解：由题意可知，垂直平分，，，则选项A正确；
，，
，，，，
，，
，，则选项B正确；
假设，，
又，
，
，与矛盾，则假设不成立，选项C错误；
，，，
在和中，，，
，即，，则选项D正确；故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的性质、相似三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握判定定理与性质是解题关键．
5.（2023成都市九年级期中）如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵，∴设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，∴ACa，
∵BF⊥AC，∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，∴BC2＝CE CA，AB2＝AE AC
∴a2＝CE a，4a2＝AE a，∴CE，AE，∴，
∵△CEF∽△AEB，∴（）2，故选：A．
6.（2023浙江九年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．如果BD＝4，CD＝6，那么BC：AC是（ ）
A．3：2 B．2：3 C． D．．
【答案】B
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，
∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD，
∴∴，故选：B．
二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
7．（2023·山西晋城·九年级统考期末）如图，D是的边上一点，已知，，，若的面积为9，则的面积为 ．
【答案】3
【分析】首先证明，得，从而，即可得出答案．
【详解】解：，，，
，，的面积为9，，故答案为：3．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质．
8．（2023春·辽宁阜新·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，为边上的一点，且，若的面积为4，那么的面积为 ．
【答案】16
【分析】通过证明，得到相似比，由相似三角形的性质可求解．
【详解】解：∵，，∴，
∴，则相似比为，∴，
∵的面积为4，∴的面积为16，故答案为：16．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
9．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为，则的面积为 ．
【答案】
【分析】过点作交的延长线于点，证明，得出，根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点，∴
由作图可得是的角平分线，∴
∵∴ ∵∴
∴ ∴，
∵的面积为，∴的面积为，故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，作角平分线，熟练掌握基本作图以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
10．（2023 宜宾）如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝4，BC＝3，则AD＝ ．
【分析】根据勾股定理求出AB，根据射影定理列式计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝＝5，由射影定理得，AC2＝AD AB，
∴AD＝＝，故答案为：．
【点评】本题考查的是射影定理、勾股定理，在直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
11．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，中，点在边上，且，若，，则的长为 ．
【答案】2
【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质可得出，代入AC、AD的值可求出AB的长，再根据BD=AB-AD即可求出结论．
【详解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD，∴．
∵AC=，AD=1，∴，∴AB=3，
∴BD=AB-AD=3-1=2．故答案为2
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的判定定理是解题的关键．
12．（2020·山西·统考中考真题）如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为 ．
【答案】
【分析】过点F作FH⊥AC于H，则∽，设FH为x，由已知条件可得，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到关于x的方程，解方程求出x的值，利用即可得到DF的长．
【详解】如解图，过点作于，
∵，∴，∴，
∵，点是的中点，∴，
∵，∴∽∴∴，
设为，则，由勾股定理得，
又∵，∴，
则，∵且，
∴∽，∴，即，解得，∴．
∵∴∴
∴故答案为：
【点睛】本题考查相似的判定和性质、以及勾股定理的运用，解题的关键是作垂直，构造相似三角形．
13．（2023 姑苏区校级二模）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD，连结DM、DN、MN．若AB＝10，则DN＝ ．
【分析】连接CM，根据直角三角形的性质求出CM，根据三角形中位线定理得到MN∥BC，MN＝BC，证明四边形NDCM为平行四边形，根据平行四边形的对边相等解答即可．
【解答】解：连接CM，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，M是AB的中点，∴CM＝AB＝5，
∵M，N分别是AB、AC的中点，∴MN∥BC，MN＝BC，
∵CD＝BD，∴CD＝BC，，∴CD＝MN，
∵MN∥BC，∴四边形NDCM为平行四边形，∴DN＝CM＝5，故答案为：5．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
14．（2021·四川南充·中考真题）如图，在中，D为BC上一点，，则的值为________．
【答案】．
【分析】证明△ABD∽△CBA，根据相似三角形的性质即可解答．
【详解】∵，
∴，，
∴，
∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBA，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，证明△ABD∽△CBA是解决问题的关键．
15．（2023春·山东威海·九年级校联考期中）如图，中，点在上，，若，，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】延长到，使，连接，可得等腰和等腰，，再证明，利用相似三角形对应边成比例即可求出．
【详解】解：如图所示，延长到，使，连接，∴
∵，，∴，
∴，∴，即，
解得：，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质和相似三角形的判定和性质，利用已知二倍角关系①构造等腰和②构造等腰是解题关键．
16．（2023·江苏盐城·校考一模）如图，在中，AB=AC=4，，点D为边AC上一动点（点C除外），将线段BD绕点D顺时针旋转至ED，连接CE，则面积的最大值为
【答案】
【分析】设CD=x，过A作与Z，过B作的延长线于N，过E作的延长线于M，由得到，再利用勾股定理求出NC，证出，即可得出结果；
【详解】设CD=x，过A作与Z，过B作的延长线于N，过E作的延长线于M，如图所示：
∵AB=AC，
∴，
∵AC=4，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，解得，
根据勾股定理得，
∴，
根据题意可得，
即可得到,
线段BD绕点D顺时针旋转至ED
∴，
∴ME=DN=CN-CD=，
∴，
∴面积最大时，，
此时．
【点睛】本题主要考查了相似三角形、等腰三角形的性质以及勾股定理的灵活应用，做出辅助线是解题的关键．
17．（2023春·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AC的中点，点E在BC上，分别连接BD、AE交于点F．若∠BFE＝45°，则CE＝ ．
【答案】．
【分析】过点A，B分别作BC，AC的平行线交于点K，则四边形ACBK为矩形，过点A作AM∥DB交KB于点M，过点M作MN⊥AM交AE的延长线于点N，过点N作BC的平行线分别交AC，KB的延长线于点H，Q，则四边形CHBQ为矩形，证明△AKM≌△MQN（AAS），得出KM＝NQ，MQ＝AK＝8，证明△ACE∽△AHN，可求出CE的长．
【详解】解：过点A，B分别作BC，AC的平行线交于点K，则四边形ACBK为矩形，
过点A作AM∥DB交KB于点M，过点M作MN⊥AM交AE的延长线于点N，
过点N作BC的平行线分别交AC，KB的延长线于点H，Q，
则四边形CHBQ为矩形，
∵∠BFE＝45°，AM∥BD，
∴∠BFE＝∠MAN＝45°，
∴△AMN为等腰直角三角形，
∴AM＝MN，
∵∠AMK+∠NMQ＝∠AMK+∠MAK＝90°，
∴∠NMQ＝∠MAK，
又∵∠AKM＝∠MQN＝90°，
∴△AKM≌△MQN（AAS），
∴KM＝NQ，MQ＝AK＝8，
∵D为AC的中点，AC＝6，
∴AD＝DC＝BM＝3，
∴MK＝NQ＝3，
∴BQ＝CH＝5，
∴HN＝HQ﹣NQ＝8﹣3＝5，
∵CE∥HN，
∴△ACE∽△AHN，
∴，
即，
∴CE＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
18．（2023·浙江杭州·中考模拟）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝ ，BE＝ ．
【答案】 2 ﹣1
【分析】先根据矩形的性质得到，，再根据折叠的性质得到，，，然后根据全等三角形的性质得到；最后根据相似三角形的性质即可得BE的值．
【详解】∵四边形ABCD是矩形
∴，
∵把沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处
∴，，
∴，
∴
∴
在和中，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴，即
∴
解得或（不符题意，舍去）
则
故答案为：2，．
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，根据矩形与折叠的性质，正确找出两个相似三角形是解题关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．
【答案】见解析．
【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可．
【详解】解：若选①，
证明：∵，
∴，，∴，
∵，∴，∴，
又，∴．
选择②，不能证明．
若选③，
证明：∵，∴，∴，
又∵，∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
20.（2022 惠山区九年级专项）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90o，AD⊥BC于D．（1）图中有多少对相似三角形？（2）求证：AB2=BDBC，AC2=CDCB，AD2=BDCD；（3）求证：ABAC=BCAD
【解析】（1）三对．分别是：△ABD ∽△CBA；△ACD ∽△BCA；△ABD ∽△CAD
（2）∵△ABD ∽△CBA，∴．∴AB2=BDBC，∵△ACD ∽△BCA
∴．∴AC2=CDCB，∵△ABD ∽△CAD，∴，∴AD2=BCCD
（3），∴ABAC=BCAD
21．（2023春·山东东营·八年级统考期末）定义：如图①，若点P在的边上，且满足，则称点P为的“理想点”．(1)如图②，若点D是的边的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由．(2)在中，，，，若点D在边上，且是的“理想点”，求的长．
【答案】(1)是，证明见解析(2)
【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”；
（2）由是的“理想点”，当在上时，证明是边上的高，根据面积法可求长度．
【详解】（1）解：点是的“理想点”，理由如下：
是中点，，，，
，，，，
，，，点是的“理想点”；
（2）在上时，如图：
是的“理想点”，或，
当时，，，
，即是边上的高，
当时，同理可证，即是边上的高，
在中，，，，，
，．
【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义．
22．（2023春·福建福州·八年级校考期末）如图，点是边上一点，且满足．(1)证明：；(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据相似三角形的判断方法，两角分别相等的两个三角形相似，证明即可；
（2）根据相似三角形的性质，得，先求出，即可求出．
【详解】（1）证明：在与中
，，∴；
（2）解：∵，
∴，即，
∴，，∴，
又∵，，∴，
解得：，∴，．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
23．（2023·山西临汾·统考二模）阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
规定：在一个三角形中，若一个内角是另一个内角度数的n倍，则称三角形为“n倍角三角形”．当时，称为“1倍角三角形”，显然等腰三角形是“1倍角三角形”；当时，称为“2倍角三角形”，小康通过探索后发现：“2倍角三角形”的三边有如下关系．
如图，在中，所对的边分别为，若，则．
下面是小康对“2倍角三角形”的结论的两种探索证明过程：
证法1：如图1，作的平分线，∴．
设，则．
证法2：如图2，延长到点，使得，连接，
……
任务：(1)上述材料中的证法1是通过作辅助线，构造出__________三角形来加以证明的（填“全等”或“相似”）．
(2)请补全证法2剩余的部分．
【答案】(1)相似(2)见解析
【分析】（1）由题意知，是通过构造相似三角形，然后作答即可；
（2）如图2，延长到点，使得，连接，则，．由，可得．证明，则，即，整理可得．
【详解】（1）解：由题意知，构造相似三角形，故答案为：相似；
（2）证明：如图2，延长到点，使得，连接，
，．
，．
，，
，，．
【点睛】本题考查了等边对等角，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
24．（2023·安徽合肥·九年级期中）中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H．
（1）求证：；（2）求证：；（3）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4．
【分析】（1）先根据垂直的定义可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得证；
（2）先根据相似三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，然后根据平行线分线段成比例定理即可得证；
（3）先根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得的长，再根据相似三角形的判定可得，然后利用相似三角形的性质可求出的长，最后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】证明：（1），
，，，
在和中，，；
（2）点为的中点，，
由（1）已证：，，
设，则，，
，（等腰三角形的三线合一），
，又，，即；
（3）由（2）已证：，，
，，，即，
解得，，
，，，
在和中，，
，，
由（2）可知，设，则，
，解得或（不符题意，舍去），，
则在中，．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
25．如图1，在中，在边上取一点，在边上取一点，连、，如果是等腰三角形且与相似，我们称是边上的“等腰邻相似三角形”．
（1）如图2，在中，，是边上的“等腰邻相似三角形”，且，，请直接写出的度数；（2）如图3，在中，，在边上至少存在一个“等腰邻相似”，请画出一个边上的“等腰邻相似”，并说明理由；（3）如图4，在中，是边上的“等腰邻相似三角形”，求出长度的所有可能值．
【答案】（1）30°；（2）见解析；（3）2或或8-
【分析】（1）只要证明∠A=∠PAB即可解决问题．（2）如图3中，作∠BAC的平分线AP交BC于P，作PD∥AB交AC于D，只要证明DP=DA，即可解决问题．（3）分三种情形讨论①如图3′中，当DA=DP时．②如图4中，当PA=PD时．③如图5中，当AP=AD时．分别求解即可解决问题．
【详解】解：（1）如图2中，
∵AB=AC，DA=DP，∴∠B=∠C，∠DAP=∠DPA，∵∠PAC=∠BPD，∴∠APC=∠BDP=∠DAP+∠DPA，
∵∠APC=∠B+∠BAP，∴∠B=∠PAB=50°，∵∠BAC=180°-50°-50°=80°，∴∠PAC=30°故答案为30°．
（2）如图3中，作∠BAC的平分线AP交BC于P，作PD∥AB交AC于D，
∴∠BAP=∠PAD=∠DPA，∠CPD=∠B，∵∠CAB=2∠C，
∴∠PAD=∠C，∴DP=DA，∴△APD是等腰三角形且与△APB与△CDP相似．
（3）如图3′中，当DA=DP时，设∠APD=∠DAP=x，
①若∠BPD=∠CAP=90°-x，∠BDP=∠CPA=2x，
∴90°-x+2x+x=180°，∴x=45°，∴三角形都是等腰直角三角形，∴AD=2，
②若∠PDB=∠CAP时，设∠APD=∠DAP=x，得到∠PDB=∠CAP=2x，易知x=30°，
设AD=a，则AP=a，∵△BPD∽△CPA，
∴，即，解得：a=，
如图4中，当PA=PD时，易知∠PDB是钝角，∠CAP是锐角，∴∠PDB=∠CPA，则△BPD≌△CPA，
设AD=a，则BD=4-a，BP=BC-CP=BC-BD=-（2-a）=-4+a，AC=4，
∴-4+a=4，解得：a=8-，如图5中，当AP=AD时，设∠APD=∠ADP=x，则∠DAP=180°-2x，易知∠PDB为钝角，∠CAP为锐角，
∴∠PDB=∠CPA=180°-x，∠CAP=90°-∠DAP=90°-（180°-2x）=2x-90°，
在△APC中，2x-90°+180°-x+45°=180°，解得x=45°，不可能成立．
综上所述．AD的长为2或或8-．
【点睛】本题考查相似三角形综合题、等腰直角三角形的性质、角平分线的定义、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用构建方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
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专题4.9. 相似三角形的母子模型（共边共角模型）
模块1：知识梳理
相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。
母子相似证明题一般思路方法:
①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；
②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；
③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；
④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。
模块2：核心模型与典例
模型1.“母子”模型(共边角模型)
【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．
图1 图2 图3
1）“母子”模型（斜射影模型）
条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.
2）双垂直模型（射影模型）
条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；
结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
3）“母子”模型（变形）
条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA；
例1．（2022秋·山西吕梁·九年级校考阶段练习）如图，在中，是边上的一点，当 时，．
例2．（2023·广东·九年级课时练习）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝_______．
例3.（2022.山西九年级期中）如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC BD．
例4．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，中，，点为上一点，且．交于，交的延长线于．
（1）求证：；（2）若，，求．
例5．（2022.浙江中考模拟）如图，在ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．
（1）图1中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）：
（2）已知AB＝5，AC＝4，请你求出CD的长：
（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
例6．（2022·浙江绍兴·九年级期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．
（1）如果与互为母子三角形，则的值可能为（ ）
A．2 B． C．2或
（2）已知：如图1，中，是的角平分线，．
求证：与互为母子三角形．
（3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值．
模块3：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在中，是边上的点，，，则与的周长比是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·山西晋中·九年级统考阶段练习）如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3、如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分别为D、E两点，则图中与△ABC相似的三角形有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（2022·浙江衢州·统考中考真题）如图，在中，．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线分别交，于点．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结．则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
5.（2023成都市九年级期中）如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
6.（2023浙江九年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．如果BD＝4，CD＝6，那么BC：AC是（ ）
A．3：2 B．2：3 C． D．．
二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
7．（2023·山西晋城·九年级统考期末）如图，D是的边上一点，已知，，，若的面积为9，则的面积为 ．
8．（2023春·辽宁阜新·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，为边上的一点，且，若的面积为4，那么的面积为 ．
9．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为，则的面积为 ．
10．（2023 宜宾）如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝4，BC＝3，则AD＝ ．
11．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，中，点在边上，且，若，，则的长为 ．
12．（2020·山西·统考中考真题）如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为 ．
13．（2023 姑苏区校级二模）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD，连结DM、DN、MN．若AB＝10，则DN＝ ．
14．（2021·四川南充·中考真题）如图，在中，D为BC上一点，，则的值为________．
15．（2023春·山东威海·九年级校联考期中）如图，中，点在上，，若，，则线段的长为 ．
16．（2023·江苏盐城·校考一模）如图，在中，AB=AC=4，，点D为边AC上一动点（点C除外），将线段BD绕点D顺时针旋转至ED，连接CE，则面积的最大值为 。
17．（2023春·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AC的中点，点E在BC上，分别连接BD、AE交于点F．若∠BFE＝45°，则CE＝ ．
18．（2023·浙江杭州·中考模拟）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝ ，BE＝ ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．
20.（2022 惠山区九年级专项）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90o，AD⊥BC于D．（1）图中有多少对相似三角形？（2）求证：AB2=BDBC，AC2=CDCB，AD2=BDCD；（3）求证：ABAC=BCAD
21．（2023春·山东东营·八年级统考期末）定义：如图①，若点P在的边上，且满足，则称点P为的“理想点”．(1)如图②，若点D是的边的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由．(2)在中，，，，若点D在边上，且是的“理想点”，求的长．
22．（2023春·福建福州·八年级校考期末）如图，点是边上一点，且满足．(1)证明：；(2)若，，求的长．
23．（2023·山西临汾·统考二模）阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
规定：在一个三角形中，若一个内角是另一个内角度数的n倍，则称三角形为“n倍角三角形”．当时，称为“1倍角三角形”，显然等腰三角形是“1倍角三角形”；当时，称为“2倍角三角形”，小康通过探索后发现：“2倍角三角形”的三边有如下关系．
如图，在中，所对的边分别为，若，则．
下面是小康对“2倍角三角形”的结论的两种探索证明过程：
证法1：如图1，作的平分线，∴．
设，则．
证法2：如图2，延长到点，使得，连接，
……
任务：(1)上述材料中的证法1是通过作辅助线，构造出__________三角形来加以证明的（填“全等”或“相似”）．
(2)请补全证法2剩余的部分．
24．（2023·安徽合肥·九年级期中）中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H．
（1）求证：；（2）求证：；（3）若，求的长．
25．如图1，在中，在边上取一点，在边上取一点，连、，如果是等腰三角形且与相似，我们称是边上的“等腰邻相似三角形”．
（1）如图2，在中，，是边上的“等腰邻相似三角形”，且，，请直接写出的度数；（2）如图3，在中，，在边上至少存在一个“等腰邻相似”，请画出一个边上的“等腰邻相似”，并说明理由；（3）如图4，在中，是边上的“等腰邻相似三角形”，求出长度的所有可能值．
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