3.8弧长及扇形的面积 浙教版初中数学九年级上册同步练习（含解析）

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3.8弧长及扇形的面积浙教版初中数学九年级上册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，四边形是半径为的的内接四边形，连接，若：：，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
2.如图，在中，，，以点为中心，把逆时针旋转，得到，则图中阴影部分的面积为
( )
A. B. C. D.
3.三个正方形方格在扇形中的位置如图所示，点为扇形的圆心，格点，，分别在扇形的两条半径和弧上，已知每个方格的边长为，则的长与扇形的面积分别是为( )
A. ；
B.
C.
D.
4.如图，阴影部分是某个品牌商标的图案，为了研究它的面积，小明通过数学知识找到弧所在圆的圆心，经测量，，则商标的面积为( )
A. B. C. D.
5.如图，将一把折扇打开后，小东测量出，，，那么由，及线段，线段所围成的扇面的面积约是( )
A. B. C. D.
6.如图，网格中的小正方形边长都是，则以为圆心，为半径的弧和弦所围成的弓形面积等于( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，正方形的边长为，以正方形的边长为直径在正方形内部作半圆，以正方形的顶点为圆心，边长为半径在正方形内部作弧，求阴影部分的面积( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，正方形边长为，分别以它的条边为直径作半圆，则圆中阴影部分面积为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，，是以为直径的半圆上的三等分点，是上一点，若，则阴影的面积为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，四边形是的内接四边形，的半径为，，则弧的长为( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11.如图，是围墙，，，有一根长的绳子，一端拴在围墙一角的柱子处，另一端处拴着一只羊，这只羊活动区域的最大面积为 ．
12.如图，将线段绕点顺时针旋转，得到线段若，则点经过的路径长度为______ 结果保留
13.如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为______．
14.如图，边长为的正方形的对角线交于点，以为半径的扇形的圆心角，则图中阴影部分面积是______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.本小题分
如图所示，在正方形网格中，为格点三角形顶点都是格点，将绕点按逆时针方向旋转得到．
在正方形网格中，作出不要求写作法
设网格小正方形的边长为，求线段所扫过的图形的面积．结果保留
16.本小题分
如图，是围墙，，，一根长的绳子，一端拴在围墙一角的柱子处，另一端处拴着一只羊，求这只羊活动区域的最大面积．
17.本小题分
如图，已知圆上两点，，用直尺和圆规求作以为边的圆内接等腰三角形保留作图痕迹，不写画法．
如图，若圆的直径为，，求图中阴影部分的面积．
18.本小题分
如图，已知是的直径，，是上的点，，交于点，连结．
求证：．
若，，求的长．
19.本小题分
如图，在等腰中，，是的角平分线，且，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点．
求由弧及线段、、围成图形图中阴影部分的面积；
将阴影部分剪掉，余下扇形，将扇形围成一个圆锥的侧面，与正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高．
20.本小题分
如图，，，是上三点，其中，过点画于点．
求证：；
若，，求图中圆的半径．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：四边形内接于，，
．
又：：
．
的半径为，
劣弧的长为
故选：．
利用圆周角定理和圆内接四边形的性质求得，结合弧长公式进行解答即可．
本题考查了圆周角定理、弧长的计算，本题中利用圆周角定理中圆周角与圆心角的关系得出角的度数，从而得到，从而得出劣弧的长．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质，三角形面积，扇形面积公式的应用．
根据阴影部分的面积是扇形的面积的面积的面积扇形的面积，代入数值解答即可．
【解答】
解：在中，，，
，，
阴影部分的面积，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：如图，连接，
由图可知，，
的长，
扇形的面积为，
故选：．
连接，根据勾股定理求出，即圆半径，求出，根据弧长公式以及扇形面积公式，求出即可．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，弧长公式，扇形面积等知识点，能求出长和的度数是解此题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的定义和性质，勾股定理等知识．
连接，，先证出是等边三角形，得出，，再根据割补法求出阴影部分面积．
【解答】
解：连接，
，
垂直平分，
是等边三角形，
5.【答案】
【解析】解：根据题意可得：，，，
线段所围成的扇面的面积为：，
故选：．
根据线段所围成的扇面的面积即可得出答案．
本题考查的是扇形面积的计算，熟练掌握扇形的面积公式是解答此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：由题意，，，
，
故选：．
弓形面积看成扇形面积减去三角形面积即可．
本题考查扇形的面积，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分面积．
7.【答案】
【解析】解：取中点，连接，
正方形的边长为，
，
，
扇形的面积，的面积，
弓形的面积扇形的面积的面积，
的面积，半圆的面积，，
阴影的面积的面积半圆的面积弓形的面积．
故选：．
取中点，连接，由阴影的面积的面积半圆的面积弓形的面积，求出的面积，半圆的面积，弓形的面积，即可解决问题．
本题考查扇形面积的计算，三角形面积的计算，关键是得到阴影的面积的面积半圆的面积弓形的面积．
8.【答案】
【解析】解：如图，连接、、，
则，，
由题意得：图中阴影部分的面积．
故选：．
如图，作辅助线；首先求出半圆的面积，其次求出的面积；观察图形可以发现：阴影部分的面积，求出值，即可解决问题．
该题主要考查了正方形的性质、圆的面积公式、三角形的面积公式等知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，将阴影部分的面积转化为规则图形的面积和或差．
9.【答案】
【解析】解：连接，，
，是以为直径的半圆上的三等分点，
，，
的面积等于的面积，
，
故选：．
利用等底等高的三角形面积相等可知，利用扇形的面积公式计算即可．
本题考查了扇形面积的计算．根据图形推知图中是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：连接、，
四边形是的内接四边形，，
，
，
，
，
故选：．
连接、，根据圆内接四边形的性质求出的度数，根据圆周角定理求出的度数，利用弧长公式计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理以及弧长的计算，掌握圆内接四边形的对角互补、弧长公式是解题的关键．
11.【答案】
【解析】如图，扇形和扇形为羊活动的区域．，
，这只羊活动区域的最大面积为
12.【答案】
【解析】【分析】
利用弧长公式计算即可．
本题考查弧长公式，旋转变换等知识，解题的关键是记住弧长．
【解答】
解：长度，
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：由题意，，，
，
故答案为：．
利用扇形的面积公式求解即可．
本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是记住扇形的面积．
14.【答案】
【解析】解：如图，四边形是正方形，
，，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
故答案为：．
证明≌，推出，推出，再根据，求解即可．
本题考查扇形的面积，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
15.【答案】解：如图所示；
阴影部分即为旋转过程中线段扫过的图形，如中所示，
旋转过程中线段扫过的图形为圆心角为，半径为的扇形，所以，面积为．

【解析】本题考查旋转作图和扇形的面积计算．
按照题目要求将绕点按逆时针方向旋转，画出图形；
根据旋转的知识可知，线段所扫过的图形为圆心角为，半径为的扇形，就是圆面积的，就可得出答案．
16.【答案】解：如图，扇形和扇形为羊活动的区域．
；
；
羊活动区域的最大面积为：．

【解析】本题主要考查的是扇形的面积计算方法，正确的判断出羊的活动区域是解答此题的关键．羊的活动区域应该分为两部分：以为圆心角，绳长为半径的扇形；以的补角为圆心角，以长为半径的扇形；可根据两个扇形各自的圆心角和半径，计算出羊活动区域的面积即可．
17.【答案】解：如图，和为所作；
过点作于点，连接、，如图，则，，
在中，，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积
．
【解析】作的垂直平分线交于点、，则和满足条件；
过点作于点，连接、，如图，根据垂径定理得到，再利用余弦的定义计算出，则可计算出，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定、垂径定理、扇形的面积公式．
18.【答案】证明：是的直径，
，
，
，
即，
；
解：由知，
，
，
，
．
【解析】本题考查弧长的计算，垂径定理，以及圆周角定理．
根据平行线的性质得出，再利用垂径定理证明即可；
由知，则可求出，根据弧长公式解答即可．
19.【答案】解：在等腰中，，
，
是的角平分线，
，，
，
，
由弧及线段、、围成图形图中阴影部分的面积；
设圆锥的底面圆的半径为，
根据题意得，解得，
这个圆锥的高．
【解析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰三角形的性质和扇形的面积公式．
利用等腰三角形的性质得到，，则可计算出，然后利用扇形的面积公式，利用由弧及线段、、围成图形图中阴影部分的面积进行计算；
设圆锥的底面圆的半径为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，解得，然后利用勾股定理计算这个圆锥的高．
20.【答案】解：如图，延长交于，
，
，，
，
，
，
；
如图，连接，
设的半径为，
，，
，
在中，，
解得：．
即图中圆的半径为．
【解析】如图，延长交于，根据垂径定理得到，，求得，于是得到结论；
如图，连接，设的半径为，根据勾股定理列方程得到．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
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