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专题4.11 相似三角形中的一线三等角模型（k字模型）
模块1：知识梳理
相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模块2：核心模型与典例
模型1.一线三等角模型（相似模型）
【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．
1）一线三等角模型（同侧型）
（锐角型） （直角型） （钝角型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED.
2）一线三等角模型（异侧型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC.
3）一线三等角模型（变异型）
图1 图2图3
①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.
②一线三直角变异型1：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
③一线三直角变异型2：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.
例1．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】证明，根据题意得出，进而即可求解．
【详解】解：∵为等边三角形， ∴，
∵，，
∴，∴∴
∵，∴，∴
∵∴，故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
例1．（2023·浙江·九年级专题练习）如图①，在等边三角形ABC中，点D是边BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边向右作等边△ADE，边DE与AC相交于点F，设BD＝x，CF＝y，若y与x的函数关系的大致图象如图②所示，则等边三角形ABC的面积为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据相似三角形的判定与性质推出y与x的函数关系式，然后利用函数的性质以及图象确定出△ABC的边长，从而求解面积即可．
【详解】解：∵△ABC，△ADE为等边三角形，∴∠B＝∠ADE＝60°，
∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∴∠CDE＝∠BAD，
又∵∠B＝∠C＝60°，∴△ABD∽△DCF，∴，
设AB＝BC＝a，∵BD＝x，CF＝y，
∴，即．
∵，，对称轴为直线，
∴当时，y取得最大值，此时，由图象可知，
∴a＝6，∴等边三角形ABC的面积为．故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，二次函数的性质等，熟练根据相似三角形的判定与性质推出二次函数解析式，利用二次函数的性质分析是解题关键．
例2．（2022秋·辽宁鞍山·九年级统考期中）如图，在四边形中，，，，，为边上的动点，当时， ．
【答案】或
【分析】根据相似三角形的性质得，再将相关的数据代入得，再计算即可．
【详解】解：，，
，，，，
解得或．故答案为：或．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题关键．
例3．（2023·浙江·九年级专题练习）（1）问题
如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．
（2）探究：若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5
【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可．
【详解】解：（1）证明：如图1，
，
，，
又，
；
（2）结论仍成立；理由：如图2，
，
又，，
，，
又，，
；
（3）,,,
是等腰直角三角形
是等腰直角三角形
又即
解得．
【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键．
例4．（2022 广东中考模拟）（1）模型探究：如图1，、、分别为三边、、上的点，且，与相似吗？请说明理由.
（2）模型应用：为等边三角形，其边长为，为边上一点，为射线上一点，将沿翻折，使点落在射线上的点处，且.①如图2，当点在线段上时，求的值；
②如图3，当点落在线段的延长线上时，求与的周长之比.
【答案】（1），见解析；（2）①；②与的周长之比为.
【分析】（1）根据三角形的内角和得到，即可证明；
（2）①设，，根据等边三角形的性质与折叠可知，，，根据三角形的内角和定理得，即可证明，故，再根据比例关系求出的值；②同理可证，得，得，再得到，再根据相似三角形的性质即可求解.
【详解】解（1），
理由：，在中，，
，，
，，，；
（2）①设，，是等边三角形，，，
由折叠知，，，，
在中，，，
，，
，，
，，，
，，
，，，；
②设，，是等边三角形， ，，
由折叠知，，，，
在中，，，
，，，
，，，
，，，
，，.
.与的周长之比为.
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及相似三角形的判定与性质.
例5．（2023·浙江·九年级专题练习）在中，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）．
（1）如图，若点在线段上运动，交于．
①求证：；②当是等腰三角形时，求的长；
（2）如图，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出线段的长度；若不存在，请简要说明理由；
（3）若点在的反向延长线上运动，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由．
【答案】（1）①见解析，②2或或1；（2）存在，2；（3）不存在，见解析
【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质得到，再证，根据相似三角形的判定定理证明即可；②根据等腰三角形的性质，分，和三种情况讨论，再根据相似三角形的性质求解；（2）先证得，再根据相似三角形的性质计算即可；
（3）根据三角形内角和定理以及三角形外角的性质定理，进行判断即可．
【详解】（1）①证明：∵，，
∴．∴．
又∵，∴．∴；
②解：分三种情况：
（i）当，时，得到，点分别与重合，∴．
（ii）当时，
在△ABD和△DCE中，，∴，∴，
∵BC=，∴，∴；
（iii）当时，有，
∴，AD=CD，AE=CE=DE，∴．
综上所述，当是等腰三角形时，的长为2，或1．
（2）解：存在．
∵，∴．
∵，∴．
∴，∴，∴，
当，．
（3）解：不存在．理由如下：如图，
∵和不重合，∴，
又，，∴≠．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，分情况讨论是解答本题的关键．
例6．（2023·浙江杭州·九年级期末）如图，在矩形中，是上一点，于点，设．
（1）若，求证：；（2）若，且在同一直线上时，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）根据矩形的性质可得，，再根据已知条件，即可证明≌，则，进而通过线段的和差关系求得；
（2）由勾股定理求得的长度，再由的面积求得的长度，则可用勾股定理求得的长度，则可得的长度，再由≌，求得的长度，在中，根据勾股定理即可求得，即可求得的值．
【详解】（1）∵，∴，∴，
又∵四边形是矩形，∴，∴，
∵，∴，
∴在和中，
∴≌，∴，
∵，∴，∴；
（2）如图，三点共线，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，∵，∴在和中，
，
∴∽，∴，即∴，
∴，∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理、三角形面积、相似比等，解答本题的关键是熟练掌握运用以上知识点，利用勾股定理求解线段的长．
模块3：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共3小题，每小题3分，共9分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在矩形中，，，、、、分别为矩形边上的点，过矩形的中心，且．为的中点，为的中点，则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，证明四边形是矩形，再证明，求得与的长度，由勾股定理求得与，再由矩形的周长公式求得结果．
【详解】解：连接，
四边形是矩形，，，
为的中点，为的中点，，，
四边形是平行四边形，，
矩形是中心对称图形，过矩形的中心．
过点，且，，
四边形是平行四边形，
， 四边形是矩形，，
，，
，，，
设，则，，
，解得，或4，或4，
当时，，则，
，四边形的周长；
同理，当时，四边形的周长；故选：．
【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键在于证明四边形是矩形．
2．（2023·河南郑州·统考二模）如图，已知矩形的顶点分别落在轴轴上，，AB=2BC则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过C作CE⊥x轴于E，根据矩形的性质得到CD=AB，∠ABC=90°，，根据余角的性质得到∠BCE=∠ABO，进而得出△BCE∽△ABO，根据相似三角形的性质得到结论．
【详解】解：过C作CE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBE=∠CBE+∠BCE=90°，∴∠BCE=∠ABO，
∵，∴△BCE∽△ABO，
∴，∵∴AB=，
∵AB=2BC，∴BC=AB=4，∵，
∴CE=2，BE=2∴OE=4+2∴C（4+2，2），故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
3．（2023·黑龙江绥化·校联考三模）如图，已知正方形，为的中点，是边上的一个动点，连接将沿折叠得，延长交于点，现在有如下五个结论：①一定是直角三角形；②；③当与重合时，有；④平分正方形的面积；⑤，则正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】如图1中，证明，，可得，可得，，可得①②正确，如图2中，当M与C重合时，设．则，证明，可得，即，可得，可得③正确，如图3中，当点F与点D重合时，显然直线不平分正方形的面积，可得④错误，如图1中，于H，，同理可得：，可得，结合，可得⑤正确．
【详解】解：如图1中，
∵四边形是正方形，
∴，
∵E为的中点，
∴，
由翻折可知：，，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故①②正确，
如图2中，当M与C重合时，设．则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，可得，
∴，
∴，故③正确，
如图3中，当点F与点D重合时，显然直线不平分正方形的面积，故④错误，
如图1中，∵于H，，
同理可得：，
∴，
∴，
∵，
∴．故⑤正确，
故选：C．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
4．（2023·湖南长沙·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则BE＝ ．
【答案】3．
【分析】过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，依据相似三角形的性质，即可得到FG＝EC，GE＝2＝CD；设EC＝x，则DG＝x，FG＝x，再根据勾股定理，即可得到CE2＝9，最后依据勾股定理进行计算，即可得出BE的长．
【详解】如图所示，过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，则∠G＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，
又∵∠BEF＝90°，∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC，∴∠FEG＝∠EBC，
又∵∠C＝∠G＝90°，∴△BCE∽△EGF，
∴＝＝，即＝＝，∴FG＝EC，GE＝2＝CD，
∴DG＝EC，设EC＝x，则DG＝x，FG＝x，
∵Rt△FDG中，FG2+DG2＝DF2，∴（x）2+x2＝（）2，解得x2＝9，即CE2＝9，
∴Rt△BCE中，BE＝＝＝3，故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形．
5．（2021·浙江台州·中考真题）如图，点E， F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．
【答案】
【分析】先证明，得到，进而即可求解．
【详解】∵在正方形ABCD中，AF⊥EG，
∴∠AGE+∠GAM =90°，∠FAB+∠GAM=90°，∴∠FAB =∠AGE，
又∵∠ABF=∠GAE=90°，∴，
∴，即：，∴BF=．故答案是：．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明，是解题的关键．
6．（2023·浙江九年级专题练习）如图，为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，，将沿直线DE翻折得到，当点F落在边BC上，且时，的值为 ．
【答案】
【分析】根据△ABC为等边三角形，△ADE与△FDE关于DE成轴对称，可证△BDF∽△CFE，根据BF=4CF，可得CF=4，根据AF为轴对称图形对应点的连线,DE为对称轴，可得DE⊥AF，
根据S四边形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF，进而可求．
【详解】解：如图，作△ABC的高AL，作△BDF的高DH，
∵△ABC为等边三角形，△ADE与△FDE关于DE成轴对称，∴∠DFE=∠DAE= 60°，AD = DF，
∴∠CFE+∠FEC=∠CFE+∠DFB= 120°，∴∠DFB= ∠CEF，
又∠B=∠C= 60°，∴△BDF∽△CFE，
∴ ，即 ，设CF= x(x > 0)，
∵BF=4CF，∴BF= 4x，∵BD=3，∴，
∵，
∴，，
∵△BDF∽△CFE，∴，∴解得：x=2，
∴CF=4，∴BC=5x=10，∵在Rt△ABL中，∠B=60°，
∴AL=ABsin60°=10×=5，∴S△ABC=，
∵在Rt△BHD中，BD=3，∠B=60°，∴DH=BDsin60°=，
∴S△BDF=，
∵△BDF∽△CFE，∴，
∵S△BDF=，∴S△CEF=，
又∵AF为轴对称图形对应点的连线,DE为对称轴，
∴AD=DF，△ADF为等腰三角形，DE⊥AF，
∴S四边形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF=，
∴．故答案为:．
【点睛】本题主要考查等边三角形的和折叠的性质，一线三等角证明k型相似，以及“垂美四边形”的性质：对角线互相垂直的四边形的面积＝对角线乘积的一半．
7．（2022秋·安徽淮北·九年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为 .
【答案】
【分析】根据题意证明，列出比例式即可求得y关于x的函数关系式
【详解】解：∠A=∠D=120°，∠BEF=120°，
AB=6、AD=4，AE=x、DF=y，
即故答案为：
【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，函数解析式，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
8．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，点P为BC边上一动点，若AP⊥DP，则BP的长为 ．
【答案】1或2
【分析】设BP=x，则PC=3-x，根据平行线的性质可得∠B=90°，根据同角的余角相等可得∠CDP=∠APB，即可证明△CDP∽△BPA，根据相似三角形的性质列方程求出x的值即可得答案．
【详解】设BP=x，则PC=3-x，
∵AB∥CD，∠C＝90°，
∴∠B=180°-∠C=90°，
∴∠B=∠C，
∵AP⊥DP，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∵∠CDP+∠DPC=90°，
∴∠CDP=∠APB，
∴△CDP∽△BPA，
∴，
∵AB＝1，CD＝2，BC＝3，
∴，
解得：x1=1，x2=2，
∴BP的长为1或2，
故答案为：1或2
【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的对应边成比例列方程是解题的关键．
9．（2022·安徽·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，在点E从A到D的运动过程中，点G的运动路径= ，△CEF面积的最小值是 ．
【答案】 2 15
【分析】连接BD，取BD的中点M，AB的中点N，连接MN，因为GN为△ABE的中位线，故G的运动路径为线段MN；过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，则△FEH∽△EBA，设AE=x，可得出△CEF面积与x的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．
【详解】解：连接BD，取BD的中点M，AB的中点N，连接MN，
∵E为边AD上一个动点，点E从A到D的运动，G是BE的中点
∴当E在A点时，BE与AB重合，G与AB的中点N重合，
当E运动到D点时，BE与BD重合，G与BD的中点M重合，
∴E在从A到D的运动过程中，MN为△ABE的中位线，
∴．
故G的运动路径=2，
过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，
∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，
∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA，
∴△FEH∽△EBA，
∴
为的中点，
∴
设AE=x， ∵AB
∴HF
∴当 时，△CEF面积的最小值
故答案为：2，15．
【点睛】本题通过构造K形图，考查了三角形的中位线和相似三角形的判定与性质，建立△CEF面积与AE长度的函数关系式是解题的关键．
10．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）已知是等边三角形，，点D，E，F点分别在边上，，同时平分和，则的长为 ．
【答案】
【分析】根据角平分线的定义得到∠BDE=∠FDE，∠BED=∠FED，根据全等三角形的性质得到∠DBE=∠DFE，BD=DF，BE=EF，由等边三角形的性质得到∠A=∠ABC=∠C=60°，求得∠DFE=60°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：如图，同时平分和，
，，
在与中，，
，
，，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
，，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的画出图形是解题的关键．
11．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，在矩形中，点是边上一点，连结，将沿对折，点落在边上点处，与对角线交于点，连结．若，．则 ．
【答案】
【分析】由折叠的性质可得∠BCM=∠BFM，BC=BF，再由FM∥CD，可得∠BFM=∠ABF，从而得△ABF∽△BCA，由相似三角形的性质求得AB，进而由勾股定理可求解．
【详解】解：四边形是矩形，
∠ABC=∠BAD=90°，AB∥CD，
，
FM∥AB，
∠BFM=∠ABF，
由折叠的性质可得：∠BCM=∠BFM，BC=BF=4，
∠ABF=∠ACB，
△ABF∽△BCA，
，
，即，
，
；
故答案为．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理及折叠的性质，关键是证明三角形的相似，进而根据相似三角形的性质进行求解．
12．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cos∠α＝，下列结论：①△ADE∽△ACD；②当BD＝6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8或；④0＜CE≤6.4．其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
【答案】①②④
【分析】①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明；②由BD＝6，则DC＝10，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得；③分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得；④依据相似三角形对应边成比例即可求得．
【详解】解：①∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠ADE＝∠B，
∴∠ADE＝∠C，
∴△ADE∽△ACD，故①正确；
②作AG⊥BC于G，
∵AB＝AC＝10，∠ADE＝∠B＝α，cosα＝，
∴BG＝ABcosB，
∴BC＝2BG＝2ABcosB＝2×10×＝16，
∵BD＝6，
∴DC＝10，
∴AB＝DC，
在△ABD与△DCE中，
∴△ABD≌△DCE（ASA），故②正确；
③当∠AED＝90°时，由①可知：△ADE∽△ACD，
∴∠ADC＝∠AED，
∵∠AED＝90°，
∴∠ADC＝90°，即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∴∠ADE＝∠B＝α且cosα＝，AB＝10，BD＝8，
当∠CDE＝90°时，易△CDE∽△BAD，
∵∠CDE＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∵∠B＝α且cosα＝，AB＝10，
∴cosB＝＝，
∴BD＝，故③错误；
④易证得△CDE∽△BAD，由②可知BC＝16，
设BD＝y，CE＝x，
∴，
∴，
整理得：y2 16y＋64＝64 10x，
即（y 8）2＝64 10x，
∴0＜x≤6.4，故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握相似三角形与全等三角形的判定和性质是解题的关键．
13．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，等边的边长为，点是边上一动点，将等边沿过点的直线折叠，该直线与直线交于点，使点落在直线上的点处，且折痕为则的长为 ．
【答案】或．
【分析】分情况讨论：方法一：当点落在如图1所示的位置时，证明△BMD∽△CDN，得到，根据设求出AN；方法二：当在的延长线上时，如图2，同样方法求出AN.
【详解】方法一：当点落在如图1所示的位置时，
是等边三角形，
，
，
得，
得，
，
设
则，
，
，
，
解得
；
方法二：当在的延长线上时，如图2，
与同理可得.
得.
，
，
设
则
，
，
，
解得：，
，
故答案为：或.
【点睛】此题考查等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定及性质，解题中注意题中的条件“点落在直线上的点处”故点A可在线段BC上，也可在延长线上，应分类讨论避免漏解.
14．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图．是等边三角形，点D，E分别为边，上的点，，若，，则的长为 ．
【答案】或
【分析】根据是等边三角形，得到，，推出，得到，得到，然后代入数值求得结果．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得：或，
经检验：或是原方程的解，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，注意数形结合和方程思想的应用．
15．（2022·浙江·九年级专题练习）正方形ABCD的边长为1， E为边BC上动点，将AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，M为DE的中点，连接MF，则MF的最小值为________
【答案】
【分析】构造一线三直角模型，建立直角坐标系，运用两点间的距离公式，用二次函数思想确定最小值即可．
【详解】以点B为原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
设点E（a，0），
∵正方形的边长为1，
∴点D（1，1）；
过点F作FG⊥x轴，垂足为G，
∵∠AEF=90°，
∴∠BAE=∠GEF，
∵∠ABE=∠EGF=90°，AE=EF，
∴△ABE≌△EGF，
∴BE=GF，AB=EG=1，
∴M（，），F（，a），
∴MF=
=
=
=
=，
当a=时，MF有最小值，且最小值为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的全等和性质，两点间的距离公式，配方法求最小值，熟练掌握一线三直角模型是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共75分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，矩形中，E为上一点，把沿翻折，点D恰好落在边上的点F处．
(1)求证：；(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)长为．
【分析】（1）根据矩形的性质得到，根据翻折变换的性质得到，结合图形利用角之间的互余关系推出，从而根据相似三角形的判定定理证明即可；
（2）根据矩形的性质及翻折变换的性质推出，从而利用勾股定理求得，进而结合线段之间的和差关系利用相似三角形的性质进行求解即可．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，，
沿翻折得到，，
，，
，；
（2）解：，，，
在中，，
，由（1）可得：，
，即，解得，故长为．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质、矩形的性质及翻折变换的性质是解题的关键．
17．（2023·山东烟台·九年级统考期末）如图，在正方形中，，在边上取中点，连接，过点做与交于点，与的延长线交于点．
(1)求证：；(2)求的面积．
【答案】(1)证明见解析(2)9
【分析】（1）先根据正方形的性质可得，再证出，然后根据相似三角形的判定即可得证；
（2）先利用相似三角形的性质可得，从而可得，再证，利用相似三角形的性质可得，然后利用三角形的面积公式求解即可得．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，，，
在和中，，．
（2）解：∵在正方形中，，点为的中点，
，，，
由（1）已证：，，即，
解得，，又，，
，即，解得，则的面积为．
【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
18．（2023·上海·九年级假期作业）在矩形中，，，点E是边上一点，交于点M，点N在射线上（如图），且．(1)求证：是和的比例中项；(2)当点N在线段的延长线上时，联结，且与互相垂直，求的长．
【答案】(1)详见解析(2)
【分析】（1）利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
（2）利用，得出比例式求得线段，，利用求得线段，利用（1）的结论求得线段，则．
【详解】（1）证明：，．
四边形为矩形，，
，，
，．
，，．
，是和的比例中项；
（2）如图，与互相垂直，，．
，．
，，
，，，
，，．
，．
四边形为矩形，，
，，
，，，．
由（1）知：，，．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
19．（2022·河南新乡·二模）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点A的两个等腰直角三角形，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC＝6，D在线段BC上，从B到C运动，点M和点N分别是边BC，DE的中点．(1)【问题发现】若点D是BC边的中点时，＝ ，直线BD与MN相交所成的锐角的度数为 （请直接写出结果）(2)【解决问题]若点D是BC边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由．
(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N点运动的路径长，及CN的最小值．
【答案】(1)，45° (2)成立，理由见解析(3)N点运动的路径长为6，CN的最小值为3
【分析】（1）证明△AMN是等腰直角三角形，可得结论．（2）结论不变．连接AM，AN，证明△BAD∽△MAN，可得结论．（3）利用三角形中位线定理，垂线段最短解决问题即可．
(1)解：如图1中，
当点D是BC的中点时，∵AB=AC，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠ADE=45°，∴AC⊥DE，∴AC平分DE，∴点N落在AC上，
∴BM=AM=MN，∠NMC=45°，∴=，故答案为：，45°．
(2)解：如图2中，连接AM，AN．∵AB=AC，∠BAC=90°，BM=CM，
∴AM⊥MC，AM=BM=CM，∴AB=AM，同法可证AD=AN，
∵∠BAM=∠DAN=45°，∴∠BAD=∠MAN，
∵=，∴△BAD∽△MAN，∴==，∠ABD=∠AMN=45°．
(3)解：如图3中，当D在线段BC上，从B运动到C时，由（2）问可知，∠AMN=45°，所以点N的运动路径是图3中的线段MN，MN=BE=6．当CN⊥MN时，CN的值最小，最小值=AC=3．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，垂线段最短等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
20．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）．
(1)求证：△AEF∽△DCE；(2)△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；(3)设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析(2)相似，证明见解析(3)存在，
【分析】(1)由题意可得∠AEF＋∠DEC＝90°，又由∠AEF＋∠AFE＝90°，可得∠DEC＝∠AFE，据此证得结论；
(2)根据题意可证得Rt△AEF≌Rt△DEG(ASA)，可得EF＝EG，∠AFE＝∠EGC，可得CE垂直平分FG，△CGF是等腰三角形，据此即可证得△AEF与△ECF相似；
(3)假设△AEF与△BFC相似，存在两种情况：①当∠AFE＝∠BCF，可得∠EFC＝90°，根据题意可知此种情况不成立；②当∠AFE＝∠BFC，使得△AEF与△BFC相似，设BC＝a，则AB＝ka，可得AF＝，BF＝，再由△AEF∽△DCE，即可求得k值．
（1）
证明：∵EF⊥EC，
∴∠FEC＝90°，
∴∠AEF＋∠DEC＝90°，
∵∠AEF＋∠AFE＝90°，
∴∠DEC＝∠AFE，
又∵∠A＝∠EDC＝90°，
∴△AEF∽△DCE；
（2）
解：△AEF∽△ECF．
理由：∵E为AD的中点，
∴AE＝DE，
∵∠AEF＝∠DEG，∠A＝∠EDG，
∴△AEF≌△DEG(ASA)，
∴EF＝EG，∠AFE＝∠EGC．
又∵EF⊥CE，
∴CE垂直平分FG，
∴△CGF是等腰三角形．
∴∠AFE＝∠EGC＝∠EFC．
又∵∠A＝∠FEC＝90°，
∴△AEF∽△ECF；
（3）
解：存在使得△AEF与△BFC相似．
理由：
假设△AEF与△BFC相似，存在两种情况：
①当∠AFE＝∠BCF，则有∠AFE与∠BFC互余，于是∠EFC＝90°，因此此种情况不成立；
②当∠AFE＝∠BFC，使得△AEF与△BFC相似，
设BC＝a，则AB＝ka，
∵△AEF∽△BCF，
∴，
∴AF＝，BF＝，
∵△AEF∽△DCE，
∴，即，
解得，．
∴存在使得△AEF与△BFC相似．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定与及性质，等腰三角形的判定及性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
21．（2023·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在中，，点E是线段边上的一动点（不含B、C两端点），连接，作，交线段于点D．
(1)求证：
(2)设，，请求y与x之间的函数关系式．
(3)E点在运动的过程中，能否构成等腰三角形？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)当是等腰三角形时，或，见解析
【分析】（1）由平角定义可得，，再根据即可证明；
（2）根据的性质求解即可；
（3）根据外角先验证，分和两种情况讨论
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：由（1）得：，
∴，
∵，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为；
（3）解：∵是的外角，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，
可得，
∴；
当时，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴当是等腰三角形时，或；
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形外角的性质，二次函数的最值等知识点．解答（3）题时，要分类讨论，以防漏解．
22．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）【操作发现】如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．
①请按要求画图：将绕点A顺时针方向旋转，点B的对应点为点，点C的对应点为点，连接；
②在①中所画图形中，______．
【问题解决】如图2，在中，，延长到D，使，将斜边绕点A顺时针旋转到，连接，求的度数．
【拓展延伸】如图3，在四边形中，，垂足为E，，，，，求的长．
【答案】【操作发现】①见解析，②45；【问题解决】【拓展延伸】5
【分析】【操作发现】①根据旋转的性质找出点B的对应点为点和点C的对应点为点，从而作出旋转后的，并连接；②推导出是等腰直角三角形，从而得到；
【问题解决】过点E作于点H，点H在的延长线上，利用证明，从而得到，，继而证明，从而得到，；
【拓展延伸】如图3中，由，，推出，将绕点A逆时针旋转得到，连接．则，只要证明，可得，由此即可解决问题．
【详解】解：【操作发现】①如图1中，即为所求．
②由作图可知，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：；
【问题解决】如图2中，过点E作交的延长线于H．
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【拓展延伸】如图3中，连接，
∵，即垂直平分，
∴，
将绕点A逆时针旋转得到，连接．则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
23．（2023·浙江·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，，的面积为2．
(1)如图1，求直线的解析式．
(2)如图2，线段上有一点C，直线为，轴，将绕点B顺时针旋转，交于点D，求点D的坐标．（用含k的式子表示）
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，交直线于点E，若，求点E的坐标．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用的面积为2，求出的长度，得到B的坐标，用待定系数法求的解析式；
（2）利用，过D作轴于H，证明，得到，，由直线析式，求得C的坐标，从而得到长度，再证明四边形为矩形，得到D的坐标；
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线AB的解析式为：，
代入点，得，
∴，
∴直线的解析式为：；
（2）如图1，过D作轴于H，
∵轴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
由题可得，，
∴，
又∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
令，
则，
∴，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及到待定系数法，一线三等角模型构造全等，交点坐标的求法，其中转化角的关系是解决本题的关键．
24．（2023·浙江·九年级专题练习）某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC中，其中，如图1，进行了如下操作：
第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图2；
第二步，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD；
第三步，以D为圆心，DA的长为半径画弧，交射线AE于点G；
(1)填空；写出∠CAD与∠GAD的大小关系为___；
(2)①请判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
②当时，连接DG，请直接写出___；
(3)如图3，根据以上条件，点P为AB的中点，点M为射线AD上的一个动点，连接PM，PC，当时，求AM的长．
【答案】(1)∠CAD=∠GAD；
(2)①AD∥BC； ②3
(3)9
【分析】（1）根据题目的尺规作图发现AD平分∠CAG即可得到∠CAD=∠GAD；
（2）①由AD平分∠CAG再结合等腰三角形ABC的外角可得AD平行BC；
②易证，可得
（3）以M为圆心，MA的长为半径画弧，交射线BA于点N，由（2）可得，
即可用一线三等角模型构造相似解题．
【详解】（1）由尺规作图步骤发现AD平分∠CAG
∴∠CAD=∠GAD；
（2）①∵
∴
∵∠CAD=∠GAD,
∴
∴AD∥BC
②∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
（3）以M为圆心，MA的长为半径画弧，交射线BA于点N，如图
由（1）（2）可得,
设则
∵点P为AB的中点
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴，解得
∴．
【点睛】本题考查尺规作图中的作角平分线以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是能根据尺规作图的步骤判断是作角平分线．
25．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，，．点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作，交AB于点F．
(1)求证：；(2)如图2，连接CF，过点B作，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．①求的最小值；②当取最小值时，求线段DE的长．
【答案】(1)见解析(2)①5；②或
【分析】（1）证明出即可求解；
（2）①连接AM．先证明．确定出点G在以点M为圆心，3为半径的圆上．当A，G，M三点共线时，．此时，取最小值．在中利用勾股定理即可求出AM，则问题得解．②先求出AF，求AF的第一种方法：过点M作交FC于点N，即有，进而有．设，则，．再根据，得到，得到，则有，解方程即可求出AF；求AF的第二种方法：过点G作交BC于点H．即有．则有，根据，可得，进而求出，．由得，即可求出AF．求出AF之后，由（1）的结论可得．设，则，即有，解得解方程即可求出DE．
(1)证明：如图1，
∵四边形ABCD是矩形，∴，∴．
∵，∴，∴，∴；
(2)①解：如图2-1，连接AM．
∵，∴是直角二角形．∴．
∴点G在以点M为圆心，3为半径的圆上．
当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：，
当A，G，M三点共线时，．
此时，取最小值．在中，．∴的最小值为5．
②（求AF的方法一）如图2-2，过点M作交FC于点N，
∴．∴．
设，则，∴．
∵，∴，∴，
由①知的最小值为5、即，
又∵，∴．∴，解得，即．
（求AF的方法二）如图2-3，过点G作交BC于点H．
∴．∴，
由①知的最小值为5，即，
又∵，∴．∴，．
由得，∴，即，解得．
∴．由（1）的结论可得．
设，则，∴，解得或．
∵，，∴或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
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专题4.11 相似三角形中的一线三等角模型（k字模型）
模块1：知识梳理
相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模块2：核心模型与典例
模型1.一线三等角模型（相似模型）
【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．
1）一线三等角模型（同侧型）
（锐角型） （直角型） （钝角型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED.
2）一线三等角模型（异侧型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC.
3）一线三等角模型（变异型）
图1 图2图3
①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.
②一线三直角变异型1：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
③一线三直角变异型2：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.
例1．（2023·浙江·九年级专题练习）如图①，在等边三角形ABC中，点D是边BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边向右作等边△ADE，边DE与AC相交于点F，设BD＝x，CF＝y，若y与x的函数关系的大致图象如图②所示，则等边三角形ABC的面积为（ ）
A．3 B． C． D．
例2．（2022秋·辽宁鞍山·九年级统考期中）如图，在四边形中，，，，，为边上的动点，当时， ．
例3．（2023·浙江·九年级专题练习）（1）问题
如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．
（2）探究：若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．
例4．（2022 广东中考模拟）（1）模型探究：如图1，、、分别为三边、、上的点，且，与相似吗？请说明理由.
（2）模型应用：为等边三角形，其边长为，为边上一点，为射线上一点，将沿翻折，使点落在射线上的点处，且.①如图2，当点在线段上时，求的值；
②如图3，当点落在线段的延长线上时，求与的周长之比.
例5．（2023·浙江·九年级专题练习）在中，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）．
（1）如图，若点在线段上运动，交于．
①求证：；②当是等腰三角形时，求的长；
（2）如图，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出线段的长度；若不存在，请简要说明理由；
（3）若点在的反向延长线上运动，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由．
例6．（2023·浙江杭州·九年级期末）如图，在矩形中，是上一点，于点，设．
（1）若，求证：；（2）若，且在同一直线上时，求的值．
模块3：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共3小题，每小题3分，共9分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在矩形中，，，、、、分别为矩形边上的点，过矩形的中心，且．为的中点，为的中点，则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河南郑州·统考二模）如图，已知矩形的顶点分别落在轴轴上，，AB=2BC则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·黑龙江绥化·校联考三模）如图，已知正方形，为的中点，是边上的一个动点，连接将沿折叠得，延长交于点，现在有如下五个结论：①一定是直角三角形；②；③当与重合时，有；④平分正方形的面积；⑤，则正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
4．（2023·湖南长沙·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则BE＝ ．
5．（2021·浙江台州·中考真题）如图，点E， F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．
6．（2023·浙江九年级专题练习）如图，为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，，将沿直线DE翻折得到，当点F落在边BC上，且时，的值为 ．
7．（2022秋·安徽淮北·九年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为 .
8．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，点P为BC边上一动点，若AP⊥DP，则BP的长为 ．
9．（2022·安徽·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，在点E从A到D的运动过程中，点G的运动路径= ，△CEF面积的最小值是 ．
10．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）已知是等边三角形，，点D，E，F点分别在边上，，同时平分和，则的长为 ．
11．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，在矩形中，点是边上一点，连结，将沿对折，点落在边上点处，与对角线交于点，连结．若，．则 ．
12．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cos∠α＝，下列结论：①△ADE∽△ACD；②当BD＝6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8或；④0＜CE≤6.4．其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
13．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，等边的边长为，点是边上一动点，将等边沿过点的直线折叠，该直线与直线交于点，使点落在直线上的点处，且折痕为则的长为 ．
14．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图．是等边三角形，点D，E分别为边，上的点，，若，，则的长为 ．
15．（2022·浙江·九年级专题练习）正方形ABCD的边长为1， E为边BC上动点，将AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，M为DE的中点，连接MF，则MF的最小值为________
三、解答题（本大题共10小题，共75分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，矩形中，E为上一点，把沿翻折，点D恰好落在边上的点F处．(1)求证：；(2)若，，求的长．
17．（2023·山东烟台·九年级统考期末）如图，在正方形中，，在边上取中点，连接，过点做与交于点，与的延长线交于点．
(1)求证：；(2)求的面积．
18．（2023·上海·九年级假期作业）在矩形中，，，点E是边上一点，交于点M，点N在射线上（如图），且．(1)求证：是和的比例中项；(2)当点N在线段的延长线上时，联结，且与互相垂直，求的长．
19．（2022·河南新乡·二模）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点A的两个等腰直角三角形，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC＝6，D在线段BC上，从B到C运动，点M和点N分别是边BC，DE的中点．(1)【问题发现】若点D是BC边的中点时，＝ ，直线BD与MN相交所成的锐角的度数为 （请直接写出结果）(2)【解决问题]若点D是BC边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由．
(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N点运动的路径长，及CN的最小值．
20．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）．
(1)求证：△AEF∽△DCE；(2)△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；(3)设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．
21．（2023·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在中，，点E是线段边上的一动点（不含B、C两端点），连接，作，交线段于点D．
(1)求证：(2)设，，请求y与x之间的函数关系式．
(3)E点在运动的过程中，能否构成等腰三角形？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
22．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）【操作发现】如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．
①请按要求画图：将绕点A顺时针方向旋转，点B的对应点为点，点C的对应点为点，连接；②在①中所画图形中，______．
【问题解决】如图2，在中，，延长到D，使，将斜边绕点A顺时针旋转到，连接，求的度数．
【拓展延伸】如图3，在四边形中，，垂足为E，，，，，求的长．
23．（2023·浙江·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，，的面积为2．
(1)如图1，求直线的解析式．(2)如图2，线段上有一点C，直线为，轴，将绕点B顺时针旋转，交于点D，求点D的坐标．（用含k的式子表示）
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，交直线于点E，若，求点E的坐标．
24．（2023·浙江·九年级专题练习）某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC中，其中，如图1，进行了如下操作：
第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图2；
第二步，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD；
第三步，以D为圆心，DA的长为半径画弧，交射线AE于点G；
(1)填空；写出∠CAD与∠GAD的大小关系为___；(2)①请判断AD与BC的位置关系，并说明理由．②当时，连接DG，请直接写出___；(3)如图3，根据以上条件，点P为AB的中点，点M为射线AD上的一个动点，连接PM，PC，当时，求AM的长．
25．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，，．点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作，交AB于点F．
(1)求证：；(2)如图2，连接CF，过点B作，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．①求的最小值；②当取最小值时，求线段DE的长．
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