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专题4.13 相似三角形中的对角互补模型
模块1：知识梳理
相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模块2：核心模型与典例
模型1.对角互补模型（相似模型）
【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似.
【常见模型及结论】
1）对角互补相似1
条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点，
辅助线：过点O作OD⊥AC，垂足为D，过点O作OH⊥BC，垂足为H，
结论：①△ODE △OHF；②（思路提示：）.
2）对角互补相似 2
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.
辅助线：作法1：如图1，过点C作CF⊥OA，垂足为F，过点C作CG⊥OB，垂足为G；
结论：①△ECG △DCF；②CE＝CD·.
（思路提示：，CF=OG，在Rt△COG中，）
辅助线：作法2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；
结论：①△CFE △COD；②CE＝CD·.（思路提示：，在Rt△OCF中，）
3）对角互补相似3
条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°
辅助线：过点D作DE⊥BA，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F；
结论：①△DAE △DCF；②ABCD四点共圆。
例1．（2023·成都市·九年级期中）如图所示，在中，，，在中，，点P在上，交于点E，交于点F．当时，的值为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】过P作PH⊥BC于H，PQ⊥AB于Q，证明△PQE∽△PHF，得出PQ=2PH=2BQ，再由PQ∥BC证得△AQP∽△ABC，得到，设BQ=x，则AQ=3﹣x，PQ=2x，求出x值即可解决问题．
【详解】解：∵在中，，，
∴AC= ，
过P作PH⊥BC于H，PQ⊥AB于Q，则∠PQB=∠PHB=∠B=90°，
∴四边形PQBH是矩形，∴PH=BQ，∠QPH=90°=∠MPN，PQ∥BC，
∴∠EPH+∠QPE=∠EPH+∠HPF=90°，∴∠QPE=∠HPF，
∴△PQE∽△PHF，∴，又PE=2PF，∴PQ=2PH=2BQ，
∵PQ∥BC，∴△AQP∽△ABC，∴，
设BQ=x，则AQ=3﹣x，PQ=2x，∴，解得：，AP=3，故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、等角的余角相等、矩形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线是解答的关键．
例2．（2023·上海普陀·九年级校考期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作射线CP∥AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合）且∠DAE＝45°，AC与DE交于点O．
(1)求证：△ADE∽△ACB；(2)如果CD＝CE，求证：CD2＝CO CA．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）先由等腰直角△ABC得到∠BAC=∠B=45°，从而结合∠DAE=45°得到∠DAC=∠EAB，再由平行线的性质得到∠ACP=∠BAC=∠B=45°，从而得到△ADC∽△AEB，然后由相似三角形的性质得到AD：AE=AC：AB，转化为AD：AC=AE：AB，结合∠DAE=∠CAB=45°得证结果；
（2）结合∠ACD=45°和∠ACB=90°，由CD=CE得到∠CDE=∠CED=22.5°，从而得到∠DAC=22.5°，然后得到△OCD∽△DCA，最后得证结果．
(1)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠B=45°，
∵∠DAE=45°，∴
∴ ∴∠DAC=∠EAB，
∵PC∥AB，∴∠ACD=∠BAC=∠B=45°，∴△ADC∽△AEB，
∴，即，∵∠DAE=∠BAC=45°，∴△ADE∽△ACB．
(2)证明：∵∠ACD=45°，∠ACB=90°，∴∠CDE+∠CED=180°-90°-45°=45°，
∵CD=CE，∴∠CDE=∠CED=22.5°，∵△ADE∽△ACB，∴∠ADE=∠ACB=90°，
∴∠CAD=180°-∠ADE-∠CDE-∠ACD=180°-90°-22.5°-45°=22.5°，∴∠CAD=∠CDE，
又∵∠OCD=∠DCA，∴△OCD∽△DCA，∴，∴CD2=CO CA．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过线段的比例关系得到三角形相似．
例3．（2022·江西·吉水县九年级期末）【问题情境】如图①，直角三角板ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，将一个用足够长的细铁丝制作的直角的顶点D放在直角三角板ABC的斜边AB上，再将该直角绕点D旋转，并使其两边分别与三角板的AC边、BC边交于P、Q两点．
【问题探究】（1）在旋转过程中，①如图2，当AD＝BD时，线段DP、DQ的数量关系是（ ）
A、DP＜DQ B、DP＝DQ C、DP＞DQ D、无法确定
②如图3，当AD＝2BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由．
③根据你对①、②的探究结果，试写出当AD＝nBD时，DP、DQ满足的数量关系为 （直接写出结论，不必证明）。（2）当AD＝BD时，若AB＝20，连接PQ，设△DPQ的面积为S，在旋转过程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①B；②DP＝2DQ，理由见解析；③DP＝nDQ；（2）存在，，最小值是5，最大值为10，理由见解析．
【分析】（1）①首先利用等腰直角三角形的性质得出△ADP≌△CDQ（ASA），即可得出答案；
②首先得出△DPM∽△DQN，则＝，求出△AMD∽△BND，进而得出答案；
③根据已知得出Rt△DNP∽Rt△DMQ，则＝＝，则AD＝nBD，求出即可；
（2）当DP⊥AC时，x最小，最小值是5，此时，S有最小值；当点P与点A重合时，x最大，最大值为10，S有最大值分别求出即可．
【详解】解：（1）①DP＝DQ，
理由：如图2，连接CD，∵AC＝BC，△ABC是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，∠A＝∠DCQ，∠ADC＝90°，
∴∠ADP+∠PDC＝∠CDQ+∠PDC＝90°，∴∠ADP＝∠CDQ，
在△ADP和△CDQ中，，∴△ADP≌△CDQ（ASA），∴DP＝DQ；
②DP＝2DQ，理由：如图3，过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，垂足分别为：M，N，
则∠DMP＝∠DNQ＝90°，∴∠MDP＝∠NDQ，∴△DPM∽△DQN，∴＝，
∵∠AMD＝∠DNB＝90°，∠A＝∠B，∴△AMD∽△BND，∴＝，
∴＝＝＝2，∴DP＝2DQ；
③如图1，过D点作DM⊥CB于点M，作DN⊥AC于点N，
∵∠C＝∠PDQ＝90°，∴∠ADP+∠QDB＝90°，
可得：∠MDN＝90°，∴∠QDM＝∠NDP，
又∵∠DNP＝∠DMQ，∴Rt△DNP∽Rt△DMQ，∴＝，
∵由（1）知，△ADN∽△BDM，∴＝＝，
∵AD＝nBD，∴＝＝＝n，
∴DP与DQ满足的数量关系式为：DP＝nDQ；故答案为：DP＝nDQ；
（2）存在，设DQ＝x，由（1）①知，DP＝x，∴S＝x x＝x2，
∵AB＝20，∴AC＝BC＝10，AD＝BD＝10，
当DP⊥AC时，x最小，最小值是5，此时，S有最小值，S最小＝×（5）2＝25，
当点P与点A重合时，x最大，最大值为10，此时，S有最大值，S最大＝×102＝50．
【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质以及求最值等知识，熟练利用相似三角形的性质得出对应边关系是解题关键．
例4．（2023年广东中考一模数学试题）（1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点O，在正方形绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．证明： ；
（2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点O，且，，在矩形，绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．若，求的长；
（3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形，在绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长．
【答案】（1）证明见解析（2）（3）
【分析】（1）根据正方形的性质证明三角形全等即可；
（2）过点O作的平行线交于点E、交于点P，过点N作垂线交于点Q，构造相似三角形，对应边成比例求，然后根计算即可；
（3）过点O作的垂线交于点H，用勾股定理求出，证、，结合与重叠部分的面积是的面积的，设列出方程求出m，根据勾股定理求出即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
，，，
由旋转可知：，，
，，；
（2）解：如图2，过点O作的平行线交于点E、交于点P，过点N作垂线交于点Q，
∵四边形和四边形都是矩形，，，，
，，
，，
，，
，，，，
，；
（3）解：如图，过点O作的垂线交于点H，
设，则，
设，则，
，，，
，，
，，四边形和四边形都是平行四边形，是直角三角形，
，，
，，，
，，，
，，，，
设，则，
，，，，
与重叠部分的面积是的面积的，平行四边形对角线平分平行四边形的面积，
，，
，，．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形、矩形、正方形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题关键．
例5．（2023·成都市·九年级专题练习）已知在中，，，点在上，且． 当点为线段的中点，点、分别在线段、上时（如图）．过点作于点，请探索与之间的数量关系，并说明理由；
当，①点、分别在线段 、上，如图时，请写出线段、之间的数量关系，并给予证明．②当点、分别在线段、的延长线上，如图时，请判断①中线段、之间的数量关系是否还存在．（直接写出答案，不用证明）
【答案】（1），理由见解析；①，理由见解析；②成立．
【分析】（1）过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F，则四边形BFPE是矩形，所以△PFN∽△PEM得出，然后根据余切函数即可求得．（2）同（1）证得△PFN∽△PEM得出，然后在Rt△AEP和Rt△PFC中通过三角函数求得PF=PC，PE=PA，即可求得．
【详解】（1），
理由：如图，作，∵，∴，
∴四边形是矩形，∴
∴的中点，∴，
∵，∴，∴，
∴，∵，在中，，
∴，即．
，如图 在中，过点于点
∴四边形是矩形，∴∴，
又∵中，
∴∴
∵ ∴，即：
②如图，成立．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及三角函数的应用．
例6．（2023浙江中考二模）（1）特例感知：如图1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF；
（2）探索发现：如图2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长；
（3）类比迁移：如图3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长．
【答案】（1）见解析；（2）4；（3）或或
【分析】（1）证明△BDE≌△ADF（ASA），根据全等三角形的性质即可得到BE＝AF；
（2）方法同（1），利用全等三角形的性质解决问题；
（3）证明△EBD∽△DCF，推出，设AF＝m，则AE＝4m，分三种情形，分别构建方程求解即可．
【详解】（1）证明：如图1中，
∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是高，
∴BD＝CD＝ADBC，∠B＝∠C＝45°，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝45°，
∵DF⊥DE，∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°﹣∠ADE，
在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF；
（2）解：如图2中，
由（1）知，BD＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD＝45°，
∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°+∠ADE，
在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF，
∵AB＝3，AE＝1，∴BE＝AB+AE＝4，∴AF＝4；
（3）解：如图3中，
∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝60°，∴BD＝CD＝AB sin60°＝2，
∵AE＝4AF，∴可以假设AF＝m，则AE＝4m，BE＝4﹣4m，CF＝4﹣m，
∵∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠BED，∠EDF＝∠B＝30°，
∴∠FDC＝∠BED，∵∠B＝∠C，∴△EBD∽△DCF，∴，
∴，整理得，m2﹣5m+1＝0，解得m或（舍弃），
经检验，m是分式方程的解．
当点F在CA的延长线上时，CF＝4+m，由△EBD∽△DCF，可得，
∴，解得，m或（舍弃），经检验，m是分式方程的解．
当点E在射线BA上时，BE＝4+4m，
∵△EBD∽△DCF，∴，∴
解得，m或（舍弃），
经检验，m是分式方程的解．
综上所述，满足条件的AF的值为或或．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
模块3：同步培优题库
全卷共22题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共1小题，每小题3分，共3分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·黑龙江·鸡西九年级期末）如图，在Rt中，，，，在Rt中，，点在上，交于点，交于点，当时，的长为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，推出，可得PQ＝2PR＝2BQ，由PQ//BC，可得AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5，设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，可得2x＋3x＝6，求出x即可解决问题．
【详解】解：如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．
∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，∴四边形PQBR是矩形，
∴∠QPR＝90°＝∠MPN，∴∠QPE＝∠RPF，
∴△QPE∽△RPF，∴，∴PQ＝2PR＝2BQ，
∵PQ//BC，∴△AQP∽△ABC，
∴AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5，
设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，
∴2x＋3x＝6，∴x＝，∴AP＝5x＝6．故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
2．（2023春·浙江嘉兴·九年级校考阶段练习）已知一块含的直角三角板ABC按图1放置，其中，点B与原点O重合，，．现将点A沿y轴向下滑动，同时点B沿x轴向右滑动，当点A滑动至与原点O重合时停止． 当四边形为矩形时（如图2），点C的坐标为 ；当点A滑动到原点O时，点C经过的路径长为 ．
【答案】 2
【分析】在中，求得，的长度，再根据矩形的性质，即可求解；确定出点的运动轨迹，即可求解．
【详解】解：由题意可得：在中，，
∴，
∴当四边形为矩形，，∴点的坐标为；
作，轴，连接，如下图：
∵，，
∴四边形为矩形，，
∵∴∴
∴，即
因此点在直线上运动，且当四边形为矩形时，点运动到最高点，点移动到时，运动到最低点，可作图如下，点运动路径为，三点共线，
∵四边形为矩形，∴，
∵，∴．故答案为：，．
【点睛】此题考查了坐标与图形，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，含直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，通过作辅助线确定出点的运动轨迹．
3．（2023年河南一模数学试题）如图，在菱形中，，，对角线，交于点，，分别是，边上的点，且，，与交于点，则的值为 ．
【答案】或1
【分析】先证，接着在中利用勾股定理求出所需线段的长度，最后利用正切的定义求解．
【详解】解：在菱形中，，∴为等边三角形，
∴，.
∵，，∴，∴.
如图，过点作于点.在中，，∴，
∴.设，则，.
在中，，即，解得，.
当时，，，∴，即，解得，
∴，∴.
当时，，，即，解得，
∴，∴综上可知，的值为或1.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、正切的定义等．综合性较强，需要学生具有较强的几何推理能力．
4．（2023.江苏九年级月考）如图，在中，，， ，，，点在上，交于点，交于点，当时， ．
【答案】3
【分析】如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，推出==2，可得PQ=2PR=2BQ，由PQ∥BC，可得AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，可得2x+3x=3，求出x即可解决问题．
【详解】如图，作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．
∵∠PQB=∠QBR=∠BRP=90°，∴四边形PQBR是矩形，∴∠QPR=90°=∠MPN，∴∠QPE=∠RPF，∴△QPE∽△RPF，∴==2，∴PQ=2PR=2BQ．
∵PQ∥BC，∴AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，∴2x+3x=3，∴x=，∴AP=5x=3．故答案为3．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
5．（2023·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知△ABC是等边三角形,D是AC的中点,F为AB边上一点,且AF=2BF,E为射线BC上一点,∠EDF=120°,则= .
【答案】
【分析】过D作DG∥BC交AB于G，则DG为△ABC的中位线，根据等边三角形的性质得∠ACB＝∠ABC＝60°，由DG∥BC，得∠FGD＝120°，∠GDC＝120°，△AGD为等边三角形，而∠EDF＝120°，得∠GDF＝∠CDE，易证得△GDF∽△CDE，所以FG：CE＝DG：DC，即CE：DC＝FG：DG＝FG：AG，设BF＝x，AF＝2x，则AB＝3x，AG＝1.5x，FG＝1.5x x＝0.5x，即可得到CE：CD的比值．
【详解】解：过D作DG∥BC交AB于G，如图，
∵D是AC的中点，∴DG为△ABC的中位线，
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∴∠DCE＝120°，
又∵DG∥BC，∴∠FGD＝120°，∠GDC＝120°，△AGD为等边三角形，
∵∠EDF＝120°，∴∠GDF＝∠CDE，∴△GDF∽△CDE，
∴FG：CE＝DG：CD，即CE：CD＝FG：DG，而DG＝AG＝BG，AF＝2BF，
设BF＝x，AF＝2x，则AB＝3x，AG＝1.5x，FG＝1.5x x＝0.5x，
∴CE：CD＝FG：DG＝FG：AG＝0.5x：1.5x＝1：3．故答案为．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形三边相等；三个角都等于60°；也考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用各性质进行推理计算是解题关键．
6．（2023青岛版九年级月考）如图，在中，，，直角的顶点在上，、分别交、于点、，绕点任意旋转．当时，的值为 ；当时，为 ．（用含的式子表示）
【答案】 ,
【详解】如图，过点O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，由条件可以表示出HO、GO的值，通过证明△PHO∽△QGO由相似三角形的性质就可以求出结论．
解答：解：过点O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，∴∠OHP=∠OGQ=90°．
∵∠ACB=90°，∴四边形HCGO为矩形，
∴∠HOG=90°，∴∠HOP=∠GOQ，∴△PHO∽△QGO，∴．
∵，设OA=x，则OB=2x，且∠ABC=30°，∴AH=x，OG=x．
在Rt△AHO中，由勾股定理，得OH=x，∴，∴=．故答案为．
7．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在中，，将绕点A逆时针方向旋转，得到．连接，交于点D，则的值为 ．
【答案】5
【分析】过点D作于点F，利用勾股定理求得，根据旋转的性质可证、是等腰直角三角形，可得，再由，得，证明，可得，即，再由，求得，从而求得，，即可求解．
【详解】解：过点D作于点F，
∵，，，∴，
∵将绕点A逆时针方向旋转得到，∴，，
∴是等腰直角三角形，∴，
又∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，
∵，即，
∵ ，，∴，
∴，即，又∵，∴，
∴，，∴，故答案为：5．
【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．
8．（2023·山西临汾·统考二模）在菱形中，，对角线交于点，分别是边上的点，且与交于点，则的值为 ．
【答案】
【分析】由菱形的性质及可证，得，；由得，，于是，可得，进而求得答案．
【详解】∵
∴∴
∵四边形是菱形，∴，
∴∴∴，
又∵∴．，
∵∴，
∴．
设，则，，
；故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用全等及相似得到线段间的数量关系是解题的关键．
三、解答题（本大题共12小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
9．（2023·湖北·九年级专题练习）如图，四边形是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接，过点P作，交于点E，已知，．设的长为x．
(1)___________；当时，求的值；(2)试探究：是否是定值 若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；(3)当是等腰三角形时，请求出的值．
【答案】(1)4，(2)是，(3)或4
【分析】（1）作于交于．由，推出，只要求出、即可解决问题；（2）结论：的值为定值．证明方法类似（1）；
（3）连接交于，在中，，代入数据求得，进而即可求解．
【详解】（1）解：作于交于．
四边形是矩形，，，，
．
在中，，，，，
，，，
，，，
，，故答案为4，．
（2）结论：的值为定值．理由：由，可得．，，，
，；
（3）连接交于．
，所以只能，，
，，，垂直平分线段，
在中，，，，
，．综上所述，的值为．
【点睛】本题属于四边形综合题、考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及等腰三角形的构成条件等重要知识，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．
10．（2023秋·山西忻州·九年级校考期末）综合与实践
问题情境：在学习了三角形的相似后，同学们开始了对不同三角形中的相似模型的探究．
猜想推理：（1）如图1，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，，，，则______．
问题解决：（2）如图2，是等边三角形，D是的中点，射线，分别交，于点E，F，且，求证：．（3）如图3，，，，D是的中点，射线，分别交，于点E，F，且，求的值．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【分析】（1）首先求出，证明，得到，即可求出结果；
（2）连接，过D作于M，作于N，根据证明，再根据全等三角形的性质可得；（3）过点分别作于，于，根据勾股定理及中位线的性质可得，，根据矩形的性质可得，最后由相似三角形的判定与性质可得答案．
【详解】解：（1）∵在等边中，，，，∴，
∵，，∴，
∴，∴，即，∴；
（2）如图，连接，过D作于M，作于N，
∵是等边三角形，D为的中点，
∴是的平分线，，∴，，
又∵，∴，∴，
∴在与中，，∴，∴；
（3）过点分别作于，于，
在中，，是的中点，，
，，，，，
是的中点，是的中位线，是的中位线，，，
四边形为矩形，，，
，，
，，．
【点睛】本题考查了三角形综合题．需要掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，关键是找到图中关键的相似和全等三角形，比较典型，但有点难度．
11．（2023山东中考模拟）如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F．
（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则的值为 ；
（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求的值；（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3，的值是否变化？证明你的结论．
【答案】（1）；（2）；（3）变化.证明见解析.
【分析】（1）证明△APE≌△PCF，得PE=CF；在Rt△PCF中，解直角三角形求得的值即可；
（2）如答图1所示，作辅助线，构造直角三角形，证明△PME∽△PNF，并利用（1）的结论，求得的值；（3）如答图2所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明△APM∽△PCN，求得；然后证明△PME∽△PNF，从而由求得的值.与（1）（2）问相比较，的值发生了变化.
【详解】（1）∵矩形ABCD，∴AB⊥BC，PA=PC.
∵PE⊥AB，BC⊥AB，∴PE∥BC.∴∠APE=∠PCF.
∵PF⊥BC，AB⊥BC，∴PF∥AB.∴∠PAE=∠CPF.
∵在△APE与△PCF中，∠PAE=∠CPF，PA=PC，∠APE=∠PCF，
∴△APE≌△PCF（ASA）.∴PE=CF.
在Rt△PCF中，，∴；
（2）如答图1，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN.
∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM=∠FPN.
又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF.
∴.由（1）知，，∴.
（3）变化.证明如下：
如答图2，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB.
∵PM∥BC，PN∥AB，∴∠APM=∠PCN，∠PAM=∠CPN.∴△APM∽△PCN.
∴，得CN=2PM. 在Rt△PCN中，，∴.
∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM=∠FPN.
又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF.
∴.∴的值发生变化.
12．（2022秋·河南鹤壁·九年级统考期末）已知在中，，，，为边上的一点．过点作射线，分别交边、于点、．
（1）当为的中点，且、时，如图1，_______：
（2）若为的中点，将绕点旋转到图2位置时，_______；
（3）若改变点到图3的位置，且时，求的值．
【答案】（1）2；（2）2；（3）
【分析】（1）由为的中点，结合三角形的中位线的性质得到 从而可得答案；（2）如图，过作于 过作于结合（1）求解再证明利用相似三角形的性质可得答案；（3）过点分别作于点，于点，证明,可得 再证明，利用相似三角形的性质求解 同法求解 从而可得答案．
【详解】解：（1）为的中点，
故答案为：
（2）如图，过作于 过作于
由（1）同理可得 ： 故答案为：
（3）过点分别作于点，于点，
∵，∴．
∵，∴．
∴．∴．∴．
∵，，∴．∴∴．
∵，∴．∵，∴．∴．
同理可得：．∴．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，三角形中位线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
13．（2023·浙江台州·九年级校考阶段练习）【问题情境】如图①，在中，，，点为中点，连结，点为的延长线上一点，过点且垂直于的直线交的延长线于点.易知BE与CF的数量关系 ．
【探索发现】如图②，在中，，，点为中点，连结，点为的延长线上一点，过点且垂直于的直线交的延长线于点.【问题情境】中的结论还成立吗？请说明理由．【类比迁移】如图③，在等边中，，点是中点，点是射线上一点（不与点、重合），将射线绕点逆时针旋转交于点．当时，______．
【答案】问题情境：；探索发现：成立，见解析；类比迁移：或
【分析】问题情境：根据等腰直角三角形的性质，证明即可得；
探索发现：与图①类似，证明即可；类比迁移：根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=60°，求得∠BDF=∠AED，设CE=x，则CF=2x，分两种情况讨论：点E在线段AC上，点E在AC的延长线上，证明，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】问题情境：，证明如下：
∵在中，，，点为中点，
∴，∴
∵∴∴
在和中，∴∴
探索发现：成立，
理由：∵在中，为中点，∴，
又∵，∴，∴，
∴，∴
∵，∴，∴，∴，
在和中，∴∴
类比迁移：当点E在线段AC上时，如图③，
∵是等边三角形，，点是中点，
∴，，
设，则，，
∵是的外角，，∴
即∴
又∵∴∴
∴∴
解得，（大于4，不符合题意，舍去）
当点E在线段AC的延长线时，如图：
设，则，，
同理可得∴
解得，（不符合题意，舍去）
综上所述，或．故答案为：或．
【点睛】本题考查全等三角形与相似三角形的综合问题，运用等腰直角三角形的性质寻找全等条件，熟练掌握相似三角形中的一线三等角模型是解题的关键．
14．（2022·山西·中考真题）综合与实践
问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；问题解决：（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．
【答案】（1）四边形AMDN为矩形；理由见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）由三角形中位线定理得到，证明∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可证明结论；
（2）证明△NDC是等腰三角形，过点N作NG⊥BC于点G，证明△CGN∽△CAB，利用相似三角形的性质即可求解；（3）延长ND，使DH=DN，证明△BDH≌△CDN，推出BH=CN，∠DBH=∠C，证明∠MBH=90°，设AM=AN=x，在Rt△BMH中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解．
【详解】解：（1）四边形AMDN为矩形．
理由如下：∵点M为AB的中点，点D为BC的中点，
∴，∴∠AMD+∠A=180°，∵∠A=90°，∴∠AMD=90°，
∵∠EDF=90°，∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°，四边形AMDN为矩形；
（2）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴∠B+∠C=90°，．
∵点D是BC的中点，∴CD=BC=5．
∵∠EDF=90°，∴∠MDB+∠1=90°．
∵∠B=∠MDB，∴∠1=∠C．∴ND=NC．
过点N作NG⊥BC于点G，则∠CGN=90°．∴CG=CD=．
∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°，∴△CGN∽△CAB．
∴，即，∴；
（3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH，
∵MD⊥HN，∴MN=MH，∵D是BC中点，∴BD=DC，
又∵∠BDH=∠CDN，∴△BDH≌△CDN，∴BH=CN，∠DBH=∠C，
∵∠BAC=90°，∵∠C+∠ABC=90°，∴∠DBH+∠ABC=90°，
∴∠MBH=90°，设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x，
在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2，∴(6-x)2+(8-x)2=(x)2，解得x=，∴线段AN的长为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理，解第（3）问的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
15．（2023广东中考模拟）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”
（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；
（2）问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；
（3）应用拓展；
如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．
【答案】（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由见解析；（3）10 或12﹣．
【分析】（1）矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”条件；
（2）AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示，根据PE、PF分别为AD、BC的垂直平分线，得到两对角相等，利用等角对等角得到两对角相等，进而确定出∠APC=∠DPB，利用SAS得到三角形ACB与三角形DPB全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，由S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′，求出四边形ACBD′面积；（ii）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，如图3（ii）所示，由S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′，求出四边形ACBD′面积即可．
【详解】（1）矩形或正方形；
（2）AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示：
∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线， ∴PA=PD，PC=PB，
∴∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB，∴∠DPB=2∠PAD，∠APC=2∠PBC，
即∠PAD=∠PBC， ∴∠APC=∠DPB， ∴△APC≌△DPB（SAS）， ∴AC=BD；
（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E， 如图3（i）所示，
∴∠ED′B=∠EBD′， ∴EB=ED′，
设EB=ED′=x， 由勾股定理得：42+（3+x）2=（4+x）2， 解得：x=4.5，
过点D′作D′F⊥CE于F， ∴D′F∥AC， ∴△ED′F∽△EAC，
∴，即，解得：D′F=，
∴S△ACE=AC×EC=×4×（3+4.5）=15；S△BED′=BE×D′F=×4.5×=，
则S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′=15﹣=10；
（ii）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E， 如图3（ii）所示，
∴四边形ECBD′是矩形， ∴ED′=BC=3， 在Rt△AED′中，根据勾股定理得：AE=，
∴S△AED′=AE×ED′=××3=，S矩形ECBD′=CE×CB=（4﹣）×3=12﹣3，
则S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′=+12﹣3=12﹣．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了“等邻角四边形”的理解，三角形，四边形的内角和定理，角平分线的意义，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的性质和判定，理解“等邻角四边形”的定义是解本题的关键，分类讨论是解本题的难点，是一道中考常考题．
16．（2023年成都市中考模拟）（1）如图，RtABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC中点，E、F分别为AB、AC上的动点，且∠EDF＝90°．求证：DE＝DF；
（2）如图2，RtABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，AD⊥BC，∠EDF＝90°．
①求证：DF DA＝DB DE；②求EF的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②
【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质可得∠ADE＝∠BDF，从而得到△BDF≌△ADE，即可求证；
（2）①先证得∠BDF＝∠ADE，∠B＝∠DAE，可证得△BDF∽△ADE，即可求证；
②连接EF，根据勾股定理可得BC5，根据三角形的面积可得AD，从而得到DC，再由△ADB∽△CAB，可得，再根据，可得到，从而得到△EDF∽△CAB，进而得到EF，可得到当DE最小时，EF取最小值，即可求解．
【详解】证明：（1）如图1，连接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，∠B＝∠DAE＝45°，
∵∠ADB＝∠EDF＝90°，∴∠ADB﹣∠ADF＝∠EDF﹣∠ADF，即∠ADE＝∠BDF，
在△BDF和△ADE中，，∴△BDF≌△ADE（ASA），∴DE＝DF；
（2）①证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠ADB＝∠EDF，
∴∠ADB﹣∠ADF＝∠EDF﹣∠ADF，即∠BDF＝∠ADE，
∵∠BAD+∠DAE＝90°，∠BAD+∠B＝90°，∴∠B＝∠DAE，
∴△BDF∽△ADE，∴，∴DF DA＝DB DE；
②解：如图2，连接EF，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，
则BC5，∴AD，
由勾股定理得：DC，
∵∠B＝∠B，∠ADB＝∠CAB=90°， ∴△ADB∽△CAB，
∴，∴，由①可知，，∴，
∵∠EDF＝∠CAB＝90°，∴△EDF∽△CAB，
∴，即，∴EF，
当DE最小时，EF取最小值，
当DE⊥AC时，DE最小，此时，DE，
∴EF的最小值为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质是解题的关键．
17．（2023海南省中考数学仿真试卷）如图①，AD为等腰直角△ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上，连接BG、AE．（1）求证：BG=AE；（2）将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时，（如图②所示）①求证：BG⊥GE；②设DG与AB交于点M，若AG=6，AE=8，求DM的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②DM=，
【详解】试题分析：（1）如图①，根据等腰直角三角形的性质得AD=BD，再根据正方形的性质得∠GDE=90°，DG=DE，则可根据“SAS“判断△BDG≌△ADE，于是得到BG=AE；
（2）①如图②，先判断△DEG为等腰直角三角形得到∠1=∠2=45°，再由△BDG≌△ADE得到∠3=∠2=45°，则可得∠BGE=90°，所以BG⊥GE；
②由AG=6，则AE=8，即GE=14，利用等腰直角三角形的性质得DG=GE=7 ，由（1）的结论得BG=AE=8，则根据勾股定理得AB=10，接着由△ABD为等腰直角三角形得到∠4=45°，BD=AB=5，然后证明△DBM∽△DGB，则利用相似比可计算出DM；
试题解析：（1）证明：如图①，
∵AD为等腰直角△ABC的高，∴AD=BD，
∵四边形DEFG为正方形，∴∠GDE=90°，DG=DE，
在△BDG和△ADE中 ，∴△BDG≌△ADE，∴BG=AE；
（2）①证明：如图②，∵四边形DEFG为正方形，∴△DEG为等腰直角三角形，
∴∠1=∠2=45°，由（1）得△BDG≌△ADE，∴∠3=∠2=45°，
∴∠1+∠3=45°+45°=90°，即∠BGE=90°，∴BG⊥GE；
②解：∵AG=6，则AE=8，即GE=14，∴DG=GE=7，
∵△BDG≌△ADE，∴BG=AE=8，在Rt△BGA中，AB==10，
∵△ABD为等腰直角三角形，∴∠4=45°，BD=AB=5，∴∠3=∠4，
而∠BDM=∠GDB，∴△DBM∽△DGB，∴BD：DG=DM：BD，即 5：7=DM：5，∴DM=，
【点睛】考查了四边形的综合题：熟练掌握等腰直角三角形的性质和正方形的性质；会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题；利用代数式表示线段可较好得表示线段之间的关系；会运用相似比求线段的长．
18．（2023·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，在中，点，，分别在，，边上，，．（1）求证：；（2）设，若，求线段的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）4．
【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据相似三角形的判定即可得证；
（2）先根据可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，然后根据线段的和差即可得．
【详解】（1），，
在和中，，；
（2），，
，，，
，，解得，．
【点睛】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
19．（2023浙江省绍兴市九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ=90°．
（1）当DP⊥AB时，求CQ的长； （2）当BP=2，求CQ的长．
【答案】（1）CQ=4；（2）当BP=2时，CQ=或．
【分析】（1）首先证明DQ∥AB，根据平行线等分线段定理即可解决问题．
（2）分两种情形①当点P在线段AB上时，②当点P在AB的延长线上时，作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，由△PDM∽△QDN，分别求得PQ和DN，即可求解．
【详解】（1）如图1中，
∵DP⊥AB，∠BAC=90°，DQ⊥DP，∴DQ∥AB，∵BD=DC，∴CQ=AQ=4；
（2）①如图2中，当点P在线段AB上时，作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，
则四边形AMDN是矩形，DM、DN分别是△ABC的中位线，DM=4，DN=3，
∵∠PDQ=∠MDN=90°，∴∠PDM=∠QDN，∵∠DNQ∠DMP=90°，∴△PDM∽△QDN，
∴，∴QN=PM，∵PM=BM-PB=3-2=1，∴QN=PM=，∴CQ=QN+CN=；
②如图3中，
当点P在AB的延长线上时，同①，PM=BM+PB，QN=PM=，
CQ=QN+CN，综上所述，当BP=2，求CQ的长为或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线构造相似三角形．
20．（2023广东深圳三模试题）（1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点，在正方形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．证明：；
（2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点，且，．在矩形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．若，求的长；
（3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形．在绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长．
【答案】（1）见解析（2）（3）
【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的性质，找相等的边和角证全等即可；
（2）过点作的平行线交于点、交于点，过点作垂线交于点，构造相似三角形和，列比例式求解算出，最后根据计算即可；
（3）过点作的垂线交于点，根据勾股定理算出，根据已知条件观察推理出，，结合与重叠部分的面积是的面积的，设列方程求出，最后根据勾股定理求出即可．
【详解】（1）正方形的对角线相交于点，在正方形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点
，，，
，即，
在和中，；
（2）如图，过点作的平行线交于点、交于点，过点作垂线交于点，
四边形和四边形都是矩形，，，，
，，，
，
，，
，，，即，，
；
（3）如图，过点作的垂线交于点，
设，则，
设，则，
，，，
又，，
，，四边形和四边形都是平行四边形，是直角三角形
∴，(有公共角且都有直角)，
，∴，∵，即，
∴，，设，则，
∵，即，∴，
与重叠部分的面积是的面积的，平行四边形对角线平分平行四边形的面积，
，即，
∴，即，∴，
∴，∴．
【点睛】本题综合考查了全等三角形的证明、勾股定理、特殊四边形（平行四边形、矩形、正方形）的性质、相似三角形，综合性强，熟练掌握相关知识、结合图象分析是解题的关键．
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专题4.13 相似三角形中的对角互补模型
模块1：知识梳理
相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模块2：核心模型与典例
模型1.对角互补模型（相似模型）
【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似.
【常见模型及结论】
1）对角互补相似1
条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点，
辅助线：过点O作OD⊥AC，垂足为D，过点O作OH⊥BC，垂足为H，
结论：①△ODE △OHF；②（思路提示：）.
2）对角互补相似 2
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.
辅助线：作法1：如图1，过点C作CF⊥OA，垂足为F，过点C作CG⊥OB，垂足为G；
结论：①△ECG △DCF；②CE＝CD·.
（思路提示：，CF=OG，在Rt△COG中，）
辅助线：作法2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；
结论：①△CFE △COD；②CE＝CD·.（思路提示：，在Rt△OCF中，）
3）对角互补相似3
条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°
辅助线：过点D作DE⊥BA，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F；
结论：①△DAE △DCF；②ABCD四点共圆。
例1．（2023·成都市·九年级期中）如图所示，在中，，，在中，，点P在上，交于点E，交于点F．当时，的值为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
例2．（2023·上海普陀·九年级校考期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作射线CP∥AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合）且∠DAE＝45°，AC与DE交于点O．(1)求证：△ADE∽△ACB；(2)如果CD＝CE，求证：CD2＝CO CA．
例3．（2022·江西·吉水县九年级期末）【问题情境】如图①，直角三角板ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，将一个用足够长的细铁丝制作的直角的顶点D放在直角三角板ABC的斜边AB上，再将该直角绕点D旋转，并使其两边分别与三角板的AC边、BC边交于P、Q两点．
【问题探究】（1）在旋转过程中，①如图2，当AD＝BD时，线段DP、DQ的数量关系是（ ）
A、DP＜DQ B、DP＝DQ C、DP＞DQ D、无法确定
②如图3，当AD＝2BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由．
③根据你对①、②的探究结果，试写出当AD＝nBD时，DP、DQ满足的数量关系为 （直接写出结论，不必证明）。（2）当AD＝BD时，若AB＝20，连接PQ，设△DPQ的面积为S，在旋转过程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，请说明理由．
例4．（2023年广东中考一模数学试题）（1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点O，在正方形绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．证明： ；
（2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点O，且，，在矩形，绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．若，求的长；
（3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形，在绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长．
例5．（2023·成都市·九年级专题练习）已知在中，，，点在上，且． 当点为线段的中点，点、分别在线段、上时（如图）．过点作于点，请探索与之间的数量关系，并说明理由；
当，①点、分别在线段 、上，如图时，请写出线段、之间的数量关系，并给予证明．②当点、分别在线段、的延长线上，如图时，请判断①中线段、之间的数量关系是否还存在．（直接写出答案，不用证明）
例6．（2023浙江中考二模）（1）特例感知：如图1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF；（2）探索发现：如图2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长；（3）类比迁移：如图3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长．
模块3：同步培优题库
全卷共22题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共1小题，每小题3分，共3分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·黑龙江·鸡西九年级期末）如图，在Rt中，，，，在Rt中，，点在上，交于点，交于点，当时，的长为（ ）
A．4 B．6 C． D．
二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
2．（2023春·浙江嘉兴·九年级校考阶段练习）已知一块含的直角三角板ABC按图1放置，其中，点B与原点O重合，，．现将点A沿y轴向下滑动，同时点B沿x轴向右滑动，当点A滑动至与原点O重合时停止． 当四边形为矩形时（如图2），点C的坐标为 ；当点A滑动到原点O时，点C经过的路径长为 ．
3．（2023年河南一模数学试题）如图，在菱形中，，，对角线，交于点，，分别是，边上的点，且，，与交于点，则的值为 ．
4．（2023.江苏九年级月考）如图，在中，，， ，，，点在上，交于点，交于点，当时， ．
5．（2023·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知△ABC是等边三角形,D是AC的中点,F为AB边上一点,且AF=2BF,E为射线BC上一点,∠EDF=120°,则= .
6．（2023青岛版九年级月考）如图，在中，，，直角的顶点在上，、分别交、于点、，绕点任意旋转．当时，的值为 ；当时，为 ．（用含的式子表示）
7．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在中，，将绕点A逆时针方向旋转，得到．连接，交于点D，则的值为 ．
8．（2023·山西临汾·统考二模）在菱形中，，对角线交于点，分别是边上的点，且与交于点，则的值为 ．
三、解答题（本大题共12小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
9．（2023·湖北·九年级专题练习）如图，四边形是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接，过点P作，交于点E，已知，．设的长为x．
(1)___________；当时，求的值；(2)试探究：是否是定值 若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；(3)当是等腰三角形时，请求出的值．
10．（2023秋·山西忻州·九年级校考期末）综合与实践
问题情境：在学习了三角形的相似后，同学们开始了对不同三角形中的相似模型的探究．
猜想推理：（1）如图1，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，，，，则______．
问题解决：（2）如图2，是等边三角形，D是的中点，射线，分别交，于点E，F，且，求证：．（3）如图3，，，，D是的中点，射线，分别交，于点E，F，且，求的值．
11．（2023山东中考模拟）如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F．
（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则的值为 ；
（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求的值；（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3，的值是否变化？证明你的结论．
12．（2022秋·河南鹤壁·九年级统考期末）已知在中，，，，为边上的一点．过点作射线，分别交边、于点、．
（1）当为的中点，且、时，如图1，_______：
（2）若为的中点，将绕点旋转到图2位置时，_______；
（3）若改变点到图3的位置，且时，求的值．
13．（2023·浙江台州·九年级校考阶段练习）【问题情境】如图①，在中，，，点为中点，连结，点为的延长线上一点，过点且垂直于的直线交的延长线于点.易知BE与CF的数量关系 ．
【探索发现】如图②，在中，，，点为中点，连结，点为的延长线上一点，过点且垂直于的直线交的延长线于点.【问题情境】中的结论还成立吗？请说明理由．【类比迁移】如图③，在等边中，，点是中点，点是射线上一点（不与点、重合），将射线绕点逆时针旋转交于点．当时，______．
14．（2022·山西·中考真题）综合与实践
问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；问题解决：（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．
15．（2023广东中考模拟）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”
（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；
（2）问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；
（3）应用拓展；
如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．
16．（2023年成都市中考模拟）（1）如图，RtABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC中点，E、F分别为AB、AC上的动点，且∠EDF＝90°．求证：DE＝DF；
（2）如图2，RtABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，AD⊥BC，∠EDF＝90°．
①求证：DF DA＝DB DE；②求EF的最小值．
17．（2023海南省中考数学仿真试卷）如图①，AD为等腰直角△ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上，连接BG、AE．（1）求证：BG=AE；（2）将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时，（如图②所示）①求证：BG⊥GE；②设DG与AB交于点M，若AG=6，AE=8，求DM的长．
18．（2023·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，在中，点，，分别在，，边上，，．（1）求证：；（2）设，若，求线段的长．
19．（2023浙江省绍兴市九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ=90°．
（1）当DP⊥AB时，求CQ的长； （2）当BP=2，求CQ的长．
20．（2023广东深圳三模试题）（1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点，在正方形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．证明：；
（2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点，且，．在矩形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．若，求的长；
（3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形．在绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长．
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