3.6圆内接四边形 浙教版初中数学九年级上册同步练习（含解析）

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3.6圆内接四边形浙教版初中数学九年级上册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，在圆内接四边形中，，，的度数之比为，则的度数为( )
A. B. C. D.
2.如图，四边形内接于，连结若，，则的度数是( )
A. B. C. D.
3.如图，四边形内接于，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，点，，在上，，，，则的半径为
( )
A. B. C. D.
5.有下列命题：
顶点在圆周上的角是圆周角
圆周角的度数等于圆心角度数的一半
度的圆周角所对的弦是直径
直径所对的角是直角
若圆周角相等，则它们所对的弧也相等
同弧或等弧所对的圆周角相等
其中真命题有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.如图，在中，点、、在上，且，则( )
A. B. C. D.
7.如图，四边形内接于，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，四边形内接于，连接，，且，，则的度数为
( )
A. B. C. D.
9.如图，四边形为的内接四边形，若四边形为菱形，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，四边形内接于，且，若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11.如图，四边形是的内接四边形，点是的中点，点是上的一点，若，则______．
12.如图，为的直径，点是延长线上的一点，交于点、，，，则的度数为______ ．
13.若四边形是圆内接四边形，若它的内角：：，则 ______ ．
14.如图，四边形是的内接四边形，连结，，若，则 ______ 度
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.本小题分
如图，在圆内接四边形中，，，，求四边形的面积．
16.本小题分
如图，四边形内接于圆，，的延长线交于点，是延长线上任意一点，．
求证：平分；
求证：．
17.本小题分
已知，如图，是的直径，弦于点，是上一点，与的延长线交于点．
如，，求的半径长；
求证：．
18.本小题分
已知，以为直径的分别交于，于，连接，若．
求证：；
若，，求的长．
19.本小题分
如图，已知点、、、、都在在上，且四边形是平行四边形．
证明：；
若，，的长度是，求的长．
20.本小题分
如图，四边形内接于，，，垂足为．
若，则______；
求证：；
若，，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
设，，，根据圆内接四边形的性质求出的值，进而可得出结论．
【解答】
解：，，的度数之比为：：，
设，则，．
四边形是圆内接四边形，
，即，解得，
，
．
故选B．
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理的综合应用，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．
由于四边形内接于，根据圆内接四边形的对角互补即可求得的度数，而、是同弧所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理即可得到的度数．
【解答】
解：四边形内接于，
，而，
，
．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是勾股定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质有关知识，在圆周上取一点，连接，，，延长，过点作于，先求出，然后求出，然后再利用勾股定理解答即可．
【解答】
解：在圆周上取一点，连接，，，延长，过点作于
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
在中
，，
，
在中，
，
，
在中，，
，
，
则的半径为．
故选C．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．根据圆周角的定义对进行判断；根据圆周角定理对进行判断．
【解答】
解：顶点在圆周上，且两边与圆相交的角是圆周角，所以错误；
同弧或等弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半，所以错误；
度的圆周角所对的弦是直径，所以正确；
直径所对的圆周角是直角，所以错误；
在同圆或等圆中，圆周角相等，则它们所对的弧也相等，所以错误；
同弧或等弧所对的圆周角相等，所以正确．
故选B．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．作所对的圆周角，如图，利用圆内接四边形的性质得，然后根据圆周角定理求解．
【解答】
解：作所对的圆周角，如图，
，
，
．
故选．
7.【答案】
【解析】解：，
，
四边形内接于，
，
故选：．
先由圆周角定理得到，再由圆内接四边形对角互补可得．
本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟知同弧所对的圆周角度数是圆心角的一半是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质等知识点，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．根据圆内接四边形的性质得出，求出，根据等腰三角形的性质得出，求出，根据圆周角定理得出，再求出答案即可．
【解答】
解：四边形内接于，
，
，
，
，
，
，
．
故选D．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
根据圆内接四边形的性质得到，根据圆周角定理得到，根据菱形的性质得到，计算即可．
【解答】
解：四边形为的内接四边形，
，
由圆周角定理得：，
四边形为菱形，
，
，
解得：，
故选：．
10.【答案】
【解析】解：如图所示，连接，
，，，
，
四边形内接于，，
，
．
，
故选：．
根据勾股定理求得，根据圆内接四边对角互补，得出，继而根据勾股定理即可求解．
本题考查了圆内接四边形对角互补，勾股定理，同弧所对弦相等，熟练掌握以上知识是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，
的度数是，
点是的中点，
的度数也是，
的度数是，
圆周角的度数是，
故答案为：．
先求出的度数，根据圆心角、弧、弦之间的关系求出的度数，求出的度数，即可求出答案．
本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系，能求出每段弧的度数是解此题的关键．
12.【答案】
【解析】解：如图所示：
连接，
是的直径，
，
设，
，
，
四边形内接于，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
连接，则，设，利用三角形的外角和圆内接四边形的性质解题即可．
本题考查直径所对的圆周角是直角，以及圆内接四边形的性质和三角形的外角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：四边形是圆内接四边形，
，
：：，
，
，
解得：．
故答案为：
根据圆内接四边形的性质可得，再由：：，即可求解．
本题考查了圆内接四边形的性质，解题的关键是根据圆内接四边形对角互补的性质列方程．
14.【答案】
【解析】解：，
．
四边形是圆内接四边形，
．
故答案为：．
先根据圆周角定理求出的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．
本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．
15.【答案】 提示：延长至点，使，连结，则≌，且可证是等边三角形，则
【解析】略
16.【答案】证明：四边形内接于圆，
，
，
，
由圆周角定理得，，
又，
，
，
，
，
即平分；
证明：，
，
又，
，
．
【解析】本题考查了角平分线的性质与判定，圆周角定理，以及圆内接四边形的性质．
由，，推出，由，以及，推出，即可推出，即可解决问题；
由，得出，再由，得出，可得．
17.【答案】解：连接设的半径为．
，
，
在中，，
，
解得．
证明：连接，
弦
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
．
【解析】【分析】
本题考查的是圆周角定理和垂径定理的应用，掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键，学会添加常用辅助线．
连接设的半径为在中，根据，构建方程即可解决问题；
连接，根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到，根据圆内接四边形的性质证明即可．
18.【答案】证明：，
，
，，
，
，
；
解：连接，
为直径，
，
设，
由知，
则，
在中，由勾股定理可得：
，
在中，由勾股定理可得：
，
，
解得：，
即：
【解析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
由等腰三角形的性质得到，由圆内接四边形的性质得到，由此推得，由等腰三角形的判定即可证得结论；
连接，由为直径，可证得，结合勾股定理可求得的长．
19.【答案】证明：连接，如图，
四边形是平行四边形，
，，
，
；
解：如图，连接、、、、、、、
四边形是圆内接四边形，四边形是圆内接四边形，
，
和是等边三角形，
，
，
，
，
作于，则，，
，
的长度是，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
．
【解析】连接，即可证得，从而证得，即可证得结论；
根据圆内接四边形的性质得出，即可证得和是等边三角形，得出，根据平行线的性质得出，即可得出，作于，则，，解直角三角形求得，即圆的半径为，由的长度是得出，即可证得，得到，解等腰直角三角形求得，由等边三角形的性质得出．
本题考查了圆周角定理，平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，解直角三角形等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：，，
，
四边形是的内接四边形，
，
故答案为：；
证明：，
，
，
，
，
，
，
；
解：过作于，
，
，，
，
，
过作交的延长线于，
，
，
≌，
，，
，
∽，
，
，
设，，
，
，
．
根据等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质即可得到结论；
根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论；
过作于，根据等腰三角形的性质得到，，过作交的延长线于，根据全等三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，设，，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了圆内接四边形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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