2.3三角形的内切圆同步训练（含答案） 浙教版数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 2.3三角形的内切圆同步训练（含答案） 浙教版数学九年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 424.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-21 09:40:16 | ||
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文档简介
2.3三角形的内切圆同步训练——浙教版数学九年级下册
一、选择题
1．依据圆规作图的痕迹，可以用没有刻度的直尺确定的内心的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点O是△ABC的内心，若∠A＝70°，则∠BOC的度数是（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
3．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠ACB的平分线CE交于点O，下列说法正确的是（ ）
A．点O是△ABC的内切圆的圆心 B．CE⊥AB
C．△ABC的内切圆经过D，E两点 D．AO＝CO
4．下列说法错误的是（ ）
A．三角形有且只有一个内切圆
B．等腰三角形的内心一定在它的底边的高上
C．三角形的内心不一定都在三角形的内部
D．若I是△ABC的内心，则AI平分∠BAC
5．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
6．若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）
A． B． C． D．
7．《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式.若三角形的三边a，b，c分别为7，6，3，则这个三角形内切圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
8．△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是（ ）
A．120° B．125° C．135° D．150°
9．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6.按以下步骤作图：
①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；
②分别以M，N为圆心，以大于 MN的长为半径作弧，两弧交于点E；
③作射线AE；
④以同样的方法作射线BF，AE交BF于点O，连结OC，则OC为（ ）
A．2 B．2 C． D．1
10．如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，⊙O是△ABC的内切圆，连接AO，BO.则图中阴影部分的面积之和（ ）
A． B． C．12 D．14
11．如图，在 中， ， 于D，⊙O为 的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．等腰三角形的底边长为，腰长为，该等腰三角形内心和外心的距离为 .
13．如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，若∠DEF=52o，则∠A= ．
14．我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 .
15．如图，等边△ABC中，P为三角形内一点，过P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，连结AP、BP、CP，如果S△APF＋S△BPE＋S△PCD＝ ，那么△ABC的内切圆半径为
三、解答题
16．如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D.DB与DI相等吗？为什么？
17．如图，△ABC的三条内角平分线相交于点O，过点O作OE⊥BC于E点，
（1）求证：∠BOD=∠COE．
（2）如果AB=17，AC=8，BC=15，利用三角形内心性质及相关知识，求OE长．
18．在直角三角形ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC，CA，AB相切与点D，E，F，连接AD，与内切圆相交于另一点P，连接PC，PE，PF．已知PC⊥PF，求证：
（1）PD平分∠FPC；
（2）PE∥BC．
19．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P是边AC上的一动点，PH⊥AB，垂足为H．
（1）求⊙O的半径的长及线段AD的长；
（2）设PH=x，PC=y，求y关于x的函数关系式．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】解：三角形内心是三角形三条角平分线的交点，
A、由作图痕迹可得作的是BC边的垂直平分线及过点C作的AB边上的垂线，故此选项不符合题意；
B、由作图痕迹可得作的是AB边的垂直平分线及以及∠BAC的角平分线，故此选项不符合题意；
C、由作图痕迹可得作的是BC、AB边的垂直平分线，故此选项不符合题意；
D、由作图痕迹可得作的是∠A及∠B的角平分线，故此选项符合题意.
故答案为：D.
2．【答案】B
【解析】解：∵O是△ABC的内心，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝ （∠ABC+∠ACB）＝ （180°﹣∠A）＝ （180°﹣70°）＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°.
故答案为：B.
3．【答案】A
【解析】解：∵△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠ACB的平分线CE交于点O，
∴点O是△ABC的内切圆的圆心；
故答案为：A．
4．【答案】C
【解析】解：A、任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但一个圆可以有无数个外切三角形；故A正确，不符合题意；
B、根据等腰三角形底边上的三线合一及三角形内心的定义即可知：等腰三角形的内心一定在它的底边的高上，故B是正确的，不符合题意；
C、任何三角形的内心都在三角形的内部，故C错误，符合题意；
D、根据三角形内心是三角形三内角平分线的交点即可得出：若I是△ABC的内心，则AI平分∠BAC。是正确的，故D不符合题意；
故答案为 ：C
5．【答案】D
【解析】如图，⊙O是△ABC的内切圆，⊙O切AB于F，切AC于E，切BC于D，
连接AD，OB，则AD过O（因为等边三角形的内切圆的圆心再角平分线上,也在底边的垂直平分线上），
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60 ，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠OBC= ∠ABC=30 ，
∵⊙O切BC于D，
∴∠ODB=90 ，
∵OD=1，
∴OB=2，
由勾股定理得：BD= = ，
同理求出CD= ，
即BC=2 .
故答案为：D.
6．【答案】B
【解析】解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：
S= ，
又∵r= ，
∴a+b=2r+c，
将a+b=2r+c代入S= 得：S= r=r（r+c）．
又∵内切圆的面积是πr2，
∴它们的比是 ．
故答案为：B．
7．【答案】B
【解析】解：∵三角形的三边a，b，c分别为7，6，3，
∴
，如图，
设这个三角形内切圆的半径为，
则，
即，
∵三角形的三边a，b，c分别为7，6，3，
∴，
解得：，
∴这个三角形内切圆的半径为.
故答案为：B.
8．【答案】C
【解析】如图.
∵CD为等腰△ABC的底边AB上的高，
∴∠ADC=90°
∴∠BAC+∠ACD=90°
又∵I为△ACD的内切圆圆心，
∴AI、CI分别是∠BAC和∠ACD的角平分线，
∴∠IAC+∠ICA=(∠BAC+∠ACD)=×90°=45°，
∴∠AIC=135°；
又∵AB=AC，∠BAI=∠CAI，AI=AI；
∴△AIB≌△AIC(SAS)，
∴∠AIB=∠AIC=135°.
故答案为：C.
9．【答案】A
【解析】解：过点O作OD⊥BC，OG⊥AC，垂足分别为D，G，
由题意可得：O是△ACB的内心，
∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∴四边形OGCD是正方形，
∴DO＝OG＝ ＝2，
∴CO＝2 .
故答案为：A.
10．【答案】B
【解析】解：设圆O与△ABC的三边相切与点D、E、F
∴∠C=∠OFC=∠OEC=90°，OE=OF
∴四边形OFCE是正方形，
∴OE=CE，∠FOE=90°
⊙O是△ABC的内切圆，
∴OA、OB分别平分∠BAC， ∠ABC
∴∠OAB+∠OBA=45°，
∠AOB=180°-45°=135°
∴AB=
设圆O的半径为r，
∴
即
解之：r=2
∴S阴影部分=
=
故答案为：B
11．【答案】B
【解析】解：如图，令 分别与 的三边切于P，Q，T，连接
∴
∴
=
=
又∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：B.
12．【答案】
【解析】解：作如图所示等腰及底边的中线，
是等腰三角形，
外心E、内心F均在上，垂直平分，
∴，，
连接，
由外心的定义可知，，
设，则，，
在中，，
，
解得：，
，
由内心的定义，运用等面积法可知，
，
求得，
，
该等腰三角形内心和外心的距离为.
13．【答案】76°
【解析】解：连接ID、IF；
∵I是△ABC的内切圆，
∴ID⊥AB，IF⊥AC；
∵∠DIF=2∠DEF=104°，
四边形DIFA中，∠IDA=∠IFA=90°，
∴∠A=180° ∠DIF=76°，
故答案为：76°
14．【答案】289
【解析】解：设四个全等的直角三角形的三边分别为，较长的直角边为较短的直角边为为斜边，
直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，
，
①，②，
，
③，
，
解得或（舍去），
大正方形的面积为.
故答案为：289.
15．【答案】
【解析】如图，过P点作正△ABC的三边的平行线，
则△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，
四边形ASPM，四边形NCOP，四边形PQBR是平行四边形，
故可知黑色部分的面积=白色部分的面积，
∵S△APF＋S△BPE＋S△PCD＝ ，
∴S△ABC= ，
∵S△ABC= AB2sin60°= ，
∴AB=6，
∴三角形ABC的高h=3 ，
则△ABC的内切圆半径r= h= .
故答案为： .
16．【答案】解：DB＝DI，
理由如下：连接BI，
由圆周角定理得，∠DBC＝∠DAC，
∵I是△ABC的内心，
∴∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠CAD，
由三角形的外角的性质可知，∠DIB＝∠IBA+∠ABI，又∠DBI＝∠DBC+∠IBC，
∴∠DIB＝∠DBI，
∴DB＝DI.
17．【答案】（1）证明：∵∠AFO=∠FBC+∠ACB=∠ABC+∠ACB，
∴∠AOF=180°﹣（∠DAC+∠AF0）
=180°﹣[∠BAC+∠ABC+∠ACB]
=180°﹣[（∠BAC+∠ABC）+∠ACB]
=180°﹣[（180°﹣∠ACB）+∠ACB]
=180°﹣[90°+∠ACB]
=90°﹣∠ACB，
∴∠BOD=∠AOF=90°﹣∠ACB，
又∵在直角△OCE中，∠COE=90°﹣∠OCD=90°﹣∠ACB，
∴∠BOD=∠COE．
（2）解：∵AB=17，AC=8，BC=15，
∴AC2+BC2=289，
AB2=289，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，
∴EO==3．
18．【答案】解：（1）∵BC与圆相切，∴∠PFD=∠PDC．∵BF、BD分别于圆相切，∴∠BFD=∠BDF=45°．∴∠FPD=45°．∵PC⊥PF，∴∠FPD=∠DPC．故PD平分∠FPC；（2））∵AE、AF与圆相切，∴∠AFP=∠ADF，∠AEP=∠ADE，∵∠FAD=∠PAF，∠EAP=∠DAE，∴△AFP∽△ADF，△AEP∽△ADE，∴，∴，∴．∵∠EPD=∠EDC，∴△EPD∽△EDC，∴△EPD也是等腰三角形，∴∠PED=∠EPD=∠EDC，∴PE∥BC．
19．【答案】解：（1）连接AO、DO．设⊙O的半径为r．
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC==4，
则⊙O的半径r=（AC+BC﹣AB）=（4+3﹣5）=1；
∵CE、CF是⊙O的切线，∠ACB=90°，
∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°，CF=CE，
∴四边形CEOF是正方形，
∴CF=OF=1；
又∵AD、AF是⊙O的切线，
∴AF=AD；
∴AF=AC﹣CF=AC﹣OF=4﹣1=3，
即AD=3；
（2）点P在线段AC上时．
在Rt△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，
∵∠C=90°，PH⊥AB，
∴∠C=∠PHA=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AHP∽△ACB，
∴，
即
∴y=﹣x+4，
即y与x的函数关系式是y=﹣x+4．
一、选择题
1．依据圆规作图的痕迹，可以用没有刻度的直尺确定的内心的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点O是△ABC的内心，若∠A＝70°，则∠BOC的度数是（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
3．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠ACB的平分线CE交于点O，下列说法正确的是（ ）
A．点O是△ABC的内切圆的圆心 B．CE⊥AB
C．△ABC的内切圆经过D，E两点 D．AO＝CO
4．下列说法错误的是（ ）
A．三角形有且只有一个内切圆
B．等腰三角形的内心一定在它的底边的高上
C．三角形的内心不一定都在三角形的内部
D．若I是△ABC的内心，则AI平分∠BAC
5．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
6．若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）
A． B． C． D．
7．《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式.若三角形的三边a，b，c分别为7，6，3，则这个三角形内切圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
8．△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是（ ）
A．120° B．125° C．135° D．150°
9．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6.按以下步骤作图：
①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；
②分别以M，N为圆心，以大于 MN的长为半径作弧，两弧交于点E；
③作射线AE；
④以同样的方法作射线BF，AE交BF于点O，连结OC，则OC为（ ）
A．2 B．2 C． D．1
10．如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，⊙O是△ABC的内切圆，连接AO，BO.则图中阴影部分的面积之和（ ）
A． B． C．12 D．14
11．如图，在 中， ， 于D，⊙O为 的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．等腰三角形的底边长为，腰长为，该等腰三角形内心和外心的距离为 .
13．如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，若∠DEF=52o，则∠A= ．
14．我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 .
15．如图，等边△ABC中，P为三角形内一点，过P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，连结AP、BP、CP，如果S△APF＋S△BPE＋S△PCD＝ ，那么△ABC的内切圆半径为
三、解答题
16．如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D.DB与DI相等吗？为什么？
17．如图，△ABC的三条内角平分线相交于点O，过点O作OE⊥BC于E点，
（1）求证：∠BOD=∠COE．
（2）如果AB=17，AC=8，BC=15，利用三角形内心性质及相关知识，求OE长．
18．在直角三角形ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC，CA，AB相切与点D，E，F，连接AD，与内切圆相交于另一点P，连接PC，PE，PF．已知PC⊥PF，求证：
（1）PD平分∠FPC；
（2）PE∥BC．
19．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P是边AC上的一动点，PH⊥AB，垂足为H．
（1）求⊙O的半径的长及线段AD的长；
（2）设PH=x，PC=y，求y关于x的函数关系式．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】解：三角形内心是三角形三条角平分线的交点，
A、由作图痕迹可得作的是BC边的垂直平分线及过点C作的AB边上的垂线，故此选项不符合题意；
B、由作图痕迹可得作的是AB边的垂直平分线及以及∠BAC的角平分线，故此选项不符合题意；
C、由作图痕迹可得作的是BC、AB边的垂直平分线，故此选项不符合题意；
D、由作图痕迹可得作的是∠A及∠B的角平分线，故此选项符合题意.
故答案为：D.
2．【答案】B
【解析】解：∵O是△ABC的内心，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝ （∠ABC+∠ACB）＝ （180°﹣∠A）＝ （180°﹣70°）＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°.
故答案为：B.
3．【答案】A
【解析】解：∵△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠ACB的平分线CE交于点O，
∴点O是△ABC的内切圆的圆心；
故答案为：A．
4．【答案】C
【解析】解：A、任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但一个圆可以有无数个外切三角形；故A正确，不符合题意；
B、根据等腰三角形底边上的三线合一及三角形内心的定义即可知：等腰三角形的内心一定在它的底边的高上，故B是正确的，不符合题意；
C、任何三角形的内心都在三角形的内部，故C错误，符合题意；
D、根据三角形内心是三角形三内角平分线的交点即可得出：若I是△ABC的内心，则AI平分∠BAC。是正确的，故D不符合题意；
故答案为 ：C
5．【答案】D
【解析】如图，⊙O是△ABC的内切圆，⊙O切AB于F，切AC于E，切BC于D，
连接AD，OB，则AD过O（因为等边三角形的内切圆的圆心再角平分线上,也在底边的垂直平分线上），
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60 ，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠OBC= ∠ABC=30 ，
∵⊙O切BC于D，
∴∠ODB=90 ，
∵OD=1，
∴OB=2，
由勾股定理得：BD= = ，
同理求出CD= ，
即BC=2 .
故答案为：D.
6．【答案】B
【解析】解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：
S= ，
又∵r= ，
∴a+b=2r+c，
将a+b=2r+c代入S= 得：S= r=r（r+c）．
又∵内切圆的面积是πr2，
∴它们的比是 ．
故答案为：B．
7．【答案】B
【解析】解：∵三角形的三边a，b，c分别为7，6，3，
∴
，如图，
设这个三角形内切圆的半径为，
则，
即，
∵三角形的三边a，b，c分别为7，6，3，
∴，
解得：，
∴这个三角形内切圆的半径为.
故答案为：B.
8．【答案】C
【解析】如图.
∵CD为等腰△ABC的底边AB上的高，
∴∠ADC=90°
∴∠BAC+∠ACD=90°
又∵I为△ACD的内切圆圆心，
∴AI、CI分别是∠BAC和∠ACD的角平分线，
∴∠IAC+∠ICA=(∠BAC+∠ACD)=×90°=45°，
∴∠AIC=135°；
又∵AB=AC，∠BAI=∠CAI，AI=AI；
∴△AIB≌△AIC(SAS)，
∴∠AIB=∠AIC=135°.
故答案为：C.
9．【答案】A
【解析】解：过点O作OD⊥BC，OG⊥AC，垂足分别为D，G，
由题意可得：O是△ACB的内心，
∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∴四边形OGCD是正方形，
∴DO＝OG＝ ＝2，
∴CO＝2 .
故答案为：A.
10．【答案】B
【解析】解：设圆O与△ABC的三边相切与点D、E、F
∴∠C=∠OFC=∠OEC=90°，OE=OF
∴四边形OFCE是正方形，
∴OE=CE，∠FOE=90°
⊙O是△ABC的内切圆，
∴OA、OB分别平分∠BAC， ∠ABC
∴∠OAB+∠OBA=45°，
∠AOB=180°-45°=135°
∴AB=
设圆O的半径为r，
∴
即
解之：r=2
∴S阴影部分=
=
故答案为：B
11．【答案】B
【解析】解：如图，令 分别与 的三边切于P，Q，T，连接
∴
∴
=
=
又∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：B.
12．【答案】
【解析】解：作如图所示等腰及底边的中线，
是等腰三角形，
外心E、内心F均在上，垂直平分，
∴，，
连接，
由外心的定义可知，，
设，则，，
在中，，
，
解得：，
，
由内心的定义，运用等面积法可知，
，
求得，
，
该等腰三角形内心和外心的距离为.
13．【答案】76°
【解析】解：连接ID、IF；
∵I是△ABC的内切圆，
∴ID⊥AB，IF⊥AC；
∵∠DIF=2∠DEF=104°，
四边形DIFA中，∠IDA=∠IFA=90°，
∴∠A=180° ∠DIF=76°，
故答案为：76°
14．【答案】289
【解析】解：设四个全等的直角三角形的三边分别为，较长的直角边为较短的直角边为为斜边，
直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，
，
①，②，
，
③，
，
解得或（舍去），
大正方形的面积为.
故答案为：289.
15．【答案】
【解析】如图，过P点作正△ABC的三边的平行线，
则△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，
四边形ASPM，四边形NCOP，四边形PQBR是平行四边形，
故可知黑色部分的面积=白色部分的面积，
∵S△APF＋S△BPE＋S△PCD＝ ，
∴S△ABC= ，
∵S△ABC= AB2sin60°= ，
∴AB=6，
∴三角形ABC的高h=3 ，
则△ABC的内切圆半径r= h= .
故答案为： .
16．【答案】解：DB＝DI，
理由如下：连接BI，
由圆周角定理得，∠DBC＝∠DAC，
∵I是△ABC的内心，
∴∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠CAD，
由三角形的外角的性质可知，∠DIB＝∠IBA+∠ABI，又∠DBI＝∠DBC+∠IBC，
∴∠DIB＝∠DBI，
∴DB＝DI.
17．【答案】（1）证明：∵∠AFO=∠FBC+∠ACB=∠ABC+∠ACB，
∴∠AOF=180°﹣（∠DAC+∠AF0）
=180°﹣[∠BAC+∠ABC+∠ACB]
=180°﹣[（∠BAC+∠ABC）+∠ACB]
=180°﹣[（180°﹣∠ACB）+∠ACB]
=180°﹣[90°+∠ACB]
=90°﹣∠ACB，
∴∠BOD=∠AOF=90°﹣∠ACB，
又∵在直角△OCE中，∠COE=90°﹣∠OCD=90°﹣∠ACB，
∴∠BOD=∠COE．
（2）解：∵AB=17，AC=8，BC=15，
∴AC2+BC2=289，
AB2=289，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，
∴EO==3．
18．【答案】解：（1）∵BC与圆相切，∴∠PFD=∠PDC．∵BF、BD分别于圆相切，∴∠BFD=∠BDF=45°．∴∠FPD=45°．∵PC⊥PF，∴∠FPD=∠DPC．故PD平分∠FPC；（2））∵AE、AF与圆相切，∴∠AFP=∠ADF，∠AEP=∠ADE，∵∠FAD=∠PAF，∠EAP=∠DAE，∴△AFP∽△ADF，△AEP∽△ADE，∴，∴，∴．∵∠EPD=∠EDC，∴△EPD∽△EDC，∴△EPD也是等腰三角形，∴∠PED=∠EPD=∠EDC，∴PE∥BC．
19．【答案】解：（1）连接AO、DO．设⊙O的半径为r．
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC==4，
则⊙O的半径r=（AC+BC﹣AB）=（4+3﹣5）=1；
∵CE、CF是⊙O的切线，∠ACB=90°，
∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°，CF=CE，
∴四边形CEOF是正方形，
∴CF=OF=1；
又∵AD、AF是⊙O的切线，
∴AF=AD；
∴AF=AC﹣CF=AC﹣OF=4﹣1=3，
即AD=3；
（2）点P在线段AC上时．
在Rt△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，
∵∠C=90°，PH⊥AB，
∴∠C=∠PHA=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AHP∽△ACB，
∴，
即
∴y=﹣x+4，
即y与x的函数关系式是y=﹣x+4．