3.5圆周角 浙教版初中数学九年级上册同步练习（含解析）

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3.5圆周角浙教版初中数学九年级上册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，两灯塔，之间的距离恰好为暗礁区所在的圆的半径，要使船不驶入暗礁区，则航行中应保持( )
A. 大于 B. 大于 C. 小于 D. 小于
2.如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是
( )
A. B. C. D.
3.计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：
当任务完成的百分比为时，线段的长度记为下列描述正确的是( )
A. 当时， B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
4.如图，的半径为，点为上的一点，弦于点，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，在矩形中，，是边上的一动点，以为直径的经过边上的一点若使最小，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，四边形的外接圆为，，，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于，两点，连结，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在中，，，点，分别在和上，，若以为直径的交的中点，可知的直径是( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，在中，弦、点是圆上一点且，则的直径为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，是的弦，，垂足为，，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11.如图，在中，，，点，在上，边，分别交于，两点，点是的中点，则 ．
12.点、、是上不同的三点，已知，则 ______ 度
13.如图，在中，弦与弦相交于点，，，延长至点，连接，设，则的取值范围是______ ．
14.如图，是的内接三角形．若，，则的半径是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.本小题分
如图所示，在中，弦与相交于点，，连结，．
求证：．
．
16.本小题分
如图，是的直径，是的中点，于点，交于点．
求证：
若，，求的半径及的长．
17.本小题分
如图，是的外接圆，，的平分线交于点若，，求的长．
18.本小题分
如图，是的直径，弦于点，是上任意一点，连结，，求证：．
19.本小题分
如图，是的直径，求的度数．
20.本小题分
我们给出定义：如果三角形存在两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”已知为“准互余三角形”，并且．
如图，若且，求边的长；
如图，，以边为直径作，交于点，若，，试求的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
过作交的延长线于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】
解：过作交的延长线于，
平分，，
，
四边形的面积，
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆的弧，弦，圆心角的关系，根据圆心角、弧、弦之间的关系，列出具体数据，解题即可．
【解答】
解：当，时，，，故A错；
B.当，时，，，故B错；
C.当时，即两弧所对的弦相等，所以 ，故C正确；
D.当时，与即两弧所对的弦不一定相等，故D错误．
故选C．
4.【答案】
【解析】解：如图，连接．
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
连接，解直角三角形求出，可得，可得结论．
本题考查圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5.【答案】
【解析】解：由题意知：当最小时，以为直径的与相切与点，如图，
设与交于点，连接，，与交于点，
四边形为矩形，
，，．
为直径，
，
，
四边形为矩形，
．
为的切线，
，
，
为梯形的中位线，
．
，
设，则，设，则，，
．
在中，
，
，
解得：
，
，
．
故选：．
由题意知：当最小时，以为直径的与相切与点，设与交于点，连接，，与交于点，设，则，设，则，，；利用矩形的性质，圆的切线的性质，圆周角定理和勾股定理求得值，则结论可得．
本题主要考查了矩形的性质，圆的有关性质，圆周角定理，切线的性质定理，梯形的中位线定理，勾股定理，利用已知条件确定出符合条件的图形是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
．
故选：．
利用圆心角、弧、弦的关系得到，再利用圆周角定理得到，，然后根据三角形内角和计算的度数．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
7.【答案】
【解析】解：，
又，
，
故选：．
利用圆周角定理解决问题即可．
本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
8.【答案】
【解析】解：如图，连接，
，是的中点，，
，，，
，
是的直径，
，
，
≌，
，
由勾股定理得：．
故选：．
如图，连接，证明≌，得，最后由勾股定理可得直径的长．
本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质和判定，勾股定理，连接证明≌是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，
，
在中，
，，
由勾股定理得：．
则的直径为．
故选：．
根据圆周角定理可得，在等腰直角三角形中，应用勾股定理进行计算即可得出的长度，从而得出答案．
本题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形，熟练掌握圆周角定理进行求解是解决本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：如图所示，连接，
，
，垂足为，，，
在中，，
，
，
是等腰三角形，
，
故选：．
如图所示见详解，连接，得，且，，，由此即可求出，再根据等腰三角形的性质即可求解．
本题主要考查圆与含角的直角三角形，等腰三角形性质的综合运用，掌握圆的知识，含角的直角三角形的性质，等腰三角形性质是解题的关键．
11.【答案】
【解析】略
12.【答案】或
【解析】解：分两种情况：
当点在优弧上时，如图：
，，
，
；
当点在劣弧上时，如图：
，，
，
，
，
；
综上所述：的度数为或，
故答案为：或．
分两种情况：当点在优弧上时，当点在劣弧上时，然后分别进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，分两种情况讨论是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：连接，
，
，
，，
，
，
是的一个外角，
，
，
故答案为：．
连接，根据可得到，再根据三角形的内角和定理求得，然后根据三角形的外角性质得到可得到结论．
本题考查弧、弦、圆周角的关系、三角形的内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握弧与圆周角的关系以及三角形的外角性质是解答的关键．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
连接并延长交于点，连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用同弧所对的圆周角相等可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的半径，即可解答．
【解答】
解：连接并延长交于点，连接，
是的直径，
，
，
，
即
，
的半径是，
故答案为：．
15.【答案】证明：，
，即，
．
，
．
又，，
≌，
．
【解析】略
16.【答案】解：证明：为的直径，
，
．
，
，
，
A.
是弧的中点，
，
，
，
．
，
．
，
，
的半径为，
，
．

【解析】见答案．
17.【答案】解：连接，
，
是的直径．
的角平分线交于，
，
，
是的直径，
是等腰直角三角形，
，
，
．
【解析】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．连接，根据是的角平分线可知，故可得出，再由是的直径可知是等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长，在中，利用勾股定理可得出的长．
18.【答案】证明：连结，
，是的直径，
，
．
，
．

【解析】略
19.【答案】略
【解析】略
20.【答案】解：，为“准互余三角形”，
，
即，
，
过点作于点，过点作于点，如图，
在中，，
，
，
平分，
，
，
在中，，
；
延长交于点，连接、，如图，
为直径，
，
，为“准互余三角形”，
，
，
，
即平分，
，
，，
，
，
，
在中，，
设，则，，
在中，，
，
解得，
在中，，
的面积
【解析】利用新定义计算出，过点作于点，过点作于点，如图，先计算出，则，再证明，平分，根据角平分线的性质得到，所以，然后在中利用含度直角三角形三边的关系得到的长；
延长交于点，连接、，如图，利用圆周角定理得到为直径，再利用新定义计算出，即平分，所以，接着证明得到，于是利用勾股定理可计算出，设，则，，在中得到，解方程得到，然后在中利用勾股定理计算出，从而得到的面积．
本题考查了圆周角定理：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了角平分线的性质和勾股定理．
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