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专题4.14 相似三角形 章末检测
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋·贵州六盘水·九年级统考期末）已知线段m，n，求作线段x，使得，下列作图正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、根据题意得：，即，故本选项不符合题意；
B、根据题意得：，即，故本选项不符合题意；
C、根据题意得：，即，故本选项符合题意；
D、根据题意得：，即，故本选项不符合题意；故选：C
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，复杂作图，熟练掌握平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例是解题的关键．
2．（2023春·浙江·九年级专题练习）已知与是一对位似三角形，则位似中心最有可能的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据位似中心的定义判断即可．
【详解】∵与是一对位似三角形，
∴对应顶点的连线相交于一点，如图，位似中心是．故选：A．
【点睛】本题考查位似图形的概念，掌握位似中心是对应点连线的交点是解题关键．
3．（2023秋·山东菏泽·九年级统考期中）如图，中，，，的平分线交于点D，则点D是线段的黄金分割点．若，则BD＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据黄金分割点的性质直接列式即可求解．
【详解】∵，，∴，∴，
∵点D是线段的黄金分割点，∴，∴，
解得：（不和要求的值已经舍去），故选：C．
【点睛】本题考查了黄金分割点的性质，根据黄金分割点的性质列出方程是解答本题的关键．
4．（2023春·湖北十堰·九年级专题练习）如图，路边有一根电线杆 AB 和一块正方形广告牌(不考虑牌子的厚度)．有一天，小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆顶端 A的影子刚好落在正方形广告牌的上边中点 G处，而正方形广告牌的影子刚好落在地面上点 E 处，已知 BC=6 米，正方形边长为 3米，DE=5 米．则电线杆 AB 的高度是（ ）米．
A． B．13 C． D．
【答案】C
【分析】过点G作GH∥BC，可得四边形BCGH是矩形，然后且△AHG与△FDE相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出AH的长度，再加上BH即可．
【详解】解：过点G作GH∥BC，GM⊥BE，
根据题意，四边形BMGH是矩形，∴BH=GM=3米，根据题意可得△AHG∽△FDE，
∴，，∴AH=4.5，∴AB=AH+BH=4.5+3=米，故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
5．（2023春·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，于点，，则下列结论中错误的是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】A．证△ADC∽△CDB，由性质得即可；B．证△ADC∽△CDB，由性质得即可；C．证△ADC∽△CDB，由性质得即可；D．证△ABC∽△CBD，由性质得即可．
【详解】解：，，
∴∠A+∠B=90 ，∠A+∠ACD=90 ，∠ADC=∠CDB=90 ，∴∠ACD=∠B，∴△ADC∽△CDB
A．∵△ADC∽△CDB，∴，，A正确；
B．∵△ADC∽△CDB，，，错误；
C．∵△ADC∽△CDB，，，正确；
D．，，∴∠A+∠B=90 ，∠BCD+∠B =90 ，∠ACB=∠CDB =90 ，
∴∠A=∠BCD，∴△ABC∽△CBD，∴，正确；故选择：B．
【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质，比例与比例中项问题，掌握三角形相似的判定与性质，会证比例与比例中项是解题关键．
6．（2023秋·湖南永州·九年级校考阶段练习）如图，已知，则不一定能使∽成立的条件是（ ）
A．∠BAD=∠CAE B．∠B=∠D C． D．
【答案】D
【详解】解：由题意得，∠C=∠E，
A. 若添加∠BAD=∠CAE，则可得∠BAC=∠DAE，利用两角相等法可判断△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
B. 若添加∠B=∠D，利用两角相等法可判断△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
C. 若添加，利用两边及其夹角法可判断△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
D. 若添加，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项符合题意；故选：D.
【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键.
7．（2023·浙江·九年级专题练习）如图1为一张正三角形纸片，其中D点在上，E点在上．以为折痕将B点往右折如图2所示，分别与相交于F点、G点．若，，，，则长度为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】先证明，得到，求出的长，然后求出线段长即可．
【详解】解：正三角形∴
∵∴∴即∴
∵，，∴∴故选C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是掌握翻折的性质．
8．（2023秋·安徽淮南·九年级统考阶段练习）如图，正方形中，为上一点，交的延长线于点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用同角的余角相等可得出∠ABP=∠DPF，结合∠A=∠D可得出△APB∽△DFP，利用相似三角形的性质可求出DF的长，进而可得出CF的长，由∠PFD=∠EFC，∠D=∠ECF可得出△PFD∽△EFC，再利用相似三角形的性质可求出CE的长．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=∠D=∠ECF=90°，AB=AD=CD=6，∴DP=AD-AP=2．
∵BP⊥PE，∴∠BPE=90°，∴∠APB+∠DPF=90°．
∵∠APB+∠ABP=90°，∴∠ABP=∠DPF．又∵∠A=∠D，∴△APB∽△DFP，
∴，即，∴∴
∵∠PFD=∠EFC，∠D=∠ECF，∴△PFD∽△EFC，∴CE=7．故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形判定与性质以及正方形的性质，利用相似三角形的判定定理，找出△APB∽△DFP及△PFD∽△EFC是解题的关键．
9．（2023春·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图在正方形中，E，F分别是，上的点且，分别交，于H，G点．下列结论中：①；②；③；④若，则．正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】将绕点A顺时针旋转后得到，可得点M、B、E三点共线，证明，可得，，然后可判断①③正确；证明点G、A、B、E四点共圆，根据圆周角定理的推论求出，然后可判断②正确；延长至N，使，证明，求出，然后根据，利用三角形的面积公式列式计算即可．
【详解】解：∵正方形中，，，
∴将绕点A顺时针旋转后点D与点重合，得到，∴点M、B、E三点共线，
∵，，∴，
由旋转得：，，，∴，
又∵，∴，∴，，③正确；
∵，∴，①正确；
∵在正方形中，，且，∴点G、A、B、E四点共圆，
∵，∴是直径，∴，即，②正确；
延长至N，使，则是等腰直角三角形，∴，
∵点G、A、B、E四点共圆，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵，，∴是等腰直角三角形，∴，
∴，④正确；∴正确的个数是4个，故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形，圆周角定理的推论，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质以及三角形面积公式的应用等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形和相似三角形是解题的关键．
10．（2023·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，BE＝EC，将沿DE对折至，延长EF交边AB于点G，连接DG，BF，给出给出下列结论：①；②BG＝2AG；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD=DF，∠A=∠GFD=90°，于是根据“HL”判定Rt△ADG≌Rt△FDG，再由GF+GB=GA+GB=12，EB=EF，△BGE为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG=4，BG=8，进而求出△BEF的面积，再抓住△BEF是等腰三角形，而△GED显然不是等腰三角形，判断③是错误的，问题得解．
【详解】解：如图，由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，∴∠DFG=∠A=90°，
在Rt△ADG和Rt△FDG中， ，∴Rt△ADG≌Rt△FDG，故①正确；
∵正方形边长是12，∴BE=EC=EF=6，设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12-x，
由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，即：(x+6)2=62+(12-x)2，解得：x=4，
∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，故②正确；
BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，故③错误；
∵S△GBE=×6×8=24，S△BEF：S△BGE=EF：EG，
∴S△BEF=×24=，故④错误．综上可知正确的结论的是2个．故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、图形的翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023秋·江苏徐州·九年级统考阶段练习）如果2a＝3b，那么＝ ．
【答案】
【分析】由 结合比例的基本性质可得从而可得答案．
【详解】解： 故答案为：
【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握比例的基本性质是解题的关键．
12．（2023秋·湖南永州·九年级统考期中）如图，四边形和是以点O为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为 ．
【答案】/
【分析】根据位似图形的性质和得到四边形和的相似比为，即可得到答案．
【详解】解：∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形，，
∴四边形和的相似比为，
∴四边形与四边形的面积比为，故答案为：
【点睛】此题考查位似图形和相似的性质，熟练掌握相似形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
13．（2023秋·山东聊城·九年级统考期末）如图，在6×6的正方形网格中，连结两格点A，B，线段AB与网格线的交点为M、N，则AM：MN：AB为 ．
【答案】1：3：6
【分析】构建如图所示的图形，用平行线分线段成比例得到，由此可解．
【详解】解：如图，利用网格构建，
∴ ，故答案为：1：3：6．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，利用格点构造等比例线段是解题的关键．
14．（2023·广东佛山·校考一模）如图所示，是平行四边形的边上一点，，与相交于点，，那么 ．
【答案】8．
【分析】通过证明△BCF∽△DEF，可得，即可求解．
【详解】解：∵ED=2AE，∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∴，
∴△BCF∽△DEF，∴，∴，∴，故答案为：8．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的性质是本题的关键．
15．（2023秋·浙江九年级统考课时练习）是的重心，若过点且，交、于、，若，则 .
【答案】
【分析】连接AG并延长，交BC于点P，由三角形的重心的性质可知AG=2GP，则AG：AP=2：3，又EF∥BC，根据相似三角形的判定可知△AGF∽△APC，得出AF：AC=2：3，最后由EF∥BC，得出△AEF∽△ABC，从而求出EF：BC=AF：AC=2：3，代入BC的值即可求解.
【详解】如下图所示，连接AG并延长，交BC于点P，
∵G为△ABC的重心，∴AG=2GP，∴，
∵EF过点G且EF∥BC，∴△AGF∽△APC，∴
又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴
∵∴ 故填：.
【点睛】本题主要考查了三角形的重心的性质，相似三角形的判定及性质．三角形三边的中线相交于一点，这点叫做三角形的重心．重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．
16．（2023秋·湖南株洲·九年级统考期末）如图，AB//CD，，E为BC上一点，且．若，，，则DE的长为 ．
【答案】
【分析】先根据同角的余角相等可得：∠AEB=∠EDC，利用两角相等证明三角形相似；根据△ABE∽△ECD，列比例式可得结论,利用勾股定理求解即可.
【详解】∵AB//CD，，∴∠C=90°∠BAE+∠AEB=90°
∵∴∠DEC+∠AEB=90°∴∠BAE=∠DEC ∴△ABE∽△ECD
∴∴在Rt△ECD中
【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质以及勾股定理的应用，熟练掌握知识是解答此题的关键.
17．（2023秋·四川成都·九年级校考期中）如图，在矩形中，，垂足为，动点 分别在上，则的长为 ，的最小值为 ．
【答案】
【分析】在中，利用三角形相似可求得的长，设A点关于的对称点A′，当时，的值最小，进而求得即可．
【详解】解：设，则，
∵四边形为矩形，且，∴，
∴，∴，即，∴，
在中，由勾股定理可得，
即，解得，∴， ，
如图，设A点关于的对称点为，连接，
则，∴当三点在一条线上，且时，最小，
∴由三角形的面积公式知，，
∴，∴的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查轴对称的应用，相似三角形的判定与性质，利用最小值的常规解法确定出A的对称点，从而确定出的最小值的位置是解题的关键．
18．（2023春·浙江·九年级期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6．动点P，Q从点A同时出发，点P以每秒5个单位长度的速度沿边AB向终点B匀速运动．点Q以每秒6个单位长度的速度沿边AC向终点C匀速运动，连接PQ，以PQ为边作正方形PQMN，使得点M，C始终在PQ的同侧．设点P运动的时间为ts．
（1）PQ PA（填“＞”“＜“或“＝”）．
（2）如图2，当点M落在边BC上时，t＝ s．
【答案】
【分析】（1）过点Q作于点H，设，，证明，由列式表示出AH和HQ的长，再用勾股定理表示出PQ的长，即可得到PQ和PA的数量关系；
（2）过点Q作于点H，由（1）的结论，证明，得，即可求出t的值．
【详解】解：（1）如图， 过点Q作于点H，
∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，∴，设，，
∵，，∴，
∴，∴，即，，
∴，∵，∴，故答案是：；
（2）如图，过点Q作于点H，
由（1）知，，∴，∵四边形QPNM是正方形，∴，
∵，，∴，
∵，∴，∴，∴，解得，故答案是：．
【点睛】本题考查动点问题，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023秋·吉林长春·九年级校考期末）图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知△ABC的顶点均在格点上．
（1）在图①中，以格点为顶点，画出△ADC，使△ADC与△ABC全等，且点D与点B不重合．
（2）在图②中，以格点为顶点，画出△AFC，使△AFC与△ABC相似，且相似比不是1．（画出一个即可）
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】(1)根据条件画出图形即可.
(2)根据条件画出图形即可.
【详解】解：（1）如图①△ACD即为所求；
（2）如图所示，△ACF即为所求．
【点睛】本题考查相似作图能力,关键在于能读懂题意.
20．（2023秋·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，直线EF分别交的边AB，AC于点F，E，交BC的延长线于点D，已知.求证：.
【答案】见解析
【分析】由对应线段成比例且夹角相等可证，根据两组对应角相等即证，由相似三角形对应线段成比例的性质可得结论.
【详解】证：，，
又，，.
又，，
，即.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，综合利用其判定和性质进行证明是解题的关键.
21．（2023秋·湖南长沙·九年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于点F．
（1）求证：△DFC∽△EFB；（2）若DC＝6，BE＝4，DE＝8，求DF的长度．
【答案】（1）见解析（2）
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AECD，即可得出∠E＝∠CDF，进而利用两角对应相等的三角形相似得出即可；（2）由相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，
∴AECD，∴∠E＝∠CDF，
∵∠DFC＝∠EFB，∴△DFC∽△EFB．
（2）解：由（1）得：△DFC∽△EFB，
∴，即，解得：DF＝．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质等知识；证明三角形相似是解题的关键．
22．（2023秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在中，D，E分别是AB，AC上的点，∠AED＝∠B，AD＝2，AC＝3，的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．
(1)求证：；(2)求的值．
【答案】(1)见解析(2)2
【分析】（1）由相似三角形的判定方法可证△ADE∽△ACB；
（2）由相似三角形的性质可得∠ADE＝∠C，由角平分线的性质可得∠DAG＝∠CAF，可证△ADG∽△ACF，可求解．
【详解】（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠BAC＝∠DAE，∴△ADE∽△ACB；
（2）解：∵△ADE∽△ACB，∴∠ADE＝∠C，
∵AF平分∠BAC，∴∠DAG＝∠CAF，∴△ADG∽△ACF，∴ ，
∵AD＝2，AC＝3，∴，∴＝2．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是本题的关键．
23．（2023·四川达州·统考二模）如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，三点共线，如图2，连接，求线段的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）根据正方形的性质，旋转的性质，得，根据全等三角形的判定，即可；
（2）过作的垂线，交的延长线于，当，，三点共线，根据勾股定理求出；根据，，得，根据相似三角形的判定和性质，得，；设，则，根据勾股定理，求出；再根据，即可；
【详解】（1）∵四边形是正方形，∴，，
∵线段绕点逆时针旋转得，∴，
∴，∴，∴，∴．
（2）过作的垂线，交的延长线于，
∵是的中点，，，，三点共线，
∴∴∴，
∵，，∴，，
∵，∴ ，∴，
∴，∴，设，，
∴在中，，∴，
解得：，（舍），∴，，∴，
在中，，∴．
【点睛】本题考查几何图形和动点的结合，正方形，全等三角形，相似三角形的知识，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质．
24．（2023秋·上海·九年级校考阶段练习）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D、E分别是边AB、AC上的动点（点D、E不与△ABC的顶点重合），AD和BE交于点F，且∠AFE＝∠ABC
（1）求证：△ABD∽△BCE；
（2）设AE＝x，AD FD＝y，求y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（3）当△AEF是等腰三角形时，求DF的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或．
【分析】（1）根据两个角对应相等的两个三角形相似证明即可．
（2）由△BDF∽△ADB，可得＝，推出BD2＝DF AD，由△ABD∽△BCE，可得＝，结论＝，推出BD＝（5 x），由此即可解决问题．
（3）分两种情形：①如图1中，当AE＝EF时，②如图2中，当FA＝FE时，作AH⊥BC于H，利用相似三角形的性质分别求解即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵∠AFE＝∠ABC，∠AFE＝∠ABF+∠BAF，∠ABC＝∠ABF+∠CBE，
∴∠BAD＝∠CBE，∵AB＝AC，∴∠ABD＝∠C，∴△ABD∽△BCE．
（2）解：∵∠BDF＝∠ADB，∠DBF＝∠BAD，
∴△BDF∽△ADB，∴＝，∴BD2＝DF AD，
∵△ABD∽△BCE，∴＝，∴＝，
∴BD＝（5﹣x），∴y＝AD DF＝BD2＝（5﹣x）2
∴．
（3）解：①如图1中，当AE＝EF时，
∵AE＝EF，∴∠AFE＝∠EAF，∵∠AFE＝∠ABC＝∠C，
∴△DCA∽△ABC∽EAF，∴＝，∴＝，
∴AD＝DC＝，同法可得AF＝x，∴BD＝6﹣＝，
∵BD2＝DF DA，∴＝DF ，∴DF＝．
②如图2中，当FA＝FE时，作AH⊥BC于H．
∵FA＝FE，∴∠FAE＝∠FEA，∵△ABD∽∠BCE，
∴∠ADB＝∠BEC，∴∠ADC＝∠FEA，∴∠CDA＝∠CAD，∴CD＝CA＝5，
∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH＝3，∴AH＝＝4，
∴DH＝5﹣3＝2，AD＝＝＝2，
∵BD＝1，BD2＝DF AD，∴1＝DF 2，∴DF＝．
综上所述，DF的长是或．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
25．（2023·山东泰安·三模）如图，正方形ABCD中，将边AB绕点A旋转到如图位置，连接并延长与线段AB的延长线交于点P，与的平分线交于点G，连接GC，分别过点A、点C作，垂足分别为点E、点F，AG与正方形边长交于点M．
(1)求证：；(2)求证：；(3)若，，求线段DE的长度．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)
【分析】（1）根据正方形的性质，和旋转性质，先说明，根据等腰三角形性质，得出平分，结合AM是的平分线，得出，从而说明∠GAE=∠AGE，即可证明结论；（2）根据已知条件，利用“AAS”判断△ADE≌△DCF，得出CF＝DE，DF＝AE，即可证明Rt△GFC是等腰直角三角形，证明结论；（3）先根据已知条件证明Rt△ABM∽Rt△CGM，得出，求出GC＝，即可得出DE＝．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=AD，，
根据旋转可知，，∴，
∵AE⊥DG，AM是的平分线，∴，，
∵，∴，
∵，∴∠AEG=90°，∴，∴∠GAE=∠AGE，∴AE＝GE．
（2）∵AE⊥DG，CF⊥DG，∴∠AED＝∠CFD＝90°，
∴∠ADE＋∠EAD＝90°＝∠ADE＋∠CDE，∴∠EAD＝∠CDF，
在△ADE和△DCF中，∴△ADE≌△DCF（AAS），
∴CF＝DE，DF＝AE，∴DF＝GE，∴DF－EF＝GE－EF，即DE＝GF＝FC，
∴Rt△GFC是等腰直角三角形，∴CG＝FC＝DE．
（3）∵Rt△AEG和Rt△GFC是等腰直角三角形，
∴∠AGE＝∠CGF＝45°，∴∠AGC＝90°，
∴Rt△ABM∽Rt△CGM，∴，
∵AB＝12，BM＝3.5，∴MC＝12－3.5＝8.5，∴在Rt△ABM中AM＝12.5，
∴，∴GC＝，∴DE＝．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，根据三角形相似求出GC＝，是解题的关键．
26．（2023秋·四川成都·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，已知点A（0，3），点B在线段AO上，且AB＝2BO，若点P在x轴的负半轴上，连接BP，过点P作PQ⊥PB．
（1）如图1，点E是射线PQ上一点，过点E作EC⊥x轴，垂足为点C．
①求点B的坐标；②求证：△BOP∽△PCE．
（2）在（1）的条件下，如图2，若点C坐标为（﹣4，0）．过点A作DA⊥y轴，且和CE的延长线交于点D，若点C关于直线PQ的对称点C′正好落在线段AD上，连接PC′，求点P的坐标．
（3）如图3，若∠BPO＝60°，点E在直线PQ上，EC⊥x轴，垂足为点C，若以点E，P，C为顶点的三角形和△BPE相似，请直接写出点E的坐标．
【答案】（1）①；②见解析；（2）或；（3）或或或
【分析】（1）①根据，即可求得点的坐标；
②先根据直角三角形的性质可得，再根据相似三角形的判定即可得证；
（2）设点的坐标为，先根据（1）中相似三角形的性质可得，从而可得，过点作于点，根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质可得，从而可得的长，然后根据建立方程，解方程即可得；
（3）先根据直角三角形的性质和勾股定理求出，再分①和两种情况，每一种情况中再分点在轴上方和点在轴下方两种情况，然后利用相似三角形的性质、直角三角形的性质求解即可得．
【详解】证明：（1）①
②轴轴，轴, ，，
，，
在和中，，；
（2）由题意得：四边形是矩形，，
，，设点的坐标为，则，
，，
由（1）已证：，，即，解得，
，
由对称性得：，
如图，过点作于点，则，
，，
在和中，，，
，即，解得，
，，
整理得：，解得或，
经检验，和均是所列方程的解，故点的坐标为或；
（3）在中，，
，解得（负值已舍去），
轴，，
由题意，分以下两种情况：①当时，则，
在中，，
（Ⅰ）当点在轴上方时，在中，，
，则此时点的坐标为；
（Ⅱ）当点在轴下方时，
，此时点的坐标为；
②当时，则，
在中，，解得（负值已舍去），
（Ⅰ）当点在轴上方时，在中，，
，则此时点的坐标为；
（Ⅱ）当点在轴下方时，同理可得：此时点的坐标为；
综上，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，较难的是题（3），正确考虑到所有可能的情况是解题关键．
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专题4.14 相似三角形 章末检测
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋·贵州六盘水·九年级统考期末）已知线段m，n，求作线段x，使得，下列作图正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·浙江·九年级专题练习）已知与是一对位似三角形，则位似中心最有可能的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·山东菏泽·九年级统考期中）如图，中，，，的平分线交于点D，则点D是线段的黄金分割点．若，则BD＝（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·湖北十堰·九年级专题练习）如图，路边有一根电线杆 AB 和一块正方形广告牌(不考虑牌子的厚度)．有一天，小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆顶端 A的影子刚好落在正方形广告牌的上边中点 G处，而正方形广告牌的影子刚好落在地面上点 E 处，已知 BC=6 米，正方形边长为 3米，DE=5 米．则电线杆 AB 的高度是（ ）米．
A． B．13 C． D．
5．（2023春·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，于点，，则下列结论中错误的是
A． B． C． D．
6．（2023秋·湖南永州·九年级校考阶段练习）如图，已知，则不一定能使∽成立的条件是（ ）
A．∠BAD=∠CAE B．∠B=∠D C． D．
7．（2023·浙江·九年级专题练习）如图1为一张正三角形纸片，其中D点在上，E点在上．以为折痕将B点往右折如图2所示，分别与相交于F点、G点．若，，，，则长度为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．（2023秋·安徽淮南·九年级统考阶段练习）如图，正方形中，为上一点，交的延长线于点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023春·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图在正方形中，E，F分别是，上的点且，分别交，于H，G点．下列结论中：①；②；③；④若，则．正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2023·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，BE＝EC，将沿DE对折至，延长EF交边AB于点G，连接DG，BF，给出给出下列结论：①；②BG＝2AG；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023秋·江苏徐州·九年级统考阶段练习）如果2a＝3b，那么＝ ．
12．（2023秋·湖南永州·九年级统考期中）如图，四边形和是以点O为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为 ．
13．（2023秋·山东聊城·九年级统考期末）如图，在6×6的正方形网格中，连结两格点A，B，线段AB与网格线的交点为M、N，则AM：MN：AB为 ．
14．（2023·广东佛山·校考一模）如图所示，是平行四边形的边上一点，，与相交于点，，那么 ．
15．（2023秋·浙江九年级统考课时练习）是的重心，若过点且，交、于、，若，则 .
16．（2023秋·湖南株洲·九年级统考期末）如图，AB//CD，，E为BC上一点，且．若，，，则DE的长为 ．
17．（2023秋·四川成都·九年级校考期中）如图，在矩形中，，垂足为，动点 分别在上，则的长为 ，的最小值为 ．
18．（2023春·浙江·九年级期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6．动点P，Q从点A同时出发，点P以每秒5个单位长度的速度沿边AB向终点B匀速运动．点Q以每秒6个单位长度的速度沿边AC向终点C匀速运动，连接PQ，以PQ为边作正方形PQMN，使得点M，C始终在PQ的同侧．设点P运动的时间为ts．
（1）PQ PA（填“＞”“＜“或“＝”）．
（2）如图2，当点M落在边BC上时，t＝ s．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023秋·吉林长春·九年级校考期末）图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知△ABC的顶点均在格点上．
（1）在图①中，以格点为顶点，画出△ADC，使△ADC与△ABC全等，且点D与点B不重合．
（2）在图②中，以格点为顶点，画出△AFC，使△AFC与△ABC相似，且相似比不是1．（画出一个即可）
20．（2023秋·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，直线EF分别交的边AB，AC于点F，E，交BC的延长线于点D，已知.求证：.
21．（2023秋·湖南长沙·九年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于点F．（1）求证：△DFC∽△EFB；（2）若DC＝6，BE＝4，DE＝8，求DF的长度．
22．（2023秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在中，D，E分别是AB，AC上的点，∠AED＝∠B，AD＝2，AC＝3，的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．
(1)求证：；(2)求的值．
23．（2023·四川达州·统考二模）如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，．
(1)求证：；(2)若，，三点共线，如图2，连接，求线段的长．
24．（2023秋·上海·九年级校考阶段练习）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D、E分别是边AB、AC上的动点（点D、E不与△ABC的顶点重合），AD和BE交于点F，且∠AFE＝∠ABC
（1）求证：△ABD∽△BCE；（2）设AE＝x，AD FD＝y，求y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（3）当△AEF是等腰三角形时，求DF的长度．
25．（2023·山东泰安·三模）如图，正方形ABCD中，将边AB绕点A旋转到如图位置，连接并延长与线段AB的延长线交于点P，与的平分线交于点G，连接GC，分别过点A、点C作，垂足分别为点E、点F，AG与正方形边长交于点M．
(1)求证：；(2)求证：；(3)若，，求线段DE的长度．
26．（2023秋·四川成都·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，已知点A（0，3），点B在线段AO上，且AB＝2BO，若点P在x轴的负半轴上，连接BP，过点P作PQ⊥PB．
（1）如图1，点E是射线PQ上一点，过点E作EC⊥x轴，垂足为点C．
①求点B的坐标；②求证：△BOP∽△PCE．
（2）在（1）的条件下，如图2，若点C坐标为（﹣4，0）．过点A作DA⊥y轴，且和CE的延长线交于点D，若点C关于直线PQ的对称点C′正好落在线段AD上，连接PC′，求点P的坐标．
（3）如图3，若∠BPO＝60°，点E在直线PQ上，EC⊥x轴，垂足为点C，若以点E，P，C为顶点的三角形和△BPE相似，请直接写出点E的坐标．
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